ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2019, том 82, № 1, с. 87-90
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПРИ РАССЕЯНИИ МЕДЛЕННЫХ
ЧАСТИЦ С НЕНУЛЕВЫМИ МОМЕНТАМИ
НА ПОТЕНЦИАЛЕ ПЕШЛЯ-ТЕЛЛЕРА
© 2019 г. Ю. М. Брук*
Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва, Россия
Поступила в редакцию 09.06.2018 г.; после доработки 09.06.2018 г.; принята к публикации 09.06.2018 г.
Рассмотрена ситуация для рассеяния медленных частиц с ненулевыми орбитальными моментами и с
ограниченным потенциалом. Решается задача в приближении Пайса. Построено решение обратной
задачи для уравнения Пешля-Теллера, сформулирована общая схема для пайсовских резонансов и
методика вычислений сечений рассеяния резонансных частиц.
DOI: 10.1134/S0044002718060077
1. ВВЕДЕНИЕ
пользуемся системой единиц, в которой удвоенная
масса частицы 2m и постоянная Планка ℏ равны
Задачи о вычислениях характеристик и сечений
единице.
рассеяния медленных частиц с ненулевыми мо-
Вывод уравнения Пайса вариационным путем
ментами в последние годы научились эффективно
изложен в работах
[1, 3, 5, 6]. Другой вывод (1)
решать, используя интегро-функциональное урав-
предложен Титцем и воспроизведен в [2, 9]. Проце-
нение Пайса [1]. Такое уравнение было получено
дура вычисления произвольных фаз (решения (1))
вариационным методом еще в середине прошлого
описана в [3, 4]. Если фазы δl ≪ 1, то уравнение (1)
века, но оказалось надолго забытым. Эта явная
переходит в уравнение Борна
несправедливость была исправлена в работах [2-
∞
∫
6] и сейчас уже не пугает ни своей нетривиально-
π
δl = -
U (r)J2
(kr)rdr.
(2)
стью, ни математическими сложностями. Автору,
l+1
2
2
тем не менее, известно всего две книги по кванто-
0
вой механике, где приведено уравнение Пайса [7,
Существует, однако, принципиальное различие
8]. Решения этого уравнения в указанных книгах,
приближений Пайса и Борна. Последнее, будучи
однако, не обсуждаются. Около двух лет назад
следствием теории возмущений, годится только для
в ЖЭТФ опубликованы еще две статьи [9, 10],
малых значений δl и уж во всяком случае не мо-
идейно близкие к настоящей работе.
жет описывать резонансные ситуации. Пайсовское
Первоначально записанное в
[1] уравнение
приближение можно эффективно использовать для
Пайса выглядит так:
резонансных случаев. Дальше мы будем отыски-
π
2l + 1 -2π δl
вать возможные решения при δl ∼ 1 (или
) при
·δl =
(1)
2
2l + 1 -4δl
kα ≪ 1. Здесь α — эффективный радиус потен-
π
∞
циала. Этому и будет посвящена данная работа.
∫
π
В следующем разделе мы сформулируем общую
=-
U (r)J2
(kr)rdr.
l+1-2
δl
схему классификации допустимых значений резо-
2
2
π
0
нансных фаз δresl рассеяния на короткодейству-
ющих потенциалах при низких энергиях рассеи-
Здесь l — момент рассеивающейся частицы,
вающихся частиц и при ненулевых орбитальных
δl — фаза рассеяния, U(r) — потенциал, k2 —
моментах. Одновременно рассматривается ситуа-
энергия частицы, J2μ(kr) — квадрат бесселевой
ция для подобных же вычислений для парциаль-
PRE
1
2
ных фаз δl
(эффектов Рамзауэра — ПЭР, partial
функции с индексом μ = l +
-
δl. Существенно,
2
π
Ramsauer effects — PRE). В случае резонансов
что фаза δl включена в индекс μ, а l = 0. Мы
π
фазы δresl =
(modπ), для ПЭР-фазы δPREl = nπ
2
*E-mail: yubruk@gmail.com
(n — целые числа).
87
88
БРУК
Поэтому последние не дадут вклада в сечение
Таблица
рассеяния.
