ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2019, том 82, № 2, с. 120-128

ЯДРА

ПРЕЦИЗИОННЫЙ РАСЧЕТ МАСС АТОМНЫХ ЯДЕР

С ВОССТАНОВЛЕННОЙ СПИН-ИЗОСПИНОВОЙ SU(4)-СИММЕТРИЕЙ

И ИЗОСПИНАМИ T_z = 51/2, 26, 53/2, 55/2, 28, 57/2

Ташкентский педиатрический медицинский институт, Узбекистан

Поступила в редакцию 16.08.2018 г.; после доработки 18.10.2018 г.; принята к публикации 19.10.2018 г.

Рассчитаны избытки масс группы атомных ядер с восстановленной вигнеровской спин-изоспиновой

SU(4)-симметрией, имеющих изоспины T_z = 51/2, 26, 53/2, 55/2, 28, 57/2, путем моделирования

вклада спин-орбитального взаимодействия в массу ядра ортогональными многочленами Чебышева.

Среднеквадратичное отклонение расчета от эксперимента составляет σ = 140 кэВ. Обсуждаются

возможности предложенного метода.

DOI: 10.1134/S0044002719020119

1. ВВЕДЕНИЕ

приводит к изменению вклада в массу ядра спин-

орбитального взаимодействия, учет которого свя-

Среди множества характеристик атомного яд-

зан со множеством неопределенностей. Несмотря

ра масса является его основной характеристикой.

на эти недостатки, полуэмпирические массовые

Существующие в настоящее время теоретические

формулы для масс ядер занимают важное место в

разработки для масс ядер обычно называют эм-

ядерной физике, поскольку являются ориентиром

пирическими или полуэмпирическими, чем под-

для новых исследований и необходимы при реше-

черкиваются следующие два обстоятельства. Во-

нии различных практических задач.

первых, эти формулы базируются на упрощенных

моделях, применимость которых к реальным ядрам

В настоящей работе излагается метод расчета

определяется тем, насколько их следствия под-

масс атомных ядер с учетом вклада в массу ядра

тверждаются экспериментом. Во-вторых, модель-

спин-орбитального взаимодействия. Наш метод

ная зависимость массы от ядерных параметров со-

основывается на массовой формуле, опираю-

держит набор неизвестных параметров, и они опре-

щейся на спин-изоспиновую SU(4)-симметрию.

деляются так, чтобы наилучшим образом описать

В формуле для масс вклад спин-орбитального

всю совокупность ядер, массы которых измерены

взаимодействия в массу нуклида является некой

экспериментально.

поправкой. Задачей настоящей работы является

Общей для всех массовых формул является

моделирование этой поправки при помощи су-

проблема экстраполяции полученных результатов

ществующих математических методов с целью

в область неизученных ядер, которая может при-

наилучшего согласия расчетов с экспериментом.

вести к погрешностям, связанным с эмпирическим

Работа выполнена для ядер с восстановленной

подходом в определении неизвестных параметров

спин-изоспиновой SU(4)-симметрией в диапазоне

(коэффициентов). Все массовые формулы в той

изоспинов 51/2 ≤ T_z ≤ 57/2, для которых вклад

или иной мере хорошо описывают массу ядра в

спин-орбитального взаимодействия в массу нукли-

области изученных ядер. Различия в деталях рас-

да определен на основе экспериментальных данных

чета разных подходов приводят к существенным

по массам.

расхождениям только по мере удаления от ли-

нии бета-стабильности. Для удаленных от долины

бета-стабильности ядер расхождения между раз-

2. ОБЛАСТЬ НУКЛИДОВ

ными подходами и экспериментом существенны.

С ВОССТАНОВЛЕННОЙ ВИГНЕРОВСКОЙ

В этом немаловажную роль играет некорректный

СПИН-ИЗОСПИНОВОЙ

учет влияния на массу нуклида ядерных оболочек,

SU(4)-СИММЕТРИЕЙ

так как изменение числа протонов и нейтронов,

по мере удаления от линии бета-стабильности,

Важной величиной, позволяющей проверить

реализацию спин-изоспиновой SU(4)-симметрии

^*E-mail: fattah52@mail.ru

в ядрах, является фактор Франчини-Радикатти

120

ПРЕЦИЗИОННЫЙ РАСЧЕТ МАСС АТОМНЫХ ЯДЕР

121

[1]. В обычных ядрах спин-изоспиновая SU(4)-

область нуклидов в диапазоне изоспинов 51/2 ≤

симметрия нарушена. При условии восстановления

≤ T_z ≤ 57/2, что равнозначно снижению уровня

вигнеровской спин-изоспиновой SU(4)-симметрии

значимости α.

