ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2021, том 47, № 9, с. 646-656

СТРУКТУРА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗВЕЗД, СОСТОЯЩИХ

ИЗ НЕСЖИМАЕМОГО ВЕЩЕСТВА, В ОТСУТСТВИЕ СТРОГОЙ

ЭЛЕКТРОНЕЙТРАЛЬНОСТИ

¹Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия

²НИЦ “Курчатовский Институт” — ИТЭФ, Москва, Россия

Поступила в редакцию 13.07.2021 г.

После доработки 05.08.2021 г.; принята к публикации 05.08.2021 г.

В рамках ОТО рассмотрена структура звезды, состоящей из локально неэлектронейтрального

несжимаемого трехкомпонентного вещества. Для термодинамических величин типа давления решение

представимо в виде ряда по малому параметру 1/Λ_G ∼ 10-36, где первое приближение — хорошо

известное электронейтральное решение. Но уравнения равновесия для химических потенциалов

компонент вещества, как оказывается, даже в нулевом порядке содержат конечные вклады, возника-

ющие из-за учета эффектов неэлектронейтральности. Для всех рассматриваемых параметров задачи

получены аналитические решения, которые иллюстрируются численными примерами.

Ключевые слова: нейтронные звезды, общая относительность, структура звезд, электронейтральность

вещества

DOI: 10.31857/S0320010821090060

ВВЕДЕНИЕ

где n — локальная концентрация вещества, Δn —

разность концентраций положительных и отри-

цательных зарядов. Вследствие этого возникает

При расчете параметров звездной плазмы обыч-

крупномасштабное поле поляризации, и, факти-

но применяется приближение локальной электро-

чески, каждый ион (или положительно заряжен-

нейтральности (ЛЭН), т.е. предполагается, что

ное ядро) находится в равновесии двух сил: поля

концентрации положительных и отрицательных за-

тяготения и электростатического поля поляриза-

рядов строго равны в каждой точке. Объясня-

ции. Применительно к белым карликам проблема

ется это чрезвычайной слабостью гравитации по

поляризации рассматривалась, например, в книге

сравнению другими силами: так, отношение силы

Шацмана (1958). В силу своей слабости это поле

электростатического отталкивания двух протонов к

практически никак не влияет на структуру звезды

силе их гравитационного притяжения характеризу-

и учитывается разве что при расчете процессов

ется параметром

диффузии (см., например, Безногов, Яковлев, 2013;

Горшков, Батурин, 2008) в звездах. Таким образом,

Λ_G =

≈ 1.25 × 10³⁶.

(1)

ЛЭН вещества — отличное приближение для рас-

Gm^2u

чета структуры и свойств звезд.

Между тем, как впервые показал Росселанд (1924),

Структура звезд в отсутствие ЛЭН рассматри-

внутри обычных звезд плазма поляризуется в их

валась в целом ряде работ (см., например, Балли,

гравитационном поле. Возникает постоянный ло-

Харрисон, 1978; Неслушан, 2001; Иосилевский,

кальный дисбаланс заряда, характеризуемый ма-

2009). Криворученко и др. (2018) исследовали рас-

лым параметром 1/Λ_G:

сматриваемую тему в ньютоновском приближении,

используя двухкомпонентные политропные модели

|Δn|

звезд. Оказалось, что полное решение, определя-

∼ 10-36,

(2)

ющее структуру звезды, состоит из двух частей:

регулярной части, которая представима в виде ряда

по малому параметру 1/Λ_G с ЛЭН-решением в

^*Электронный адрес: kramarev-nikita@mail.ru

качестве нулевого приближения, и нерегулярной

646

СТРУКТУРА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗВЕЗД

647

части, которая экспоненциально мала везде, за

корой НЗ, нами здесь также не рассматрива-

исключением конечного числа зон, обычно рас-

лись. Несмотря на известную искусственность, эта

положенных на границе области интегрирования

простая модель (toy model) позволяет не только

(так называемый пограничный слой). Это связано с

“почувствовать физику” задачи в рамках ОТО,

тем, что уравнения равновесия звезды в отсутствие

но и получать важные результаты. Например, в

ЛЭН относятся к так называемым сингулярно

рамках этого приближения в свое время было

возмущенным задачам (см., например, О’Мэлли,

выведено ограничение на массу M и радиус R НЗ:

1991), т.е. случаю, когда малый параметр стоит при

GM/Rc² < 4/9, которое остается справедливым и

старшей производной дифференциального уравне-

в общем случае (Вайнберг, 2000). Важно также, что

ния. Но даже в полученном полном решении от-

политропа n = 0 не имеет нерегулярной компонен-

клонения от ЛЭН малы, ЛЭН сильно нарушается

ты решения (см. Приложение в Криворученко и др.,

только в тонком поверхностном слое (так назы-

2018), что значительно его упрощает. В данной ра-

ваемой “электросфере”), поле поляризации везде

боте нам даже удалось получить аналитическое

мало, а полный заряд звезды может меняться лишь

решение для исследуемой модели в рамках ОТО.

