ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2021, том 47, № 1, с. 46-52
МЕТОД “ОКНА ВИДИМОСТИ” ДЛЯ УЧЕТА НАБЛЮДАТЕЛЬНОЙ
СЕЛЕКЦИИ В СТАТИСТИКЕ ЭКЗОПЛАНЕТ, ОТКРЫТЫХ
ПО ИЗМЕРЕНИЯМ ЛУЧЕВЫХ СКОРОСТЕЙ
© 2021 г. А. Е. Иванова1*, О. Я. Яковлев1, В. И. Ананьева1,
И. А. Шашкова1, А. В. Тавров1, Ж.-Л. Берто2
1Институт космических исследований РАН, Москва, Россия
2Лаборатория атмосферных и космических исследований, Гюйанкур, Франция
Поступила в редакцию 09.10.2020 г.
После доработки 20.11.2020 г.; принята к публикации 26.11.2020 г.
Предложен метод коррекции статистических данных по экзопланетам, открытым по измерениям
лучевых скоростей. Исследованы статистические закономерности распределений экзопланет по их
массам и по орбитальным периодам.
Ключевые слова: внесолнечные планеты, экзопланеты, наблюдательная селекция, метод лучевых
скоростей, статистические распределения экзопланет.
DOI: 10.31857/S0320010821010058
dN
ВВЕДЕНИЕ
∝ m-1. Камминг и др. (2008), рассматривая
dm
распределение планет с орбитальными периодами
Ключевой проблемой в построении статистики
от 2 до 2000 сут и массами от 0.3 до 10 масс
экзопланет и ее исследовании является неодно-
Юпитера, ввели “фактор полноты исследования”
родность данных в архиве экзопланет1 . При рас-
(completeness of the survey) и нашли, что рас-
смотрении статистики экзопланет, открытых ме-
пределение 182 RV-планет по массам и орби-
тодом лучевых скоростей, в качестве основных
тальным периодам следует степенному закону вида
причин неоднородности следует выделить: разные
dN = CM-0.31±0.2P0.26±0.1d ln Md ln P , где C —
чувствительности спектрографов, разные уровни
константа, M — проективная масса планеты, P —
активности родительских звезд, разные продолжи-
орбитальный период планеты, что соответству-
тельности наблюдений и разные методы обработки
ет распределению по проективным массамdNdm ∝
данных наблюдений.
∝ m-1.31±0.2. Ховард и др. (2010), рассматривая
Первые работы по изучению статистики эк-
распределение по массам планет, вращающихся
зопланет игнорировали неоднородность наблюда-
вокруг 166 солнцеподобных звезд, наблюдавших-
тельных данных. Так, Батлер и др. (2006) построи-
ся на Кеке с помощью спектрографа HIRES,
ли распределение по проективным массам извест-
ввели “функцию полноты” (completeness function)
ных на тот момент 167 экзопланет и аппрокси-
C(P, M) как долю звезд, гарантированно не имею-
мировали его степенным закономdNdm ∝ m-1.1, не
щих рядом с собой планеты с данным периодом и
принимая во внимание различия наблюдательных
проективной массой. Они нашли, что распределе-
программ. Марси и др. (2005) попытались решить
ние планет с периодами короче 50 сут по проектив-
эту проблему, рассматривая только планеты, от-
ным массам можно аппроксимировать степенным
крытые в рамках наблюдений на обсерваториях
закономdNdlog(m) ∝ m-0.48−0.14 , которому соответ-
Лик и Кек с помощью спектрографов с одинако-
вой инструментальной погрешностью единичного
ствует законdNdm ∝ m-1.48−0.14 .
измерения 3 м/с, рассмотрев в итоге 104 плане-
Одним из подходов к учету неоднородности дан-
ты из 152, известных к тому моменту. Они на-
ных является метод “окна видимости”. В частности,
шли, что распределение следует степенному закону
этот метод был предложен в работах Ананьева и
*Электронный адрес: ctf.i.a.e@gmail.com
др. (2019) и Туоми и др. (2019). У Ананьевой и др.
