ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2021, том 47, № 9, с. 634-645
ОСОБЕННОСТИ ТРЕХМЕРНОЙ КИНЕМАТИКИ
КЛАССИЧЕСКИХ ЦЕФЕИД
© 2021 г. В. В. Бобылев1*, А. Т. Байкова1
1Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 02.06.2021 г.
После доработки 05.08.2021 г.; принята к публикации 05.08.2021 г.
Линейная модель Огородникова-Милна применена для изучения трехмерной кинематики классиче-
ских цефеид Млечного Пути. Использована выборка из работы Мроза и др. из 832 классических
цефеид с расстояниями, лучевыми скоростями и собственными движениями из каталога Gaia DR2.
Пространственные скорости цефеид освобождены от дифференциального вращения Галактики, най-
денного нами ранее на основе нелинейной модели вращения. На основе полной модели Огородникова-
Милна, с участием лучевых скоростей и собственных движений звезд, получена оценка угловой
скорости вращения вокруг галактической оси y, Ωy = 0.64 ± 0.17 км/с/кпк. Мы полагаем, что
это вращение связано с искривлением тонкого диска Галактики. Вычисления с использованием
только собственных движений цефеид в предположении об отсутствии деформаций, обусловленных
искривлением диска, показали наличие остаточного вращения вокруг оси y со скоростью Ωy = 0.54 ±
± 0.15 км/с/кпк, а также наличие положительного вращения вокруг оси x со скоростью Ωx = 0.33 ±
± 0.10 км/с/кпк.
Ключевые слова: цефеиды, искривление диска Галактики, структура Галактики.
DOI: 10.31857/S0320010821090011
ВВЕДЕНИЕ
краткости будем называть варпом, следуя англий-
скому термину warp.
В Галактике наблюдается крупномасштабное
Согласно, например, Байлину (2003), возник-
искривление тонкого диска. Впервые этот эффект
новение варпа связано с гравитационным воз-
был обнаружен по наблюдениям нейтрального во-
мущением, которое на диск Галактики оказыва-
дорода (Вестерхут, 1957). В первом и втором га-
ют ближайшие карликовые галактики, в частно-
лактических квадрантах наблюдается поднятие во-
сти, Большое Магелланово Облако (Бекки, 2012).
дорода над галактической плоскостью, а в третьем
Известны и другие гипотезы, предложенные для
и четвертом, наоборот, он расположен ниже галак-
объяснения природы возникновения варпа: взаи-
тической плоскости, причем амплитуда отклонения
модействие между диском и несферическим гало
возрастает в направлении галактического анти-
темной материи (Спарк, Казертано, 1988); взаи-
центра. В настоящее время эффект искривления
модействие диска с близгалактическим течением,
диска находит подтверждение по различным дан-
образованным высокоскоростными водородными
ным — из распределения нейтрального (Калберла,
облаками, которые возникли в результате обмена
Дедес, 2008) и ионизованного водорода (Руссейль,
массой между Галактикой и Магеллановыми Об-
2003; Церсосимо и др., 2009), межзвездной пыли
лаками (Цутия, 2002; Олано, 2004); межгалакти-
(Дриммель, Шпергель, 2001), пульсаров (Юсифов,
ческое течение (Лопес-Корредоира и др., 2002а);
2004), OB-звезд (Миямото, Жу, 1998; Дриммель
взаимодействие с межгалактическим магнитным
полем (Баттанер и др., 1990).
и др., 2000), звезд сгущения красных гигантов
(Лопес-Корредоира и др., 2002б; Момани и др.,
Для поиска связи кинематики звезд и вар-
2006), различных звезд (Ченг и др., 2020) а также
па применялись различные методы анализа вер-
цефеид (Ферни, 1968; Бердников, 1987; Бобылев,
тикальных скоростей звезд. Например, в работе
2013а; Сковрон и др., 2019б). Этот эффект для
Дриммеля и др. (2000) для этой цели использова-
лись компоненты собственных движений μb OB-
*Электронный адрес: vbobylev@gao.spb.ru
звезд из каталога Hipparcos (1997). Эти авторы
634
ОСОБЕННОСТИ ТРЕХМЕРНОЙ КИНЕМАТИКИ
635
показали, в частности, что присутствует систе-
были проанализированы пространственные скоро-
матический компонент в вертикальных скоростях
сти около 600 тысяч молодых звезд главной по-
OB-звезд с величиной порядка 10-15 км/с на
следовательности и около 13 млн звезд-гигантов.
Показано, что крупномасштабная кинематика всех
галактоцентрических расстояниях R около 11 кпк.
этих звезд имеет четкую связь с варпом, что прояв-
Обнаружена довольно высокая скорость прецес-
ляется в виде градиентов в их вертикальных скоро-
сии варпа, от -13 км/с/кпк до -25 км/с/кпк,
стях вида ∂W/∂x и ∂W/∂y с величиной 5-6 км/с
в зависимости от принимаемой модели ошибок в
данных.
на интервале галактоцентрических расстояний 8-
14 кпк.
В работе Сковрон и др. (2019б) было постро-
ено распределение вертикальных скоростей цефе-
Интересно отметить также работу Поджио и
ид в диске Млечного Пути. Найдены крупномас-
др. (2020), в которой на основе анализа около
штабные вертикальные движения с амплитудами
12 млн гигантов из каталога Gaia DR2 была оцене-
10-20 км/с, такие, что цефеиды, расположенные
на скорость прецессии варпа 10.86 ± 0.03 (стат.) ±
в северной части варпа (примерно в первом и
± 3.20 (сист.) км/c/кпк в направлении вращения
втором галактических квадрантах), демонстрируют
Галактики.
большую положительную вертикальную скорость
Целью настоящей работы является изуче-
(в направлении северного галактического полюса),
ние трехмерной кинематики классических це-
в то время как цефеиды в южной части варпа
феид Млечного Пути с применением модели
(примерно в третьем и четвертом квадрантах) —
Огородникова-Милна. В частности, интересно
отрицательную вертикальную скорость (в направ-
выяснить характер движений в плоскостях xz и
лении южного галактического полюса).
yz, определить угловые скорости вращения вокруг
Интересно отметить результаты, получен-
осей x и y. Для этого использована выборка
ные с использованием более сложной модели
из работы Мроза и др.
