ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2021, том 47, № 6, с. 403-415

ИЗМЕНЕНИЕ ОРБИТАЛЬНОГО ПЕРИОДА

ВСПЫХИВАЮЩЕЙ ДВОЙНОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ ВЕТРА

ОТ АККРЕЦИОННОГО ДИСКА

¹Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия

²Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет,

Москва, Россия

³Иллинойсский университет в Урбане-Шампейне, Урбана, Иллинойс, США

⁴Казанский федеральный университет, Казань, Россия

Поступила в редакцию 26.10.2020 г.

После доработки 05.03.2021 г.; принята к публикации 30.03.2021 г.

Рассмотрен новый механизм уноса момента импульса из системы и изменения ее орбитального

периода — потерю массы в виде ветра от аккреционного диска. Мощный ветер от диска наблюдается в

рентгеновских транзиентах и модельно предсказывается. Получена аналитическая оценка увеличения

орбитального периода двойной системы с ветром от диска во время вспышки, приведены количе-

ственные оценки для систем XTE J1118+480, A0620-00 и GRS 1124-68. Темпы увеличения периода

сравнимы по модулю с наблюдаемыми темпами векового уменьшения периода. Также мы сравниваем

предсказываемые темпы изменения периода двойной системы из-за перетекания вещества в диск и

истечения из второй точки Лагранжа с наблюдаемыми. Делается вывод, что упомянутые механизмы не

могут объяснить наблюдаемое вековое уменьшение периода, и необходимо рассматривать диск вокруг

двойной системы, забирающий ее момент импульса.

Ключевые слова: рентгеновские двойные системы, ветер, транзиенты, период, аккреция.

DOI: 10.31857/S0320010821050016

ВВЕДЕНИЕ

на компактный компонент, сопровождаемый обра-

зованием горячего аккреционного диска, являюще-

Данные об изменениях орбитального периода

гося источником рентгеновского излучения.

могут содержать важную информацию о парамет-

Впервые изменение орбитального периода

рах тесной двойной системы, а также о процессах,

идущих внутри нее: перетекании вещества между

ММРД удалось обнаружить Гонсалесу Эрнандесу

компонентами, эволюции звезды-компаньона и т.д.

и др. (2012) (далее ГЭ12) при анализе наблюдений

В тесных двойных изменение орбитального пери-

системы XTE J1118+480. Оказалось, что в систе-

ода связано в основном с уменьшением момента

ме происходит уменьшение орбитального периода.

импульса (Черепащук, 2013). Данное уменьшение

В более поздних работах (Гонсалес Эрнандес и

момента импульса тесной двойной системы может

др., 2014, 2017; далее ГЭ14 и ГЭ17) уменьшение

быть вызвано различными механизмами, среди ко-

периода также было найдено для A0620-00 и

торых на данный момент выделяют три основных:

GRS 1124-68. Авторы полагают, что главным

потеря массы системой (Раппапорт и др., 1982),

источником быстрого уменьшения периода в

магнитное торможение (Вербунт, Цваан, 1981) и

данных ММРД является магнитное торможение,

гравитационные волны (Ландау, Лифшиц, 1988).

однако полученные ими модельные значения даже

Одним из типов тесных двойных систем, в кото-

в предположении достаточно сильного магнитного

рых наблюдается изменение орбитального перио-

поля находятся на один-два порядка ниже наблю-

даемых.

да, являются маломассивные рентгеновские двой-

ные (ММРД, англ. аналог: LMXB), в которых про-

В данной работе мы рассматриваем другой ме-

исходит перетекание вещества с оптической звезды

ханизм уноса момента импульса из двойной си-

стемы — потерю массы системой. Важно отме-

^*Электронный адрес: cygnusxonexray@gmail.com

тить, что ММРД демонстрируют повторяющие-

403

404

АВАКЯН и др.

ся вспышки, вызванные неустойчивостями в дис-

движение двойной системы не только за счет изме-

ке или нестационарным перетеканием вещества

нения ее массы и момента импульса, но и за счет

между компонентами. Во время вспышки темп

гравитационного влияния на систему. Кроме того,

аккреции на компактный компонент поднимается

выброшенное вещество может вернуться в систему

на несколько порядков, причем практически все

к любой из звезд, вызывая дополнительные изме-

излучение ММРД приходится на рентгеновский

нения в периоде. Например, вещество может обра-

диапазон (см., например, Чен и др., 1997). Пред-

зовать вязкий тороидальный диск вокруг двойной

положительно, во время вспышек есть отток ма-

системы (circumbinary disk), который будет эффек-

терии в виде ветра от аккреционного диска вокруг

тивно отводить момент импульса, получаемый им

компактного объекта. В пользу наличия такого

за счет приливного взаимодействия (Чен, Подсяд-

ветра в ММРД говорят современные наблюдения,

ловски, 2019, далее ЧП19).

указывающие на разлет ионизированного веще-

Помимо ветра от аккреционного диска, в си-

ства. Истечение наблюдается как в рентгеновском

стеме может происходить истечение вещества из

диапазоне по узким линиям поглощения, смещен-

внешней точки Лагранжа L₂, которая находится

ным в синюю область спектра (Диас Триго, Бой-

за менее массивным компонентом (за оптической

рин, 2016), так и в оптическом, по смещению и

звездой в случае ММРД). И, в отличие от ветра

уширению спектральных линий (Муньос-Дариас и

от диска, который наиболее активен только во

др., 2019; Касарес и др., 2019). В большинстве

время вспышки, поток материи из L₂ может при-

случаев линии поглощения в рентгеновском спек-

сутствовать постоянно и приводить к постоянному

тре наблюдаются в системах с наклонением более

уменьшению периода системы.

50 градусов. Следовательно, поглощающая плазма

В статье Крушевского (1964) приведено по-

имеет б ´ольшую плотность ближе к диску, что дает

дробное решение задачи о потере массы двойной

основания полагать, что наблюдаемое вещество

системой. В его постановке необходимо знание

истекает из диска (Хиггинботтом, Прога, 2015).