в узких пределах -0.1 ≲ Q ≲ 150 K.

Статья организована следующим образом: сна-

Однако все вышесказанное касается обычных,

чала мы записываем основные уравнения зада-

невырожденных звезд или белых карликов. В от-

чи в общем виде. Затем, используя приближе-

носительно недавних работах Ротондо и др. (2011),

ние несжимаемого вещества, упрощаем уравнения

Бельведере и др. (2012), Бельведере и др. (2015)

и приводим их к безразмерному виду. Получен-

рассматривались эффекты отклонения от ЛЭН в

ные решения затем иллюстрируются на несколь-

нейтронных звездах (НЗ). Авторы утверждают, что

ких примерах. Далее в работе приводятся краткое

ими получено решение, в котором концентрация

обсуждение электросфер в данном приближении и

протонов на границе ядра НЗ значительно пре-

Заключение.

восходит концентрацию электронов и достигает

там максимума. Это приводит к росту электри-

ческого поля поляризации, достигающего значе-

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ния нескольких тысяч швингеровских критических

Запишем уравнения задачи в виде, приведенном

полей! Над этим ядром находится электросфе-

в работе Олсона и Бэйлина (1978):

ра электронов, компенсирующая большой поло-

[

]

жительный заряд ядра, а на ней покоится ко-

Q²

ра, представляющая собой решетку из нейтронно-

= 4πr2 ρ+

(3)

8πc²r⁴

избыточных ядер в Ферми-море электронов (авто-

∑

ры использовали здесь уравнение состояния Бейма

= 4πr²eλ/2

q_in_i,

(4)

и др., 1971). Отсутствие протяженной области пе-

рехода ядро-кора, от однородного ядерного веще-

dμ_k

q_kQ

=eλ/2

(5)

ства к нейтронно-избыточным ядрам (см. рис. 17

r²

из работы Бельведере и др., 2012), приводит к

[

(∑

)]

Gμ_k

Q²

4πr³

отличиям, в частности, таких наблюдаемых макро-

−e^λ

n_iμ_i

- ρc²

r²c²

2c²r

c²

скопических параметров, как массы и радиусы НЗ,

от значений, предсказываемых классическим ЛЭН

Здесь уравнение (3) есть уравнение непрерывно-

решением (относительно последнего см., например,

сти, r — радиальная координата, m — массовая,

Хензель и др., 2007; Пирсон и др., 2018). В связи

ρ — плотность массы-энергии. Величиной Q обо-

с такими расхождениями была осознана необходи-

значен полный заряд внутри сферы радиусом r,

мость дальнейшего исследования вопроса эффек-

определяемый уравнением (4), где сумма в правой

тов отклонения от ЛЭН в вырожденных звездах.

части идет по всем составляющим вещества с за-

Данная работа является первым шагом в этом

рядами q_i, в нашем случае i = n, p, e. Метрическая

направлении. Используя предыдущий опыт (Кри-

функция λ определяется стандартным образом:

ворученко и др., 2018), а также фундаментальные

[

]-1

2Gm

работы Олсона и Бейлина (1975, 1978), получив-

e^λ = -g₁₁ =

(6)

rc²

ших уравнения равновесия вещества в рамках Об-

щей Теории Относительности (ОТО) в отсутствие

где g₁₁ — соответствующая компонента метрики

ЛЭН, нам удалось обобщить прошлые выкладки

Шварцшильда (см., например, Ландау, Лифшиц,

на случай многокомпонентной жидкости в ОТО.

2012). Уравнение (5) является уравнением равно-

При этом мы ограничились пока рассмотрением

весия для химпотенциалов μ_k компонент вещества.

