ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2021, том 47, № 11, с. 800-811

ЭВОЛЮЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ЗОН ПЛАНЕТ

В ПЛАНЕТЕЗИМАЛЬНЫХ ДИСКАХ

¹Крымская астрофизическая обсерватория РАН, Научный, Россия

²Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия

³Институт прикладной астрономии РАН, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 16.08.2021 г.

После доработки 20.10.2021 г.; принята к публикации 02.11.2021 г.

Проведены массовые численные эксперименты по долговременной динамике планетезимальных

дисков с планетами в системах одиночных звезд. С высокой точностью численно определены времена

T_cl расчистки планетной хаотической зоны в зависимости от массового параметра μ (отношения масс

планеты и звезды), отдельно для внешней и внутренней частей хаотической зоны. В зависимости

T_cl(μ) выявлено присутствие диффузионных компонент ∝μ-6/7 и ∝μ-2. Полученные результаты

обсуждаются и интерпретируются в свете существующих аналитических теорий, основанных на

критерии перекрытия резонансов средних движений, а также в сравнении с предыдущими численными

подходами к проблеме.

Ключевые слова: планетные хаотические зоны, остаточные диски, планетезимальные диски, динами-

ческий хаос, планетезимали.

DOI: 10.31857/S0320010821110012

ВВЕДЕНИЕ

Торндайк, 2002; Кюхнер, Хольман, 2003; Квиллен,

Фабер, 2006).

Присутствие планеты (планет) в остаточном

планетезимальном диске существенно влияет на

В работе Моррисон и Мальхотры (2015) иссле-

распределение вещества в диске. Резонансы сред-

дована долговременная динамика планетезималей

них движений с планетой формируют внутри диска

внутри и вблизи хаотической зоны планеты на кру-

кольцеобразные полости, свободные от вещества

говой орбите. Оценены размеры хаотической зоны

(Уиздом, 1980; Демидова, Шевченко, 2016). Воз-

планеты произвольной массы и характерное время

мущения со стороны планет могут формировать

расчистки этой зоны от частиц вследствие их ухода

границы диска, как внешние, так и внутренние, в

из зоны и аккреции на планету. Зависимость ра-

зависимости от конфигурации системы (Уайят и

диального размера хаотической зоны от массового

др.,1999; Квиллен, 2006; Су и др. 2013, Родигас и

параметра μ (отношения масс планеты и звезды)

др., 2014).

численно-экспериментально изучена и уточнена в

работе Демидовой и Шевченко (2020), где пока-

Наиболее исследованным на сегодня фактором

зано, что данная зависимость имеет ступенчатый

структурирования планетезимального диска явля-

характер, обусловленный отделением резонансов

ется образование планетной хаотической зоны.

от планетной хаотической зоны при варьировании

Как впервые установил Уиздом (1980), перекры-

массового параметра μ.

тие резонансов средних движений первого поряд-

ка приводит к образованию кольцеобразной хао-

Как отмечено в работе Моррисон и Мальхот-

тической зоны в радиальной окрестности орбиты

ры (2015), знание динамической временн ´ой шкалы

планеты. Радиальные размеры хаотической зоны

расчистки определяет нижний предел для массы

планеты на круговой орбите оценены теоретически

планеты, что обеспечивает независимые от астро-

и численно в работах Уиздома (1980), Дункана и

физических оценок ограничения на массы экзо-

др. (1989), Мальхотры (1998), Чианга и др. (2009).

планет, непосредственно наблюдаемых в системах

Оценки размеров получены и в случае планетной

с остаточными дисками (debris disks); с успехом

орбиты с ненулевым эксцентриситетом (Квиллен,

этот предел можно использовать и для оценки

снизу масс еще не обнаруженных планет, исхо-

^*Электронный адрес: proxima1@list.ru

дя из структуры и возраста наблюдаемых оста-

800

ЭВОЛЮЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ЗОН ПЛАНЕТ

801

точных дисков. Авторы применили данный метод

МОДЕЛЬ И МЕТОДЫ

оценки к экзопланетным системам звезд HR8799

Расчеты выполнены в плоской задаче в пря-

и HD95086. Каждая из этих систем имеет внут-

моугольной барицентрической системе координат,

ренний теплый и внешний холодный остаточные

при этом в начальный момент времени ось x на-

диски. В системе HR8799 имеется четыре планеты

правлена от звезды к планете. Планета и частицы

(Маруа и др., 2008, 2010), а в системе HD95086 —

обращаются на орбитах против часовой стрелки.