(2019), где для
832
Огородникова-Милна, где в качестве определя-
классических цефеид даны расстояния, лучевые
емых неизвестных выступают параметры пеку-
скорости и собственные движения из каталога Gaia
лярного движения Солнца, параметры вращения
DR2.
Галактики (вращение вокруг галактической оси z),
а также параметры деформации в плоскостях xz и
yz, скорости вращения вокруг осей z и y. Таким
ДАННЫЕ
методом Миямото, Жу (1998) нашли вращение
системы O-B5 звезд (по их собственным движе-
ниям) вокруг оси x с угловой скоростью +3.8 ±
В настоящей работе используются данные о
классических цефеидах из работ Сковрон и др.
± 1.1 км/с/кпк. А в работе Бобылева (2010) по
(2019а) и Мроза и др. (2019). Наблюдались эти
собственным движениям звезд сгущения красных
гигантов было найдено вращение вокруг оси x
цефеиды в рамках четвертого этапа программы
OGLE (Optical Gravitational Lensing Experiment,
со скоростью около -4 км/с/кпк. Видим, что
Удальский и др., 2015). В каталоге Сковрон и др.
особого согласия в результатах анализа нет. Более
того, на основе изучения этим методом около
(2019a) для 2431 цефеиды содержатся оценки рас-
200 долгопериодических цефеид Бобылев (2013б)
стояния, возраста, периода пульсаций и фотомет-
нашел довольно большое вращение вокруг оси x с
рические данные. Их видимые звездные величины
лежат в диапазоне 11m < I < 18m. Поэтому здесь
угловой скоростью около -15 км/с/кпк.
наблюдается дефицит ярких и хорошо изученных
Лопес-Корредоира и др. (2014) исследовали
цефеид, известных по более ранним наблюдениям.
вертикальные скорости звезд галактического диска
в диапазоне R : 5 - 16 кпк. Для этого использо-
Гелиоцентрические расстояния до 2214 цефеид,
вались собственные движения звезд из каталога
r, были вычислены Сковрон и др. (2019а) на ос-
PPMXL (Резер и др., 2010). Основная их цель
нове соотношения период-светимость. Использу-
была выяснить, является ли варп долгоживущей
емое ими конкретное соотношение было уточнено
или переходной особенностью. В итоге эти авторы
Вангом и др. (2018) по кривым блеска цефеид в
пришли к заключению, что время жизни варпа
среднем инфракрасном диапазоне, где межзвезд-
составляет около ста миллионов лет.
ное поглощнение существенно меньше, чем в опти-
Поджио и др. (2018) по данным каталогов Gaia
ческом. Оценки возраста цефеид в работе Сковрон
DR2 (Браун и др., 2018) и 2MASS (Скрутски и др.,
и др. (2019а) сделаны по методике, разработанной
2006) составили кинематическую картину варпа на
Андерсоном и др. (2016), где учитывались периоды
расстояниях до 7 кпк от Солнца. Для этой цели
осевого вращения звезд и индексы металличности.
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№9
2021
636
БОБЫЛЕВ, БАЙКОВА
Каталог Мроза и др. (2019) содержит 832 клас-
где V⊙(U⊙, V⊙, W⊙)
— пекулярная скорость
сических цефеиды из списка Сковрон и др. (2019а).
Солнца относительно группировки рассматрива-
Значения собственных движений в нем скопиро-
емых звезд, M — матрица (тензор) смещений,
ваны из каталога Gaia DR2, лучевые скорости
компонентами которой являются частные про-
даны для всех 832 звезд. Бобылевым и др. (2021)
изводные скорости u(u1, u2, u3) по расстоянию
цефеиды из каталога Мроза и др. (2019) были
r(r1, r2, r3), где u = V(R) - V(R0), а R и R0 —
снабжены оценками возраста из каталога Сковрон
галактоцентрические расстояния звезды и Солнца,
и др. (2019а).
соответственно, тогда
По кинематическим данным о цефеидах в работе
(∂up)
Мроза и др. (2019) была построена кривая галак-
Mpq =
,
p,q = 1,2,3,
(2)
∂rq
тического вращения в интервале расстояний R:4-
◦
20 кпк. В работе Аблимита и др. (2020) по боль-
где нолик означает, что производные взяты в точке
шой выборке цефеид были уточнены параметры
R = R0, а индексы p и q обозначают номера коор-
гравитационного потенциала Галактики и получена
динатных осей, V′ — остаточная скорость звезды,
новая оценка массы Галактики. Бобылевым и др.
под которой здесь понимается скорость звезды
(2021) было показано, что даже старые цефеиды
после вычета пекулярного движения Солнца (V⊙)
сохраняют кинематическую память о месте своего
и линейных зависимостей, описываемых матрицей
рождения. Выборка из 832 цефеид с кинемати-
смещений M. Отметим, что здесь мы придержива-
ческими данными из работы Мроза и др. (2019)
емся обозначений, введенных Клюбом (1972).
является нашей рабочей выборкой.
Все девять элементов матрицы M определяются
при использовании трех компонент наблюдаемых
МЕТОД
скоростей — лучевой скорости Vr, скорости вдоль
галактической долготы Vl и вдоль галактической
Линейная модель Огородникова-Милна
широты Vb:
Из наблюдений известны следующие величи-
Vr = -U⊙ cos bcos l -
(3)
ны: прямое восхождение и склонение — α и δ,
− V⊙ cosbsinl - W⊙ sinb +
собственные движения по прямому восхождению
и склонению — μα cos δ и μδ, лучевая скорость
+ r[cos2 bcos2 lM11 + cos2 bcos l sin lM12 +
Vr. От α и δ переходим к галактическим долготе и
+ cos b sin b cos lM13 + cos2 b sin l cos lM21 +
широте l и b; гелиоцентрическое расстояние r для
цефеид вычислено на основе соотношения период-
+ cos2 b sin2 lM22 + cos b sin b sin lM23 +
светимость; наблюденные собственные движения
+ sin bcos bcos lM31 + cos bsin bsinlM32 +
переводим в собственные движения в галактиче-
ской системе координат — μl cos b и μb. В итоге
+ sin2 bM33],
имеем три составляющие пространственной ско-
рости звезды: Vr и 2 проекции тангенциальной
Vl = U⊙ sin l - V⊙ cos l +
(4)
скорости — Vl = krμl cos b и Vb = krμb, где k =
+ r[- cos bcos l sin lM11 - cos bsin2 lM12 -
= 4.74 км/с, Vr, Vl, Vb выражены в км/c (собствен-
ные движения даны в мсд/год, миллисекунды дуги
- sin b sin lM13 + cos b cos2 lM21 +
в год, а гелиоцентрическое расстояние — в кпк).
