ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

Том 55

2019

Вып. 2

УДК 621.391.1 : 519.2

К. Арендт, Я. Нётцель¹, Х. Бохе²

НАДЕЖНАЯ СВЯЗЬ ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ПО СОСТОЯНИЯМ: ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ВЗГЛЯД

НА РАЗНЕСЕННЫЙ ПРИЕМ

Исследуется влияние антенного разнесения на надежность связи по про-

извольно меняющимся каналам (ПМК). Во-первых, вводится и мотивируется

понятие помех с одинаковыми ограничениями по состояниям. Во-вторых, до-

казывается, что симметризуемости двоичных симметричных ПМК (ПМДСК),

вызываемой помехами с одинаковыми ограничениями по состояниям, можно

избежать, если передача ведется не менее чем по трем ортогональным кана-

лам. В-третьих, доказывается, что пропускная способность при детерминиро-

ванном кодировании ПМДСК с одинаковыми ограничениями по состояниям

непрерывна и обладает свойством суперактивации. Ранее этот эффект был по-

казан только для квантовой передачи информации и классической передачи

с ограничениями по секретности.

Ключевые слова: произвольно меняющийся канал, неизвестные помехи, детер-

минированное кодирование, разнесенный прием, суперактивация, непрерыв-

ность.

DOI: 10.1134/S0555292319020013

§ 1. Введение

Хорошо изученная модель произвольно меняющихся каналов (ПМК) была вве-

дена в [1] для учета неопределенности шума/помех в канале. Кроме того, ПМК

и передача информации при неопределенности в канале обсуждаются в общем виде

в [2, 3]. Модель ПМК основана на том принципе, что источник помех может управ-

лять состоянием канала произвольным образом. Важным при этом является вопрос,

возможна ли надежная передача информации по ПМК. Передача по ПМК на по-

ложительных скоростях может быть возможной при кодировании с использованием

совместной случайности (СС-кодирования), даже если без таковой она невозмож-

на [4]. СС-кодирование характеризуется тем, что передатчик и приемник наблюдают

идеально коррелированные выходы случайного эксперимента. На практике совмест-

ную случайность можно обеспечить с помощью спутникового сигнала или общей

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Исследовательского фонда Германии

(DFG) (номера грантов NO 1129/1-1 и NO 1129/2-1), Федерального министерства экономики и энер-

гетики Германии и Европейского социального фонда (номер гранта 03EFHSN102), Европейского

исследовательского совета (расширенный грант по проекту IRQUAT), Министерства экономики и

конкуренции Испании (номер проекта FIS2013-40627-P) и Межведомственной комиссии по научно-

технологическим инновациям при правительстве Каталонии (номер проекта 2014 SGR 966).

² Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Исследовательского фонда Германии

(DFG) (номер гранта BO 1734/20-1) и Федерального министерства образования и науки Германии

(номера грантов 01BQ1050 и 16KIS0118).

процедуры синхронизации [5]. Она используется для координации выбора конкрет-

ного кода из общей библиотеки кодовых книг. Напротив того, при детерминирован-

ном кодировании передачу по ПМК на положительных скоростях нельзя обеспечить

во многих случаях, где она гарантирована при наличии совместной случайности, по-

скольку ПМК может быть симметризуемым. В этом случае источник помех может

выбирать свои входы таким образом, что любые два кодовых слова будут неразли-

чимы на декодере. В [6] Чисар и Нарайан доказали, что несимметризуемость ПМК

является достаточным условием положительности пропускной способности при де-

терминированном кодировании с критерием средней вероятности ошибки. Кроме

того, знаменитый результат Алсведе [7] утверждает, что пропускная способность

при детерминированном кодировании дискретного ПМК без памяти равна либо его

СС-пропускной способности, либо нулю (дихотомия Алсведе). Таким образом, сов-

местная случайность, совместно используемая передатчиком и приемником, может

сдвинуть пропускную способность с нуля. Известны явные примеры этого эффек-

та [7]. В качестве альтернативы совместной случайности для надежной передачи по

симметризуемым ПМК можно использовать слабо коррелированные сигналы. Это

понятие было введено в [8] и затем исследовано в [9, 10]. В [9] было показано, что

для произвольно меняющегося широковещательного канала при длине блока n до-

статочно не более O(log n) выходов кореллированных источников для достижения

такой же пропускной способности, что и при координации с использованием сов-

местной случайности. Тем не менее, чтобы гарантировать надежную передачу сооб-

щений при наличии помех, когда канал симметризуем, во всех предшествовавших

работах предполагалось наличие некоторого внешнего вспомогательного механиз-

ма, не доступного генератору помех, - будь то канал или источник. Подведем итог:

использование СС-кодирования - многообещающий подход, теоретически позволяю-

щий бороться с произвольно меняющимися помехами. Однако когда дело доходит до

практической реализации, наличие общего источника случайности для кодера и де-

кодера равносильно использованию дополнительного канала управления, который

может иметься далеко не всегда. Таким образом, практическая значимость детер-

минированных кодов для обеспечения надежной связи на практике не подлежит

сомнению.

Альтернативной техникой координации является размещение многих антенн на

передающем и/или приемном конце, приводящее к схемам с многими входами и од-

ним выходом, одним входом и многими выходами (SIMO) или многими входами и

многими выходами (MIMO) соответственно. Помимо увеличения скорости передачи

данных, в таких системах используется разнесение антенн, т.е. каждая антенна на-

блюдает более-менее некоррелированную версию переданного сигнала (сигналов).

Однако, насколько известно авторам, не существует никакой теории, связываю-

щей антенное разнесение с симметризуемостью ПМК. Этот пробел ликвидирует-

ся в данной статье, где показываются возможности различных схем разнесения в

сценариях с произвольно меняющимися помехами. В сценариях классической пере-

дачи здравый смысл подсказывает, что пропускная способность системы, состоящей

из нескольких параллельных каналов, равна нулю, если пропускная способность

каждого отдельного канала равна нулю. Напротив, явление суперактивации, хо-

рошо известное в квантовой физике, утверждает, что классические соображения

аддитивности для основных ресурсов не верны в общем случае, как впервые было

отмечено в [11]. Для классических моделей каналов суперактивация, являющаяся

наиболее сильной формой нарушения аддитивности, впервые была продемонстри-

рована в контексте произвольно меняющихся каналов с подслушиванием (см., на-

пример, [10,12-14]). Каналы с подслушиванием учитывают секретность, т.е. защиту

информации от перехвата сообщений в теоретико-информационной постановке. Для

этого класса каналов совместное использование нескольких ортогональных каналов

обеспечивает суперактивацию пропускной способности конфиденциальной переда-

чи, что является первым примером в классической постановке [10, 13, 14]. Суперад-

дитивность - более слабая форма нарушения аддитивности пропускной способности

ортогональных каналов. Явление супераддитивности имеет долгую историю в клас-

сической теории информации: Алсведе в [15] показал, что рассмотрение выражений

для пропускной способности в контексте ПМК с критерием максимальной ошибки

при детерминированном кодировании тесно связано с задачей Шеннона о пропуск-

ной способности с нулевой ошибкой для дискретного канала без памяти (ДКБП).

В 1956 г. Шеннон выдвинул предположение [16], что пропускная способность с нуле-

вой ошибкой ортогонального ДКБП аддитивна. Через сорок лет Алон [17] опроверг

эту гипотезу, показав супераддитивность пропускной способности с нулевой ошиб-

кой. Для ортогональных ПМК общего вида без ограничений на помехи пропуск-

ная способность передачи сообщений с критерием средней вероятности ошибки не

может обладать свойством суперактивации. Однако вместо этого может возникать

супераддитивность [14].

В настоящей статье представлена схема борьбы с помехами, основанная на раз-

несенном приеме при помехах с ограничениями по состояниям. В отличие от [6]

наша схема нацелена на избежание симметризуемости, а не на возможность переда-

чи на положительных скоростях по симметризуемым каналам при наложении огра-

ничений по мощности, хотя влияние таких ограничений мы также рассматриваем

в теореме 7. Кроме того, отличие от [18] состоит в том, что наши результаты (за од-

ним исключением) основаны на детерминированных схемах кодирования. Одна из

основных целей данной статьи - показать, что в случае составного независимого

ПМДСК с одинаковыми ограничениями по состояниям (о.о.с.) возникает суперак-

тивация. Таким образом, пропускная способность такой составной системы может

быть положительной даже в ситуациях, когда каждая индивидуальная пропускная

способность равна нулю. Эти результаты подчеркивают важность стабилизирующе-

го эффекта, оказываемого разнесенным приемом на линию связи.

Для полноты исследований мы также приводим анализ непрерывности пропуск-

ной способности при детерминированном кодировании. Непрерывная зависимость

параметров системы, особенно на множестве неопределенности в контексте ПМК,

является существенным аспектом любой системы связи. Если резкие потери могут

быть вызваны малыми изменениями параметров системы, то нельзя гарантировать

устойчивость лежащего в основе системы метода передачи информации. Для клас-

сической передачи вопрос непрерывности обсуждается редко. Однако в квантовом

случае имеются работы, в которых обсуждается непрерывность для квантовых ка-

налов [19], в том числе произвольно меняющихся [20]. Более того, в [21] исследуется

непрерывность в классической передаче при ограничениях по секретности. В общем

случае пропускная способность симметризуемого ПМК при детерминированном ко-

дировании разрывна на множестве неопределенности, в то время как СС-пропускная

способность обладает непрерывной зависимостью. Мы показываем, что для состав-

ного независимого ПМДСК с о.о.с. даже пропускная способность при детермини-

рованном кодировании непрерывна на множестве неопределенности. Насколько нам

известно, составной независимый ПМК с о.о.с. с разнесением - первый сценарий

классической передачи по ПМК, где C_d непрерывна при отсутствии дополнитель-

ных ограничений по секретности.

Структура статьи. Оставшаяся часть статьи имеет следующую структуру. Вна-

чале в § 2 вводятся обозначения и основные модели каналов. В § 3 определяются

кодовые понятия и показатели производительности. Затем в § 4 формулируется ос-

новной результат, который показывает, что за исключением тривиальных случаев

добавление третьего некоррелированного ортогонального канала уже позволяет из-

бежать симметризуемости для составного независимого ПМДСК с о.о.с. Кроме то-

го, показывается, что пропускная способность составного ПМДСК с о.о.с. обладает

свойством суперактивации, если на источник помех и передатчик наложены соот-

ветствующие ограничения по мощности или если исключаются практически мало-

значимые комбинации каналов-состояний. Доказательства основного результата и

дальнейших результатов приведены в § 5. В § 6 обсуждаются практическое приме-

нение полученных результатов в контексте взаимодействия между транспортными

средствами и даются рекомендации для дальнейшего построения систем. Наконец,

в §7 обсуждаются следствия полученных результатов и намечаются направления

дальнейших исследований.

§2. Модель системы и основные модели каналов

Мы придерживаемся обозначений, принятых в [13,22-24]. Для L ∈ N>0 положим

[L] := {1, . . . , L}. Множество перестановок на [L] обозначим через S_L. Пусть даны

два множества X и Y мощности |X | = L_X и |Y| = L_Y , где L_X , L_Y ∈ N>0. Их

произведением является множество

X × Y := {(x,y) : x ∈ X, y ∈ Y}.