фактор Франчини-Радикатти R должен зависеть

только от изоспина T_z и от вигнеровского типа ядра

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

(A — нечетное, N, Z — нечетные, N, Z — четные).

В работе [2] получено точное теоретическое вы-

ВКЛАДА В МАССУ ЯДРА

СПИН-ОРБИТАЛЬНОГО

ражение R_теор и рассчитаны экспериментальные

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

значения фактора Франчини-Радикатти R_эксп в

широком диапазоне изменения массового числа

Выбранный нами подход к проблеме массы

A. Корректно вычисленные экспериментальные

атомного ядра основывается на вигнеровской

значения фактора Франчини-Радикатти R_эксп

спин-изоспиновой SU(4)-симметрии сильного

позволили провести анализ данных на предмет

взаимодействия. В настоящее время в результате

проверки гипотезы о восстановлении вигнеровской

исследований [2, 8-11] массовая формула Вигнера

симметрии в широкой области изменения массо-

имеет следующий вид:

вого числа A. Ранее такие попытки были предпри-

няты в работах [1, 3-7], где при вычислении R_эксп

M_nucl(A,Z) = a(A) + b(A)C₂ +

(1)

использовались экспериментальные значения из-

+ E_Coul(A,Z) + E_sl(Z,N),

бытка масс нейтральных атомов вместо избытка

масс ядер, что привело к нечувствительности R_эксп

где M_nucl(A, Z) — масса ядра (не атома), a(A),

(см. подробнее [2]).

b(A) — эмпирические

функции

Вигнера,

Для проверки гипотезы о восстановлении вигне-

E_sl(Z,N) — вклад спин-орбитального взаимо-

ровской симметрии в работе [2] используется ста-

действия в массу основного состояния ядра,

тистический метод проверки — t-критерий Стью-

C₂ — оператор Казимира SU(4)-алгебры [3]. В

дента. Этот метод позволяет проверить соответ-

выражении (1) E_Coul(A, Z) является кулоновской

ствие между двумя статистическими распределени-

энергией ядра и E_Coul(A, Z) = 703.2Z²A-1/3(1 -

ями, в том числе между теоретическим и экспери-

- 1.28A-2/3) ± 4.5 [кэВ]. Эта формула является

ментальным распределениями, на уровне выбран-

эмпирической и получена из анализа аналоговых

ной значимости α. Для установления соответствия

состояний [3].

теории и результатов эксперимента при примене-

нии t-критерия Стьюдента необходимо выполнение

Согласно [9] эмпирические функции в выраже-

двух условий: 1) теоретическое выражение R_теор

нии (1) a(A) и b(A) определяются формулами

должно быть точным; 2) генеральная совокуп-

a(A)/A = a₁ exp(a₂A) + a₃ exp(a₄A) +

(2)

ность, из которой производится выборка R, должна

+ a5 exp(a₆A) + a7 exp(a₈A),

иметь гауссово (нормальное) распределение. Как

нами было показано (подробнее см. [2, 8]), эти

b(A) = b₁ exp(b₂A) + b₃ exp(b₄A).

(3)

условия выполняются. Основной вывод работы [2]

следующий: существующий фактический матери-

Численные значения параметров a₁-a₈ и b₁-b₄

ал позволяет утверждать, что вигнеровская спин-

приведены в работе [9]. Явный вид оператора Ка-

изоспиновая SU(4)-симметрия восстанавливается

зимира следующий:

только для ядер с нечетным массовым числом и

⎧

изоспином T_z ≥ 53/2 на уровне значимости α ≤

⎪0.5(T2z + 4Tz + 3),

⎪

≤ 0.01. Для ядер с четным массовым числом спин-

⎪

если N, Z — нечетные,

⎪

изоспиновая SU(4)-симметрия восстанавливается

⎨

на уровне значимости α > 0.01.

0.5(T2z + 4T_z + 1.5),

C₂ =

(4)

Выбранный нами уровень значимости α ≤

⎪если A — нечетное,

⎪

≤ 0.01 является достаточно высоким для ядерно-

⎪

⎪0.5(T2z + 4Tz),

физических исследований. Чтобы расширить круг

⎩

ядер с целью успешного моделирования вклада

если N, Z — четные.

спин-орбитального взаимодействия в массу атом-

В выражении (4) T_z = 0.5(N - Z) — изоспин ядра

ного ядра, мы расширили диапазон рассматрива-

с числом нейтронов и протонов N, Z соответствен-

емых ядер путем включения в анализ нуклидов

но.