несжимаемого ядерного вещества (политропа n =

Воспользуемся термодинамическими соотношени-

= 0). Упомянутые выше проблемы, связанные с

ями (в предположении, что температура T = 0)

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№9

2021

648

КРАМАРЕВ, ЮДИН

∑

)

Φ≡

μ_in_i = ρc² + P,

(7)

dC(r)

e-λ/2

⁽ dQ²

(13)

∑

8πr⁴

dP =

n_idμ_i,

(8)

[

∫

]₂

4πGr

× C(r) +

e3λ/2dr

где P — давление вещества. Домножив каждое

c⁴

из уравнений (5) на n_k и просуммировав, получим

уравнение равновесия вещества звезды (Олсон,

Вернемся теперь к уравнениям равновесия (5). Их

Бэйлин, 1975):

можно переписать в виде

^∑q_in_i

dμ_k

q_kQ

√

(9)

eλ/2 +

(14)

r²

1-2Gm

rc²

[

]

(

)

(

)

Gμ_k

d (m⁾

4πr

+e^λ

Φ .

ρ+^P

4πr

Q²

c²

dr r

c²

−

(

) m+

P -

r-2Gm

c²

2rc²

c²

Решение этих уравнений можно записать в виде

которое в случае строгой электронейтральности

(Q = 0) превращается в уравнение Толмана-

μ_k(r)e-λ(r)/2 =

(15)

⎡

⎤

Опенгеймера-Волкова (ТОВ).

∫

q_kQ(r^′)

= e-Π(r) ⎣μ_k(0) +

eΠ(r′)dr^′⎦,

r′2

ПОЛИТРОПА n = 0

В дальнейшем мы ограничимся абсолютно

где мы ввели обозначение

жестким уравнением состояния, при котором кон-

∫

центрации компонент вещества n_k постоянны. Оно

4πGr^′

соответствует политропе n = 0 в нерелятивистском

Π(r) ≡

eλ(r′)Φ(r^′)dr^′.

(16)

c⁴

случае. Поскольку внутренняя энергия ϵ вещества

политропы связана с давлением соотношением

ϵ = nP/ρ, то полная плотность энергии-массы ρ

равна просто ρ =

^∑n_im_i. Из формулы (7) тогда

видно, что в рассматриваемом случае термодина-

Безразмерный вид уравнений

мический потенциал Φ отличается от давления P

на постоянную. Воспользуемся этим и перепишем

Прежде чем приступить к решению полученных

уравнение равновесия (9) в виде

уравнений, сделаем несколько упрощающих пред-

dΦ

⁽ dQ² )

положений. Во-первых, будем считать, что веще-

(10)

ство находится в состоянии бета-равновесия, т.е.

8πr⁴

[

]

)

μ_n = μ_p + μ_e. Как видно из уравнения (15), если это

GΦ

d (m

4πr

+e^λ

Φ ,

условие выполняется хотя бы в одной точке звезды,

c²

dr r

c²

то оно выполняется везде (поскольку q_n = 0, а

q_p = -q_e). Во-вторых, будем искать решение, в

где мы также воспользовались уравнениями (3) и

котором и полное, и парциальные давления ком-

(4). Уравнение (10) можно записать в эквивалент-

ной, более удобной форме:

понент обращаются в нуль в одной точке. В этой

)

точке химпотенциалы компонент равны μ_k = m_kc².

d (

Φe-λ/2

(11)

Здесь возникает некоторое противоречие с усло-

вием бета-равновесия, поскольку m_n = m_p + m_e

−λ/2

⁽ dQ² )

4πGr

Чтобы добиться согласованности, будем считать,

Φ²eλ/2.

8πr⁴

c⁴

что m_e = 0, а m_n = m_p = m_u, где m_u — атомная

единица массы. Подобное приближение вполне со-

Решение однородного уравнения (11) есть

ответствует модельному характеру решаемой за-

[

∫

]-1

4πGr

дачи, в частности условию абсолютной жесткости

Φe-λ/2 = C +

e3λ/2dr

(12)

вещества и следующему из него постоянству кон-

c⁴

центраций компонент. В реальности условие бета-

где C — некоторая константа. Решение полного

равновесия будет нарушаться во внешних областях

уравнения (11) ищем методом вариации постоян-

звезды при падении плотности, и уж заведомо оно

ных. Тогда для C = C(r) получаем дифференци-

нарушается в электросфере звезды (см. ниже, а

альное уравнение

также в Криворученко и др., 2018).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№9

2021

СТРУКТУРА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗВЕЗД

649

С учетом сделанных предположений плотность

где qk = 0, ±1 — нормированный безразмерный

вещества есть ρ = ρ_b = m_un_b, где n_b = n_n + n_p —

заряд нейтрона, протона или электрона, а Π(x),

концентрация барионов. Теперь можно ввести

определяемый формулой (16), есть

естественную для данной задачи единицу длины:

∫x

32.7

Π(x) ≡ eλ(x′)φ(x^′)x^′dx^′.

