ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

Том 55

2019

Вып. 3

УДК 621.391.1 : 519.72

M.E. Широков

ОЦЕНКИ СВЕРХУ ДЛЯ ИНФОРМАЦИИ ХОЛЕВО И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ¹

Представлено семейство легко вычисляемых оценок сверху для величины

Холево ансамбля квантовых состояний, зависящих от референсного состояния

(как свободного параметра). Эти оценки получены с учетом вероятностных и

метрических характеристик ансамбля. Показано, что при правильном выборе

референсного состояния в данном семействе можно получить ε-точные оценки

сверху для величины Холево, которые улучшают известные ранее оценки. Так-

же представлены оценки сверху для величины Холево обобщенного ансамбля

квантовых состояний с конечной средней энергией, зависящие от метрического

размера ансамбля. В случае многомодового квантового осциллятора эти оценки

являются ε-точными при больших уровнях энергии. Получены оценки сверху

для пропускной способности Холево конечномерных квантовых каналов, зави-

сящие от метрических характеристик множества выходных состояний канала.

Ключевые слова: квантовое состояние, ансамбль состояний, энтропия фон Ней-

мана, квантовая относительная энтропия, квантовый канал.

DOI: 10.1134/S055529231903001X

§1. Введение и предварительные сведения

Информация Холево ансамбля квантовых состояний (также называемая грани-

цей или величиной Холево) дает оценку сверху для количества классической ин-

формации, которую можно получить за счет квантовых измерений состояний этого

ансамбля [1]. Эта величина играет центральную роль при анализе информационных

свойств квантовых систем и каналов [2-4].

Информация Холево дискретного (конечного или счетного) ансамбля {p_i, ρ_i}

квантовых состояний определяется формулами

∑

χ ({p_i, ρ_i})

= p_iH(ρi ∥ ρ) = H(ρ) - p_iH(ρ_i),

ρ= p_iρ_i,

где H(·∥·) - квантовая относительная энтропия и H(·) - энтропия фон Неймана (вве-

денные ниже), причем вторая формула справедлива, если H(ρ_i) < +∞ для всех i.

Поэтому для определения точного значения информации Холево необходимо вычис-

ление энтропии (относительной энтропии) набора квантовых состояний, что требует

значительных усилий, особенно в бесконечномерном случае. Поэтому легко вычис-

ляемые оценки для информации Холево представляют интерес как для теоретиче-

ских исследований, так и для практических задач.

Вопросом нахождения легко вычисляемых оценок (в частности, оценок сверху)

для информации Холево занимались многие исследователи [5-9]. Основная идея ра-

бот в данном направлении - использовать геометрические и вероятностные харак-

теристики ансамбля для получения эффективных оценок. Например, в работе [7]

¹ Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-11-00086).

показано, что в конечномерном случае информация Холево ограничена сверху эн-

тропией матрицы, элементы которой зависят от взаимных точностей воспроизведе-

ния (fidelities) состояний ансамбля и их вероятностей. Недавно Ауденаерт доказал

в [5] следующую оценку:

χ({p_i, ρ_i}) ≤ υ_mS({p_i}),

(1)

в которой υ_m =

sup∥ρi - ρj∥1 - максимальное расстояние между состояниями

i,j

ансамбля (по следовой норме), а S({p_i}) - энтропия Шеннона распределения веро-

ятностей {p_i}. Из этой оценки следует, что

χ({p_i, ρ_i}) ≤ υ_m log n,

(2)

где n - число состояний ансамбля {p_i, ρ_i}.²

Оценка Ауденаерта (1) уточняет известное неравенство χ({p_i, ρ_i}) ≤ S({p_i}) за

счет учета метрических соотношений между состояниями ансамбля.

В данной статье представлено семейство оценок сверху для информации Холе-

во, зависящих от референсного состояния (как свободного параметра). Эти оценки

получены с помощью метода Алицкого - Фаннеса - Винтера, обычно используемого

для доказательства равномерной непрерывности функций на множестве квантовых

состояний [10,11]. В частности, получено несколько модификаций оценки Ауденаер-

та (1) и ее следствия (2). Показано, что максимальное расстояние υ_m между состо-

яниями ансамбля в (1) и (2) можно заменить, соответственно, величинами

∑

ε_m =

inf sup∥ρi - σ∥1 и εav =

inf

p_i ∥ρ_i - σ∥₁ ,

σ i

названными максимальным метрическим размером и средним метрическим раз-

мером ансамбля {p_i, ρ_i}, которые могут быть значительно меньше, чем υ_m. Цена

такой замены - это появление неустранимого дополнительного слагаемого, не за-

висящего от размера ансамбля и размерности гильбертова пространства (см. ниже

следствия 4, 5).

В §3 статьи указанные выше результаты используются для получения оценки

сверху для пропускной способности Холево конечномерного квантового канала, за-

висящей от чебышевского радиуса выходного множества этого канала. Полученная

оценка пропускной способности Холево оказалась относительно точной для некото-

рых типов каналов (в частности, деполяризирующего и стирающего).

В статье также получена оценка сверху для информации Холево обобщенного

ансамбля квантовых состояний с конечной средней энергией, зависящая от метри-

ческого размера ансамбля, и представлен ее конкретный вид для обобщеных ансам-

блей состояний многомодового квантового осциллятора.

Пусть H - конечномерное или бесконечномерное сепарабельное гильбертово про-

странство, B(H) - алгебра всех ограниченных операторов в H с операторной нор-

мой ∥ · ∥, а T(H) - банахово пространство ядерных операторов в H со следовой

нормой ∥ · ∥₁. Пусть S(H) - множество квантовых состояний (положительных опе-

раторов в T(H) с единичным следом) [2-4].

Обозначим через I_H единичный оператор в гильбертовом пространстве H.

Конечный или счетный набор состояний {ρ_i} с распределением вероятнос.тей {pi}∑

называется (дискретным) ансамблем и обозначается {p_i, ρ_i}. Состояние ρ

p_iρ_i

называется средним состоянием этого ансамбля.

² В случае n = 2 неравенство (2) было получено ранее в работе [6].

Энтропия Шеннона S({p_i}) =

^∑η(p_i) распределения вероятностей {p_i} и эн-

тропия фон Неймана H(ρ) = Trη(ρ) состояния ρ ∈ S(H), где η(x) = -xlog x,

имеют вогнутые однородные³ расширения на положительные конусы в ℓ₁ и в T(H),

определенные, соответственно, формулами (см. [12])

)

∑

(∑

S({p_i}) =

η(p_i) - η

p_i

и H(ρ) = Trη(ρ) - η(Trρ).

(3)

Расширенная энтропия фон Неймана удовлетворяет неравенству [3, 13]

)

∑

(∑

∑

H (ρ_i) ≤ H

ρ_i

≤ H(ρ_i) + S({Trρ_i}),

(4)

которое выполнено для любого конечного или счетного набора {ρ_i} положительных∑

операторов в T(H) с конечной величиной

Tr ρ_i. Пусть h₂(p) - бинарная энтропия

S({p, 1 - p}).

Квантовая относительная энтропия двух состояний ρ и σ в S(H) определяется

выражением [12, 13]

∑

H (ρ ∥ σ) =

〈i | ρ log ρ - ρ log σ | i〉,

в котором {|i〉} - ортонормированный базис из собственных векторов состояния ρ

и предполагается, что H(ρ ∥ σ) = +∞, если носитель supp ρ состояния ρ не лежит в

носителе supp σ состояния σ.

