ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2021, том 47, № 6, с. 383-402

ПОСТРОЕНИЕ ШТЕККЕЛЕВСКОЙ МОДЕЛИ ГАЛАКТИКИ:

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ РЕАЛИСТИЧНОСТИ ВЕРТИКАЛЬНОГО

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ

¹Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 31.01.2021 г.

После доработки 25.03.2021 г.; принята к публикации 30.03.2021 г.

Рассмотрены способы решения задачи построения штеккелевской модели путем обобщения потен-

циала из экваториальной плоскости на все пространство. Исходные модели потенциала в плоскости

Галактики получены для трех выборок мазеров, основанных на каталогах Рида и др. (2019) и

Коллаборации VERA и др. (2020), посредством оптимизации модельной кривой вращения. Показано,

что штеккелевское обобщение исходных моделей приводит к нереалистичному вертикальному рас-

пределению плотности (сильно сжатое гало, недостаточно сжатый диск) независимо от используемой

базы данных. Рассмотрено два способа решения проблемы. В первом, более простом, накладывались

наблюдательные ограничения на закон плотности в диске и/или в гало, что привело лишь к частичному

успеху для диска (приемлемое, но не произвольное сжатие). Во втором способе, более сложном,

но более универсальном, для обобщения потенциала на все пространство использовался метод

эквипотенциалей. Показано, что это позволяет управлять вертикальной структурой модели при

штеккелевском разложении, комбинируя в модели составляющие различного заданного сжатия, в том

числе сферические, а значит, решает проблему учета данных о вертикальной структуре Галактики при

штеккелевском моделировании. Этим способом по мазерам и на основе кривой круговой скорости по

данным о ярких красных гигантах (Айлерс и др., 2019) построен набор физически адаптированных

трехкомпонентных (гало, тонкий диск, балдж/толстый диск) штеккелевских моделей Галактики при

разных предположениях о вертикальной структуре ее составляющих.

Ключевые слова: штеккелевские модели потенциала, вертикальное распределение плотности, мазер-

ные источники, красные гиганты, Галактика (Млечный Путь).

DOI: 10.31857/S0320010821050053

1. ВВЕДЕНИЕ

ξ₁ ∈ [1,∞), ξ₂ ∈ [-1,1] таких, что

√(

)(

)

Потенциалы, допускающие разделение пере-

R=z₀

ξ²¹ - 1

1-ξ²²

z=z₀ξ₁ξ₂,

менных в уравнении Гамильтона-Якоби, а следо-

где R и z — цилиндрические координаты,

z₀

вательно, и возможность его решения, традици-

— параметр размерности длины, эти потенциалы

онно вызывают интерес исследователей в области

представляются в виде

механики, в частности, звездной динамики. Ре-

шение этого уравнения позволяет описывать как

ϕ₁(ξ₁) - ϕ₂(ξ₂)

движение отдельной звезды, так и статистические

Φ=

(1)

ξ²¹ - ξ²

характеристики всей звездной системы, а потен-

циалы указанного типа дают возможность строить

где ϕ₁(ξ₁), ϕ₂(ξ₂) — произвольные функции.

фазовые модели звездных систем.

Хори (1962) показал, что штеккелевский потен-

Самой известной группой разделяющихся по-

циал может быть очень хорошей аппроксимацией

тенциалов являются потенциалы Штеккеля (1890),

реального потенциала Галактики (на примере полу-

которые использовались им для решения механи-

эмпирической модели Шмидта) с расхождениями

ческих задач, а в звездную динамику были введены

менее 10%, а в окрестности Солнца — менее 5%.

Эддингтоном (1915). В эллиптических координатах

Таким образом, задачу движения в сепарабельном

потенциале можно рассматривать как применение

^*Электронный адрес: granat08@yandex.ru

метода возмущений к реальному потенциалу.

383

384

ГРОМОВ, НИКИФОРОВ

Условие существования штеккелевских потен-

обозначение ϕ(ξ). Далее в статье функция ϕ(ξ)

циалов в эллиптических координатах имеет вид

(с индексами, соответствующими компонентам Га-

[(

)

]

лактики, или без) имеет тот же смысл. В рабо-

∂²

ξ²¹ - ξ²²

= 0,

те Родионова (1974) также приводятся формулы

∂ξ₁∂ξ₂

для определения ϕ(ξ), если потенциал задан в

а в цилиндрических координатах выражается как

некотором столбе R = R_∗ = const, что позволяет

(

)

∂Φ

(

) ∂2Φ

использовать, например, данные о потенциале в

-R

R² + z²⁰ - z²

+ (2)

окрестности Солнца.

∂R

∂z

∂R∂z

)

Как отмечает Родионов (1974), лучше всего

⁽∂²Φ

∂²Φ

+ Rz

= 0.

определять потенциал двумя различными функци-

∂R²

∂z²

ями ϕ(ξ), одна из которых задает поведение по-

Это же условие является ограничением, наклады-

тенциала в экваториальной плоскости, а другая —

в вертикальном направлении.

ваемым на потенциал третьим квадратичным инте-

гралом движения Кузмина (1952)

Укажем работы, в которых штеккелевские мо-

дели Галактики строились с учетом наблюдатель-

I₃ = (Rv_z - zv_R)² + z²v2θ + z²⁰(v2z - 2Φ^∗),

ных данных. Сато, Миямото (1976) применили ме-

где

тод (которого придерживаемся и мы) оценки пара-

∗

∂Φ

метров модели по азимутальным скоростям объ-

z²

=z²

- Rz

⁰ ∂R

∂R

∂z

ектов, но для очень маленькой выборки; исполь-

∗

(

зованные в работе данные и часть предположений

∂Φ

) ∂Φ

∂Φ

z²

R² + z²

- Rz

теперь устарели. Фамаэ, Дейонге (2003) получи-

⁰ ∂z

∂z

∂R

ли несколько штеккелевских моделей Галактики,

Таким образом, штеккелевские модели допускают

основанных на производных динамических харак-

такой интеграл. Существование третьего интегра-

теристиках (плоская кривая вращения, параметры

ла (помимо двух классических интегралов энер-

Оорта, околосолнечное значение плотности и др.),

гии и площадей) позволяет, например, объяснить

т.е. без использования исходных данных о враще-

наблюдаемую в окрестности Солнца трехосность

нии Галактики, отмечая, однако, необходимость в

эллипсоида скоростей.

будущем строить модели именно по ним.

Мы решаем задачу построения штеккелевской

Отдельно следует отметить работы, в которых

модели, наиболее близкой к реальному потенциалу

был разработан алгоритм нахождения функции

Галактики. В основе нашего подхода лежит метод

распределения фазовой плотности для моделей

Родионова (1974), который позволяет обобщать

со штеккелевскими потенциалами, основанный на

потенциал, заданный в одно- или двумерной об-

вычислении переменных действие-угол (см., на-

ласти, на все трехмерное пространство штекке-

пример, Бинни, 2012). В рамках данного подхо-

левским образом. Так, если потенциал задан в

да был предложен ряд функций фазовой плотно-

экваториальной плоскости, то функции ϕ(ξ) опре-

сти, аргументами которых являются переменные

деляются как

(

)

действия и которые дают функции распределения

√

ϕ(ξ) = ξ² Φ R = z₀

ξ² - 1,z = 0

(3)

скоростей, согласующиеся с наблюдениями (см.,

например, Бинни, Мак-Милан, 2011; Пости и др.,

а если потенциал задан на оси симметрии, то

2015). Однако используемый в работах этого на-

ϕ(ξ) = Φ (R = 0, z = 0) -

(4)

правления, в целом перспективного, алгоритм вы-

(

)

числения функций ϕ(ξ), названный его авторами

−

1-ξ²

Φ (R = 0, z = z₀ξ) .

St ¨ackel fudge (“штеккелевская подгонка”; Бинни,

Поскольку области определения координат ξ₁

2012; Сандерс, Бинни, 2016), является в некоторых

и ξ₂ различны, имея лишь одну общую точку ξ₁ =

отношениях приближенным. В этом алгоритме в

= ξ₂ = 1, здесь ξ₁ и ξ₂ были заменены на перемен-

предположении, что потенциал обладает свойства-

ную ξ ∈ [-1, ∞), которая в зависимости от прини-

ми штеккелевского, функция ϕ(ξ) определяется

маемого значения является одной из координат или

для каждой орбиты по нескольким ее точкам, что

представляет точку (ξ₁, ξ₂) = (1, 1):

связано с численным нахождением некоторых ин-

{

тегралов. Значения z₀ в разных точках орбиты и для

ξ₁, ξ ≥ 1,

разных орбит, вообще говоря, могут различаться.

