РАСПЛАВЫ
1 · 2019
УДК 514.87+514.112.4
ПОСТРОЕНИЕ ФРАКТАЛОВ ИЗ ЗВЕЗД:
ИНФЛЯЦИОННЫЙ И ДЕФЛЯЦИОННЫЙ ПОДХОДЫ
© 2019 г. А. А. Поляков*
Южно Уральский государственный университет, 454080 Россия, Челябинск, пр. Ленина, 7
*e mail: poliakovaa@susu.ru
Поступила в редакцию 07.07.2018
Рассматриваются инфляционный и дефляционный подходы к построению фрак
талов из правильных пятиконечных звезд. Предложены два вида описания данных
подходов - абсолютный и относительный. Относительное описание позволяет
сформулировать простую связь между этими подходами. Дефляционный подход: на
каждом этапе построения фрактала правильные пятиконечные звезды одинакового
размера и ориентации располагаются так, что их центры совпадают с вершинами
многоугольников предыдущего шага. Размеры этих звезд на каждом шаге могут
уменьшаться пропорционально целой степени золотого сечения. Инфляционный
подход: предфрактал предыдущего шага размножается и полученные фигуры распо
лагаются так, что их центры совпадают с вершинами правильной пятиконечной
звезды, возрастающей в размере.
Ключевые слова: фракталы, пятиконечные звезды, квазипериодическая решетка.
DOI: 10.1134/S0235010619010158
ВВЕДЕНИЕ
В 1984 г. Д. Шехтман опубликовал статью, в которой впервые были описаны икоса
эдрические квазикристаллы [1]. Большинство открытых к настоящему времени квази
кристаллов являются высокотемпературными фазами, они не стабильны при комнат
ных температурах. Их структура характеризуется квазипериодичностью, они упорядо
чены, но не периодичны. Примером двумерной квазипериодической решетки с
пентагональной симметрией является мозаика Пенроуза [2]. Среди известных сейчас
квазикристаллов заметную долю занимают декагональные квазикристаллы, при ана
лизе структуры которых часто используют мозаику Пенроуза [3]. Изучение строения
мозаики Пенроуза привело к обнаружению кластеров правильных пятиконечных
звезд [4]. Позже было высказано предположение, что звезды в мозаике Пенроуза име
ют фрактальную структуру [5], предложен вариант фракталов из звезд, которые позво
ляют повторить строение мозаики Пенроуза [6].
При описании классических фракталов используются два понятия - инициатор и
генератор [7]. Инициатор - это фигура, которая трансформируется на каждом шаге,
генератор показывает метод трансформации. Сходный подход используется при по
строении мозаики Пенроуза методом дефляции [8]. Дефляция ведет к бесконечному
росту числа элементов, который сопровождается уменьшением их размеров. Мозаика
Пенроуза может быть построена многими методами. Один из таких методов - метод
инфляции - позволяет получать структуру из элементов тех же размеров, при этом
структура растет бесконечно. По аналогии с ними были предложены два подхода к
конструированию фракталов из пятиконечных звезд: инфляционный и дефляцион
ный [6].
Построение фракталов из звезд
77
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
Дефляционный метод построения фракталов из пятиконечных звезд
В качестве строительных элементов на каждом этапе построения фрактала исполь
зуются правильные пятиконечные звезды, которые характеризуются размерным чис
лом Nk и ориентацией ck. Ориентация звезд может быть двух типов, которые обозначе
ны буквами “w” и “b”. Эти ориентации связаны между собой операцией инверсии от
носительно точки.
Размеры строительных элементов - правильных пятиконечных звезд на каждом
этапе могут быть описаны выражением
-N
k
k
a a0τ
,
где
a
0
- размер исходной звезды,
τ =(1+
5) 2 ≈
1.618
- “золотое сечение”,
N
k
- неот
рицательное целое число.
Звезды, имеющие ориентацию “w” или “b”, размножаются и располагаются так,
что их центры совпадают с вершинами звезд предыдущего шага. Точки предыдущего
шага удаляются. Совпадающие вершины звезд учитываются один раз. Фрактал опи
сывается рядом размерных чисел и ориентаций
da
…
…
0
0
11
2
2
k k
N
c
N
cN
c
N
c
Заметим, что ряд размерных чисел выбирается неубывающим.