Будем использовать тождество Дональда [13, 14]

∑

p_iH(ρ_i ∥σ) =

p_iH(ρ_i ∥ ρ) + H(ρ∥σ),

(5)

которое имеет место для произвольного ансамбля {p_i, ρ_i} состояний со средним со-

стоянием ρ и любого состояния σ.

На протяжении всей статьи будем использовать следующее

Определение. Оценка сверху g(x) неотрицательной функции f(x) на множе-

f(x)

стве X называется ε-точной, если sup

= 1.

x∈X g(x)

§ 2. Оценки сверху для информации Холево

2.1. Дискретные ансамбли квантовых состояний. Для любого заданного ансамбля

{p_i, ρ_i} из n ≤ ∞ состояний в S(H) и любого состояния σ ∈ S(H) рассмотрим два

ансамбля {t_i, τ+i} и {t_i, τ^-i} из n состояний в S(H), где

p_i ∥ρ_i - σ∥₁

[ρ_i - σ]_±

t_i =

τ^±i = 2

i = 1,n,

^∑pi ∥ρ_i - σ∥₁ и

∥ρ_i - σ∥₁

а [ρ_i - σ]₊ и [ρ_i - σ]_- - положительная и отрицательная части оператора ρ_i - σ

соответственно. Если σ = ρi0 для некоторого i₀, то считаем, что оба ансамбля не

имеют i₀-го состояния.

³ Функция f(x) называется однородной (порядка 1), если f(cx) = cf(x) для любого c ≥ 0.

Предложение 1. Информации Холево ансамблей {p_i,ρ_i}, {t_i,τ⁺

} и {t_i,τ_i

}

связаны неравенством



(

)

^χ({p_i, ρ_i}) - ε

χ({t_i, τ+i}) - χ({t_i, τ^-i})

≤ g(ε),

(6)

из которого следует, что

(

)

χ({p_i, ρ_i}) ≤ ε

χ({t_i, τ+i}) - χ({t_i, τ^-i})

+ g(ε) ≤ εχ({t_i, τ+i}) + g(ε),

(7)

(

)

∑

где ε =

p_i ∥ρ_i - σ∥₁ и g(ε)

= (1 + ε)h₂

. Следовательно,⁴

1+ε

})

^({1

χ({p_i, ρ_i}) ≤ εS ({t_i}) + g(ε) = S

p_i ∥ρ_i - σ∥₁

+ g(ε)

(8)

)

(∑

χ({p_i, ρ_i}) ≤ εH

t_iτ⁺

+ g(ε) = H

p_i[ρ_i - σ]₊

+ g(ε).

(9)

Оценки сверху (6)-(9) являются ε-точными в смысле данного выше определе-

ния. Для любого ε > 0 существуют ансамбль {p_i, ρ_i} и состояние σ, такие что

∑

ε=

p_i ∥ρ_i - σ∥₁ и

(

)

χ({p_i, ρ_i}) - ε

χ({t_i, τ+i}) - χ({t_i, τ^-i})

= h₂(ε).

Замечание 1. Последнее утверждение предложения 1 показывает, что правая

часть (6) не может быть меньше, чем функция h₂(ε), которая эквивалентна функции

g(ε) для малых ε.

Доказательство. Неравенство (6) прямо следует из предложения 1 в [15]

(с тривиальной системой C). Достаточно взять qc-состояния

∑

ρ_AB = p_iρ_i ⊗ |i〉〈i| и σ_AB =

p_iσ ⊗ |i〉〈i|,

i=1

где H_A = H и {|i〉} - ортонормированный базис в n-мерном гильбертовом простран-

стве H_B, и заметить, что ρ_B = σ_B,

I(A:B)_ρ = χ({p_i, ρ_i}), I(A:B)_σ = 0 и I(A:B)τ± = χ({t_i, τ^±i}),

где τ_± = ε-1[ρ - σ]_±. Неравенства (8), (9) прямо следуют из (7).

Точность оценок (6)-(9) и последнее утверждение предложения можно доказать,

используя приведенные ниже примеры 1, 2. ▴

Заметим прежде всего, что из предложения 1 следуют легко вычислимые оценки

сверху для информации Холево.

Следствие 1. Информация Холево χ({p_i,ρ_i}) произвольного ансамбля {p_i,ρ_i}

из n ≤ ∞ состояний в S(H) ограничена сверху любой из величин

sup∥ρi - σ∥1 S({pj}) + g(ε), ε log n + g(ε), ε logd + g(ε),

(10)

∑

где σ - произвольное состояние в S(H), ε =

p_i ∥ρ_i - σ∥₁ и d = dimH ≤ ∞.

⁴ S и H - однородные расширения энтропии Шеннона и энтропии фон Неймана на положитель-

ные конусы в ℓ₁ и T (H), определенные формулами (3).

Первая и вторая оценки в (10) могут быть точнее, чем, соответственно, оценка

Ауденаерта (1) и ее следствие (2) (несмотря ∑неустранимое слагаемое g(ε) в этих

оценках), поскольку величины sup∥ρi - σ∥1 и pi ∥ρi - σ∥1 могут быть значительно

меньше, чем sup∥ρi - ρj ∥1 для ансамблей с большой информацией Холево (см. при-

i,j

веденные ниже примеры 3, 5).

Предложение 1 показывает, что величину

(

)

T_χ({p_i, ρ_i}|σ)

=ε

χ({t_i, τ+i}) - χ({t_i, τ^-i})

можно считать приближением величины χ({p_i, ρ_i}).

Назовем величину

∑

ε=

p_i ∥ρ_i - σ∥₁

(11)

метрическим размером ансамбля {p_i, ρ_i} относительно состояния σ и будем обо-

значать ее через D({p_i, ρ_i}|σ).

Референсное состояние σ - это свободный параметр, который можно использо-

вать для оптимизации оценок (6)-(10). Ниже будет дан конкретный вид этих оценок

и анализ величины T_χ({p_i, ρ_i}|σ) в следующих случаях:

• σ=ρ_c

= I_H/d - хаотическое состояние в d-мерном гильбертовом пространстве H;

∑

• σ= ρ

= p_iρ_i - среднее состояние ансамбля {p_i, ρ_i};

• σ = ρi0 - одно из состояний ансамбля {p_i,ρ_i};

∑

• σ - состояние, минимизирующее величину

p_i ∥ρ_i - σ∥₁;

• σ - состояние, минимизирующее величину

sup∥ρ_i - σ∥₁.

Замечание 2. Минимизирующие состояния σ в последних двух случаях могут

не совпадать друг с другом и со средним состоянием ρ даже для ансамбля {p_i, ρ_i},

состоящего из изоморфных состояний⁵ с равномерным распределением вероятно-

стей {p_i} (см. приведенный ниже пример 4).

Случай σ = ρ_c. В этом случае величины ∥ρ_i - σ∥₁ и ансамбли {t_i, τ+i} и {t_i, τ^-i}_∑

легко определяются. Действительно, если ρ = λ_k|ϕ_k〉〈ϕ_k| - спектральное разло-

жение состояния ρ в d-мерном гильбертовом пространстве H, то

∑

[ρ - ρ_c]₊ =

(λ_k - 1/d)|ϕ_k〉〈ϕ_k|,

[ρ - ρ_c]_- =

(1/d - λ_k)|ϕ_k〉〈ϕ_k|

λ_k>1/d

λ_k<1/d

∑

и ∥ρ - ρ_c∥₁ =

|λ_k -1/d|. Поэтому в данном случае распределение вероятностей {t_i}

полностью определяется собственными значениями состояния ρ_i и распределением

вероятностей {p_i}.