(1)

Через Xⁿ обозначим произведение n экземпляров множества X для любого n ∈ N>0.

Множество распределений вероятностей на конечном множестве X обозначим через

{

}



∑



P (X ) := p: X → R

 p(x) ≥ 0 ∀x ∈ X,

p(x) = 1

(2)

x∈X

Важным подмножеством элементов множества P(X) является множество его экс-

тремальных точек, т.е. мер Дирака: для x₁, x₂ ∈ X определим δx1 ∈ P(X) как

δx1 (x₂) = δ(x₁, x₂), где δ(· , ·) - обычный символ Кронекера. Чтобы использовать

структурные свойства, перенесем вероятностные понятия на язык линейной алгеб-∑

ры, считая, что P(X ) вложено в RLX с помощью биекции p →

p(x)e_x. При

x∈X

таком отображении δ_x переходит в фиксированный базис {e_x}_x∈X , что делает воз-

можным естественное использование матричной алгебры в наших вычислениях.

Мы представим лишь результаты из полилинейной алгебры для двухкомпонент-

ных систем; обобщение на многомерный случай очевидно. Кроме базиса {e_x}_x∈X

в RLX будем использовать второй фиксированный базис {e_y}_y∈Y в RLY. Матрицы

размера L_X × L_Y задают линейные отображения из RLX в RLY своим действи-

ем в этих базисах. Тензорным произведением пространств RLX и RLY является

RLX ⊗ RLY := span {e_x ⊗ e_y}_x,∈X,y∈Y. Это позволяет определить так называемые

∑

“векторы-произведения” двух векторов u =

u_xe_x и v =

v_ye_y как

x∈X

y∈Y

∑

u ⊗ v :=

u_xv_ye_x ⊗ e_y.

(3)

x∈X,y∈Y

Векторное пространство R^L ⊗ RL′ наследует скалярное произведение по формуле

〈u⊗v, x⊗y〉 := 〈u, x〉〈v, y〉. Пространство (L×L^′)-матриц обозначается через M_L×L′.

Для заданных A, B ∈ M_L×L′ определим матрицу A ⊗ B через ее действие на векто-

рах-произведениях:

(A ⊗ B)(u ⊗ v) := (Au) ⊗ (Bv).

(4)

Чтобы упростить дальнейшие обозначения, для u ∈ RLX и n ∈ N>0 обозначим через

u^⊗n := u⊗. . .⊗u тензорное произведение n экземпляров вектора u. Соответственно,

для A ∈ MLX×LY обозначим A^⊗n := A ⊗ . . . ⊗ A.

Влияние шума при передаче сообщений моделируется стохастическими матри-

цами W условных распределений вероятностей (w(y | x))_x∈X,y∈Y, элементы которых

удовлетворяют условию ∀ x ∈ X : w(· | x) ∈ P(Y). Любая такая матрица в дальней-

шем будет также называться каналом. Множество каналов, действующих на конеч-

ных алфавитах X размера L_X и Y размера L_Y , обозначается через C(X , Y). Спе-

циальный случай, когда ∀ x ∈ X , y ∈ Y : w(y | x) = δ(y, x), обозначается через Id.

Важный подкласс каналов возникает в случае двоичного алфавита (L_X = L_Y = 2).

В этом случае каждая матрица канала W полностью характеризуется двумя пара-

метрами в следующем смысле:

(

)

w₁

w₂

W =

(5)

1-w₁

1-w₂

Если w₂ = 1 - w₁, то такой канал называется двоичным симметричным каналом

(ДСК). Всякий ДСК с вероятностью перемены бита 1 - w, обозначаемый через

BSC(w), полностью задается своим параметром ДСК w. Специальный случай ДСК

- канал с переключением битов, где w = 0, обозначаемый через F. Для аккуратного

моделирования влияния конкретных стратегий источника помех в вероятностном

контексте вводится понятие произвольно меняющегося канала (ПМК): вероятност-

ный закон, управляющий передачей кодовых слов по ПМК прямой связи при n об-

ращениях к каналу, имеет вид

∏

w^⊗n(yⁿ |xⁿ, sⁿ) = w(y_i |x_i, s_i),

(6)

i=1

где sⁿ = (s₁, . . . , s_n) ∈ Sⁿ - входы злоумышленника, управляющие состоянием кана-

ла, xⁿ = (x₁, . . . , x_n) ∈ Xⁿ - входные слова кодера, а yⁿ = (y₁, . . . , y_n) ∈ Yⁿ - выход

канала на приемном конце, причем предполагается, что все они берутся из конечных

алфавитов. Введенное понятие естественным образом обобщается на произведения

ПМК. Пусть, например, имеются K = 2 ДКБП, обозначаемые через W₁ и W₂ и

отображающие X₁ в Y₁ и X₂ в Y₂ соответственно, с матрицами вероятностей пере-

ходов (w₁(y₁ | x₁))x1∈X1,y1∈Y1 и (w2(y2 | x2))x2∈X2,y2∈Y2 . Тогда матрица вероятностей

переходов канала W₁ ⊗W₂ определяется как w(y₁, y₂ | x₁, x₂) := w₁(y₁ | x₁)·w₂(y₂ | x₂)

для всех x₁ ∈ X₁, x₂ ∈ X₂, y₁ ∈ Y₁, y₂ ∈ Y₂. Это понятие можно адаптировать и для

произвольно меняющихся каналов:

Определение 1 (произвольно меняющийся канал). Пусть S,X,Y - конечные

множества. Произвольно меняющийся канал (ПМК) - это набор W := (W_s)_s∈S ,

где W_s ∈ C(X , Y) для любого s ∈ S. Альтернативными обозначениями являются

w(y | x, s) := w_s(y | x) или W_s(δ_x) = w_s(· | x) для всех s ∈ S, x ∈ X и y ∈ Y. Действие

ПМК полностью описывается последовательностью ((W_sn )_sn_∈Sn)n∈N>0, где W_sn =

=Ws1⊗...⊗Wsn.

В дальнейших рассуждениях мы будем использовать энтропию Шеннона распре-∑

делений p ∈ P(X ), которая определяется как H(p) := -

p(x) log(p(x)). Каждый

x∈X

канал W : P(X ) → P(Y) с распределением вероятностей p ∈ P(X ) задает совместное

распределение P((X, Y ) = (x, y)) := p(x)w(y | x) для всех x ∈ X и y ∈ Y. Используя

введенные выше обозначения, взаимную информацию, которая определяется как

I(X; Y ) := H(X) - H(X | Y ), можно также записать в виде I(p; W ) := I(X, Y ).

Кроме того, в дальнейшем нам понадобится расстояние d (W, W^′) между двумя

ДКБП W, W^′ ∈ C(X, Y), которое мы вводим как расстояние по вариации:

∑

d(W, W^′) := max

|w(y|x) - w^′(y|x)| .

x∈X

y∈Y

Затем воспользуемся расстоянием Хаусдорфа D (W, W^′) и определим расстояние

между двумя ПМК W ∈ C (X × S, Y) и W^′ ∈ C (X × S^′, Y) как

D (W, W^′) := max {d₁(W, W^′), d₂(W, W^′)} ,

(7)

где d₁(W, W^′) и d₂(W, W^′) задаются следующим образом:

d₁(W, W^′) := max

min

d(W_s, W^′s′ ),

s^′∈S^′

s∈S

d₂(W, W^′) := max

min

d(W_s, W^′s′ ).

s∈S

s^′∈S^′

Для изучения составных ПМК с разнесением введем следующую модель.

Определение 2 (составной ортогональный ПМК). Пусть заданы ПМК W_i,

i ∈ [K], с входными алфавитами X₁,...,X_K, множествами состояний S₁,...,S_K и

выходными алфавитами Y₁, . . . , Y_K . Определим составной ортогональный ПМК как

⊗

W := W_i. Имеем

i=1

∏

w(y₁, . . . , y_K | x₁, . . . , x_K , s₁, . . . , s_K ) :=

w_i(y_i |x_i, s_i).

(8)

i=1

Для упрощения дальнейшего анализа будем рассматривать схему разнесения с

тривиальным предварительным кодированием, т.е. будем считать, что один и тот же

входной символ x передается по всем ПМК одновременно. Этим задается составной

ПМК, возникающий при совместном использовании K независимых ПМК (условно

независимых относительно общего входа).

Определение 3 (составной независимый ПМК). Пусть заданы ПМК W_i, где

i ∈ [K], с входным алфавитом X, множествами состояний S₁,...,S_K и выходными

алфавитами Y₁, . . . , Y_K . Определим составной независимый ПМК как W_CI = W ◦

◦(Id ⊗E), где отображение E : X → X₁×. . .×X_K задается условием e(x₁, . . . , x_K | x) :=

∏

:= δ(x_i, x). Эквивалентным образом,

i=1

∏

w_CI(y₁, . . . , y_K |x, s₁, . . . , s_K) :=

w_i(y_i |x, s_i).

(9)

i=1

В дальнейшем анализе мы накладываем дополнительные ограничения на воз-

можную стратегию источника помех в модели ПМК, получая составной независи-

мый ПМК с локальными ограничениями по состояниям. Будем предполагать, что

источник помех может использовать лишь один и тот же вход для совместного

управления всеми K каналами, т.е. s_K = . . . = s₁ в определениях 2 и 3. Это ре-

алистичное предположение для моделей связи, где вероятности в (6) получаются из

линейной суперпозиции электромагнитных волн (по частоте или времени) на при-

емных антеннах, а источник помех не имеет возможности настраивать свой вход

канала для K ветвей разнесения по отдельности.

Определение 4 (составной независимый ПМК с локальными ограничениями

по состояниям). Пусть K ∈ N>0, и пусть W₁, . . . , W_K - ПМК с входным алфави-

том X, множествами состояний S₁, . . . , S_K и выходными алфавитами Y₁, . . . , Y_K.

Составной независимый ПМК с локальными ограничениями по состояниям, возни-

кающий из этих каналов, задается выбором подмножества S ⊂ S₁ × . . . × S_K как

(10)

W_CI,lo-c := (W1,s1 ⊗ . . . ⊗ WK,sK )sK∈S^.

Специальным случаем ПМК с локальными ограничениями по состояниям является

составной независимый ПМК с одинаковыми ограничениями по состояниям W_CI,id-c,

где S₁ = . . . = S_K и S := {s^K : s₁ = . . . = s_K }. Аналогично определяется составной

ортогональный ПМК с одинаковыми ограничениями по состояниям W_id-c.

Замечание 1. Если источник помех с одинаковыми ограничениями по состояни-

ям использует вероятностную стратегию, где его вход выбирается случайным обра-

зом в соответствии с распределением q ∈ P(S), то эффективным распределением на

входе канала с одинаковыми ограничениями по состояниям будет

∑

q(K) :=

q(s)δ^⊗Ks .

(11)

s∈S

Определим множество всех таких входных распределений q(K):

P(K)(S) := {q(K) : q ∈ P(S)}.

(12)

Ограничение источника помех входами такого вида дает нам возможность в дока-

зательстве теоремы 1 применять методы факторного анализа с зависимыми пере-

менными [23].