ξ=

Однако постоянство z₀ является условием сохра-

ξ₂,

-1 ≤ ξ ≤ 1.

нения интеграла I₃, поэтому возникает вопрос,

Также здесь — в случае, когда функции ϕ₁(ξ₁) и

какой из интегралов I₃ для различных z₀ являет-

ϕ₂(ξ₂) одинаково выражаются через свои аргу-

ся аргументом фазовой плотности. Сами функции

менты, — для обеих функций используется общее

ϕ(ξ) получаются путем дальнейшей интерполяции

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

ПОСТРОЕНИЕ ШТЕККЕЛЕВСКОЙ МОДЕЛИ ГАЛАКТИКИ

385

по точкам орбит. Алгоритм штеккелевской под-

рассматриваем два возможных способа решения

гонки был применен в работе Бинни, Вона (2017)

этой проблемы. Один из способов приводит к

для построения фазовой модели системы шаровых

очевидному успеху, фактически давая средства

скоплений Галактики.

управления вертикальной структурой итоговой

штеккелевской модели.

Используемый нами метод не требует вычисле-

ния интегралов на стадии задания функций ϕ(ξ) и

позволяет получать аналитические выражения для

2. МОДЕЛЬ В ЭКВАТОРИАЛЬНОЙ

них, а значит, определять точные значения ϕ(ξ) в

ПЛОСКОСТИ И ЕЕ ШТЕККЕЛЕВСКОЕ

любой точке рассматриваемой области простран-

ОБОБЩЕНИЕ

ства. Хотя численное интегрирование понадобится

Компоненты Галактики в исходном потенциале

в дальнейшем — для вычисления действий при

были заданы соответствующими потенциалами в

нахождении фазовой плотности, — определение

экваториальной (галактической) плоскости. Мы

функций ϕ(ξ) в явном виде понижает роль чис-

использовали полностью аналитическую модель

ленных методов в данной задаче и повышает

исходного потенциала, чтобы получить аналити-

точность результатов. Кроме того, наш подход

ческую штеккелевскую модель, и те выражения

предполагает постоянное значение параметра z₀

для компонент, которые не создавали особенно-

во всей рассматриваемой области, а значит, I₃

стей при обобщении. Гало представлялось квази-

имеет одинаковый вид в каждой ее точке. Метод

изотермическим потенциалом Кузмина и др. (1986)

Родионова и “штеккелевская подгонка” являются,

(

)

по сути, альтернативными подходами к решению

одной и той же задачи; сейчас трудно сказать,

Φ₁ (R,0) = Φ0,1 ln

(5)

w(R)

какой из них окажется в итоге более удачным.

Применение метода Родионова к данным о вра-

где функция w(R) определяется как

щении Галактики для моделей разного компонент-

R²

ного состава (Громов и др., 2015, 2016; Громов,

w²(R) = 1 + κ²

(6)

¹R²

Никифоров, 2021) привело к построению штекке-

левских моделей, согласующихся с оценками ряда

Здесь R₀ — произвольный масштабный параметр,

галактических характеристик. Например, получе-

приравненный к принятому в работе расстоянию от

ны близкие к наблюдаемому значения простран-

Солнца до центра Галактики 8.15 кпк (Рид и др.,

ственной плотности в окрестности Солнца. Кроме

2019). Диск описывался обобщенно-изохронным

того, в моделях удалось избежать отрицательных

потенциалом (Кузмин, Маласидзе, 1969)

значений плотностей, которые появлялись на на-

чальных этапах наших исследований. Вместе с

Φ₂ (R,0) = Φ0,2

√

(7)

тем эти модели имеют существенный недостаток —

(α - 1) +

1+κ²²R2

нефизичное сжатие модели в целом и отдельных

Для представления центральной компоненты

компонент. В частности, наиболее реалистичная по

(условный “балдж”) выбран потенциал Миямото-

компонентному составу (балдж, диск и гало) мо-

Нагая (1975)

дель приводит к сильно сжатому гало и избыточно

сжатому балджу, а также к неправдоподобному

Φ₃ (R,0) = Φ0,3√

(8)

вертикальному распределению пространственной

R² + κ²

плотности диска (Громов, Никифоров, 2021). Од-

Тогда штеккелевское обобщение потенциала из эк-

нако следует заметить, что вертикальная структура

ваториальной плоскости на трехмерное простран-

моделей получалась нефизичной и в других работах

ство, согласно (3), приводит к следующим функци-

данного направления: так, эквиденситы (кривые

ям ϕ(ξ) для этих компонент:

равной плотности) для дисковых компонент моде-

[

]

ли, построенные Фамаэ, Дейонге (2003) и Бинни,

Воном (2017), в общем случае также неправдопо-

ϕh(ξ) = ξ²Φ0,1 ln 1+

√

(9)

добны.

1 + κ²¹z20 (ξ² - 1)

В настоящей работе метод штеккелевского

обобщения потенциала применяется к исходной

Φ0,2

√

ϕd(ξ) = ξ²

трехкомпонентной модели, которая строится для

(α - 1) +

1 + κ²²z20 (ξ² - 1)

галактической плоскости по новым данным о

(10)

мазерах с тригонометрическими параллаксами. Ни

обновление данных, ни некоторая модификация

ϕb(ξ) = ξ²Φ0,3√

(11)

исходного потенциала не привели к повышению

z²⁰ (ξ² - 1) + κ²

реалистичности модельного вертикального распре-

деления плотности. Поэтому далее в работе мы

Для всей Галактики ϕ(ξ) = ϕ_h(ξ) + ϕ_d(ξ) + ϕ_b(ξ).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

386

ГРОМОВ, НИКИФОРОВ

Таким образом, при данном подходе функция

все объекты из каталога Рида и др. (2019), два

ϕ(ξ), необходимая для получения штеккелевского

HMSFRs (G125.51+02.03 и IRAS21379+5106)

потенциала согласно (1), задается в явном виде:

из каталога VERA и один (G305.20+0.208) из

она основана на выражении для потенциала в эк-

каталога в работе Расторгуева и др. (2017). Две

ваториальной плоскости и аналитическим образом

другие основывались на каталоге VERA, менее

продолжена во все пространство.

однородном. Одна из этих выборок содержала

При описании “балджа” мы отказались от по-

только области образования звезд (различных

масс, далее SFRs). Другая включала объекты

тенциала Хернквиста (1990), использованного в

наших предыдущих работах, в силу того, что при

каталога VERA всех типов: SFRs, звезды поздних

типов (преимущественно на асимптотической ветви

штеккелевском обобщении функции ϕ(ξ) для него

гигантов, AGB), красные сверхгиганты (RSGs);

получаются особенности при ξ = 1. Выражение

далее выборка VERA. Степень однородности вы-

для потенциала, предложенное Миямото, Нага-

борок существенна для процедуры обработки дан-

ем (1975), не имеет этого недостатка. Как повлияет

ных, так как разные типы объектов, содержащих

подобное изменение вида исходного потенциала

мазеры, могут иметь кратно различные дисперсии

на вертикальное распределение в штеккелевской

скоростей (Громов, Никифоров, 2021). Для учета

модели, представляет отдельный интерес.

кинематической неоднородности выборки VERA

Оценка параметров потенциала в экватори-

находились одновременно два значения природной

альной плоскости для принятого его общего ви-

дисперсии — для SFRs (σ20,1) и для всех осталь-

да (5)-(8) проводилась путем оптимизации мо-

дельной кривой вращения по отношению к азиму-

ных объектов (σ20,2). Выборки HMSFRs и SFRs

тальным скоростям θ_i. Величины последних нахо-

рассматривались как однородные. Использование

дились по измерениям тригонометрических парал-

каталогов Рида и др. (2019) и VERA, созданных

лаксов, собственных движений и лучевых скоро-

разными исследовательскими группами, позволяет

стей мазеров с использованием процедуры, опи-

оценить зависимость результатов от типа мазерных

санной в статье Громова и др. (2016), для значений

источников и от набора данных.