с нечетным массовым числом и изоспином T_z =

= 51/2. Кроме этого, также воспользовались

Вклад спин-орбитального взаимодействия в

экспериментальными данными для ядер с четными

массу основного состояния ядра E_sl(Z, N) явля-

массовыми числами с изоспинами T_z = 26 и 28.

ется трехмерной величиной, и его график можно

Поэтому в настоящей работе рассматривается

построить в зависимости от различных переменных

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

122

НУРМУХАМЕДОВ

E_sl(Z, N), кэВ

20 000

10 000

-10 000

-20 000

100

125

150

175

200

225

250

Рис. 1. Зависимость вклада спин-орбитального взаимодействия в массу ядра E_sl(Z, N) от массового числа A. Ядра с

одинаковыми изоспинами Tz объединены линиями. Погрешности не приведены.

E_sl(Z, N), кэВ

T_z = 51/2

T_z = 26

T_z = 53/2

-5000

-10 000

225

250

225

250

225

250

E_sl(Z, N), кэВ

T_z = 55/2

T_z = 28

T_z = 57/2

−5000

-10 000

225

250

225

250

225

250

Рис. 2. Зависимость E_sl(Z, N) от массового числа A для ядер из рассматриваемой области с изоспинами Tz = 51/2, 26,

53/2, 55/2, 28 и 57/2.

(Z, N, A или T_z). На рис. 1 приведена зависи-

(МНК) из системы линейных уравнений [12, 13],

мость E_sl(Z, N) от массового числа A. Ядра с

поскольку они входят в (5) линейно. Однако для

одинаковыми изоспинами T_z объединены линиями.

вычисления коэффициентов многочлена высокой

Погрешности не приведены. Анализ и моделирова-

степени (n > 2) этот метод малопригоден ввиду

ние этих данных в целом представляется сложной

потери точности [12]. Кроме этого, при необходи-

задачей, и для достижения поставленной цели

мости повысить степень многочлена весь расчет

необходимо задачу упростить. На рис. 2 приведена

приходится повторять. Поэтому для отыскания па-

зависимость E_sl(Z, N) от массового числа A для

раметров многочлена его необходимо записать в

ядер из рассматриваемой области с изоспинами

виде

T_z = 51/2, 26, 53/2, 55/2, 28 и 57/2.

E_sl(Z,N) = q₀P₀(A) + q₁P₁(A) +

(6)

Зависимость E_sl(Z, N) от массового числа A

∑

можно описать многочленом вида

+ q₂P₂(A) + ... + q_nP_n(A) =

q_jP_j(A),

E_sl(Z,N) = q₀ + q₁A + q₂A² + ... + q_nAⁿ.

(5)

j=0

Коэффициенты q₀, q₁, q₂, ..., q_n в выражении

где P₀(A), P₁(A), P₂(A), ..., P_n(A) - ортогональные

(5) определяются методом наименьших квадратов

многочлены Чебышева на множестве точек мас-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

ПРЕЦИЗИОННЫЙ РАСЧЕТ МАСС АТОМНЫХ ЯДЕР

123

q₀, кэВ

q₁, кэВ

q₂, кэВ

q₃, кэВ

-3000

350

-4000

250

-5000

150

-2

-6000

25 55/2 30

T_z

Рис. 3. Зависимости параметров q0-q3 от изоспина Tz.

сового числа A₁, A₂, A₃, ..., A_N со статистиче-

шениям

ским весом w(A)(w_k = w(A_k) = 1/dE2sl,k > 0), где

Pj+1(A) = (A + βj+1)P_j(A) -

(10)

dE_sl,k - погрешность E_sl,k. Параметры выражения

H_j

(6) вычисляются по формуле

Pj-1(A), j = 1,2,...,

Hj-1

^N E_sl,kP_j(A_k)w_k

где

q_j =k=1N

j = 0,1,2,...,n,

(7)

∑

H_j = P2j(A_k)w_k, βj+1 =

(11)

P2j(A_k)w_k

k=1

которая не зависит от степени n многочлена, что

∑

позволяет при необходимости повышать степень

A_kP2j(A_k)w_k, j = 0,1,2,....

многочлена без пересчета ранее найденных пара-

метров. Выражение (7) получено с учетом ортого-

нальности многочленов Чебышева.