+ cos b sin l cos lM22 + sin b cos lM23],
Используется прямоугольная галактическая
система координат с осями, направленными от
Vb = U⊙ cosl sinb +
(5)
наблюдателя в сторону галактического центра
(ось x или ось 1), в направлении галактического
+ V⊙ sinlsinb - W⊙ cosb +
вращения (ось y или ось 2) и в направлении
+ r[- sinbcos bcos2 lM11 -
северного полюса Галактики (ось z или ось 3).
- sin b cos b sin l cos lM12 -
В линейной модели Огородникова-Милна
(Огородников, 1965) наблюдаемая скорость звез-
- sin2 b cos lM13 - sin b cos b sin l cos lM21 -
ды V(r), имеющая гелиоцентрический радиус-
- sin b cos b sin2 lM22 - sin2 b sin lM23 +
вектор r, с точностью до членов первого порядка
малости r/R0 ≪ 1 описывается уравнением в
+ cos2 b cos lM31 + cos2 b sin lM32 +
векторной форме
+ sinbcos bM33].
V(r) = V⊙ + Mr + V′,
(1)
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№9
2021
ОСОБЕННОСТИ ТРЕХМЕРНОЙ КИНЕМАТИКИ
637
Для оценки значений скоростей (U, V, W )⊙ и эле-
M+23 = 0.5(M23 + M32).
ментов матрицы M система условных уравнений
Диагональные компоненты тензора локальной
вида (3)-(5) решается методом наименьших квад-
ратов (МНК). Решение ищется с весами вида
деформации M+11, M+22, M+33, совпадают с соот-
√
ветствующими диагональными элементами матри-
wr = S0/ S20 + σ2 ,
(6)
цы M. Они описывают общее локальное сжатие
Vr
√
или расширение всей звездной системы (диверген-
wl = S0/ S20 + σ2 ,V
ция). В частности, интересно оценить объемный
l
√
эффект расширения/сжатия:
wb = S0/ S20 + σ2 ,V
b
Kxyz = (M11 + M22 + M33)/3.
(11)
где σVr , σVl , σVb — дисперсии ошибок соответ-
Прямоугольные компоненты пространственных
ствующих наблюдаемых скоростей, S0 — “кос-
скоростей звезд вычисляются по формулам
мическая” дисперсия. Значение S0 сопоставимо
U = Vr coslcosb - Vl sinl - Vb coslsinb,
(12)
со среднеквадратической невязкой σ0 (ошибкой
единицы веса), получаемой при решении условных
V = Vr sinlcosb + Vl cosl - Vb sinlsinb,
уравнений вида (3)-(5), и в данной работе прини-
W = Vr sinb + Vb cosb.
мается равным 12 км/с.
Матрицу M делят на симметричную M+ (тензор
локальной деформации) и антисимметричную M-
Формирование остаточных скоростей
(тензор вращения) части:
)
Параметры кривой галактического вращения в
1
(∂up
∂uq
работе Бобылева и др. (2021) были найдены на
M+pq =
+
,
(7)
2
∂rq
∂rp
основе разложения угловой скорости вращения
◦
)
Галактики Ω в ряд до членов i-го порядка малости
1
(∂up
∂uq
M-pq =
-
,
r/R0, где Ωi0 — соответствующие производные
2
∂rq
∂rp
◦
угловой скорости.
p,q = 1,2,3,
Остаточные скорости цефеид вычисляются с
где нолик означает, что производные взяты в точ-
учетом пекулярной скорости Солнца U⊙, V⊙, W⊙ и
ке R = R0. Величины M-32, M-13, M-21 являются
дифференциального вращения Галактики в следу-
компонентами вектора твердотельного вращения
ющем виде:
малой околосолнечной окрестности вокруг осей x,
Vr = V∗r -
(13)
y, z соответственно. В согласии с выбранной нами
− [-U⊙ cos b cos l - V⊙ cos b sin l - W⊙ sin b +
прямоугольной системой координат положитель-
ными вращениями являются вращения от оси 1 к
+ R0(R - R0)sin l cos bΩ′0 +
2 (Ωz), от оси 2 к 3 (Ωx), от оси 3 к 1 (Ωy):
⎛
⎞
+ 0.5R0(R - R0)2 sin l cos bΩ′′0 + . . .],
0
-Ωz Ωy
⎜
⎟
Vl = V∗l -
(14)
⎜
⎟
M- =
⎜
Ωz
0
-Ωx⎟
(8)
⎝
⎠
− [U⊙ sin l - V⊙ cos l - rΩ0 cos b +
−Ωy Ωx
0
+ (R - R0)(R0 cos l - r cos b)Ω′0 +
Из элементов матрицы M компоненты тензора
+ 0.5(R - R0)2(R0 cos l - r cos b)Ω′′0 + . . .],
вращения вычисляются следующим образом:
Vb = V∗b -
(15)
M-32 = 0.5(M32 - M23),
(9)
− [U⊙ cos l sin b + V⊙ sin l sin b - W⊙ cos b -
M-13 = 0.5(M13 - M31),
- R0(R - R0)sin l sin bΩ′0 -
M-21 = 0.5(M12 - M21).
- 0.5R0(R - R0)2 sin l sin bΩ′′0 - . . .],
Каждая из величин M+12, M+13, M+23 описывает де-
формацию в соответствующей плоскости. Из эле-
где скорости V∗r, V∗l, V∗b, стоящие в правых частях
ментов матрицы M они вычисляются следующим
уравнений, — это исходные скорости, а в левых
образом:
частях уравнений находятся скорректированные
скорости Vr, Vl, Vb, с использованием которых
M+12 = 0.5(M12 + M21),
(10)
можно вычислить остаточные скорости U, V , W по
M+13 = 0.5(M13 + M31),
формулам (12).