Замечание 2. Заметим, что индивидуальные каналы составного независимого

ПМК с о.о.с. условно независимы при условии на вход канала (входное слово и

входное состояние).

Замечание 3. Условие одинакового ограничения на состояния тривиально пере-

носится на случай составного ортогонального ПМК.

На рис. 1 показана блок-схема описанного выше составного независимого ПМК

при помехах с о.о.с. Следуя [6], в теореме 7 настоящей статьи мы используем огра-

ничение по мощности, ограничивающее стратегию источника помех.

Определение 5 (помехи с ограничением по мощности). Пусть K

∈ N>0,

и пусть W₁, . . . , W_K - ПМК с множеством локальных ограничений S. Пусть l : S →

→ [0, ∞) и Λ > 0. Множество состояний источника помех с ограничением по мощ-

{

}

∑

ности определяется как SnΛ := sⁿ ∈ Sⁿ :

l(s_i) ≤ Λ · n

i=1

Аналогично ограничим стратегию на входе:

Определение 6 (ограничение по входной мощности). Пусть W

- ПМК с

входным алфавитом X . Пусть g : X → [0, ∞) и Γ > 0. Множество входных после-{

довательностей с ограничением по мощности определяется как XnΓ := xⁿ ∈ Xⁿ :

}

∑

g(x_i) ≤ Γ · n

i=1

Замечание 4. Мы будем рассматривать только двоичные ПМК, т.е. X = Y =

= {0, 1} с двумя состояниями S = {1, 2}, а в качестве функций стоимости используем

l(s) := s - 1 и g(p) = p.

§ 3. Кодовые понятия и характеристики производительности

Определим понятия кода, скорости передачи и пропускной способности для пе-

редачи по составному независимому ПМК с о.о.с. Эти определения обобщаются на

случай составных ортогональных ПМК с о.о.с. путем замены входного алфавита X

на X₁×. . .×X_K , что дает большую гибкость на этапе предварительного кодирования.

Поскольку наши результаты основаны на двоичных алфавитах, в дальнейшем

будем определять все кодовые понятия только для специального случая, когда X₁ =

... = X_K = X и Y₁ = ... = Y_K = Y. Обобщение на более общий случай очевидно.

Определение 7 (детерминированный код). Детерминированный (не исполь-

зующий дополнительные средства) код M_n для составного независимого ПМК

с о.о.с. W_CI,id-c ∈ C(X × S, Y^K), где K ∈ N>0, состоит из множества M_n сообще-

ний и детерминированного кодера f : M_n → Xⁿ в сочетании с набором {D_m}_m∈M

Xⁿ

Yn1,sn

Кодер

(yn1 | xⁿ, sⁿ)

Декодер

W^nK(y^nK | xⁿ, sⁿ)

K,sⁿ

Sⁿ

Источник

помех

Рис. 1. Блок-схема составного независимого ПМК с одинаковыми ограничениями по

состояниям. Состояние всех K параллельных каналов управляется одной и той же

последовательностью состояний sⁿ ∈ Sⁿ, выбираемой источником помех

декодирующих подмножеств D_m ⊂ Y^K , для которых D_m ∩ D_m′ = ∅ при любом

m = m^′. Средняя вероятность ошибки декодирования кода K_n имеет вид

∑

e_UA(K_n) := 1 - min

w^⊗n(D_m |f(m), sⁿ).

(13)

sⁿ∈Sⁿ |M_n|

m∈Mn

Более сложные схемы кодирования и декодирования могут возникать при до-

ступе к дополнительному координационному ресурсу, т.е. множеству Γ возможных

реализаций случайной величины (совместной случайности), совместно доступной

легальным участникам. Передатчик и приемник могут использовать γ ∈ Γ для ко-

ординации своего выбора кодеров и декодеров с целью обеспечения надежной связи

в обход симметризуемости.

Определение 8 (код с совместной случайностью). Код с совместной случай-

ностью K_n для составного независимого ПМК с о.о.с. W_CI,id-c ∈ C(X × S, Y^K ),

K ∈ N>0, состоит из множества M_n сообщений, множества Γ случайных выхо-

дов источника совместной случайности и множества стохастических кодеров E^γ ∈

∈ C(M_n,Xⁿ) в сочетании с набором {D^γm}_m∈M

декодирующих подмножеств D^γm,

n,γ∈Γ

для которых D^γm ∩D^γm′ = ∅ при всех γ ∈ Γ, m = m^′. Средняя ошибка декодирования

для СС-кода K_n имеет вид

∑

∑ ∑

e_RA(K_n) := 1 - min

e^γ(xⁿ |m)w^⊗n(D^γm |xⁿ, sⁿ).

(14)

sⁿ∈Sⁿ |M_n| · |Γ|

m∈Mn γ∈Γ xⁿ∈Xⁿ

Определение 9 (достижимая скорость передачи). Неотрицательное число R

называется достижимой скоростью передачи по составному независимому ПМК

с о.о.с. W_CI,id-c ∈ C(X × S, Y^K), K ∈ N>0, с критерием средней вероятности ошибки,

если для любых ε > 0 и δ > 0 и достаточно больших n существует детерминирован-

log |Kn|

ный код K_n, такой что

> R - δ и e_UA < ε.

Такое число называется достижимой скоростью при СС-кодировании в канале

W_CI,id-c, если для любых ε > 0 и δ > 0 и достаточно больших n существует СС-

log |Kn|

код K_n, такой что

> R - δ и e_RA < ε.

Определение 10 (пропускная способность). Пусть K ∈ N>0, и пусть заданы

K независимых ПМК W₁, . . . , W_K ∈ C(X × S, Y). Пропускная способность при де-

терминированном кодировании составного независимого ПМК с одинаковыми огра-

ничениями по состояниям W_CI,id-c определяется как

{

}



– достижимая скорость при детерминированном

^R

C_d(W_CI,id-c) := sup R



одировании и ограничении по состояниям S =

^к

= {s^K : s₁ = . . . = s_K}

СС-пропускная способность канала W_CI,id-c определяется как

{



}



R - достижимая скорость при СС-кодировании и

C_r(W_CI,id-c) := sup R



ограничении по состояниям S = {s^K : s₁ = . . . = s_K}

Кроме того, определим пропускную способность при детерминированном кодирова-

нии составного независимого ПМК c ограничениями по мощности состояний Λ и

мощности входа Γ:

⎧

⎫



R - достижимая скорость при детерминирован-

⎨

⎬



ном кодировании с ограничением по состояни-

C_d(W_CI,id-c, Λ, Γ) := sup



⎩

 ям S = {s^K : s1 = . . . = sK } и ограничениями⎭

по мощности Λ и Γ

Аналогично определяется СС-пропускная способность с ограничениями по мощно-

сти:

{

}



– достижимая скорость при СС-кодировании

^R

C_r(W_CI,id-c, Λ, Γ) := sup R



ограничением по состояниям S = {s^K : s₁ =

с

= ... = s_K} и ограничениями по мощности Λ и Γ

Для понятия симметризуемости мы придерживаемся стандартных определений

в контексте произвольно меняющихся каналов (см., например, [2]).

Определение 11 (симметризуемость). ПМК W ∈ C(X×S,Y) называетсясим-

метризуемым, если для некоторого U ∈ C(X , S) равенство

∑

w(y | x, s)u(s | x^′) =

w(y | x^′, s)u(s | x),

(15)

s∈S

выполнено для всех x, x^′ ∈ X , y ∈ Y. Если U и W удовлетворяют условию (15),

то U называется симметризатором для W. Если W известен из контекста, то U

называется просто симметризатором.

В [8,25] это определение было адаптировано к произвольно меняющимся каналам

множественного доступа, что привело к понятию частичной симметризуемости.

Для перенесения результатов о суперактивации со случая составного независимо-

го ПМК на случай составного ортогонального ПМК будем использовать следующую

функцию, которая впервые была введена в квантовой постановке в [26], а затем ис-

пользовалась при изучении каналов классической передачи в [13] и которая численно

оценивает, насколько данный ПМК далек от симметризуемого.

Определение 12. Пусть p > 0. Определим функции F_p: C(X × S,Y) → R₊

как



∑



∑



F_p(W^′) := min

max

W^′(δ_x′ ⊗ δ_s)u(s|x) -

W^′(δ_x ⊗ δ_s)u(s|x^′)

(16)

U∈C(X,S)

x=x^′



s∈S

для каждого W^′ = (w^′(· | · , s))_s∈S ∈ C(X × S, Y), где через ∥ · ∥_p обозначена p-норма.

В дальнейшем вместо F_p будем писать F_z := F_p, z > 0, во избежание путаницы

с распределением вероятностей p ∈ P(X ).

Замечание 5. Сравнивая определения 11 и 12, становится очевидно, что условие

∃z: F_z(W^′) = 0 равносильно тому, что W симметризуем. При этом ∃z: F_z(W^′) = 0

тогда и только тогда, когда ∀z: F_z(W^′) = 0.

Теперь приведем формальное определение явления суперактивации.

Определение 13 (суперактивация). Пусть дан составной независимый ПМК

с о.о.с. W_CI,id-c, где W₁, . . ., WK ∈ C(X × S,Y), K ∈ N>0. Будем говорить, что

пропускная способность C канала W_CI,id-c обладает свойством суперактивации, если

найдутся W₁, . . . , W_K , такие что

C(W₁) = C(W₂) = . . . = C(W_K ) = 0,

(17)

но

C(W_CI,id-c) > 0.

(18)

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением ПМДСК и покажем, что исполь-

зования трех независимых ПМДСК или же трех ортогональных ПМДСК в состав-

ном канале уже достаточно для избежания симметризуемости, за исключением неко-

торых специальных, но тривиальных и практически не значимых случаев.

§ 4. Основные результаты

В основной части настоящей статьи мы сконцентрируемся на изучении влия-

ния разнесенного приема на характеристики передачи информации по ПМК. Наши

основные результаты показывают, почему передача по многим параллельным ПМК

с использованием разнесенного приема может быть существенным фактором надеж-

ности в сценариях произвольно меняющейся передачи, особенно если для передачи

информации используются ПМДСК.

4.1. Симметризуемость и пропускная способность составного независимого

ПМДСК с о.о.с. Имеет место следующая

Теорема 1 (несимметризуемость составных независимых ПМДСК с о.о.с.).

Пусть K = 3, X = Y = {0, 1} и S = [2]. Пусть W_CI,id-c - составной независи-

мый ПМДСК с о.о.с., состоящий из каналов W₁ = {W1,1, W1,2}, W₂ = {W2,1, W2,2}

и W₃ = {W3,1,W3,2}. Пусть с каждым каналом-состоянием W_i,j связан соответ-

ствующий параметр ДСК w_i,j. Кроме того, пусть wi,1 = wi,2 и w_i,j = 1/2 для всех

i ∈ [3], j ∈ [2], а также w1,1 = 1-w1,2∨w2,1 = 1-w2,2∨w3,1 = 1-w3,2. Тогда канал

W_CI,id-c не симметризуем в смысле определения 11.