При описании экспериментальных значений

Ортогональные многочлены Чебышева млад-

E_sl(Z,N) выражением (6) необходимо решить во-

ших степеней со старшим коэффициентом, равным

прос выбора оптимальной степени многочлена. Для

единице, имеют вид

этого после каждой очередной оценки параметра

q_n подсчитывается сумма квадратов отклонений

P₀(A) = 1,

(8)

до тех пор, пока она не перестанет заметно

P₁(A) = A - A_ср,

уменьшаться. Поскольку всегда объем выборки N

A^3ср - A^2срA_ср

A^3срA_ср - (A^2ср

)²

ограничен, максимальная степень многочлена (6)

P₂(A) = A² -

A+

также имеет ограничение: j = N - 1.

A^2ср - (A_ср)²

Экспериментальные значения вклада спин-

где средние значения A_ср, A^2ср и A^3ср определяются

орбитального взаимодействия E_sl(Z, N) в массу

обычным образом:

ядра нами были обработаны по вышеизложенной

методике описания данных многочленами Чебы-

∑

^N A_kw_k

A2kwk

шева. Проведенные исследования указывают на

достаточность ограничения многочлена Чебышева

A_ср =k=1

A^2ср

= k⁼¹

(9)

∑

членом с j = 3.

w_k

k=1

В табл. 1 приведены вычисленные (эксперимен-

тальные) значения параметров q₀-q₃ по изложен-

^N A3kw_k

ной выше методике представления вклада спин-

орбитального взаимодействия в массу ядра с изо-

A^3ср =k=1

∑

спинами T_z = 51/2, 26, 53/2, 55/2, 28 и T_z = 57/2

w_k

по ортогональным многочленам Чебышева. В круг-

k=1

лых скобках приведены погрешности параметров.

Ортогональные многочлены более высоких сте-

Анализ табл. 1 указывает на существующую зави-

пеней можно определить по рекуррентным соотно- симость параметров q₀-q₃ от изоспина T_z.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

124

НУРМУХАМЕДОВ

Таблица 1. Расчетные и экспериментальные значения параметров q₀-q₃ (в кэВ) выражения (6) для моделирования

вклада спин-орбитального взаимодействия в массу ядра в зависимости от изоспина T_z (в круглых скобках

приведены погрешности)

q₀

q₁

q₂

q₃

T_z

Эксперимент Расчет Эксперимент Расчет Эксперимент Расчет Эксперимент

Расчет

51/2

-5557(56)

-5559(92)

152(6)

153(6)

4.5(0.7)

4.6(0.6)

0.25(0.06)

0.26(0.04)

-5352(50)

-5349(58)

164(5)

162(4)

5.4(0.7)

5.1(0.4)

0.23(0.06)

0.23(0.03)

53/2

-5207(61)

-5211(65)

167(7)

171(4)

6.1(0.8)

6.5(0.4)

0.29(0.07)

0.29(0.04)

55/2

-4824(48)

-4824(62)

213(7)

211(4)

9.3(1.1)

9.1(0.5)

0.34(0.17)

0.34(0.07)

-4411(46)

-4409(55)

253(7)

255(5)

9.1(1.2)

9.1(0.6)

0.18(0.25)

0.12(0.13)

57/2

-3733(60)

-3734(95)

323(15)

222(10)

6.8(4.0)

7.3(1.4)

-1.21(1.48)

-0.39(0.28)

На рис. 3 приведены зависимости параметров

числа A и изоспина T_z. В табл. 3^AZX_N являет-

q₀-q₃ от изоспина T_z, которые также можно пред-

ся обозначением нейтрального атома с массовым

ставить с помощью многочлена Чебышева следую-

числом A и числом нейтронов и протонов N, Z

щего вида:

соответственно, Esl,расч — расcчитанные нами по

изложенному выше методу значения вклада спин-

q_j(T_z) = g0,jP₀(T_z) +

(12)

орбитального взаимодействия в массу, Δ_эксп —

+ g1,jP₁(T_z) + g2,jP₂(T_z),

экспериментальные значения избытка массы ней-

трального атома из работы [14], Δ_расч — рассчи-

где g0,j -g2,j (j = 0, 1, 2, 3) — константы, P₀(T_z),

танные по нашему методу значения избытка массы.

P₁(T_z), P₂(T_z) — ортогональные многочлены Че-

Вычисления экспериментальных значений вклада

бышева как функции от изоспина T_z. Численные

спин-орбитального взаимодействия в массу ядра

значения констант g0,j -g2,j приведены в табл. 2.