одна планета (Рамо и др., 2013); во всех случа-

В начальный момент времени звезда находится в

ях планеты выявлены непосредственно из изоб-

точке с координатами (x, y) = (p₁, 0), а планета —

ражений. Как отмечено в работе Фарамаза и др.

в точке (p₂, 0). Орбита планеты круговая. Масса

(2021), архитектура системы HR8799 удивительно

звезды M = M_⊙, масса планеты m варьируется.

схожа с архитектурой Солнечной системы. Дей-

Орбитальный период планеты P = 1 год, что опре-

ствительно, в системе HR8799 орбиты четырех

деляет большую полуось a_pl ≈ 1 а. е. Тогда p₁ =

планет-гигантов окружают теплый пылевой пояс,

аналогичный поясу астероидов в нашей системе, а

a_pl и p₂ =

a_pl. Векторы скоро-

M+m

M +m

снаружи эти четыре планеты окружены холодным

сти звезды и планеты исходно имеют компоненты

пылевым поясом, аналогичным поясу Койпера. По

(0, -

n) и (0,

n) соответственно, где

словам Фарамаза и др. (2021), система HR8799 —

M+m

M +m

более молодая, более протяженная и более массив-

среднее движение n = 2π.

ная версия Солнечной системы.

В начальный момент времени безмассовые

Астрофизические оценки масс планет в систе-

(пассивно гравитирующие) частицы на исходно

круговых орбитах размещены на отрицательной

мах HR8799 и HD95086, полученные на основе

части оси x в пределах [-p₂ - 4R_H, -p₂ + 4R_H] (где

тепловых моделей, составляют ∼5-7 масс Юпи-

R_H определяется формулой (1)") равномерно по

тера во всех случаях. Как установлено Морри-

радиусу c шагом 8R_H/N (где N — число частиц в

сон и Мальхотрой (2015), нижние пределы массы,

модели). Величина R_H, пропорциональная радиусу

налагаемые динамическими временн ´ыми шкалами

сферы Хилла планеты, определяется формулой

расчистки, согласуются с этими астрофизическими

оценками.

R_H = (m/M)1/3a_pl.

(1)

Недавние прямые наблюдения структурных

Для частицы, стартующей с начальными координа-

особенностей (границ и кольцевых просветов) в

тами (x, y) = (-r, 0), компоненты начальной ско-

холодных остаточных дисках позволили наложить

(

)

рости задаются как

0, -[G(M + m)/r]1/2

. Коли-

ограничения на присутствие и массы крупных

планет в системах HD92945, HD107146 (Марино и

чество частиц N в диске задается в диапазоне от

др., 2019; Меса и др., 2021) и HD206893 (Марино

10³ до 2 × 10⁴.

и др., 2020; Недерландер и др., 2021).

Самогравитация (взаимное гравитационное

взаимодействие) планетезималей в нашей модели

Моррисон и Мальхотра (2015) указывают, что

не учитывается. Бе и др. (2014) и Пирс и Уайят

динамический способ оценки масс планет в си-

(2014) показали, что влияние массивной планеты

стемах с остаточными дисками может стать еще

доминирует над самогравитацией планетезималей

более ценным в будущем, когда осуществятся на-

в диске, если масса планеты на порядок или более

блюдения с более высокой чувствительностью и

превосходит массу диска. Минимальная масса

более высоким пространственным разрешением,

планеты, с которой мы оперируем в настоящей

что позволит наблюдать экзопланетные системы,

работе, составляет 10-5M_⊙ (∼3 массы Земли),

содержащие менее яркие остаточные диски, струк-

что на порядок больше массы пояса Койпера и

турированные планетами с меньшими массами.

на несколько порядков больше массы главного

В настоящей работе мы проводим массовые

пояса астероидов. Поэтому мы предполагаем, что

численные эксперименты, а также используем тео-

самогравитацией планетезималей в диске можно

ретические оценки, чтобы выявить характер вре-

пренебречь.

менн ´ой эволюции населенности планетной хаоти-

Интегрирование уравнений движения частиц

ческой зоны в зависимости от массового пара-

проведено с использованием алгоритма Булирша-

метра μ. Под массовым параметром понимается

Штера (Пресс и др., 1992). Для большинства

отношение масс планеты и звезды. Пусть масса

расчетов допустимая относительная погрешность ϵ

центральной звезды M, масса планеты m, то-

установлена равной 10-10. В процессе расчетов

гда массовый параметр определяется формулой

велся контроль постоянства интеграла Якоби для

μ = m/(M + m); при относительно малой массе

каждой частицы. В случае вариации интеграла

планеты имеем μ ≈ m/M.