компонент скорости и координат выброшенного

Темпы потери массы в ветре по наблюдениям были

вещества, которые мы с достаточной точностью не

получены для рентгеновской двойной промежуточ-

знаем. Нами была рассмотрена более простая за-

ной массы Her X-1, в работе Косец и др. (2020),

дача, в которой не учитывается влияние выброшен-

где оценки сильно зависят от геометрии ветра: если

ного вещества на орбитальное движение системы

ветер стелется вдоль диска, то скорость потери

по мере ухода на бесконечность.

массы в ветре приблизительно равна темпу ак-

креции на компактный объект. Однако, если ветер

МОДЕЛЬ

сферически симметричный, то значения увеличи-

Ветер от аккреционного диска

ваются на порядок. В другой работе, а именно,

Понти и др. (2012), представлены наблюдаемые

Пусть вещество звезды-компаньона перетекает

оценки темпа истечения вещества для нескольких

через точку Лагранжа L₁ в полость Роша ком-

рентгеновских транзиентов, из которых следует,

пактного объекта и там становится частью аккре-

что значения отношения темпа потери вещества

ционного диска. Под влиянием облучения, магнит-

в ветре к темпу аккреции на компактный объект

ного или радиационного давления некоторая часть

лежат в диапазоне от 1 до 10. В моделированиях

вещества может уноситься прочь от диска в виде

Хиггинботтом и др. (2017), Лукетич и др. (2010),

ветра, забирая с собой как массу, так и момент

Хиггинботтом и др. (2019) оценки данного отноше-

импульса. Тем самым, меняются полная масса и

ния расположены в диапазоне от 2 до 15. Таким

полный момент импульса двойной системы. Будем

образом, как моделирования, так и наблюдения го-

предполагать, что весь ветер стартует с одного

ворят в пользу мощного потока вещества из диска.

радиуса в диске.

Рассчитаем изменение орбитального периода

Вопрос об изменении орбитального периода

в двойной системе в результате потери массы

системы. Воспользуемся третьим законом Кеплера

в виде

какой-либо компонентой системы (или обеими)

√

уже изучался ранее. Простейшая задача, описы-

A³

вающая данный процесс, об изотропном выбросе

P = 2π

(1)

газа без учета влияния выброшенного вещества на

где M — полная масса в двойной системе, а P

движение двойной системы была решена Джин-

и A—период и большая полуось. Далее найдем

сом (1928). Он предположил, что выброшенное

относительное изменение орбитального периода

вещество очень быстро удаляется, не влияя на

двойной системы ΔP/P , проварьировав (1) как

орбитальное движение. Это может иметь место

функцию переменных A и M. В результате получим

в случае сильных вспышек новых и сверхновых.

Если скорость выброса недостаточно высока, то

ΔP

3 ΔA

1 ΔM

(2)

выбрасываемое вещество влияет на орбитальное

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

ИЗМЕНЕНИЕ ОРБИТАЛЬНОГО ПЕРИОДА

405

v_ϕ

R_esc

ω_orb

R_x

L₁

L₂

Star

Compact object

Рис. 1. Схема тесной двойной системы. Точка C — центр масс системы, L1 и L2 — точки Лагранжа.

√

где P и ΔP — орбитальный период системы и его

ω_orb =

изменение соответственно. Нашей конечной целью

A³

является прямо связать ΔM/M и ΔP/P . Следова-

M =M_opt +M_x +M_disk.

тельно, необходимо выразить ΔA/A через ΔM/M.

Считаем, что после вспышки аккреционный диск

Чтобы рассчитать данное изменение большой

полностью израсходован: часть массы диска,

полуоси, мы используем закон сохранения момента

ΔM_acc, упала на компактный объект, в результате

импульса. Предполагаем, что перед вспышкой диск

представлял собой кольцо массы M_disk с характер-

чего его масса увеличилась и стала равной M′x =

= M_x + ΔM_acc, а остальная часть массы диска,

ным радиусом R_disk. Далее все “штрихованные” пе-

|ΔM_wind| = M_disk - ΔM_acc (ΔM_wind < 0), вылетела

ременные (при рассмотрении влияния ветра) будут

обозначать состояние системы после вспышки, а

из системы в виде ветра. Тогда момент импульса

все “нештрихованные” — состояние до вспышки.

системы после вспышки:

Полный момент импульса двойной системы до

J^′ = J′opt + J′x,

(6)

выброса материи на бесконечность J равен:

J′opt = M_optω′orb(R′opt)²,

J =J_opt +J_x +J_disk,

(3)

√

J′x = (M_x + ΔM_acc)ω′orb(R′x)² + ΔM_acc

GM_xR_in,

где J_opt, J_x и J_disk — моменты импульса оптической

где R_in — внутренний радиус диска (радиус по-

звезды, компактного объекта и аккреционного дис-

следней устойчивой орбиты). Пренебрегаем мо-

ка вокруг него соответственно. Они определяются

следующим образом:

ментом импульса ΔM_acc

√GM_xR_in, добавленным к

моменту импульса компактного объекта в резуль-

J_opt = M_optω_orbR^2opt,

(4)

тате аккреции, так как внутренний радиус диска

R_in много меньше других характерных радиусов

J_x = M_xω_orbR^2x,

√

задачи. После вспышки величины R_opt, R_x, w_orb и

J_disk = M_disk(ω_orbR^2x +

GM_xR_disk).

M приобретают новые значения, а именно:

Видно, что момент импульса диска состоит из ор-

R′opt = A^′(M_x + ΔM_acc)/M^′,

(7)

битального момента и момента импульса, связан-

R′x = A^′M_opt/M^′,

ного с кеплеровским вращением вокруг реляти-

√

вистской звезды. M_opt и M_x — массы оптического и

GM^′

компактного компонентов, R_opt и R_x — расстояния

ω′orb =

(A^′)³

от центров масс звезд до центра масс двойной си-

стемы, ω_orb — угловая скорость орбитального вра-

M^′ = M_opt + M_x + ΔM_acc,

щения (рис. 1):

где A^′ — значение большой полуоси после вспыш-

R_opt = A(M_x + M_disk)/M,

(5)

ки. Изменение момента импульса системы J^′ -

R_x = AM_opt/M,

- J равно моменту импульса, унесенному в ветре,

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

406

АВАКЯН и др.