(2019) “окно видимости” — область на плоскости
46
МЕТОД “ОКНА ВИДИМОСТИ” ДЛЯ УЧЕТА
47
с координатами “проективная масса (m sin i)”-
Для вычисления границ окна видимости необ-
“орбитальный период P ”: (m sin i, P ), в которой
ходимо знать массы звезд Mstar и массы планет
планета точно наблюдаема. Границы области опре-
Mplanet, полное время наблюдения планетной си-
деляют, учитывая три значения: (по оси “проектив-
стемы Tobs и среднее отклонение от оптимальной
ной массы”) нижнюю границу, соответствующую
кеплеровской кривой σ(O - C). Также в модель
минимальной массе экзопланеты, которая может
“окна видимости” введены некоторые параметры
быть обнаружена наблюдательной программой; (по
для дополнительной настройки “прозрачности ок-
оси “орбитальных периодов”) левую границу, со-
на”.
ответствующую орбитальному периоду гипотетиче-
Формула, описывающая формирование единич-
ской планеты, обращающейся на расстоянии трех
ного “окна видимости”:
радиусов родительской звезды и правую границу,
{
соответствующую полному времени наблюдений
Pplanet ≤ ΔTobs,
(1a)
данной звезды.
≥ γσ(O - C),
(1б)
tar
lanet
Такие “окна видимости” строятся для каждой
звезды, рядом с которой была обнаружена хотя бы
где Pplanet — период обращения планеты, Δ — па-
одна экзопланета, после чего происходит наложе-
раметр модели, Tobs — продолжительность наблю-
ние “окон” друг на друга, чтобы обеспечить ре-
дения родительской звезды, 203.25 — числовой ко-
гуляризацию данных. Недостаток данного подхода
эффициент, учитывающий период планеты в еди-
заключается в том, что в общей статистике учиты-
ницах суток, массу планеты в ед. масс Юпитера и
вают только планеты, которые попадают в область
массу звезды в единицах масс Солнца, Mplanet —
пересечения всех окон, т.е. которые могли быть об-
масса планеты, Mstar — масса родительской звез-
наружены всеми наблюдательными программами.
ды, γ — параметр модели, σ(O - C) — среднее от-
Таким образом, достаточно много экзопланет после
клонение от оптимальной кеплеровской кривой.
регуляризации данных теряется.
Поскольку к настоящему времени уже извест-
В Туоми и др. (2019) была рассмотрена ста-
но несколько планет, обращающихся ближе трех
тистика экзопланет, число которых невелико, об-
звездных радиусов (например, Kepler - 78b, K2 -
ращающихся вокруг звезд спектрального класса
- 141b, W ASP - 103b и т.д.), в настоящей работе
М. На первом шаге “окно видимости” в плоскости
граница окна видимости со стороны малых перио-
(m sin i, P ) строили аналогично Ананьевой и др.
дов отсутствует.
(2019). Но основным отличием было построение
Первое неравенство (1a) показывает, что плане-
функции вероятности обнаружения. После этого
та наблюдаема, если она прошла некоторую часть
по значению вероятности обнаружения и по коли-
полного оборота вокруг звезды за время наблю-
честву обнаруженных планет определяли распро-
дения. Современные методики способны обнару-
страненность планет разного типа и получали ве-
живать экзопланеты, прошедшие как минимум по-
роятностное “окно видимости”. Благодаря вероят-
ловину одного витка, т.е. Δ = 2. Так, из рассмат-
ностному подходу большее количество экзопланет
риваемых 695 RV-экзопланет только у 10 (менее
учитывается, и статистические данные становятся
1.5%) отношение орбитального периода к полному
более полными. Но данный анализ, как уже было
времени наблюдения превышало 2.
упомянуто выше, был проведен только для планет
Неравенство (1б) составлено на основании Эг-
у звезд спектрального класса М.