(24)

r₀ =

√ км,

(17)

^√4πGρ_b ≈

ρ₁₄

где ρ₁₄ ≡ ρ(г/см³) × 10-14. Введем пространствен-

Важно отметить, что перед интегральным членом в

ную координату x согласно r = r₀x. Тогда массовая

(23) стоит гигантской множитель Λ_G ∼ 10³⁶, умно-

координата m выражается через безразмерную пе-

женный на относительное отклонение концентра-

ременную η как m(r) = 4πr³⁰ρ_bη(x). Введем также

ций вещества от электронейтральных значений.

безразмерный заряд θ согласно Q(r) = 4πr³⁰e(n_p -

Это означает, что получить решение с безразмер-

- n_e)θ(x), где e — единица электрического заряда.

ными химпотенциалами, имеющими порядок O(1),

Тогда уравнения равновесия звезды (3), (4) запи-

можно, только если

шутся следующим образом:

n_p - n_e

α_e

(25)

n_b

Λ_G

dη

θ²

=x²

+Λ_q

(18)

x²

где α_e = O(1) — численный параметр задачи. Тогда

dθ

=x²eλ/2,

(19)

α^2e

Λ_q =

∼ 10-36

(26)

2Λ

где, как и прежде, e^-λ = 1 - 2η/x, а параметр Λ_q

равен

оказывается малым параметром. В уравнения (18)

)₂

и (22) члены с полем поляризации входят с этим

⁽n_p -n_e

экстремально малым множителем. Исключением

Λ_q =

Λ_G

(20)

n_b

являются уравнения равновесия (23), где гигант-

ский множитель Λ_G

компенсируется соответствен-

Напомним, что величина Λ_G ∼ 10³⁶, стоящая в этой

но малым значением отклонения вещества от элек-

формуле, представляет собой основной и при этом

тронейтральности. Это полностью отвечает рас-

гигантский параметр задачи.

смотренному ранее (Криворученко и др., 2018;

Хунд, Кисслинг, 2021a) случаю ньютоновской гра-

Введя для термодинамического потенциала Φ

витации: при расчете структуры звезды поле по-

безразмерную переменную φ согласно Φ(r) =

ляризации можно не учитывать, но сила, с кото-

= m_uc²n_bφ(x), перепишем соотношение (12) в виде

рой это поле действует на отдельную заряженную

[

∫

]-1

частицу вещества, сравнима с соответствующей

φ(x)e-λ/2 = c(x) + e3λ/2xdx

(21)

гравитационной силой. Действительно, уравнение

равновесия звезды (9), записанное в безразмерных

Уравнение (13) запишется в безразмерном виде

переменных (p ≡ P/ρc²), имеет вид

следующим образом:

= 2Λ_qeλ/2

(27)

e-λ/2

⁽ dθ² )

x²

= -Λ_q

(22)

(

)

x⁴

1+p

θ²

−e^λ

η+x³p-Λq

[

∫

]₂

x²

× c(x) + e3λ/2xdx

и все поправки к стандартному уравнению ТОВ

(члены с Λ_q) оказываются пренебрежимо малы.

Теперь осталось только записать уравнения равно-

весия для химпотенциалов (15) с помощью безраз-

мерных переменных ψ_k(x) ≡μk (r):

muc²

Решение уравнений

[

Учитывая экстремальную малость парамет-

ψ_ke-λ/2 = e-Π(x) ψ_k(0) +

(23)

ра Λ_q, решение можно искать в виде ряда по

]

нему. Обратимся сперва к уравнениям (18) и

)∫x

⁽n_p -n_e

(19). Будем решать их методом последовательных

qkθ(x^′)

+Λ_G

eΠ(x′)dx′ ,

приближений. Нулевое приближение для (18) дает

n_b

x′2

η = x³/3. Тогда e^-λ = 1 - 2x²/3. Подставив это

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№9

2021

650

КРАМАРЕВ, ЮДИН

в (19), получим выражение для заряда звезды в

Перейдем теперь к уравнениям равновесия ком-

первом приближении:

понент вещества. Уравнение (24) для Π(x) может

[√

√

]

√

быть явно проинтегрировано:

⎡

√

⎤

θ(x) =

arcsin

x-x

(28)

3φ₀ - (3φ₀ - 2)

1-2x

Π(x) = ln⎣

√

⎦_.

