ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2023, том 49, № 12, с. 882-887

ЭФФЕКТЫ ПЕРЕСТАНОВОЧНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПРИ

ДИСКОВОЙ АККРЕЦИИ НА НЕЙТРОННЫЕ ЗВЕЗДЫ С СИЛЬНЫМИ

МАГНИТНЫМИ ПОЛЯМИ

¹Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга,

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия

²Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,

физический факультет, Москва, Россия

Поступила в редакцию 19.09.2023 г.

После доработки 11.11.2023 г.; принята к публикации 21.11.2023 г.

Проведен анализ неустойчивости перестановочного типа на внутреннем крае тонкого диамагнитного

аккреционного диска. Модель конфигурации магнитного поля использована из статьи (Али, 1980).

Было проанализировано модифицированное дисперсионное уравнение перестановочной неустойчи-

вости, которое учитывает кеплеровское вращение диска. В рамках рассмотрения перестановочной

неустойчивости авторами был выведен внутренний радиус аккреционного диска. Показано, что

внутренний радиус не отличается от альфвеновского радиуса при сферической аккреции с точностью

до безразмерного коэффициента, причем коэффициент пропорциональности зависит только от альфа-

параметра турбулентности и относительной толщины диска (h/r).

Ключевые слова: нейтронные звезды, аккреция, МГД.

DOI: 10.31857/S0320010823120057, EDN: RXRNJT

1. ВВЕДЕНИЕ

вость, связанную только с конфигурацией магнит-

ного поля (Франк-Каменецкий, 1968; Трубников,

В астрофизике аккреции на объекты с силь-

1996), т.е. градиентом магнитного поля и изгибом

ными магнитными полями важным элементом яв-

его линий. В теоретических работах, посвящен-

ляется взаимодействие поля компактного объекта

ных аккреции на нейтронные звезды с сильными

и падающей ионизованной плазмы. Как правило,

магнитными полями, основное внимание уделяет-

магнитные поля при приближении к компактному

ся другим упомянутым неустойчивостям. Мы же

объекту усиливаются и эти поля необходимо учи-

сосредоточимся на рассмотрении перестановочной

тывать. Важность этой проблемы была отмечена

неустойчивости и ее физических эффектах в систе-

еще в наблюдательных работах первых рентгенов-

мах с аккреционными дисками.

ских космических обсерваторий — UHURU и др.

В настоящей статье мы рассмотрим дисперси-

(Джиакони и др., 1971; Джиакони и др., 1973).

онное соотношение перестановочной неустойчиво-

В системах с магнитными полями и ионизо-

сти, учитывающее кеплеровское вращение аккре-

ванной плазмой существует много неустойчивостей

ционного диска. Мы исследуем проявления этого

(см., например, Кулсруд, 2005; Голдстоун, Резер-

соотношения в системе с тонким диамагнитным

форд, 1995). Отметим некоторые (список не ис-

аккреционным диском Али (Али, 1980). В рамках

черпывающий): магнито-ротационная неустойчи-

нашего рассмотрения будет оценен внутренний ра-

вость (см., например, Балбус, Хоули, 1991; Лии

диус аккреционного диска.

и др., 2014; Шакура и др., 2023), неустойчивость

Работа делится на пять частей: в первой мы

Кельвина-Гельмгольца (см., например, Лавлэйс

подробно рассмотрим модель нашей системы и

и др., 2010), неустойчивость Рэлея-Тейлора (см.,

необходимые предположения для записи уравне-

например, Блинова и др., 2016) и перестановочная

ний, во второй — дисперсионное соотношение

неустойчивость. Под перестановочной неустойчи-

перестановочной неустойчивости, в третьей будет

востью (“flute” instability) мы понимаем неустойчи-

рассмотрена модель магнитного поля, в четвертой

мы оценим внутренний радиус диска, а в заключе-

^*Электронный адрес: lisitcin.dd18@physics.msu.ru

нии мы подведем итог нашей работе.