Esl,эксп подробно изложены в [9] и обновлены с

Цифры в круглых скобках являются погрешно-

учетом данных по массам из [14]. В последнем

стями вычисленных параметров. Пользуясь зна-

столбце таблицы приведена разность избытка мас-

чениями констант g0,j-g2,j , численные значения

сы между экспериментом и расчетом Δ_эксп - Δ_расч.

параметров q_j можно восстановить. Восстановлен-

Всего экспериментальных значений для масс 74.

ные значения q_j приведены в табл. 1 в столбце

Среднеквадратичное отклонение расчета от экспе-

“Расчет”.

римента составляет σ = 140 кэВ.

Для расчета Esl,расч можно использовать

4. РАСЧЕТ МАСС АТОМНЫХ ЯДЕР

12 констант g_m,j (m = 0, 1, 2; j = 0, 1, 2, 3) (см.

С ИЗОСПИНАМИ 51/2 ≤ T_z ≤ 57/2

табл. 2), но девять из этих констант являются

По вышеизложенному методу нами рассчитаны

значащими. Для трех констант g1,3, g2,2 и g2,3

погрешности параметров превышают их значения,

массы атомных ядер с изоспинами 51/2 ≤ T_z ≤

т.е. использование в расчетах только девяти

≤ 57/2, результаты которых приведены в табл. 3.

параметров достаточно. Параметры g1,3, g2,2 и g2,3

На этих атомных ядрах было произведено мо-

не влияют на окончательный результат.

делирование зависимости E_sl(Z, N) от массового

Необходимо отметить, что значения избытка

масс атома связаны с массой атомного ядра соот-

Таблица 2. Численные значения параметров выражения

ношением

g0,j-g2,j для j = 0-3 (в круглых скобках приведены

Δ(A, Z) = M_A(A, Z) - Au =

(13)

погрешности)

- E_св(Z) - Au,

= M_N(A,Z) + Zm_ec²

g0,j

g1,j

g2,j

где Δ(A, Z) — избыток массы нейтрального атома,

M_A(A,Z) — масса атома с массовым числом A и

-4843(55)

566(50)

186(54)

порядковым номером Z, u = 931 494.0090 кэВ —

185(2)

42(3)

22(3)

унифицированная единица массы, M_N (A, Z) —

6.0(0.4)

2.0(0.5)

-0.1(0.6)

масса нуклида, m_ec² — масса электрона и E_св(Z) —

суммарная энергия связи электронов атома с

0.27(0.03)

0.03(0.05)

-0.03(0.07)

зарядом Z.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

ПРЕЦИЗИОННЫЙ РАСЧЕТ МАСС АТОМНЫХ ЯДЕР

125

Таблица 3. Результаты моделирования вклада спин-орбитального взаимодействия в массу ядра E_sl(A, T_z),

экспериментальные [14] и расчетные значения избытка масс для нуклидов с изоспинами T_z = 51/2, 26, 53/2, 55/2,

28, 57/2 (в круглых скобках приведены погрешности)

X_N

T_z

Esl,эксп, кэВ

Esl,расч, кэВ

Δ_эксп, кэВ [14]

Δ_расч, кэВ

Δ_эксп - Δ_расч, кэВ

225

Fr₁₃₈

51/2

-7323(91)

-7244

23821

23932

-111

227

Ra₁₃₉

51/2

-6946(89)

-6967

27178

27151

229

Ac₁₄₀

51/2

-6519(75)

-6731

30690

30463

227

231

Th₁₄₁

51/2

-6591(86)

-6526

33816

33875

-59

233

Pa₁₄₂

51/2

-6257(79)

-6339

37489

37402

235

U₁₄₃

51/2

-6296(82)

-6157

40919

41053

-134

237

Np₁₄₄

51/2

-5940(67)

-5968

44871

44840

239

Pu₁₄₅

51/2

-5948(73)

-5759

48588

48772

-184

241

Am₁₄₆

51/2

-5451(74)

-5519

52934

52863

243

Cm₁₄₇

51/2

-5197(62)

-5234

57182

57140

245

Bk₁₄₈

51/2

-4661(68)

-4893

61814

61578

236

247

Cf₁₄₉

51/2

-4560(74)

-4483

66104

66205

-101

251

100

Fm₁₅₁

51/2

-3511(73)

-3407

75954

76083

-129

255

No₁₅₃

51/2

-1921(69)

-1907

86807

86860

-53

102

226

Fr₁₃₉

-7158(75)

-7246

27521

27246

275

228

Ra₁₄₀

-7195(63)

-7023

28940

29108

-168

230

Ac₁₄₁

-6759(74)

-6825

33833

33491

342

232

Th₁₄₂

-6794(69)