(33)

Подставив полученное выражение (28) в уравнение

1-2x2

(18) и проинтегрировав последнее, можно получить

следующий член в разложении для η(x) и так далее.

Запишем выражение (23) для химпотенциала ней-

тронов (с учетом того, что q_n = 0):

Обратимся теперь к функции φ(x) =

^∑ψ_i(x)Y_i,

где мы использовали стандартное обозначение Y_i ≡

ψ_n(x) = eλ(x)/2-Π(x)ψ_n(0) =

(34)

≡ n_i/n_b. На границе звезды φ = 1, а в центре (см.

2ψ_n(0)

уравнение (21)) φ(0) ≡ φ₀ = 1/c(0) > 1. Учитывая,

√

что, согласно (22), c — постоянная величина с

3φ₀ - (3φ₀ - 2)

1-2x2

точностью до O(Λ_q), уравнение (21) с той же точ-

Рассмотрим теперь величину φ(x):

ностью может быть проинтегрировано как

[

]√

∑

φ(x) =

ψ_iY_i ≈

(35)

φ-1(x) =

(29)

φ₀

≈ ψ_nY_n + (ψ_p + ψ_e)Y_p = ψ_n(x),

Оно соответствует известному решению (см., на-

где мы сперва использовали условие локальной

пример, Синг, 1963) для давления внутри однород-

электронейтральности (примерное, с точностью до

ной несжимаемой жидкости в ОТО (напомним, что

O(Λ_q)), а затем — условие бета-равновесия. Тогда

в безразмерных единицах p = φ - 1):

выражение (34) для ψ_n можно с той же точностью

√

2x²

переписать в виде

(1 + 3p₀)

- (1 + p₀)

p(x) =

√

(30)

2φ₀

ψ_n(x) =

√

(36)

3(1 + p₀) - (1 + 3p₀)

1-2x2

3φ₀ - (3φ₀ - 2)

1-2x

где p₀ = p(0). Для вычисления поправки поряд-

Это выражение тождественно удовлетворяется при

ка O(Λ_q) достаточно проинтегрировать уравнение

x = 0 (с учетом (35)), а при x = x_b, определяемом

(22), положив в правой части c(x) = c(0) и ис-

равенством (32), приводит к пределу ψ_n(x_b) = 1,

пользовав выражение (28) для θ(x). В первом при-

как и должно быть.

ближении также легко найти компоненту e^ν = g₀₀

Перейдем теперь к случаю заряженных частиц.

метрики. Для нашего случая ρ = const она просто

Нам необходимо вычислить входящий в (23) инте-

связана с давлением (Вайнберг, 2000):

грал от поля поляризации. Он равен

[

]₂

1+p₀

∫

eν(x) =

(31)

θ(x^′)

1 + p(x)

I_E(x) ≡

eΠ(x′)dx^′ =

(37)

x′2

Распределения величин λ и θ, а также ν для p₀ = 5

[(

√

)

внутри звезды проиллюстрированы на рис. 1, де-

2x²

монстрирующем, в частности, важность эффектов

3φ₀ - 2 - 3φ₀

ОТО в рассматриваемой задаче.

√

Координата границы звезды x_b находится из

arcsin

условия φ(x_b) = 1, что, согласно (29), с точностью

до O(Λ_q) дает

√

]

√

2x²

(

)(

)

-3φ₀ + 4 + (3φ₀ - 2)

φ₀-1

2φ₀ - 1

x_b =

(32)

3φ₀ - 2

Тогда химпотенциалы заряженных компонент ве-

√

щества есть

Очевидно, что 0 ≤ x_b ≤ 2/

3. Зависимости величин

x_b и θ(x_b) приведены на рис. 2 как функции от φ₀.