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№9
2021
638
БОБЫЛЕВ, БАЙКОВА
300
(а)
(б)
(в)
200
100
0
100
200
M11
M12
M13
300
100
(г)
(д)
(е)
50
0
50
100
150
200
M21
M22
M23
250
80
(ж)
(з)
(и)
60
40
20
0
20
40
60
M31
M32
M33
80
12
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8 10
20
15
10
5
0
5
10
15
2.0
1.5
1.0
0.5
0
0.5
1.0
1.5
x, кпк
y, кпк
z, кпк
Рис. 1. Скорости U, V , W в зависимости от гелиоцентрических прямоугольных координат x, y, z. На каждой панели
даны соответствующие обозначения матрицы деформации Mp,q, на панели (б) линией серого цвета показана зависимость
U = M12 × y, где M12 = 28.71 км/с/кпк. Значение параметра M12 с вероятностью 95% находится в доверительном
интервале [26.74, 30.68] км/с/кпк.
В квадратных скобках в правых частях урав-
для принятого значения R0 = 8.0 кпк. С этими
нений (13)-(15) со своими знаками находятся
параметрами в работе Бобылева и др. (2021) по-
выражения, которые использовались для по-
строен рис. 4c. В настоящей работе формирова-
иска параметров галактического вращения. В
ние остаточных скоростей цефеид производится со
частности, в работе Бобылева и др. (2021) по
значениями параметров угловой скорости враще-
цефеидам из работы Мроза и др. (2019) бы-
ния Галактики (16).
ло найдено (U⊙, V⊙, W⊙) = (8.53, 14.88, 6.09) ±
± (0.47, 0.63, 0.45) км/с, а также
Ограничения
Ω0 = -28.71 ± 0.15 км/с/кпк,
(16)
Чтобы избавиться от нескольких сильно отска-
кивающих остаточных скоростей цефеид, исполь-
Ω′0 = 3.957 ± 0.044 км/с/кпк2,
зуем следующие ограничения:
Ω′′0 = -0.871 ± 0.033 км/с/кпк3,
|U| < 80 км/с,
(17)
Ω′′′0 = 0.153 ± 0.013 км/с/кпк4,
|V | < 80 км/с,
ΩIV0
= -0.013 ± 0.002 км/с/кпк5
|W | < 60 км/с,
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№9
2021
ОСОБЕННОСТИ ТРЕХМЕРНОЙ КИНЕМАТИКИ
639
Таблица 1. Кинематические параметры модели Огородникова-Милна
Параметр
R < 12 кпк
R < 14 кпк
Все цефеиды
N⋆
685
778
816
σ0, км/с
12.44
12.46
12.47
U⊙, км/с
8.28 ± 0.50
8.53 ± 0.46
8.61 ± 0.45
V⊙, км/с
15.17 ± 0.50
14.68 ± 0.46
14.57 ± 0.46
W⊙, км/с
6.01 ± 0.49
5.56 ± 0.45
5.47 ± 0.45
M11, км/с/кпк
0.66 ± 0.26
0.74 ± 0.19
0.68 ± 0.17
M12, км/с/кпк
-0.13 ± 0.15
-0.02 ± 0.14
0.00 ± 0.13
M13, км/с/кпк
-4.40 ± 3.10
-5.02 ± 2.33
-8.11 ± 1.53
M21, км/с/кпк
-0.18 ± 0.26
-0.27 ± 0.19
-0.27 ± 0.17
M22, км/с/кпк
-0.38 ± 0.15
-0.18 ± 0.14
-0.18 ± 0.13
M23, км/с/кпк
5.24 ± 3.10
7.54 ± 2.28
7.36 ± 1.52
M31, км/с/кпк
-0.24 ± 0.25
-0.58 ± 0.19
-0.64 ± 0.17
M32, км/с/кпк
0.24 ± 0.14
0.19 ± 0.13
0.25 ± 0.13
M33, км/с/кпк
6.61 ± 2.97
2.42 ± 2.18
2.92 ± 1.46
Kxyz, км/с/кпк
2.31 ± 1.00
1.00 ± 0.74
1.13 ± 0.50
где скорости U, V и W являются остаточными, т.е.
Статистическая значимость регрессии, указан-
исправленными за вращение Галактики.
ной на рис. 1б, была нами проверена с использо-
На рис. 1 приведены скорости U, V , W в
ванием t-критерия Стьюдента. Зависимость оказа-
зависимости от гелиоцентрических прямоугольных
лась статистически значимой. Доверительный ин-
координат x, y, z. Скорости U, V и W вычислены
тервал, в котором найденный параметр регрессии
с использованием ограничений (17), по которым из
находится с вероятностью 95%, приведен в подпи-
общего списка было отброшено всего 16 звезд.
си к рисунку.
На рис. 1б показана зависимость U = M12 × y,
где M12 соответствует угловой скорости вращения
Как можно видеть из рис. 1, скорости U и V
Галактики вокруг оси z (см. (8)), значение кото-
изменяются в очень широком интервале значений.
рой мы используем в (16), M12 = ∂U/∂y = -Ωz =
Поэтому для изучения градиентов вида ∂U/∂z и
= 28.71 км/с/кпк. Видно, что точки на графике
хорошо следуют этой линейной зависимости в ши-
∂V/∂z необходимо тщательно учесть дифферен-
роком интервале -10 < y < 10 кпк. Но в других
циальное вращение Галактики. Видно также, что
случаях, особенно на рис. 1д, отчетливо проявляет-
скорости W имеют существенно меньший размах и
ся нелинейный характер распределения скоростей.
не коррелируют с галактическим вращением.
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№9
2021
640
БОБЫЛЕВ, БАЙКОВА
80
(а)
(б)
(в)
60
40
20
0
20
40
60
M
11
M12
M13
80
80
(г)
(д)
(е)
60
40
20
0
20
40
60
M
21
M22
M23
80
80
(ж)
(з)
(и)
60
40
20
0
20
40
60
M31
M32
M
33
80
12
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8 10
20
15
10
5
0
5
10
15
2.0
1.5
1.0
0.5
0
0.5
1.0
1.5
x, кпк
y, кпк
z, кпк
Рис. 2. Скорости U, V , W, исправленные за вращение Галактики, в зависимости от гелиоцентрических прямоугольных
координат x, y, z. На каждой панели даны соответствующие обозначения матрицы деформации Mp,q, на панели (а)
показана зависимость U = M11 × x, где M11 = 0.68 км/с/кпк с доверительным интервалом [0.63, 0.73] км/с/кпк,
на панели (в) дана зависимость U = M13 × z, где M13 = -8.11 км/с/кпк с доверительным интервалом [-8.68,
-7.54] км/с/кпк, на панели (е) дана зависимость V = M23 × z, где M23 = 7.36 км/с/кпк с доверительным интервалом
[6.73, 7.99] км/с/кпк, а на панели (ж) дана зависимость W = M31 × x, где M31 = -0.64 км/с/кпк с доверительным
интервалом [-0.69, -0.59] км/с/кпк.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
условных уравнений вида (3)-(5), компоненты пе-
кулярной скорости Солнца (U, V, W )⊙
и девять
Полная модель
элементов матрицы M (2).