-6642

35447

35596

-149

234

Pa₁₄₃

-6335(75)

-6464

40339

40206

133

236

U₁₄₄

-6431(77)

-6281

42445

42590

-145

238

Np₁₄₅

-6097(69)

-6082

47455

47467

-12

240

Pu₁₄₆

-5898(72)

-5857

50125

50163

-38

242

Am₁₄₇

-5471(81)

-5595

55468

55340

128

244

Cm₁₄₈

-5243(87)

-5288

58452

58403

246

Bk₁₄₉

-4875(85)

-4923

63970

63915

248

Cf₁₅₀

-4601(83)

-4492

67238

67343

-105

250

Es₁₅₁

-3947(81)

-3983

73230

252

100

Fm₁₅₂

-3657(79)

-3387

76816

77081

-265

254

Md₁₅₃

-2492(77)

-2693

83450

83378

101

256

102

No₁₅₄

-1759(66)

-1891

87822

87686

136

227

Fr₁₄₀

53/2

-7072(78)

-7186

29682

29538

144

229

Ra₁₄₁

53/2

-7045(75)

-6915

32562

32565

-3

231

Ac₁₄₂

53/2

-6460(83)

-6695

35763

35675

233

Th₁₄₃

53/2

-6664(77)

-6511

38731

38881

150

235

Pa₁₄₄

53/2

-6224(78)

-6347

42289

42201

237

U₁₄₅

53/2

-6448(83)

-6186

45390

45648

-258

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

126

НУРМУХАМЕДОВ

Таблица 3. Окончание

X_N

T_z

Esl,эксп, кэВ

Esl,расч, кэВ

Δ_эксп, кэВ [14]

Δ_расч, кэВ

Δ_эксп - Δ_расч, кэВ

239

Np₁₄₆

53/2

-5944(88)

-6014

49311

49235

241

Pu₁₄₇

53/2

-5944(78)

-6014

49305

49235

243

Am₁₄₈

53/2

-5294(89)

-5570

57175

56892

283

245

Cm₁₄₉

53/2

-5276(78)

-5267

61004

61008

-4

247

Bk₁₅₀

53/2

-4711(91)

-4889

65490

65304

186

249

Cf₁₅₁

53/2

-4514(82)

-4421

69722

69813

-91

251

Es₁₅₂

53/2

-3894(76)

-3845

74512

74553

-41

253

100

Fm₁₅₃

53/2

-3341(70)

-3147

79346

79535

-189

255

101

Md₁₅₄

53/2

-2251(73)

-2311

84843

84776

257

No₁₅₅

53/2

-1392(68)

-1321

90247

90289

-42

102

235

Th₁₄₅

55/2

-6641(72)

-6629

44018

44262

-244

237

Pa₁₄₆

55/2

-6224(81)

-6377

47528

47483

239

U₁₄₇

55/2

-6392(75)

-6146

50572

50815

-243

241

Np₁₄₈

55/2

-5936(64)

-5916

54260

54276

-16

243

Pu₁₄₉

55/2

-5801(70)

-5666

57754

57885

-131

245

Am₁₅₀

55/2

-5145(89)

-5375

61900

61662

238

247

Cm₁₅₁

55/2

-5142(84)

-5025

65535

65645

-110

249

Bk₁₅₂

55/2

-4563(79)

-4592

69846

69815

251

Cf₁₅₃

55/2

-4138(86)

-4057

74135

74210

-75

253

Es₁₅₄

55/2

-3244(82)

-3399

79010

78852

158

255

100

Fm₁₅₅

55/2

-2565(89)

-2598

83800

83760

257

Md₁₅₆

55/2

-1595(83)

-1633

88993

88952

101

238

Pa₁₄₇

-6522(78)

-6570

50894

50715

179

240

U₁₄₈

-6420(80)

-6347

52715

52783

-68

244

Pu₁₅₀

-5742(85)

-5739

59806

59802

246

Am₁₅₁

-5088(82)

-5346

64994

64731

263

248

Cm₁₅₂

-5097(80)

-4884

67393

67599

-206

250

Bk₁₅₃

-4309(94)

-4351

72950

72904

252

Cf₁₅₄

-3877(87)

-3740

76035

76165

-130

254

Es₁₅₅

-2924(78)

-3046

81991

81864

127

256

100

Fm₁₅₆

-2343(88)

-2265

85487

85558

-71

258

Md₁₅₇

-1374(90)

-1389

91687

91667

101

245

Pu₁₅₁

57/2

-5698(85)

-5695

63178

63101

249

Cm₁₅₃

57/2

-4800(89)