Приведенная выше формула показывает, что {t_i, τ+i} = {p_i, ρ_i} для любого ан-

самбля {p_i, ρ_i}, состоящего из состояний, пропорциональных проекторам одного и

того же ранга.

⁵ Здесь и далее мы называем квантовые состояния изоморфными, если они имеют одинаковый

спектр (с учетом кратности), а значит, могут быть переведены друг в друга унитарным преобра-

зованием.

Пример 1. Пусть {p_i,ρ_i} - произвольный ансамбль чистых состояний. Тогда

∥ρ_i - ρ_c∥₁ = 1 - 1/d, t_i = p_i, τ+i = ρ_i и τ^-i = ρ_i = (d - 1)-1(I_H - ρ_i). Поэтому

T_χ({p_i, ρ_i}|ρ_c) = (1 - 1/d)(χ({p_i, ρ_i}) - χ({p_i, ρ_i})),

и следовательно,

χ({p_i, ρ_i}) - T_χ({p_i, ρ_i} | ρ_c) = (1/d)χ({p_i, ρ_i}) + (1 - 1/d)χ({p_i, ρ_i}).

Поскольку χ({p_i, ρ_i}) ≤ log d - log(d - 1), имеем

log d

0 ≤ χ({p_i,ρ_i}) - T_χ({p_i,ρ_i}|ρ_c) ≤

+ (1 - 1/d) log

= h₂(1/d),

d-1

где равенство во втором неравенстве имеет место тогда и только тогда, когда ρ = ρ_c.

Из оценок (8), (9) следуют неравенства

χ({p_i, ρ_i}) ≤ (1 - 1/d)S({p_i}) + g(1 - 1/d)

χ({p_i, ρ_i}) ≤ (1 - 1/d)H(ρ) + g(1 - 1/d),

∑

где ρ

= p_iρ_i. Мы видим, что вторая оценка ближе к точному значению H(ρ)

величины χ({p_i, ρ_i}).

Пример 2. Пусть {p_i,ρ_i} - ансамбль состояний, пропорциональных проекто-∑

рам ранга k, в d-мерном гильбертовом пространстве H, такой что p_iρ_i = ρ_c. Если

d-k

σ = ρ_c, то нетрудно видеть, что ε =

, {t_i, τ+i} = {p_i, ρ_i} и что ансамбль {t_i, τ^-i}

состоит из состояний, пропорциональных проекторам ранга (d - k), и имеет среднее

состояние ρ_c. Поэтому

d-k

χ({p_i, ρ_i}) - T_χ({p_i, ρ_i} | ρ_c) =

log

= h₂(ε).

d-k

Это первый пример, доказывающий последнее утверждение предложения 1.

∑

Случай σ = ρ. При каждом i пусть ρ_i = (1 - p_i)-1 p_j ρ_j - дополнительное

j=i

состояние к состоянию ρ_i в терминах работы [5]. Тогда ρ_i - ρ = (1 - p_i)(ρ_i - ρ_i).

Поэтому в этом случае

2[ρ_i - ρ_i]_±

τ^±i =

и t_i =

p_i ∥ρ_i - ρ∥₁ =

p_i(1 - p_i)∥ρ_i - ρ_i∥₁ ,

(12)

∥ρ_i - ρ_i∥₁

2ε

i = 1,n, где

∑

ε = D({p_i,ρ_i}| ρ)

p_i ∥ρ_i - ρ∥₁ =

p_i(1 - p_i)∥ρ_i - ρ_i∥₁ .

(13)

i=1

В силу выпуклости следовой нормы имеем

)

∑

∥ρ_i - ρ_i∥₁ ≤ 2υ_m, и следовательно, ε ≤ υ_m

p²

(14)

i=1

где υ_m =

sup∥ρi - ρj ∥1.

i,j

В случае σ = ρ ансамбли {t_i, τ⁺

} и {t_i,τ_i

} имеют одно и то же среднее состояние.

Поэтому если это среднее состояние имеет конечную энтропию, то

∑

(

)

T_χ({p_i, ρ_i}| ρ) = ε

t_i

H (τ^-i) - H(τ+i)

i=1

∑

(

)

= p_i(1 - p_i)

H ([ρ_i - ρ_i]_-) - H([ρ_i - ρ_i]₊)

i=1

Если ансамбль {p_i, ρ_i} состоит из взаимно ортогональных состояний, то

[ρ_i - ρ_i]₊ = ρ_i,

[ρ_i - ρ_i]_- = ρ_i,

(1 - p_i)H(ρ_i) = H(ρ) - p_iH(ρ_i) - h₂(p_i),

и следовательно,

∑

(

)

∑

T_χ({p_i, ρ_i}| ρ) =

p_i(1 - p_i)

H(ρ_i) - H(ρ_i)

= χ({p_i, ρ_i}) -

p_ih₂(p_i).

Мы опять видим, что величина T_χ может быть меньше, чем информация Холево.

∑

Поскольку в этом случае ε = 1 - p2i, в силу вогнутости функции h₂ имеем

)

∑

χ({p_i, ρ_i}) - T_χ({p_i, ρ_i} | ρ) =

p_ih₂(p_i) ≤ h₂

p²

= h₂(ε) ≤ g(ε),

i=1

что согласуется с (7).

Используя (12)-(14), в случае σ = ρ можно уточнить оценки в предложении 1 и

следствии 1.

Следствие 2. Пусть {p_i,ρ_i} - ансамбль из n ≤ +∞ состояний в S(H) и d =

= dim H ≤ +∞. Тогда⁶

})

^({1

χ({p_i, ρ_i}) ≤ S

p_i(1 - p_i)∥ρ_i - ρ_i∥₁

+ g(ε) ≤

(

)

∑

≤ υ_mS({p_i(1 - p_i)}) + g(ε) ≤ υ_m

p²

log n + g(ε)

(15)

(

)

(

))

∑

χ({p_i, ρ_i}) ≤ ε log d + g(ε) ≤ υ_m

p²

log d + g υ_m

p²

(16)

где ε = D({p_i, ρ_i} | ρ) определено в (13), а υ_m =

sup∥ρi - ρj ∥1. Слагаемое g(ε) во

i,j

(

))

∑

всех неравенствах в (15) можно заменить на g υ_m 1 - p²

Последняя оценка в (15) точнее, чем (2), дл∑ ансамблей с сильно неравномерным

распределением вероятностей (у которых 1 - p2i ≪ 1).

Пример 3. Пусть {p_i,ρ_i} - ансамбль из n+1 взаимно ортогональных состояний,∑

где p₁ = 1 - δ и p_i = δ/n для i = 2, n + 1. Тогда υ_m = 1 и 1 -

p2i = 2δ -(1 + 1/n)δ².

Поэтому последняя оценка в (15) дает

χ({p_i, ρ_i}) ≤ (2δ - (1 + 1/n)δ²) log n + g(2δ - (1 + 1/n)δ²),

⁶ S - это однородное расширение энтропии Шеннона на положительный конус в ℓ₁, определенное

первой формулой в (3).

