РАСПЛАВЫ
2 · 2019
УДК 536.421.4
ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ К СТАЦИОНАРНОМУ РОСТУ
ВТОРИЧНЫХ ВЕТВЕЙ ДЕНДРИТА
© 2019 г. Е. А. Титоваa, Д. В. Александровa, *, П. К. Галенкоa
aУральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина,
ул. Мира, 19, Екатеринбург, 620002 Россия
*e(mail: Dmitri.Alexandrov@urfu.ru
Поступила в редакцию 19.07.2018
После доработки 27.07.2018
Принята к публикации 02.08.2018
В работе теоретически определено выражение для времени выхода на стационар
ный режим роста вторичных ветвей дендритных кристаллов. Построены зависимо
сти времени выхода на стационар от ростового числа Пекле и скорости роста верши
ны для дендритов никеля и сукцинонитрила. Показано, что при высокоскоростной
кристаллизации вторичные ветви дендритов выходят на стационарный режим роста
быстрее, чем в случае низкоскоростной кристаллизации. Рост вторичных ветвей
дендритов можно практически всегда считать стационарным в случаях низкоско
ростной, умеренной и высокоскоростной кристаллизации.
Ключевые слова: фазовые превращения, дендриты, переохлажденный расплав.
DOI: 10.1134/S0235010619020051
ВВЕДЕНИЕ
Определение особенностей микроструктур затвердевающих материалов имеет важное
практическое значение [1-6]. В настоящее время экспериментальные методы позволяют
достигать больших температурных градиентов, скоростей охлаждения материалов и, сле
довательно, высоких скоростей роста кристаллов [7]. Так, например, в пленках скорости
охлаждения могут достигать 107 K/с, в процессах лазерной закалки поверхностей образцов
температурные градиенты достигают 108 K/с, а безконтейнерные методы кристаллизации
переохлажденных капель позволяют получать переохлаждения порядка 200-400 K. В та
ких процессах затвердевания возникают большие движущие силы, приводящие к сверх
быстрым фазовым трансформациям метастабильных фаз [8]. Так, например, эксперимен
тально измеренные скорости кристаллизации имеют порядок 10-1-102 м/с в переохла
жденных каплях с помощью метода электромагнитной левитации [8, 9]. В таких
процессах время затвердевания оценивается, как 10-5-10-3 с.
Для аналитических расчетов процессов быстрого затвердевания и теоретических
оценок параметров возникающих микроструктур в дендритной и эвтектической кри
сталлизации используются различные модели равновесного стационарного затверде
вания [10-15]. Однако квазистационарное приближение в условиях быстрого затвер
девания небольших образцов (пленок, капель и т.п.) является пока необоснованным и
часто оспаривается. Общепринятой точкой зрения является такой подход к квазиста
ционару: этот режим безусловно достигается в условиях медленной кристаллизации,
но достигается ли в условиях быстрой кристаллизации [16]? Однако детальные расче
ты режимов затвердевания показывают, что время нестационарности существенно за
висит от от скорости границы раздела фаз и переохлаждения в затвердевающих мате
риалах [17]. В частности, для плоской межфазной границы твердая фаза - жидкость
время нестационарности быстро уменьшается с увеличением скорости роста, достигая
значений порядка милли или микро секунд при скоростях роста порядка сантиметров
в секунду [17].
178
Е. А. Титова, Д. В. Александров, П. К. Галенко
Кроме того, на основе работы [17] можно показать, что время нестационарности
сильно увеличивается с уменьшением скоростей роста кристаллов, достигая значений
порядка секунд или даже минут для скоростей роста порядка микрометров в секунду.
Такая значительная зависимость должна иметь место не только для плоской межфаз
ной поверхности, она должна реализовываться и для других ростовых форм кристал
лов. Поскольку одной из основных ростовых форм кристаллов является дендритная
форма, в настоящей работе развивается аналитическое описание времени нестацио
нарности, которое может быть сопоставлено со временем затвердевания эксперимен
тально исследуемых образцов. Развиваемая в работе теория ограничена двухмерным
случаем (трехмерный рост может быть исследован по аналогии с предлагаемым подхо
дом). Отметим, что многие свойства материалов сильно зависят от расстояния между
вторичными ветвями дендритов. Учитывая это в настоящей статье приведены оценки
времени нестационарности вторичных ветвей дендритов в условиях медленной и
быстрой кристаллизации.
ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ К СТАЦИОНАРНОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ
Время релаксацииτ определяет насколько быстро скорость вершины дендрита ре
T
лаксирует к своему стационарному значению [18]
υ
t)
∝
υ
A t)
(
exp Amt τ
T
)
(1)
Здесь введены следующие обозначения:
υ
A t)
- амплитуда, зависящая от времени
t
,
A
- множитель, зависящий от параметров модели,
- время релаксации теплового
m
τT
детдрита к стационарному режиму роста. В настоящей работе будем рассматривать
симметричный рост дендритных кристаллов в положительном направлении z с посто
янной скоростью υ. Введем мгновенное положение (координату)
фронта за
ζ=ζ(x,t)
твердевания и радиус кривизны ρ вершины дендрита. Ради удобства будем измерять
все длины в единицахρ,а время в единицах
ρ υ.
Отметим, что поверхность дендрита описывается параболой Иванцова [18-22]
2
x
ζ
iυ
=-
(2)
2
при нулевом поверхностном натяжении.
Необходимо видоизменить это решение с помощью введения коррекционной
функции
при ненулевом поверхностном натяжении. В результате, стационарное
ζ0(x)
решение
ζ
iυ
+ζ0(x)
будет иметь место, если выполняется критерий отбора
d
0
2d
0
D
T
d
0
υ
σ*=
=
=
(3)
2
ρP
ρ υ2
2D
P
g
T g
устойчивой моды кристаллизации дендрита, который определяется из теории микро
скопической разрешимости [9-11, 23-28]. Здесь
P
g
= ρυ (2D
T
)
- ростовое число Пек
ле для теплового дендрита,
d
- капиллярная длина,
D
- коэффициент температуро
0
T
проводности.
С теоретической и практической точек зрения важно определить действительное
время релаксации параболической поверхности дендрита к стационарному росту. Вве
дем малую зависящую от времени коррекционную поправку
к стационарному
ζ1(
x,
t
)
решению и представим
для вторичных ветвей в виде
ζ(x,t)
ζ
(x,
t)
=ζ
+ζ
(x) +ζ
(
x,t)
(4)
iυ
0
1
Время релаксации к стационарному росту вторичных ветвей дендрита
179
Зависящая от времени поправка
ζ1(
x,
t
)
была определена в работе [29] на основе ВКБ
(WKB) метода
14
32
18
14
⎛
⎛(2z)
⎛
z t⎞
⎞⎞
*
ζ
1
(x,t)
=
f
(2z)
σ
Im⎜exp⎜
⎜1−
i
⎟
⎟⎟,
(5)
⎜
⎜
3
⎟
⎟
c
σ*
⎝
2z
⎠
⎝
⎝
⎠⎠
2
где
c =
3 2,
z
=
x
2,
а
f
- константа порядка единицы. Возводя комплексное выра
жение
1-i(z-t)
2z
в степень
32,
разделяя вещественную и мнимую части соотно
шения (5) и вводя безразмерные переменные
ρt
τ=
, ξ = xρ,
(6)
υ
получим
⎛
2
34
⎞
⎛
2
⎞
⎛
⎞
⎜
⎜
4
(βδ
)
3
τ
⎟
⎟
ζ
x,t
=
Aexp
-
βδ
+
⎜
−
⎟
(7)
1
(
)
⎜
(
)
3
⎟
⎜
⎜
2
τ
⎟
⎟
⎜
⎜
T
⎟
⎟
⎝
⎠
⎝
⎝
⎠
⎠
Здесь введены следующие обозначения:
ρ
ξ
ξ
υτ
τ
T
=
,
β=
,
α=
-
,
δ=
cos(ϕ
2)
,
23
3
υ(βδ
)
c
σ* ρ
2ρ ξ
(8)
14
2
⎛ξσ*⎞
⎛α
-
3
⎞
A
=
sin
β
sin(
ϕ
2)
,
ϕ=
arctan
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
ρ
⎠
⎝1
-3α ⎠2
Для определения зависимости τ от ростового числа Пекле P выразим скорость
υ
T
g
вершины дендрита из критерия микроскопической разрешимости, выведенного для
произвольных чисел Пекле в статьях [9-11]
74
2
2D
αT d
σ
0
P
g
υ
(
P
g
)
=
,
(9)
2
d
0
(1
+
a
1
P
g
α
d
)
где
αd
- параметр анизотропии поверхностной энергии,
σ0
- константа отбора, а
a
1
= 8σ
0
7
(
3 56
)38
Далее, рассматривая окрестность вершины дендрита (
) и учитывая формулы (8),
ξ ∼ρ
получим
13
2
2
D
Pc
⎛
d
P
⎞
T g
0
υ(
g
)
τ
T
≈
⎜
⎟
(10)
23
2
⎜
2
⎟
δ
υ
(
P
)
2D
P
g
⎝
T g
⎠
Константы, входящие в выражение (10), оцениваются таким образом:
α ≈1 2,
а
δ ≈ 0.738.