генбергер и Удри (2010). Оно показывает усло-
вие, что планета считается детектируемой, ес-
ли полуамплитуда колебаний лучевой скорости
МЕТОД “ОКНА ВИДИМОСТИ” ДЛЯ
звезды (обозначаемой K), наведенная экзопла-
РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ
нетой, больше, чем доля (определяемая коэффи-
ДАННЫХ ПО МАССЕ И ПО
циентом γ) среднего отклонения от оптимальной
ОРБИТАЛЬНЫМ ПЕРИОДАМ
кеплеровской кривой (σ(O - C)). В данной работе
ЭКЗОПЛАНЕТ, ОТКРЫТЫХ МЕТОДОМ
коэффициент γ был принят равным 0.75. Однако
ЛУЧЕВЫХ СКОРОСТЕЙ
следует отметить, что коэффициент γ изменяется
В настоящей работе рассматривались наблюда-
для разных массовых интервалов. Так, для ин-
тельные программы, обнаруживающие экзоплане-
тервала от 0.011 до 0.1 масс Юпитера γ = 0.75,
поскольку из 145 планет у 28 отношение полуам-
ты методом лучевых скоростей. Из различных све-
дений об экзопланете выбирали наиболее полные
плитуды колебаний лучевой скорости K к средне-
и последние по времени публикации, а также ар-
му отклонению σ меньше единицы. В диапазоне
хивные данные, в которых указаны продолжитель-
масс от 0.135 до 1.23 масс Юпитера только у
ность наблюдений родительской звезды и среднее
одной планеты отношение K/σ меньше 1, для всех
отклонение от оптимальной кеплеровской кривой.
остальных оно больше 1.19, для анализа данного
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№1
2021
48
ИВАНОВА и др.
104
1.0
0
0
0
2
0
0
2
2
3
7
9
2
0
0
0
0.011
0.064
0.14
0.21
0.28
0.32
0.34
0.35
0.35
0.9
0
0
0
0
1
2
4
6
17
14
4
7
0
0
0.0091
0.078
0.19
0.32
0.46
0.58
0.66
0.7
0.71
0.71
0
0
0
1
1
8
9
18
14
19
21
9
0.8
0
0
0.034
0.13
0.29
0.45
0.86
0.79
0.97
0.9
0.91
0.91
103
0
1
0
3
2
7
9
15
38
21
20
19
0
0.0073
0.078
0.21
0.37
0.59
0.77
0.89
0.94
0.96
0.97
0.97
0.7
0
2
1
0
2
4
10
8
35
21
8
5
0
0.027
0.14
0.28
0.47
0.69
0.85
0.93
0.97
0.98
0.98
0.99
0.6
0
5
5
5
3
3
5
5
13
8
8
7
0.0036
0.032
0.21
0.35
0.57
0.77
0.9
0.96
0.98
0.99
0.99
0.99
102
0.5
3
2
10
6
2
4
1
3
4
4
0
3
0.024
0.13
0.27
0.44
0.67
0.83
0.93
0.98
0.99
1
1
1
0.4
3
10
10
3
3
1
4
6
1
1
2
0
0.047
0.18
0.33
0.54
0.76
0.89
0.96
0.99
1
1
1
1
6
10
8
4
1
2
2
5
1
2
1
1
0.3
0.11
0.25
0.42
0.64
0.82
0.93
0.98
0.99
1
1
1
1
101
5
16
9
0
1
4
3
4
2
2
0
1
0.15
0.32
0.51
0.74
0.87
0.95
0.99
1
1
1
1
1
0.2
4
6
3
3
0
4
18
4
1
0
1
0
0.22
0.39
0.62
0.8
0.92
0.97
0.99
1
1
1
1
1
0.1
0
1
1
0
0
0
1
0
2
0
0
0
0.3
0.48
0.71
0.86
0.95
0.98
0.99
1
1
1
1
1
100
0
101
100
101
Масса, масса Юпитера
Рис. 1. Пример окна видимости. По оси абсцисс — проективная масса экзопланетыв массах Юпитера, по оси ординат —
орбитальный период в сутках. В каждой ячейке верхнее число — количество обнаруженных экзопланет, нижнее число —
вероятность обнаружения. Оттенки серого демонстрируют вероятность. Красными точками показаны известные RV-
планеты.
диапазона нами был принят коэффициент γ = 1.18.
прозрачное (планета будет обнаружена всеми об-
В диапазоне масс от 2.22 до 13 масс Юпитера
зорами).