в то∑время, как χ({p_i, ρ_i}) = S({p_i}) = δ log n + h₂(δ). Мы видим, что слагаемое

1 - p2i позволяет учесть вырожденность распределения вероятностей {p_i}.

Случай σ = ρi0. Будем считать, что i₀ = 1. В этом случае

2[ρ_i - ρ₁]_±

τ^±i =

t_i =

p_i ∥ρ_i - ρ₁∥₁ , i = 2, n,

(17)

∥ρ_i - ρ₁∥₁

2ε

где

∑

ε = D({p_i,ρ_i}|ρ₁)

p_i ∥ρ_i - ρ₁∥₁ ≤ 1 - p₁.

(18)

i=2

Если состояние ρ₁ ортогонально всем другим состояниям ансамбля, то ε = 1 - p₁ и

τ+i = ρ_i, τ^-i = ρ₁, t_i = p1i

= p_i(1 - p₁)-1, i = 2, n.

Поэтому в этом случае χ({t_i, τ+i}) = χ({p1i, ρ_i}i>1) и χ({t_i, τ^-i}) = 0. Следовательно,

T_χ({p_i, ρ_i}|ρ₁) = (1 - p₁)χ({p1i, ρ_i}i>1),

а из неравенства Дональда (5) следует, что

(

)

χ({p_i, ρ_i}) = (1 - p₁)χ

{p1i, ρ_i}i>1

+ h₂(1 - p₁).

Это - второй пример, доказывающий последнее утверждение предложения 1.

Используя (17), (18) и равенство S({p_i}i≥0) = S({p_i}i>0)+h₂(p₁), можно уточнить

оценки в предложении 1 и следствии 1 в случае σ = ρ₁.

Следствие 3. Пусть {p_i,ρ_i} - ансамбль из n ≤ +∞ состояний в S(H) и d =

= dim H ≤ +∞. Тогда

)

({₁

}

χ({p_i, ρ_i}) ≤ ε₁S

p_i ∥ρ_i - ρ₁∥

+ g(ε₁) ≤

2ε₁

i>1

≤ υ₁S({p_i}) + [g((1 - p₁)υ₁) - υ₁h₂(1 - p₁)]

(19)

χ({p_i, ρ_i}) ≤ ε₁ log d + g(ε₁) ≤ υ₁(1 - p₁) log d + g(υ₁(1 - p₁)),

(20)

∑

где ε₁ =

p_i ∥ρ_i - ρ₁∥₁ и υ₁ =

sup∥ρ_i - ρ₁∥₁.

2 i>1

i>1

Оценки в (19) - это модификации оценки Ауденаерта (1). Слагаемое в квадрат-

ных скобках во второй из них равно

υ₁(1 - p₁)(- log υ₁) + o(1 - p₁)

при p₁, близких к 1. Это слагаемое - цена замены максимального расстояния υ_m

между состояниями ансамбля в (1) на максимальное расстояние υ₁ от первого со-

стояния ансамбля до всех остальных. Нетрудно построить ансамбль {p_i, ρ_i} с про-

извольным значением S({p_i}), такой что υ₁ значительно меньше чем υ_m (такой ан-

самбль можно получить, добавляя состояние |1〉〈1| к ансамблю из приведенного ни-

же примера 5).

Средний метрический размер. Для заданного ансамбля {p_i, ρ_i} рассмотрим ве-

личину

∑

ε_av({p_i, ρ_i}) =

inf

p_i ∥ρ_i - σ∥₁ ,

(21)

которую будем называть средним метрическим размером ансамбля {p_i, ρ_i}. В ко-

нечномерном случае инфимум в (21) всегда достигается в некотором состоянии σ,

которое будем называть AMD-оптимальным состоянием ансамбля {p_i, ρ_i}. Для ан-

самбля из двух состояний ρ₁ и ρ₂ с вероятностями p₁ и p₂ = 1-p₁ AMD-оптимальное

состояние легко определить: если p₁ > p₂ (соответственно, p₁ < p₂), то ρ₂ (соответ-

ственно, ρ₁) - единственное AMD-оптимальное состояние, а если p₁ = p₂, то любая

выпуклая смесь состояний ρ₁ и ρ₂ является AMD-оптимальным состоянием для это-

го ансамбля. В этом случае ε_av =

min{p₁, p₂} ∥ρ₁ - ρ₂∥₁. В общем случае непрерыв-

∑

ность и выпуклость функции σ → p_i ∥ρ_i - σ∥₁ показывают, что множество всех

AMD-оптимальных состояний для заданного ансамбля замкнуто и выпукло. При-

веденный ниже пример показывает, что (вопреки интуиции) среднее состояние ρ

ансамбля изоморфных состояний с равномерным распределением вероятностей мо-

жет не быть AMD-оптимальным.

Пример 4. Пусть {p_i,|ϕ_i〉〈ϕ_i|}4i=1 - ансамбль из четырех чистых состояний в

трехмерном гильбертовом пространстве H, где p_i ≡ 1/4,

√

|ϕ₁〉 = |1〉,

|ϕ₂〉 = -

|1〉 +

|2〉,

|ϕ₃〉 = -

|1〉 -

|2〉,

|ϕ₄〉 = |3〉

(здесь {|1〉, |2〉, |3〉} - ортонормированный базис в H). Тогда

ρ=

(|1〉〈1| + |2〉〈2|) +

|3〉〈3|.

Нетрудно видеть, что

∑

p_i ∥|ϕ_i〉〈ϕ_i| - ρ∥₁ =

p_i ∥|ϕ_i〉〈ϕ_i| - σ∥₁ ,

i=1

где σ =

(|1〉〈1| + |2〉〈2|) - единственное AMD-оптимальное состояние для этого

ансамбля.

Выбирая AMD-оптимальное состояние⁷ в роли референсного состояния σ в след-

ствии 1, получим

Следствие 4. Пусть {p_i,ρ_i} - ансамбль из n ≤ +∞ состояний в S(H) и d =

= dim H ≤ +∞. Тогда

χ({p_i, ρ_i}) ≤ ε_av log n + g(ε_av) и χ({p_i, ρ_i}) ≤ ε_av log d + g(ε_av),

где ε_av - средний метрический размер {p_i, ρ_i}, определенный в (21).

Поскольку ε_av может быть значительно меньше, чем максимальное расстояние υ_m

между состояниями ансамбля {p_i, ρ_i}, первая оценка в следствии 4 можем быть точ-

нее оценки (2), несмотря на (неустранимое) слагаемое g(ε_av).

Максимальный метрический размер. Для заданного ансамбля {p_i, ρ_i} рассмот-

рим величину

ε_m({p_i, ρ_i}) =

inf sup ∥ρ_i - σ∥₁ ,

(22)

σ i

⁷ Если dim H = +∞, то AMD-оптимального состояния может не существовать. Тогда достаточно

взять для заданного ε > 0 такое состояние σε, что

1 ^∑pi ∥ρ_i - σε∥₁ лежит в ε-окрестности εav.

2 i

которую будем называть максимальным метрическим размером ансамбля {p_i, ρ_i}.

В конечномерном случае инфимум в (22) всегда достигается в некотором состоя-

нии σ, которое будем называть MMD-оптимальным состоянием ансамбля {p_i, ρ_i}.