Мы ожидаем, что кинематические эффекты,
В табл. 1 приведены параметры линейной мо-
связанные с варпом, должны проявляться при
дели Огородникова-Милна, найденные в резуль-
значительных гелиоцентрических расстояниях,
тате МНК-решения системы условных уравнений
примерно при r > 6 кпк (R > 14 кпк). В основе
вида (3)-(5). При этом скорости Vr, Vl, Vb были
этих ожиданий лежат карты распределения дале-
исправлены за дифференциальное вращение Га-
ких от Солнца объектов (Руссейль, 2003; Момани
лактики с использованием соотношений (13)-(15),
и др., 2006; Калберла, Дедес, 2008; Сковрон и др.,
а также параметров (16).
2019б), распределения вертикальных скоростей
В верхней части таблицы даны количество ис-
далеких звезд (Поджио и др., 2018) и моделей
пользуемых звезд N⋆, ошибка единицы веса σ0,
варпа (Лопеc-Корредоира и др., 2002б; Юси-
найденная в результате МНК-решения системы
фов, 2004; Хробакова, Лопес-Корредоира, 2021).
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№9
2021
ОСОБЕННОСТИ ТРЕХМЕРНОЙ КИНЕМАТИКИ
641
Особенно интересно отметить работу Поджио и
Плоскость XY . Рассмотрим тензор смещений,
др. (2018), где хорошо видно, что вертикальные
описывающий остаточное вращение вокруг оси z.
скорости далеких звезд начинают сильно расти при
Обозначим этот тензор как Mxy, так как его эле-
R > 14 кпк. Поэтому вычисления проведены для
ментами являются частные производные скоростей
трех вариантов галактоцентрического расстояния:
U, V по x и y:
R < 12 кпк, R < 14 кпк и при любом R.
⎛
⎞
∂U/∂x ∂U/∂y
Соответствующие результаты даны в трех
⎠.
Mxy =⎝
(18)
столбцах. Таким образом, имеем три выборки
∂V /∂x ∂V /∂y
цефеид, расположенные на разных расстояниях от
галактического центра.
Элементы этого тензора можно записать через хо-
Скорости (U,V,W)⊙ являются групповой ско-
рошо известные постоянные Оорта (A, B, C, K)xy ,
которые в нашем случае описывают остаточные
ростью (с обратным знаком) рассматриваемой вы-
эффекты:
борки цефеид. Сюда входят пекулярное движение
⎛
⎞
Солнца относительно местного стандарта покоя,
возмущения от спиральной волны плотности и вли-
K+C A-B
⎠.
Mxy =⎝
(19)
яние на скорость V⊙ так называемого асиммет-
A+B K-C
ричного дрейфа (отставание от круговой скорости
вращения с возрастом выборки).
Согласно представленным в последнем столбце
В настоящее время считается, что наилучшим
табл. 1 данным, имеем (элементы матрицы даны
образом компоненты пекулярной скорости Солнца
в км/с/кпк)
относительно местного стандарта покоя определе-
⎛
⎞
ны в работе Шонриха и др. (2010): (U, V, W )⊙ =
0.68(0.17)
0.0(0.13)
Mxy =⎝
⎠,
(20)
= (11.1, 12.2, 7.3) ± (0.7, 0.5, 0.4) км/с. Видим, что
−0.27(0.17) -0.18(0.13)
найденные нами значения групповой скорости
находятся в хорошем согласии с этой оценкой.
на основе которых находим Axy = -0.13 ±
Небольшую разницу около 2.5 км/с в скоростях V⊙
±0.11
км/с/кпк, Bxy = -0.13 ± 0.11 км/с/кпк,
можно объяснить влиянием асимметричного дрей-
Cxy = 0.43 ± 0.11 км/с/кпк и Kxy = 0.25 ±
фа. Отметим, что в работе Бобылева и др. (2021)
были найдены близкие значения (U, V, W )⊙ =
±0.11 км/с/кпк.
= (10.1, 13.6, 7.0) ± (0.5, 0.6, 0.4) км/с при анализе
Нулевое значение разности Axy - Bxy = -Ω0 и
этой же выборки цефеид на основе нелинейной
близкое к нулевому значение суммы этих величин
модели галактического вращения.
говорят о том, что учет дифференциального вра-
щения Галактики с параметрами (16) сделан очень
Как можно видеть из первого столбца (R <
хорошо. Имеется незначительный эффект расши-
< 12 кпк) таблицы, нет ни одного элемента матри-
рения Kxy. Значимо отличается от нуля величина
цы M, значимо отличающегося от нуля. Во втором
Cxy. Это говорит о том, что эллипс остаточных ско-
столбце (R < 14 кпк) таблицы имеются два эле-
мента, значимо отличающиеся от нуля, M11 и M23.
ростей в плоскости xy имеет отклонение (отклоне-
В третьем столбце (при любом R) таблицы имеются
ние вертекса) от направления на центр Галактики
четыре таких элемента: M11, M13, M23 и M31.
с величиной tan 2lxy = -C/A, тогда lxy = 36 ± 7◦.
Такое отклонение вертекса может быть связано как
На рис. 2 даны скорости U, V , W , исправленные
с влиянием спиральной волны плотности, так и с
за вращение Галактики, в зависимости от коорди-
влиянием варпа.
нат x, y, z. Выборка цефеид соответствует случаю,
Плоскость Y Z. Рассмотрим тензор смещений
когда никакого ограничения на расстояние R не на-
Myz:
кладывалось. Показаны четыре зависимости M11,
⎛
⎞
M13, и M23 и M31, соответствующие найденным
градиентам, значения которых даны в последней
∂V /∂z
Myz =⎝∂V/∂y
⎠.
(21)
колонке таблицы.