Такие оценки справедливы для теплового дендрита с параметрами: время
−
10
-
7
-6
-2
релаксации
τ
≈10
…
10
с, координата
ξ ≈ρ≈
10
м, скорость роста
υ
≤
10
м/с.
T
-3
Учитывая это, из формул (8) имеем
α ≈1 2-
υ
τ ρ, υτ ρ≤
10
12.
Выражение (10)
определяет время релаксации в зависимости от ростового числа Пекле P . Эта зависи
g
мость вместе с зависимостью для скорости
задаваемой формулой (9), позволяет
υ(
),
P
g
получить оценку времени релаксации к стационарному сценарию дендритного роста.
180
Е. А. Титова, Д. В. Александров, П. К. Галенко
1.0
SCN
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.1
Число Пекле Pg
Рис. 1. Зависимость времени нестационарности
от теплового числа Пекле
для сукцино
τT
= ρυ
(2
)
g
T
P
D
нитрила.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На рис. 1 и 2 приведены расчетные данные времен нестационарности для сукцино
нитрила (SCN) и никеля (Ni) по данным работ [9, 30-33] (теплофизические значения
параметров этих материалов выписаны в табл. 1). Построенные по формулам (9) и (10)
зависимости иллюстрируют убывание времени нестационарности с ростом числа
Пекле. При этом при достаточно больших значениях
, время выхода на стационар
g
P
Таблица 1
Материальные параметры сукцинонитрила (SCN) и никеля (Ni) по данным работ [9, 30-33]
Параметр
Сукцинонитрил
Никель
Температура плавления, TA (К)
331.233 [30]
1728 [31]
Скрытая теплота, L (Дж/м3)
4781 · 104 [30]
267 · 104 [33]
Теплоемкость, cp (Дж/(м3 К))
208 · 104 [30]
6390 [33]
Поверхностная энергия, σ (Дж/м2)
8.9 · 10-3 [30]
0.275 [33]
Капиллярная длина, d0, (м)
2.821 · 10-9 [30]
4.92 · 10-10 [32]
Параметр анизотропии, αd (-)
0.0825 [30]
0.27 [33]
Коэффициент температуропроводности, DT (м2/с)
1.13 · 10-7 [30]
1.2 · 10-5 [33]
Константа отбора, σ0 (-)
0.1 [9]
0.191 [32]
Время релаксации к стационарному росту вторичных ветвей дендрита
181
0.002
Ni
0.001
0
0.02
0.04
Число Пекле Pg
Рис. 2. Зависимость времени нестационарности τT от теплового числа Пекле
= ρυ
для никеля.
(2
)
g
T
P
D
6.0 × 10-6
Ni
SCN
0
0.5
1.0
Скорость роста υ, м/с
Рис. 3. Зависимость времени нестационарности τ T от скорости роста υ вершины дендрита для сукцинонит
рила и никеля.
182
Е. А. Титова, Д. В. Александров, П. К. Галенко
становится достаточно малым. Относительно большие значения этого времени на
блюдаются для низкоскоростной кристаллизации при малых числах Пекле. В случае
же высокоскоростного затвердевания вторичные ветви дендритов выходят на стацио
нарный режим роста быстрее, чем в случае низкоскоростной кристаллизации.
Из формул (9), (10) и определения числа Пекле
можно построить за
= ρυ (2
)
g
T
P
D
висимость времени нестационарности τ от скорости роста вершины вторичных вет
T
вей дендрита υ. Такие зависимости для сукцинонитрила и никеля показаны на рис. 3.
