ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2019, том 82, № 2, с. 147-157

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТНОШЕНИЯ УПРУГОГО

К ПОЛНОМУ ПОПЕРЕЧНОМУ СЕЧЕНИЮ

В pp- И pp-СТОЛКНОВЕНИЯХ

Национальный исследовательский ядерный университет “МИФИ”, Москва, Россия

Поступила в редакцию 26.07.2018 г.; после доработки 26.07.2018 г.; принята к публикации 26.07.2018 г.

Представлены результаты феноменологического анализа зависимости отношения упругого к пол-

ному поперечному сечению от энергии в протон-протонном и антипротон-протонном рассеянии.

Аналитические функции, предложенные на основе исследования низко- и высокоэнергетических

экспериментальных данных для различных параметров рассеяния, обеспечивают количественное

описание зависимости от энергии данного отношения со статистически приемлемыми качествами в

широком диапазоне энергий

√s ≥ 3 ГэВ в случае раздельных выборок для pp-, pp-столкновений и

при

√s ≥ 5 ГэВ для объединенного ансамбля экспериментальных данных. На основании результатов

аппроксимаций получены оценки для отношения упругого к полному поперечному сечению в pp

при различных

√s вплоть до ультравысокой энергии

√s = 10 ПэВ, которые могут быть полезны

для действующих и будущих адронных коллайдеров, также как и для измерений космических

лучей ультравысоких энергий. Наблюдается указание на начало асимптотической области при

√s ≳

≳ 5-10 ПэВ для рассматриваемого отношения поперечных сечений.

DOI: 10.1134/S0044002719010112

ВВЕДЕНИЕ

сложной и соответствовать скорее фракталу, чем

простейшим случаям евклидовой геометрии. Таким

Экспериментальные данные однозначно свиде-

образом, может быть сделано предположение о

тельствуют, что в pp- и pp-взаимодействиях упру-

влиянии как топологических свойств вакуума КХД,

гое поперечное сечение (σ_уп) растет быстрее с уве-

так и типа геометрии, используемой для аппрокси-

личением энергии столкновения (√s), чем полное

мации формы сталкивающихся частиц, на зависи-

поперечное сечение (σ_полн). Это означает, что веро-

мость от s глобальных параметров, особенно по-

ятность выживания (анти-)нуклонов пучка увели-

перечных сечений адронного рассеяния. В общем

чивается с ростом s, и данный экспериментальный

случае данная гипотеза означает фундаменталь-

факт является важным и несколько неожиданным.

ную взаимосвязь между геометрией и динамикой

Необходимо подчеркнуть, что природа этого эф-

процессов сильного взаимодействия. Однако эти

качественные утверждения должны быть провере-

фекта еще не до конца понята, более того, опережа-

ны количественным анализом экспериментальных

ющий рост σ_уп(s) относительно σ_полн(s) изучается

данных.

существенно менее интенсивно, чем, например, по-

ведение энергетической зависимости полного по-

Другая важная задача — это исследование

перечного сечения в pp- и pp-столкновениях. Воз-

асимптотического поведения глобальных парамет-

можные взаимосвязи поведения σ_уп в зависимости

ров адронного, в частности, pp и pp, рассеяния и

от энергии и, как следствие, вероятности выжи-

поиск начала асимптотической области по энергии

вания в (анти-)нуклонных столкновениях с Бoзe-

столкновения. Асимптотические соотношения ос-

эйнштейновской конденсацией и топологией ва-

нованы на фундаментальных свойствах квантовой

куума квантовой хромодинамики (КХД) рассмат-

теории поля (КТП), а именно, на аналитичности

риваются в [1]. Как обсуждалось в [2], структу-

амплитуды рассеяния и условии унитарности.

ра вакуума КХД может характеризоваться силь-

Кроме того, процессы с малой передачей импульса

но нерегулярной, фракталоподобной геометрией.

обеспечивают главный вклад в поперечные сечения

Кроме того, можно предположить, что геометриче-

адронных взаимодействий при больших s. Вслед-

ская форма области взаимодействия может быть

ствие этого феноменологические исследования

поведения поперечных сечений и отношений между

^*E-mail: VAOkorokov@mephi.ru;Okorokov@bnl.gov

ними в зависимости от s предоставляют широкие

147

148

ОКОРОКОВ

возможности анализа основанных на КХД моде-

аппроксимации R_у/п(s) предлагаются следующие

лей, в частности, приближения глюонного (или

аналитические функции:

глюбольного) облака, на больших расстояниях.