ΔJ_wind (ΔJ_wind < 0) . Если ветер стартовал с ради-

Необходимо также учесть ограничение, следую-

уса R_esc, то в нем унесен момент импульса кольца

щее из физики процесса. Как было сказано выше,

с массой |ΔM_wind|, участвующего в орбитальном

момент импульса диска J_disk состоит из орбиталь-

движении и во вращении вокруг компактного объ-

ного момента J^orbdisk и момента импульса, связанного

екта:

с кеплеровским вращением вокруг компактного

ΔJ_wind =

(8)

объекта J^Kepldisk:

√

= ΔM_wind(ω_orbR2x +

GM_xA

k_esc) < 0,

J_disk = J^orbdisk + J^Kepldisk =

(11)

√

где k_esc ≡ R_esc/A. Здесь мы учитываем возмож-

=M_diskω_orbR^2x + M_disk

GM_xR_disk.

ность того, что характерный радиус диска меняет-

Момент импульса диска, связанный с вращени-

ся во время вспышки. Таким образом, истечение

ем вещества вокруг черной дыры, может только

ветра может происходить с радиуса, большего, чем

уменьшаться во время вспышки из-за того, что

характерный радиус диска в спокойном состоя-

масса диска уменьшается и диск тормозится гра-

нии (R_disk).

витационными приливными силами вблизи своей

внешней границы. В результате второе слагаемое

Подставим

(8) в уравнение J = J^′ - ΔJ_wind

J^Kepldisk после вспышки распределяется на три неот-

(ΔJ_wind < 0), найдем связь изменения большой по-

луоси из-за ветра ΔA_burst ≡ A^′ - A с уменьшением

рицательные части: (1) момент импульса вещества

полной массы системы и аккрецией:

, упавшего на компактный объект; (2) момент

acc

Kepl

импульса J_w

, унесенный ветром; (3) момент им-

1 ΔA_burst

^[ (M_opt + M_x)3/2

ind

√

(9)

пульса JKeplP, перешедший в орбитальное движение

M_opt

M_x

]

из-за приливных сил вблизи внешнего радиуса

√

ΔM_wind

диска:

×(

k_esc -

k_disk) -

M_opt + M_x

J^Kepldisk =

acc

+J^Keplwind +JKeplP,

(12)

3/2

√

(M_opt + M_x)

ΔM_acc

√

k_disk

M_disk

GM_xR_disk = ΔM_acc

GM_xR_in +

M_opt

M_x

M_opt + M_x

√

+ |ΔM_wind|

GM_xR_esc + JKeplP.

где k_disk ≡ R_disk/A по аналогии с k_esc.

Составляющей момента импульса, добавленной к

моменту импульса компактного объекта в резуль-

Поделив (9) на длительность вспышки, можно

выразить средний темп изменения большой полу-

тате аккреции

acc

, как и ранее, пренебрегаем, ибо

оси через средний темп аккреции и средний темп

она мала по сравнению c J^Keplwind и J^Kepldisk (R_in ≪ R_esc).

потери массы в ветре. Тогда, согласно (2), измене-

Тогда из (12) следует, что |ΔM_wind|

√GM_xR_esc ≤

M_wind

M_acc

ние периода в терминах

burst

≤M_disk

√GM_xR_disk. Учитывая это и вводя пара-

и q = M_x/M_opt записывается следующим образом:

метр C_w ≡ |ΔM_wind|/ΔM_acc, получим ограничение

√k_disk

burst

C_w ≤ C∗w ≡

(13)

(10)

√k_esc -√

k_disk

1+q

[

]

Отсюда следует, что при C_w = C∗w(q), т.е. когда

M_wind

3/2

√

весь начальный кеплеровский момент импульса

(1 + q)

(

k_esc -

k_disk) -

√q

M_opt

диска J^Kepldisk уносится ветром, изменение орбиталь-

ного периода двойной системы описывается следу-

M_acc

√

ющей формулой (модель Джинса):

3√1 + q

k_disk

√q

M_opt

M_wind

burst

(14)

M_wind

1+q M_opt

Поскольку

< 0, то первое слагаемое в

В частности, формула (14) применима, когда все

уравнении (10) отрицательно при условии k

вещество кольца уходит из системы без события

> k1/2disk +2/3[q1/2/(1 +q)3/2].Второе слагаемое по-

аккреции. Но такое приближение (ветер без аккре-

ложительно и обусловлено аккрецией вещества на

ции) для вспышек рентгеновских новых необосно-

компактный объект.

ванно.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

ИЗМЕНЕНИЕ ОРБИТАЛЬНОГО ПЕРИОДА

407

√

Заметим, что значение C∗w(q) накладывает огра-

ω′′orb =

ничение на параметр C_w(q), т.е. на мощность вет-

(A^′′)³

ра, только при сценарии, когда радиус истечения

вещества ветра больше первоначального радиуса

A^′′ = A + ΔA_tr,

диска, т.е. k_esc > k_disk (а значит, формула (13) имеет

смысл). В других случаях ветер от диска может

M =M_x+M_opt.

быть сколь угодно мощным.

В этом разделе по аналогии с предыдущим “штри-

Используя введенный параметр C_w, оконча-

хованные” переменные обозначают состояние

тельно перепишем формулу (10) в виде

системы после перетекания вещества, а индекс

[√

“нештрихованные” — состояние до перетекания.

burst

√

1+q

k_disk(C_w + 1) +

(15)

Тогда, учитывая J = J^′′ (полный орбитальный

момент импульса не изменяется), а также выраже-

]

ние (16), получим формулу для изменения периода

√

acc

C_w

^√1+q

k_escC_w

двойной системы за счет перетекания вещества в

31+q

M_opt

диск вокруг компактного объекта и запишем все в

терминах

˙P

,qи

M_tr

Следует отметить, что, в силу полученного огра-

ничения (13) на отношение скорости потери массы

в ветре к темпу аккреции, суммарный эффект все-

(20)

гда приводит к увеличению периода.

[

]

M_tr

√

(1 + q)3/2

Перетекание вещества в диск

k_disk

(1 + q)

√q

M_opt

Теперь обратимся к другому источнику измене-

ния периода, а именно, к перетеканию вещества

Полученное выражение приводится к классиче-

с оптической компоненты системы в полость Ро-

ской формуле, описывающей перетекание веще-

ша компактного объекта. В данном случае также

ства между компонентами точечной массы (см., на-

необходимо воспользоваться формулой (2), толь-

пример, Черепащук, 2013), путем обнуления k_disk.