Инфляционный метод построения фракталов из пятиконечных звезд
При построении фрактала этим методом, размер минимальных звезд не изменяется
и остается равным a0. Ориентация минимальных c0 звезд также не изменяется. Пред
ложено понятие обобщенной звезды. Это правильная пятиконечная звезда размера
+N
k
k
a a0τ
,
где Nk - неотрицательное целое число, которое также назовем размерным числом, ряд
чисел также Nk образует неубывающую последовательность. Обобщенная звезда не
отображается. При построении предфрактала, кластер звезд размера a0 (предфрактал
предыдущего шага) размножается и располагается так, что центры кластеров совпада
ют с 10 вершинами обобщенной звезды. Совпадающие вершины минимальных звезд
учитываются один раз. Обобщенная звезда на каждом этапе построения характеризу
ется ориентацией ck. Эта ориентация совпадает или противоположна ориентации
звезд, из которых построен фрактал. Полученный фрактал также может быть описан
рядом размерных чисел и ориентаций
ia
…
…
0
0
11
2
2
k k
N
c
N
cN
c
N
c
Здесь N0, c0 относятся к минимальной звезде; Ni, ci (i ≥ 1) - характеристики обоб
щенной звезды. Этот подход отличается от дефляционного тем, что фрактал увеличи
вается, но размер строительных элементов не изменяется.
Связь между инфляционным и дефляционным подходами
Можно точно совместить полученные множества, если рассматривать ограничен
ное число шагов построения фракталов, то есть можно показать совпадение получен
ных предфракталов порядка k. Для этого необходимо совпадение размера и ориента
ции минимальных звезд. Это значит, что звезды начального шага инфляционного
описания должны совпадать со звездами конечного шага дефляционного подхода.
78
А. А. Поляков
r2
r3
r4
r1
0
Рис. 1. Координаты точки четвертого предфрактала в дефляционном описании: получены суммированием
четырех векторов, соединяющих центр и вершину минимальной звезды каждого шага.
С целью сравнения методов построения, каждый подход можно описать двумя спо
собами: абсолютным и относительным. Подходы, описанные выше, назовем абсо
лютными. В относительном описании, в качестве размерного числа, используется
разность:
a
a
N
k
=
N
k
-
N
k-
1,
где индекс a обозначает абсолютное описание.
Размер звезды вычисляется следующим образом:
±N
k
a
k
=
a
k-1
τ
,
здесь знак минус соответствует дефляционному описанию, а плюс - инфляционному.
Ориентацию звезды ci в относительном описании обозначим символом “w”, если
совпадают ориентации звезд i и i - 1 шагов в абсолютном описании, иначе - симво
лом “b”.
В чем польза от относительной записи? Такая запись позволяет выделить степень
самоподобия фракталов. При бесконечном повторении характеристик Ni и ci будут по
лучены наиболее самоподобные фракталы, при случайных Ni и ci - наименее самопо
добные.
Каким образом можно сравнить инфляционный и дефляционный подходы? Точки
фрактала (вершины звезд минимального размера) появляются в результате суммиро
вания векторов, соединяющих центр и вершину звезды каждого шага построения
(см. рис. 1). Можно показать, что переход от инфляционного к дефляционному под
ходу и обратно обозначает просто изменение порядка суммирования на противопо
ложный:
K
0
R
k
=
∑
r
i
=
∑ri.
i
=0
i
=K
Построение фракталов из звезд
79
а
б
д
в
г
Рис. 2. Построение предфрактала d0w2w1w1b дефляционным методом: а - d0w2w, б - d0w2w1w, д -
d0w2w1w1b. Построение предфрактала d0w2w1w1b инфляционным методом: в - i0b1b, г - i0b1b1w, д -
i0b1b1w2w.
Пусть число шагов ограничено числом K (мы рассматриваем предфрактал поряд
ка K), тогда
d
iN
j
=
N
K j+1
,
i
d
c
j
=
c
K j+1
Здесь индекс j изменяется в пределах 1 ≤ j ≤ K, индекс i обозначает относительное
инфляционное описание, a индекс d - относительное дефляционное описание фрак
тала. Размерные числа и ориентация нулевого шага остаются неопределенными при
относительном описании, их можно выбрать совпадающими с таковыми для абсолют
ного описания.
В случае собственно фрактала, то есть бесконечного множества точек, такие соот
ношения не могут быть записаны, однако, если, например, взять фрактал с постоян
ным размерным числом и ориентацией в относительной записи, то можно говорить о
подобии таких фракталов.
