РАСПЛАВЫ
3 · 2019
УДК 536.421.4
К ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНОГО РОСТА
СФЕРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ ИЗ ПЕРЕОХЛАЖДЕННЫХ РАСПЛАВОВ
И ПЕРЕСЫЩЕННЫХ РАСТВОРОВ
© 2019 г. Д. В. Александровa, *, И. В. Александроваa, А. А. Ивановa,
А. П. Малыгинa, И. О. Стародумовa, Л. В. Тороповаa
aУральский федеральный университет им. Б.Н. Ельцина, кафедра теоретической
и математической физики, Лаборатория многомасштабного математического моделирования,
ул. Мира, 19, Екатеринбург, 620002 Россия
*e7mail: dmitri.alexandrov@urfu.ru
Поступила в редакцию 29.07.2018
После доработки 05.09.2018
Принята к публикации 10.09.2018
В работе излагается теория нестационарного роста сферических кристаллов в пе"
реохлажденных расплавах и пересыщенных растворах. С помощью методов диффе"
ренциальных рядов, разложения неизвестных функций по малому параметру и при"
менения интегрального преобразования Лапласа-Карсона определены первые две
поправки к фундаментальному вкладу в закон для скорости роста кристаллов. Пока"
зано, что найденные поправки существенно изменяют скорости роста сферических
кристаллов в метастабильных жидкостях.
Ключевые слова: фазовые переходы, рост кристаллов, метастабильная жидкость.
DOI: 10.1134/S0235010619030022
ВВЕДЕНИЕ
Особенности процесса нуклеации и роста кристаллов из метастабильной жидкости
(переохлажденного расплава или пересыщенного раствора) определяют динамику по"
лидисперсного ансамбля частиц на различных стадиях протекания фазового превра"
щения, а также микроструктуру затвердевших материалов [1-6]. Фазовый переход в
метастабильной системе может быть условно подразделен на несколько взаимосвя"
занных стадий, отличающихся друг от друга доминирующей ролью тех или иных фи"
зических механизмов или процессов [7]. На начальной стадии система переохлаждена
или пересыщена, зародившихся кристаллитов достаточно мало и они практически не
изменяют ее степень метастабильности (переохлаждение или пересыщение). На про"
межуточной стадии интенсивно происходят процессы нуклеации и роста зародышей,
приводящие к частичной компенсации переохлаждения или пересыщения системы за
счет выделяющейся скрытой теплоты кристаллизации или за счет механизма погло"
щения примеси [8-11]. На заключительной стадии рост частиц уже нельзя рассматри"
вать независимым от соседних частиц. Это приводит к необходимости рассмотрения
процессов коалесценции (оствальдова созревания), коагуляции (аггломерации) и
фрагментации (дезинтеграции) эволюционирующих частиц или агрегатов новой фазы
[12-24]. Кроме вышеуказанных особенностей важное влияние оказывают механизмы
отвода кристаллов, притока примеси или отвода тепла в случае кристаллизаторов
[25⎯27], полимеризация при совместном протекании фазового превращения и поли"
меризации частиц [28], наличие выталкивающей силы, действующей на частицы со
стороны жидкости [29], присутствие внешнего электромагнитного поля [30] и т.п.
220
Д. В. Александров, И. В. Александрова, А. А. Иванов и др.
Обычно при описании процесса фазового превращения на промежуточной стадии
используют квазистационарный закон роста для сферических частиц
β ΔT
β ΔC
dR
dR
=
*
,
=
*
(1)
dt
1+β
q R dt
1+β
q
C
R
* T
*
или эмпирическую формулу [31, 32]
dR
dR
g
= β (ΔT)g ,
= β (ΔC)
(2)
*
*
dt
dt
Первые выражения в формулах (1) и (2) выполняются для переохлажденных рас"
плавов, а вторые - для пересыщенных растворов. Здесь введены следующие обозначе"
ния:
R
- радиус растущей частицы,
t
- время,
- кинетический коэффициент,
ΔT
-
β*
переохлаждение,
ΔC
- пересыщение,
q
= L λ ,
q
=
C
(k
-1)
D,
- скрытая теп"
T
V l
C
p
0
L
V
лота фазового превращения,
λl
- коэффициент теплопроводности,
C
p
- концентра"
ция насыщения раствора,
k
0
- коэффициент распределения примеси,
D
- коэффици"
ент диффузии примеси,
- эмпирическая постоянная. Отметим, что выражения (1) и
g
(2) являются решением стационарных уравнений теплопроводности и диффузии при"
меси [5, 33]. Однако на промежуточной стадии фазового перехода идет интенсивная
нуклеация и частицы растут в условиях сильных переохлаждений (пересыщений). В
таких условиях существенны флуктуации в скоростях роста зародышей, приводящие к
временным изменениям полей температуры и концентрации примеси. Поэтому счи"
тать стационарными температурное и концентрационное поля вокруг растущих кри"
сталлитов не является правильным. Это обстоятельство приводит к необходимости
отыскания нестационарных решений соответствующих задач с подвижными граница"
ми, описывающих рост сферических кристаллов в переохлажденных расплавах и пе"
ресыщенных растворах. Найденные из решения этих задач нестационарные законы
роста кристаллов затем должны быть подставлены в уравнение Фоккера-Планка
(Fokker-Planck) для отыскания функции распределения кристаллов по размерам.
Настоящая работа посвящена вопросу определения скорости роста кристаллитов в
метастабильной жидкости. Сначала дается вывод часто используемых законов роста (1),
следующих из решения стационарных уравнений переноса тепла и массы. Затем излага"
ется теория, позволяющая построить решение нестационарной задачи с помощью мето"
да дифференциальных рядов и преобразования Лапласа-Карсона (Laplace-Carson).
РОСТ КРИСТАЛЛОВ В СТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЯХ ТЕМПЕРАТУРЫ
И КОНЦЕНТРАЦИИ ПРИМЕСИ
Сферические кристаллы в тепловом поле
Рассмотрим рост сферического кристалла радиуса
в переохлажденном распла"
R (t)
ве, описываемый стационарным уравнением теплопроводности в сферической систе"
ме координат
2
∂
T
2∂T
+
=
0,
r
>
R t),
(3)
2
∂r
r ∂r
где
r
- радиальная координата, а
T
- температура в расплаве. Тепловой поток на по"
верхности сферического зародыша, а также разность температур (T
p
- температура
фазового перехода) определяют его скорость роста
dR
λl ∂T
=-
=β
T
−T
,
r
=
R t)
(4)
(
p
)
*
dt
L
V
∂r
К теории нестационарного роста сферических кристаллов
221
ТемператураT вдали от растущего кристалла считается заданной, т.е.
l
T T,
l
r R t)
1.