Отсюда хорошо видно, что абсолютные значения времен выхода на стационарный ре
жим роста для обоих материалов весьма малы, как в низкоскоростном, так и в высоко
скоростном сценариях затвердевания. В целом, результаты настоящей работы свиде
тельствуют о том, что рост вторичных ветвей дендритов можно практически всегда
считать стационарным (в случаях низкоскоростной, умеренной и высокоскоростной
кристаллизации). Развитое аналитическое описание роста дендритных структур мо
жет быть использовано для моделирования процессов затвердевания при наличии
протяженной области фазового перехода - двухфазной зоны, где происходит эволю
ция элементов твердой фазы в форме дендритоподобных образований [34-38].
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант
16 11 10095).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. C h a l m e r s B . Physical Metallurgy. N.Y.: Wiley, 1959.
2. C h e r n o v A . A . Modern Crystallography III. Berlin: Springer, 1984.
3. Tr i ve d i R . , K u r z W. Dendritic growth // Int. Mater. Rev. 1994. 39. P. 49-74.
4. H e r l a c h D . M . Non equilibrium solidification of undercooled metallic melts // Mater. Sci.
Eng. R. 1994. 12. Р. 177-272.
5. A l e x a n d r o v D . V. The large time behaviour of coarsening of a particulate assemblage due
to Ostwald ripening and coagulation // Phil. Mag. Lett. 2016. 96. P. 355-360.
6. A l e x a n d r o v D . V. Kinetics of particle coarsening with allowance for Ostwald ripening and
coagulation // J. Phys.: Condens. Matter. 2016. 28. P. 035102.
7. H e r l a c h D . M . , G a l e n k o P. , H o l l a n d M o r i t z D . Metastable solids from un
dercooled melts // Amsterdam: Elsevier. 2007. 432 р.
8. H a r t m a n n H . , G a l e n k o P. K . , H o l l a n d M o r i t z D . , K o l b e M . ,
H e r l a c h D . M . , S h u l e s h ova O .Nonequilibrium solidification in undercooled Ti45Al55 melts //
J. Appl. Phys. 2008. 103. P. 073509.
9. A l e x a n d r o v D . V. , G a l e n k o P. K . Dendrite growth under forced convection: analysis
methods and experimental tests // Phys. Usp. 2014. 57. P. 771-786.
10. A l e x a n d r o v D . V. , G a l e n k o P. K . Selection criterion of stable dendritic growth at
arbitrary Péclet numbers with convection // Phys. Rev. E. 2013. 87. Р. 062403.
11. A l e x a n d r o v D . V. , G a l e n k o P. K . Thermo solutal and kinetic regimes of an aniso
tropic dendrite growing under forced convective flow // Phys.Chem. Chem. Phys. 2015. 17. Р. 19149-
19161.
12. Gao J., Han M., Kao A., Pericleous K., Alexandrov D.V., Galenko P.K .
Dendritic growth velocities in an undercooled melt of pure nickel under static magnetic fields: A test
of theory with convection // Acta Mater. 2016. 103. Р. 184-191.
13. A l e x a n d r o v D . V. , D a n i l o v D . A . , G a l e n k o P. K . Selection criterion of a stable
dendrite growth in rapid solidification // Int. J. Heat Mass Trans. 2016. 101. Р. 789-799.
14. G a l e n k o P. K . , D a n i l o v D . A . , R e u t h e r K . , A l e x a n d r o v D . V. ,
R e t t e n m ay r M ., H e r la c h D . M . Effect of convective flow on stable dendritic growth in ra
pid solidification of a binary // J. Cryst. Growth. 2017. 457. Р. 349-355.
15. A l e x a n d r o v D . V. , G a l e n k o P. K . Selected mode for rapidly growing needle like
dendrite controlled by heat and mass transport // Acta Mater. 2017. 137. Р. 64-70.
16. D a s A . K . Some non Fickian diffusion equations: theory and a pplications // Defect and
Diffusion Forum 1998. 162. Р. 97-118.
Время релаксации к стационарному росту вторичных ветвей дендрита
183
17. G a l e n k o P. K . , D a n i l o v D . A . Selection of the dynamically stable regime of rapid so
lidification front motion in an isothermal binary alloy // J. Cryst. Growth 2000. 216. Р. 512-526.
18. L a n g e r J . S . Instabilities and pattern formation in crystal growth // Rev. Mod. Phys. 1980.
52. Р. 1-28.
19. Pe l c e P. , Po m e a u Y. Dendrites in the small undercooling limit // Stud. Appl. Math.
1986. 74. Р. 245-258.