Для ансамбля из двух состояний ρ₁ и ρ₂ с любыми вероятностями p₁ и p₂ = 1 - p₁

состояние

(ρ₁ +ρ₂) - это единственное MMD-оптимальное состояние. В этом случае

ε_m =

∥ρ₁ - ρ₂∥₁.

Ансамбль из четырех чистых состояний примера 4 имеет единственное MMD-оп-

тимальное состояние ρ_c

= I_H/3, не совпадающее со средним состоянием и с AMD-оп-

тимальным состоянием этого ансамбля. Для данного ансамбля ε_m = 2/3 > ε_av = 5/8.

Выбирая MMD-оптимальное состояние в качестве референсного состояния σ в

следствии 1, получаем

Следствие 5. Пусть {p_i,ρ_i} - ансамбль из n ≤ +∞ состояний в S(H), где

dim H ≤ +∞. Тогда

χ({p_i, ρ_i}) ≤ ε_mS({p_i}) + g(ε_m),

где ε_m - максимальный метрический размер {p_i, ρ_i}, определенный в (22).

Покажем, что в некоторых случаях эта оценка точнее оценки Ауденаерта (1),

несмотря на (неустранимое) дополнительное слагаемое g(ε_m) (ограниченное сверху

числом g(1) = 2 log 2). Заметим сначала, что

ε_m ≤

sup∥ρi - ρ∥1 ≤ υm

в силу выпуклости следовой нормы.

Для любого ансамбля из двух состояний имеем υ_m/ε_m = 2, но для ансамблей из

большого числа состояний разность между ε_m и υ_m не такая значительная. Следу-

ющий пример показывает существование ансамбля с пр√звольно большой инфор-

мацией Холево, для которого величина υ_m/ε_m близка к

Пример 5. Пусть {p_i,|ϕ_i〉〈ϕ_i|}ni=1 - ансамбль из n чистых состояний в (n + 1)-

мерном гильбертовом пространстве H, где {p_i} - произвольное распределение веро-

√

ятностей и |ϕ_i〉 =

1 - a2 |1〉 + a|i + 1〉, a ∈ [0,1] (здесь {|1〉,...,|n + 1〉} - ортонор-

мированный базис в H). Тогда

√

∥|ϕ_i〉〈ϕ_i| - |ϕ_j 〉〈ϕ_j |∥₁ = 2

1 - |〈ϕ_i|ϕ_j〉|² = 2a

2-a²

√

∥|ϕ_i〉〈ϕ_i| - |1〉〈1|∥₁ = 2

1 - |〈ϕ_i|1〉|² = 2a.

√

Поэтому υ_m = a

2 - a², в то время как ε_m ≤ a.⁸ Поэтому в этом случае оценка

Ауденаерта (1) и оценка в следствии 5 дают, соответственно,

√

χ({p_i, |ϕ_i〉〈ϕ_i|}) ≤ a

2 - a²S({p_i})

χ({p_i, |ϕ_i〉〈ϕ_i|}) ≤ aS({p_i}) + g(a).

Ясно, что вторая оценка точнее первой при малых a и больших значениях S({p_i}).

⁸ Можно показать, что n-1

^∑ |ϕ_i〉〈ϕ_i| - единственное MMD-оптимальное состояние для этого

i=1

ансамбля и что εm = a - o(a) < a.

∑

Вычисление собственных значений состояния ρ=

p_i|ϕ_i〉〈ϕ_i| в случае p_i ≡ 1/n

показывает, что

i=1

(

)

χ({p_i, |ϕ_i〉〈ϕ_i|}) = H(ρ) = (1 - 1/n)a² log(n - 1) + h₂

(1 - 1/n)a²

2.2. Обобщенные ансамбли квантовых состояний с конечной средней энергией.

При анализе бесконечномерных квантовых систем и каналов необходимо рассматри-

вать обобщенные ансамбли квантовых состояний, определяемые как борелевские ве-

роятностные меры на множестве квантовых состояний [2,16]. Дискретный ансамбль∑

{p_i, ρ_i} соответствует мере p_iδ(ρ_i), где δ(ρ) - дираковская мера, сосредоточенная

в состоянии ρ. Среднее состояние обобщенного ансамбля μ - это барицентр меры μ,

определяемый интегралом Бохнера

∫

ρ(μ) = ρ μ(dρ).

Информация Холево обобщенного ансамбля μ определяется выражением [2, 16]

∫

χ(μ) = H(ρ ∥ ρ(μ)) μ(dρ) = H(ρ(μ)) - H(ρ) μ(dρ),

в котором вторая формула верна при условии H(ρ(μ)) < +∞.

В этом пункте будут рассмотрены оценки сверху для информации Холево обоб-

щенного ансамбля μ с конечной средней энергией⁹

∫

^E(μ)

= Tr H ρ(μ) = Tr Hρ μ(dρ),

при условии, что гамильтониан H системы удовлетворяет условию

Tr e^-λH < +∞ при некотором λ > 0.

(23)

Из условия (23) следует, что все спектральные проекторы оператора H, соответству-

ющие конечным интервалам, конечномерны и что энтропия фон Неймана H(ρ) огра-

ничена на множестве состояний ρ с ограниченной энергией E(ρ)

= Tr Hρ [17, пред-

ложение 1]. Поэтому

F_H(E)

= sup H(ρ)

(24)

Tr Hρ≤E

- конечная функция на [E₀, +∞), где E₀

= inf 〈ϕ|H|ϕ〉.

∥ϕ∥=1

Замечание 3. Далее будем считать, что E₀ = 0. Общий случай легко свести к

данному, рассматривая “приведенный” гамильтониан

H₌ H - E₀I_H и замечая, что

неравенство Tr Hρ ≤ E равносильно неравенству Tr

Hρ ≤ E - E₀ для любого состо-

яния ρ и E ≥ E₀.

Пусть

F_H - гладкая функция на [0, +∞), такая что

F_H(E) ≥ F_H(E) для всех

E ≥ 0, обладающая следующими свойствами:

F_H(E) > 0,

F^′H(E) > 0,

F^′′H(E) ≤ 0 для всех E > 0.

(25)

В качестве

F_H можно взять саму функцию F_H(E), которая удовлетворяет данным

условиям в силу предложения 1 из [17], однако явный вид этой функции часто бы-

вает неизвестен или достаточно сложен для использования в реальных оценках.

⁹ Величина Tr Hρ определяется как supTr PnHρ, где Pn - спектральный проектор оператора H,

соответствующий интервалу [0, n].

Метрический размер обобщенного ансамбля μ по отношению к состоянию σ есте-

ственно определить выражением

∫

D(μ | σ) =

∥ρ - σ∥₁ μ(dρ).

(26)

Если μ = {p_i, ρ_i}, то (26) совпадает с (11).

Предложение 2. Пусть μ - обобщенный ансамбль состояний из S(H) с ко-

нечной средней энергией

^E(μ)

= E(ρ(μ)) > 0 и σ - состояние в S(H) с конечной

энергией E(σ). Пусть ε = D(μ|σ) - метрический размер ансамбля μ относительно

состояния σ, определенный в (26). Тогда¹⁰

(

)

(

)

1+κt

⁽ E(μ)

1+κt

χ(μ) ≤ ε

F_H

+ h₂(εt) + g

(27)

1 - εt

εt

1 - εt

для всех t ∈ (0, 1/(2ε)], где

F_H - любая оценка сверху для функции F_H, удовлетво-

ряющая условиям (25) и κ =

(1 + E(σ)

E(μ)).