коэффициент γ возрастает и становится равным
Пример построенного окна видимости показан
двум.
на рис. 1.
Так как наибольший интерес для исследования
Для учета наблюдательной селекции в нескор-
представляли планеты малых масс, то коэффи-
ректированных распределениях (гистограммах), по
циент γ, который был использован при анализе,
массам или по периодам, полученным непосред-
описываемом в данной публикации, был принят
ственно из данных Архива, каждую планету на
равным 0.75.
плоскости (m sin i, P ), показанную красной точ-
Для статистического исследования нами была
кой, учитывали со статистическим весом, обратным
рассмотрена область масс от 0.011 до 13 масс
значению вероятности в аналогичной ячейке окна
Юпитера и область орбитальных периодов от 1
видимости. Тем самым корректируется исходное
до 10 000 сут. Оба диапазона были разделены на
распределение, и компенсируется неполнота дан-
12 интервалов, равных в логарифмическом мас-
ных в областях, где экзопланеты наблюдаемы с
штабе, таким образом, “окно видимости” плос-
меньшей вероятностью.
кости (m sin i, P ) разделено на 144 ячейки. Для
Необходимо отметить, что в некоторых участ-
построения “окна видимости” полагали модельные
ках плоскости (m sin i, P ) вероятность обнаруже-
экзопланеты со значениями массы и орбитального
ния экзопланет равна нулю. Эта область, обра-
периода, равными значениям в середине каждой из
зующая “слепое пятно” (рис. 1, левый верхний
144 ячеек. Если модельная экзопланета удовлетво-
угол), охватывает планеты малых масс и больших
ряла выражениям (1a) и (1б), то значение в со-
орбитальных периодов. Наличие “слепого пятна”
ответствующей ячейке увеличивалось на единицу,
необходимо учитывать, так как эта область яв-
и алгоритм переходил к рассмотрению следующей
ляется областью неопределенности. При этом ви-
родительской звезды из тех, рядом с которыми
димое отсутствие массивных планет с короткими
были обнаружены экзопланеты, всего 551 звезда.
орбитальными периодами (рис. 1, правый нижний
После того, как наблюдения всех родительских
угол) объясняется не наблюдательной селекцией
звезд были рассмотрены, получившуюся матрицу
(напротив, такие планеты обнаружить легче всего),
нормировали на количество обзоров (551 звезду),
а их реальной крайней редкостью.
и значения в ячейках матрицы принимали значение
от 0 до 1, соответствующие вероятности обнаруже-
В данной работе мы обходим область неопреде-
ния, где 0 — абсолютно непрозрачное окно (пла-
ленности, “слепое пятно”, двумя способами: рас-
нету невозможно обнаружить), а 1 — абсолютно
сматриваем или только экзопланеты всех масс с
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№1
2021
МЕТОД “ОКНА ВИДИМОСТИ” ДЛЯ УЧЕТА
49
103
102
101
100
10-2
10-1
100
101
Проективная масса, масса Юпитера
Рис. 2. Сравнение нескорректированного распределения по массам экзопланет с теоретическим распределением.
Нескорректированное распределение по массам 695 RV-экзопланет показано красным цветом (пунктирная линия).
Теоретическое распределение, полученное методом популяционного синтеза Мордасини (2018), показано синим цветом
(сплошная линия).
103
103
(1)
102
(2)
102
101
101
100
102
101
100
101
Проективная масса, масса Юпитера
Рис. 3. Сравнение скорректированных распределений по массам экзопланет с теоретическим распределением. Скор-
ректированное распределение 695 экзопланет: черная штрихпунктирная кривая (1) показывает распределение планет
всех масс с орбитальными периодами от 1 до 100 сут, красная пунктирная кривая (2) показывает распределение планет
всех орбитальных периодов с массами свыше 0.06 масс Юпитера. По оси абсцисс — проективная масса в массах
Юпитера, по оси ординат слева — количество экзопланет, соответствующих кривой (1) (показана черным цветом), по
оси ординат справа — количество планет, соответствующих кривой (2) (показана красным цветом). Синяя сплошная
линия — теоретическое распределение, полученное методом популяционного синтеза Мордасини (2018).