20. G a l e n k o P. K . , D a n i l o v D . A . , A l e x a n d r o v D . V. Solute redistribution around
crystal shapes growing under hyperbolic mass transport // Int. J. Heat Mass Trans. 2015. 89. Р. 1054-
1060.
21. A l e x a n d r o v D . V. , G a l e n k o P. K . Boundary integral approach for propagating inter
faces in a binary non isothermal mixture // Physica A. 2017. 469. Р. 420-428.
22. G a l e n k o P. K . , A l e x a n d r o v D . V. , Ti t o v a E . A . The boundary integral theory
for slow and rapid curved solid/liquid interfaces propagating into binary systems // Phil. Trans. R. Soc.
A. 2018. 376. Р. 20170218.
23. A l e x a n d r o v D . V. , P i n i g i n D . A . Selection of stable growth conditions for the para
bolic dendrite tip in crystallization of multicomponent melts // Technical Physics. 2013. 58. Р. 309-
315.
24. A l e x a n d r o v D . V. , G a l e n k o P. K . Selection criterion for the growing dendritic tip at
the inner core boundary // J. Phys. A: Math. Theor. 2013. 46. Р. 195101.
25. A l e x a n d r o v D . V. , G a l e n k o P. K . , To r o p o v a L . V. Thermo solutal and kinetic
modes of stable dendritic growth with different symmetries of crystalline anisotropy in the presence of
convection // Phil. Trans. R. Soc. A. 2018. 376. № 2013. 20170215.
26. A l e x a n d r o v D . V. , G a l e n k o P. K . Selected mode of dendritic growth with n fold
symmetry in the presence of a forced flow // EPL. 2017. 119. 16001.
27. A l e x a n d r o v D . V. , G a l e n k o P. K . Dendritic growth with the six fold symmetry:
Theoretical predictions and experimental verification // J. Phys. Chem. Solids. 2017. 108. 98-103.
28. A l e x a n d r o v D . V. , G a l e n k o P. K . Thermo solutal growth of an anisotropic dendrite
with six fold symmetry // J. Phys.: Condens. Matter. 2018. 30. 105702.
29. B a r b e r M . N . , B a r b i e r i A . , L a n g e r J . S . Dynamics of dendritic sidebranching in
the two dimensional symmetric model of solidification // Phys. Rev. A. 1987. 36. Р. 3340-3349.
30. K o s s M . B . , L a C o m b e J . C . , Te n n e n h o u s e L . A . , G l i c k s m a n M . E . ,
Wi n s a E .A . Dendritic growth tip velocities and radii of curvature in microgravity // Metall. Mater.
Trans. A. 1999. 30A. Р. 3177-3190.
31. H u l t g r e n R . , D e s a i P. D . , H a w k i n s D . T. , G l e i s e r M . , K e l l e y K . K . ,
Wa g m a n D . D . Selected values of the thermodynamic properties of the elements // Ohio: ASM
International, Metals Park. 1973.
32. G a o J . , K a o A . , B o j a r e v i c s V. , Pe r i c l e o u s K . , G a l e n k o P. K . , A l e x
a n d r ov D . V. Modeling of convection, temperature distribution and dendritic growth in glass
fluxed nickel melts // J. Cryst. Growth. 2017. 471. Р. 66-72.
33. G a l e n k o P. K . , P h a n i k u m a r G . , F u n k e O . , C h e r n ova L . , R e u t z e l S . ,
K o l b e M . , H e r l a c h D . M . Dendritic solidification and fragmentation in undercooled Ni-Zr
alloys // Mater. Sci. Eng. A. 2007. 449-451. Р. 649-653.
34. A l e x a n d r o v D . V. , B a s h k i r t s e v a I . A . , M a l y g i n A . P. , R y a s h k o L . B .
Sea Ice Dynamics Induced by External Stochastic Fluctuations // Pure Appl. Geophys. 2013. 170.
Р. 2273-2282.
35. A l e x a n d r o v D . V. , N i z o v t s e v a I . G . Nonlinear dynamics of the false bottom during
seawater freezing // Dokl. Earth Sci. 2008. 419. Р. 359-362.
36. A l e x a n d r o v D . V. , I v a n o v A . A . The Stefan problem of solidification of ternary sys
tems in the presence of moving phase transition regions // J. Exper. Theor. Phys. 2009. 108. Р. 821-
829.