(5)
Интегрирование уравнения (3) и последующая подстановка решения в граничные
условия (4) и (5) определяют поле температуры и скорость роста зародыша в виде
2
q
β
(
T
−T
)
R t)
β (T
-T
)
T
*
p
l
1
dR
*
p
l
T
(r,t)
=
T
l
+
,
r
>
R t);
=
(6)
1+β
T
q R(t)
r
dt
1+β
qTR
*
*
Вводя обозначение
ΔT
=
T
p
-T
l
легко заметить, что скорости роста (1) и (6) совпадают.
Сферические кристаллы в концентрационном поле
Рассмотрим теперь рост сферического зародыша в концентрационном поле, созда"
ваемом перераспределением растворенной примеси в растворе (при
). Кон"
r > R(t)
центрационное поле C вокруг кристалла будем описывать стационарным уравнением
диффузии примеси
2
∂
C
2∂C
+
=
0,
r
>
R t)
(7)
2
∂
r
r ∂r
Поток массы примеси и разность концентраций определяют граничные условия на
поверхности кристалла
dR
∂C
dR
(1
−
k
0
)C
+
D
=
0,
=β
(
C
−
C
p
)
,
r
=
R t)
(8)
*
dt
∂r
dt
Концентрация примеси вдали от растущей поверхности зародыша считается заданной
C Cl,
r R t)
1.
(9)
Подставляя решение уравнения (7) в граничные условия (8) и (9) можно получить
уравнение для отыскания
Поскольку рост зародышей в приближении ста"
R'= dR dt.
ционарного уравнения диффузии (7) считается медленным, в полученном уравнении
2
можно пренебречь квадратичным членом (членом, пропорциональным
) и опреде"
'
R
лить распределение концентрации и скорость роста частиц в виде
2
β
q
(
C
−
C
)
R
β (C
-
C
)
*
C l
p
dR
*
l
p
C
(r
,t
)
=
C
-
,
r
>
R t)
;
=
(10)
l
(
1
+β
q R)r
dt
1+β
qCR
*
C
*
Если ввести пересыщение
ΔC
=
C
-
C
,
то скорость роста зародышей (10) совпадет со
l
p
скоростью роста (1).
Сферические кристаллы в тепловом и концентрационном поле
Рассмотрим сейчас задачу о росте сферического зародыша в переохлажденном би"
нарном расплаве. Поля температуры и концентрации примеси вокруг растущего кри"
сталла будем описывать стационарными уравнениями (3) и (7). Граничные условия на
поверхности кристалла принимают вид
dR
λl ∂T
D
∂C
=-
=β
(
T C)−
T
)
=
,
r
=
R t)
(11)
p
dt
L
∂r
*
k
−1
C
∂r
V
(
0
)
222
Д. В. Александров, И. В. Александрова, А. А. Иванов и др.
В граничном условии (11) температура фазового переходаT
p
(C)
зависит от концентра"
ции примеси в соответствии с уравнением ликвидус
p
T C)=
T
-
mC,
где
T m обо"
*
*
значают температуру фазового перехода чистого вещества и наклон линии ликвидус.
Вдали от кристалла температуру и концентрацию примеси считаем заданными (усло"
вия (5) и (9)).
Решение уравнений (3) и (7) с граничными условиями (5), (9) и (11) определяет ско"
рость роста сферического зародыша в виде
β
T
dR
*
=
,
(12)
dt
1+β
q R
* T
гдеT при
r = R(t)
удовлетворяет квадратному уравнению
(1− k
)
β
RT
2
0
*
*
AT
−⎡
A
(
T
−T
l
)
+T
⎤T
+T
(
T
−T
l
−mC
l
)
=
0,
A
=
⎣
*
*⎦
*
*
D
(1
+β
q R
)
* T
Оценки, выполненные для металлических сплавов [34-39], показывают, что
A
1
для
−3
-2
R
не превосходящим по порядку величины
10
-10
метра. Приведенное уравнение
наT теперь можно линеаризовать и получить, чтоT
≈
T
-
T
-
l
mC T.
Подставляя
* l
теперь это равенство в скорость роста (12), имеем
β
ΔT
dR
*
=
(13)
dt
1+β
q R
* T
Специально отметим, что в законе роста (13) стоит переохлаждение
бинарной си"
ΔT
стемы.
Важно подчеркнуть, что законы роста (6), (10) и (13) переходят в так называемый
кинетический режим роста кристаллов при
β
1и
β
1
[5].
* TqR
* CqR
РОСТ КРИСТАЛЛОВ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЯХ ТЕМПЕРАТУРЫ
И КОНЦЕНТРАЦИИ ПРИМЕСИ
Поскольку в реальных процессах при росте кристаллов происходит выделение
скрытой теплоты кристаллизации и/или вытеснение растворенной примеси, задачу о
росте изолированного зародыша необходимо решать с учетом нестационарного теп"
лового (концентрационного) поля вокруг него. Ниже рассмотрим такой рост сфериче"
ских кристаллов в тепловой и концентрационной постановках.
Сферические кристаллы в нестационарном тепловом поле
Окружим растущий сферический зародыш радиуса
эквивалентной сферой ра"
R (t)
диуса
Для простоты рассуждений будем пренебрегать критическим радиусом нук"
e
R
леирующих зародышей. Распределение температуры в жидкости, окружающей расту"
щий кристалл, описывается нестационарным уравнением теплопроводности
2
∂
T
2
∂T
1∂T
+
=
,
R t)
<
r
<
R
e
,
(14)
∂r2
r
∂r
a
∂
t
где
a
- коэффициент температуропроводности.
К теории нестационарного роста сферических кристаллов
223
Граничные условия на межфазной поверхности
r = R(t)
и на поверхности эквива"
лентной сферы
r
= Re
имеют вид
dR
λl ∂T
∂T
=-
=β
(T
p
−T),
r
=
R t);
=
0,
r
=
R
e
(15)
*
dt
LV ∂r
∂r
Последнее условие отражает отсутствие теплового потока через поверхность эквива"
лентной сферы.
Для удобства решения задачи введем следующие безразмерные переменные:
r
at
R(t)
ρ=
,
τ=
,
0
ρ τ
=
(16)
2
R
R
R
e
e
e
Задача (14), (15) в безразмерных переменных (16) имеет вид
2
∂
T
2∂T
∂T
+
=
,
0
ρ τ)
<ρ<
1,
(17)
2
∂ρ
ρ ∂ρ
∂τ
dρ
0
∂T
∂T
=-Λ
=β
(
T
−T
)
,
ρ=ρ
0
(τ);
= 0, ρ=
1,
(18)
* p
dτ
∂ρ
∂ρ
где
Λ=λ
(L
a),
β
= Rβ
,
a ρ и
τ
- безразмерные координата и время.
l
V
*
e
*
Решение уравнения (17), удовлетворяющее последнему граничному условию (18),
имеет вид [40]
2n
n
1
∞ (1
-ρ)
1−ρ
d
B
(τ)
T
(
ρ,τ)
=
1−
,
(19)
∑
(
)
n
ρ
(2n)
!