Замечание 6. На первый взгляд, указанное исключение является недостатком

теоремы, однако при ближайшем рассмотрении видно, что этот случай не имеет

практической значимости. В этом исключительном случае первый канал-состояние

каждого из ПМДСК является обращенной версией второго, что довольно редко

может встретиться на практике. Кроме того, если канал BSC(p) имеет свойство

p(1) = 1/2, то такой канал полностью рандомизирует любой вход. В такой ситуации

от остальных участников системы связи потребуются самые значительные усилия

для улучшения передачи. Если же wi,1 = wi,2 для любого i ∈ [3], то источник помех

вовсе не оказывает влияния на i-ю линию связи, которую в таком случае можно

моделировать как обычный ДКБП.

Следствие 1. Пусть K > 3, X = Y = {0,1} и S = [2]. Пусть W_CI,id-c - со-

ставной независимый ПМДСК с о.о.с. Если существует подмножествоWCI,id-c ⊂

⊂ W_CI,id-c, для которого выполнены условия теоремы 1, то канал W_CI,id-c не сим-

метризуем в смысле определения 11.

Теперь рассмотрим симметризуемость составных независимых ПМДСК с о.о.с.

при K = 2 и симметризуемость однолинейного ПМДСК (K = 1).

Теорема 2 (симметризуемость составного независимого ПМДСК при K = 2).

Пусть S = [2] и K = 2. Пусть W_CI,id-c - составной независимый ПМДСК с о.о.с.,

состоящий из каналов W₁ и W₂ с каналами-состояниями W1,1, W1,2 и W2,1, W2,2 со-

ответственно. Пусть w2,2 = 1-w2,1. Тогда канал W_CI,id-c симметризуем в смысле

определения 11 для всех пар (w1,1, w1,2), таких что w1,2 = 1 - w1,1.

Замечание 7. В специальном случае, когда w1,2 = 1 - w1,1, числа каналов K = 2

уже достаточно для предотвращения симметризации, за исключением случая, в ко-

тором w2,2 = 1 - w2,1.

Теорема 3 (симметризуемость ПМДСК при K = 1). Пусть S = [2], и пусть

W ∈ C(X ×S,Y) - ПМДСК с каналами-состояниями W1,1 и W1,2. Пусть параметр

w1,1 ∈ [0, 1/2) фиксирован. Тогда канал W симметризуем в смысле определения 11,

если w1,2 ∈ (1/2, 1], причем в качестве симметризующей стратегии можно вы-

брать любой канал U ∈ C(X , S), удовлетворяющий условию

1 - 2w1,2

u(1 | 0) + u(1 | 1) =

(19)

w1,1 - w1,2

Отметим, что (1 - 2w1,2)/(w1,1 - w1,2) ∈ (0, 2) при таких ограничениях на w1,1

и w1,2, так что может существовать много симметризаторов U.

Замечание 8. Теорема 3 утверждает, что для любого w1,2 ∈ (1/2, 1] существует

стратегия источника помех, симметризующая канал W, что приводит к нулевой про-

пускной способности канала. Соответственно, множество симметризуемых ПМДСК

при K = 1 велико. Сравнивая результат для K = 1 с условиями симметризуемости

независимых ПМК в теореме 1, легко видеть, что использование двух дополнитель-

ных независимых ветвей разнесения при передаче по ПМК позволяет сузить множе-

ство симметризуемых каналов до небольшого подмножества тривиальных каналов,

малозначимых в практических приложениях.

В следующем примере, сравнивая результаты теорем 1-3, мы явно укажем разни-

цу в симметризуемости между случаями K = 1, K = 2 и K = 3, продемонстрировав

сокращение мощности множества симметризуемых ПМК в этих трех случаях.

Пример. Вначале рассмотрим результат теоремы 3. Напомним, что для одно-

линейного ПМК (K = 1) с фиксированной стратегией q⁽¹⁾ каждый ПМДСК W

симметризуем - для этого параметры ДСК w1,1 и w1,2 соответствующих каналов-

состояний W1,1 и W1,2 должны без ограничения общности удовлетворять условиям

w1,1 ∈ [0, 1/2) и w1,2 ∈ (1/2, 1].

Теперь положим U_CS := {(w1,1, w1,2) : w1,1 ∈ [0, 1/2), w1,2 ∈ (1/2, 1]} и определим

следующие двоичные симметричные ПМК с двумя состояниями: W(w1,1, w1,2) :=

:= {BSC(w1,1), BSC(w1,2)} для всех (w1,1, w1,2) ∈ U_CS. Определим также множества

U_K((w2,1, w2,2). . .(wK,1, wK,2)), K ∈ N>0:

U_K((w2,1, w2,2), . . . , (wK,1, wK,2)) :=

⎧

⎫

⎨(w1,1, w1,2) ∈ UCS : ∃ (w2,1, w2,2), . . . , (wK,1, wK,2), такие что канал⎬

⊗

(20)

⎩W(w1,1, w1,2) W(wi,1, wi,2) симметризуем при помехах с о.о.с.⎭

i=2

Из теоремы 3 известно, что U₁() = U_CS для K = 1. Для K = 2 теорема 2 показы-

вает, что U₂((w2,1, 1 - w2,1)) = {(w1,1, w1,2) ∈ U_CS : w1,2 = 1 - w1,1}. В этих двух

случаях множество U является плоскостью (K = 1) или прямой с угловым коэффи-

циентом -1 (K = 2) соответственно (см. рис. 2 (a), (b)). Таким образом, множество

w1,2

1/2

w1,1

1/2

(a) K = 1

(b) K = 2

Рис. 2. Симметризуемые составные независимые ПМДСК с о.о.с. с параметрами w1,1

и w1,2. Показаны множества UK для K = 1, 2, 3

возможных стратегий, приводящих к симметризации, в геометрическом представ-

лении сужается с плоскости до прямой при увеличении K от одного до двух.

Теперь обратимся к случаю, когда для передачи доступны три независимых ветви

разнесения ПМК, т.е. K = 3. Это позволяет использовать результат теоремы 1,

которая утверждает, что при K = 3 и w3,2 = 1 - w3,1 справедливо равенство

U₃((w2,1, 1 - w2,1), (w3,1, w3,2)) = ∅.

(21)

Таким образом, при K = 3 множество U₃ является пустым (см. рис. 2 (c)).

Показанное на рисунке сужение множества U подчеркивает важность разнесения

для обеспечения надежной связи. Передача по составному ПМК с о.о.с., состояще-

му из трех или более независимых ПМДСК, позволяет избежать симметризуемости,

за исключением тривиальных случаев. Обеспечение устойчивости к отказам явля-

ется одним из важнейших вопросов при стандартизации и сертификации методов

и технологий в сценариях с высокими требованиями к надежности. Использование

систем связи, спроектированных в соответствии с требованиями теоремы 1, позво-

ляет гарантировать положительную пропускную способность линии беспроводной

связи даже в присутствии неизвестных и произвольно меняющихся помех.

Теорема 4 (пропускная способность ПМДСК). Пусть K = 3, X = Y = {0,1}

и S = [2]. Пусть дан составной независимый ПМДСК с о.о.с. W_CI,id-c с K ком-

понентами, не относящийся к исключениям, перечисленным в теореме 1. Тогда

детерминированная и СС-пропускная способность C_d и C_r канала W_CI,id-c имеют

вид

(

)

∑

⊗

C_d(W_CI,id-c) = C_r(W_CI,id-c) = min

max I p; q(s)

W_i,s

(22)

q∈P(S)

p∈P(X )

s=1

i=1

Замечание 9. Из теоремы 4 с учетом результатов работ [13, 26] с использова-

нием расстояния, введенного в определении 12, немедленно вытекает непрерыв-

ность C_d. Таким образом, для любого составного независимого ПМК W′CI,id-c ∈

(

)

(

)

X ×S,Y^K

существует δ > 0, такое что для всех W_CI,id-c ∈ C

X ×S,Y^K

, таких

что D(W_CI,id-c, W′CI,id-c) < δ, выполнено C_d(W′CI,id-c) > 0

=⇒ C_d(W_CI,id-c) > 0.

Определение расстояния D(W, W^′) дано в (7).

4.2. Суперактивация пропускных способностей для составного независимого

ПМДСК с о.о.с. В [14] утверждается, что “. . . суперактивация при надежной свя-

зи по ортогональным ПМК невозможна”, и таким образом, является отличительной

особенностью ортогональных произвольно меняющихся каналов с подслушивани-

ем. Если источник помех не имеет ограничений и может изменять свою стратегию

в каждом канале отдельно, то это утверждение не вызывает сомнений. Однако сле-

дующая теорема показывает, что для составного независимого ПМДСК с о.о.с. воз-

никает совершенно неожиданное явление.

Теорема 5 (суперактивация детерминированной и СС-пропускной способности

составного независимого ПМК с о.о.с.). Пусть K = 3, X = Y = {0, 1} и S = [2].

Пусть дан составной независимый ПМК с о.о.с. W_CI,id-c, состоящий из трех

ПМДСК W₁ = {W1,1, W1,2}, W₂ = {W2,1, W2,2} и W₃ = {W3,1, W3,2}. Пусть пара-

метры ДСК w_i,s для i-го канала удовлетворяют условиям w1,1, w2,1, w3,1 ∈ [0, 1/2)

и w1,2, w2,2, w3,2 ∈ (1/2, 1]. Кроме того, пусть w1,1 = 1-w1,2∨w2,1 = 1-w2,2∨w3,1 =

= 1 - w3,2. Тогда для W₁,W₂,W₃ справедливы следующие утверждения:

1. C_d(W₁) = C_d(W₂) = C_d(W₃) = 0, но C_d(W_CI,id-c) > 0, т.е. пропускная способ-

ность при детерминированном кодировании обладает свойством суперактива-

ции;

2. C_r(W₁) = C_r(W₂) = C_r(W₃) = 0, но C_r(W_CI,id-c) > 0, т.е. СС-пропускная способ-

ность обладает свойством суперактивации.

Замечание 10. Насколько известно авторам, второе утверждение теоремы 5 яв-

ляется первым описанным случаем суперактивации СС-пропускной способности.

До настоящего времени считалось, что суперактивация может возникать лишь для

пропускных способностей при детерминированном кодировании. Кроме того, сим-

метризуемость считалась решающим критерием равенства нулю пропускной способ-

ности при детерминированном кодировании. Симметризуемость для СС-пропускной

способности не столь существенна. Таким образом, утверждение 2 теоремы 5 пока-

зывает, какое неожиданное и необычайно сильное влияние оказывает разнесенный

прием на передачу по ПМК.

Теорема 5 поднимает вопрос о том, имеется ли разница между двумя явлениями

суперактивации - для схем передачи, использующих вспомогательные средства и

не использующих. На самом деле, оказывается, что для большого класса составных

независимых ПМДСК с о.о.с. не имеет значения, какую пропускную способность

использовать как характеристику канала - детерминированную или с использова-

нием совместной случайности. Дальнейший анализ особенно важен для понимания

свойств непрерывности пропускной способности C_d при передаче информации по

произвольно меняющимся каналам. Наши результаты о непрерывности для состав-

ного независимого ПМДСК с о.о.с. обобщает следующая

Теорема 6. Пусть X = Y = {0,1} и S = [2]. Пусть дан составной неза-

висимый ПМК с о.о.с. W_CI,id-c. Условие ∃ z : F_z(W_CI,id-c) = 0 выполнено тогда и

только тогда, когда ∀ z : F_z (W_CI,id-c) = 0, что в свою очередь выполнено тогда и

только тогда, когда C_r(W_CI,id-c) = 0. Это равносильно тому, что C_d непрерывна

в W_CI,id-c.

