ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2021, том 47, № 8, с. 606-610

К ВОПРОСУ О ХОЛЛОВСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

В ПРОТОЗВЕЗДНЫХ ДИСКАХ

¹Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Поступила в редакцию 05.04.2021 г.

После доработки 07.07.2021 г.; принята к публикации 05.08.2021 г.

В рамках холловской магнитной гидродинамики рассмотрены малые возмущения протозвездного

диска, имеющего вертикальную и азимутальную компоненты магнитного поля. Аналитически исследо-

вано дисперсионное уравнение. Получены достаточное условие устойчивости однородного состояния

и диапазоны для скоростей линейных волн трех типов. Показано, что неустойчивыми могут быть

только волны с большими фазовыми скоростями. Исследовано влияние на неустойчивость параметров

невозмущенного состояния и угла распространения линейной волны.

Ключевые слова: магнитная гидродинамика, магнитное поле, дисперсионное уравнение, холловская

неустойчивость.

DOI: 10.31857/S0320010821080040

ВВЕДЕНИЕ

Неустойчивость возникает в протозвездных и

протопланетных дисках, имеющих неоднородности

Проблема магнитогидродинамических (МГД)

радиального распределения магнитного поля и

неустойчивостей дифференциально вращающегося

газа в различных постановках рассматривалась в

плотности. В (Ливертс и др., 2007) было показано,

что если магнитное поле перпендикулярно плос-

ряде работ (см., например, Бальбус и др., 1991,

кости диска, то неаксисимметричные возмущения,

2001; Уордл, 1999; Пандей и др., 2008; Песса и

распространяющиеся вдоль азимута, оказываются

др., 2005). В (Бальбус и др., 1991) изучалась маг-

неустойчивыми. Механизм неустойчивости связан

ниторотационная неустойчивость, необходимым

с появлением в среде холловской волны, вызы-

условием которой являлось уменьшение частоты

вращения диска с увеличением радиальной коорди-

вающей конвективный перенос магнитного поля.

наты. В работах (Уордл, 1999; Бальбус и др., 2001;

В работе Прудских (2012) в рамках холловской

магнитогидродинамики рассматривались возмуще-

Пандей и др., 2008) рассматривались неустойчи-

ния протозвездного диска при отсутствии неодно-

вости альфвеновских возмущений, причем в случае

родностей в распределении плотности вещества.

слабоионизованной плазмы протозвездных дисков

Предполагалось, что магнитное поле содержит

была выяснена важная роль эффектов холловского

азимутальную и вертикальную компоненты, а

тока, связанного с различием в движении ионов

и электронов вследствие отличия в частотах их

волновой вектор флуктуаций содержит только

столкновений с частицами нейтрального газа. В

азимутальную компоненту. Электронная прово-

(Песса и др., 2005) было показано, что наличие

димость вдоль силовых линий предполагается

в диске достаточно сильного азимутального маг-

высокой, а движение нейтрального газа и ионов

нитного поля может приводить к развитию двух

совместным. Такое приближение справедливо во

новых неустойчивостей магнитозвуковой волны.

внешних хорошо проводящих областях дисков

В работах (Бонанно и др., 2006, 2007, 2008а,б)

с плотностью нейтральных частиц n_n ∼ 10¹²-

изучалась неустойчивость сжимаемых МГД-волн,

10¹⁴ см-3 (Прудских, 2012). Было получено дис-

проявляющаяся в дисках, имеющих одновременно

персионное уравнение, и на основе его численного

азимутальную и радиальную компоненты магнит-

анализа показана возможность неустойчивости

ного поля. В (Штемлер и др., 2007; Ливертс и др.,

линейных волн, изучена зависимость инкремента

2007) была предсказана возможность существо-

неустойчивости от параметров невозмущенного

вания еще одного вида неустойчивости магнито-

состояния.

звуковых волн, названной авторами холловской.