2
n
+1
d
τ
n=0
где
B(τ) = T (1,τ).
Подстановка решения (19) в граничные условия (18) при
ρ = ρ0(τ)
приводит к двум
уравнениям для определения
ρ0(τ)
и
B(τ)
2
n
n
dρ
∞ (1−ρ
)
1
−ρ
d
β τ)
0
0
⎛
0
⎞
ρ
0
0
=ρ β τ)
+
∑
⎜1
-
⎟
,
(20)
n
dτ
(2n
)
!
⎝
2
n
+1⎠
dτ
n=
1
∞
2n-1
n
dρ
(
1
−ρ
)
1−ρ ⎞d β τ
0
0
⎛
0
(
P
ρ0 +
1)
=β τ
-
∑
⎜
1-
⎟
,
(21)
n
dτ
(
2n
−
1)!
⎝
2n
⎠
dτ
n=1
где
β(τ) = [
p
T B(τ)]β ,*
а
P
= β Λ.*
Далее обозначая
β
=β(0)
и оценивая параметр
β0
1
[5], ищем решение системы (20)
0
и (21) в рядах по малому параметру
β0
2
2
ρ0(τ) = β0ϕ1(τ) + β
0
ϕ2(τ) +…, β(τ) = β0ψ1(τ) + β
0
ψ2(τ) +…
(22)
Далее подставляя разложения (22) в уравнения (20) и (21) и приравнивая коэффи"
циенты при одинаковых степеняхβ0, получаем
2
P
τ
ϕ =τ, ψ =1, ϕ
=-
,
ψ =0, ϕ
(0)
= 0, ψ
(0)
=
0,
j
≥
2.
(23)
1
1
2
2
j
j
2
224
Д. В. Александров, И. В. Александрова, А. А. Иванов и др.
Функции
ϕ3(τ)
и
ψ3(τ)
находятся из следующей системы
∞
n
2
⎡
1
1
⎤d
ψ
3
−Pτ
=
∑
−
,
(24)
⎢
2n
!
2n
+1
!⎥
n
n=1
⎣(
)
(
)
⎦
dτ
∞
n
dϕ
3
2
2
1
1
d
ψ
3
⎡
⎤
3
−
P
τ
=ψ3 -
∑
−
(25)
dτ
2
⎢
2
n
−1
!
2
n
⎣(
)
(
n)!⎦ dτ
n=1
Далее применяя преобразование Лапласа-Карсона к системе (24), (25) и учитывая, что
∞
n
∞
n
∞
n
s
s
sinh
s
s
∑
=
cosh
s
-1,
∑
=
-1,
∑
=
s
⋅ sinh
s,
(2n)!
(
2
n
+1
)!
s
(2n
−1)!
n=1
n=1
n=1
получаем
2
2P
(
s
⋅ sinh
s
-
cosh
s
)
*
3P
ϕ
(s)
=
+
,
(26)
3
3
52
s
s
(
s
⋅
cosh
s
−
sinh
s
)
*
2P
ψ
(s)
=
,
(27)
3
32
s
(
s
⋅cosh
s
− sinh
s
)
где
- переменная Лапласа-Карсона, а индекс * обозначает преобразование Лапла"
s
са-Карсона.
Для отыскания оригиналов изображений (26) и (27) преобразуем их правые части
следующим образом
s
⋅
sinh
s
-cosh
s
1
1
*
=-
+
Φ1 (s)Φ*(s),
52
2
s
(
s
⋅ cosh
s
-
sinh
s
)
s
s
1
1
*
*
= Ψ1 (s)Ψ2(s),
32
s
(
s
⋅cosh
s
- sinh
s
)
s
где
*
1
1
*
cosh
s
Φ1 (s)=
-
,
Φ2 (s)=
,
2
s
s
cosh
s
-
sinh
s s
32
*
1
*
s
Ψ1 (s)=
,
Ψ2 (s)=
2
s
s
⋅cosh
s
- sinh
s
Далее учитывая обращения изображений [40, 41]
n
∞
∞
exp
(s
τ
)
s
exp(s
τ)
1
τ
*
6
k
*
k
k
→
,
Φ
2
→ +
2
∑
,
Ψ
2
→3+
2
∑
,
(28)
n
n
!
5
s
sinh
s
s
k=
1
k
k=1
k
где s являются корнями трансцендентного уравнения
k
s
k
cosh
s
k
- sinh
s
k
= 0,
получаем
∞
2
3
⎡
3
⎤
P
τ
τ2 τ
ν
k
(τ)
ϕ τ)
=
+
2
P
⎢
-
-
2
∑
⎥
,
(29)
3
2
2
10
5
μ
⎣
k
=1
k
⎦
К теории нестационарного роста сферических кристаллов
225
∞
2
2
4
2
2exp
(
-μ
k
τ
)
+2μ
k
τ-μ
k
τ
−
2
3
ψ
3
(τ)
=
2P
∑
-Pτ
,
(30)
5
μ
sin(μ
)
k=1
k
k
где
s
k
= iµk,
а коэффициенты
µk
удовлетворяют характеристическому уравнению
µk cos(µk) =
sin
(µk)
и
4
2
1
2
2
1
⎡
μ τ
k
2
2
⎤
ν
=
⎡μkτ-1+
exp
−μkτ
⎤
−
1
+
-μkτ-
exp
−μkτ
k
(
)
⎢
(
)
⎥
4
⎣
⎦
6
μ
k
μk ⎣
2
⎦
j
j
Подставляя теперь решения ϕ и ψ из (23), (29) и (30) в разложения (22), получаем
решение задачи в безразмерных переменных
2
2
β
0
Pτ
3
3
ρ τ)
=β τ-
+β
ϕ τ),
β τ)
=β +β
ψ τ)
(31)
0
0
0
3
0
0
3
2
Переписывая теперь радиус кристаллов в размерных переменных с помощью фор"
мул (16), получаем (здесь переохлаждение
Δ=T
-T
(1,0
))
p
3
2 2
5
33
4
3
5
∞
β
Δ
t
β
Δ
t
2β
Δ
R
⎡
2 2
33
⎤
e
a
t
a
t
ν
k
t)
R t)
=β
Δt
−
*
+
*
+
*
-
-
2
,
(32)
⎢
∑
⎥
*
2
2
4
4
6
2
2aΛ
2a
Λ
a
Λ
10Re 5R
μ
⎣
e
k=1
k
⎦
где
νk
t
определяется соотношением
2
2 2
⎛
⎞⎧
⎡
⎛
μ
at⎞
⎤⎫
1
1
1
k
at
a
t
ν
t)
=
1+
+
exp
-
-1
-
k
2
⎜
2
⎟⎨
2
2
⎢
⎜
2
⎟
⎥⎬
2
4
μ
k
⎝
μ
k
⎠⎩R
e
μ
k
⎣
⎝
R
e
⎠
⎦⎭
2μ
k
R
e
Скорость роста кристаллов
V (t) = dR dt
находится дифференцированием функции (32)
3
2
5
3 2
4
3
5
∞
β
Δ
t
3
β
Δ
t
2
β
Δ
R
⎡
2
3 2
'
⎤
*
*
e
a
t
3a
t
ν
k
t)
V t)
=β
Δ
−
+
+
*
⎢
-
-
2
⎥
(33)
*
2
2
4
4
6
∑
2
a
Λ
2
a
Λ
a
Λ
⎢5R
5R
μ
⎥
e
e
k=
1
k
⎣
⎦
Отметим, что первые два слагаемых в правых частях выражений (32) и (33) соответ"
ствуют основному вкладу и главной поправке разложения по малому параметру. Учи"