Теорема 6 показывает, что малые изменения в множестве неопределенности со-

ставного независимого ПМДСК с о.о.с. вызывают лишь небольшие изменения харак-

теристик соответствующей системы связи. Заключение о непрерывности пропускной

способности C_d(W_CI,id-c) в теореме 6 следует из того, что C_r(W) непрерывна в W

для любого ПМДСК W (включая составные независимые ПМДСК с о.о.с. W_CI,id-c).

Теперь рассмотрим специальный случай w1,1 = 1 - w1,2 ∧ w2,1 = 1 - w2,2 ∧ w3,1 =

= 1-w3,2, являющийся исключением в теореме 5, для которого из теоремы 1 извест-

но, что этот составной независимый ПМДСК с о.о.с. симметризуем. В следующей

теореме мы показываем, что и в этом случае пропускная способность при детермини-

рованном кодировании может быть суперактивирована при наложении ограничений

по мощности на стратегии как передатчика, так и источника помех.

Теорема 7 (суперактивация пропускной способности при детерминированном

кодировании составного независимого ПМК с о.о.с. с ограничениями по мощности

состояний и входов). Пусть S = [2], K = 3 и X = {0, 1}. Пусть дан составной неза-

висимый ПМК с о.о.с. W_CI,id-c, состоящий из трех ПМДСК W₁ = {W1,1, W1,2},

W₂ = {W2,1, W2,2} и W₃ = {W3,1, W3,2}. Пусть параметры ДСК w_i,s для i-го ка-

нала удовлетворяют условиям w1,1 = 1 - w1,2, w2,1 = 1 - w2,2 и w3,1 = 1 - w3,2,

причем все параметры ДСК не равны 1/2. Пусть заданы ограничения по мощно-

сти: на состояния Λ = 1/2 - ε с функцией стоимости l(s_i) = 1 - s и на вход

Γ = 1/2 - ε с целевой функцией g(x_i) = x. Тогда существует ε > 0, такое что

пропускная способность при детерминированном кодировании C_d канала W_CI,id-c

обладает свойством суперактивации в смысле определения 13, т.е.

C_d(W₁, Λ, Γ) = C_d(W₂, Λ, Γ) = C_d(W₃, Λ, Γ) = 0, но C_d(W_CI,id-c, Λ, Γ) > 0. (23)

Следствие 2 (суперактивация пропускной способностисоставногоортогональ-

ного ПМДСК с о.о.с.). Утверждения теорем 5 и 7 остаются верными при замене

составного независимого ПМДСК с о.о.с. на составной ортогональный ПМДСК с

о.о.с.

Замечание 11. Теоремы 5, 7 и следствие 2 показывают, что суперактивация -

явление, возникающее не только при ограничениях по секретности. В этих резуль-

татах требуются ограничения на состояния, не являющиеся для источника помех

нереалистичными с точки зрения практических приложений. Кроме того, ограниче-

ние S = [2] для источника помех имеет практическое следствие для двухуровневой

амплитудной модуляции. Теоремы 5, 7 и следствие 2 в сочетании с теоремой 1 дают

принципиально новый взгляд на принцип симметризуемости, а также на методы и

пути обхода симметризуемости в реальных приложениях с помощью разнесенного

приема.

Наложение одинаковых ограничений по состояниям на стратегию источника по-

мех делает возможным передачу на положительных скоростях по составному ПМК.

И наоборот, очевидно, что при отказе от этих ограничений из индивидуальной сим-

метризуемости ортогональных каналов W₁, . . . , W_K ∈ C(X ×S, Y) немедленно следу-

ет симметризуемость составных ортогональных ПМК W ∈ C(X^K ×S^K, Y^K). В этом

случае симметризующей стратегией будет просто произведение стратегий. Таким

образом, если позволить источнику помех выбирать стратегии в соответствующих

подканалах по отдельности, то надежная связь при отсутствии координации будет

невозможна, поскольку симметризуемость может препятствовать передаче по со-

ставному ПМК на положительных скоростях. Резюмируем вышесказанное: разнесе-

ние в сочетании с превосходством легальных пользователей над источником помех в

смысле большего количества антенн или большего числа степеней свободы при пред-

варительном кодировании является фактором, позволяющим обеспечить надежную

связь по ПМК и предотвратить отказ системы.

§ 5. Доказательства

5.1. Доказательства результатов из п. 4.1.

Доказательство теоремы 1. Заметим, что для ДСК выполнено следую-

щее соотношение: для любых a, b ∈ R справедливо равенство BSC(a) ◦ BSC(b) =

= BSC(b) ◦ BSC(a). Чтобы использовать результаты работы [23], проделаем следу-

ющую перенумерацию:

V₁(δ₀) = W1,1(δ₀) = w1,1,

V₁(δ₁) = W1,2(δ₀) = w1,2,

(24)

V₂(δ₀) = W2,1(δ₀) = w2,1,

V₂(δ₁) = W2,2(δ₀) = w2,2,

(25)

V₃(δ₀) = W3,1(δ₀) = w3,1,

V₃(δ₁) = W3,2(δ₀) = w3,2,

(26)

Y₁(δ₀) = W1,1(δ₁) = F(w1,1),

Y₁(δ₁) = W1,2(δ₁) = F(w1,2),

(27)

Y₂(δ₀) = W2,1(δ₁) = F(w2,1),

Y₂(δ₁) = W2,2(δ₁) = F(w2,2),

(28)

Y₃(δ₀) = W3,1(δ₁) = F(w3,1),

Y₃(δ₁) = W3,2(δ₁) = F(w3,2),

(29)

где для действительного числа x полагаем x := (x, 1 - x). Заметим, что Y_i(δ₀) =

= F ◦ V_i(δ₀) и Y_i(δ₁) = F ◦ V_i(δ₁) для всех i ∈ [3]. Теперь модифицированное условие

симметризуемости из определения 11

∑

⊗

∑

⊗

q(s)

(W_i,s(δ₀)) =

q^′(s)

(W_i,s(δ₁))

(30)

s=1

i=1

s=1

i=1

можно представить в следующем эквивалентном виде:

(₃

)

∑

⊗

∑

⊗

q(s)

w_i,s =

q^′(s)(F⊗3)

w_i,s

(31)

s=1

i=1

s=1

i=1

где w_i,s - векторы. Находя из уравнения (31) стратегию источника помех q⁽³⁾ :=

∑

:= q(s)δ⊗3s, получаем

s=1

(₃

)

(₃

)

⊗

q⁽³⁾ =

(V-1i ◦ F ◦ V_i) q′(3)

X_i q′(3),

(32)

i=1

где X_i = V-1i ◦ F ◦ V_i для всех i ∈ [3]. Обратные к V_i матрицы существуют для

всех i ∈ [3], поскольку по предположению каналы-состояния ПМК различны. Для

двоичных алфавитов это равносильно обратимости. В специальных случаях, когда

q(s) = q′(s′) = 1 для некоторого выбора s, s′ ∈ S, теорема доказывается очень

просто. Для этого явно вычислим матрицы X_i:

X_i = V-1i ◦ F ◦ V_i =

(33)

(

)(

)

1-wi,2

-wi,2

wi,1

wi,2

= det(V_i)

(34)

wi,1 - 1

wi,1

1-wi,1

1-wi,2

(

)

1-wi,1 -wi,2

1 - 2wi,2

(35)

wi,1 - wi,2

-1 + 2wi,1

-1 + wi,1 + wi,2

В вышеуказанных специальных случаях уравнение (33) имеет решения V_i, i ∈ [3],

имеющие вид либо V_i = BSC(1/2), либо V_i = BSC(wi,1). Поскольку первое из этих

решений исключено по условию, остается только второй случай, поэтому в этих

специальных случаях теорема доказана. Теперь рассмотрим более общий случай,

когда q(1), q^′(1) ∈ (0, 1). Здесь можно применить результат из [23, теорема 1]: для

любой перестановки τ ∈ S₂ имеем X₁ = X₂ = X₃ = τ-1, q^′ = τ(q). Отсюда

(

)

1-w1,1 -w1,2

1 - 2w1,2

=τ-1.

(36)

w1,1 - w1,2

−1 + 2w1,1

-1 + w1,1 + w1,2

Единственной матрицей перестановки, для которой выполняется равенство (36), яв-

ляется τ-1 = F. Таким образом, все V_i - ДСК, что следует из соотношений

V_i = F ◦ V_i ◦ F, i ∈ [3].

(37)

Объединяя (37) и (30) и используя тот факт, что q^′(2) = q(1) (см. [23]), получаем

W1,s = F◦W1,s, W2,s = F◦W2,s и W3,s = F◦W3,s, или, что то же самое, q(1) = q(2) =

= 1/2 и w1,2 = F(w1,1), w2,2 = F(w2,1) и w3,2 = F(w3,1). Но этот случай исключен по

условию. Таким образом, теорема полностью доказана. ▴

Доказательство теоремы 2. Напомним, что w2,2 = 1 - w2,1. Отсюда сле-

дует, что V₂ = BSC(w2,1). Снова воспользуемся тем, что для ДСК с любыми двумя

параметрами ДСК a, b ∈ R справедливо BSC(a) ◦ BSC(b) = BSC(b) ◦ BSC(a). При-

меняя это соотношение к (33) при i = 2, получаем V-12 ◦ F ◦ V₂ = V-12 ◦ V₂ ◦ F = F,

поэтому (32) принимает вид

q⁽²⁾ = (X₁ ⊗ F)q′(2).

(38)

Теперь воспользуемся оператором частичного следа tr[L′_] : R^L ⊗ RL′ → R^L по “со-

держимому” пространства RL′, который определяется следующим образом: для v =

∑

= v_i,jδ_i ⊗ δ_j положим

i,j=1

∑

tr[L′_](v) :=

v_i,jδ_j.

(39)

i,j=1

Вычисляя частичный след по первой системе, непосредственно получаем q^′ = F(q).

Возвращаясь к соотношению (38), получаем

q⁽²⁾ = (X₁ ⊗ F)q′(2) =

(40)

= (X₁ ⊗ Id)(Id ⊗F)q′(2) =

(41)

∑

= (X₁ ⊗ Id) q^′(j)(1 - δ(i, j))δ_i ⊗ δ_j =

(42)

j,i

(

)

= (X₁ ⊗ Id)

q(1)δ₂ ⊗ δ₁ + q(2)δ₁ ⊗ δ₂

(43)

∑

= q(j)x(i,1⊕j)δ_i ⊗ δ_j,

(44)

i,j=1

где ⊕: Z× (Z\ {0}) → Z, (a, b) → a ⊕ b := a + (b mod 2). В специальных случаях, где,

например, q(1) = q^′(2) = 1 или q(2) = q^′(1) = 1, множество решений уравнения (40)

имеет вид

{(

)

(

)}

(45)

1-x

что с учетом (33) и (35) приводит к заключению, что w1,1 = 1 - w1,2. Во всех

остальных случаях покомпонентное сравнение дает X₁ = X₂ = F. В силу (36) отсюда

следует, что и во всех этих случаях w1,1 = 1 - w1,2. ▴

Замечание 12. Общий случай при K = 2 остается открытой проблемой, посколь-

ку X_i в общем случае не являются ДСК. Если предположить, что все X_i - ДСК,

решение дается теоремой 3 из работы [24].