-4709

70751

70835

-84

251

Bk₁₅₄

57/2

-3878(92)

-4060

75228

75039

189

253

Cf₁₅₅

57/2

-3481(87)

-3348

79302

79429

-127

255

Es₁₅₆

57/2

-2497(85)

-2605

84089

83974

115

257

100

Fm₁₅₇

57/2

-1921(93)

-1864

88590

88640

-58

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

ПРЕЦИЗИОННЫЙ РАСЧЕТ МАСС АТОМНЫХ ЯДЕР

127

В нашем подходе константы g0,j-g2,j являются

в 10⁶-10¹² раз. Некоторые авторы с иронией на-

своего рода универсальными для ядер с изоспи-

зывают “острова стабильности” “мелью стабиль-

нами 51/2 ≤ T_z ≤ 57/2, и для любого нуклида с

ности” [18]. Такая оценка связана с эксперимен-

изоспином T_z можно по выражению (12) вычислить

тально определенными значениями времен жизни

параметры q₀(T_z)-q₃(T_z), предварительно опреде-

α-распада сверхтяжелых ядер.

лив ортогональные многочлены Чебышева P₀(T_z),

Согласие результатов эксперимента с рас-

четами масс в настоящей работе и энергий α-

P₁(T_z), P₂(T_z). При вычислении многочленов Че-

распада в [19] позволяет выдвинуть гипотезу для

бышева необходимые значения Tz,ср, T2z,ср, T3z,ср

объяснения наблюдаемых времен жизни новых

определяются по обычным формулам для взвешен-

сверхтяжелых ядер восстановлением вигнеровской

ных средних:

спин-изоспиновой SU(4)-симметрии. Полному

∑

восстановлению вигнеровской спин-изоспиновой

^N T_z,kw_k

T2z,срwk

SU(4)-симметрии в ядрах соответствует преобла-

дание спин-спинового взаимодействия над спин-

Tz,ср =k=1N

T2z,ср

= k=1N

(14)

∑

орбитальным взаимодействием (см. подробнее

w_k

[3, 6]).

k=1

Здесь следует отметить, что одновременно, в

одном и в том же регионе нуклидов, реализация

^N T3z,срw_k

(восстановление) вигнеровской спин-изоспиновой

T3z,ср =k=1N

SU(4)-симметрии и наличие такого явления, как

∑

w_k

“остров стабильности”, сосуществовать не могут.

k=1

Реализация (восстановление) вигнеровской спин-

изоспиновой SU(4)-симметрии возможна, если на-

Далее, по аналогичной схеме, вычисляются значе-

рушающие его факторы отсутствуют или слабы

ния E_sl(A, T_z ) для конкретных ядер.

[20-22]. В атомах и атомных ядрах это достигается,

В настоящее время нами проводится исследова-

если заряд спин-спинового взаимодействия преоб-

ние, целью которого является расширение области

ладает над зарядом спин-орбитального взаимодей-

применения нашего метода для других групп ядер,

ствия. В атомах это требование выполняется пол-

как в области нуклидов с изоспином T_z ≥ 57/2, так

ностью. Поэтому энергетические состояния слабо

и для ядер с изоспином T_z < 51/2.

расщеплены и проявляются как “тонкая струк-

тура” атомных состояний. В средних и тяжелых

атомных ядрах спин-орбитальное взаимодействие

5. ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ

преобладает над спин-спиновым взаимодействи-

РЕЗУЛЬТАТОВ

ем, и для этих нуклидов главным и единственным

нарушающим вигнеровскую симметрию фактором

Полученные расчетные значения масс ядер со-

является спин-орбитальное взаимодействие.

гласуются с экспериментальными данными с вы-

Рекордная точность наших расчетов масс ядер

сокой точностью (σ = 140 кэВ), что указывает на

с восстановленной спин-изоспиновой симметрией,

состоятельность предложенного нами метода вы-

расчеты энергии α-распада Q_α для сверхтяже-

числения избытка масс атомных ядер, основанного

лых ядер [19], а также экспериментальные данные,

на спин-изоспиновой SU(4)-симметрии сильно-

изложенные в работе [15], указывают на необхо-

го взаимодействия. Метод моделирования вклада

димость создания теории сверхтяжелых ядер на

спин-орбитального взаимодействия в массу ядра

основе восстановленной спин-изоспиновой SU(4)-

для нуклидов с восстановленной симметрией поз-

симметрии.