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№1
2021
50
ИВАНОВА и др.
102
101
100
100
101
102
103
104
Период, сутки
Рис. 4. Сравнение нескорректированногораспределенияпо периодам экзопланет с ранее опубликованнымираспределе-
ниями. Нескорректированноераспределениепо периодам695 RV-экзопланетпоказано синейсплошнойлинией. Распре-
деление, опубликованное в Петигура и др. (2013), показано черной пунктирной линией. Распределение, опубликованное
в Камминг и др. (2008), показано красной штрихпунктирной линией. Представленные кривые искусственно разнесены по
оси ординат для наглядности (“масштабный” коэффициент может быть выбран произвольно).
периодами от 1 до 100 сут, или экзопланеты всех
зопланет по орбитальным периодам и сравнить их
периодов с массами от 0.06 до 13 масс Юпитера.
с опубликованными распределениями. Нескоррек-
Нескорректированное распределение экзопла-
тированное распределение по периодам показано
нет по их массам показано на рис. 2, а результат
на рис. 4 в сравнении с распределением транзитных
планет “Кеплера”, опубликованным в Петигура и
коррекции с применением “окна видимости” — на
рис. 3. Также на рис. 2 и 3 показано теоретическое
др. (2013), и распределением из Камминг и др.
распределение Мордасини (2018), с которым мы
(2008).
сравниваем наблюдаемое распределение до и после
Аналогично распределениям по массам, рас-
коррекции. До коррекции наблюдаемое и теоре-
пределение экзопланет по периодам после коррек-
тическое распределения имеют наглядное несоот-
ции необходимо разделить для рассмотрения на две
ветствие, а после коррекции два распределения
группы:
(в результате обхода области неопределенности)
стремятся к теоретическому распределению.
1. Экзопланеты с массами от 0.011 до 13 масс
Для сравнения полученных распределений
Юпитера и периодами от 1 до 100 сут.
(рис. 2-5) с опубликованными ранее работами
2. Экзопланеты с массами от 0.06 до 13 масс
(Мордасини, 2018; Камиминг и др., 2008; Пети-
Юпитера и периодами от 1 до 10 000 сут.
гура и др., 2013) мы приняли во внимание, что
представленные этими авторами распределения
нормированы на одну звезду (являются частотами
Скорректированные распределения показаны
распространенности, occurrence rate). Без потери
на рис. 5 вместе с распределениями, опублико-
общности они могут быть умножены на любое чис-
ванными в Петигура и др. (2013) и Камминг и др.
ло, что в логарифмическом масштабе соответствует
(2008).
произвольному вертикальному сдвигу.
Нескорректированное распределение экзопла-
Аналогично распределению по массам до кор-
нет по их периодам показано на рис. 4, а результат
рекции и после, можно получить распределения эк- коррекции с применением “окна видимости” — на
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№1
2021
МЕТОД “ОКНА ВИДИМОСТИ” ДЛЯ УЧЕТА
51
103
102
101
100
100
101
102
103
104
Период, сутки
Рис. 5. Сравнение скорректированных распределений по периодам экзопланет с ранее опубликованными распределени-
ями Петигура и др. (2013) и Камминг и др. (2008). Фиолетовая сплошная кривая — скорректированное распределение
экзопланет с массами от 0.011 до 13 масс Юпитера и периодами от 1 до 100 сут, голубая штрихпунктирная кривая —
скорректированное распределение экзопланет с массами от 0.06 до 13 масс Юпитера и периодами от 1 до 10 000 сут.
По оси абсцисс — период обращения планеты в земных сутках, по осям ординат — количество экзопланет Черная
пунктирная линия — распределение транзитных планет “Кеплера”, опубликованное в Петигура и др. (2013). Линия из
красных точек — распределение из Камминг и др. (2008).