расстояния от Солнца до центра Галактики R₀ =

Определение для каждой выборки параметров

= 8.15 кпк, компонент пекулярной скорости Солн-

потенциала и одного или двух значений природ-

ца u_⊙ = 10.7 км/с, w_⊙ = 7.7 км/с и линейной ско-

ной дисперсии, а также исключение объектов с

рости вращения Солнца вокруг центра Галактики

выбросами в данных проводилось по тому же

итеративному алгоритму, что и в работе Громова,

θ_⊙ = 247 км/с (Рид и др., 2019). Решение искалось

Никифорова (2021).

методом наименьших квадратов: минимизирова-

лась целевая функция

Выборки SFRs и VERA содержат всего один

объект (Sgr B2) в центральной части Галактики,

∑

что делает фактически невозможным оценку по ним

L² = p_i [θ_i - θ_C(R_i)]² ,

(12)

параметров центральной компоненты. Поэтому при

i=1

обработке этих выборок значения Φ0,3 и κ₃ фикси-

где θ_i — точечная оценка азимутальной скорости

ровались равными тем, которые были получены в

i-го объекта по данным наблюдений, θ_C (R_i) =

результате анализа выборки HMSFRs. При этом



dΦ

объект Sgr B2 был исключен из выборок SFRs и



= -R

— модельная (формально кру-



VERA.

R=R_i

В табл. 1 приведены финальные оценки пара-

говая) скорость на галактоосевом расстоянии

метров потенциала в галактической плоскости и

i-го объекта как функция параметров потенциала,

характеристики решения по рассмотренным вы-

p_i = (σ2i + σ²⁰)-1 — весовые коэффициенты, σ_i —

боркам. Так как в некоторых вариантах расчетов

средняя ошибка измерения θ_i, σ²⁰ — природная (не

в настоящей работе значение параметра β полу-

вызванная погрешностями измерений) дисперсия

чается предельным (β → ∞), вместо него оцени-

азимутальных скоростей объектов, N — число

вался связанный с ним параметр q =

∈ [0; 1].

объектов в выборке.

β+1

В качестве основных источников данных об

Значения стандарта σ₀ природной дисперсии для

объектах, содержащих мазеры, использовались

мазеров HMSFRs (фактически каталога Рида и

каталоги Рида и др.

(2019) и Коллаборации

др., 2019) получились в 3-4 раза меньше, чем у

VERA и др. (2020) (далее каталог VERA). Были

выборок на основе каталога VERA, что говорит

рассмотрены три выборки разной степени одно-

о существенной, по крайней мере, кинематической

родности по типу объектов. Первая, наиболее

неоднородности последнего даже в рамках клас-

однородная, выборка состояла только из областей

са SFRs. Для почти всех параметров потенциала

образования массивных звезд (далее HMSFRs):

оценки по разным выборкам согласуются друг с

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

ПОСТРОЕНИЕ ШТЕККЕЛЕВСКОЙ МОДЕЛИ ГАЛАКТИКИ

387

Таблица 1. Результаты моделирования потенциала в плоскости Галактики по выборкам мазеров HMSFRs, SFRs и

VERA

Характеристика

HMSFRs

SFRs

VERA

202 → 198

64 → 62

95(64 + 31) → 92(62 + 30)

σ₀ или σ0,1, км/c

7.64 ± 0.55 →

23.7 ± 3.2 →

23.4 ± 2.5 →

→ 6.11 ± 0.44

→ 19.9 ± 2.7

→ 19.6 ± 2.2

σ0,2, км/c

26.0 ± 2.8 → 22.8 ± 2.5

1-0.046

0.86 ± 0.15

1-0.19

κ₁

0.0429 ± 0.0010

0.0379 ± 0.0041

0.0309 ± 0.0032

Φ0,1, км²/c²

263.5 ± 12.5

285 ± 55

274 ± 54

0.1826 ± 0.0069

0.205 ± 0.038

0.209 ± 0.030

κ₂, кпк-1

0.1093 ± 0.0026

0.1049 ± 0.0093

0.1043 ± 0.0069

Φ0,2, км²/c²

304.8 ± 2.3

315.5 ± 11.7

328.6 ± 11.3

Φ0,3, км²/c²

226.9 ± 8.8

(226.9)

κ₃, кпк

2.01 ± 0.29

(2.01)

Примечание. В строке “N” указаны начальный и конечный (после исключения выбросов) объемы каждой выборки, разделен-

ные знаком “→”, при этом для выборки VERA в скобках дано количество объектов SFRs (первое число) и суммарно AGB и

RSGs (второе число) в выборке. Для природных дисперсий азимутальных скоростей (σ0 или σ0,1, σ0,2) также представлены

значения до и после исключения выбросов. Оценки параметров потенциала приведены для конечных выборок.

другом с учетом статистической неопределенности.

оценок оказалась значимой в рамках принятых

Исключение составляет масштабный фактор га-

предположений¹ , данные каждой из выборок были

ло κ₁, который по выборке VERA получился зна-

скорректированы одинаковым образом на полу-

чимо (3.6σ) меньше (в ≃1.4 раза), чем по HMSFRs,

ченный для нее асимметричный сдвиг: θi,corr = θ_i -

что может отражать динамическую неоднородность

- Δθ_ad. Здесь мы предполагаем постоянство Δθ_ad

каталога VERA из-за включения в него объектов

с галактоосевым расстоянием, как это фактически

более поздних классов (например, AGB); на ди-

сделано Ридом и др. (2019) при построении кривой

намическую выделенность AGB указывают и са-

вращения по мазерам. Параметры потенциала в

ми авторы каталога (Коллаборация VERA и др.,

галактической плоскости, заново найденные для

2020). На рис. 1 кривые вращения для полученных

θi,corr при прежних значениях σ₀ (см. табл. 1), при-

моделей потенциала представлены в сопоставле-

ведены в табл. 2. Для новых результатов сделанные

нии с наблюдательными данными.

ранее выводы о степени зависимости парамет-

Из-за ненулевой дисперсии скоростей мазеров

ров от выборки в основном сохраняются. Новые

модельные кривые на рис. 1 описывают зависи-

оценки κ₁ и по SFRs, и по VERA маргинально

мость от R, строго говоря, не круговой скорости,

значимо (на уровнях 2.4σ и 2.8σ соответственно)

а средней азимутальной. Для трех выборок мазе-

отличаются от оценки по HMSFRs. Эти модели,

ров был оценен асимметричный сдвиг Δθ_ad = v_⊙ -

скорректированные за Δθ_ad, и будут использованы

- [θ_⊙ - θ_C (R₀)] при пекулярной скорости Солнца

в качестве исходных при дальнейшей работе, за

в направлении вращения Галактики v_⊙ = 11.0 ±

исключением случаев применения условной опти-

± 2 км/с (Блэнд-Хоторн, Герхард, 2016), θ_⊙ =

мизации. Кривые круговой скорости в сравнении с

= 247 ± 4 км/с (Рид и др., 2019); здесь величина

кривыми средней скорости вращения, полученны-

θ_C(R₀) для полученной модели рассматривается

ми на предыдущем этапе, представлены на рис. 2а-

как средняя скорость вращения мазеров на сол-

в. В результате коррекции за асимметричный сдвиг

нечном круге. Найдены величины Δθ_ad = -7.1 ±

кривые круговой скорости по трем выборкам прак-

± 0.6, -2.6 ± 2.9 и -0.1 ± 3.2 км/c (ошибки —

статистические) для выборок HMSFRs, SFRs и

¹ Систематическая ошибка, равная для всех оценок, —

VERA соответственно. Хотя только первая из

±4.5 км/с.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

388

ГРОМОВ, НИКИФОРОВ

300

(а)

±σ₀

200

100

R₀

R, кпк

300

(б)

±σ₀

200

100

R₀

R, кпк

300

(в)

±σ_0, ₁

±σ_0, ₂

200

100

R₀

R, кпк

Рис. 1. Кривые вращения Галактики для моделей потенциала, аппроксимирующих данные о мазерных источниках. (а) —

Решение по выборке HMSFRs; кружки — объекты каталога Рида и др. (2019), квадраты — два объекта из каталога

Коллаборации VERA и др. (2020), ромб — объект из каталога Расторгуева и др. (2017) (см. текст). (б) — Решение

для выборки SFRs. (в) — Решение для выборки VERA; кружки — SFRs, квадраты — другие типы объектов. Кривые

круговой скорости: сплошная линия — трехкомпонентная модель, штриховая линия — гало; пунктирная линия —

диск; штрихпунктирная линия — центральная компонента. Светлые символы обозначают исключенные объекты. Бары

соответствуют измерительным ошибкам азимутальных скоростей мазеров; в некоторых случаях бар меньше размера

символа, обозначающего объект. Бары в левом верхнем углу отображают в масштабе вертикальной оси найденные

величины природных дисперсий.