В настоящей работе аналитически изучено дис-

^*Электронный адрес: vladiyuz@mail.ru

персионное уравнение из работы Прудских (2012),

606

К ВОПРОСУ О ХОЛЛОВСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

607

ω - mΩ

получено достаточное условие устойчивости од-

где W =

— безразмерная частота, K =

нородного состояния, изучено влияние параметра

холла и других параметров на устойчивость.

kV_A

— безразмерный волновой вектор, k =

— азимутальный волновой вектор, V_A =

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ

=B₀/√4πρ0 — альфвеновская скорость, β =cS

В работе Прудских (2012) рассматривалась за-

V2A

дача об устойчивости протозвездного диска, ча-

c_S — скорость звука, θ — угол между нормалью к

стота вращения которого Ω = Ω (r) зависит только

диску и направлением невозмущенного магнитного

от расстояния до оси вращения и в состоянии

поля (Bθ0 = B₀ sin θ и Bz0 = B₀ cos θ), ω_ciz =

равновесия азимутальная невозмущенная скорость

eBZ0

— ионная циклотронная частота в поле

среды равна V_θ = e_θΩr. Система МГД-уравнений

m_ic

имеет вид (Прудских, 2012)

⁽ρ_i)

Bz0, ω_cz = ω_ciz

, параметр H =

учитыва-

ω_cz

[J × B] - ∇P + ρg,

(1)

ет эффект холловского тока, ρ_i — массовая ионная

плотность.

∂B

J×B

= rot [V × B] - rot

(2)

∂t

en_e

АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННОГО

∂ρ

УРАВНЕНИЯ

+ div (ρV) = 0,

(3)

∂t

Уравнение (6) является бикубическим многопа-

раметрическим уравнением. Наличие у уравнения

rot B,

(4)

(6) трех положительных корней будет гарантиро-

4π

вать наличие трех симметричных отрицательных

где ρ, V и P — плотность, скорость и давле-

корней и устойчивость однородного состояния. Из-

ние плазмы, g = (-g, 0, 0) — вектор напряженно-

менение параметров K, β, H, θ влияет на величину

сти гравитационного поля. Второе слагаемое спра-

и количество действительных корней уравнения

ва в уравнении (2) описывает холловский ток.

(6).

Предполагается, что невозмущенное магнитное по-

Перепишем уравнение (6) в виде

ле B₀ = (0, Bθ0, Bz0) содержит азимутальную и ак-

сиальную компоненты, а распределение плотности

f (W ) = g (W ) ,

(7)

и магнитное поле B₀ в диске считаются постоянны-

где

ми и не зависящими от радиальной координаты.

(

)

f (W ) =

W² - K² sin² θ

В работе Прудских (2012) в рамках системы

[

(

)

]

(1)-(4) рассматривались малые возмущения одно-

W⁴ - W²

1 + (1 + β)K²

+ βK4 sin2 θ

родного состояния. Предполагалось, что возмуще-

ние любой из переменных системы в цилиндриче-

g (W ) = HK⁴ sin² θ cos² θW² ×

[

]

ской системе координат имеет вид

(

)

× HW² -

1+βK²

H .

A(θ,t) = A₀ exp i(mθ - ωt).

(5)

Получено дисперсионное уравнение для безраз-

Представление дисперсионного уравнения в ви-

мерной частоты W линейных волн, которое для

де (7) уже использовалось авторами для удобства

удобства можно записать в виде

его аналитического исследования, исходя из гео-

метрических свойств функций f (W ) и g (W ) (За-

W⁶ - A₄W⁴ + A₂W² - A₀ = 0,

(6)

(

)

харов и др., 2015). По количеству общих точек этих

A₄ = 1 +

1 + β + sin2 θ

K² +

функций можно судить о количестве действитель-

ных корней дисперсионного уравнения (6). В част-

+ K⁴H² sin² θ cos² θ,

{

ных случаях: sin θ = 0, cos θ = 0, H = 0, уравнение

(7) всегда имеет шесть действительных корней с

A₂ =

1 + (1 + 2β)K² +

учетом их кратности.

]

}

^[5

(

)

Выясним взаимное расположение графиков

1+βK²

H HK2 cos2 θ K2 sin2 θ,

четных функций f (W ) и g (W ) в общем случае:

sin θ = 0, cos θ = 0, H = 0, при положительных

A₀ = βK⁶ sin⁴ θ,

значениях W . Видно, что функция f (W ) всегда

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№8

2021

608

ЗАХАРОВ, ЧЕРНОВА

имеет три положительных корня W₁ < W₂ < W₃

Для наибольшего по величине корняW3 уравне-

(W²² = K² sin² θ).

ния (7) всегда имеет место неравенствоW23 > W²³.

Корни W₁ и W₃ определяются биквадратным

При стремлении параметра Холла к нулю значения

множителем в квадратных скобках функции f (W )

корнейW1,

W₂,

W₃ дисперсионного уравнения (7)

и могут быть выписаны в явном виде. С учетом

стремятся к W₁, W₂, W₃ соответственно.