ψ_p,e(0) ± α_eI_E(x)

ψ_p,e(x) =

(38)

(₃

)√

Максимальные значения θ(x_b) ≈ 0.84 и x_b ≈ 1.15

φ₀ -

φ₀ - 1

1-2x2

достигаются при φ₀ → ∞.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№9

2021

СТРУКТУРА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗВЕЗД

651

2.0

(p₀ = 5)

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Рис. 1. Распределение метрических функций λ и ν при p0=5, а также безразмерного заряда θ внутри звезды в пределах

√

0 ≤ x ≤ 2/

где верхний знак относится к протонам, нижний —

ставляет собой функцию от φ₀ ≈ ψ_n(0) ≡ ψ_n0:

к электронам. До сих пор параметр α_e оставался

[

неопределенным. Воспользовавшись (38) и гра-

3φ²⁰ - 6φ₀ + 2

I_E(x_b) =

√

(40)

ничным условием для электронов ψ_e(x_b) = 0, полу-

(φ₀ - 1)(2φ₀ - 1)

чим

(

√

)

]

ψ_e(0)

(φ₀ - 1)(2φ₀ - 1)

α_e =

(39)

× arcsin

- 2(φ₀ - 2)

I_E(x_b)

3φ₀

−2

Входящая сюда величина интеграла I_E(x_b) пред-

Ее поведение приведено на рис. 3, где также показаны следующие асимптотики:

⎧

⎨φ0 - 1, φ0 → 1,

[

]

I_E(x_b) =

⁽2^√2⁾

(41)

⎩

√

arcsin

- 1 φ₀ ≈ 0.23φ₀, φ₀ → ∞.

В нерелятивистском пределе φ₀ - 1 = ψ_n0 - 1 есть

формулу (39) в виде

не что иное, как энергия Ферми нейтронов E^nFe(0),

которая, в силу условий бета-равновесия, E^nFe =

E^eFe(0)

= E^pFe + E^eFe. Учтя также, что для электронов

α_e =

(42)

E^eFe(0) + E^pFe(0)

ψ_e0 = E^eFe(0), получим в нерелятивистском случае

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№9

2021

652

КРАМАРЕВ, ЮДИН

0.9

1.4

0.8

1.2

0.7

1.0

0.6

0.8

0.5

0.4

0.6

0.3

0.4

0.2

(x_b)

0.2

0.1

x_b

10⁰

10¹

10²

Рис. 2. Полный безразмерный заряд звезды θ(x_b) и координата границы звезды x_b как функции параметра φ0 ≈ ψn0.

т.е. старый результат для политроп (см. формулу

При характерном числе барионов в звезде N_b ∼

(II.22) в Криворученко и др., 2018).

∼ 10⁵⁷, значении элементарного заряда e ≈ 1.6 ×

× 10-19 K и величине параметра Λ_G ∼ 10³⁶, полу-

чаем типичный полный заряд звезды Q_s ∼ 100α_e K

ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ

(см. также Криворученко и др., 2018). Таким обра-

Чтобы проиллюстрировать полученные резуль-

зом, параметр α_e ∼ O(1) определяет полный заряд

таты, необходимо разобраться со смыслом па-

звезды. Как видно из выражения (39), он связан с

раметра α_e. Для этого запишем выражение для

химпотенциалом электронов в нуле. В обычной НЗ

полного заряда звезды Q внутри сферы радиусом r

в предположении ЛЭН (и, как следствие, равного

в виде

нулю ее полного заряда) задание одного параметра

α_e

Q(r) = 4πr³⁰n_be

θ(x).

(43)

(например, плотности в центре) однозначно опре-

Λ_G

деляет все свойства конфигурации, в частности, ее

Число барионов внутри той же сферы есть

массу. В нашем случае, помимо параметра φ₀ ≈

≈ψ_n0, нужно задать ψ_e0 (ψ_p0 определяется из усло-

N (r) = 4πr³⁰n_b ×

(44)

∫

вий бета-равновесия), тем самым задав как полную

массу звезды, так и ее заряд.

× eλ(x)/2x²dx = 4πr³⁰n_bθ(x).

Тогда нескомпенсированный заряд на барион в

Несколько примеров полученных распреде-

звезде дается выражением (см. также Хунд, Кис-

лений химпотенциалов нейтронной, протонной и

слинг, 2021a,b)

электронной компонент для различных начальных

условий приведены на рис. 4. По мере уменьшения

Q(r)

α_e

(45)

α_e химпотенциал электронов также падает (см.

N (r)

Λ_G

формулу (39)), а ψ_p приближается к ψ_n (можно

В частности, полный заряд звезды на барион равен

сравнить формулы (36) и (38) и учесть условие

значению выражения (45) при x = x_b.