ко теперь в предположении, что вещество массы

ΔM_tr (ΔM_tr > 0) перешло от звезды с точечной

Поскольку в данной работе мы рассматриваем

массой M_opt и попало в аккреционный диск на

маломассивные рентгеновские двойные системы, в

которых донором является звезда меньшей массы,

радиус R_disk без изменения полной массы системы

то относительный темп изменения периода из-за

(ΔM = 0):

перетекания вещества в диск всегда будет положи-

ΔP_tr

3 ΔA_tr

(16)

тельным (〈Ptr〉/P > 0) и будет приводить к увели-

чению орбитального периода. Отметим, что изме-

Здесь ΔP_tr и ΔA_tr — изменения орбитального пе-

нение периода в системе, вызванное ветром (мгно-

риода и большой полуоси соответственно. Также

венное значение), на 2— 3 порядка выше измене-

выпишем моменты импульса до и после перетека-

ния периода за счет перетекания вещества (мгно-

ния вещества с оптического компонента в аккреци-

венное значение).

онный диск:

√

Истечение их точки Лагранжа L₂

J =M_xM_opt

(17)

M_x + M_opt

Как утверждалось ранее, истечение вещества

может происходить не только из диска, а также из

J^′′ = M_xω′′orb(R′′x)² +

(18)

внешней точки Лагранжа L₂, которая находится за

менее массивной компонентой системы. Восполь-

+ (M_opt - ΔM_tr)ω′′orb(R′′opt)² +

зуемся работой Соберман и др. (1997) для оценки

изменения периода и получим

√

(

√

)

+ ΔM_tr(ω′′orb(R′′x)² +

GM_xR_disk),

3M˙L2

M²

L₂

(21)

где

P₁

M M_optM_x A

R′′x = A^′′(M_opt - ΔM_tr)/M,

(19)

M_L

где

(

< 0) — темп истечения вещества

R′′opt = A^′′(M_x + ΔM_tr)/M,

из точки Лагранжа L₂, RL2 — расстояние от L₂

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

408

АВАКЯН и др.

до центра масс системы (Емельянов и Салямов,

орбитальный момент двойной системы (Итикава,

1983):

Осаки, 1994).

Для оценки максимально возможного эффекта

RL2 /A ≈

(22)

влияния ветра предположим, что весь ветер стар-

1 + 1/q

тует с внешней границы диска, где вещество имеет

[

]1/3

[

]2/3

1/q

наибольший удельный момент импульса. На внеш-

нюю границу диска действуют приливные силы со

3(1 + 1/q)

стороны соседнего компонента, поэтому аккреци-

[

]

[

]4/3

1/q

онный диск не доходит до границ полости Роша

компактного объекта. Вслед за работой Сулейма-

3(1 + 1/q)

нова и др. (2008) выберем внешний радиус аккре-

Видно, что истечение из второй точки Лагранжа

ционного диска R_esc равным приливному радиусу

также приводит к уменьшению периода.

R_tid, который составляет около 90% от объемного

радиуса полости Роша R_RL, определяющегося по

формуле Эгглтона (Эгглтон, 1983):

РЕЗУЛЬТАТЫ

R_esc = R_tid = 0.9 × R_RL =

(24)

Используя полученную формулу (15), можно

0.49q2/3

определить изменение орбитального периода за

= 0.9 ×

счет ветра от диска и аккреции вещества, за-

0.6q2/3 + ln (1 + q1/3)

дав значения масс компонентов системы M_x и

где q ≡ M_x/M_opt — отношение масс релятивист-

M_opt, средние темпы оттока вещества и аккреции

ского (для которой и рассматривается полость

M_acc

M_wind и

, размер диска до вспышки R_disk,

Роша) и оптического компонентов тесной двойной

а также эффективный радиус диска R_esc, с которого

системы. Пользуясь (24), получим k_tid ≡ R_tid/A =

происходит истечение вещества. Для характерных

= 0.469, 0.520 и 0.567 для q = 5, 7 и 20 соответ-

ственно.

радиусов задачи удобно ввести параметры k_disk ≡

≡ R_disk/A и k_esc ≡ R_esc/A.

Поскольку формулы (23) и (24) являются ап-

проксимационными и были получены из различных

Если момент импульса проходящей через точку

соображений, то при достаточно больших значе-

Лагранжа L₁ материи не изменятся в ходе форми-

ниях отношения масс q (начиная с q ≈ 47.8) ра-

рования диска (что достаточно точно для типич-

диус циркулизации начинает превышать внешний

ных значений q в ММРД), то вещество образует

радиус диска, что нереалистично. Поэтому на ра-

кольцо с радиусом “циркулизации” R_circ, вращаю-

диус диска до вспышки мы накладываем условие:

щееся с кеплеровской скоростью. Мы предполага-

R_disk ≤ R_esc.

ем, что диск в спокойном состоянии до вспышки

Получив оценки (23) и (24) характерных ра-

не расплывается, и его характерный радиус R_disk

диусов задачи, исследуем, как зависит эффект

остается равным R_circ. Тогда, согласно Франк и

изменения периода двойной системы от относи-

др. (2002) (формула 4.20), имеем

(

)

тельной мощности ветра от диска. Предположим,

что средний темп аккреции на компактный объ-

R_disk = R_circ =

(23)

M_acc

ект

= 10¹⁸ г/с, что по порядку величи-

[

⁽1)]4

ны является типичным темпом аккреции во время

× 0.500 - 0.227 lg

вспышки ММРД и составляет около одной десятой

от критического эддингтоновского темпа аккреции

Например, используя

(23), находим: k_circ ≡

на невращающуюся черную дыру с массой M_x =

≡R_circ/A = 0.226,0.307 и 0.420 для q = 5,7 и 20

= 10 M_⊙.

соответственно.