неравенства f (0) < 0 можно схематично изобра-

При нарушении неравенства (10):

зить график f (W) для положительных значений W

(рис. 1). Помимо корней у функции f (W ) есть еще

W2∗∗ > W²³ (g (W₃) < 0)

(11)

(

)

характерная точка W_∗

W2∗ = 1 + βK²

, которая

возможны как случай устойчивости, так и неустой-

всегда расположена между W₁ и W₃. Поэтому

чивости. На рис. 1в изображен случай устойчиво-

имеет место тройное неравенство

сти. Он реализуется при небольших значениях па-

{

}

{

}

раметра Холла, которые гарантируют прижимание

W²¹ < min

W²²,W2∗

< max

W²²,W2∗

<W²³.

графика функции g (W ) к оси W и наличие двух

Взаимное расположение значений W_∗ и W₂

общих точек графиков f (W ) и g (W ) на интервале

определяется знаком выражения

(W₂,W₃). Увеличение значения H может привести

(

)

к тому, что графики f (W) и g (W) не будут иметь

W2∗ - W²² = 1 + K²

β - sin2 θ

общих точек на интервале (W₂, W₃) (рис. 1г). Од-

нако с дальнейшим ростом H корень

Случай W2∗ ≤ W²² реализуется при

√

1 + βK² ≤ K2 sin2 θ,

(8)

W_∗∗ =

1+βK² +

→W_∗ =

1+βK²

что может выполняться при β < 1 и достаточ-

но больших значениях K² и углах θ таких, что

и случай (11) превратится в случай устойчивости

(10).

sin² θ > β.

Случай W2∗ > W²² реализуется при

Таким образом, неравенство (10) является до-

статочным условием устойчивости. Условие (10)

1 + βK² > K2 sin2 θ,

(9)

нетрудно переписать в виде

(

)₂

что всегда выполняется при β ≥ 1 и любых значе-

(

)

ниях K и углов.

1+βK² -K²

(12.1)

Функция g (W ) всегда имеет нулевой корень

(

)

второй кратности и положительный корень W_∗∗:

−K²

1 + βK2 cos2 θ

≤0

или

W2∗∗ = 1 + βK² +

>W2∗.

(

)(

)

-K²

+1+βK²

(12.2)

На рис. 1а,б изображены графики функций

f (W ) и g (W ) для случая W2∗ ≤ W²² (рис. 1а) и

+ βK4 sin2 θ ≤ 0.

W2∗ > W²² (рис. 1б).

На рис. 1а,б изображены случаи устойчивости,

Из (12.1) следует, что при достаточно больших

когда g (W₃) ≥ 0 или

значениях параметра Холла два первых слагаемых

будут стремиться к нулю, и левая часть станет

W2∗∗ ≤ W²³.

(10)

отрицательной. Также неравенство (12.2) будет

выполняться, начиная с некоторого достаточного

В этом случае графики f (W) и g (W) всегда

большого значения К.

имеют три общих точки на положительной полуоси

В работе Прудских (2012) численный анализ

W (степень функции g (W ) меньше степени f (W ),

дисперсионного уравнения проводился для харак-

поэтому общая точка с большим значением W

терных значений протозвездных дисков H ∼ 1 -

всегда будет существовать). При этом из рисунка

- 10, β ∼ 0.5 - 2, характерное значение частоты

нетрудно увидеть диапазоны для значений корней

вращения на расстоянии 1 а.е. от центра вращения

дисперсионного уравнения (7). Если обозначить

составляет Ω ∼ 10-7 Гц, а величина магнитного

положительные корни (7)

W₁ <W2 <W3 в по-

поля B₀ ∼ 0.1 Гс. Также была проведена оценка

рядке возрастания, то для меньшего корня

W₁

инкремента неустойчивости Im W и показано, что

< W²¹, причем с увеличением параметра Холла

его максимальное значение не превосходит 0.06.

значениеW1 растет. Для второго по величине корня

{

}

Из неравенств (12) можно получать оценки од-

W₂ уравнения (7) min

W²²,W2∗

< W²² <W2∗∗.