Якоби относительно его исходного значения более

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

802

ДЕМИДОВА, ШЕВЧЕНКО

1.2

1.1

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

= 2

= 3

0.4

= 4

0.3

100

a, a. e.

Рис. 1. Зависимость эксцентриситета от большой полуоси орбиты для уходящих частиц.

чем на 1%, мы уменьшали величину ϵ до предель-

эксцентриситета e частиц, покинувших расчетную

ного значения 10-14. Этой предельной точности

область, в зависимости от большой полуоси a.

оказалось недостаточно для сохранения интеграла

Согласно графику, положение частиц хорошо опи-

Якоби лишь для малой доли частиц: количество

сывается соотношением Тиссерана

случаев аномальных орбит не превысило 0.5% от

[

]1/2

их общего числа. Частицы с такими орбитами были

T_i =

a(1 - e²)

≈ 3.

(2)

исключены при анализе результатов.

Полагалось, что частица покинула систему, если

(см. Мюррей, Дермотт, 1999; Шевченко, 2020а).

большая полуось ее орбиты достигла 2 а. е. В таком

Для некоторых частиц это соотношение нарушает-

случае энергия частицы изменяется в ∼2 раза,

ся при сближении с планетой, однако, при удалении

т.е. изменение орбиты можно считать существен-

от планеты, оно восстанавливается (рис. 2).

ным. Кроме того, за пределами 2 а.е. в планетной

Радиальные размеры планетной хаотической

системе доминирующее влияние на частицу могут

зоны уменьшаются с уменьшением отношения масс

оказывать уже другие планеты. Выпадение частиц

планеты и звезды, что обусловлено отделением

на звезду и планету не учитывалось, т.е. физические

резонансов средних движений от хаотической зоны

размеры звезды и планеты полагались нулевыми.

при изменении μ. Этот процесс очевиден на рис. 3,

Продолжительность интегрирования орбиты одной

где положение резонансов и их сепаратрис указано

частицы составляла до 10⁵ или 10⁶ (в зависимости

согласно данным Рамоса (2015). Общая теория

от задачи) оборотов планеты, если частица не ухо-

формирования хаотических слоев в окрестности

дила из системы раньше.

возмущенных сепаратрис нелинейных резонансов

в фундаментальной модели нелинейного резонанса

(модели возмущенного маятника) дана в рабо-

СТРУКТУРА ПЛАНЕТНОЙ

тах Шевченко (2008, 2020б); влияние краевых

ХАОТИЧЕСКОЙ ЗОНЫ

резонансов на ширину хаотического слоя, в том

Как указано выше, частицы, чья большая по-

числе скачкообразные вариации ширины слоя

луось орбиты достигла a > 2 а. е., считаются по-

при варьировании параметров системы, описано в

кинувшими систему. На рис. 1 представлен график

работе Шевченко (2012).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

ЭВОЛЮЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ЗОН ПЛАНЕТ

803

4.0

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

T, yrs

Рис. 2. Пример временн ´ойэволюцииорбитычастицывнутрипланетнойхаотическойзоны:большаяполуосьa (в радиусах

орбиты планеты), эксцентриситет e, расстояние “планета-частица” d (также в радиусах орбиты планеты) и параметр

Тиссерана Ti.

2.0

1.25

2.5

0.5

1.00

3.0

0.5

1.5

3.5

0.75

1.5

4.0

0.50

4.5

5.0

0.25

5.5

6.0

a, R_h

Рис. 3. Финальные эксцентриситеты орбит 3000 частиц (по истечении 10⁵ оборотов планеты) в зависимости от μ и

начального расстояния от планеты (в единицах радиуса Хилла), в цветовой градации. Красный цвет соответствует фи-

нальным гиперболическим орбитам (e > 1). Белые и черные пунктирные линии — номинальные положения резонансов

соответственно первого (p/(p + 1) и (p + 1)/p) и второго (p/(p + 2) и (p + 2)/p) порядков. Белые сплошные линии —

сепаратрисы резонансов первого порядка. Светло-синяя линия — зависимость (3).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

804

ДЕМИДОВА, ШЕВЧЕНКО

1.6

1.8

2.0

int

ext

2/7

0.4

2.2

6.0

5.5

5.0

4.5

4.0

Рис. 4. Границы коорбитального устойчивого скопления частиц в зависимости от μ. Синие и красные кружки —

соответственно внутренний и внешний радиальные размеры Δast скопления (в единицах большой полуоси орбиты

планеты). Сплошная прямая — аппроксимация зависимости.