Скорость потери массы в ветре будем считать

В начале вспышки из-за резкого нагрева веще-

пропорциональной темпу аккреции на черную ды-



ства в кольце и увеличения его вязкости начина-

M_wind

M_acc

ру:



=C_w ×

. На рис. 2 построе-

ется перераспределение момента импульса: часть

ны темпы относительного изменения орбитального

вещества с уменьшающимся удельным моментом

импульса падает по спирали к центру, другая часть

периода согласно (15) в зависимости от отношения

с большим удельным моментом импульса отда-

скорости потери массы в ветре к темпу аккреции

ляется, в результате чего диск расширяется до

C_w для различных соотношений масс компонент

максимальных размеров. В консервативных аккре-

ММРД системы q при R_esc = R_tid и R_disk = R_circ.

ционных дисках без ветра почти весь момент из

Кривые заканчиваются справа при C_w = C∗w(q).

диска перекачивается с его внешнего радиуса в

Однако на полуинтервале q ≳ 47.8 значения C∗w не

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

410

АВАКЯН и др.

GRS 1124-

10¹⁹

A0620-00

XTE J1118 + 480

10¹⁸

10¹⁷

t, дней после пика вспышки

Рис. 4. Эволюция смоделированных вспышек систем XTE J1118+480, A0620-00 и GRS 1124-68. Начальный темп

аккреции был принят равным эддингтоновскому. Отношение темпа потери массы за счет ветра и аккреции Cw =

= 7, 8.45, 3.87 соответственно. Параметры систем указаны в табл. 1.

существует, так как аппроксимационные формулы

аккреции для всех трех систем был принят равным

для приливного радиуса и радиуса циркулизации

критическому эддингтоновскому.

дают нефизичное соотношение (см. формулу (13)).

Код FREDDI рассчитывает вязкую эволюцию

Поэтому кривые в данном диапазоне значений

зоны диска, которая полностью ионизована. Код

q (q ≳ 47.8) являются неограниченно возрастаю-

разработан для расчета кривых блеска мягких

щими. Отметим также, что на интервалах q ≲ 0.1

рентгеновских транзиентов с быстрым ростом и

и 1.1 ≲ q ≲ 42.7 кривые являются убывающими

квазиэкспоненциальным затуханием и был моди-

функциями q, так как при данных значениях от-

фицирован для этой работы с целью учета влияния

ношения масс компонентов системы выполняется

ветра от диска (Авакян и др., 2019).

условие k

> k1/2disk + 2/3[q1/2/(1 + q)3/2].

Полученные путем моделирования темпы ак-

На рис. 3 построена величина нормированного

креции были использованы для нахождения оцен-

изменения периодаΔPP (ΔMacc )-1 в зависимости от_M

opt

ки изменения орбитального периода (рис. 5-7).

соотношения масс компонентов двойной q. Как

Отношение темпа истечения вещества в ветре к

видно из рисунка, наличие ветра для интервала

темпу аккреции на черную дыру было выбрано

значений q, типичного для ММРД, приводит к

C_w = 7;8.45;3.87 для XTE J1118+480, A0620-

уменьшению предсказываемого увеличения перио-

-00 и GRS 1124-68 соответственно. Для систем

да из-за вспышки по сравнению с консервативной

A0620-00 и GRS 1124-68 были выбраны мак-

моделью.

симально возможные в рамках модели R_esc = R_tid,

R_disk = R_circ значения отношения темпов ветра и

аккреции, а именно C_w = C∗w(q). Такие значения

Применение к реальным системам

приводят к нижней оценке на ΔP . Однако опре-

деление C∗w для тесной двойной XTE J1118+480

С помощью программного кода FREDDI¹ (Ма-

невозможно в силу равенства приливного радиуса

ланчев, Липунова,

2016; Липунова, Малан-

R_tid и радуса циркулизации R_circ (или, другими

чев,

2017) были смоделированы вспышки си-

словами, k_esc = k_disk). Это происходит, потому что

стем XTE J1118+480, A0620-00 и GRS 1124-

значение отношения масс компонентов в данной

-68 (рис. 4). Параметры моделей для систем

системе превышает граничное в 47.8. Поэтому C_w

приведены в табл. 1. Отметим, что начальный темп

было выставлено равным 7 (Лукетич и др., 2010).

¹ Код FREDDI можно загрузить с веб-страницы http://

Нижняя оценка на ΔP для этой системы реализу-

xray.sai.msu.ru/~malanchev/freddi

ется при C_w = 0 (рис. 3).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

ИЗМЕНЕНИЕ ОРБИТАЛЬНОГО ПЕРИОДА

411

Таблица 1. Параметры двойных систем XTE J1118+480, A0620-00 и GRS 1124-68, используемые при моделиро-

вании

Параметры

XTE J1118+480

A0620-00

GRS 1124-68

Ссылки*

Масса ЧД, M_x

7.06 M_⊙

6.5 M_⊙

11.0 M_⊙

[1], [2], [3]

Масса звезды, M_opt

0.10 M_⊙

0.26 M_⊙

0.89 M_⊙

[1], [2], [3]

Период системы, P

0.1699 d

0.3230 d

0.4326 d

[4], [5], [6]

Наклонение, i

74.0^◦

51.0^◦

43.2^◦

[2], [7], [3]

Параметр вязкости, α

0.1

[8]

^∗ [1] Черепащук и др. (2019a); [2] Черепащук и др. (2019b); [3] Ву и др. (2016), [4] ГЭ12; [5] ГЭ14; [6] ГЭ17; [7] Кантрелл и др.

(2010); [8] Шакура, Сюняев (1973).

Примечание. Пиковый темп аккреции равен эддингтоновскому:

M_acc,0 =

M_Edd = 1.4 × 10¹⁸ (Mx/M⊙) г/с.

Таблица 2. Изменения орбитального периода из-за вспышки ΔP_burst/ΔT_q [с/с] для систем XTE J1118+480,

A0620-00 и GRS 1124-68, согласно значениям из наших расчетов (ветер и аккреция), а также наблюдаемым и

модельным значениям из работ ГЭ и ЧП19

Параметры

XTE J1118+480

A0620-00

GRS 1124-68

Нижняя оценка в модели

6.6 × 10-11

3.9 × 10-13

9.5 × 10-13

Наблюдения (ГЭ)

-6.0 × 10-11

-1.9 × 10-11

-6.6 × 10-10

Модель 1 ГЭ

-5.4 × 10-13

-7.6 × 10-13

-8.9 × 10-13

Модель 2 ГЭ

-2.7 × 10-11

-8.6 × 10-12

-3.5 × 10-12

Гравитационные волны (ЧП19)

-3.0 × 10-13

-2.0 × 10-13

-4.0 × 10-13

Магнитное торможение (ЧП19)

-7.8 × 10-12

-3.8 × 10-12

-2.2 × 10-12

При таких параметрах средние значения из-

наступает спокойное состояние, длящееся ΔT_q.