R_у/п(s) = a₁ + a₂ lna3 ε + a₄ ln-a5 ε,

(2a)

Таким образом, исследование энергетической

зависимости соотношения между σ_полн и σ_уп в ад-

R_у/п(s) = a₁ + a₂ lna3 ε + a₄ε-a5 ,

(2б)

ронных взаимодействиях представляется важным

как для развития теории сильных взаимодействий,

где значения свободных параметров a_i, i = 1-5

в частности, сектора мягкой физики, так и, в более

зависят от диапазона фитирования, т.е. от ниж-

общем случае, базисных положений КТП.

ней границы энергетического интервала s ≥ s_мин.

Предполагается, что вторые слагаемые в функци-

ях (2) описывают высокоэнергетическое поведение

1. ИЗМЕРЯЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

R_у/п(s) и третьи слагаемые — область низких и

И АППРОКСИМИРУЮЩИЕ ФУНКЦИИ

промежуточных энергий.

В настоящей работе отношение упругого попе-

В [8] было показано, что верхняя граница

речного сечения к полному поперечному сечению

неупругого поперечного сечения (σ_неуп) для адрон-

ного взаимодействия при высокой энергии состав-

R_у/п = σ_уп/σ_полн

(1)

ляет 1/4 соответствующей верхней границы для

[

]

изучается в зависимости от энергии столкно-

σ_полн, т.е.

supσ_неуп(s)/sup σ_полн(s)s∈S

= 1/4

h⊂S

вения в pp- и

pp-взаимодействиях. В первом

в подынтервале высоких энергий S_h ⊂ S с учетом

случае экспериментальные данные для набора гло-

одинаковых областей определения по энергии S ≡

бальных параметров рассеяния G_pp ≡ {G^ipp}2i=1 =

≡ [4m2p, ∞) для всех рассматриваемых поперечных

= {σ^полн, σ

п} соответствуют базе данных из [3],

сечений (σ_полн, σ_уп и σ_неуп), где m_p — масса

для

pp-рассеяния выборка данных для анало-

протона [5] и нижняя граница S — s_н.г. ≡ 4m2p —

гичного набора G_pp взята из [4]. Рассматрива-

ются полные погрешности экспериментальных

соответствует обсуждаемым взаимодействиям (pp,

pp). На основании предположений относительно

точек, вычисляемые как Δ^2полн = Δ^2стат + Δ^2сист,

свойств амплитуды рассеяния бинарного процесса

где Δстат/сист — статистические/систематические

κ₁ + κ₂ → κ₃ + κ₄ можно показать, что в рамках

ошибки [5].

АКТП сечения σ_полн(s), σ_уп(s) являются локально

Зависимости σ_полн(s) и σ_уп(s) демонстрируют

интегрируемыми функциями для s ∈ S [9]. Это

подобные основные характеристики и функцио-

означает, что эти функции интегрируемы по Ри-

нальное поведение в широком энергетическом диа-

ману ∀[s₁, s₂] ⊂ S. В силу необходимого условия

пазоне. В общем случае поведение σ_полн в области

для интегрируемости по Риману поперечные се-

высоких энергий может быть качественно описано

чения σ_полн(s), σ_уп(s) — ограниченные функции

как ∝ ln^α ε для pp- и pp-столкновений, где 0 <

∀[s₁, s₂] ⊂ S (см., например,

[10]). Вследствие

< α ≤ 2, ε ≡ s/s₀ и s₀ = 1 ГэВ². Такая зависимость

условия унитарности σ_полн = σ_уп + σ_неуп и свойств

появляется в различных подходах [3-5]. С дру-

линейности все указанные свойства справедливы

гой стороны, член ∝ ε^-β, предложенный в рамках

также и для σ_неуп(s). В настоящее время считается

АКТП — аксиоматической квантовой теории по-

надежно установленным как теоретически, так и

ля [6], позволяет разумно описывать эксперимен-

экспериментально, что все рассматриваемые се-

тальные данные при низких энергиях вплоть до

чения увеличиваются с ростом s, по крайней мере,

√s = 3 ГэВ [4, 6]. Кроме того, детальный анализ

при высоких энергиях [5]. Поэтому справедливы

энергетической зависимости параметра наклона

следующие утверждения: (а) ∀i, i = полн, неуп,

дифракционного конуса (B) в упругом рассеянии

уп: ∃ lim_s→∞ σ_i(s) ≡ L_i и L_i конечный; (б) ∀i, i =

показывает, что при аппроксимации области низ-

полн, неуп, уп: sups∈Sh σ_i(s) = lim_s→∞ σ_i(s). Тогда

ких и промежуточных s функция ∝ ln^-γ ε приводит

можно записать

к значениям χ²/ст.св., близким к тем, которые

lim_s→∞ σ_неуп(s)

sups∈Sh⊂S σнеуп(s)