При lg μ ≲ -3.35 (здесь и далее “lg” обозначает

На всех графиках заметна асимметрия внутрен-

десятичный логарифм) в хаотической зоне образу-

ней и внешней частей хаотической зоны. Также

ется внутреннее устойчивое коорбитальное скоп-

очевидно, что частицы прежде всего покидают зону

ление частиц, обращающихся на “головастикооб-

вблизи коорбитального скопления. Относительное

разных” и “подковоообразных” орбитах (Мюррей,

количество вещества, удерживаемого в скоплении,

Дермотт, 1999). Радиальные размеры внутренней и

увеличивается с уменьшением μ. Отчетливо видно

внешней частей скопления приблизительно равны

убывание вещества вблизи положений резонансов

друг другу (рис. 4) и даются формулой

средних движений.

Δa_st = 0.4000+0.0085-0.0182 × μ(2/7)−0.0052 .

(3)

НАКАЧКА ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА

В следующем численном эксперименте участву-

На рис. 7 представлены максимальные значения

ют 10⁴ частиц. Для исследования поведения частиц

эксцентриситета орбит частиц после одного сбли-

внутри и вблизи хаотической зоны диск разделен

жения с планетой в диапазоне значений массового

на 100 колец по радиусу с постоянным шагом.

параметра -8 ≤ lg μ ≤ -2. Наши расчеты пока-

Вычисляются усредненные значения числа частиц

зывают, что скачк ´и эксцентриситета происходят

N_i в каждом кольце в текущий момент времени,

при сближениях на расстояния между частицей и

относительно их числа N₀ в начальный момент

планетой менее ≈3.5R_H, где R_H определяется фор-

времени. Продолжительность расчетов составила

мулой (1)". Значение эксцентриситета вычисляется

10⁴ лет. Финальное распределение планетезималей

после первого сближения при удалении частицы

в четырех моделях показано на рис. 5. Величина

от планеты на расстояние более 3.5R_H. Соглас-

N_i/N₀ в зависимости от расстояния до звезды и

но результатам расчетов на интервалах времени

времени показана на рис. 6. В окрестности орбиты

10⁴ лет, уход на гиперболическую орбиту (при ко-

планеты образуется полость, свободная от веще-

тором энергия частицы E становится положитель-

ства: перекрытие резонансов средних движений

ной) после одного сближения становится возмож-

первого порядка формирует планетную хаотиче-

ным при lg μ > -2.05. При меньших μ зависимость

скую зону (Уиздом, 1980). Из рис. 6 следует, что

максимального значения эксцентриситета e_max от

при μ > 0.001 границы хаотической зоны и коор-

массового параметра μ после одного сближения

битального скопления проявляются уже на первых

хорошо аппроксимируется формулой

нескольких сотнях оборотов планеты; при меньших

μ-1/3e_max = 4.

(4)

μ требуется несколько тысяч оборотов.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

ЭВОЛЮЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ЗОН ПЛАНЕТ

805

= 2

= 4

1.8

1.2

0.9

0.6

0.9

0.6

1.8

1.2

1.8

0.9

1.8

1.2

0.6

1.2

a.e.

= 3

= 5

1.4

1.0

0.7

0.5

0.7

1.0

1.4

0.7

1.4

1.0

0.5

1.0

a.e.

Рис. 5. Распределение частиц по истечении 10⁴ лет в четырех моделях. Значения массового параметра μ указаны над

графиками.

Сходное соотношение приведено в комментариях к

ВРЕМЯ РАСЧИСТКИ

рис. 3 работы Пти и Хенона (1986).

Время расчистки T_cl хаотической зоны опреде-

ляется следующим образом: фиксируется момент

Что касается полного накопленного (вне зави-

времени, в который количество частиц в пределах

симости от числа сближений с планетой) эксцен-

обозначенных границ хаотической зоны становится

триситета, переход частицы на гиперболическую

меньше 50% от их первоначального числа. Кри-

орбиту становится возможным на интервале вре-

терием ухода частицы, как уже принято выше,

мени в 10⁵ оборотов планеты, если lg μ > -3.7,

является выполнение неравенства a > 2a_pl, где a и

а на интервале в 10⁶ оборотов — при lg μ > -4.3

a_pl — большие полуоси орбит частицы и планеты

(рис. 8). Заметим, что при μ ≲ 10-5 ожидается

соответственно. Заметим, что в работе Моррисон

полная блокировка ухода частиц на гиперболиче-

и Мальхотры (2015) время расчистки хаотической

ские орбиты; см. обсуждение и ссылки в работе

зоны определяется по количеству частиц, ушедших

Шевченко (2020а).