бета-равновесия).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№9

2021

СТРУКТУРА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗВЕЗД

653

10¹

10⁰

10¹

I_E(x_b)

0.23₀

10²

10⁰

10¹

Рис. 3. Интеграл I_E(x_b) и его асимптотики при φ0 → 1 и φ0 → ∞.

Насколько велик может быть параметр α_e, а

большие значения α_e, а значит, и полного заряда

значит, и заряд звезды? Оказывается, что α_e, силь-

звезды, также недопустимы.

но превышающее единицу, приводит к неверному

решению, что демонстрируется на рис. 5. На верх-

ЭЛЕКТРОСФЕРА

ней панели рисунка показано поведение химпотен-

циала протонов в окрестности ψ_p ∼ 1 для несколь-

Возможно ли в рассматриваемом приближении

ких значений α_e и фиксированном значении φ₀ =

получить глобально электронейтральную звездную

= 5. При α_e = 1 кривая ψ_p(x) c конечным накло-

конфигурацию, имеющую полный заряд Q_s = 0?

ном упирается в единицу на границе звезды. При

Формула (45), как кажется, говорит, что это воз-

α_e = 2 наклон на границе практически нулевой.

можно только при α_e = 0, т.е. в случае строгой ло-

А при α_e = 3 кривая упирается в единицу снизу,

кальной электронейтральности. Однако это не так:

везде выше мы использовали существенное усло-

из недопустимой (в нашем приближении) области

вие, что концентрации всех компонент вещества

ψ_p < 1! Таким образом, решение для химпотенциа-

обращаются в нуль в одной точке. Если ослабить

ла протонов здесь неверно, и протонная компонен-

это требование, то вполне возможно построить

та, фактически, заканчивается при x ≈ 0.3. Данный

конфигурацию, в которой концентрация, например,

эффект имеет прямой аналог в теории политроп.

электронов внутри звезды меньше концентрации

Функции Эмдена, показанные на нижней панели

протонов, но сама электронная компонента про-

того же рис. 5 для нескольких значений индекса

стирается чуть дальше, образуя на поверхности

политропы n, также могут иметь несколько корней.

звезды так называемую электросферу (Кривору-

Например, функция Эмдена для n = 1 имеет вид

ченко и др., 2018), компенсируя тем самым на-

sin(ξ)/ξ и обращается в ноль не только при ξ = π,

бравшийся положительный заряд звезды. Оценим

но и при ξ = 2π и т.д. Однако решение, лежащее

параметры такой электросферы в нашем прибли-

при ξ > π уже не имеет отношения к реальности.

жении.

Так и в нашем случае при α_e ≳ 2 полученное ре-

Электросфера существует в тонком приповерх-

шение, хотя формально и удовлетворяет гранично-

ностном слое толщиной r_e, причем r_e ≪ r_b — ра-

му условию, не является допустимым. Тем самым

диуса границы барионной компоненты. С учетом

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№9

2021

654

КРАМАРЕВ, ЮДИН

= 10, _e = 1

= 10, _e

= 0.5

0.5

1.0

0.5

1.0

= 50, _e = 1

= 50, _e

= 0.5

0.5

1.0

0.5

1.0

Рис. 4. Распределение безразмерных химпотенциалов нейтронов, протонов и электронов внутри НЗ для нескольких

значений φ0 и αe.

этого уравнение (4) для заряда Q в области элек-

компонента решения, что полностью согласуется с

тросферы элементарно интегрируется. Требование

аналогичным случаем в ньютоновской гравитации

Q_s = 0 дает нам толщину электросферы (ср. с

(см. Приложение из Криворученко и др., 2018).

формулой (А.9) из Криворученко и др., 2018):

Было найдено, что при расчете макроскопиче-

скиих параметров НЗ, таких как масса и ради-

r_e

Q_b

α_e θ(x_b)

⁽n_b)

∼ 10-36, (46)

ус, неэлектронейтральностью можно пренебречь.

r_b

4πr^3ben_e

Λ_G x^3b

e^λb/2

n_e

Тем самым показано, что странные результаты

Бельведере и др. (2012) не могут быть просто

где Q_b — величина (положительного) заряда звез-

ды на границе барионной компоненты вещества.

следствием нарушения ЛЭН в ОТО. По-видимому,

Химпотенциал электронов внутри такой электро-

они связаны с их трактовкой тонких эффектов,

сферы, согласно уравнению равновесия (14), с точ-

происходящих на границе ядра звезды. В нашем

решении здесь может появиться электросфера,

ностью O(Λ-1G) равен нулю.