Доказательство теоремы 3. Пусть матрицы вероятностей переходов двух

ПМДСК с каналами-состояниями W1,1 и W1,2 имеют вид

(

)

(

)

w1,1

1-w1,1

w1,2

1-w1,2

W1,1 =

W1,2 =

(46)

1-w1,1

w1,1

1-w1,2

w1,2

Напомним, что мы исключаем тривиальные случаи, в которых w1,1 = w1,2 = 1/2.

Теперь проверим критерий симметризуемости:

u(1 | 0)(w1,1 · δ₀ + (1 - w1,1)δ₁) + (1 - u(1 | 0))(w1,2 · δ₀ + (1 - w1,2)δ₁) =

= u(1|1)((1 - w1,1)δ₀ + w1,1 · δ₁) + (1 - u(1|1))((1 - w1,2)δ₀ + w1,2 · δ₁).

(47)

Это равносильно следующим двум уравнениям:

u(1 | 0) · w1,1 + (1 - u(1 | 0))w1,2 = u(1 | 1)(1 - w1,1) + (1 - u(1 | 1))(1 - w1,2),

(48)

u(1 | 0)(1 - w1,1) + (1 - u(1 | 0))(1 - w1,2) = u(1 | 1) · w1,1 + (1 - u(1 | 1))w1,2.

(49)

Так как w1,1 ∈ [0, 1/2) фиксировано, то очевидно, что равенства (48), (49) будут вы-

полнены для произвольного w1,2 ∈ (1/2, 1] при подходящем выборе u(1 | 0) и u(1 | 1)

в соответствии с (19). ▴

Доказательство теоремы 4. Теорема 4 следует из теоремы 1 работы [6]

с учетом того, что теорема 1 гарантирует несимметризуемость. Таким образом, про-

пускная способность при детерминированном кодировании равна СС-пропускной

способности. ▴

5.2. Доказательства результатов из п. 4.2.

Доказательство теоремы 5. Первая часть утверждения 1 теоремы 5 да-

ется теоремой 3. По поводу второй части утверждения 1 из теоремы 1 работы [7]

с учетом результатов работ [6,18] следует, что пропускная способность при детерми-

нированном кодировании несимметризуемого ПМК с критерием средней вероятно-

сти ошибки равна либо его СС-пропускной способности, либо нулю. Кроме того, из

теоремы 1 известно, что составной ПМДСК с о.о.с. W_CI,id-c несимметризуем. Таким

образом, C_d(W_CI,id-c) = C_r(W_CI,id-c). Теми же рассуждениями, что и в [6], покажем,

что несимметризуемость канала W_CI,id-c является достаточным условием того, что

C_r(W_CI,id-c) > 0. Предположим противное: пусть

(

)

∑

⊗

min

max I p; q(s)

W_i,s

(50)

q∈P(S)

p∈P(X )

s=1

i=1

для несимметризуемого составного независимого ПМДСК с о.о.с. W_CI,id-c. В таком

случае выходы ПМДСК W₁, W₂ и W₃ канала W_CI,id-c в (50) не зависят от p(x) при

p(x) > 0 для всех x ∈ X , т.е.

∑

W₁(y₁ |x, s)W₂(y₂ |x, s)W₃(y₃ |x, s)q(s)

(51)

PY1,Y2,Y3 (y1, y2, y3) =

s∈S

не зависит от x. Следовательно, получаем постоянные независимые каналы. Из этого

в свою очередь вытекает тривиальная симметризуемость, полагая u(·|x) = q(·),

что противоречит предположению. Таким образом, из несимметризуемости W_CI,id-c

следует, что C_r(W_CI,id-c) > 0. Утверждение 1 теоремы 5 доказано.

Для доказательства утверждения 2 остается показать, что C_r(W₁) = C_r(W₂) =

= C_r(W₃) = 0. Для этого определим выпуклую оболочку множества ПМДСК как

{

}

∑

conv(W) := W = q(s)W_s : q ∈ P(S)

(52)

s=1

Из [1, 4, 27] известно, что СС-пропускная способность отдельного ПМК имеет вид

(

)

∑

C_r(W) = min

max I p, q(s)W_s

(53)

q∈P(S)

p∈P(X )

s=1

Заметим, что для каждого из индивидуальных ПМДСК W_i, i ∈ [3], справедливо

BSC(1/2) ∈ conv(W_i), причем I(p, BSC(1/2)) = 0. Таким образом, из (53) и того

факта, что минимизацию и максимизацию в (53) можно поменять местами, как

следует из выпуклости взаимной информации по каналу, получаем C_r(W_i) = 0 для

всех i ∈ [3]. ▴

Для доказательства теоремы 6 нам понадобится следующая

Лемма. Пусть X = {0,1} и S = [2]. Пусть W ∈ C(X × S,Y) - произвольный

ПМК. Для любого r ∈ P(Y)обозначим через T_r ∈ C(X , Y) соответствующий “му-

сорный канал”, определяемый как T (p) = r ∀ p ∈ P(X ). Выпуклое множество всех

мусорных каналов обозначим через T

:= {T_r : r ∈ P(Y)}. Если F_z (W) = 0 для

некоторого z > 0 и u(1|1) = u(1|0) в (16), то существуют q ∈ P(S) и r ∈ P(Y),

такие что

∑

q(s)W_s = T_r.

(54)

s∈S

(

)

∑

Отсюда следует, что I p; q(s)W_s

= 0 для всех p ∈ P(X).

s∈S

Доказательство леммы. Для доказательства леммы просто подставим

u(1 | 1) = u(1 | 0) в (16). Положим λ := u(1 | 1) и μ := u(1 | 0). Имеем

λw(· | 0, 1) + (1 - λ)w(· | 0, 2) = μw(· | 1, 1) + (1 - μ)w(· | 1, 2).

(55)

Далее, при λ = μ получаем

λw(· | 0, 1) + (1 - λ)w(· | 0, 2) = λw(· | 1, 1) + (1 - λ)w(· | 1, 2).

(56)

Теперь положим q(1) := λ и q(2) := (1 - λ). Тогда (56) принимает вид

∑

q(s)W_s(δ₀) =

q(s)W_s(δ₁).

(57)

s∈S

∑

Обозначая r :=

q(s)W_s(δ₀), отсюда непосредственно получаем q(s)W_s(δ₁) = r,

∑

и таким образом, q(s)W_s = T_r.

▴

Доказательство теоремы 6. По предположению F_z(W_CI,id-c) = 0, ∀z > 0.

Тогда существует симметризатор U ∈ C(X , S), такой что



⊗

∑

⊗



∑



u(s | x)

W_i(δ_x′ ⊗ δ_s) -

u(s | x^′)

W_i(δ_x ⊗ δ_s)

= 0.

(58)



s∈S

i=1

s∈S

i=1

Для краткости обозначим λ := u(1 | 1), μ := u(1 | 0) и a_i := w_i(· | 0, 1), b_i := w_i(· | 0, 2),

i ∈ [K]. Для z > 0 положим



(

)

⊗



f_z(λ, μ) :=

λ ai + (1 - λ) bi

− F^⊗K μ a_i + (1 - μ)

b_i



(59)



i=1

Тогда, поскольку F ◦ BSC(a) = BSC(a) ◦ F для всех a, из (58) вытекает f_z(λ, μ) = 0

для всех z > 0.

Заметим, что выбор нормы, по которой вычисляется f_z(λ, μ), не важен для ис-

следования симметризуемости, поскольку нас интересуют лишь случаи, в которых

выражение под знаком нормы равно нулю. Таким образом, для упрощения вычис-

лений будем рассматривать 2-норму, т.е. полагать z = 2. Так как ∥ · ∥₂ - унитарно

инвариантная норма, а F^⊗K - унитарная матрица, то



(

)

⊗



f₂(λ, μ) =

λ ai + (1 - λ) bi

− F^⊗K μ a_i + (1 - μ)

b_i



i=1



((

)

(

))



⊗



F⊗K

λ a_i + (1 - λ) b_i

− F^⊗K μ a_i + (1 - μ)

b_i



i=1



(

) (

)



⊗



F⊗K

λ a_i + (1 - λ) b_i

- μ a_i + (1 - μ)

b_i



i=1

= f₂(μ, λ).

(60)

Далее, для p ∈ [0, 1], определяемого как p := 1/2(λ + μ), имеем



(

)

⊗



f₂(p, p) =

p

ai + (1 - p)

b_i

− F^⊗K p a_i + (1 - p)

b_i



i=1



(



⊗

1



(λ + μ)

a_i +

(λ + μ)

b_i -

2

i=1

(

)

(

⊗



-F^⊗K

(λ + μ)

ai +

(λ + μ)

b_i



i=1



[

(

)]



⊗

1



λ a_i + (1 - λ) b_i

−F^⊗K

μ a_i + (1 - μ) b_i

2

i=1

[

(

)]

⊗



μ a_i + (1 - μ) b_i

− F^⊗K λ a_i + (1 - λ)

b_i



≤



i=1

≤

(f₂(λ, μ) + f₂(μ, λ)) = 0,

(61)

где последнее равенство следует из условия f(λ, μ) = f(μ, λ) = 0. Положим u^′(· | x) =

= (p, 1 - p)^T, ∀ x ∈ {0, 1}. Тогда для всех z > 0 имеем



⊗

∑

⊗



∑



u^′(s|x)

W_i(δ_x′ ⊗ δ_s) -

u^′(s|x^′)

W_i(δ_x ⊗ δ_s)

= f_z(p,p) = 0.

(62)



s∈S

i=1

s∈S

i=1

Таким образом, u^′ является симметризатором. Так как u^′(· | x) не зависит от x, в силу

леммы получаем C_r (W_CI,id-c) = 0, что завершает доказательство теоремы. ▴

Доказательство теоремы 7 использует результаты работы [6]. Вначале

покажем, что для пропускной способности при детерминированном кодировании

индивидуальных каналов имеет место равенство C_d(W_i, Λ, Γ) = 0 для всех i ∈ [3].

При K = 1 без ограничения общности каналы W₁, W₂ и W₃, рассматриваемые по

отдельности, симметризуемы для w1,1, w2,1, w3,1 ∈ [0, 1/2) и w1,2, w2,2, w3,2 ∈ (1/2, 1].