тически совпали друг с другом на R ≲ 12 кпк,

асимметричного сдвига с ростом природной дис-

лишь вне этой области кривые по SFRs и VERA

персии скоростей может объясняться тем, что по-

проходят ниже кривой по HMSFRs на несколько

вышенная дисперсия скоростей для выборок SFRs

километров в секунду (рис. 2г).

и VERA преимущественно не носит динамического

Заметим, что отсутствие увеличения по модулю характера, а обусловлена большими скоростями

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

ПОСТРОЕНИЕ ШТЕККЕЛЕВСКОЙ МОДЕЛИ ГАЛАКТИКИ

389

Таблица 2. Параметры моделей потенциала в плоскости Галактики, скорректированных за асимметричный

сдвиг Δθ_ad

Характеристика

HMSFRs

SFRs

VERA

Δθ_ad, км/c

(-7.1)

(-2.6)

(-0.1)

1-0.042

1-0.15

1-0.17

κ₁

0.0432 ± 0.0010

0.0352 ± 0.0032

0.0333 ± 0.0034

Φ0,1, км²/c²

266.3 ± 11.6

284.3 ± 46

262.0 ± 49

0.1925 ± 0.0062

0.204 ± 0.035

0.208 ± 0.031

κ₂, кпк-1

0.1020 ± 0.0029

0.1030 ± 0.0094

0.1011 ± 0.0069

Φ0,2, км²/c²

313.2 ± 1.9

318.0 ± 10.4

326.0 ± 8.3

Φ0,3, км²/c²

231.0 ± 7.4

(231.0)

κ₃, кпк

1.40 ± 0.26

(1.40)

мазерных пятен и деталей относительно их цен-

Параметр z₀, необходимый для построения

тральных звезд (см. Коллаборация VERA и др.,

штеккелевского потенциала, определялся из соот-

ношения

2020).

)

∂Φ(R,0)

⁽∂²Φ(R,0)

∂²Φ(R,0)

-4

∂R

∂R²

∂z

z²⁰(R) =

-R²,

(13)

∂³Φ(R,0)

∂z²∂R

которое является следствием выражения (2). Здесь

центру системы, определяя в том числе крупномас-

требуется потенциал Φ(R, z), учитывающий в отли-

штабную структуру модели (Родионов, 1985).

чие от построенных моделей потенциала в плоско-

На рис. 3 приведены эквиденситы, получен-

сти Галактики, данные о вертикальном распреде-

ные путем подстановки штеккелевского потенци-

лении. В качестве такового использовался потен-

ала в уравнение Пуассона, при плотности ρ =

циал Гарднера и др. (2011). При построении функ-

= 0.1 M_⊙/пк³ для всей модели и отдельных ее

ции (13) I₃ рассматривается как квази-интеграл,

значение которого приблизительно постоянно в

компонент для каждой выборки. Параметры ис-

пределах большой области, и параметр z₀ кото-

ходных потенциалов принимались равными ука-

рого может несущественно варьироваться с из-

занным в табл. 2. Эквиденситы показывают, что

менением R. Потенциал Гарднера и др. (2011)

модели плохо согласуются с данными о вертикаль-

привел к наименьшим колебаниям z₀ по срав-

ном распределении плотности. Модельный диск

нению с другими рассмотренными потенциалами

получился более толстым по сравнению с вер-

(см., например, Фелльхауэр и др., 2006; Иргэнг и

тикальным масштабом тонкого диска Галактики

др., 2013). Подобные функции для z₀ строились

300 ± 50 пк (Блэнд-Хоторн, Герхард, 2016). По

Эйнасто, Рюммелем (1970) и Осипковым (1975).

звездным подсчетам сжатие внутреннего гало Га-

Здесь принято значение z₀ = 5.3 кпк, полученное

лактики составляет 0.65 ± 0.05, внешнего — 0.8 ±

для потенциала Гарднера и др. (2011) в окрест-

± 0.1 (Блэнд-Хоторн, Герхард, 2016); в моделях

ности Солнца R = R₀ = 8.15 кпк (Громов и др.,

гало часто принимается сферическим. Сжатие мо-

2016), которое используется далее как постоянное

дельного гало 0.24 на рис. 3 противоречит этим

во всей рассматриваемой области. Это значение

данным. Центральную компоненту также иногда

согласуется с ранними оценками z₀ = 2.2-7 кпк

полагают сферической (классический балдж), хотя

(Кузмин, 1953, 1956; Маласидзе, 1973). Параметр

отношение ее осей, если ею представлять галак-

z0 характеризует степень концентрации массы к тический бар, должно быть ∼0.35 (Блэнд-Хоторн,

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

390

ГРОМОВ, НИКИФОРОВ

300

(а)

(б)

200

100

R, кпк

300

(в)

(г)

200

100

R, кпк

Рис. 2. (а)-(в) — Сравнение кривой круговой скорости (сплошная линия), полученной после коррекции за асиммет-

ричный сдвиг, с кривой средней скорости вращения (пунктирная линия) для выборок HMSFRs (а), SFRs (б) и VERA

(в) соответственно. (г) — Сравнение трех кривых круговой скорости для выборок HMSFRs (сплошная линия), SFRs

(пунктирная линия) и VERA (штрихпунктирная линия). Последние две кривые практически совпадают.

Герхард, 2016). Таким образом, “балджи” моде-

распределении при штеккелевском моделировании.

лей с отношением осей 0.27 на рис. 3 являют-

Два таких способа рассматриваются ниже.

ся избыточно сжатыми. Замена выражения для

3. УЧЕТ ДАННЫХ О ВЕРТИКАЛЬНОМ

центральной компоненты исходного потенциала в

РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ

настоящей работе практически не изменила сжатие

ШТЕККЕЛЕВСКОЙ МОДЕЛИ

“балджа” в штеккелевском потенциале (ср. рис. 4

Условная оптимизация

в статье Громова, Никифорова, 2021). При смене

Для большинства дисковых галактик, види-

выборки объектов указанные недостатки штекке-

мых с ребра, изменение звездной плотности с z-

левской модели сохраняются (рис. 3). Несомненно,

координатой описывается барометрическим зако-

для решения проблемы нужна разработка специ-

ном, предложенным Паренаго (1940),

альных способов учета сведений о вертикальном

ρ(z) = ρ₀ exp(-|z|/h_z ),

(14)

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

ПОСТРОЕНИЕ ШТЕККЕЛЕВСКОЙ МОДЕЛИ ГАЛАКТИКИ

391

(а)

1.0

0.5

-0.5

-1.0

R, кпк

(б)

1.0

0.5

-0.5

-1.0

R, кпк

(в)

1.0

0.5

-0.5

-1.0

R, кпк

Рис. 3. Эквиденситы (кривые равной плотности) ρ = 0.1 M⊙/пк³ для моделей, полученных штеккелевским обобщением

исходныхпотенциаловв экваториальной плоскости(табл. 2) по выборкам HMSFRs (а), SFRs (б) и VERA (в). Сплошная

линия — трехкомпонентная модель, штриховая линия — гало; пунктирная линия — диск; штрихпунктирная линия —

центральная компонента (“балдж”).

где ρ₀ — значение плотности в плоскости диска,

них галактик, видимых с ребра, параметр полу-

h_z — параметр полутолщины (см., например, Лок-

толщины лежит в пределах 200-600 пк (Фридман,

тин, Марсаков, 2009). A-B-звезды III-V классов

Хоперсков, 2011). При этом у галактик поздних

светимости образуют слой полутолщиной пример-

морфологических типов вертикальная шкала не

но 200 пк; F III — F V-звезды и G- и K-гиганты

сильно изменяется с удалением от центра; по-

простираются до |z| = 400 пк (Локтин, Марсаков,

добное поведение h_z, по-видимому, имеет место и

2009). Согласно обзору Блэнда-Хоторна, Герхар-

да (2016), h_z = 300 ± 50 пк для тонкого и 900 ±

в нашей Галактике (Фридман, Хоперсков, 2011).