тывая это выпишем сейчас основной вклад с главной поправкой в виде
2
2
⎛
β
Δ
t ⎞
⎛
β
Δt⎞
*
*
R t)
=β
Δ
t
⎜1-
⎟
,
V t)
=β
Δ
⎜1-
⎟
(34)
*
⎝
2a
Λ
⎠
*
⎝
a
Λ
⎠
Первый член в выражении (34) для скорости роста зародышей совпадает с числите"
лем формулы (6) (следующего из решения стационарного уравнения теплопроводно"
сти при
β
1
). Второй член в (34) определяет основной поправочный коэффици"
* TqR
ент на нестационарность температурного поля.
-2
Оценивая теперь
β2
~ 10
t
с-1, как типичный случай для металлических
* t (aΛ)
расплавов, заключаем, что второй член в (34) становится весьма значительным на вре"
менах t превосходящих по порядку величины 10 с. после нуклеации отдельно взятой
частицы. Другими словами, часто используемый закон для скорости роста частиц
[2, 8, 25, 28, 42-44] является лишь грубым приближением, которое не учи"
V t)=β Δ
*
тывает нестационарность температурного поля (которая проявляетсяется за счет вы"
деления скрытой теплоты кристаллизации на фронте фазового превращения).
226
Д. В. Александров, И. В. Александрова, А. А. Иванов и др.
Сферические кристаллы в нестационарном концентрационном поле
Проанализируем задачу о нестационарном росте сферического зародыша в пересы"
щенном растворе вводя эквивалентную сферу радиуса
подобно тепловой задаче.
,
e
R
Поле концентрации растворенной примеси описывается нестационарным уравнени"
ем диффузии
2
∂
C
2∂C
1
∂C
+
=
,
R t)
<
r
<
R
e
(35)
2
∂r
r ∂r
D ∂t
Граничные условия на поверхности зародыша (при
r = R(t)) задаются формулами (8).
Граничное условие на поверхности эквивалентной сферы принимает вид
∂C
=
0,
r
=
R
e
(36)
∂r
Для решения задачи введем безразмерные переменные (отличающиеся от тепловой
задачи, от формул (16)) следующим образом
r
Dt
R(t)
ρ=
,
τ=
,
ρ τ0
=
(37)
2
R
R
R
e
e
e
Модель (8), (35), (36) в безразмерных переменных (37) принимает вид
2
∂
C
2∂C
∂
C
+
=, <ρ<0
ρ τ)
1,
(38)
2
∂ρ
ρ ∂ρ
∂τ
dρ
0
∂C
dρ
0
∂C
(1−
k
)C
+
=
0,
=ˆ
(
C
−
C
)
,
ρ=ρ τ);
= 0, ρ=
1,
(39)
0
p
0
*
dτ
∂ρ
dτ
∂ρ
где
ˆ
= Rβ
e
D
*
*
Важно отметить, что концентрационная постановка задачи (38), (39) существенно
отличается от тепловой постановки (17), (18). Главное отличие состоит в различных
граничных условиях при
А именно, в концентрационной постановке стоит
ρ = ρ0(τ).
нелинейный член
в то время как в тепловой задаче
входит в граничное
Cd dτ,
d dτ
условие (18) линейным образом. Далее показано, что наличие такого различия суще"
ственно изменит решение задачи для скорости роста зародышей.
Решением уравнения (38), удовлетворяющим граничному условию (39) при
ρ = 1,
является функция
2n
n
1
∞ (
1-ρ)
1
−ρ
d
B
(τ
)
C
(ρ,τ)
=
1−
,
(40)
∑
(
)
n
ρ
(2n)!
2n
+
1
dτ
n=0
где
B(τ) = C (1,τ).
Далее подставляя выражение (40) в граничные условия (39) при
ρ = ρ0(τ),
получаем
систему нелинейных уравнений
2n
n
d
ρ
∞ (1−ρ
)
1−ρ
d
β(τ)
0
0
⎛
0
⎞
ρ
0
=ρ
0
β τ)
+
∑
⎜1
-
⎟
,
(41)
n
dτ
(2n)!
⎝
2
n
+1⎠dτ
n=1
2
∞
2n-1
n
ρ0 ⎛dρ
0
⎞
dρ
0
(
1−ρ
0
)
⎛
1
−ρ
0
⎞d
β τ)
⎜
⎟
+
(P
C
ρ
0
−1)
+β τ)
=
∑
⎜1-
⎟
,
(42)
n
Λ
⎝ dτ⎠
dτ
(2n
−
1)!
⎝
2n
⎠ dτ
C
n=1
К теории нестационарного роста сферических кристаллов
227
1
гдеβ(τ) = [B(τ) -
C
p
]ˆ ,*
P
C
=ˆ
C
p
Λ
C
,
Λ
C
=
(1−
k
0
)-
Отметим отличие уравнений (21)
*
и (42) (тепловой и концентрационной постановок задач).
Неизвестные функции
ρ0(τ)
и
β(τ)
ищем в виде рядов по малому параметру
β
0
=β(0)
2
2
ρ0(τ) = β0ϕ1(τ) + β
ϕ2(τ) +…, β(τ) = β0ψ1(τ) + β
ψ2(τ) +…
(43)
0
0
Начальные условия для определения неизвестных функций
ϕj(τ)
и
ψj(τ)
записыва"
ются в виде
ψ1(0)=1, ϕj(0)=
0,
j
≥1; ψj(0)=
0,
j
≥
2,
(44)
где первое условие следует изβ(0) = β0.