37. A l e x a n d r o v D . V. , M a l y g i n A . P. Convective instability of directional crystallization
in a forced flow: The role of brine channels in a mushy layer on nonlinear dynamics of binary systems //
Int. J. Heat Mass Trans. 2011. 54. Р. 1144-1149.
38. A l e x a n d r o v D . V. , M a l y g i n A . P. Coupled convective and morphological instability
of the inner core boundary of the Earth // Phys. Earth Planet. Inter. 2011. 189. Р. 134-141.
184
Е. А. Титова, Д. В. Александров, П. К. Галенко
Relaxation Time to the Steady<State Growth of Secondary Dendritic Branches
E. A. Titova1, D. V. Alexandrov1, P. K. Galenko1
1Ural Federal University, Mira st., 19, Yekaterinburg, 620002 Russia
In this paper, the expression for the time of reaching the stationary mode of growth of
secondary branches of dendritic crystals is theoretically determined. The dependences of the
time of transition to the stationary mode on the Peclet growth number and the tip growth
rate for nickel and succinonitrile dendrites are plotted. It was shown that during high speed
crystallization, the secondary branches of dendrites enter the steady state growth mode fast
er than in the case of low speed crystallization. The growth of the secondary branches of
dendrites can almost always be considered stationary in cases of low speed, moderate and
high speed crystallization.
Keywords: phase transformations, dendrites, supercooled melt
REFERENCES
1. Chalmers B. Physical Metallurgy. N.Y.: Wiley, 1959.
2. Chernov A.A. Modern Crystallography III. Berlin: Springer, 1984.
3. Trivedi R., Kurz W. Dendritic growth // Int. Mater. Rev. 1994. 39. P. 49-74.
4. Herlach D.M. Non equilibrium solidification of undercooled metallic melts // Mater. Sci. Eng.
R. 1994. 12. Р. 177-272.
5. Alexandrov D.V. The large time behaviour of coarsening of a particulate assemblage due to Ost
wald ripening and coagulation // Phil. Mag. Lett. 2016. 96. P. 355-360.
6. Alexandrov D.V. Kinetics of particle coarsening with allowance for Ostwald ripening and coagu
lation // J. Phys.: Condens. Matter. 2016. 28. P. 035102.
7. Herlach D.M., Galenko P., Holland Moritz D. Metastable solids from undercooled melts //
Amsterdam: Elsevier. 2007. 432 р.
8. Hartmann H., Galenko P.K., Holland Moritz D., Kolbe M., Herlach D.M., Shuleshova O.
Nonequilibrium solidification in undercooled Ti45Al55 melts // J. Appl. Phys. 2008. 103. P. 073509.
9. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Dendrite growth under forced convection: analysis methods and
experimental tests // Phys. Usp. 2014. 57. P. 771-786.
10. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Selection criterion of stable dendritic growth at arbitrary
Péclet numbers with convection // Phys. Rev. E. 2013. 87. Р. 062403.
11. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Thermo solutal and kinetic regimes of an anisotropic dendrite
growing under forced convective flow // Phys.Chem. Chem. Phys. 2015. 17. Р. 19149-19161.
12. Gao J., Han M., Kao A., Pericleous K., Alexandrov D.V., Galenko P.K. Dendritic growth
velocities in an undercooled melt of pure nickel under static magnetic fields: A test of theory with con
vection // Acta Mater. 2016. 103. Р. 184-191.
13. Alexandrov D.V., Danilov D.A., Galenko P.K. Selection criterion of a stable dendrite growth in
rapid solidification // Int. J. Heat Mass Trans. 2016. 101. Р. 789-799.
14. Galenko P.K., Danilov D.A., Reuther K., Alexandrov D.V., Rettenmayr M., Herlach D.M. Ef
fect of convective flow on stable dendritic growth in rapid solidification of a binary // J. Cryst.
Growth. 2017. 457. Р. 349-355.
15. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Selected mode for rapidly growing needle like dendrite con
trolled by heat and mass transport // Acta Mater. 2017. 137. Р. 64-70.
16. Das A.K. Some non Fickian diffusion equations: theory and a pplications // Defect and Diffu
sion Forum 1998. 162. Р. 97-118.
17. Galenko P.K., Danilov D.A. Selection of the dynamically stable regime of rapid solidification
front motion in an isothermal binary alloy // J. Cryst. Growth 2000. 216. Р. 512-526.