На рис. 2 показан предфрактал d0w2w1w1b, полученный дефляционным (шаги a, б, д)
и инфляционным методом (шаги в, г, д). В обоих случаях выбрано относительное опи
сание фракталов.
ВЫВОДЫ
1. Рассмотрены два подхода к построению фракталов из звезд, один из которых поз
воляет получить структуры с уменьшающимися элементами. Второй, инфляционный
подход позволяет строить растущие структуры с элементами постоянного размера.
2. Рассмотрены два пути описания таких фракталов: абсолютный и относительный.
В относительном описании подчеркиваются свойства структуры.
80
А. А. Поляков
3. Показана простая связь между характеристиками относительного инфляционно
го и относительного дефляционного подходов: ряды характеристик фрактала записы
ваются в противоположном направлении.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. S h e c h t m a n D . Metallic Phase with Long Range Orientational Order and No Translational
Symmetry // Phys. Rev. Lett. 1984. 53. № 20. P. 1951-1953.
2. Pe n r o s e R . Pentaplexity: A Class of Nonperiodic Tilings of the Plane // Eureka. 1978. 39.
P. 16-22.
3. K u c z e r a P. High temperature structural study of decagonal Al-Cu-Rh // Acta Crystallogr.
B. 2014. 70. P. 306-314.
4. Po l y a k o v A . A . Presentation of Penrose tiling as set of overlapping pentagonal stars // J. of
Physics: Conference Series. 008. 98. 012025.
5. Po l y a k o v A . A . Fractal structures of regular pentagonal stars in Penrose tiling // Russian
Metallurgy (Metally). 2012. № 8. P. 719-722.
6. Po l y a k o v A . A . Constructing of Penrose tiling by means of the fractal of five pointed stars //
Russian Metallurgy (Metally). 2016. № 2. P. 148-150.
7. M a n d e l b r o t B . The fractal geometry of nature. 2010, 468 p.
8. H e n l e y C . L . Sphere packing and local environments in Penrose tiling // Phys. Rev. B. 1986.
34. № 2. P. 797-816.
The Fractals of Five Pointed Stars: Deflationary and Inflationary Approaches
A. A. Polyakov
South Ural State University, 454080 Russia, Chelyabinsk, Lenin ave., 76
Inflationary and deflationary approaches to the constructing fractals from regular five
pointed stars are considered. Two types of descriptions of these approaches are proposed: ab
solute and relative. The relative description allows to formulate a simple connection between
these approaches. Deflationary approach: at each stage of building a fractal, regular five
pointed stars of the same size and orientation are arranged so that their centres coincide with
the vertices of the polygons of the previous step. The size of these stars at each step can be re
duced in proportion to the integer degree of the golden mean; the orientation may coincide
or be opposite to the orientation of the stars of the previous step. Inflationary approach: the
prefractal of the previous step replicates, and the resulting figures are arranged so that their
centres coincide with the vertices of a regular five pointed star, increasing in size.
Keywords: fractals, quasiperiodic lattice, quasicrystals
REFERENCES
1. Shechtman D. Metallic Phase with Long Range Orientational Order and No Translational
Symmetry // Phys. Rev. Lett. 1984. 53. № 20. P. 1951-1953.
2. Penrose R. Pentaplexity: A Class of Nonperiodic Tilings of the Plane // Eureka. 1978. 39. P. 16-22.
3. Kuczera P. High temperature structural study of decagonal Al-Cu-Rh // Acta Crystallogr. B.
2014. 70. P. 306-314.
4. Polyakov A.A. Presentation of Penrose tiling as set of overlapping pentagonal stars // J. of Physics:
Conference Series. 008. 98. 012025.
5. Polyakov A.A. Fractal structures of regular pentagonal stars in Penrose tiling // Russian Metal
lurgy (Metally). 2012. № 8. P. 719-722.
6. Polyakov A.A. Constructing of Penrose tiling by means of the fractal of five pointed stars //
Russian Metallurgy (Metally). 2016. № 2. P. 148-150.
7. Mandelbrot B. The fractal geometry of nature. 2010, 468 p.
8. Henley C.L. Sphere packing and local environments in Penrose tiling // Phys. Rev. B. 1986. 34.
№ 2. P. 797-816.