по большой полуоси за пределы 4a_pl. Этот кри-

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

806

ДЕМИДОВА, ШЕВЧЕНКО

= 1.5

10 000

8000

6000

4000

N_i/N₀

2000

1.25

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

= 2

10 000

8000

6000

4000

2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2:1

= 2.25

1:2

10 000

1.00

8000

6000

4000

2000

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

2:1

= 2.5

10 000

8000

6000

4000

0.75

2000

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

2:1

3:2

= 3

2:3

10 000

8000

6000

4000

2000

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

3:2

4:3

= 3.5

3:4

0.50

10 000

8000

6000

4000

2000

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

4:3 5:4 6:5

= 4

5:6 4:5

10 000

8000

6000

0.25

4000

2000

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

5:4 6:5 7:6

= 4.5

7:8 6:7 5:6

10 000

8000

6000

4000

2000

0.9

1.0

1.1

7:6 8:7 9:8

= 5

8:9 7:8

10 000

8000

6000

4000

2000

0.9

1.0

1.1

a, a.e.

Рис. 6. Относительное количество остающихся в диске частиц (в цветовой градации) в зависимости от расстояния

от звезды (горизонтальная ось) и времени (вертикальная ось). Над каждой панелью приведено значение μ и указаны

местоположения главных резонансов средних движений; стрелками отмечены границы хаотической зоны. Черный и

серый цвета соответствуютфинальнойизбыточной(Ni > N0) концентрациичастиц за счет их приходаиз другихобластей

диска.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

ЭВОЛЮЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ЗОН ПЛАНЕТ

807

0.5

1.0

1.5

2.0

10 000

20 000

^1/3e = 4

2.5

8.0

7.0

6.0

5.0

4.0

3.0

2.0

Рис. 7. Максимальныйэксцентриситеторбитычастицы послеодногосближенияс планетой,в зависимостиот μ. Красные

кружки — результаты расчетов в модели с 10 000 частиц, черные кружки — в модели с 20 000 частиц. Черная сплошная

прямая — зависимость согласно Пти и Хенону (1986).

терий дает несколько б ´ольшие значения T_cl, чем

Как соотносится время расчистки T_tot всей ха-

критерий a > 2a_pl.

отической зоны с временами расчистки внутренней

зоны T_int и внешней зоны T_ext? Казалось бы, можно

При интегрировании орбит допустимая относи-

ожидать, что T_tot = max(T_int, T_ext), но это проти-

тельная погрешность ϵ установлена равной 10-14.

воречит рис. 9: при μ > 0.01, согласно этому гра-

Для задания радиальных границ планетной хао-

фику, T_tot < T_int, при том что область “tot” вклю-

тической зоны нами используются два варианта

чает область “int”. Однако следует подчеркнуть,

формул:

что T_tot получено для частиц внутри границ хао-

a_int = 1 - 1.17μ0.28, a_ext = 1 + 1.76μ0.31

(5)

тической зоны, включая внутреннее коорбитальное

— времена рас-

устойчивое кольцо, а T_int и T_ext

(из работы Моррисон и Мальхотры, 2015) и

чистки внутренней и внешней частей хаотической

области без коорбитального устойчивого кольца,

a_int = 1 - 1.38μ0.29, a_ext = 1 + 2.51μ0.34

(6)

которое при малых μ не расчищается совсем.

(из работы Демидовой, Шевченко,

2020). Из

Наличие коорбитального скопления существенно

рис. 9 следует, что на вид получаемой численно-

влияет на результаты. Центральная часть области

экспериментальной зависимости T_cl(μ) выбор

“tot” при μ > 0.01 должна расчищаться относи-

формул (5) или (6) практически не влияет.

тельно быстро, что в сочетании с 50-процентным

критерием расчистки может давать неожиданное

Оценки времени расчистки выполнены нами

соотношение T_tot и T_int.

также раздельно для внутренней и внешней (отно-

Согласно рис. 9, численно-экспериментальные

сительно коорбитального скопления планетезима-

кривые изменяют наклон вблизи lg μ ≈ -2.75. За-

лей) частей хаотической зоны. Радиальные грани-

метим, что изменение наклона зависимости T_cl(μ)

цы коорбитального устойчивого скопления опреде-

присутствует также на рис. 3 работы Квиллен и

ляются по формуле Δa_st = 0.28μ0.24, согласно Де-

Фабера (2006) при lg μ ∼ -3, но оно малозаметно

мидовой и Шевченко (2020). Результаты показаны

из-за меньшего разрешения графика по μ. На

также на рис. 9. Видно, что при μ > 0.01 расчистка

рис. 9 изменение наклона кривой вблизи значения

внешней части хаотической зоны идет существенно

lg μ = -2.75 прослеживается как для всей хаоти-

быстрее, чем внутренней: время расчистки в первом

ческой зоны, так и для обеих ее компонент.