Подставляя теперь разложения (43) в уравнения (41) и (42), приравнивая коэффи"
циенты при одинаковых степеняхβ и учитывая граничные условия (44), получаем
0
2
P
C
τ
1
ϕ =τ, ψ =1, ϕ
1
2
=
,
2
ψ =
0.
(45)
2
Следующие члены разложения
ϕ3(τ)
и
ψ3(τ)
определяются уравнениями
∞
n
2
⎡
1
1
⎤d
ψ
3
P
C
τ
=
∑
−
,
(46)
⎢
⎥
n
⎣(2n)!
(2n
+1
)
!⎦
dτ
n=1
∞
n
3
2
2
τ
d
ϕ
3
⎡
1
1
⎤
d
ψ
3
P
C
τ
+
-
+ψ
3
=
∑
−
(47)
⎢
n
2
Λ
C
dτ
⎣(2
n
−1
)!
(
2n)!⎦ d
τ
n=1
Применим для решения системы (46) и (47) преобразование Лапласа-Карсона по
аналогии с приведенным выше методом решения тепловой задачи. Опуская детали
выпишем ниже окончательные решения в пространстве образов
2
2P
(
ssinh
s
−
cosh
s
)
*
3P
C
1
C
ϕ
(s)
=
+
-
,
(48)
3
3
2
52
s
Λ
C
s
s
(
scosh
s
−
sinh
s
)
*
2P
C
ψ
3
(s)
=
,
(49)
32
s
(
s
cosh
s
-
sinh
s
)
где
- переменная Лапласа-Карсона, а индекс * обозначает преобразование Лапла"
s
са-Карсона.
Для применения обратного преобразования Лапласа-Карсона к решениям (48) и
(49) воспользуемся методом, изложенным выше при решении тепловой задачи. В ито"
ге получаем
2
3
∞
2
⎡
3
⎤
P
C
τ
τ
τ2 τ
k
ν τ)
3
ϕ τ)
=
+
-
2P
C
⎢
-
-
2
∑
⎥
,
(50)
2
2
2
Λ
10
5
μ
C
⎣
k
=1
k
⎦
∞
2
2
4
2
2exp
(
-μ
k
τ
)
+2μ
k
τ-μ
k
τ
−
2
3
ψ
3
(
τ)
=PCτ -
2
P
C
∑
,
(51)
5
μ
sin
(
μ
)
k=
1
k
k
где снова введено обозначение
s
= iµ ,
а коэффициенты µ и
νk(τ)
определяются теми
k
k
k
же формулами, что и в тепловой задаче (сравнить с выводом выражений (29) и (30)).
228
Д. В. Александров, И. В. Александрова, А. А. Иванов и др.
Комбинируя теперь выражения (37), (40), (43), (45), (50) и (51), находим динамиче"
ские зависимости для размерного радиуса растущего кристалла
R (t)
и его скорости
V (t),
а также распределение концентрации примеси
C (t)
и функцию
B (t)
для диффу"
зионной задачи
3
2 2
2
2
5
33
(1-
k
0
)C
p
β
Δ
t
(1−
k
0
)
C
p
β
Δ
t
*
*
R t)
=β
Δt
+
+
+
*
2
2D
2D
(52)
3
3 2
4
3
5
∞
(1-k )β
Δ
t
2(1-
k
)C
β
Δ
R
⎡
2 2
33
⎤
0
*
0
p
*
e
D
t
D
t
ν
k
t)
+
-
⎢
-
-2
∑
⎥ ,
4
4
6
2
2D
D
10Re 5R
μ
⎣
e
k
=1
k
⎦
3
2
2
2
5
3 2
3
3
(1−
k
0
)
C
p
β
Δ
t
3(1−
k
0
)
C
p
β
Δ
t
(
1−
k
0
)β
Δ
t
*
*
*
V t)
=β
Δ
+
+
+
-
*
2
D
2D
D
4
3
5
∞
(53)
2(1-
k
)
C
β
Δ
R
⎡
2
3 2
'
⎤
0
p
*
e
D
t
3D
t
ν
k
t)
−
⎢
-
-
2
⎥ ,
4
4
6
∑
2
D
⎢
5
R
5R
μ
⎥
⎣
e
e
k
=1
k
⎦
∞
2n+1
2n
n
R
(1-
r R
)
1
−
r R
d
B t)
⎛
⎞
1
e
e
e
C(
R,
t)
=
∑
⎜1-
⎟
,
(54)
n
r
Dn(2n)!
⎝
2n
+1
⎠
dt
n=0
3
3
3
∞
(1-
k
)C
R
β
Δ
⎛
33
⎞
0
p e
*
D
t
λ
k
t)
B t)
=
B
(0)
+
⎜
+
2
⎟
(55)
3
⎜
6
∑
5
⎟
D
R
μ
sin(μ
)
⎝
e
k
=
1
k
k
⎠
Здесь введены следующие обозначения:
2
4
2 2
2
2μ
Dt
μ
D
t
⎛
μ
Dt⎞
k
k
k
Δ
=
C(
R
e
,0) −
C
p
,
λ
k
t)
=
2
-
+
-
2exp⎜-
⎟,
2
4
2
R
e
R
e
⎝
R
e
⎠
2
2
4
2 2
2
2
⎡
μ
Dt
⎛
μ
Dt⎞⎤
⎡
μ
D
t
μ
Dt
⎛
μ
Dt⎞⎤
1
k
k
1
k
k
k
ν
k
t)
=
⎢
-
1
+
exp
⎜-
⎟⎥
-
⎢1
+
-
-
exp⎜-
⎟⎥
4
2
2
6
4
2
2
μ
k
⎣
R
e
⎝
R
e
⎠⎦
μ
k
⎣
2R
e
R
e
⎝
R
e
⎠⎦
Выражения (52)-(55) полностью определяют приближенное решение задачи о ро"
сте сферического зародыша в пересыщенном растворе. Важно отметить, что при неза"
висимом друг от друга росте кристаллов, концентрация примеси
соответствует
(
, 0)
e
C
R
средней концентрации примесиC и пересыщениеΔ совпадает с введенным выше пе"
l
ресыщением
ΔC
=
C
-
C
l
p
Если ограничиться первыми двумя членами разложения по параметруβ0,то форму"
лы (52) и (53) примут более простой вид
2
2
⎛
1
−
k
C
β
Δt⎞
⎛
1
−
k
C
β
Δt⎞
(
0
)
p
(
0
)
p
*
*
R t)
=β
Δ
t
⎜1+
⎟
,
V t)
=β
Δ⎜1+
⎟
(56)
*
⎝
2
D
⎠
*
⎝
D
⎠
Отметим, что основной вклад (первое слагаемое) в выражении (56) для
V (t)
соответ"
ствует числителю формулы (10) для скорости роста кристаллов в стационарном кон"
-
5
−9
центрационном поле. Далее оценивая
β
C
~
β
Δ
~ 10
м/с и
D ~10
м2/с, приходим
*
p
*
к заключению, что роль вторых слагаемых в скобках выражений (56) становится зна"
чительной на временах t больше или порядка 10 с. Это означает, что часто используе"
К теории нестационарного роста сферических кристаллов
229
100
0.9
70
0.8
40
0.7
0
2
4
6
8
10
t, с
Рис. 1. Безразмерная скорость роста кристаллов
в зависимости от размерного времени t при
u V (β*Δ)
различных значениях безразмерного параметра
(числа у кривых, размерность секунды).