однако ничего подобного найденному указанными

авторами резкому росту электрического поля там

не происходит. На важность аккуратного расчета

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

границ фаз при решении задач о поляризации

В работе была рассмотрена структура ло-

плазмы в астрофизических объектах было указано

кально неэлектронейтральной самогравитирующей

в работах Иосилевского (см., например, Иосилев-

несжимаемой трехкомпонентной жидкости в ОТО.

ский, 2009).

Как и в случае ньютоновской гравитации, в отно-

шении термодинамических величин типа давления

Главная особенность, к которой приводит учет

P, термодинамического потенциала Φ и т.д. (см.

отклонения от ЛЭН, содержится в уравнениях

формулы (21), (22) и (27)) решение представляет

равновесия химпотенциалов компонент вещества

собой ряд по малому параметру 1/Λ_G ∼ 10-36, где

(23). В них (для заряженных компонент) фак-

первое приближение — классическое электро-

тор, стоящий перед интегралом, состоит из двух

нейтральное решение. Решение является вырож-

множителей, компенсирующих друг друга, одного

денным, так как в нем отсутствует нерегулярная

Λ_G — огромного, а другого (n_p - n_e)/n_b — малого.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№9

2021

СТРУКТУРА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗВЕЗД

655

= 5

2.0

= 1

= 2

1.5

= 3

1.0

0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

n = 0

n = 1

0.5

n = 3

0.5

Рис. 5. Сверху: поведение химпотенциала протонов в окрестности ψp ∼ 1 для нескольких значений αe. Внизу: функции

Эмдена для нескольких значений индекса политропы n.

Этот фактор, обозначенный нами α_e = O(1), вхо-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

дит в конечные уравнения равновесия индивиду-

1. Балли, Харрисон (J. Bally and E.R. Harrison),

альных компонент вещества (38) и обусловливает

Astrophys. J. 220, 743 (1978).

(уже не малый) эффект отклонения от ЛЭН. Он

2. Безногов,

Яковлев (M.V. Beznogov and

же в конечном счете определяет и полный заряд

D.G. Yakovlev), Phys. Rev. Lett.

111,

161101

звезды (43). Этот нюанс является характерной и

(2013).

важнейшей особенностью задач об отклонении от

3. Бейм и др. (G. Baym, C. Pethick, and P. Sutherland),

ЛЭН в звездах: несмотря на то, что в отношении

Astrophys. J. 170, 299 (1971).

крупномасштабных параметров этим эффектом (и

4. Бельведере и др. (R. Belvedere, D. Pugliese,

порожденным им полем поляризации) можно пре-

J.A. Rueda, R. Ruffini, and S.-Sh. Xue), Nucl. Phys.

A 883, 1 (2012).

небречь, при переходе на микроуровень оказывает-

5. Бельведере и др. (R. Belvedere, J.A. Rueda, and

ся, что сила, действующая на заряженную частицу

R. Ruffini), Astrophys. J. 799, 23 (2015).

со стороны этого поля, сравнима с гравитационной

6. Вайнберг (S. Weinberg), Гравитация и космоло-

силой.

гия (ПЛАТОН, 2000).

7. Горшков, Батурин (A.B. Gorshkov and V.A. Baturin),

Несмотря на модельный характер рассмотрен-

Astron. Rep. 52, 760 (2008).

ной задачи, ее решение представляется нам важ-

8. Иосилевский (I.L. Iosilevskiy),J. Phys. A 42, 214008

ным этапом на пути анализа структуры НЗ с более

(2009).

реалистичными уравнениями состояния в отсут-

9. Криворученко и др. (M.I. Krivoruchenko,

ствие строгой ЛЭН.

D.K. Nadyozhin, and A.V. Yudin), Phys. Rev. D

97, 083016 (2018).

Работа Н.И. Крамарева поддержана фондом

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теория поля (Физмат-

развития теоретической физики и математики “БА-

лит, 2012).

ЗИС” (грант № 20-2-1-19-1). Авторы также бла-

11. О’Мэлли (R.E. O’Malley), Singular Perturbation

годарны анонимным рецензентам, чьи замечания

Methods for Ordinary Differential Equations (New

позволили существенно улучшить нашу статью.

York: Springer-Verlag, 1991).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№9

2021