случае меньше в 2-3 раза. При малых μ < 0.01

результаты для внутренней и внешней зоны прак-

Рассмотрим представленную на рис. 9 численно-

тически совпадают.

экспериментальную зависимость

“μ-T_cl” для

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

808

ДЕМИДОВА, ШЕВЧЕНКО

0.5

0.0

1.0

Single

10⁵

10⁶

1.5

5.00

4.75

4.50

4.25

4.00

Рис. 8. Максимальный эксцентриситет орбиты частицы после одного сближения с планетой (красные кружки); полный

накопленный эксцентриситет орбиты частицы после 10⁵ оборотов планеты (синие кружки) и после 10⁶ оборотов планеты

(черные кружки) в зависимости от μ. Результаты расчетов в модели с числом частиц 10⁴.

6.0

5.0

4.0

3.0

2.0

1.0

4.5

4.0

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

Рис. 9. Зависимость “время расчистки T_cl — массовый параметр μ”. Черные кружки — время расчистки всей хао-

тической зоны при задании ее границ согласно данным Демидовой и Шевченко (2020). Светло-зеленые кружки —

время расчистки при задании границ согласно данным Моррисон и Мальхотры (2015). Синими кружками показаны

времена расчистки внутренней (относительно коорбитального скопления) части хаотической зоны, красными — внешней.

Сплошные прямые построены по формулам (7) и (8).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

ЭВОЛЮЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ЗОН ПЛАНЕТ

809

полной хаотической зоны (включая ее внутреннюю

При μ более некоторого критического значения

и внешнюю части) при задании границ зоны

μ_c доставка частицы на “вторую лестницу” осу-

формулами из работы Демидовой и Шевченко

ществляется одномоментно, за одно сближение, то

(2020). Она хорошо аппроксимируется степенными

есть не диффузионно. Поэтому при μ ≳ μ_c полное

законами:

время расчистки определяется как сумма време-

ни, за которое происходит сближение, и времени

T_cl = (0.23+0.05-0.04) × μ-0.94±0.04

(7)

диффузии по второй лестнице: T_r = T_conj + T^(2)d

при lg μ > -2.75 и

При μ ≲ μ_c полное время расчистки определяется

суммой времен диффузии по первой и второй лест-

T_cl = (0.0002 ± 0.00002) × μ-2.06−0.017

(8)

. Таким образом, согласно

ницам: T_r = T^(1)d + T^(2)d

при lg μ < -2.75 (рис. 9).

Шевченко (2020а),

{

Обратимся к теоретической интерпретации за-

c₀μ-2/7 + c₂μ-2, если μ ≳ μ_c,

висимостей, представленных на рис. 9. В работе

T_r =

(10)

Шевченко (2020а) предложен сценарий расчистки

c₁μ-6/7 + c₂μ-2, если μ ≲ μ_c,

планетной хаотической зоны, состоящий из двух

основных последовательных этапов: (1) эксцен-

где константы c₀ и c₁ определяются из условий на

триситет орбиты частицы в среднем растет, тогда

границы хаотической зоны, а константы μ_c и c₂

как орбитальная энергия относительно постоянна;

определяются значениями E_min и E_max.

(2) большая полуось орбиты частицы в среднем

В численно-экспериментальных зависимостях

растет, тогда как орбитальный угловой момент от-

на рис. 9 прежде всего обращает на себя внима-

носительно постоянен. Предполагается, что первая

ние присутствие обеих диффузионных компонент

стадия переходит во вторую, когда орбита частицы

∝μ-6/7 ≈ μ-0.857 и ∝μ-2, характерных, согласно

начинает пересекать орбиту планеты.