(
)
=aΛ
β Δ2
0
t
*
мое приближение для скорости роста кристаллов
необходимо корректиро"
V t) = β Δ*
вать в соответствии со второй формулой (56) или более общим законом роста (53).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей статье развито теоретическое описание нестационарного роста сфери"
ческих зародышей в переохлажденных расплавах и пересыщенных растворах. Найде"
ны первые две поправки к фундаментальным решениям для динамических зависимо"
стей радиуса и скорости роста сферических кристаллов (выражения (32) и (33) для
тепловой задачи и выражения (52) и (53) для концентрационной задачи). Рис. 1 пока"
зывает влияние первой поправки к безразмерной скорости
роста
u t)=V (βΔ)=
-
0
1
t t
*
сферических кристаллов в рамках тепловой задачи (в соответствии с формулой (34)). Из
расчетных зависимостей видно, что на временах порядка 10 с первая поправка оказы"
вает определяющее влияние (скорость роста кристаллов
сильно отклоняется от
u (t)
единицы, представляющей собой фундаментальное решение в безразмерном виде).
При дальнейшем увеличении времени t, которое отсчитывается от момента зарожде"
ния отдельно взятого зародыша, скорость роста будет претерпевать более существен"
ное отклонение. Такое поведение скорости роста при рассмотрении полидисперсного
ансамбля частиц будет сказываться кардинальным образом на функции распределе"
ния кристаллов по размерам, которая через кинетическое уравнение зависит, как от
скорости роста кристаллов
так и от переохлаждения/пересыщения
метаста"
V (t),
Δ(t)
бильной жидкости.
Учитывая это представляется важным обобщить теорию промежуточной стадии фа"
зовых переходов [5, 7, 9, 10, 26-30, 45, 46] с учетом найденных в растоящей работе не"
стационарных вкладов (33) и (53) в скорости роста зародышей.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант
18"19"00008).
230
Д. В. Александров, И. В. Александрова, А. А. Иванов и др.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Z e t t l e m o y e r A . C . Nucleation // New York: Dekker. 1969.
2. M u l l i n J . W. Crystallization // London: Butterworths. 1972.
3. H e r l a c h D . , G a l e n k o P. , H o l l a n d " M o r i t z D . Metastable Solids from Under"
cooled Melts // Amsterdam: Elsevier. 2007.
4. B u y e v i c h Yu . A . , A l e x a n d r o v D . V. On the theory of evolution of particulate systems //
IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. 2017. 192. P. 012001.
5. A l e x a n d r o v D . V. , M a l y g i n A . P. Transient nucleation kinetics of crystal growth at
the intermediate stage of bulk phase transitions // J. Phys. A: Math. Theor. 2013. 46. P. 455101.
6. D u b r o v s k i i V. G . Nucleation Theory and Growth of Nanostructures // Berlin: Springer.
2014.
7. A l e x a n d r o v D . V. , N i z o v t s e v a I . G . Nucleation and particle growth with fluctuating
rates at the intermediate stage of phase transitions in metastable systems // Proc. R. Soc. A. 2014. 470.
P. 20130647.
8. B u y e v i c h Yu . A . , M a n s u r o v V. V. Kinetics of the intermediate stage of phase transi"
tion in batch crystallization // J. Cryst. Growth. 1990. 104. P. 861-867.
9. A l e x a n d r o v D . V. , M a l y g i n A . P. Nucleation kinetics and crystal growth with fluctu"
ating rates at the intermediate stage of phase transitions // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 2014.
22. P. 015003.
10. Al e x a n d r o v D . V. On the theory of transient nucleation at the intermediate stage of phase
transitions // Phys. Lett. A. 2014. 378. P. 1501-1504.
11. B a r l o w D . A . Theory of the intermediate stage of crystal growth with applications to insulin
crystallization // J. Cryst. Growth. 2017. 470. P. 8-14.
12. L i f s h i t z I . M . , S l y o z o v V. V. 1961 The kinetics of precipitation from supersaturated
solid solutions // J. Phys. Chem. Solids. 1961. 19. P. 35-50.
13. L i f s h i t z E . M . , P i t a e v s k i i L . P. Physical Kinetics // Oxford: Pergamon. 1981.
14. H u n t J . R . Self"similar particle"size distributions during coagulation: theory and experi"
mental verification // J. Fluid Mech. 1982. 122. P. 169-185.
15. E n o m o t o Y. , O k a d a A . Effects of Brownian coagulation on droplet growth in a
quenched fluid mixture // J. Phys.: Condens. Matter. 1990. 2. P. 4531-4535.
16. М а н с у р о в В . В . , А л я б ь е в а А . В . Кинетика укрупнения частиц в золях при
совместном протекании процессов перегонки и коагуляции // Коллоидный журнал. 1992. 54.
С. 3-6.
17. A l y a b ’ e v a A . V. , B u y e v i c h Yu . A . , M a n s u r o v V. V. Evolution of a particulate
assemblage due to coalescence combined with coagulation // J. Phys. II France. 1994. 4. P. 951-957.
18. S i m o n s S . On steady"state solutions of the coagulation equation // J. Phys. A: Math. Gen.
1996. 29. P. 1139-1140.
19. A l e x a n d r o v D . V. On the theory of Ostwald ripening: formation of the universal distribu"
tion // J. Phys. A: Math. Theor. 2015. 48. P. 035103.
20. A l e x a n d r o v D . V. The large"time behaviour of coarsening of a particulate assemblage due
to Ostwald ripening and coagulation // Phil. Mag. Lett. 2016. 96. P. 355-360.
21. A l e x a n d r o v D . V. Kinetics of particle coarsening with allowance for Ostwald ripening and
coagulation // J. Phys.: Condens. Matter. 2016. 28. P. 035102.