менения орбитального периода на протяжении

Такие значения времен были выбраны не случайно,

вспышки: около 4.3 × 10-10 с/с , 9.6 × 10-11 с/с

а именно, система XTE J1118+480 вспыхивала

и 8.2 × 10-11 с/с для XTE J1118+480, A0620-

довольно часто, в 2000 и 2005 гг. (Войтех Саймон,

-00

и GRS

1124-68

соответственно. Такое

2020), чего нельзя сказать о системах A0620-00

сильное влияние ветра на орбитальный период

и GRS 1124-68, в которых вспышки не наблюда-

происходит только во время самой вспышки (около

лись с 1975 и 1991 г. (Коннорс и др., 2017; Ву и

40-90 дней, нами было выбрано значение

др., 2016). Наблюдения XTE J1118+480, исполь-

для XTE J1118+480, A0620-00 и 85 дней для

зованные в работах ГЭ12 и ГЭ14 для определения

GRS 1124-68). В спокойном же состоянии (от

уменьшения периода системы, велись с 2000 до

нескольких до десятков лет) темпы аккреции и

2012 г. В случае A0620-00 последнее измере-

ветра в диске значительно ниже, а механизмы

ние периода было произведено в 2006 г. (ГЭ14),

образования ветра могут и вовсе отключаться.

а последняя вспышка произошла в 1975 г. Для

В табл. 2 приведены рассчитанные нами зна-

GRS 1124-68 последним было измерение периода

чения изменений периодов за счет ветра от диска

в 2012 г. (ГЭ17) спустя более чем двадцать лет

и аккреции вещества для систем XTE J1118+480,

после вспышки 1991 г.

A0620-00 и GRS 1124-68 в предположении воз-

никновения одной вспышки за ΔT_q = 6, 30 и

Также, помимо наших модельных оценок, в

20 лет соответственно. Иными словами, системы,

табл. 2 приведены значения из серии работ ГЭ12,

согласно модели, пребывают 45 дней в состоянии

ГЭ14 и ГЭ17 (как теоретические, так и определен-

с высокими темпами аккреции и ветра (рис. 4),

ные из наблюдений, далее “ГЭ”) и оценки ЧП19.

когда период существенно изменяется, после чего

В работах ГЭ использовалась модель уменьшения

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

412

АВАКЯН и др.

disk

C_w = 7, k_esc = k

C_w = 7

C_w = 0

M_L

= 10¹⁶ г/с

M_L

= 10¹⁷ г/с

Наблюдения

-1

-2

100

200

300

t, дней

Рис. 5. Годовое изменение периода для системы XTE J1118+480, согласно модели (синие кривые: перетекание и

вспышка), наблюдениям, а также постоянному истечению из точки Лагранжа L2 (зеленая и красная).

1.5

C_w = 8.45, k_esc = kdisk

C_w = 0

C_w = 8.45

1.0

M_L

= 10¹⁶ г/с

M_L

= 10¹⁷ г/с

Наблюдения

0.5

-0.5

100

200

300

t, дней

Рис. 6. Годовое изменение периода для системы A0620-00, согласно модели (синие кривые: перетекание и вспышка),

наблюдениям (черная), а также постоянному истечению из точки Лагранжа L2 (зеленая и красная).

периода двойной из Йоханнсен и др. (2009), ко-

симально возможное влияние потери массы и маг-

торая учитывает магнитное торможение и потерю

нитного торможения). В табл. 2 обозначения Мо-

вещества за счет испарения черной дыры. В ГЭ

дель 1 и Модель 2 выбраны для “реалистичного”

используется два набора параметров для данной

и “экстремального” наборов параметров соответ-

модели: “реалистичный” и “экстремальный” (мак-

ственно. Все значения были приведены с целью ка-

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

ИЗМЕНЕНИЕ ОРБИТАЛЬНОГО ПЕРИОДА

413

C_w = 3.87, k_esc = k_disk

C_w = 0

C_w = 3.87

M_L

= 10¹⁷ г/с

M_L

= 10¹⁸ г/с

Наблюдения

-1

-2

100

200

300

t, дней

Рис. 7. Годовое изменениепериода для системыGRS 1124-68, согласно модели (синие кривые: перетекание и вспышка),

наблюдениям, а также постоянному истечению из точки Лагранжа (пурпурная и зеленая) L2.

чественного сопоставления мощностей различных

из-за ветра от диска, были бы наблюдения за ор-

механизмов, влияющих на эволюцию орбитальных

битальным периодом рентгеновской двойной непо-

периодов двойных систем.

средственно до и после вспышки рентгеновской

новой. Согласно нашей модели, для XTE J1118+

Изменения периода из-за вспышек мало за-

+480, A0620-00 и GRS 1124-68 орбитальные

метны на фоне наблюдаемого векового тренда

периоды систем во время вспышек при выбранных

XTE J1118+480, A0620-00 и GRS 1124-68 на

значениях C_w могут увеличиться на ≳1.6, ≳0.4 и

масштабах 6, 30 и 20 лет соответственно. Отметим,

что значения в первой строке табл. 2 не учитывают

≳0.6 мс соответственно, однако подобных наблю-

дений за данными системами пока не проводилось.

другие эффекты, вызывающие вековые изменения

орбитального периода, описанные выше, а именно,

истечение из точки Лагранжа L₂ и перетекание

ОБСУЖДЕНИЕ

вещества из оптического компонента в диск.