± 180 пк для толстого дисков Галактики. Для внеш- Поэтому будем считать значение h_z в (14) посто-

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

392

ГРОМОВ, НИКИФОРОВ

Таблица 3. Результаты моделирования потенциала в плоскости Галактики в предположении барометрического

закона для диска при h_z = 900 пк с учетом асимметричного сдвига Δθ_ad

Характеристика

HMSFRs

SFRs

VERA

202 → 198

64 → 63

95(64 + 31) → 92(62 + 30)

σ₀ или σ0,1, км/c

8.16 ± 0.60 →

23.9 ± 3.2 →

23.7 ± 2.5 →

→ 7.07 ± 0.52

→ 24.2 ± 3.3

→ 20.1 ± 2.2

σ0,2, км/c

26.1 ± 2.8 → 23.2 ± 2.5

Δθ_ad, км/c

(-7.5)

(-4.0)

(-0.5)

0.5072 ± 0.0091

0.501 ± 0.040

0.509 ± 0.064

κ₁

0.1021 ± 0.0028

0.101 ± 0.014

0.0669 ± 0.0086

Φ0,1, км²/c²

295.5 ± 6.4

299 ± 28

246 ± 35

1.568 ± 0.080

1.56 ± 0.31

1.57 ± 0.18

κ₂, кпк-1

0.435 ± 0.014

0.436 ± 0.071

0.433 ± 0.037

Φ0,2, км²/c²

354.1 ± 2.8

352.2 ± 15.9

395.3 ± 9.6

Φ0,3, км²/c²

173.2 ± 13.9

(173.2)

κ₃, кпк

2.06 ± 0.51

(2.06)

Примечание. Обозначения те же, что и в табл. 1.

янным, тогда ρ₀ — значение плотности в центре

Предложенный здесь способ условной оптими-

модели.

зации позволил отчасти решить проблему верти-

Мы непосредственно учли барометрический за-

кального распределения для одной из компонент.

кон при построении штеккелевской модели в целях

Однако сплюснутость гало осталась неудовлетво-

повышения ее реалистичности. Для этого задача

рительной. Это означает необходимость наложе-

решалась методом наименьших квадратов, как и в

ния дополнительных условий уже на параметры

разделе 2, но на значения параметров диска накла-

потенциала (5). В качестве такого условия мы рас-

дывалось условие (14), в котором использовалось

смотрели факт примерного постоянства централь-

аналитическое выражение для пространственной

ной поверхностной плотности темного гало

плотности диска, найденное подстановкой штек-

μ_0D ≡ r₀ρ₀ ≈ const,

(15)

келевского потенциала в уравнение Пуассона. В

результате получалось дополнительное уравнение

имеющий место для внешних галактик независимо

для параметров α и κ₂ (параметр Φ0,2 сокра-

от их типа и светимости (Донато и др., 2009);

щался), которому они должны удовлетворять при

здесь r₀ — радиус ядра профиля плотности темной

минимизации функции (12). Полученные при h_z =

материи, ρ₀ — центральная плотность. По оценке

= 900 пк решения с учетом асимметричного сдви-

Донато и др. (2009), log μ_0D = 2.15 ± 0.2. Де Вега,

га представлены в табл. 3, соответствующие им

Санчес (2011), указывая, что закон (15) имеет

кривые вращения — на рис. 4. Как и следовало

схожую природу с известным для молекулярных

ожидать, согласие с данными о кинематике мазеров

облаков в нашей Галактике соотношением Лар-

ухудшилось, о чем говорят возросшие значения

сона, приводят значение μ_0D = 140 M_⊙/пк² для

природной дисперсии (ср. σ₀ в табл. 3 и табл. 1).

0.3 кпк < r₀ < 30 кпк. Ларсон (1981) получил зна-

Эквиденситы ρ = 0.1 M_⊙/пк³ (рис. 5) показывают,

чение μ_0D = 162 M_⊙/пк². Однако наши попытки

что удалось достичь полутолщины диска ≈600 пк,

учета соотношения (15) с соответствующей услов-

близкой к значениям, характерным для толстого

ной оптимизацией не привели к приемлемому сжа-

диска. Попытки сжать диск до вертикального мас-

тию гало.

штаба тонкого диска Галактики (при h_z = 300 пк)

не увенчались успехом, так как давали нефизичные

Рассмотренный метод условной оптимизации

эквиденситы.

не лишен некоторого элемента случайности. Так,

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

ПОСТРОЕНИЕ ШТЕККЕЛЕВСКОЙ МОДЕЛИ ГАЛАКТИКИ

393

300

(а)

±σ₀

200

100

R₀

R, кпк

300

(б)

±σ₀

200

100

R₀

R, кпк

300

±σ_0, ₁

(в)

±σ_0, ₂

200

100

R₀

R, кпк

Рис. 4. То же, что на рис. 1, но при условной оптимизации — в предположении барометрического закона для диска при

hz = 900 пк. Жирная сплошная линия — кривая круговой скорости после коррекции за асимметричный сдвиг, жирная

пунктирная линия — кривая средней скорости вращения (модельная кривая до коррекции). Кривые для отдельных

компонент даны с учетом асимметричного сдвига.

при условной оптимизации параметр α оказался

классов моделей. Однако он явно не может претен-

больше 1, а при обычной он был меньше 1. Это

довать на универсальность. Поэтому другой метод,

существенно изменило вид потенциала, благодаря

описанный ниже, представляется более удачным.

чему диск и получился сжатым. Удалось бы это

сделать при других видах исходного потенциала —

Метод эквипотенциалей

не очевидно. Кроме того, эквиденситы меняются

лишь за счет изменения исходного потенциала, а

Для решения проблемы вертикального распре-

не внесения нужной зависимости от z-координаты

деления было решено отказаться от штеккелев-

в потенциал штеккелевский, что не гарантирует

ского обобщения, определяющего единственную

нужный результат. Поскольку условная оптимиза-

функцию ϕ(ξ), чтобы иметь возможность исполь-

ция все же смогла решить частную задачу постро-

зовать две различные функции ϕ(ξ) в форму-

ения распределения типа “толстый диск”, метод,

ле (1). При этом для продолжения потенциала из

возможно, применим для каких-то специальных

экваториальной плоскости на все пространство мы

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

394

ГРОМОВ, НИКИФОРОВ

(а)

1.0

0.5

-0.5

-1.0

R, кпк

(б)

1.0

0.5

-0.5

-1.0

R, кпк

(в)

1.0

0.5

-0.5

-1.0

R, кпк

Рис. 5. То же, что на рис. 3, но при условной оптимизации— в предположении барометрического закона с hz = 900 пк

(параметры исходных потенциалов из табл. 3).

√

воспользовались методом эквипотенциалей, раз-

[А.] f(R, z) = R² + z² + 2

ε²μ²R² + μ²z² + ε².

√

работанным Кутузовым, Осипковым (1981). Суть

[Б.] f(R, z) = R² + z² + 2(1 - ε)

μ²z² + ε².

его состоит в том, что в результате замены перемен-

√

ной вида r² = f(R, z), где r — галактоцентриче-

[В.] f(R, z) = R² + z² + 2μ

(1 - ε)z² + ε².

ское расстояние, заданный в экваториальной плос-

[Г.] f(R, z) = R² + nz².

кости потенциал Φ(r)= Φ(R, 0) (формулы (5)—

√

(8)), обобщается на все пространство потенциалом

[Д.] f(R, z) = R² + n

z² + b².

Φ (f(R, z)), который зависит от обеих цилиндриче-

Первые три были предложены Осипковым

ских координат R и z.