рис. 5. Также на рис. 5 показаны ранее опублико-
синтеза Мордасини (2018). Распределение планет
ванные распределения в Петигура и др. (2013) и
с проективными массами от 0.011 до 13 масс Юпи-
Камминг и др. (2008), с которыми мы сравниваем
тера и орбитальными периодами от 1 до 100 сут
наблюдаемое распределение до и после коррек-
по форме отличается от распределения планет от
ции. До коррекции наблюдаемое и ранее опубли-
0.06 до 13 масс Юпитера и периодами от 1 до
кованные распределения имеют наглядное несо-
104 сут — большинство планет тяжелее Юпитера
ответствие, а после коррекции два распределения
находятся на широких орбитах с периодами больше
(в результате обхода области неопределенности)
100 сут. Распределение планет по орбитальным
становятся более схожи с ранее опубликованными.
периодам демонстрирует примерно десятикратный
рост при переходе от интервала 1-2.15 сут к ин-
РЕЗУЛЬТАТЫ
тервалу 2.15-4.64 сут (это справедливо для планет
и малых, и больших масс), а в дальнейшем следует
Разработан вероятностный метод “окна види-
степенному закону с показателем степени 0.26 в
мости” для регуляризации статистики экзопланет,
открытых методом лучевых скоростей. Описан ал-
соответствии с Камминг и др. (2008):dNdlogP ∝ P0.26.
горитм построения окна, а также проанализирован
Форма распределения экзопланет по орбиталь-
результат его применения к существующей стати-
ным периодам в интервале 6.25-100 сут близка
стике. Проведено сравнение с ранее опубликован-
к аналогичному распределению транзитных планет
ными результатами.
“Кеплера” с радиусами от 1 до 22 радиусов Земли
Распределение планет по проективным массам
(Петигура и др., 2013).
следует кусочному степенному закону с изломами
в точках ∼0.135 и ∼2 масс Юпитера и находится в
Авторы благодарят правительство Российской
согласии с предсказанием теории популяционного Федерации и Министерство высшего образования
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№1
2021
52
ИВАНОВА и др.
и науки РФ за поддержку по гранту 075-15-2020-
5. Мордасини (C. Mordasini), Planetary Population
780 (N13.1902.21.0039)
Synthesis, Handbook of Exoplanets (Ed. H.J. Deeg,
3-319-30648-3_143-1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
6. Петигура и др. (E.A. Petigura, A.W. Howard, and
1. Ананьева и др. (V.I. Ananyeva, A.A. Venkstern,
G.W. Marcy), Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110 (48),
D.V. Churbanov, I.A. Shashkova, A.V. Tavrov,
19273 (2013); doi:10.1073/pnas.1319909110
O.I. Korablev, and J.-L. Bertaux), Solar System Res.
7. Туоми и др. (M. Tuomi, H.R.A. Jones, R.P. Butler,
53, 124137 (2019).
P. Arriagada, S.S. Vogt, J. Burt, G. Laughlin,
2. Батлер и др. (R.T. Butler, J.T. Wright, G.M. Marcy,
B. Holden, et al.), Frequency of planets orbiting
D.A. Fischer, S.S. Vogt, C.G. Tinney, H.R.A. Jones,
M dwarfs in the Solar neighbourhood (2019);
B.D. Carter, J.A. Johnson, C. McCarthy, and
A.J. Penny), Astrophys. J. 646, No. 1 (2006).
8. Ховард и др. (A.W. Howard, G.W. Marcy,
3. Камминг и др. (A. Cumming, R.P. Butler, G.W. Marcy,
J.A. Johnson, D.A. Fischer, J.T. Wright,
S.S. Vogt, J.T. Wright, and D.A. Fischer), Proceed.
H. Isaacson, J.A. Valenti, J. Anderson, D.N.C. Lin,
Astron. Soc. Pacific
120
(867),
531
(2008);
and S. Ida), Science
330
(6004),
653
(2010);
doi:10.1086/588487
4. Марси и др. (G. Marcy, R.P. Butler, D. Fischer,
S. Vogt, J.T. Wright, C.G. Tinney, and H. R.A. Jones),
9. Эггенбергер, Удри (A. Eggenberger and S. Udry),
Progress Theor.Phys. Suppl. 158, 24 (2005).
EAS Publ. Ser. 41, 27 (2010).
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№1
2021