22. A l e x a n d r o v D . V. On the theory of Ostwald ripening in the presence of different mass
transfer mechanisms // J. Phys. Chem. Solids. 2016. 91. P. 48-54.
23. A l e x a n d r o v D . V. A transient distribution of particle assemblies at the concluding stage of
phase transformations // J. Mater. Science. 2017. 52. P. 6987-6993.
24. A l e x a n d r o v D . V. Kinetics of diffusive decomposition in the case of several mass transfer
mechanisms // J. Cryst. Growth. 2017. 457. P. 11-18.
25. B u y e v i c h Yu . A . , M a n s u r o v V. V. , N a t a l u k h a I . A . Instability and unsteady
processes of the bulk continuous crystallization - I. Linear stability analysis // Chem. Eng. Sci. 1991.
46. P. 2573-2578.
26. A l e x a n d r o v D . V. Nucleation and crystal growth kinetics during solidification: The role
of crystallite withdrawal rate and external heat and mass sources // Chem. Eng. Sci. 2014. 117. P. 156-
160.
К теории нестационарного роста сферических кристаллов
231
27. M a k o ve e v a E . V. , A l e x a n d r o v D . V. A complete analytical solution of the Fokker-
Planck and balance equations for nucleation and growth of crystals // Phil. Trans. R. Soc. A. 2018. 376
(2113). P. 20170327.
28. B u y e v i c h Yu . A . , N a t a l u k h a I . A . Unsteady processes of combined polymerization
and crystallization in continuous apparatuses // Chem. Eng. Sci. 1994. 49. P. 3241-3247.
29. A l e x a n d r o v D . V. Mathematical modelling of nucleation and growth of crystals with
buoyancy effects // Phil. Mag. Lett. 2016. 96. P. 132-141.
30. I v a n o v A . O . , Z u b a r e v A . Yu . Non"linear evolution of a system of elongated droplike
aggregates in a metastable magnetic fluid // Physica A. 1998. 251. P. 348-367.
31. S t r i c k l a n d " C o n s t a b l e R . F. Kinetics and Mechanisms of Crystallization // London:
Academic Press. 1968.
32. B e n n e m a P. Theory and experiment for crystal growth from solutions: Implications for in"
dustrial crystallization. In: Industrial Crystallization. London: Plenum Press. 1976. P. 91-112.
33. A l e x a n d r o v D . V. Nucleation and crystal growth in binary systems // J. Phys. A: Math.
Theor. 2014. 47. P. 125102.
34. C h a l m e r s B . Physical Metallurgy // New York: Wiley. 1959.
35. S k r i p o v V. P. Metastable Liquids // New York: Wiley. 1974.
36. C h e r n o v A . A . Modern Crystallography III // Berlin: Springer. 1984.
37. A l e x a n d r o v D . V. Solidification with a quasiequilibrium two"phase zone // Acta Mater.
2001. 49. P. 759-764.
38. A s e e v D . L . , A l e x a n d r o v D . V. Nonlinear dynamics for the solidification of binary
melt with a nonequilibrium two"phase zone // Phys. Dokl. 2006. 51. P. 291-295.
39. A s e e v D . L . , A l e x a n d r o v D . V. Directional solidification of binary melts with a non"
equilibrium mushy layer // Int. J. Heat Mass Transfer. 2006. 49. P. 4903-4909.
40. Л ю б о в Б . Я . Теория кристаллизации в больших объемах // М: Наука. 1975.
41. D i t k i n V. A . , P r u d n i k o v A . P. Integral Transforms and Operational Calculus //
New York: Pergamon. 1965.
42. K i r k a l d y J . S . , Yo u n g D . J . Diffusion in Condensed State // London: Institute of
Metals. 1987.
43. M a n s u r o v V. V. The nonlinear dynamics of solidification of a binary melt with a nonequi"
librium mushy region // Math. Comput. Modelling. 1990. 14. P. 819-821.
44. B a r l o w D . A . , B a i r d J . K . , S u C . " H . Theory of the von Weimarn rules governing
the average size of crystals precipitated from a supersaturated solution // J. Cryst. Growth. 2004. 264.
P. 417-423.
45. A l e x a n d r o v D . V. , M a l y g i n A . P. Flow"induced morphological instability and solid"
ification with the slurry and mushy layers in the presence of convection // Int. J. Heat Mass Trans.
2012. 55. P. 3196-3204.
46. A l e x a n d r o v D . V. , M a l y g i n A . P. Coupled convective and morphological instability
of the inner core boundary of the Earth // Phys. Earth Planet. Inter. 2011. 189. P. 134-141.
On the Theory of Nonstationary Growth of Spherical Crystals
from Supercooled Melts and Supersaturated Solutions
D. V. Alexandrov1, I. V. Alexandrova1, A. A. Ivanov1, A. P. Malygin1,
I. O. Starodumov1, L. V. Toropova1
1Ural Federal University, Department of theoretical and mathematical physics,
Laboratory of Multi7Scale Mathematical Modeling,
Mira st., 19, Yekaterinburg, 620002 Russia
The paper presents a theory of the unsteady growth of spherical crystals in supercooled
melts and supersaturated solutions. Using the methods of differential series, expansion of
unknown functions in a small parameter, and the application of the integral Laplace-Car"
son transform, the first two corrections to the fundamental contribution to the law for the
crystal growth rate were determined. It is shown that the corrections found substantially
change the growth rates of spherical crystals in metastable liquids.
Keywords: phase transitions, crystal growth, metastable liquid
232
Д. В. Александров, И. В. Александрова, А. А. Иванов и др.
REFERENSES
1. Zettlemoyer A.C. Nucleation // New York: Dekker. 1969.
2. Mullin J.W. Crystallization // London: Butterworths. 1972.
3. Herlach D., Galenko P., Holland"Moritz D. Metastable Solids from Undercooled Melts // Amster"
dam: Elsevier. 2007.
4. Buyevich Yu.A., Alexandrov D.V. On the theory of evolution of particulate systems // IOP Conf.
Series: Materials Science and Engineering. 2017. 192. P. 012001.
5. Alexandrov D.V., Malygin A.P. Transient nucleation kinetics of crystal growth at the intermedi"
ate stage of bulk phase transitions // J. Phys. A: Math. Theor. 2013. 46. P. 455101.
6. Dubrovskii V.G. Nucleation Theory and Growth of Nanostructures // Berlin: Springer. 2014.
7. Alexandrov D.V., Nizovtseva I.G. Nucleation and particle growth with fluctuating rates at the
intermediate stage of phase transitions in metastable systems // Proc. R. Soc. A.
2014.
470.