(1997), последние два добавлены нами как более

Мы рассмотрели следующие варианты функции

простые функциональные формы. Кроме того, для

f (R, z):

гало и центральной компоненты дополнительно

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

ПОСТРОЕНИЕ ШТЕККЕЛЕВСКОЙ МОДЕЛИ ГАЛАКТИКИ

395

Таблица 4. Значения z₀ и параметров эквиденсит при сферических и сжатых гало и центральной компоненте

Центральная компонента

Диск, вариант Б

Гало

z₀, кпк

(h_z = 300 пк)

Сферическая (Q = 1)

Сжатая (Q = 0.35)

Сферическое (Q = 1)

2.5

μ₃ = 10

μ₃ = 1.2

μ₂ = 20

ε₃ = 10

ε₃ = 0.47

ε₂ = 0.2

Сжатое (Q = 0.65)

4.3

μ₃ = 80

μ₃ = 2.6

μ₂ = 750

ε₃ = 45

ε₃ = 0.49

ε₂ = 0.41

рассматривалось стандартное сферическое обоб-

потенциала не вводится новых параметров, кроме

щение f(R, z) = R² + z².

z₀, которые могли бы влиять на вертикальную

структуру. Это дает возможность определять z₀ для

Обобщив таким образом потенциал на все про-

заданного сжатия как еще один параметр модели,

странство, мы можем получить в качестве его ап-

а не принимать, как раньше, значение z₀ виде до-

проксимации штеккелевский потенциал (1) с дву-

полнительного предположения с использованием

мя различными ϕ(ξ). Для потенциалов каждой

формулы (13). Следует отметить, что получаемые

компоненты (гало, диск, “балдж”) определяются

при таком подходе величины z₀ остаются в интер-

функции ϕ₁(ξ₁) по формуле (3), которая отвечает

вале 2.2-7 кпк, упомянутом в разделе 2. Значения

за радиальное распределение, и ϕ₂(ξ₂) по форму-

z₀, найденные для гало, принимались и для по-

ле (4), характеризующей вертикальное распреде-

тенциалов центральной компоненты и диска. При-

ление. Как уже указывалось выше, использование

менение данного метода к компоненте диска для

двух различных функций ϕ(ξ) дает более точные

двух различных z₀, соответствующих сферическо-

модели звездных систем (Родионов, 1974). Пре-

му и сжатому гало, привело к удовлетворительным

имущество рассматриваемого метода заключается

результатам при использовании эквипотенциалей

в том, что он вводит явные параметры, отвечающие

вида Б; вариант Г не дал решения при сжатом гало.

за вертикальное распределение, меняя которые,

Величины z₀ и параметров эквиденсит, полученные

можно менять значения сжатия отдельных компо-

для рассмотренных вариантов целевых характе-

нент в зависимости от требований задачи.

ристик вертикальной структуры, представлены в

Использование метода эквипотенциалей и по-

табл. 4.

следующее построение штеккелевского потенциа-

Выпишем явные выражения функций ϕ(ξ), в

ла возможны только после нахождения параметров

итоге использованных для построения штеккелев-

исходного потенциала (в галактической плоско-

ских моделей. Для гало (5) со сферическим обоб-

сти); далее за оптимальные принимались те значе-

щением f(R, z) = R² + z²:

ния последних, которые были указаны в табл. 2.

ϕ₁(ξ₁) =

(16)

Были рассмотрены варианты сферических и

[

]

сжатых гало и центральной компоненты, для ко-

= Φ0,1ξ²¹ ln 1+

√

торых целевые значения коэффициента сжатия Q

1 + κ²¹z²⁰(ξ²¹ - 1)

(отношения вертикального и горизонтального раз-

ϕ₂(ξ₂) = Φ0,1 ln (1 + β) -

(17)

меров эквиденситы ρ = 0.1 M_⊙/пк³ штеккелевской

(

)

модели) выбирались заранее. Для гало рассмат-

(

)

ривались Q = 1, 0.65, для центральной компонен-

−Φ0,1

1-ξ²²

√

1+κ²¹z²⁰ξ²

ты — Q = 1, 0.35 (Блэнд-Хоторн, Герхард, 2016).

Целевая полутолщина диска (половина вертикаль-

Для центральной компоненты (8) при f(R, z) =

√

ного размера эквиденситы ρ = 0.1 M_⊙/пк³) вы-

= R² + z² + 2μ

(1 - ε)z² + ε²:

брана равной h_z = 300 пк (Блэнд-Хоторн, Гер-

хард, 2016). Далее итеративно определялись ве-

ϕ₁(ξ₁) = ξ²¹Φ0,3

√

(18)

(

)

личина z₀ и параметры эквиденсит, при кото-

z²⁰

ξ²¹ - 1

+ 2με + κ²

рых значения Q и полутолщины диска получались

(

)

равными целевым. В качестве функции f(R, z)

ϕ₂(ξ₂) = Φ0,3√

1-ξ²²

(19)

для гало использовалось сферическое обобщение

2με + κ²

f (R, z) = R² + z², для “балджа” — f(R, z) = R² +

√

×Φ0,3√

+ z² + 2μ

(1 - ε)z² + ε² (вариант В). Отметим,

√

z²⁰ξ²² + 2μ

(1 - ε) z²⁰ξ²² + ε² + κ²

что при таком обобщении гало в выражение для его

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

ПОСТРОЕНИЕ ШТЕККЕЛЕВСКОЙ МОДЕЛИ ГАЛАКТИКИ

397

(а)

(б)

-2

-4

R, кпк

Рис. 7. То же, что на рис. 6, но для выборки SFRs (а) и выборки VERA (б) в случае модели со сферическим гало и сжатой

центральной компоненты.

Функции ϕ₁(ξ₁) при сферическом обобщении сов-

низкую плотность в окрестностях Солнца (см., на-

падают с функциями, задаваемыми штеккелевским

пример, Снэйт и др., 2015). Поэтому центральную

обобщением, при несферическом обобщении пер-

компоненту в этих и подобных моделях более пра-

вые отличаются от вторых только включением до-

вильно рассматривать как представление толсто-

полнительной комбинации постоянных параметров

го диска, основная масса которого сосредоточена

(ср. (16) с (9) в первом случае, (18) с (11) и (20)

внутри солнечного круга.

с (10) во втором).

Итак, метод эквипотенциалей путем выбора

На рис. 6 представлены эквиденситы для рас-

обобщающих функций f(R, z) и значений парамет-

смотренных комбинаций сферических и сжатых

ров этих функций фактически позволяет задавать

гало и центральной компоненты с параметрами

для каждой компоненты эквиденситы требуемого

эквипотенциалей из табл. 4 при модели потенциала

сжатия. Формулы (3)-(4) дают способ нахожде-

в плоскости Галактики, полученной по выборке

ния функций ϕ(ξ) для различных f(R, z). Таким

HMSFRs (табл. 2). Для моделей по двум другим

образом, предложенный нами способ управления

выборкам получились схожие эквиденситы (см.

вертикальной структурой компонент штеккелев-

примеры на рис. 7 для комбинации “сферическое

ской модели в целом решает задачу, вынесенную

гало-сжатая центральная компонента”). Модель

в заголовок статьи.

с такой комбинацией по выборке HMSFRs пред-

ставляется наиболее реалистичной и надежной из

4. ШТЕККЕЛЕВСКИЕ МОДЕЛИ

построенных по мазерам.

ПО КРАСНЫМ ГИГАНТАМ

В зависимости от сжатия Q центральная ком-

понента потенциалов допускает разные интерпре-

Разработанный алгоритм построения штекке-

тации. В случае Q = 1 она соответствует клас-

левских моделей был применен также к кривой

сическому балджу. Однако существование такого

круговой скорости, полученной Айлерс и др. (2019)

балджа в Галактике не подтверждается данными,

по данным о ≳23 000 ярких красных гигантов

можно лишь указать верхний предел его возмож-

(ЯКГ). Хотя для этих объектов использовались

ного вклада в центральную компоненту (например,

спектрофотометрические расстояния, откалибро-

Блэнд-Хоторн, Герхард, 2016; Дебаттиста и др.,

ванные по астрометрическим параллаксам Gaia, но

2017). Сжатый “балдж” (Q = 0.35, рис. 6б,г и 7)

все же не абсолютные расстояния, как для мазе-

по своим характеристикам получился близким к

ров, полученная по ЯКГ кривая круговой скорости

компоненте толстого диска, который по современ-

охватывает больший промежуток галактоцентри-

ным данным имеет полутолщину ∼1 кпк, примерно

ческих расстояний (5 ≲ R ≲ 25 кпк), чем кривая

вдвое меньший, чем у тонкого диска, радиальный

вращения по мазерам. В качестве исходных данных

масштаб (более сильную концентрацию к центру) и

мы использовали приведенные Айлерс и др. (2019)

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

398

ГРОМОВ, НИКИФОРОВ

300

(а)

200

100

R₀

R, кпк

300

(б)

200

100

R₀

R, кпк

Рис. 8. Кривые круговой скорости для моделей потенциала Галактики, аппроксимирующих данные Айлерс и др. (2019) о

средних круговых скоростях ярких красных гигантов (кружки): сплошная линия — трехкомпонентнаямодель, штриховая

линия — гало; пунктирная линия — тонкий диск; штрихпунктирная линия — толстый диск. (а) — Решение для легкого

толстого диска (с параметрами, полученными по мазерам). (б) — Решение в предположении равенства масс тонкого и

толстого дисков.