формулам (10), для значений μ ≲ μ_c. Действи-

Согласно Шевченко (2020а), на первой ста-

тельно, согласно аппроксимациям (7) и (8), пока-

дии хаотическая диффузия идет вдоль “лестницы”

затели степеней в обоих случаях весьма близки

из перекрывающихся резонансов частица-планета

к теоретическим. Таким образом, в полученной

(p + 1):p (где целое число p ≫ 1), а на второй стадии

нами численно кривой (рис. 9) проявляется не

она идет вдоль лестницы перекрывающихся ре-

только вторая диффузионная компонента (∝μ-2),

зонансов частица-планета p:1. При p → ∞ пере-

выявленная ранее в численных данных Моррисон

крывающиеся резонансы аккумулируют в первом

и Мальхотры (2015) (см. Шевченко, 2020а), но

случае к резонансу 1:1, а во втором — к парабо-

и первая (∝μ-6/7). Что касается нормирующих

лической сепаратрисе, разделяющей связанные и

коэффициентов c₁ и c₂ и значения μ_c, численно-

несвязанные динамические состояния.

экспериментальные зависимости (7) и (8) мож-

В первом случае, как установил Уиздом (1980),

но согласовать с теоретическими (10), если для

исходя из критерия перекрытия резонансов Чири-

представительной траектории выбрать начальное

кова, с увеличением p резонансы (p + 1):p начи-

относительное отклонение ε = Δa/Δa_st по боль-

нают перекрываться при некотором критическом

шой полуоси равным ≈2/3 (что соответствует сере-

значении p = p_cr, определяемом формулой

дине хаотических слоев с границами, проходящими

по краям центрального устойчивого скопления и

p_cr ≈ 0.51μ-2/7.

(9)

внешним краям планетной хаотической зоны), а

Таким образом, резонансы (p + 1):p с p > p_cr пере-

также определить соответствующие значения E_min

крываются; их перекрытие и формирует планетную

иEmax (см.формулы(39)и(40)иихвыводвработе

хаотическую зону.

Шевченко, 2020а). Тогда при ε ≈ 2/3, как можно

показать, lg μ_c превышает -1.5, поэтому диапазон

На второй лестнице резонансов (резонансов

по μ на рис. 9 соответствует второй строке фор-

p:1) перекрытие достигается при достаточно высо-

мулы (10); первая строка описывает ситуацию вне

ких значениях эксцентриситетов частиц (Шевчен-

поля графика.

ко, 2020б). Приращение по энергии E (= -1/(2a)),

необходимое частице для ухода из системы, со-

Заметим, что компонента ∝μ-6/7, соответству-

ставляет δE = E_max - E_min, где E_min определяет-

ющая стадии хаотической диффузии уходящих ча-

ся моментом схода с первой последовательности

стиц вдоль “лестницы” из перекрывающихся ре-

перекрывающихся резонансов, а E_max зависит от

зонансов частица-планета (p + 1):p, проявляется

принятого критерия ухода. Если в качестве крите-

на рис. 9 благодаря тому, что нами принят доста-

рия принять достижение величины большой полу-

точно слабый критерий ухода частиц по большой

оси a = 2 (в единицах a_pl), то E_max = -1/4 и δE =

полуоси (всего два радиуса орбиты планеты); при

= -1/4 - E_min.

таком выборе коэффициент c₂ относительно мал,

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

810

ДЕМИДОВА, ШЕВЧЕНКО

и в результате компонента ∝ μ-2 не доминирует в

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

относительно большом диапазоне значений μ.

Бе и др. (H. Beust, J.-C. Augereau, A. Bonsor,

J.R. Graham, P. Kalas, J. Lebreton, A.-M. Lagrange,

Также отметим, что диффузионная компонента

S. Ertel et al.), Astron. Astrophys. 561, A43 (2014).

со степенным индексом -2, относящаяся к лестни-

Демидова, Шевченко (T.V. Demidova and

це перекрывающихся резонансов p:1 тоже хорошо

I.I. Shevchenko), MNRAS 463, L22 (2016).

проявляется в наших численных экспериментах,

Демидова, Шевченко, Письма в Астрон. журн. 46,

благодаря тому, что начало этой лестницы (пе-

827 (2020) [T.V. Demidova, I.I. Shevchenko, Astron.

рекрывающиеся резонансы 1:1, 2:1, 3:1) в значи-

Lett. 46, 774 (2020)].

тельной мере представлено на интервале от 1 до

Дункан и др. (M. Duncan, T. Quinn, and

2 а. е.: центр резонанса 3:1 расположен при значе-

S. Tremaine), Icarus 82, 402 (1989).

нии большой полуоси орбиты частицы a = 2.08a_pl.

Квиллен (A.C. Quillen), MNRAS 372, L14 (2006).

При этом ширина резонанса такова, что он пе-

Квиллен, Фабер (A.C. Quillen and P. Faber),

рекрывается с резонансом 2:1, иначе хаотической

MNRAS 373, 1245 (2006).