882

ЭФФЕКТЫ ПЕРЕСТАНОВОЧНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

883

2. МОДЕЛЬ

(r, ϕ, z) с центром в центре нейтронной звезды и

осью, параллельной оси вращения аккреционного

Опишем модель аккреционного диска вокруг

диска. Мы будем пользоваться методом малых

нейтронной звезды с сильным магнитным полем,

колебаний (Трубников, 1996). Система в равно-

в рамках которой будем работать. В отдельности

весии возмущается малыми колебаниями так, что

опишем ограничения как на модель системы, так и

рассматриваемые уравнения могут быть линеари-

на модель развития неустойчивости.

зованы. Из условия существования нетривиальных

Допустим, что нейтронная звезда имеет диполь-

решений получается дисперсионное уравнение, т.е.

ное магнитное поле с моментом μ. Диск мы бу-

уравнение вида

дем считать диамагнитным, т.е. предполагаем, что

плазма имеет бесконечную проводимость. След-

ω = ω(k,параметры системы).

ствием этого будет то, что магнитное поле нейтрон-

Напишем рассматриваемые уравнения:

ной звезды не будет проникать внутрь аккрецион-

⎧

ного диска. Упомянем также, что это предположе-

∂B

⎪

= rot ([v × B]) ,

⎪

ние не является единственным: в других работах

∂(

)

⎨

также используются модели диска с проникающим

∂v

+ (v ∇)v

магнитным полем (см., например, Клужняк, Раппа-

∂t

⎪

(

)

порт, 2007). Для упрощения построений и аналити-

⎪

GM_NS · ρ

(B ∇)B

ческих выкладок будем считать диск геометриче-

^⎩= -∇ p +B2

8π

4π

ски тонким. Эти два предположения наследуются

нами из модели магнитного поля Али (Али 1980),

где B — вектор магнитной индукции в вакууме,

которую мы применим для иллюстрации модели

υ — скорость движения плазмы, p — газовое

перестановочной неустойчивости. Также для про-

давление плазмы, ρ — плотность плазмы, G —

стоты будем предполагать, что совпадают три оси:

гравитационная постоянная, M_NS — масса ней-

ось обращения аккреционного диска (Ω_K (r)), ось

тронной звезды. Первое векторное уравнение яв-

вращения нейтронной звезды (Ω) и ось, прохо-

ляется уравнением индукции, а второе векторное

дящая через центр нейтронной звезды вдоль век-

уравнение является уравнением движения. Также

тора магнитного диполя (μ). Также предположим,

нам необходимы граничные условия, чтобы рас-

что система обладает осевой симметрией, причем

сматривать проводящий диск в состоянии равнове-

эта ось совпадает с тремя упомянутыми осями.

сия. Граничные условия:

⎧

Основные характеристики модели нашей системы

⎪

n · B)_S = 0,

представлены на рис. 1.

⎨⁽

Теперь рассмотрим ограничения на модель

B²

⎪

развития неустойчивости. Во-первых, мы на-

= 0,

⎩ p

8π

кладываем все ограничения, которые необходи-

мы, чтобы записать уравнения МГД для нашей

где S — поверхность раздела вакуум-плазма, n —

системы. Во-вторых, для простоты выводимых

вектор нормали к поверхности S, направленный

выражений мы ограничимся рассмотрением только

в сторону вакуума, угловыми скобками обозначен

тех возмущений, размер которых много меньше

скачок величины при пересечении поверхности.

радиуса, на котором они возникают. В-третьих,

Первое граничное условие следует из сохранения

мы не будем включать в рассмотрение другие

нормальной компоненты магнитного поля, а вто-

неустойчивости исследуемой системы (см., на-

рое — отсутствием скачка полного давления при

пример, неустойчивость Кельвина-Гельмгольца

переходе границы плазма-вакуум. Также необхо-

или магнито-ротационную неустойчивость). Для

димо упомянуть уравнение адиабатичности потока:

рассматриваемой нами неустойчивости важно,

что магнитное поле выпукло вблизи внутренней

= 0,

границы и нарастает к внутреннему краю по

модулю (см. раздел 4). Это позволит яснее увидеть

где s — удельная энтропия. Уравнение divB = 0 в

влияние именно перестановочной неустойчивости

случае линеаризованной системы является избы-

на рассматриваемые эффекты.