Замечание 4. Правая часть (27) является возрастающей функцией ε. Она стре-

мится к нулю при ε → 0 тогда и только тогда, когда

F_H(E) = o(E) при E → +∞.

В силу предложения 1 из [17] функция

F_H(E) = F_H(E) удовлетворяет последнему

условию тогда и только тогда, когда

Tr e^-λH < +∞ для всех λ > 0.

(28)

Интересно отметить, что (28) - необходимое и достаточное условие непрерывности

информации Холево на множестве всех обобщенных ансамблей μ с ограниченной

средней энергией

^E(μ) относительно топологии слабой сходимости. Это следует из

предложения 18 в [15], поскольку (28) - необходимое и достаточное условие непре-

рывности энтропии фон Неймана на множестве состояний ρ с ограниченной энергией

E(ρ) = Tr ρH [17, 18].

Доказательство. Предположим, что μ - дискретный ансамбль {p_i,ρ_i} со

средним состоянием ρ.

Следуя доказательству лемм 16, 17 в [11], возьмем любое δ ∈ (0,

] и обозна-

чим через P_δ спектральный проектор оператора H, соответствующий интервалу

[0, δ-1

^E(μ)]. В силу условия (23) имеем Tr P_δ < +∞. Поскольку Tr H ρ =

^E(μ) и

Tr Hσ = E(σ), нетрудно показать, что

Tr P_δ ρ ≥ 1 - δ и Tr P_δσ ≥ 1 - δE(σ)

E(μ).

(29)

Рассмотрим ансамбль {p_i, ρ_i}, где ρ_i = r-1iP_δρ_iP_δ, p_i = r_ip_i/r, r_i = Tr P_δρ_i, r =

= Tr P_δ ρ. В силу следствия 4 имеем

χ({p_i, ρ_i}) ≤ εlog Tr P_δ + g(ε),

(30)

где ε - средний метрический размер ансамбля {p_i, ρ_i}.

Пусть σ = s-1P_δσP_δ, где s = Tr P_δσ. Тогда

∑

2ε≤

pi ∥ρi - σ∥₁

=r-1

p_i ∥P_δρ_iP_δ - (r_i/s)P_δσP_δ∥₁ ≤

∑

(

)

≤r-1

p_i

∥P_δρ_iP_δ - P_δσP_δ∥₁ + |1 - (r_i/s)| ∥P_δσP_δ∥₁

≤

)

( p

h₂(p) - бинарная энтропия, g(p) = (1 + p)h₂

= (p + 1) log(p + 1) - p log p.

1+p

∑

(

)

≤r-1

p_i

∥ρ_i - σ∥₁ + |(1 - r_i) - (1 - s)|

≤

(

)

≤r-1

2ε + (1 - TrP_δ ρ) + (1 - TrP_δσ)

≤ (1 - δ)-1(2ε + 2κδ),

(31)

где последнее неравенство следует из (29).

Используя (29) и аргументы из доказательства леммы 16 в [11] (основанные на

свойствах (25) функции

F_H), получаем

H(ρ)-H(P_δρP_δ)≤

F_H(^E(μ)/δ) + h₂(δ).

Из этого неравенства и леммы 25 в [15] следует, что

χ({p_i, ρ_i}) - χ({p_i, ρ_i}) ≤

F_H(^E(μ)/δ) + h₂(δ).

(32)

Поскольку энергия состояния [TrP_δ]-1P_δ не превосходит

^E(μ)/δ, его энтропия

log Tr P_δ ограничена сверху величиной

F_H

E(μ)/δ). Поэтому из (30)-(32) следует,

что

)

⁽ E(μ)

ε+κδ

χ({p_i, ρ_i}) ≤ (ε^′

+ δ

F_H

+ g(ε^′) + h₂(δ), где ε^′ =

(33)

1-δ

Предположим, что δ = εt, где t ∈ (0,

]. Тогда ε^′ = ε(1 + κt)/(1 - εt), и следова-

2ε

тельно, из (33) вытекает (27) для μ = {p_i, ρ_i}.

Для произвольного обобщенного ансамбля μ найдется последовательность {μ_n}

дискретных ансамблей, слабо¹¹ сходящаяся к μ, такая что

lim

χ(μ_n) = χ(μ) и

ρ(μ_n) = ρ(μ) для всех n.

n→∞

Такую последовательность можно получить, используя конструкцию в доказатель-

стве леммы 1 в [16] и принимая во внимание полунепрерывность снизу функции

μ → χ(μ) [16, предложение 1]. Поскольку D(μn |σ) сходится к D(μ|σ) (в силу сла-

бой сходимости μ_n к μ), выполнимость неравенства (27) для ансамбля μ следует из

его выполнимости для всех ансамблей μ_n, которая была доказана выше. ▴

Применим предложение 2 к ансамблям состояний ℓ-модового квантового осцил-

лятора. В этом случае

∑

H =

ℏω_ia+ia_i + E₀I_H, E₀ =

ℏω_i,

(34)

i=1

где a_i и a+i - операторы уничтожения и рождения соответственно, а ω_i - частота

i-го осциллятора [2, глава 12]. Поскольку условие (28) выполнено, для любого E > 0

энтропия фон Неймана H(ρ) непрерывна на множестве состояний, определяемом

неравенством Tr ρH ≤ E, и достигает максимума на этом множестве в состоянии

Гиббса γ(E) = [Tr e-λ(E)H ]-1e-λ(E)H , где λ(E) - решение уравнения Tr He^-λH =

= E Tre^-λH [18].

Приведенный гамильтониан (см. замечание 3) имеет вид

∑

H₌ ℏω_ia+ia_i.

(35)

i=1

∫

¹¹ Слабая сходимость последовательности {μn} к ансамблю μ0 означает, что lim

f (ρ)μn(dρ) =

∫

n→∞

f (ρ)μ₀ (dρ) для любой ограниченной функции f на S(H), непрерывной относительно метрики,

порожденной следовой нормой ∥ · ∥₁.

Точное значение F H (E) = sup H(ρ) можно определить, решая трансцендент-

Hρ≤E

ное уравнение [11,15]. Но можно показать, что функция F H(E) = FH(E + E0) огра-

ничена сверху функцией

[

]1/ℓ

∏

E + 2E₀

F_ℓ,ω(E)

= ℓlog

+ ℓ, E_∗ =

ℏω_i

(36)

ℓE

∗

i=1

определенной на [0, +∞) и удовлетворяющей условиям (25).¹² При этом разность

F_ℓ,ω(E) - F H(E) стремится к нулю при E → +∞ [15].

Следствие 6. Пусть μ - обобщенный ансамбль состояний ℓ-модового кван-

тового осциллятора с конечной средней энергией

^E(μ)

= E(ρ(μ)) > E₀, а σ - со-

стояние с конечной энергией E(σ).¹³ Пусть ε = D(μ|σ) - метрический размер

ансамбля μ относительно состояния σ, определенный в (26). Тогда

(

)

(

)

⁽ E(μ)-E

1+κt

χ(μ) ≤ ε

F_ℓ,ω

+ h₂(εt) + g

(37)

1 - εt

εt

1 - εt

для всех t ∈ (0, 1/(2ε)], где

F_ℓ,ω(E) - функция, определенная в (36), и

)

κ=

1+(E(σ)-E₀)/

E(μ) - E₀)

Данная оценка сверху при оптимальном выборе параметра t и состояния σ

является ε-точной при больших значениях средней энергии

E(μ).