P. 20130647.
8. Buyevich Yu.A., Mansurov V.V. Kinetics of the intermediate stage of phase transition in batch
crystallization // J. Cryst. Growth. 1990. 104. P. 861-867.
9. Alexandrov D.V., Malygin A.P. Nucleation kinetics and crystal growth with fluctuating rates at
the intermediate stage of phase transitions // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 2014. 22. P. 015003.
10. Alexandrov D.V. On the theory of transient nucleation at the intermediate stage of phase tran"
sitions // Phys. Lett. A. 2014. 378. P. 1501-1504.
11. Barlow D.A. Theory of the intermediate stage of crystal growth with applications to insulin
crystallization // J. Cryst. Growth. 2017. 470. P. 8-14.
12. Lifshitz I.M., Slyozov V.V. 1961 The kinetics of precipitation from supersaturated solid solu"
tions // J. Phys. Chem. Solids. 1961. 19. P. 35-50.
13. Lifshitz E.M., Pitaevskii L.P. Physical Kinetics // Oxford: Pergamon. 1981.
14. Hunt J.R. Self"similar particle"size distributions during coagulation: theory and experimental
verification // J. Fluid Mech. 1982. 122. P. 169-185.
15. Enomoto Y., Okada A. Effects of Brownian coagulation on droplet growth in a quenched fluid
mixture // J. Phys.: Condens. Matter. 1990. 2. P. 4531-4535.
16. Mansurov V.V., Alyab’eva A.V. The kinetics of enlargement of particles in sols with the simulta"
neous process of distillation and coagulation [Kinetika ukrupneniya chastits v zolyakh pri sovmestnom
protekanii protsessov peregonki i koagulyatsii] // Kolloidnyy zhurnal. 1992. 54. P. 3-6. [In Rus.].
17. Alyab’eva A.V., Buyevich Yu.A., Mansurov V.V. Evolution of a particulate assemblage due to
coalescence combined with coagulation // J. Phys. II France. 1994. 4. P. 951-957.
18. Simons S. On steady"state solutions of the coagulation equation // J. Phys. A: Math. Gen.
1996. 29. P. 1139-1140.
19. Alexandrov D.V. On the theory of Ostwald ripening: formation of the universal distribution //
J. Phys. A: Math. Theor. 2015. 48. P. 035103.
20. Alexandrov D.V. The large"time behaviour of coarsening of a particulate assemblage due to Os"
twald ripening and coagulation // Phil. Mag. Lett. 2016. 96. P. 355-360.
21. Alexandrov D.V. Kinetics of particle coarsening with allowance for Ostwald ripening and coag"
ulation // J. Phys.: Condens. Matter. 2016. 28. P. 035102.
22. Alexandrov D.V. On the theory of Ostwald ripening in the presence of different mass transfer
mechanisms // J. Phys. Chem. Solids. 2016. 91. P. 48-54.
23. Alexandrov D.V. A transient distribution of particle assemblies at the concluding stage of phase
transformations // J. Mater. Science. 2017. 52. P. 6987-6993.
24. Alexandrov D.V. Kinetics of diffusive decomposition in the case of several mass transfer mech"
anisms // J. Cryst. Growth. 2017. 457. P. 11-18.
25. Buyevich Yu.A., Mansurov V.V., Natalukha I.A. Instability and unsteady processes of the bulk
continuous crystallization - I. Linear stability analysis // Chem. Eng. Sci. 1991. 46. P. 2573-2578.
26. Alexandrov D.V. Nucleation and crystal growth kinetics during solidification: The role of crys"
tallite withdrawal rate and external heat and mass sources // Chem. Eng. Sci. 2014. 117. P. 156-160.
27. Makoveeva E.V., Alexandrov D.V. A complete analytical solution of the Fokker-Planck and
balance equations for nucleation and growth of crystals // Phil. Trans. R. Soc. A. 2018. 376 (2113).
P. 20170327.
28. Buyevich Yu.A., Natalukha I.A. Unsteady processes of combined polymerization and crystalli"
zation in continuous apparatuses // Chem. Eng. Sci. 1994. 49. P. 3241-3247.
К теории нестационарного роста сферических кристаллов
233
29. Alexandrov D.V. Mathematical modelling of nucleation and growth of crystals with buoyancy
effects // Phil. Mag. Lett. 2016. 96. P. 132-141.
30. Ivanov A.O., Zubarev A.Yu. Non"linear evolution of a system of elongated droplike aggregates
in a metastable magnetic fluid // Physica A. 1998. 251. P. 348-367.
31. Strickland"Constable R.F.: Kinetics and Mechanisms of Crystallization // London: Academic
Press. 1968.
32. Bennema P. Theory and experiment for crystal growth from solutions: Implications for indus"
trial crystallization. In: Industrial Crystallization. London: Plenum Press. 1976. P. 91-112.
33. Alexandrov D.V. Nucleation and crystal growth in binary systems // J. Phys. A: Math. Theor.
2014. 47. P. 125102.
34. Chalmers B. Physical Metallurgy // New York: Wiley. 1959.
35. Skripov V.P. Metastable Liquids // New York: Wiley. 1974.
36. Chernov A.A. Modern Crystallography III // Berlin: Springer. 1984.
37. Alexandrov D.V. Solidification with a quasiequilibrium two"phase zone // Acta Mater. 2001.
49. P. 759-764.
38. Aseev D.L., Alexandrov D.V. Nonlinear dynamics for the solidification of binary melt with a
nonequilibrium two"phase zone // Phys. Dokl. 2006. 51. P. 291-295.
39. Aseev D.L., Alexandrov D.V. Directional solidification of binary melts with a nonequilibrium
mushy layer // Int. J. Heat Mass Transfer. 2006. 49. P. 4903-4909.
40. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах // М: Наука. 1975.
41. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Integral Transforms and Operational Calculus // New York: Per"
gamon. 1965.
42. Kirkaldy J.S., Young D.J.: Diffusion in Condensed State // London: Institute of Metals. 1987.
43. Mansurov V.V. The nonlinear dynamics of solidification of a binary melt with a nonequilibrium
mushy region // Math. Comput. Modelling. 1990. 14. P. 819-821.
44. Barlow D.A., Baird J.K., Su C."H. Theory of the von Weimarn rules governing the average size
of crystals precipitated from a supersaturated solution // J. Cryst. Growth. 2004. 264. P. 417-423.
45. Alexandrov D.V., Malygin A.P. Flow"induced morphological instability and solidification with
the slurry and mushy layers in the presence of convection // Int. J. Heat Mass Trans. 2012. 55.
P. 3196-3204.
46. Alexandrov D.V., Malygin A.P. Coupled convective and morphological instability of the inner
core boundary of the Earth // Phys. Earth Planet. Inter. 2011. 189. P. 134-141.