(3)

получаются в случае степенного члена [7]. Поэтому

lim_s→∞ σ_полн(s)

sups∈Sh⊂S σполн(s)

обе обсуждаемые функции можно рассматривать

в качестве возможной аппроксимации для низко-

σ_неуп(s)

= lim

≡ lim

R_н/п(s),

энергетического поведения параметров из набора

s→∞ σ_полн(s)

s→∞

G_pp/pp. Учитывая изложенные аргументы, а так-

же вид представленных ниже экспериментальных

где R_н/п = σ_неуп/σ_полн. Это означает, что

зависимостей отношения (1) от s в различных

[

R_у/п(s)]_s→∞ → 3/4,

(4)

столкновениях, в рамках настоящей работы для

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТНОШЕНИЯ

149

R_у/п

0.6

0.4

0.2

10⁰

10¹

10²

10³

10⁴

10⁵

√s, ГэВ

Рис. 1. Энергетическая зависимость отношения σуп к σполн в pp-столкновениях. Кривые: штриховая — фит функцией

(2a) при

√sмин = 2 ГэВ, сплошная — функцией (2б) при√sмин = 3 ГэВ, точечная — константой при√sмин = 100 ГэВ

(см. детальное описание в тексте), тонкая сплошная — отношение аппроксимаций для σуп(s) из [12] и для σполн(s) из [5].

Точки — экспериментальные данные из [3].

учитывая условие унитарности. Обе фитирующие

lim

κ(s) = 2R_у/п(s),

ρ→0

функции (2) имеют единую асимптотику:

[

где ρ(s) ≡ ReF (s, 0)/ImF (s, 0) — отношение ре-

R_у/п(s)]_s→∞ ≈ a₁ + a₂ lna3 ε,

(5)

альной к мнимой части амплитуды рассеяния под

поскольку при s → ∞ вклады членов, соответ-

малым (нулевым) углом. Можно отметить, что

ствующих области низких энергий, в (2a) и (2б)

в соответствии с экспериментальными данными

становятся пренебрежимо малыми. Как следствие,

|ρ(s)| ≲ 0.3(0.2) при

√s ≳ 5(3) ГэВ в pp(pp)-

можно получить следующее соотношение:

столкновениях [4]. Поэтому предельный переход

{

}

в (7) справедлив в широком диапазоне энергии как

s_a ∼ s₀ exp

[(3/4 - a₁)/a₂]1/a3

(6)

в pp-, так и в pp-рассеянии на уровне точности

лучше чем 0.1.

для энергии столкновения, при которой должен

начать проявляться асимптотический режим в pp-

2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ

и pp-взаимодействиях¹⁾.

И РЕЗУЛЬТАТЫ ФИТОВ

Экспериментальная характеристика

(1) так-

На рис. 1, 2 представлена зависимость отно-

же может быть связана с параметром κ(s) ≡

шения (1) от

√s для pp- и pp-столкновений со-

≡ σ_полн(s)/8πB(s), рассматриваемым в качестве

ответственно [11]. Экспериментальные данные для

сигнатуры начала асимптотической области для

R_у/п доступны при

√s ≥ 2.03 (1.89) ГэВ в упругом

таких глобальных параметров рассеяния, как

pp(pp)-рассеянии. Наличие резкого пика в R_у/п(s)

σ_полн(s), B(s) и т.д. [3], соотношениями

вблизи нижней границы по энергии

√s_н.г. для pp-

[

]-1

κ(s) = 2R_у/п(s)

1 + ρ²(s)

(7)

рассеяния (рис. 2) a priori не позволяет исполь-

зовать уравнения (2) для аппроксимации всех до-

¹⁾Очевидно, что величина оценки нижней границы асимп-

ступных данных. Поэтому наименьшее значение

тотической области sa — физически объективная количе-

по

√s, при котором зависимость R_у/п(s) может

ственная характеристика, которая является постоянной,

быть аппроксимирована функциями (2) как в pp,

по крайней мере, для рассматриваемой измеряемой вели-

чины, и не зависит от конкретного вида аппроксимиру-

так и в pp, должно быть не менее 2 ГэВ. Кроме

ющей функции для данной величины. Вид этой функции

того, на рис. 1 экспериментальные данные для R_у/п

определяет только соответствующее соотношение между

оценкойасимптотическойэнергиии свободнымипарамет-

качественно согласуются с константой при

√s ≥

рами фита.