Доказательство. Основное утверждение следствия прямо следует из пред-

ложения 2.

Пусть E > E₀, и пусть {p_i, ρ_i} - любой ансамбль чистых состояний, среднее состо-

яние которого совпадает с состоянием Гиббса γ(E). Рассмотрим ансамбль {p_i, ρ^εi},

где ρ^εi = ερ_i + (1 - ε)γ(E). Тогда

∑

2D({p_i, ρ^εi}|γ(E)) =

p_i ∥ρ^εi - γ(E)∥₁ =

εp_i ∥ρ_i - γ(E)∥₁ ≤ 2ε,

в то время как из неравенства (4) следует, что

χ({p_i, ρ^εi}) ≥ εH (γ(E)) - h₂(ε) = εF_H (E) - h₂(ε).

(38)

Поскольку

F_ℓ,ω(E - E₀)/x ≤

F_ℓ,ω(E - E₀) - ℓ log x для любых E > 0 и x ≤ 1, правая

часть (37) не превосходит

(

)

⁽1+κt

)[

]

1+κt

F_ℓ,ω(^E(μ) - E₀) - ℓ log(εt)

+ h₂(εt) + g

1 - εt

Неравенство (38) показывает точность оценки (37), поскольку

F_ℓ,ω(E-E₀)-F_H(E) =

= o(1) при E → +∞, а величина

(

1+t

)[

]

F_ℓ,ω(E - E₀) - ℓ log(εt)

1-t

может быть сделана не больше чем ε

F_ℓ,ω(E - E₀) + o

F_ℓ,ω(E))) при E → +∞ за

счет выбора t. Это следует из приведенной ниже леммы, которая доказывается эле-

ментарными методами. ▴

¹² Везде в статье log - натуральный логарифм.

¹³ Считаем, что энергия определяется исходным гамильтонианом (34).

1+t

Лемма. Пусть f(t) =

+ t, b > 0 и c - любое число. Тогда

1-t

min f(t)(x - b log t + c) ≤ x + o(x) при x → +∞.

t∈(0,

§3. Оценки сверху для пропускной способности Холево квантового канала

Квантовый канал Φ из системы A в систему B - это вполне положительное сохра-

няющее след линейное отображение T(H_A) → T(H_B), где H_A и H_B - гильбертовы

пространства, ассоциированные с данными системами [2-4].

Пропускная способность Холево квантового канала Φ между конечномерными

системами A и B определяется выражением

C_χ(Φ) = sup χ({p_i, Φ(ρ_i)}),

(39)

{pi,ρi}

в котором супремум берется по всем ансамблям входных состояний. Эта величина

определяет предельную скорость передачи классической информации по каналу Φ

с несцепленным кодированием на входе, она тесно связана с классической пропуск-

ной способностью квантового канала [2-4]. Поскольку как классическая пропускная

способность, так и пропускная способность Холево являются трудновычислимыми

величинами для квантового канала общего вида, любые методы приближенного оце-

нивания этих характеристик имеют важное значение [19-21]. В данном параграфе

мы используем результаты § 2 для получения легковычисляемых оценок сверху для

пропускной способности Холево конечномерного квантового канала. Эти оценки яв-

ляются грубыми в общем случае, однако для определенных классов каналов они

дают достаточно точное приближение пропускной способности Холево.

Для заданного подмножества S₀ в S(H) рассмотрим величину

Cr(S₀)

inf sup ∥ρ - σ∥₁ ,

σ∈S(H)ρ∈S0

называемую чебышевским радиусом [22, 23] подмножества S₀ относительно метри-

ки Δ(ρ, σ) =

∥ρ - σ∥₁. Например, Cr({ρ, σ}) =

∥ρ - σ∥₁ и Cr(S(H)) = 1 - 1/d,

где d = dim H. Чебышевский радиус множества S₀ не превосходит его диаметр

D(S₀)

sup

∥ρ - σ∥₁, но Cr(S₀) может быть значительно меньше D(S₀) да-

ρ,σ∈S0

же для многомерных множеств S₀: диаметр множества векторов в примере 5 равен

√

2 - a², а чебышевский радиус не превосходит a.

Предложение 3. Пусть Φ: A → B - квантовый канал. Тогда¹⁴

C_χ(Φ) ≤ r_Φ log d_B + g(r_Φ),

(40)

где r_Φ = Cr(Φ(S(H_A))) и d_B = dim H_B. Оценка (40) является ε-точной.

Доказательство. Неравенство (40) следует из второго неравенства в след-

ствии 4, поскольку средний метрический размер ε_av образа любого входного ансам-

бля {p_i, ρ_i} при действии канала Φ не превосходит r_Φ.

Точность оценки (40) следует из приведенных ниже примеров 6, 7. ▴

Следующий пример показывает, что дополнительное слагаемое g(r_Φ) в неравен-

стве (40) убрать нельзя.

)

( p

g(p) = (1 + p)h₂

= (p + 1) log(p + 1) - p log p.

1+p

Пример 6. Пусть Φ: A → B - такойквантовый канал, что множествоΦ(S(H_A))

содержит набор чистых состояний, соответствующих некоторому ортонормиро-

ванному базису в H_B (например, Φ - тождественный канал или канал ρ

→

∑

→

〈ϕ_k|ρ|ϕ_k〉|ψ_k〉〈ψ_k|, где {|ϕ_k〉} и {|ψ_k〉} - ортонормированные базисы в H_A и

H_B

⁼ H_A соответственно). Тогда C_χ(Φ) = logd_B и r_Φ = 1 - 1/d_B. Поэтому в этом

случае неравенство (40) имеет вид

C_χ(Φ) = log d_B ≤ (1 - 1/d_B)log d_B + g(1 - 1/d_B),

которое не выполняется, если убрать слагаемое g(1 - 1/d_B).

Несмотря на то что оценка сверху (40) зависит только от чебышевского радиуса

выходного множества канала Φ, она дает относительно точную оценку пропускной

способности Холево для некоторых нетривиальных каналов.

Пример 7. Пусть Φ_p - деполяризующий канал из d-мерной квантовой систе-

мы в себя, т.е. Φ_p(ρ) = (1 - p)ρ + pρ_c, где ρ_c - хаотическое состояние и p ∈ [0, 1].

Тогда [2, 24, 25]

C_χ(Φ_p) = (1 - pc)log d - h₂(pc) - pc logc,

где c = 1 - 1/d, а оценка (40) дает

C_χ(Φ_p) ≤ (1 - pc)log d + g((1 - p)c) - (1/d)logd,

поскольку ∥Φ_p(ρ) - ρ_c∥₁ = (1 - p) ∥ρ - ρ_c∥₁ ≤ (1 - p)c для любого входного состоя-

ния ρ.

Другой пример, когда оценка (40) дает асимптотически ε-точную оценку про-

пускной способности Холево, - это стирающий канал

[

]

(1 - p)ρ

Ψ_p(ρ) =

p ∈ [0,1],

p Tr ρ

из d-мерной квантовой системы в ее (d + 1)-мерное расширение [2, 26], поскольку

в этом случае C_χ(Ψ_p) = (1 - p)log d и rΨp = (1 - p)(1 - 1/d).