∂W/∂y ∂W/∂z
Четыре ненулевые оценки коэффициентов ре-
грессии были проверены на статистическую зна-
Согласно данным из последнего столбца табл. 1,
чимость с использованием t-критерия Стьюдента.
имеем
⎛
⎞
Все они оказались статистически значимыми. Со-
ответствующие доверительные интервалы, в кото-
Myz =⎝-0.18(0.13) 7.36(1.52)
⎠.
(22)
рых найденные параметры регрессии находятся с
0.25(0.13)
2.92(1.46)
вероятностью 95%, даны в подписи к рис. 2.
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№9
2021
642
БОБЫЛЕВ, БАЙКОВА
Если следовать строго правилу
(9), то здесь
остаточными — они свободны от влияния галак-
получаем большое отрицательное вращение во-
тического вращения. Этот эффект хорошо можно
круг оси x, M-32 = -3.55 ± 0.76 км/с/кпк. Отме-
видеть из сравнения нижних графиков на рис. 1ж-
и и 2ж-и — после учета галактического вращения
тим, что в реальность градиента ∂V/∂z = 7.36 ±
скорости W остаются неизменными.
± 1.52
км/с/кпк трудно поверить, так как он
означает, что скорость галактического вращения
Отметим, что на определение градиентов ∂U/∂z
должна увеличиваться с увеличением z. В действи-
и
∂V/∂z сильное влияние оказывают всего
тельности происходит ровно наоборот.
несколько звезд с большими z, что можно видеть из
Бобылев (2013б) строго следовал правилу (9),
рис. 2в и 2е. Реальная, хорошо просматриваемая
когда из анализа около 200 долгопериодических
зависимость видна на рис. 1б для градиента ∂U/∂y.
цефеид получил огромное значение величины
На рис. 2ж видно, что вертикальные скорости
∂V/∂z = 27 ± 10 км/с/кпк. Линейная скорость
возрастают в направлении антицентра Галактики (в
звезд при таком градиенте, при z = 2 кпк (мак-
нашем случае при более отрицательных значениях
симальные значения на наших рис. 1 и 2), может
x). Налицо положительное вращение вокруг оси y.
составлять более 50 км/с. Такая скорость, конечно,
Более того, это заключение находится в хорошем
является слишком большой. Она характерна,
согласии с результатами анализа вертикальных
скорее, для убегающих звезд, обладающих пеку-
скоростей цефеид в работе Сковрон и др. (2019б).
лярными скоростями. В итоге Бобылев (2013б)
получил оценку угловой скорости вращения вокруг
Интересно отметить, что никакого значимо от-
личающегося от нуля объемного эффекта расши-
галактической оси x с величиной -15 ± 5 км/с/кпк.
Рассматривались цефеиды из околосолнечной
рения/сжатия (Kxyz) не обнаружено. Заметный
области радиусом
6
кпк, что примерно соот-
плоский эффект расширения/сжатия в какой-либо
ветствует нашей выборке, результаты анализа
из трех плоскостей также не выявлен.
которой даны во втором столбце табл. 1. Тогда
Для подавляющего большинства цефеид вы-
использовалась другая кривая вращения Галактики
борки (для 804 звезд из 832) известны оценки
для формирования остаточных скоростей звезд.
возраста, согласно определениям Сковрон и др.
Собственные движения были взяты из каталогов
(2019а). Мы разделили выборку на две части с
UCAC4 (Захариас и др., 2013) и TRC (Хег и др.,
границей возраста 120 млн лет. Количество отно-
2000). Можем заключить, что большое значение
сительно молодых цефеид (t < 120 млн лет) соста-
градиента ∂V/∂z не подтверждается. Скорее всего,
вило 507, а более старых (t ≥ 120 млн лет) — 297.
такой градиент мало связан с реальным вращением
варпа.
Для каждой из этих подвыборок были вычислены
параметры нашей модели при различных ограниче-
Плоскость XZ. Здесь тензор смещений Mxz
ниях на R, но никаких принципиальных различий в
выглядит так:
⎛
⎞
зависимости от ограничений на возраст цефеид не
было найдено. Поэтому результаты таких вычисле-
∂U/∂x
∂U/∂z
⎠.
Mxz =⎝
(23)
ний мы не приводим.
∂W/∂x ∂W/∂z
Согласно данным из последней колонки табл. 1,
Анализ собственных движений
имеем
⎛
⎞
Известно (Огородников, 1965), что все три
-8.11(1.53)
Mxz =⎝0.68(0.17)
⎠.
(24)
компонента вращения M-32, M-13, M-21 опреде-
−0.64(0.17)
2.92(1.46)
ляются без лучевых скоростей, только из ана-
лиза собственных движений звезд. Мы решили
Если и здесь строго следовать правилу (9), то
повторить вычисления, используя простейшую
получаем большое отрицательное вращение вокруг
модель с шестью определяемыми неизвестными
оси y, M-31 = -3.74 ± 0.77 км/с/кпк.
— тремя компонентами пекулярной скорости
Солнца (U, V, W )⊙ и тремя скоростями вращения
На рис. 2 специально серым цветом показаны
зависимости, найденные по остаточным скоростям
M-32,M-13,M-21. При таком подходе предполагается,
U и V , которые зависят от учета кривой вращения,
что какие-либо деформации отсутствуют (все
влияния спиральной волны плотности (которое мы
компоненты симметричного тензора равны нулю).