Для вывода следствий из ограничения по мощности на симметризующую стратегию

сосредоточимся на рассмотрении канала W₁. Симметризующая стратегия при K = 1

имеет вид

1 - 2w1,2

u(1 | 0) + u(1 | 1) =

(63)

w1,1 - w1,2

Обозначим через U множество каналов C(S, X), удовлетворяющих условию симмет-

ризуемости в определении 11. Заметим, что при w1,2 = 1 - w1,1 из (63) следует,

что ПМДСК W₁ симметризуется при любом симметризаторе U ∈ C(X , S), таком

что u(1 | 0) + u(1 | 1) = 1. Таким образом, U сам по себе является ДСК, и при этом

каналы Id и F попадают в класс симметризаторов. Пусть U - множество каналов,

симметризующих W₁. Теперь, обращаясь к результатам работы [6], вычислим

∑

Λ₀(p) = min

p(x)u(s | x)l(s) =

(64)

U∈U

x∈X s∈S

= min(p · u(2 | 0) + (1 - p) · u(2 | 1)) =

(65)

U∈U

= min (p(1 - 2u) + u) =

(66)

u∈[0,1]

{

1 - p, если p ≥

(67)

в противном случае,

где (66) следует из того, что U является ДСК с параметром u. Последний шаг

основан на том, что минимум u достигается в граничных точках интервала [0, 1].

Заметим, что Λ₀(p, 1 - p) ∈ [0, 1/2], причем значение Λ₀(p, 1 - p) = 1/2 достигается

при p =

∑

g(p) =

p(x)g(x). Заметим, что в нашей постановке для индивидуальных ПМДСК

x∈X

выполнено

max

Λ₀(p, 1 - p) =

- ε.

(68)

g(p)≤Γ

Тогда теорема 3 с учетом [6, замечание на с. 188] дает C_d(W₁, Λ, Γ) = 0. В частности,

можно выбрать ε ∈ (0, 1/2) так, чтобы U₁, U₂, U₃ удовлетворяли ограничению по

мощности Λ = 1/2 - ε для W₁, W₂, W₃, откуда C_d(W_i, Λ, Γ) = 0 для всех i ∈ [3].

Заметим, что для составного независимого ПМДСК с о.о.с. W_CI,id-c и ε ∈ (0, 1/2)

справедливо

max

Λ₀(p, 1 - p) =

- ε = Λ,

(69)

g(p)≤Γ

поскольку минимизация по U ∈ U берется по множеству симметризующих страте-

гий, которое для составного независимого ПМДСК с о.о.с. состоит из одного элемен-

та: U = {1/2}. Таким образом, согласно утверждению 2 теоремы 3 из [6] получаем

C_d(W_CI,id-c, Λ, Γ) > 0. ▴

Доказательство следствия 2. Из доказательства теоремы 3 работы [13]

известно, что из положительности функций F_z(W_id-c) в определении 12 следует,

что канал W_id-c не симметризуем. Тогда наличие эффекта суперактивации про-

пускной способности составного ортогонального ПМДСК с о.о.с. является прямым

следствием теоремы 1 в сочетании с наблюдением, что если разрешены различные

входы соответствующих ветвей разнесения (ортогональных ПМДСК), то максими-

зация в (16) берется по большему множеству входных алфавитов. Предыдущие

рассуждения справедливы как для детерминированной, так и для СС-пропускной

способности. Если рассматривать все K каналов по отдельности, то нет никакой

разницы между составным независимым и составным ортогональным ПМДСК, т.е.

каждый ПМДСК, удовлетворяющий условиям теоремы, симметризуем, поскольку

BSC(1/2) ∈ conv(W_i) для всех i ∈ [K]. Из этого следует равенство нулю как детерми-

нированной, так и СС-пропускной способности. Но если рассматривать совместное

использование K ортогональных каналов, то теорема 1 гарантирует несимметризу-

емость и, тем самым, положительность обеих пропускных способностей. ▴

§ 6. Практическое применение

Хорошо известная технология связи V2X (Vehicle-to-Everything) между автомо-

билем и другими объектами дорожной инфраструктуры в автомобильных самоор-

ганизующихся сетях является расширением стандарта IEEE 802.11a для беспровод-

ных локальных вычислительных сетей, называемым IEEE 802.11p (в дальнейшем -

просто 11p) [28]. На основе этого стандарта в США была разработана технология

выделенной связи ближнего действия DSRC (dedicated short range communication),

которая в Европе носит название ITS-G5 [29]. Поскольку стандарт 11p предназна-

чен для прямой связи на коротких расстояниях с малой задержкой, в нем нет цен-

трального модуля, управляющего использованием спектральных ресурсов. Поэтому

диапазон частот от 5,85 до 5,925 ГГц выделен для совместного использования с са-

мостоятельной координацией. Для предупреждения конфликтов в качестве схемы

доступа к среде используется множественный доступ с контролем несущей. Посколь-

ку существуют схемы адаптивного управления с ограничением по мощности, в этих

технологиях могут возникать одновременные обращения к каналу, при которых вза-

имные помехи, создаваемые соответственными участниками, в общем случае не из-

вестны. Такие помехи могут также быть вызваны одновременным использованием

различных технологий в одной и той же полосе частот, таких как, например, 11p

и интерфейс PC5 для взаимодействия автомобилей между собой по LTE-связи чет-

вертого поколения [30]. В этой ситуации могут возникать конфликты пакетов, вы-

зывающие неограниченные задержки в реальных схемах связи, например, в 11p при

игнорировании конфликтующих пакетов, что является серьезным недостатком для

обмена критической по времени информацией [31]. Кроме того, в сценариях с быст-

ро и произвольно меняющимися условиями в каналах благодаря блокировке или

влиянию второстепенных движущихся объектов в окружении автомобиля условия

в канале не всегда можно точно отследить с помощью техники оценки состояния ка-

нала. Таким образом, приемник может не иметь никакой информации об актуальных

условиях замирания в канале. Чтобы учесть эти возникающие новые случаи в кон-

тексте связи с подвижными объектами с высокими требованиями к надежности,

должно быть разработано аппаратное обеспечение, работающее должным образом

даже в наихудших условиях. Эти требования, накладываемые на разработанные ра-

нее методы связи, приводят к необходимости применения модели ПМК к сценариям

связи V2X, что в дальнейшем может охватывать и реальные сценарии помех, когда

целью активного злоумышленника будет преднамеренное искажение связи.

В настоящей статье мы обсудили различные варианты модели ПМК, отвечающие

следующим реальным сценариям:

1. Технология связи MIMO с ограничениями по состояниям источника помех (один

вход, управляющий состояниями всех ветвей разнесения одновременно) из-за

ограниченного числа передающих антенн у источника помех или тривиальной

стратегии предварительного кодирования (составной ортогональный ПМК с оди-

наковыми ограничениями на состояния - определение 4, продолженное на модель

канала из определения 2);

2. Частотное разнесение, подверженное влиянию второй (некоординированной) па-

ры передатчик (Tx) - приемник (Rx), работающей в режиме тривиального раз-

несения, т.е. один и тот же входной символ посылается на всех рабочих частотах

(см. п. 1);

3. Тривиальное пространственное разнесение на приемнике (один входной символ

посылается по всем параллельным каналам, что приводит к одному “эффектив-

ному” каналу) с целью компенсации произвольных помех от источника с огра-

ничениями по состояниям (составной независимый ПМК с ограничениями по

состояниям - определение 4);

MRF 1

MRF 2

Передатчик

Центральный узел

MRF N

Источник помех

Рис. 3. Модель системы линии связи, включающей распределенную антенную си-

стему (DAS) на приемном конце. Аналого-цифровое преобразование выполняется

на точке подачи антенны в интерфейсе радиосвязи с мобильным объектом (MRF).

Цифровые данные многих MRF объединяются на центральном узле

4. Тривиальное частотное разнесение (один входной символ посылается на всех ра-

бочих частотах) с помехами от второй (некоординированной) пары Tx-Rx, ис-

пользующей тривиальное разнесение (см. п. 3).

В сценариях, основанных на пространственном разнесении, источник помех можно

также заменить второй (некоординированной) парой Tx-Rx, работающей в той же

полосе частот. Эта некоординированная пара Tx-Rx может находиться как внутри

подвижного объекта (автомобиля), например, при использовании нескольких неко-

ординированных модулей взаимодействия, одновременно работающих в одной поло-

се частот, так и состоять из двух дополнительных взаимодействующих сторон.

Мы рассматривали передачу по нескольким ортогональным каналам с исполь-

зованием пространственного или частотного разнесения. В сценарии V2X предпо-

ложение ортогональности для пространственного разнесения оправдано благодаря

тому, что несколько антенн, размещенных на одном и том же движущемся объекте,

разнесены таким образом, что возникает так называемая распределенная антенная

система (DAS). Схема DAS включает в себя центральный узел управления, связан-

ный с интерфейсами мобильной радиосвязи (MRF) через сеть Ethernet или оптиче-

ское волокно. Системное описание схемы DAS приведено на рис. 3. Преимуществом

DAS перед широко используемой системой с близко расположенными антеннами со-

стоит в малой корреляции между отдельными элементами антенны, что приводит

к “приблизительно” независимым каналам связи. Для обеспечения ортогональности

по частоте мы предполагаем, что в используемой схеме мультиплексирования с ор-

тогональным разделением частот не возникает интерференции между несущими.

Из-за высокой мобильности взаимодействия транспортных средств антенны, раз-

мещенные на корпусе, могут подвергаться воздействию быстрых изменений в состо-

янии каналов, вызванных блокировкой электромагнитных волн и/или помехами со

стороны других пользователей, конкурирующих за спектральные ресурсы. Хотя ан-

тенны в автомобильной распределенной антенной системе расположены достаточно

далеко друг от друга, чтобы оправдать предположение о независимости каналов

по отношению к шуму, изменение состояния канала, вызванное быстрым измене-

нием эффектов блокировки и помех, происходит примерно одновременно на всех

MRF-интерфейсах. Эта практическая ситуация учитывается в нашем анализе как

источник помех с одинаковыми ограничениями по состояниям.

Результаты, представленные в теоремах 2 и 3, означают, что автомобильная си-

стема связи, использующая единственную приемную антенну, работающую в сце-

нарии ПМК, не может гарантировать безотказную работу в широком диапазоне

параметров системы. Возвращаясь к прикладному примеру автомобильной связи

для обеспечения безопасности, можно сказать, что такая система будет работать со

сбоями при любом процессе сертификации со специальными требованиями к на-

дежности, поскольку полный отказ системы предотвратить невозможно. Однако

результаты теорем 1, 5, 7 и следствия 2 показывает, что наличие третьей антен-

ны дает возможность избежать симметризуемости ПМДСК и, таким образом, нуле-

вой пропускной способности составного канала связи при наложении практически

обоснованных ограничений на возможности источника помех.

§7. Обсуждение результатов и заключение

В статье исследовалось влияние разнесенного приема на надежность связи. На-

ша модель выгодно отличается от предыдущих тем, что она учитывает потенци-

альное влияние источника помех. Доказано, что разнесенный прием дает возмож-

ность резко увеличить как СС-пропускную способность, так и детерминированную.