точным, поскольку включается в первые два урав-

нения. Мы представляем общее решение системы

уравнений в виде суммы постоянного решения (B₀

3. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ

и [Ω_K × r]) и малых возмущений неизвестных ве-

Для рассмотрения физической причины возник-

личин (B^′ и υ^′):

новения перестановочной неустойчивости напишем

уравнения, необходимые для вывода дисперсион-

B=B₀ +B^′

ного соотношения этого вида неустойчивости. Бу-

дем работать в цилиндрической системе координат

υ = [Ω_K × r] + υ^′,

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 49

№ 12

2023

884

ЛИСИЦИН и др.

Ω_K

Рис. 1. Иллюстрация модели (см. текст).

√

где c_A

где Ω_K =GMNS

— кеплеровская угловая ско-

^√4πρ^.

r³

рость. Возмущения скорости и магнитного поля

С учетом кеплеровского движения вещества

будут иметь вид

дисперсионное соотношение усложняется (Шаку-

ра и др., в печати):

A = A₀(r)expi(k_rr + mϕ + k_zz - ωt).

⎛

⎞

Волновой вектор возмущений в цилиндрической

B²

∂

(ω - mΩ)² = κ² + (k · c_A)² +|k|

⎝

⎠_,

системе координат будет выражаться следующим

∂n

8π

образом:

(

)

(2)

k= k_r,

,k_z

где Ω — угловая скорость вращения диска, κ² =

где r — радиус, на котором происходит возму-

(

)

=1d

Ω²r⁴

— квадрат эпициклической частоты.

щение. Понятно, что если дисперсионное соотно-

r³ dr

В случае кеплеровского вращения диска: κ = Ω =

шение допускает наличие частот с отрицательной

=Ω_K.

мнимой частью, то возмущение со временем нако-

пится и приведет к фрагментации диска.

Отметим, что присутствие кеплеровской угло-

вой скорости в правой части уравнения стабили-

Ранее было показано, что без учета гравита-

зирует возникновение неустойчивости. Также пре-

ционного поля и кеплеровского движения веще-

ства дисперсионное соотношение получится в виде

пятствовать возникновению неустойчивости будет

второй член в правой части уравнения, который от-

(Трубников, 1996)

⎛

⎞

вечает за стабилизацию за счет упругости силовых

линий магнитного поля.

∂

ω² = (k · c_A)² +|k|

⎝

⎠_,

(1)

Поскольку возмущения в среде возникают с

∂n

8π

любым волновым числом k, то из нашего урав-

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 49

№ 12

2023

ЭФФЕКТЫ ПЕРЕСТАНОВОЧНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

885

Рис. 2. Иллюстрация к случаям перестановочной неустойчивости (Трубников, 1996). Слева — неустойчивый случай,

справа — устойчивый.

нения нам нужны те значения k, которые при-

где h — толщина диска, B_d — дипольное поле

ведут к развитию неустойчивости быстрее всего.

нейтронной звезды при отсутствии аккреционного

Для такой ситуации нам необходимо, чтобы вол-

диска, r_in — внутренний радиус диска. Таким об-

новой вектор возмущений был перпендикулярен

разом, имеет место краевой эффект, аналогичный

магнитным силовым линиям (в таком случае второй

электростатическому краевому эффекту в системе

положительный член в правой части будет равен

с заряженным металлическим острием. На эква-

нулю для введенных возмущений), а также чтобы

торе вблизи внутреннего края диска усиление ди-

градиент давления магнитного поля был направлен

польного поля наибольшее. Предположим, что и

к поверхности раздела вакуум-плазма (третий член

производная давления магнитного поля на внут-

в правой части будет максимален по модулю и

реннем крае диска максимальна, т.е. возникнове-

отрицательным). В случае выпуклой наружу кон-

ние неустойчивости наиболее вероятно на внутрен-

фигурации магнитного поля второе условие выпол-

нем крае диска.