Следующий пример показывает, что точность оценки (40) может значительно

меняться для каналов одного класса.

Пример 8. Пусть Φ: A → B - такойквантовый канал, что множествоΦ(S(H_A))

совпадает с выпуклой оболочкой множества S₀ изоморфных состояний в S(H_B) и со-

держ∑хаотическое состояние ρc

= IHB/d_B, где d_B = dimH_B (например, Φ - канал

ρ →

〈ϕ_k|ρ|ϕ_k〉σ_k, где {|ϕ_k〉} - ортонормированный базис в H_A, а {σ_k} - набор

∑

изоморфных состояний в S(H_B ), таких что ρ_c = p_kσ_k для некоторого распреде-

ления вероятностей {p_k}). Тогда C_χ(Φ) = log d_B - H_min(Φ), где H_min(Φ) = H(σ),

σ ∈ S₀ [2,27].

Покажем, что точность оценки (40) существенно зависит от вида спектра состо-

яний в S₀.

Предположим, что все состояния в S₀ имеют спектр

{1 - r/d, 1/d, . . ., 1/d, 0, . . ., 0},

d-r-1

где d = d_B и r < d - 1. В этом случае H_min(Φ) = (r/d) log d + η(1 - r/d), и следова-

тельно,

C_χ(Φ) = (1 - r/d)log d - η(1 - r/d),

в то время как оценка сверху (40) дает

C_χ(Φ) ≤ (1 - r/d - 1/d)logd + g(1 - r/d - 1/d),

поскольку ∥σ - ρ_c∥₁ = 2(d - r - 1)/d для всех σ ∈ S₀. Мы опять видим, что (40) -

асимптотически ε-точная оценка пропускной способности Холево при большом d и

любом r.

Предположим теперь, что все состояния в S₀ пропорциональны проекторам ран-

га r. Тогда

C_χ(Φ) = log d - log r,

в то время как оценка сверху (40) дает

C_χ(Φ) ≤ (1 - r/d)log d + g(1 - r/d).

Поэтому в этом случае (40) - очень грубая оценка пропускной способности Холево.

Автор благодарен профессору А.С. Холево и участникам семинара “Квантовая

вероятность, статистика, информация” в МИАН им. В.А. Стеклова за полезные

замечания. Автор благодарен рецензенту за найденные неточности и полезные за-

мечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Холево А.С. Некоторые оценки для количества информации, передаваемого квантовым

каналом связи // Пробл. передачи информ. 1973. Т. 9. № 3. С. 3-11.

Холево А.С. Квантовые системы, каналы, информация. М.: МЦНМО, 2010.

Нильсен М.А., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. М.: Мир,

2006.

Wilde M.M. Quantum Information Theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2013.

Audenaert K.M.R. Quantum Skew Divergence // J. Math. Phys. 2014. V. 55. № 11.

P. 112202 (21 pp.).

Briët J., Harremoës P. Properties of Classical and Quantum Jensen-Shannon Divergence //

Phys. Rev. A. 2009. V. 79. № 5. P. 052311.

Fannes M., de Melo F., Roga W.,

Życzkowski K. Matrices of Fidelities for Ensembles of

Quantum States and the Holevo Quantity // Quantum Inf. Comput. 2012. V. 12. № 5-6.

P. 472-489.

Roga W., Fannes M.,

Życzkowski K. Universal Bounds for the Holevo Quantity, Coherent

Information, and the Jensen-Shannon Divergence // Phys. Rev. Lett. 2010. V. 105. № 4.

P. 040505 (4 pp.).

Zhang L., Wu J., Fei S.-M. Universal Upper Bound for the Holevo Information Induced by

a Quantum Operation // Phys. Lett. A. 2012. V. 376. № 47-48. P. 3588-3592.

10.

Alicki R., Fannes M. Continuity of Quantum Conditional Information // J. Phys. A: Math.

Gen. 2004. V. 37. № 5. P. L55-L57.

11.

Winter A. Tight Uniform Continuity Bounds for Quantum Entropies: Conditional Entropy,

Relative Entropy Distance and Energy Constraints // Comm. Math. Phys. 2016. V. 347.

№ 1. P. 291-313.

12.

Lindblad G. Expectation and Entropy Inequalities for Finite Quantum Systems // Comm.

Math. Phys. 1974. V. 39. № 2. P. 111-119.

13.

Ohya M., Petz D. Quantum Entropy and Its Use. Berlin: Springer, 1993.

14.

Donald M.J. Further Results on the Relative Entropy // Math. Proc. Cambridge Philos.

Soc. 1987. V. 101. № 2. P. 363-373.

15.

Shirokov M.E. Tight Uniform Continuity Bounds for the Quantum Conditional Mutual

Information, for the Holevo Quantity, and for Capacities of Quantum Channels // J. Math.

Phys. 2017. V. 58. № 10. P. 102202 (29 pp.).

16. Холево А.С., Широков М.Е. Непрерывные ансамбли и пропускная способность кванто-

вых каналов бесконечной размерности // Теория вероятностей и ее применения. 2005.

Т. 50. № 1. С. 98-114.

17. Широков М.Е. Энтропийные характеристики подмножеств состояний. I // Изв. РАН.

Сер. матем. 2006. Т. 70. № 6. С. 193-222.

18. Wehrl A. General Properties of Entropy // Rev. Mod. Phys. 1978. V. 50. № 2. P. 221-250.

19. Wang X., Xie W. Duan R. Semidefinite Programming Strong Converse Bounds for Classical

Capacity // IEEE Trans. Inform. Theory. 2018. V. 64. № 1. P. 640-653.

20. Leditzky F., Kaur E., Datta N., Wilde M.M. Approaches for Approximate Additivity of the

Holevo Information of Quantum Channels // Phys. Rev. A. 2018. V. 97. № 1. P. 012332.

21. Filippov S.N. Lower and Upper Bounds on Nonunital Qubit Channel Capacities // Rep.

Math. Phys. 2018. V. 82. № 2. P. 149-159.

22. Amir D., Ziegler Z. Relative Chebyshev Centers in Normed Linear Spaces. I // J. Approx.

Theory. 1980. V. 29. № 3. P. 235-252.

23. Гаркави А.Л. О чебышёвском центре и выпуклой оболочке множества // УМН. 1964.

Т. 19. № 6 (120). С. 139-145.

24. Amosov G.G. Strong Superadditivity Conjecture Holds for the Quantum Depolarizing Chan-

nel in Any Dimension // Phys. Rev. A. 2007. V. 75. № 6. P. 060304(R) (2 pp.).

25. King С. The Capacity of the Quantum Depolarizing Channel // IEEE Trans. Inform. The-

ory. 2003. V. 49. № 1. P. 221-229.

26. Amosov G.G., Mancini S. The Decreasing Property of Relative Entropy and the Strong Su-

peradditivity of Quantum Channels // Quantum Inf. Comput. 2009. V. 9. № 7-8. P. 594-609.

27. Amosov G.G. On Weyl Channels Being Covariant with Respect to the Maximum Commu-

tative Group of Unitaries // J. Math. Phys. 2007. V. 48. № 1. P. 012104 (14 pp.).

Широков Максим Евгеньевич

Поступила в редакцию

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

08.05.2019

msh@mi.ras.ru

После доработки

27.06.2019

Принята к публикации

01.07.2019