не учитывали). А вот зависимость ∂W/∂x дана
Точнее, отсутствуют деформации, связанные с
красной линией, чтобы подчеркнуть ее важность,
варпом. Условные уравнения имеют следующий
так как вертикальные скорости W не являются
вид:
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№9
2021
ОСОБЕННОСТИ ТРЕХМЕРНОЙ КИНЕМАТИКИ
643
Таблица 2. Кинематические параметры, найденные по собственным движениям цефеид
Параметр
R < 12 кпк
R < 14 кпк
Все цефеиды
x < 5 кпк
N⋆
685
778
816
808
σ0, км/с
10.70
10.66
10.88
10.67
U⊙, км/с
6.96 ± 0.51
7.05 ± 0.50
7.20 ± 0.50
7.24 ± 0.49
V⊙, км/с
11.69 ± 0.72
11.06 ± 0.63
11.39 ± 0.63
11.25 ± 0.63
W⊙, км/с
6.12 ± 0.42
5.62 ± 0.39
5.52 ± 0.39
5.58 ± 0.39
M-32, км/с/кпк
0.26 ± 0.12
0.17 ± 0.11
0.28 ± 0.10
0.33 ± 0.10
M-13, км/с/кпк
0.18 ± 0.22
0.58 ± 0.16
0.44 ± 0.14
0.54 ± 0.15
M-21, км/с/кпк
0.04 ± 0.11
-0.03 ± 0.09
0.22 ± 0.09
0.23 ± 0.09
Vl = U⊙ sin l - V⊙ cos l +
(25)
ошибки лучевых скоростей в среднем составля-
ют около 5 км/с. Типичная ошибка собственно-
+ r[- cos l sinbM-32 -
го движения 0.1 мсд/год дает ошибку, тангенци-
- sin l sin bM-13 + cos bM-21],
альную скорости, равную 5 км/с (0.1 × 4.741 × r)
для гелиоцентрических расстояний, превышающих
Vb = U⊙ cos l sinb +
(26)
10 кпк. Таким образом, в нашей выборке случай-
+ V⊙ sinlsinb - W⊙ cosb +
ные ошибки тангенциальных скоростей в среднем
меньше ошибок лучевых скоростей (рис. 1 в работе
+ r[sinlM-32 - cos lM-13].
Бобылева и др., 2021). Из табл. 2 можно видеть, что
В левых частях стоят остаточные скорости, урав-
имеется разница в 3-4 км/с в определении скоро-
нение решается методом наименьших квадратов.
сти V⊙, что может быть связано с особенностью лу-
Результаты решений отражены в табл. 2.
чевых скоростей. Главное, что такой эффект может
Как видно на рис. 2ж, вертикальные скорости
влиять на качество остаточных скоростей V (при
возрастают в направлении антицентра Галактики,
использовании полной модели). В целом можем
что согласуется с гипотезой о вращении варпа. А
заключить, что анализ только собственных дви-
во внутренней области Галактики имеется большая
жений цефеид подтверждает наличие остаточного
дисперсия скоростей W . Чтобы исключить такие
вращения вокруг оси y.
цефеиды с большой дисперсией скоростей W , бы-
Отметим, что наличие положительного остаточ-
ло выполнено дополнительное решение уравне-
ного вращения вокруг осей y и x находится в согла-
ний (25)-(26) при ограничении на значение ко-
сии с результатами анализа огромного количества
ординаты x. Результаты такого решения даны в
далеких звезд, выполненного в работах Поджио и
последнем столбце табл. 2. Это решение интересно
др. (2018, 2020).
тем, что показывает наличие двух положительных
вращений, значение каждого из которых значимо
отличается от нуля.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Все решения в табл. 2 имеют ошибку единицы
веса около 10 км/с. Это меньше, чем было по-
Проанализированы трехмерные движения боль-
лучено при совместных решениях. Меньшее зна-
шой выборки классических цефеид. Для этого
чение ошибки единицы веса достигается не толь-
использованы данные из работы Мроза и др.
ко за счет неиспользования лучевых скоростей,
(2019). Цефеиды этой выборки расположены в
но и за счет существенного сокращения искомых
широком диапазоне галактоцентрических расстоя-
неизвестных. Следует также учесть, что случайные
ний R : 4 - 20 кпк. Максимальное возвышение над
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№9
2021
644
БОБЫЛЕВ, БАЙКОВА
галактической плоскостью этих звезд не превы-
5.
Бердников Л.Н., Письма в Астрон. журн. 13, 110
шает 2 кпк, т.е. |z| < 2 кпк. Применена линейная
(1987). [L. N. Berdnikov, Astron. Lett. 13, 45 (1987)].
модель Огородникова-Милна. Из наблюдаемых
6.
Бекки (K. Bekki), MNRAS 422, 1957 (2012).
скоростей звезд заранее было исключено галакти-
7.
Бобылев В.В., Письма в Астрон. журн. 36, 667
(2010) [V. V. Bobylev, Astron. Lett. 36, 634 (2010)].
ческое вращение, найденное нами ранее на основе
нелинейной модели.
8.
Бобылев В.В., Письма в Астрон. журн. 39, 837
(2013а) [V.V. Bobylev, Astron. Lett. 39, 753 (2013a)].
Показано, что в галактической плоскости xy
9.
Бобылев В.В., Письма в Астрон. журн. 39, 909
практически отсутствуют значимо отличающиеся
(2013б) [V. V. Bobylev, Astron. Lett. 39, 819 (2013b)].
от нуля компоненты модели Axy и Bxy. Таким
10.
Бобылев и др. (V.V. Bobylev, A.T. Bajkova,
образом, отсутствует какое-либо остаточное вра-
A.S. Rastorguev, and M.V. Zabolotskikh), MNRAS
щение. Из анализа значений параметров Axy и Cxy
502, 4377 (2021).
найдено, что в плоскости xy имеется отклонение
11.
Браун и др. (Gaia Collaboration, A.G.A. Brown,
вертекса lxy с величиной 36 ± 7◦.
A. Vallenari, T. Prusti, J.H.J. de Bruijne,
Несколько другая ситуация наблюдается в
C. Babusiaux, Bailer-Jones, M. Biermann,
плоскостях zx и zy. С увеличением максимального
D.W. Evans, et al.), Astron. Astrophys. 616,
1
расстояния R выборки все больше проявляют
(2018).
себя два градиента, M13 = ∂U/∂z и M23 = ∂V/∂z.
12.
Ванг и др. (S. Wang, X. Chen, R. de Grijs, et al.),
Astrophys. J. 852, 78 (2018).
Максимальных значений эти величины достигают
при максимальных значениях радиуса рассматри-
13.
Вестерхут (G. Westerhout), Bull. Astron. Inst.
Netherlands 13, 201 (1957).
ваемой окрестности M13 = -8.2 ± 1.5 км/с/кпк и
14.
Дриммель и др. (R. Drimmel, R.L. Smart, and
M23 = 7.3 ± 1.5 км/с/кпк. Показано, что скорости
M.G. Lattanzi), Astron. Astrophys. 354, 67 (2000).
U и V сильно зависят от того, как из них вычтена
15.
Дриммель, Шпергель (R. Drimmel and
кривая вращения Галактики. Поэтому найденные
D.N. Spergel), Astrophys. J. 556, 181 (2001).