На рис. 5-7 для трех систем изображены из-

Согласно наблюдениям ГЭ14 и ГЭ17, три рас-

менения периодов за один год, в течение которого

смотренные ММРД с черными дырами демонстри-

происходит одна вспышка. Линиями со “ступень-

руют сильное уменьшение периода в спокойном

ками” показан суммарный эффект перетекания ве-

состоянии. Уменьшение периода из-за гравитаци-

щества в диск (выражающийся как малозаметное

онного излучения на 2-3 порядка меньше наблю-

даемых темпов (ЧП19), а оценки для магнитного

вековое увеличение периода для

M_tr

= 10¹⁶ г/с)

торможения — на порядок, даже при очень благо-

и вспышки (сама ступенька). Эффект от истечения

приятных параметрах (табл. 2). Из рассмотренных

из точки L₂ изображен для двух значений темпов

нами механизмов только истечение вещества из

потери массы, различающихся в 10 раз. Истечение

точки L2 с неправдоподобно высоким темпом могло

из точки L₂ приводит к вековому уменьшению

бы объяснить наблюдаемые темпы (рис. 5-7).

периода, но наблюдаемый темп требует слишком

Кроме этих механизмов торможения возможен

больших темпов потери массы. Видно, что для каж-

еще следующий. Вещество, выброшенное ветром

дой из трех систем истечение из L₂ могло бы объяс-

от аккреционного диска или ушедшее через точку

нять уменьшение периода порядка наблюдаемого

L2, может образовать тороидальный диск вокруг

только при очень больших, нереалистичных темпах

двойной системы (circumbinary disk). Такое коль-

потерь через L₂, особенно в случае GRS 1124-68.

цеобразное образование за счет вязкости может

Хорошим доказательством, говорящим в пользу

отводить момент приливных сил, действующий на

сильного изменения периода во время вспышки

него со стороны двойной системы, и тем самым

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

414

АВАКЯН и др.

уменьшать момент импульса двойной системы (и ее

в рассмотренных источниках, для объяснения ко-

орбитальный период). Характерное вязкое время

торых, по-видимому, надо привлекать или экстре-

эволюции этого кольца вещества значительно пре-

мально сильное магнитное торможение, или отвод

вышает вязкое время горячего диска компактного

момента импульса в кольцо вещества, окружающее

объекта, что позволяет ему эффективно отводить

двойную систему.

момент импульса без постоянной подпитки веще-

Авторы выражают благодарность К.А. Пост-

ством. В работах Mуно и Мауэрхан (2006), Ванг

нову за ценные замечания, семинару отдела

и Ванг (2014) приводятся наблюдательные сви-

релятивистской астрофизики за плодотворную

детельства в пользу существования такого диска

дискуссию, а также И.И. Антохину за коммен-

вокруг A0620-00 и XTE J1118+480. В работе

тарии. Работа АЛА была поддержана фондом

ЧП19, опирающейся на результаты Артимовича и

развития теоретической физики и математики

Любова (1994), было изучено влияние подобного

“БАЗИС” (грант № 20-2-1-106-1). Исследование

кольца на период тесной двойной системы. Со-

выполнено при поддержке Междисциплинарной

гласно их статье, наблюдаемое уменьшение пе-

научно-образовательной школы Московского

риода A0620-00 и XTE J1118+480 может быть

университета

“Фундаментальные и прикладные

объяснено, если масса подобного кольца вокруг

исследования космоса”. Разработка программного

систем приблизительно равна 10-9 M_⊙. Из на-

кода была поддержана грантом РФФИ № 18-502-

ших моделирований следует, что для A0620-00 и

12025.

XTE J1118+480 во время вспышки (даже для слу-

чая C_w = 2) масса вещества, выброшенного ветром

из диска, равна соответственно 3.4 × 10-8 M_⊙ и

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

2.4 × 10-8 M_⊙. Скорее всего, не все вещество,

Авакян и др. (A.L. Avakyan, K.L. Malanchev, and

выброшенное во время вспышки ветром, оседает

G.V. Lipunova), Proceed. of the Inter. Conf. “The

в кольце вокруг двойной, но даже в этом пред-

multi-messenger astronomy: gamma-ray bursts,

положении подобной оценки может быть доста-

search for electromagnetic counterparts to neutrino

точно для объяснения наблюдаемого уменьшения

events and gravitational waves”, 25 (2019).

периода для систем A0620-00 и XTE J1118+480.

Артимович, Любов (P. Artymowicz and

Однако для GRS 1124-68 кольцо вокруг двойной

S.H. Lubow), Astrophys. J. 421, 651 (1994).

системы должно быть тяжелее на два порядка,

Ванг, Ванг (X. Wang and Z. Wang), Astrophys. J.

а именно 10-7 M_⊙. Необходимая масса может

788, 184 (2014).

Вербунт, Цваан (F. Verbunt and C. Zwaan), Astron.

быть достигнута за одну вспышку, но в предполо-

Astrophys. 100, L7 (1981).

жении очень сильного ветра (для C_w = 10 масса

Ву и др. (J. Wu, J.A. Orosz, J.E. McClintock,

выброшенного в ветре вещества составляет 1.1 ×

I. Hasan, Ch.D. Bailyn, L. Gou, and Z. Chen),

× 10-7 M_⊙). Факт настолько сильного изменения

Astrophys. J. 825, 46 (2016).

периода GRS 1124-68 делает ее еще более инте-

Гонсалес Эрнандес и др. (J.I. Gonzalez Hernandez,

ресной для дальнейшего изучения.

R. Rebolo, and J. Casares), Astrophys. J. 744, L25

(2012).

ВЫВОДЫ

Гонсалес Эрнандес и др. (J.I. Gonzalez Hernandez,

R. Rebolo, and J. Casares), Mon. Not. Roy. Astron.

Вспышка в ММРД приводит к существенному

Soc. 438, 21 (2014).

изменению ее орбитального периода. Нами полу-

Гонсалес Эрнандес и др. (J.I. Gonz ´alez Hern ´andez,

чена общая аналитическая формула для оценки

L. Su ´arez-Andr ´es, R. Rebolo, and J. Casares),

данного эффекта с учетом ветра от аккреционного

MNRAS 465, L15 (2017).

диска и даны количественные оценки величины

Джинс (J.H. Jeans), Astronomy and Cosmogony

изменения периода для трех ММРД.

(Cambridge: Cambridge Univer. Press, 1928), p. 280.

Наблюдения различных ММРД систем и изме-

10.