≥ 100 ГэВ и, возможно, с учетом малого количества

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

150

ОКОРОКОВ

R_у/п

0.5

0.6

0.4

0.3

0.4

1.9

2.0

2.1

2.2

2.3

0.2

10⁰

10¹

10²

10³

10⁴

10⁵

√s, ГэВ

Рис. 2. Зависимость отношения σуп к σполн от

√s в pp-столкновениях. Кривые: штриховая — фит функцией (2б)

при

√sмин = 2 ГэВ, сплошная — функцией (2б) при√sмин = 3 ГэВ, точечная — константой при√sмин = 100 ГэВ (см.

детальное описание в тексте), тонкая сплошная кривая — отношение аппроксимации для σуп(s) из [12] к аналитической

функции, описывающей σполн(s) в [5]. Врезка: экспериментальные данные и аппроксимирующая кривая для узкого

интервала

√s = 1.86-2.36 ГэВ вблизи нижней границы по энергии. Точки — экспериментальные данные из [4].

точек, это утверждение также справедливо и для

который покрывает область энергий, в которой

pp (рис. 2). Поэтому дополнительно выполняет-

приближение 1 + ρ² ≈ 1 выполняется на уровне

ся фитирование зависимости R_у/п(s) константой,

точности не хуже

0.09,

0.04

соответственно.

R_у/п(s) = a₀, при

√s_мин = 100 ГэВ для реакций

Поэтому в оставшейся части абзаца обсужде-

ние сосредоточено на результатах для значений

упругого pp- и pp-рассеяния²⁾. Численные значе-

√s_мин ≥ 3 ГэВ (табл. 1, 2). Для pp-столкновений

ния параметров фитирования приведены в табл. 1,

поведение обобщенной логарифмической функции

2 для аппроксимаций экспериментальных зави-

симостей R_у/п(s) предложенными функциями при

(2a) близко к ln ε при высоких энергиях, особенно

для

√s_мин = 3 ГэВ, в то время как функция (2б)

различных s_мин для pp и pp соответственно.

приводит к значительно более быстрому росту в

При

√s_мин = 2 ГэВ, несмотря на то, что функ-

диапазоне высоких энергий при соответствующем

ция (2a) приводит к значительно лучшему χ²/ст.св.,

s_мин, а именно, значение a₃ почти совпадает с 2.0 в

чем функция (2б), качество фита оказывается

пределах двух стандартных отклонений. В случае

низким для обеих рассматриваемых аппрокси-

pp параметр фита a₃ характеризуется большим

маций (2) в случае упругих pp-взаимодействий;

разбросом значений (табл. 2): функция (2a) яв-

для pp наблюдается противоположная ситуация

ляется близкой к ln ε при высоких энергиях для

относительно соотношения χ²/ст.св. для (2a) и

√s_мин = 3 ГэВ, тогда как значение a₃ совпадает с

(2б). Из табл. 1, 2 видно, что обе функции (2)

2.0 в пределах двух стандартных отклонений при

аппроксимируют экспериментальную зависимость

больших s_мин; функция (2б) приводит к большому

R_у/п(s) для pp, pp со статистически приемлемым

различию между аппроксимирующими кривыми

качеством для широкого диапазона

√s ≥ 3 ГэВ,

для разных s_мин при высоких энергиях, в частности,

фит (2б) при

√s_мин = 3 ГэВ характеризуется очень

²⁾Из рис. 1, 2 видно, что существует большой разрыв

быстрым ростом. Хотя функции (2a) и (2б) демон-

между измерениями при наивысшей энергии ускорителя

Intersecting Storage Rings (ISR)

√s ≈ 63 ГэВ и бли-

стрируют близкие значения χ²/ст.св., поведение

жайшей правой точкой при

√s = 2760 (546) ГэВ для pp

R_у/п(s) для малых и промежуточных s несколько

(pp). Поэтому выбор

√s = 100 ГэВ в качестве нижней

лучше описывается степенной зависимостью от ε,

границы для интервала фитирования константой является

условным, и это значение используется ниже без потери

чем степенью ln ε. При

√s_мин = 100 ГэВ константа

общности.