(а)

(б)

-2

-4

R, кпк

Рис. 9. Эквиденситы ρ = 0.1 M⊙/пк³ для штеккелевских моделей, построенных на основе метода эквипотенциалей по

данным о ярких красных гигантах. (а) — Решение для легкого толстого диска. (б) — Решение в предположении равенства

масс тонкого и толстого дисков. Сплошная линия — трехкомпонентная модель, штриховая линия — гало; пунктирная

линия — тонкий диск; штрихпунктирная линия — толстый диск.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

ПОСТРОЕНИЕ ШТЕККЕЛЕВСКОЙ МОДЕЛИ ГАЛАКТИКИ

399

(a)

(б)

−5

-5

−10

-10

-15

R, кпк

Рис. 10. Эквиденситы для полных штеккелевских моделей “сферическое гало — тонкий диск — толстый диск”, постро-

енных с использованием метода эквипотенциалей по данным о мазерах HMSFRs (а) и ярких красных гигантах (б).

Сплошная линия — ρ = 0.1 M⊙/пк³, штриховая линия — ρ = 0.01 M⊙/пк³, пунктирная линия — ρ = 0.001 M⊙/пк³.

средние значения круговой скорости и их довери-

следнем столбце табл. 5, сопоставление модельной

тельные интервалы для 38 значений R.

кривой круговой скорости с данными — на рис. 8б,

По этим данным был построен исходный потен-

эквиденситы ρ = 0.1 M_⊙/пк³ — на рис. 9б. Оценка

параметра κ₃ = 2.06 ± 0.09 близка к значению 2.25,

циал в составе гало (5), тонкого диска (7) и толсто-

приведенному Пулясисом и др. (2017) для модели

го диска (8). Так как Айлерс и др. (2019) исключили

с близкими по массе тонким и толстым дисками (в

объекты центральной области (R < 5 кпк), то для

их терминах a_thick + b_thick = κ₃ при z = 0). Экви-

значений параметров потенциала (8) принимались

денситы при разных плотностях для штеккелевских

оценки из табл. 2. Сопоставление модельной кри-

моделей данного состава, построенных по мазерам

вой круговой скорости с измерениями по ЯКГ

HMSFRs и ЯКГ, сопоставлены на рис. 10.

представлено на рис. 8а. Далее применялся метод

эквипотенциалей: для штеккелевского потенциала

Комбинация метода эквипотенциалей и фор-

с функциями ϕ₁(ξ₁) и ϕ₂(ξ₂), определяемыми вы-

мул (3), (4) позволила построить штеккелевскую

ражениями (16)-(21), заново оценивались пара-

модель “гало-тонкий диск-толстый диск” с задан-

метры z₀, μ₂, μ₃, ε₂ и ε₃ для сферического гало и

ными характеристиками двух дисков, в том числе

целевых значений полутолщины тонкого и толстого

с учетом внешнего предположения о равенстве

дисков — 300 пк и 900 пк соответственно (Блэнд-

их масс. Таким образом, предложенный алгоритм

Хоторн, Герхард, 2016). Полученные оценки всех

представляется универсальным способом решения

параметров приведены в табл. 5 (столбец “Лег-

проблемы вертикального распределения плотности

кий толстый диск”). Соответствующие эквиденси-

в штеккелевских моделях.

ты (рис. 9а) показывают, что удалось добиться

целевых характеристик гало и обоих дисков.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Масса тонкого диска в построенной модели

получилась почти в 5 раз больше массы толстого.

Применительно к Галактике рассмотрена задача

Вместе с тем ряд данных говорит в пользу того,

построения штеккелевской модели с реалистич-

что масса толстого диска может составлять ∼50%

ной вертикальной структурой путем обобщения ис-

массы всего диска Галактики (см., например, Снэйт

ходного потенциала из экваториальной плоскости

и др., 2015; Дебаттиста и др., 2017). Поэтому по

звездной системы на все пространство.

данным о ЯКГ была также построена штеккелев-

Исходные модели потенциала в плоскости Га-

ская модель при условии равенства масс двух дис-

лактики получены для трех разной степени одно-

ковых компонент (решение дает M_thin = M_thick =

родности выборок мазеров, основанных на ката-

= 3.5 × 10¹⁰ M_⊙) в тех же остальных предположе-

логах Рида и др. (2019) и Коллаборации VERA

ниях. Полученные параметры представлены в по-

и др. (2020). Модельные параметры оценивались

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021

400

ГРОМОВ, НИКИФОРОВ

Таблица 5. Оценки параметров потенциала, эквипотен-

образом б ´ольшими отличиями скоростей мазерных

циалей и величины z₀ при штеккелевском моделирова-

деталей от системной скорости целевого объекта,

нии Галактики по данным о ярких красных гигантах

если он не принадлежит к классу HMSFRs.

Проведенное штеккелевское обобщение исход-

Характери- Легкий толстый

Тонкий и толстый

ных моделей приводит к хорошему согласию с

стика

диск

диски равных масс

наблюдениями по ряду характеристик (простран-

ственная плотность в окрестности Солнца, модель-

0.6592 ± 0.0018

0.6561 ± 0.0018

ная кривая вращения и другие). Кроме того, ис-

пользованный при этом метод Родионова для опре-

κ₁

0.10387 ± 0.00063

0.10940 ± 0.00061

деления (единственной) функции ϕ(ξ) штеккелев-

ского потенциала прост, что могло бы значительно

Φ0,1, км²/c²

264.2 ± 1.1

264.58 ± 0.95

облегчить решение производных задач. Однако ме-

тод не дает возможности влиять на вертикальную

0.7698 ± 0.0067

0.6467 ± 0.012

структуру и, как показывают полученные резуль-

таты, приводит к нереалистичному вертикальному

κ₂, кпк-1

0.2359 ± 0.0022

0.1777 ± 0.0032

распределению плотности в штеккелевской модели

(сильно сжатое гало, недостаточно сжатый диск).

Φ0,2, км²/c²

289.4 ± 1.0

207.8 ± 1.2

Причем этот эффект устойчив по отношению к

используемой базе данных и к модификации выра-

Φ0,3, км²/c²

(231.0)

409.6 ± 2.2

жения для исходного потенциала.

В работе предложены и реализованы два спосо-

κ₃, кпк

(1.4)

2.062 ± 0.087

ба решения этой проблемы. В первом, основанном

на условной оптимизации, накладывались ограни-

z₀, кпк

2.2

чения на диск (барометрическое вертикальное рас-

пределение) и на гало (фиксированная центральная

μ₂

поверхностная плотность). Этот способ также яв-

ε₂

0.2

0.09

ляется простым, не требуя дополнительных вычис-

лений. Однако в его рамках удалось добиться толь-

μ₃

0.57

ко частичного успеха для диска (приемлемое, но не

произвольное сжатие), а для гало не удалось. Это

ε₃

0.27

0.5

означает, что первый способ нельзя рассматривать

как универсальный; он может быть применим лишь

к потенциалам определенного вида.

посредством оптимизации модельной кривой вра-

Другой способ, основанный на методе экви-

щения с учетом природной дисперсии скоростей

потенциалей, представляется более универсаль-

по данным о тригонометрических параллаксах и

ным. Во-первых, введение функций эквипотенци-

пространственных скоростях мазеров. Модели для

алей f(R, z) дает возможность получить новые

трех выборок почти по всем параметрам значимо

параметры, изменение которых напрямую влияет

не отличаются друг от друга и после коррекции

на вертикальную структуру модели. Благодаря это-

за асимметричный сдвиг дают кривые круговой

му можно комбинировать в модели составляющие

скорости, практически совпадающие в области

различного заданного сжатия, в том числе сфе-

R ≲ 12 кпк.