№
l
δl
μ
2μ
2. КЛАССИФИКАЦИЯ РЕЗОНАНСОВ
π
1
И ПЭР-ФАЗ В ПАЙСОВСКОМ
1
1
1
ПРИБЛИЖЕНИИ
2
2
π
3
Для сходимости интеграла в уравнении Пай-
2
2
3
2
2
са (1) потребуем, чтобы индекс функции Бесселя μ
был положительным, т.е. чтобы
1
3
2
π
1
1
2
2
μ=l+
-
δl > 0.
(3)
π
5
2
π
4
3
5
2
2
Но это означает, что при l = 1 может быть
π
3
только один резонанс
, при l = 2 может быть один
5
3
π
3
2
2
π
3π
1
резонанс
и одна фаза δPRE2 = π, при l = 3 есть
6
3
1
2
2
2
π
3π
три интересующие нас точки: резонансы
и
и
2
2
одна фаза δPRE3 = π и т.д.
первым членом разложения (4). При этом получа-
Заметим, что здесь происходит чередование для(
ется при n = 0 асимптотика
π)
фаз: в интервале
0,
есть резонанс, в интер-
(kr)2μ
1
(
)
2
J2μ(kr) =
(5)
π
2
Γ2(μ + 1)
вале
,π новые резонансы не появляются, но
2
(
)
3π
Уравнение Пайса (1) теперь превратится в сле-
возникает фаза δPRE2 = π, в интервале π,
дующее:
2
3π
2
2l + 1 -π
δl
появляется резонанс
и т.д. Эта закономерность
·δl =
(6)
2
4
2l + 1 -π
δl
может быть прослежена и дальше при l > 3.
∫
∞
Таким образом решается задача о перечислении
π
(kr)2μ rdr
всех возможных значений δres и δPRE для всех l.
=-
U (r)
2
2
Γ2(μ + 1)
Эти рассуждения справедливы при любых допу-
0
стимых потенциалах в приближении Пайса.
Параметры μ и 2μ уже вычислены в таблице:
Удобно составить простую таблицу, ограничи-
ваясь для наших целей значениями l = 1, 2, 3; μ =
1
2δl
4δl
μ=l+
-
;
2μ = 2l + 1 -
(7)
1
2
2
π
π
=l+
-
δl.
2
π
Производя вычисления в (6) при заданных зна-
чениях l и δl, мы получаем условия существования
3. АСИМПТОТИКА КВАДРАТА
резонансов и ПЭР-фаз. Из таких формул мы мо-
БЕССЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
жем определить энергию k2 для резонансов. После
этого легко найти сечения рассеяния σ, используя
Квадрат функции Бесселя, стоящей под инте-
известную формулу [12]:
гралом в (1), можно разложить в ряд [11]:
∑
J2μ(z) =
(4)
σ=
(2l + 1) sin2 δl.
(8)
(z )2μ+2n
k2
∑
(-1)nΓ(2μ + 2n + 1) ·
l=1
2
=
n![Γ(μ + n + 1)]2Γ(2μ + n + 1)
Случай рассеяния с l = 0 мы в этой работе
n=0
не обсуждаем. Можно предположить, что сечение
Здесь z = kr, Γ(x) - гамма-функция, μ = l +
определяется резонансами, и пренебречь малыми
1
2δl
фазами δl ≪ 1.
+
-
2
π
Кроме того, напомним, что рамзауэровские фа-
Учитывая ограниченность потенциала, и при
зы равны πn (n = 1, 2, 3, ...) и поэтому в сечение
достаточно малых энергиях k2 можно ограничиться
не войдут.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№1
2019
РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПРИ РАССЕЯНИИ
89
И более того, уже из структуры ряда (4) и
только первая, третья и шестая строки соответ-
формулы (6) ясно, что можно ограничиться слу-
ствуют 2μ = 1. Приведем результаты вычислений
чаем 2μ = 1. Для тех случаев, когда в формулы
из (6) только для них. Для первой и шестой строк
входят (kr)3,(kr)5 и т.д., т.е. 2μ = 3,5,..., будут
мы выписываем также вклады в сечения рассеяния,
вычисленные по формуле (8), в третьей строке фаза
получаться поправки к решениям (6) ∼(kr) (или
равна π, и поэтому условие существования для нее
2μ = 1).