диффузии и выброса частиц не было бы. Степенной

Квиллен, Торндайк (A.C. Quillen and S. Thorndike),

индекс ≈-2, выявленный нами в расчетах, хорошо

Astrophys. J. 578, L149 (2002).

согласуется с ожидаемым из теории, а также и с

Кюхнер, Хольман (M.J. Kuchner and M.J. Holman),

Astrophys. J. 588, 1110 (2003).

численными результатами Моррисон и Мальхотры

Мальхотра (R. Malhotra), in: Solar System

(2015).

Formation and Evolution (Ed. by D. Lazzaro,

R. Vieira Martins, S. Ferraz-Mello, J. Fernand),

Astron. Soc. Pacific Conf. Ser., v. 149, p. 37 (1998).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

10.

Марино и др. (S. Marino, B. Yelverton, M. Booth,

V. Faramaz, G.M. Kennedy, L. Matr `a, and

Нами проведены массовые численные экспе-

M.C. Wyatt.), MNRAS 484, 1257 (2019).

11.

Марино и др. (S. Marino, A. Zurlo, V. Faramaz,

рименты по долговременной динамике планетези-

J. Milli, Th. Henning, G.M. Kennedy, L. Matr `a,

мальных дисков с планетами в системах одиночных

S. P ´erez, P. Delorme, et al.), MNRAS 498, 1319

звезд. С высокой точностью определены времена

(2020).

расчистки планетной хаотической зоны в зависи-

12.

Маруа и др. (C. Marois, B. Macintosh, T. Barman,

мости от массового параметра μ, отдельно для

B. Zuckerman, I. Song, J. Patience, D. Lafreni `ere,

внешней и внутренней частей хаотической зоны. В

and R. Doyon), Science 322, 1348 (2008).

полученной численно-экспериментальной зависи-

13.

Маруа и др. (C. Marois, B. Zuckerman,

мости “μ-T_cl” выявлены диффузионные компонен-

Q.M. Konopacky, B. Macintosh, and T. Barman),

ты, соответствующие обеим стадиям хаотической

Nature 468, 1080 (2010).

диффузии уходящих частиц — вдоль “лестницы”

14.

Меса и др. (D. Mesa, S. Marino, M. Bonavita,

из перекрывающихся резонансов частица-планета

C. Lazzoni, C. Fontanive, S. P’erez, V. D’Orazi,

(p + 1):p и вдоль лестницы перекрывающихся ре-

S. Desidera, et al.), MNRAS 503, 1276 (2021).

зонансов частица-планета p:1.

15.

Моррисон, Мальхотра (S. Morrison and

R. Malhotra), Astrophys. J. 799, 41 (2015).

Полученные результаты обсуждены и интерпре-

16.

Мюррей, Дермотт (C.D. Murray and S.F. Dermott),

тированы в свете существующих аналитических

Solar System Dynamics (Cambridge Univer. Press,

теорий, основанных на критерии перекрытия ре-

1999) [Мюррей К., Дермотт С., Динамика Солнеч-

зонансов средних движений (Шевченко, 2020а),

ной системы (М.: Физматлит, 2009, 2010)].

а также в сравнении с предыдущими численны-

17.

Недерландер и др. (A. Nederlander, A.M. Hughes,

ми подходами к проблеме (Моррисон, Мальхотра,

A.J. Fehr, K.M. Flaherty, K.Y.L. Su, A. Moor,

2015; Демидова, Шевченко, 2020).

E. Chiang, S.M. Andrews, et al.), Astrophys. J. 917,

17 (2021).

18.

Пирс и Уайят (T.D. Pearce and M.C. Wyatt),

MNRAS 443, 2541 (2014).

19.

Пресс и др. (W.H. Press, S.A. Teukolsky,

W.T. Vetterling, and B.P. Flannery) Numerical

Авторы благодарны рецензентам за полезные

recipes in C. The art of scientific computing

замечания. Работа поддержана в рамках гранта

(Cambridge University Press, 1992), p. 724.

075-15-2020-780 (N13.1902.21.0039) “Теоретиче-

20.

Пти, Хенон (J.M. Petit and M. H ´enon), Icarus 66,

ские и экспериментальные исследования формиро-

536 (1986).

вания и эволюции внесолнечных планетных систем

21.

Рамо и др. (J. Rameau, G. Chauvin, A.M. Lagrange,

и характеристик экзопланет” Министерства науки

A. Boccaletti, S.P. Quanz, M. Bonnefoy, J.H. Girard,

и высшего образования Российской Федерации.

P. Delorme et al.), Astrophys. J. 772, L15 (2013).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021