18. Langer J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth // Rev. Mod. Phys. 1980. 52.
Р. 1-28.
19. Pelce P., Pomeau Y. Dendrites in the small undercooling limit // Stud. Appl. Math. 1986. 74.
Р. 245-258.
20. Galenko P.K., Danilov D.A., Alexandrov D.V. Solute redistribution around crystal shapes gro
wing under hyperbolic mass transport // Int. J. Heat Mass Trans. 2015. 89. Р. 1054-1060.
Время релаксации к стационарному росту вторичных ветвей дендрита
185
21. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Boundary integral approach for propagating interfaces in a bi
nary non isothermal mixture // Physica A. 2017. 469. Р. 420-428.
22. Galenko P.K., Alexandrov D.V., Titova E.A. The boundary integral theory for slow and rapid
curved solid/liquid interfaces propagating into binary systems // Phil. Trans. R. Soc. A. 2018. 376.
Р. 20170218.
23. Alexandrov D.V., Pinigin D.A. Selection of stable growth conditions for the parabolic dendrite
tip in crystallization of multicomponent melts // Technical Physics. 2013. 58. Р. 309-315.
24. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Selection criterion for the growing dendritic tip at the inner
core boundary // J. Phys. A: Math. Theor. 2013. 46. Р. 195101.
25. Alexandrov D.V., Galenko P.K., Toropova L.V. Thermo solutal and kinetic modes of stable
dendritic growth with different symmetries of crystalline anisotropy in the presence of convection //
Phil. Trans. R. Soc. A. 2018. 376. № 2013. 20170215.
26. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Selected mode of dendritic growth with n fold symmetry in the
presence of a forced flow // EPL. 2017. 119. 16001.
27. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Dendritic growth with the six fold symmetry: Theoretical pre
dictions and experimental verification // J. Phys. Chem. Solids. 2017. 108. 98-103.
28. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Thermo solutal growth of an anisotropic dendrite with six fold
symmetry // J. Phys.: Condens. Matter. 2018. 30. 105702.
29. Barber M.N., Barbieri A., Langer J.S. Dynamics of dendritic sidebranching in the two dimen
sional symmetric model of solidification // Phys. Rev. A. 1987. 36. Р. 3340-3349.
30. Koss M.B., LaCombe J.C., Tennenhouse L.A., Glicksman M.E., Winsa E.A. Dendritic growth
tip velocities and radii of curvature in microgravity // Metall. Mater. Trans. A. 1999. 30A. Р. 3177-
3190.
31. Hultgren R., Desai P.D., Hawkins D.T., Gleiser M., Kelley K.K., Wagman D.D. Selected val
ues of the thermodynamic properties of the elements // Ohio: ASM International, Metals Park. 1973.
32. Gao J., Kao A., Bojarevics V., Pericleous K., Galenko P.K., Alexandrov D.V. Modeling of con
vection, temperature distribution and dendritic growth in glass fluxed nickel melts // J. Cryst.
Growth. 2017. 471. Р. 66-72.
33. Galenko P.K., Phanikumar G., Funke O., Chernova L., Reutzel S., Kolbe M., Herlach D.M.
Dendritic solidification and fragmentation in undercooled Ni-Zr alloys // Mater. Sci. Eng. A. 2007.
449-451. Р. 649-653.
34. Alexandrov D.V., Bashkirtseva I.A., Malygin A.P., Ryashko L.B. Sea Ice Dynamics Induced by
External Stochastic Fluctuations // Pure Appl. Geophys. 2013. 170. Р. 2273-2282.
35. Alexandrov D.V., Nizovtseva I.G. Nonlinear dynamics of the false bottom during seawater
freezing // Dokl. Earth Sci. 2008. 419. Р. 359-362.
36. Alexandrov D.V., Ivanov A.A. The Stefan problem of solidification of ternary systems in the
presence of moving phase transition regions // J. Exper. Theor. Phys. 2009. 108. Р. 821-829.
37. Alexandrov D.V., Malygin A.P. Convective instability of directional crystallization in a forced
flow: The role of brine channels in a mushy layer on nonlinear dynamics of binary systems // Int. J.
Heat Mass Trans. 2011. 54. Р. 1144-1149.
38. Alexandrov D.V., Malygin A.P. Coupled convective and morphological instability of the inner
core boundary of the Earth // Phys. Earth Planet. Inter. 2011. 189. Р. 134-141.