есть, а вклада в сечение рассеяния нет.
Это следует из того, что
Результаты вычислений такие:
(kr)5 ≪ (kr)3 ≪ (kr) ≪ 1.
π
kπ
для l = 1 и δl = δ1 =
ответ из (6)
λ(λ -
Поэтому вычисления значительно упрощаются
2
α
− 1) = 12; для l = 2 и фазы δl = δ2 = π уравнение
и сокращаются. И еще одно утверждение. При
kπ
увеличении таблицы, т.е. продолжении ее при l >
(6) дает
λ(λ - 1) = 36; для l = 3 и фазы δl =
> 3, даже и для 2μ = 1, мы легко убеждаемся,
α
3π
kπ
что поправки к сечениям рассеяния становятся
=δ3 =
получается
λ(λ - 1) = 72.
совсем малыми. Другими словами, ряд для сечения
2
α
рассеяния сходится достаточно быстро. Пример
Выражения для сечений рассеяния:
мы приведем в следующем разделе.
12
π
σ1 =
π(
)2λ2(λ - 1)2
соответствует первой
122
α
28
π
4. УРАВНЕНИЕ ПЕШЛЯ-ТЕЛЛЕРА
строке таблицы, σ6 =
π(
)2λ2(λ - 1)2 соот-
И СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ
722
α
ветствует шестой строке. Понятно, что σ6 ≪ σ1,
Ниже мы будем иметь дело со сферически сим-
и это хорошая иллюстрация быстрой сходимости
метричным потенциалом Пешля-Теллера [13]:
ряда для сечения рассеяния. Заметим еще, что
в [13] существует подробный и корректный ана-
α2λ(λ - 1)
U (r) = -
,
λ > 1.
(9)
лиз вычисления сечения рассеяния на потенциале
ch2αr
Пешля-Теллера в случае s-рассеяния (c l = 0).
Уравнение (6) определяет условия существова-
Такая задача, естественно, никак не связана с урав-
ния узких резонансов. Ширина резонансов, конеч-
нением Пайса и является предметом отдельного
но, не учитывается. И мы не обсуждаем вопрос об
независимого рассмотрения.
интерференции потенциального рассеяния с рассе-
янием, обусловленным резонансами. И в конечном
5. ПОДОБИЕ ПАЙСОВСКИХ РЕЗОНАНСОВ
счете мы снова ограничимся случаем 2μ = 1. Но
И “3-6”-ПРАВИЛО
сначала скажем о всех условиях существования
резонансов из таблицы. Для этого сделаем в (9)
Обсудим для разных потенциалов подобие
kr
1k
условий существования пайсовских резонансов
замену αr = z. Тогда αdr = dz, а
=
z.
для l = 1, 2, 3 и 2μ = 1.
2
2α
Такие уравнения для резонансов вычисляются
В (6) придется вычислять интегралы
по формуле (6) с учетом таблицы. Перечислим
∞
∞
∞
∫
∫
∫
z2dz
z4
z6dz
соответствующие формулы [9, 10].
,
dz ,
z
ch2z
ch2z
ch2z
Для потенциала Юкавы U(r) = -e-λr
:
0
0
0
r
π
(z)(k)
Общая формула для таких интегралов [14]:
1) при l = 1, δ1 =
,
= π,
2
λ λ
∫
∞
zν-1
4
(z)(k)
dz =
(1 - 22-ν )Γ(ν)ζ(ν - 1),
(10)
2) при l = 2, δ2 = π,
= 3π,
ch2z
2ν
λ λ
0
(z)(k)
ν = 3,5,7. Выпишемздесьзначениядзета-функции:
3) при l = 3, δ3 =3π2 ,
= 6π.
λ λ
2
π
π4
π6
-U0e-a
ζ(2) =
,
ζ(4) =
,
ζ(6) =
(11)
6
90
945
Для потенциала Хюльтена U(r) =
r
,
1-e-
a
Значения гамма-функций Γ(ν) легко доступны.