рические. Во-вторых, сам выбор функций f(R, z)

С другой стороны, мазеры в областях образо-

довольно широк. Можно вводить различные функ-

вания звезд различных масс (SFRs) имеют стан-

ции для разных подсистем Галактики, а также

дарт природной дисперсии азимутальных скоро-

описывать иные звездные системы, базируясь на

стей в ≈3 раза больше, чем мазеры в областях

потенциале в экваториальной плоскости. Следует

образования массивных звезд (HMSFRs): 20 ±

заметить, что некоторые функции f(R, z) давали

± 3 км/с против 6.1 ± 0.4 км/с. Это говорит о

для избранных видов исходных потенциалов физи-

значительной кинематической неоднородности вы-

чески неправдоподобные эквиденситы, в том числе

борки SFRs (хотя она примерно наполовину со-

отрицательные значения плотности, поэтому при

стоит из мазеров HMSFRs), что необходимо учи-

введении функций f(R, z) для других потенциалов

тывать при обработке этих данных. Однако, судя

нужно проверять их “совместимость”. Отметим,

по отсутствию признаков увеличения асимметрич-

что метод эквипотенциалей применялся для обоб-

ного сдвига с ростом природной дисперсии, ее

щения потенциала из экваториальной плоскости

высокое значение для SFRs и в целом для вы-

на все пространство также и для нештеккелевских

борки VERA, по-видимому, объясняется главным

систем (Кутузов, Осипков, 1981; Осипков, 1997), а

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

2021

№6

ПОСТРОЕНИЕ ШТЕККЕЛЕВСКОЙ МОДЕЛИ ГАЛАКТИКИ

401

значит, подобным образом могут решаться пробле-

11.

Громов и др. (A.O. Gromov, I.I. Nikiforov, and

мы реалистичности вертикального распределения в

L.P. Osipkov), Baltic Astron. 25, 53 (2016).

широком спектре задач.

12.

Дебаттиста и др. (V.P. Debattista, M. Ness,

Представленный метод применим не только к

O.A. Gonzalez, K. Freeman, M. Zoccali, and

нашей Галактике. Поскольку реальность третьего

D. Minniti), MNRAS 469, 1587 (2017).

интеграла движения обсуждается и для внешних

13.

Донато и др. (F. Donato, G. Gentile, P. Salucci,

галактик (Бинни, Дэвис, 1990; Меррифилд, 1991),

C. Frigerio Martins, M.I. Wilkinson, G. Gilmore,

было бы интересно построить штеккелевскую мо-

E.K. Grebel, A. Koch, et al.), MNRAS 397, 1169

дель для некоторой внешней звездной системы

(2009).

с целью проверки возможности более широкого

14.

Иргэнг и др. (A. Irgang, B. Wilcox, E. Tucker, and

применения данного метода.

L. Schiefelbein), Astron. Astrophys. 549, 137 (2013).

Таким образом, вопрос о возможности управ-

15.

Коллаборация VERA и др. (VERA collaboration,

ления вертикальным распределением в штеккелев-

T. Hirota, T. Nagayama, M. Honma, Yu. Adachi,

ских моделях решен положительно. Предложено

R.A. Burns, J.O. Chibueze, Yo.K. Choi, et al.), Publ.

два способа, один из которых представляется нам

Astron. Soc. Pacific 72, 50 (2020).

универсальным и может быть использован при по-

16.

Кузмин Г.Г., Публ. Тарт. обсерв. 32, 332 (1952).

строении штеккелевских моделей различной струк-

17.

Кузмин Г.Г., Изв. АН ЭССР 2, 3 (1953).

туры. Этим способом нам удалось построить для

18.

Кузмин Г.Г., Астрон. журн. 33, 27 (1956).

нашей Галактики набор штеккелевских моделей,

которые согласуются с наблюдательными данными

19.

Кузмин Г.Г., Велтманн Ю.-И.К., Теньес П.Л., Публ.

о вращении подсистем объектов — мазеров или

Тарт. обсерв. 51, 232 (1986).

ярких красных гигантов - и обладают физиче-

20.

Кузмин Г.Г., Маласидзе Г.А., Сообщ. АН ГрузССР

ски правдоподобными вертикальными распределе-

54, 565 (1969).

ниями. Это означает, что штеккелевские модели

21.

Кутузов С.А., Осипков Л.П., Вест. Ленингр. ун-та.

присутствуют в динамическом моделировании не

Сер. 1, 99 (1981).

только в теоретическом, но и практическом плане и

22.

Ларсон (R.B. Larson), MNRAS 194, 809 (1981).

могут использоваться для решения различных за-

дач звездной динамики, например, для построения

23.

Локтин А.В., Марсаков В.А., Лекции по

звездной

астрономии

(Ростов-на-Дону:

фазовых функций распределения.

Южный фед. ун-т, 2009); http://www.astronet.

Авторы благодарны анонимным рецензентам за

ru/db/msg/1245721/index.html.

полезные замечания. Исследование выполнено при

финансовой поддержке РФФИ в рамках научного

24.

Маласидзе Г.А., Материалы Всесоюзного сове-

проекта 19-32-90144.

щания, состоявшегося в Алма-Ате 23-26 ок-

тября 1972 г. (Алма-Ата, 1973), с. 93.

25.

Меррифилд (M. Merrifield), Astron J. 102, 1335

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(1991).

1. Айлерс и др. (A.-C. Eilers, D.W. Hogg, H.-W. Rix,

26.

Миямото, Нагай (M. Miyamoto and R. Nagai), Publ.

and M.K. Ness), Astrophys. J. 871, 120 (2019).

Astron. Soc. Japan 27, 533 (1975).

2. Бинни (J. Binney), MNRAS 426, 1324 (2012).

27.

Осипков Л.П., Вест. Ленингр. ун-та 7, 151 (1975).

3. Бинни, Вон (J. Binney and L.K. Wong), MNRAS,

28.

Осипков Л.П., Письма в Астрон. журн. 23, 443

467, 2446 (2017).

(1997) [L.P. Osipkov, Astron. Lett. 23, 385 (1997)].

4. Бинни, Дэвис (J. Binney and R. Davies), Astrophys.

29.

Паренаго П.П., Тр. ГАИШ 13, 59 (1940).

J. 361, 78 (1990).

30.

Пости и др. (L. Posti, J. Binney, C. Nipoti, and

5. Бинни, Мак-Миллан (J. Binney and P. McMillan),

L. Ciotti), MNRAS 447, 3060 (2015).

MNRAS 413, 1889 (2011).

31.

Пулясис и др. (E. Pouliasis, P. Di Matteo, and

6. Блэнд-Хоторн, Герхард (J. Bland-Hawthorn and

M. Haywood), Astron. Astrophys. 598, A66 (2017).

O. Gerhard), Ann. Rev. Astron. Astrophys. 54, 529

32.

Расторгуев А.С., Уткин Н.Д., Заболотских М.В.,

(2016).

Дамбис А.К., Байкова А.Т., Бобылев В.В., Аст-

7. де Вега, Санчес (H.J. de Vega and N.G. Sanchez),

рофиз. бюлл. 72, 134 (2017)

[A.S. Rastorguev,

Inter. J. of Modern Phys. 26, 1057 (2011).

N.D. Utkin, M.V. Zabolotskikh, A.K. Dambis,

8. Гарднер и др. (E. Gardner, P. Nurmi, and C. Flynn),

A.T. Bajkova, and V.V. Bobylev, Astrophys. Bull. 72,

MNRAS 411, 947 (2011).

122 (2017)].

9. Громов А.О., Никифоров И.И., Астрофиз. бюлл. 76,

33.

Рид и др. (M.J. Reid, K.M. Menten, A. Brunthaler,

187 (2021).

X.W. Zheng, T.M. Dame, Y. Xu, J. Li, N. Sakai, et

al.), Astrophys. J. 885, 131 (2019).

10. Громов и др. (A.O. Gromov, I.I. Nikiforov, and

L.P. Osipkov), Baltic Astron. 24, 150 (2015).

34.

РодионовВ.И., Вест. Ленингр. ун-та 13, 142 (1974).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№6

2021