Диас Триго, Бойрин (M. D

iaz Trigo and L. Boirin),

рения орбитального периода непосредственно до

Astronomische Nachrichten 337, 368 (2016).

и после вспышек могут выявить предсказанные

11.

Емельянов, Салямов (N.V. Emelyanov and

изменения периода и сопоставить их с темпами

V.N. Salyamov), Sov. Astron. 27, 442 (1983).

потери вещества за счет ветра.

12.

Итикава, Осаки (S. Ichikawa and Y. Osaki), PASJ

Также нами оценены изменения периодов из-за

46, 621 (1994).

механизмов, работающих и в спокойном состоянии

13.

Йоханнсен и др. (T. Johannsen, D. Psaltis, and

ММРД: перетекание вещества от донора в диск

J.E. McClintock), Astrophys. J. 691, 997 (2009).

вокруг черной дыры и истечение вещества из точки

14.

Кантрелл и др. (A.G. Cantrell, Ch.D. Bailyn,

L₂. Последний приводит к вековому уменьшению

J.A. Orosz, J.E. McClintock, R.A. Remillard,

орбитального периода. Однако и он не может объ-

C.S. Froning, J. Neilsen, D.M. Gelino, and L. Gou),

яснить наблюдаемые темпы уменьшения периода

Astrophys. J. 710, 1127 (2010).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

ИЗМЕНЕНИЕ ОРБИТАЛЬНОГО ПЕРИОДА

415

15.

Касарес и др. (J. Casares, T. Mu ˜noz-Darias, D. Mata

27.

Саймон (Vojt ˇech

Šimon), PASA 37, e003 (2020).

S ´anchez, P.A. Charles, M.A.P. Torres, M. Armas

28.

Соберман и др. (G.E. Soberman, E.S. Phinney, and

Padilla, R.P. Fender, and J. Garc

ia-Rojas),MNRAS

E.P.J. van den Heuvel), Astron. Astrophys. 327, 620

488, 1356 (2019).

(1997).

16.

Коннорс и др. (R.M.T. Connors, S. Markoff,

29.

Сулейманов и др. (V.F. Suleimanov, G.V. Lipunova,

M.A. Nowak, J. Neilsen, C. Ceccobello, P. Crumley,

and N.I. Shakura), Astron. Astrophys. 491,

267

C.S. Froning, E. Gallo, and J.E. Nip), MNRAS 466,

(2008).

4121 (2017).

30.

Франк и др. (J. Frank, A. King, and D.J. Raine),

17.

Косец и др. (P. Kosec, A.C. Fabian, C. Pinto,

Accretion Power in Astrophysics: Third Edition

D.J. Walton, S. Dyda, and C.S. Reynolds), MNRAS

(Cambridge, UK: Cambridge Univer. Press, 2002).

491, 3730 (2020).

31.

Хиггинботтом, Прога (N. Higginbottom and

18.

Крушевский (A. Kruszewski), Acta Astronomica 14,

D. Proga), Astrophys. J. 807, 107 (2015).

241 (1964).

19.

Ландау, Лифшиц (L.D. Landau and E.M. Lifshitz),

32.

Хиггинботтом и др. (N. Higginbottom, D. Proga,

Теоретическая физика, том II, Теория поля, 7-е

C. Knigge, and K.S. Long), Astrophys. J. 836, 42

изд., испр. (М.: Наука, 1988).

(2017).

20.

Липунова, Маланчев (G.V. Lipunova and

33.

Хиггинботтом и др. (N. Higginbottom, C. Knigge,

K.L. Malanchev), MNRAS 468, 4735 (2017).

K.S. Long, J.H. Matthews, and E.J. Parkinson),

21.

Лукетич и др. (S. Luketic, D. Proga, T.R. Kallman,

MNRAS 484, 4635 (2019).

J.C. Raymond, and J.M. Miller), Astrophys. J. 719,

34.

Чен,

Подсядловски (W.-C.

Chen and

515 (2010).

Ph. Podsiadlowski), Astrophys. J. 876, L11 (2019).

22.

Маланчев, Липунова (K.L. Malanchev and

35.

Чен и др. (W. Chen, C.R. Shrader, and M. Livio),

G.V. Lipunova), Astrophys. Source Code Library

Astrophys. J. 491, 312 (1997).

(2016).

36.

Черепащук (A.M. Cherepaschuk), Тесные двойные

23.

Mуно, Мауэрхан (M.P. Muno and J. Mauerhan),

звезды, Часть II (М.: Физматлит, 2013).

Astrophys. J. 648, L135 (2006).

24.

Муньос-Дариас и др.(T. Mu ˜noz-Darias, F. Jim ´enez-

37.

Черепащук и др. (A.M. Cherepashchuk,

Ibarra, G. Panizo-Espinar, J. Casares, D. Mata

N.A. Katysheva, T.S. Khruzina, S.Yu. Shugarov,

S ´anchez, G. Ponti, R.P. Fender, D.A.H. Buckley,

A.M. Tatarnikov, and A.I. Bogomazov), MNRAS

P. Garnavich, M.A.P. Torres, M. Armas Padilla,

490(3), 3287 (2019a).

P.A. Charles, J.M. Corral-Santana, J.J.E. Kajava,

38.

Черепащук и др. (A.M. Cherepashchuk,

E.J. Kotze, C. Littlefield, J. S ´anchez-Sierras,

N.A. Katysheva, T.S. Khruzina, S.Yu. Shugarov,

D. Steeghs, and J. Thomas), Astrophys. J. 879, L4

A.M. Tatarnikov, M.A. Burlak, and N.I. Shatsky),

(2019).

MNRAS 483, 1067 (2019b).

25.

Понти и др. (G. Ponti, R.P. Fender, M.C. Begelman,

39.

Шакура, Сюняев (N.I. Shakura and R.A. Sunyaev),

R.J.H. Dunn, J. Neilsen, and M. Coriat), MNRAS

Astron. Astrophys. 24, 337 (1973).

422, L11 (2012).

26.

Раппапорт и др. (S. Rappaport, P.C. Joss, and

40.

Эгглтон (P.P. Eggleton), Astrophys. J. 268,

368

R.F. Webbink), Astrophys. J. 254, 616 (1982).

(1983).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021