ного из входящих в них параметров через заданные

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№8

2021

К ВОПРОСУ О ХОЛЛОВСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

609

f(w), (a)

g(w)

f(w)

g(w)

W_**

W_*

W₁

W₂

W₃

f(w), (б)

g(w)

f(w)

g(w)

W_*

W_**

W₁

W₂

W₃

f(w), (в)

g(w)

f(w)

g(w)

W₃

W₁

W_**

f(w), (г)

g(w)

f(w)

g(w)

W₁

W₂

W₃

Рис. 1. Взаимное расположение функций f (W) и g (W). Графики (а), (б), (в) соответствуют случаям устойчивости,

график (г) — случаю неустойчивости.

другие. Например, для характерных значений H =

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

= 5, β = 1, θ =

получим, что неустойчивость

Анализ рис. 1а-г и неравенств (12.1), (12.2)

позволяет сделать следующие выводы относитель-

возможна только при K < 0.76. Поскольку K =

но возможности неустойчивости однородного со-

kV_A

стояния плазмы:

и k=

, то при характерных значени-

1) неустойчивость может появляться только при

ях на расстоянии r = 1 а.е. V_A ≈ 10⁴ см/с, Ω ∼

нарушении неравенства (12.1), которое является

∼ 10-7 Гц можно получить оценку азимутального

достаточным условием устойчивости;

числа неустойчивого возмущения m ≤ 110, совпа-

2) на рис. 1 видны интервалы, в которых изме-

дающую с оценкой m≈ 30-100 (Прудских, 2012). няются фазовые скорости линейных волн. Волна

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№8

2021

610

ЗАХАРОВ, ЧЕРНОВА

с меньшей скоростью всегда устойчива. Неустой-

приводить к дроблению кольцевого элемента на

чивыми могут быть только две волны с большими

отдельные фрагменты и образованию планетези-

фазовыми скоростями;

малей.

3) при нарушении неравенств (12.1), (12.2) сре-

ди значений параметра Холла может существовать

ограниченный слева и справа промежуток, в ко-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

тором возможна неустойчивость в зависимости от

1. Бальбус и др. (S.A. Balbus and J.F. Hawley),

значений других параметров K, β, θ;

Astrophys. J. 376, 214 (1991).

4) из вида функции g (W ) следует, что ес-

2. Бальбус и др. (S.A. Balbus and C. Terquem),

ли при θ = 45^◦ будет устойчивость (коэффициент

Astrophys. J. 552, 235 (2001).

cos² θ sin² θ максимален и равен 0.5), то и при

3. Бонанно и др. (A. Bonano and V. Urpin), Phys. Rev.

остальных значениях угла θ также будет устой-

E 73, 066301 (2006).

чивость. Таким образом, неустойчивость наиболее

4. Бонанно и др. (A. Bonano and V. Urpin), Astrophys.

эффективно развивается при θ ≈ 45^◦;

J. 662, 851 (2007).

5) так как параметр β в уравнение (8) входит в

5. Бонанно и др. (A. Bonano and V. Urpin), Astron.

Astrophys. 480, 27 (2008а).

виде произведения βK², то уменьшение плазмен-

6. Бонанно и др. (A. Bonano and V. Urpin), Astron.

ного β приводит к увеличению интервала неустой-

чивости длин волн.

Astrophys. 488, 1 (2008б).

7. Захаров В.Ю., Чернова Т.Г., Степанов С.Е., Физика

Выводы 3)-5) согласуются с выводами Пруд-

плазмы 41, 386 (2015).

ских (2012), сделанными на основе численного

анализа дисперсионного уравнения и построения

8. Ливертс и др. (E. Liverts, M. Mond and

диаграмм областей неустойчивости при некоторых

A.D. Chernin), Astrophys. J. 666, 1226 (2007).

фиксированных значениях параметров.

9. Пандей и др. (B.P. Pandey and M. Wardle), MNRAS

385, 2269 (2008).

Согласно работе Прудских (2012), обнаружен-

10. Песса и др. (M.E. Pessah and D. Psaltis), Astrophys.

ная холловская неустойчивость отличается от рас-

J. 628, 879 (2005).

смотренных в (Штемлер и др., 2007; Ливертс и

11. Прудских В.В., Астрон. журн. 89, 545 (2012).

др., 2007) и может проявляться в астрофизических

дисках, не содержащих градиенты плотности и

12. Уордл (M. Wardle), MNRAS 307, 849 (1999).

магнитного поля нулевого порядка. В протопланет-

13. Штемлер и др. (Yu.M. Shtemler, E. Liverts, and

ных дисках рассмотренная неустойчивость может

M. Mond), Astrophys. J. 665, 1371 (2007).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№8

2021