Что наиболее важно, оказалось, что существует множество каналов, которые могут

быть симметризуемыми по отдельности, но становятся несимметризуемыми при ра-

боте в режиме SIMO, когда источник помех имеет возможности адаптировать свою

стратегию для каждого канала отдельно. Точнее говоря, показано, что для состав-

ных независимых ПМК при одинаковых ограничениях по состояниям параллельная

связь по трем ортогональным ПМК позволяет избежать симметризуемости и тем са-

мым нулевой пропускной способности, если все рассматриваемые каналы являются

независимыми или ортогональными ПМДСК. Особо подчеркнуто, что пропускные

способности при детерминированном кодировании составных независимых и ортого-

нальных ПМДСК при помехах с о.о.с. непрерывны и обладают свойством суперакти-

вации, если на стратегии источника помех и передатчика наложены дополнительные

ограничения по мощности или если исключены практически малозначимые состо-

яния каналов. Возникновение суперактивации в такой постановке является самой

сильной формой нарушения аддитивности для ортогональных ПМК, поскольку для

общего составного ортогонального двоичного симметричного ПМК без дополнитель-

ных ограничений не возникает ни суперактивация, ни супераддитивность. Пропуск-

ная способность ортогональных ПМК без дополнительных ограничений ограниче-

на сверху суммой соответствующих СС-пропускных способностей. Таким образом,

СС-пропускную способность можно рассматривать как контрольную величину, ха-

рактеризующую эффективность связи по ПМК. В настоящей статье показано, что

использование антенного разнесения не только делает связь по ПМК более стабиль-

ной, но и позволяет уводить от нуля СС-пропускную способность. Этот результат

имеет практическую значимость для каналов управления в современных системах

связи, где необходимо обеспечивать высокий уровень надежности. Это объясняется

тем, что сбои в канале управления немедленно приводят к сбоям всей системы связи

в целом, вызывая полный отказ системы.

Итак, представлена концепция разнесенного приема как источника возможности

суперактивации и тем самым надежной связи по каналу с произвольно меняющимся

шумом. Представленные результаты можно распространить на произвольные сце-

нарии, в которых несколько приемников согласованно используют ПМК при по-

мехах с о.о.с. Чтобы воспользоваться преимуществами этой концепции, одним из

основных условий является то, чтобы кооперация приемников осуществлялась без

потерь, а каналы от передатчика к кооперирующим приемникам были независимы-

ми. Последнее предположение достигается с помощью пространственного разделе-

ния кооперирующих сторон или использования нескольких ортогональных частот

в практических приложениях. Важный вопрос для дальнейшего анализа - каким

образом этот результат может быть адаптирован к более общим ПМК с произволь-

ным размером алфавита. Однако это, видимо, довольно сложный вопрос, так как

анализ соотношения (35) для недвоичных алфавитов весьма затруднителен. Кро-

ме того, весьма интересно было бы найти конкретное приложение схемы сложения

разнесенных сигналов, представленной в нашей предыдущей работе [32].

Первый автор выражает благодарность П. Фертлю и А. Поссельту (концерн

BMW) за поддержку его исследований. Кроме того, авторы благодарят рецензента

за ценные замечания и тщательное изучение представленной работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Blackwell D., Breiman L., Thomasian A.J. The Capacities of Certain Channel Classes under

Random Coding // Ann. Math. Statist. 1960. V. 31. № 3. P. 558-567.

Lapidoth A., Narayan P. Reliable Communication under Channel Uncertainty // IEEE

Trans. Inform. Theory. 1998. V. 44. № 6. P. 2148-2177.

Csiszár I., Körner J. Information Theory: Coding Theorems for Discrete Memoryless Sys-

tems. Cambridge, UK: Cambridge Univ. Press, 2011.

Ahlswede R., Wolfowitz J. Correlated Decoding for Channels with Arbitrarily Varying Chan-

nel Probability Functions // Inform. Control. 1969. V. 14. № 5. P. 457-473.

Schaefer R.F., Boche H., Poor H.V. Secure Communication under Channel Uncertainty and

Adversarial Attacks // Proc. IEEE. 2015. V. 103. № 10. P. 1796-1813.

Csiszár I., Narayan P. The Capacity of the Arbitrarily Varying Channel Revisited: Positiv-

ity, Constraints // IEEE Trans. Inform. Theory. 1988. V. 34. № 2. P. 181-193.

Ahlswede R. Elimination of Correlation in Random Codes for Arbitrarily Varying Chan-

nels // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. 1978. V. 44. № 2. P. 159-175.

Ahlswede R., Cai N. Correlated Sources Help Transmission over an Arbitrarily Varying

Channel // IEEE Trans. Inform. Theory. 1997. V. 43. № 4. P. 1254-1255.

Schaefer R.F., Boche H. How Much Coordination Is Needed for Robust Broadcasting over

Arbitrarily Varying Bidirectional Broadcast Channels // Proc. 2014 IEEE Int. Conf. on

Communications (ICC’2014). Sydney, Australia. June 10-14, 2014. P. 1872-1877.

10.

Boche H., Schaefer R.F. Capacity Results, Coordination Resources, and Super-activation

in Wiretap Channels // Proc. 2013 IEEE Int. Sympos. on Information Theory (ISIT’2013).

Istanbul, Turkey. July 7-12, 2013. P. 1342-1346.

11.

Smith G., Yard J. Quantum Communication with Zero-Capacity Channels // Science. 2008.

V. 321. № 5897. P. 1812-1815.

12.

Boche H., Schaefer R.F., Poor H.V. On Arbitrarily Varying Wiretap Channels for Differ-

ent Classes of Secrecy Measures // Proc. 2014 IEEE Int. Sympos. on Information Theory

(ISIT’2014). Honolulu, HI, USA. June 29 - July 4, 2014. P. 2376-2380.

13.

Nötzel J., Wiese M., Boche H. The Arbitrarily Varying Wiretap Channel—Secret Random-

ness, Stability, and Super-activation // IEEE Trans. Inform. Theory. 2016. V. 62. № 6.

P. 3504-3531.

14.

Schaefer R.F., Boche H., Poor H.V. Super-activation as a Unique Feature of Arbitrar-

ily Varying Wiretap Channels // Proc. 2016 IEEE Int. Sympos. on Information Theory

(ISIT’2016). Barcelona, Spain. July 10-15, 2016. P. 3077-3081.

15.

Ahlswede R. A Note on the Existence of the Weak Capacity for Channels with Arbitrarily

Varying Channel Probability Functions and Its Relation to Shannon’s Zero Error Capac-

ity // Ann. Math. Statist. 1970. V. 41. № 3. P. 1027-1033.

16.

Shannon C.E. The Zero Error Capacity of a Noisy Channel // IRE Trans. Inform. Theory.

1956. V. 2. № 3. P. 8-19.

17.

Alon N. The Shannon Capacity of a Union // Combinatorica. 1998. V. 18. № 3. P. 301-310.

18.

Ericson T. Exponential Error Bounds for Random Codes in the Arbitrarily Varying Chan-

nel // IEEE Trans. Inform. Theory. 1985. V. 31. № 1. P. 42-48.

19.

Leung D., Smith G. Continuity of Quantum Channel Capacities // Comm. Math. Phys.

2009. V. 292. № 1. P. 201-215.

20.

Boche H., Nötzel J. Positivity, Discontinuity, Finite Resources, Nonzero Error for Arbitrar-

ily Varying Quantum Channels // Proc. 2014 IEEE Int. Sympos. on Information Theory

(ISIT’2014). Honolulu, HI, USA. June 29 - July 4, 2014. P. 541-545.

21.

Boche H., Schaefer R.F., Poor H.V. On the Continuity of the Secrecy Capacity of Compound

and Arbitrarily Varying Wiretap Channels // IEEE Trans. Inf. Forensics Secur. 2015. V. 10.

№ 12. P. 2531-2546.

22.

Arendt C., Nötzel J., Boche H. Super-activation of the Composite Independent Arbitrarily

Varying Channel under State Constraints // Proc. IEEE Global Communications Conf.

(GLOBECOM’2017). Singapore. Dec. 4-8, 2017. P. 1-6.

23.

Nötzel J., Swetly W. Deducing Truth from Correlation // IEEE Trans. Inform. Theory.

2016. V. 62. № 12. P. 7505-7517.

24.

Nötzel J., Arendt C. Using Dependent Component Analysis for Blind Channel Estimation

in Distributed Antenna Systems // Proc. 2016 Global Conf. on Signal and Information

Processing (GlobalSIP’2016). Washington, DC, USA. Dec. 7-9, 2016. P. 1116-1121.

25.

Ahlswede R., Cai N. Arbitrarily Varying Multiple-Access Channels. II. Correlated Sender’s

Side Information, Correlated Messages, and Ambiguous Transmission // Proc. 1997 IEEE

Int. Sympos. on Information Theory (ISIT’97). Ulm, Germany. June 29 - July 4, 1997. P. 23.

26.

Boche H., Nötzel J. Positivity, Discontinuity, Finite Resources, and Nonzero Error for Arbi-

trarily Varying Quantum Channels // J. Math. Phys. 2014. V. 55. № 12. P. 122201 (20 pp.).

27.

Stiglitz I.G. Coding for a Class of Unknown Channels // IEEE Trans. Inform. Theory. 1966.

V. 12. № 2. P. 189-195.

28.

IEEE 802.11-2016: IEEE Standard for Information Technology—Telecommunications and

Information Exchange between Systems. Local and Metropolitan Area Networks—Specific

Requirements. Part 11: Wireless LAN Medium Access Control (MAC) and Physical Layer

(PHY) Specifications. 2016.

29.

ETSI ES 202 663 V1.1.0 (2009-11): ETSI Standard Intelligent Transport Systems (ITS);

European Profile Standard for the Physical and Medium Access Control Layer of Intelligent

Transport Systems Operating in the 5 GHz Frequency Band. Final draft, 2011.

30.

Uhlemann E. Initial Steps toward a Cellular Vehicle-to-Everything Standard [Connected

Vehicles] // IEEE Veh. Technol. Mag. 2017. V. 12. № 1. P. 14-19.

31.

Khan A., Almeida J., Fernandes B., Alam M., Pedreiras P., Ferreira J. Towards Reli-

able Wireless Vehicular Communications // Proc. 2015 IEEE 18th Int. Conf. on Intelligent

Transportation Systems (ITSC’2015). Canary Islands, Spain. Sept. 15-18, 2015. P. 167-172.

32.

Arendt C., Nötzel J., Boche H. Evaluation of Distributed Post-Detection Receive Diversity

Combining Schemes for Reliable Wireless Communication over Arbitrarily Varying Chan-

nels // Proc. 2018 IEEE 88th Vehicular Technology Conf. (VTC-Fall). Chicago, IL, USA.

Aug. 27-30, 2018. P. 1-6.

Арендт Кристиан

Поступила в редакцию

Концерн BMW, Мюнхен, Германия

13.02.2018

Институт теоретической информационной технологии,

После доработки

Технический университет Мюнхена, Германия

05.04.2019

christian.ca.arendt@bmw.de

Принята к публикации

Нётцель Янис

15.05.2019

Институт теоретической информационной технологии,

Технический университет Мюнхена, Германия

Институт телекоммуникационной инженерии,

Технический университет Дрездена, Германия

Отделение теоретической физики: информация и квантовые

явления, Автономный университет Барселоны, Испания

janis.noetzel@tu-dresden.de

Бохе Хольгер

Институт теоретической информационной технологии,

Технический университет Мюнхена, Германия

boche@tum.de