U0 > 0:
π
π
Подставляя для каждой строки той же таблицы
1) при l = 1, δ1 =
, (U0a2)(ka) =
,
соответствующие значения l и δl, а также Γ2(μ +
2
2ζ(3)
+ 1), в (6) мы находим полный набор условий суще-
3π
2) при l = 2, δ2 = π, (U0a2)(ka) =
,
ствования резонансов для 2μ = 1, 3, 5. В таблице
2ζ(3)
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№1
2019
90
БРУК
3π
3π
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
3) при l = 3, δ3 =
, (U0a2)(ka) =
2
ζ(3)
1. A. Pais, Proc. Cambr. Phil. Soc. 42, 45 (1946).
Значение дзета-функции здесь ζ(3) = 1.202.
2. Т. Титц, ЖЭТФ 37, 294 (1959)
[JETP 10, 207
Для потенциала прямоугольной ямы U = -U0
(1960)].
при r < R, U = 0 при r > R, U0 > 0:
3. Ю. М. Брук, А. Н. Волощук, УФН 182, 173 (2012)
π
[Phys. Usp. 55, 161 (2012)].
1) при l = 1, δ1 =
, (U0R2)(kR) = 3π,
2
4. Ю. М. Брук, ТМФ 66, 392 (1986)
[Theor. Math.
2) при l = 2, δ2 = π, (U0R2)(kR) = 9π,
Phys. 66, 260 (1986)].
3π
5. W. J. Romo and S. R. Valluri, J. Phys. B 23, 4223
3) при l = 3, δ3 =
, (U0R2)(kR) = 18π.
(1990).
2
6. W. J. Romo and S. R. Valluri, Phys. Scr. 71, 572
Для каждого из обсуждаемых потенциалов мы
(2005).
выписали по три строки для условий существова-
7. Н. Мотт, И. Снеддон, Волновая механика и ее
ния резонансов. Первые и третьи строки позво-
применения (Наука, Москва, 1966).
ляют вычислить сечения рассеяния. Вторые стро-
8. Т. Ю. Ву, Т. Омура, Квантовая теория рассея-
ки соответствуют фазам π, такие фазы в сечение
ния (Наука, Москва, 1969).
рассеяния вкладов не дают. Однако вторые строки
9. Ю. М. Брук, А. Н. Волощук, ЖЭТФ 150, 288 (2016)
отличаются от первых множителем 3, а третьи
[JETP 123, 249 (2016)].
от первых множителем 6. Эта общая закономер-
10. Ю. М. Брук, А. Н. Волощук, ЖЭТФ 150, 456 (2016)
ность иллюстрирует некое подобие условий для
существования резонансов и может быть названа
[JETP 123, 391 (2016)].
“3-6”-правилом. Такая же ситуация имеется для
11. Г. Ватсон, Теория бесселевых функций (Изд-во
потенциала Пешля-Теллера, как было отмечено
иностр. лит., Москва, 1949).
выше. Заметим еще, что максимальный вклад в
12. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механи-
сечение рассеяния получается при l = 1, δl = δ1 =
ка (Наука, Москва, 1974).
π
3π
13. З. Флюгге, Задачи по квантовой механике, т. 1,
=
, более малый вклад при l = 3, δl = δ3 =
2
2
изд. 3-е (Изд-во ЛКИ, Москва, 2010), с. 253.
Все сечения рассеяния, как и раньше, вычисляются
14. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегра-
по формуле (8). И, конечно, все это справедливо
лов, сумм, рядов и произведений, изд. 7-е (Изд-
во БХВ, С.-Петербург, 2011), с. 382.
только при l = 0.
RESONANT STATES AT THE SCATTERING OF SLOW PARTICLES
WITH NONZERO ORBITAL MOMENTA
ÖSCHL-TELLERPOTENTIAL
BY THE P
Yu. M. Bruk
P.N. Lebedev Physical Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow
We study the scattering problem for slow particles with nonzero angular momenta in the presence of a
finite potential. The solution is found in the framework of the Pais approximation. The inverse problem for
the P ¨oschl-Teller equation is solved, the general scheme for determining Pais resonances is formulated,
and the technique for calculation of scattering cross-sections for resonant particles is suggested.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№1
2019