нено автоматически (см. рис. 2). Первое условие

Второй характерной особенностью этой модели

в случае соосной системы будет выполнено, когда

является наличие нейтральных точек на диске —

возмущение распространяется вдоль азимутально-

мест, где магнитное поле равно нулю (рис. 4). Эти

го направления:

нейтральные точки могут стать источником истече-

(

)

ния из диска в виде двух отдельных “фонтанчиков”

при определенных условиях.

На экваторе вблизи внутреннего радиуса диска

Развитие неустойчивости приводит к появлению

в соосной системе (мы отступим от внутреннего

“желобков” на внутреннем крае диска вдоль ази-

радиуса диска на расстояние h, чтобы учесть тол-

мутального направления (по ϕ-координате, см.

щину диска) ненулевой будет только z-компонента

рис. 3). В этом случае инкремент развития неустой-

магнитного поля:

чивости (модуль мнимой части частоты) будет ра-

[

)1/2

вен:

2μ

⁽r²

√

B_z =

arctg

-1

)

πr³

r²

∂

⁽B

γ =

(3)

(

)]

∂r

8π

r²

)1/2

r²

В разделе 5 мы проанализируем уравнение (2) с

r²ⁱⁿ

-r²

учетом двух положительных членов, которые ста-

Радиальная производная давления магнитного

билизируют неустойчивость.

поля в главной асимптотике по параметруrinh^:

⎛

⎞

B²

)₂

4. МОДЕЛЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

∂

⁽r_in

⎝

⎠≈μ2

(4)

Применим полученный инкремент развития

∂r

8π

π³r⁷

неустойчивости к конкретному решению для маг-

нитного поля с бесконечно тонким диамагнитным

диском (Али, 1980). Но перед этим кратко обсудим

5. ВНУТРЕННИЙ РАДИУС

характерные особенности модели магнитного поля.

НЕФРАГМЕНТИРОВАННОГО ДИСКА

Первая особенность состоит в том, что на внут-

Внутренний радиус диска мы найдем из условия

реннем крае диска происходит усиление дипольно-

равенства характерной скорости распространения

го поля (Липунов, Шакура, 1980):

неустойчивости и радиальной скорости вещества

(

)1/2

r_in

на внутреннем крае диска:

B≈B_d ·

υins = υ_r.

(5)

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 49

№ 12

2023

886

ЛИСИЦИН и др.

Рис. 3. Картина развития неустойчивости вдоль ϕ-координаты (см. текст).

Это будет отражать тот факт, что радиальные дви-

газового давления вдоль z-координаты на внутрен-

жения вещества в диске не могут стабилизировать

нем радиусе можно получить

неустойчивость.

√

GM_NS

Обсудим ограничения, необходимые для воз-

c_s =

(9)

r_in

никновения неустойчивостей. С учетом конечной

толщины диска, “желобки” по z-координате пе-

Используя уравнение (5) и подставив в него вы-

реходят в “желобки” по r-координате, амплитуда

ражения (3), (4), (6)-(9), мы получим оценку для

которых быстро убывает с удалением от внутрен-

внутреннего радиуса диска:

него края диска. В результате мы можем прене-

(

)2/7

бречь вторым положительным членом в форму-

r_in =

(10)

ле (2). Скорость распространения неустойчивости

π³α1/2(h/r_in)

(

)2/7

на внутреннем крае диска будет иметь вид

μ²

√

υins = γ/k.

(6)

GM_NS

Радиальная скорость на внутреннем крае будет

Таким образом, внутренний радиус нефрагмен-

равна просто турбулентной скорости, поскольку

тированного диска совпадает с альфвеновским ра-

вблизи внутреннего края вещество выходит из дис-

диусом с точностью до безразмерных констант в

ка и не возвращается в диск υ_r ≈ α1/2c_s, где c_s —

случае квазисферической аккреции (см., например,

скорость звука в плазме, α — параметр турбу-

Шакура, 2016). Коэффициент пропорционально-

лентности Шакуры-Сюняева (Шакура, Сюняев,

сти слабо зависит от безразмерных величин α и

1973). Предположим, что возмущения происходят

h/r.