значения этих градиентов могут быть и не связан-
16.
Захариас и др. (N. Zacharias, C. Finch, T. Girard,
ными с вращением варпа.
et al.), Astron. J. 145, 44 (2013).
На основе полной модели Огородникова-
17.
Калберла, Дедес (P.M.W. Kalberla and L. Dedes),
Милна определен градиент ∂W/∂x = -Ωy с ве-
Astron. Astrophys. 487, 951 (2008).
личиной -0.64 ± 0.17 км/с/кпк. В данном случае
18.
Клюб (S.V.M. Clube), Mon. Not. R. Astron. Soc.
159, 289 (1972).
вертикальная скорость W не зависит от галакти-
ческого вращения. Поэтому найденную величину
19.
Лопес-Корредоира и др. (M. L ´opez-Corredoira,
J. Betancort-Rijo, and J. Beckman), Astron.
Ωy = +0.64 ± 0.17 км/с/кпк можно интерпретиро-
Astrophys. 386, 169 (2002а).
вать как вращение варпа вокруг оси y.
20.
Лопеc-Корредоира и др. (M. L ´opez-Corredoira,
Вычисления, выполненные на основе сокращен-
A. Cabrera-Lavers, F. Garz ´on, and P.L. Hammersley),
ной модели с использованием только собственных
Astron. Astrophys. 394, 883 (2002б).
движений цефеид в предположении об отсутствии
21.
Лопеc-Корредоира и др. (M. L ´opez-Corredoira,
деформаций, связанных с варпом, подтвердили на-
H. Abedi, F. Garz ´on, and F. Figueras), Astron.
личие остаточного вращения вокруг оси y со скоро-
Astrophys. 572, 101 (2014).
стью Ωy = +0.54 ± 0.15 км/с/кпк. Также они по-
22.
Миямото, Жу (M. Miyamoto and Z. Zhu), Astron. J.
казали наличие небольшого положительного вра-
115, 1483 (1998).
щения и вокруг оси x со скоростью Ωx = +0.33 ±
23.
Момани и др. (Y. Momany, S. Zaggia, G. Gilmore,
et al.), Astron. Astrophys. 451, 515 (2006).
± 0.10 км/с/кпк.
24.
Мроз и др. (P. Mr ´oz, A. Udalski, D.M. Skowron,
Авторы благодарны рецензентам за полезные
et al.), Astrophys. J. 870, L10 (2019).
замечания, которые способствовали улучшению
25.
Огородников К.Ф., Динамика звездных систем
статьи.
(М.: Физматгиз, 1965) [K.F. Ogorodnikov, Dynamics
of stellar systems (Oxford: Pergamon, ed. Beer, A.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1965)].
1. Андерсон и др. (R.I. Anderson, H. Saio, S. Ekstr ¨om,
26.
Олано (C.A. Olano), Astron. Astrophys. 423, 895
C. Georgy, and G. Meynet), Astron. Astrophys. 591,
(2004).
A8 (2016).
27.
Поджио и др. (E. Poggio, R. Drimmel,
2. Аблимит и др. (I. Ablimit, G. Zhao, C. Flynn, and
M.G. Lattanzi, R.L. Smart, A. Spagna, R. Andrae,
S.A. Bird), Astrophys. J. 895, L12 (2020).
C.A.L. Bailer-Jones, M. Fouesneau, et al.), MNRAS
3. Байлин (J. Bailin), Astrophys. J. Lett. 583, L79
481, L21 (2018).
(2003).
28.
Поджио и др. (E. Poggio, R. Drimmel, R. Andrae,
4. Баттанер и др. (E. Battaner, E. Florido, and
C.A.L. Bailer-Jones, M. Fouesneau, M.G. Lattanzi,
M.L. Sanchez-Saavedra), Astron. Astrophys. 236, 1
R.L. Smart, and A. Spagna), Nature Astron. 4, 590
(1990).
(2020).
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№9
2021
ОСОБЕННОСТИ ТРЕХМЕРНОЙ КИНЕМАТИКИ
645
29. Резер и др. (S. R ¨oser, M. Demleitner, and
37. Хег и др. (E. Høg, C. Fabricius, V.V. Makarov, et al.),
E. Schilbach), Astron. J. 139, 2440 (2010).
Astron. Astrophys. 355, L27 (2000).
30. Руссейль (D. Russeil) Astron. Astrophys. 397, 133
38. Хробакова, Лопес-Корредоира (Z. Chrob ´akov ´a and
(2003).
M. L ´opez-Corredoira), Astrophys. J. 912, 130 (2021).
31. Сковрон и др. (D.M. Skowron, J. Skowron, P. Mr ´oz,
39. Церсосимо и др. (J.C. Cersosimo, S. Mader,
et al.), Science 365, 478 (2019а).
N.S. Figueroa, et al.), Astrophys. J. 699, 469 (2009).
32. Сковрон и др. (D.M. Skowron, J. Skowron, P. Mr ´oz,
40. Цутия (T. Tsuchiya), New Astron. 7, 293 (2002).
et al.), Acta Astron. 69, 305 (2019б).
41. Ченг и др. (X. Cheng, B. Anguiano, S.R. Majewski,
33. Скрутски и др. (M.F. Skrutskie, R.M. Cutri,
C. Hayes, P. Arras, C. Chiappini, S. Hasselquist,
R. Stiening, M.D. Weinberg, S. Schneider,
Q. de Andrade, et al.), Astrophys. J. 905, 49 (2020).
J.M. Carpenter, C. Beichman, R. Capps, et al.),
42. Шонрих и др. (R. Sch ¨onrich, J.J. Binney, and
Astron. J. 131, 1163 (2006).
W. Dehnen), Mon. Not. R. Astron. Soc. 403, 1829
34. Спарк, Казертано (L. Sparke and S. Casertano),
(2010).
MNRAS 234, 873 (1988).
43. Юсифов (I. Yusifov), astro-ph/0405517 (2004).
35. Удальский и др. (A. Udalski, M.K. Szyma ´nski, and
G. Szyma ´nski), Acta Astron. 65, 1 (2015).
44. The HIPPARCOS and Tycho Catalogues, ESA SP-
36. Ферни (J.D. Fernie), Astron. J. 73, 995 (1968).
1200 (1997).
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47
№9
2021