воляет вычислять массу атомных ядер с рекордной

точностью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Состоятельность предложенного нами метода

1. P. Franzini and L. A. Radicati, Phys. Lett. 6, 322

вычисления масс атомных ядер основывается на

(1963).

фактическом материале, который свидетельству-

2. А. М. Нурмухамедов,ЯФ 75, 29 (2012) [Phys. Atom.

ет о восстановлении спин-изоспиновой SU(4)-

Nucl. 75, 27 (2012)].

симметрии (см. подробнее [15]) в области сверх-

3. Yu. V. Gaponov, N. B. Shulgina, and D. M. Vla-

тяжелых ядер с изоспинами T_z > 25. В этом же

dimirov, Nucl. Phys. A 391, 93 (1982).

регионе нуклидной карты находится так называе-

4. Ю. В. Гапонов, Ю. И. Григорьян, Ю. С. Лютостан-

мый остров стабильности, ядра из которого живут

ский, ЯФ 31, 65 (1980) [Sov. J. Nucl. Phys. 31, 34

гораздо меньше теоретически предсказанных вре-

(1980)].

мен жизни [16, 17]. Наблюдаемые времена жизни

5. Ю. В. Гапонов, Н. Б. Шульгина, Д. М. Владимиров,

отличаются от теоретически предсказанных времен

Письма в ЖЭТФ 34, 300 (1981).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

128

НУРМУХАМЕДОВ

Ю. В. Гапонов, Физика атомного ядра: Ма-

14. M. Wang, G. Audi, F. G. Kondev, W. J. Huang,

териалы 18-й Зимней школы ЛИЯФ (ЛИЯФ,

S. Naimi, and X. Xu, Chin. Phys. C 41, 030003

Ленинград, 1983), с. 43.

(2017).

M. Chakraborty, V. K. B. Kota, and J. C. Parikh, Phys.

15. A. M. Nurmukhamedov, Mod. Phys. Lett A 31,

Rev. Lett. 45, 1073 (1980).

1650145 (2016), DOI: 10.1142/S0217732316501455

А. М. Нурмухамедов, ЯФ 77, 1507 (2014) [Phys.

16. W. D. Mayers and W. J. Swiatecki, Nucl. Phys. 81, 1

Atom. Nucl. 77, 1435 (2014)].

(1966).

А. М. Нурмухамедов, ЯФ 72, 434 (2009) [Phys.

17. В. М. Струтинский, ЯФ 3, 614 (1966) [Sov. J. Nucl.

Atom. Nucl. 72, 401 (2009)].

Phys. 3, 449 (1966)].

10.

А. М. Нурмухамедов, ЯФ 72, 1489 (2009) [Phys.

Atom. Nucl. 72, 1435 (2009)].

18. С. В. Толоконников, Ю. С. Лютостанский,

11.

А. М. Нурмухамедов, ЯФ 78, 1083 (2015) [Phys.

Э. Е. Саперштейн, ЯФ 76,

758

(2013)

[Phys.

Atom. Nucl. 78, 1020 (2015)].

Atom. Nucl. 76, 708 (2013)].

12.

Л. З. Румшиский, Математическая обработ-

19. А. М. Нурмухамедов, ЯФ 81, 160 (2018) [Phys.

ка результатов эксперимента (Наука, Москва,

Atom. Nucl. 81, 162 (2018)].

1971).

20. E. Wigner, Phys. Rev. 51, 106 (1937).

13.

В. И. Калашникова, М. С. Козодаев, Эксперимен-

21. E. Wigner and E. Feenberg, Rep. Prog. Phys. 8, 274

тальные методы ядерной физики, ч. 1: Детек-

(1941).

торы элементарных частиц (Наука, Москва,

1966).

22. E. Wigner, Phys. Rev. 51, 947 (1937).

PRESIZE CALCULATION OF THE MASS OF ATOMIC NUCLEI

WITH RESTORED SPIN-ISOSPIN SU(4) SYMMETRY

AND WITH NUCLEI ISOSPINS T_z = 51/2, 26, 53/2, 55/2, 28, 57/2

A. M. Nurmukhamedov

Tashkent Pediatric Medical Institute, Republic of Uzbekistan

The mass excess of a group of atomic nuclei with restored Wigners spin-isospin SU(4) symmetry, which

have isospins T_z = 51/2, 26, 53/2, 55/2, 28, 57/2, was calculated using modelling of contribution of the

spin-orbit interaction in the mass of nuclei with ortogonal Chebyshev polynomials. The standard square

deviation of the calculation from the experimental data is σ = 140 keV. Provided discussion of opportunities

of the proposed methodology is presented.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019