в основном на моде порядка толщины диска:

2π

(7)

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, взяв конкретную модель поля

а темп аккреции

для тонкого диамагнитного диска, мы получили

внутренний радиус нефрагментированного (устой-

= 2πhr_inρυ_r.

(8)

чивого) диска. Внутренний радиус устойчивого

Можно получить, что волновое число, на котором

диска совпадает с альфвеновским радиусом в

мы рассматриваем возмущения (с длиной волны

случае квазисферической аккреции, а зависимость

порядка толщины диска), является минимально

от безразмерных параметров диска (относительной

необходимым для развития неустойчивости. Из

толщины диска и α-параметра) является слабой.

формулы равновесия гравитационных сил и сил

Авторы выражают благодарность Алексею Ку-

зину и Марине Афониной за дискуссию. Также

благодарим рецензентов за ценные замечания.

Работа выполнена при поддержке гранта РНФ

(грант № 21-12-00141).

N⁺

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Али (J.J. Aly), Astron. Astrophys. 86, 192 (1980).

2. Балбус, Хоули (S.A. Balbus and J.F. Hawley),

Astrophys. J. 376, 214 (1991).

3. Блинова, Романова, Лавлэйс (A.A. Blinova,

M.M. Romanova, and R.V.E. Lovelace), MNRAS

459, 2354 (2016).

Рис. 4. Иллюстрация модели магнитного поля для об-

4. Голдстоун, Резерфорд (R.J. Goldstone and

щего случая наклонного диполя (см. текст). Картинка

P.H. Rutherford), Introduction to Plasma Physics

взята из работы Али (1980).

(New York: CRC Press, 1995), p. 331.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 49

№ 12

2023

ЭФФЕКТЫ ПЕРЕСТАНОВОЧНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

887

5. Джиакони и др. (R. Giacconi, H. Gursky, E. Kellogg,

12. Липунов, Шакура (V.M. Lipunov and N.I. Shakura),

E. Schreier, and H. Tananbaum), Astrophys. J. 167,

Sov. Astron. Lett. 6, 14 (1980).

L67 (1971).

6. Джиакони и др. (R. Giacconi, H. Gursky, E. Kellogg,

13. Трубников Б.А., Теория плазмы: Учеб. пособие

R. Levinson, E. Schreier, and H. Tananbaum),

для вузов (М.: Энергоатомиздат, 1996), с. 204.

Astrophys. J. 184, 227 (1973).

7. Джиакони и др. (R. Giacconi, G. Branduardi,

14. Франк-Каменецкий Д.А., Лекции по физике плаз-

U. Briel, A. Epstein, D. Fabricant, E. Feigelson,

мы (М.: Атомиздат, 1968).

W. Forman, P. Gorenstein, et al.), Astrophys. J. 230,

540 (1979).

15. Шакура Н.И. (ред.), Аккреционные процессы в

8. Клужняк, Раппапорт (W. Klu ´zniak and

астрофизике (М.: Физматлит, 2016), с. 331.

S. Rappaport), Astron. J. 671, 1992 (2007).

9. Кулсруд (R.M. Kulsrud), Plasma physics for

16. Шакура Н.И., Постнов К.А., Колесников Д.А.,

astrophysics (Princeton Univer. Press, 2005), p. 171.

Липунова Г.В., Успехи физ. наук 193, № 12 (2023);

10. Лавлэйси и др. (R.V.E. Lovelace, M.M. Romanova,

and W.I. Newman), MNRAS 402, 2575 (2010).

https://doi.org/10.3367/UFNr.2023.09.039554

11. Лии и др. (P.S. Lii, M.M. Romanova,

G.V. Ustyugova, A.V. Koldoba, and R.V.E. Lovelace

17. Шакура, Сюняев (N.I. Shakura and R.A. Sunyaev),

), MNRAS 441, 86 (2014).

Astron. Astrophys. 24, 337 (1973).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 49

№ 12

2023