согласуется с экспериментальными точками для

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТНОШЕНИЯ

151

Таблица 1. Результаты фитирования R_у/п(s) в упругом pp-рассеянии

√s_мин,

Параметр

ГэВ

a₁

a₂ × 10³

a₃

a₄

a₅

χ²/ст.св.

(2a)

0.1596 ± 0.0015

0.136 ± 0.016

2.26 ± 0.04

1.57 ± 0.04

2.71 ± 0.05

371/87

0.016 ± 0.009

15 ± 4

0.94 ± 0.08

0.74 ± 0.06

1.20 ± 0.10

55.5/55

0.052 ± 0.025

3.8 ± 1.6

1.33 ± 0.11

0.481 ± 0.019

0.95 ± 0.08

41.9/41

(2б)

0.1794 ± 0.0008

(7.4 ± 2.0) × 10-5

4.79 ± 0.09

3.91 ± 0.27

1.40 ± 0.04

516/87

0.164 ± 0.003

0.06 ± 0.04

2.55 ± 0.25

0.87 ± 0.14

0.76 ± 0.06

54.5/55

0.157 ± 0.005

0.16 ± 0.09

2.23 ± 0.19

0.44 ± 0.17

0.58 ± 0.11

41.6/41

константа

10²

0.255 ± 0.004

3.04/6

Таблица 2. Результаты фитирования R_у/п(s) в упругом pp-рассеянии

√s_мин,

Параметр

ГэВ

a₁

a₂ × 10³

a₃

a₄

a₅

χ²/ст.св.

(2a)

(2.50 ± 0.04) × 10-4

3.2 ± 1.2

1.52 ± 0.13

0.542 ± 0.007

0.86 ± 0.03

334/88

0.089 ± 0.017

8±4

1.03 ± 0.13

0.69 ± 0.06

1.76 ± 0.09

32.3/28

0.137 ± 0.016

0.17 ± 0.09

2.33 ± 0.20

0.24 ± 0.08

1.2 ± 0.4

12.2/16

(2б)

0.025 ± 0.008

41 ± 6

0.60 ± 0.07

0.776 ± 0.024

0.61 ± 0.03

266/88

0.170 ± 0.005

0.0066 ± 0.0026

3.4 ± 0.8

1.5 ± 0.8

1.17 ± 0.22

31.6/28

0.058 ± 0.027

5±3

1.331 ± 0.024

0.21 ± 0.06

0.19 ± 0.13

11.8/16

константа

10²

0.217 ± 0.005

7.03/4

обоих типов столкновений (pp и pp) на количе-

полученными с помощью (2a) и (2б)

для

√s ≳

ственном уровне.

≳ 100 ГэВ для pp и даже при

√s ≳ 20 ГэВ для

Сравнение аппроксимирующих кривых, полу-

pp. Диапазон близкого поведения для (2a) и (2б)

ченных для различных функций (2) и значений

значительно расширяется при больших s_мин. Со-

s_мин, позволяет сделать следующие качественные

ответствующие кривые расположены близко друг

заключения. В соответствии с численными резуль-

к другу для

√s ≳ 10 (1) ТэВ при√s_мин = 3 ГэВ и

татами фитирования (табл. 1, 2) зависимость от

для

√s ≳ 100 (10) ТэВ при√s_мин = 5 ГэВ в pp(pp)-

типа аппроксимирующей функции при фиксиро-

ванном значении

√s_мин = 2-5 ГэВ проявляется

рассеянии, т.е. в последнем случае фитирующая

кривая для протон-протонных или антипротон-

наиболее сильно при наименьшем из рассматрива-

емых значений нижней границы для фитируемого

протонных данных очень слабо зависит от типа

интервала по s и ослабевает с ростом s_мин как в

функций (2) при любых экспериментально достиг-

pp-, так и в pp-столкновениях. При

√s_мин = 2 ГэВ

нутых энергиях. Ситуация с зависимостью аппрок-

видимое различие наблюдается между кривыми,

симирующих кривых от s_мин при фиксированном

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

152

ОКОРОКОВ

типе функции в (2) подобна для обоих изучаемых

кривые лежат несколько ниже, чем большинство

типов упругих столкновений. Кривые, полученные

экспериментальных точек при

√s < 10 ГэВ, по-

на основе (2a), демонстрируют близкое поведе-

скольку аппроксимация σ_уп была выполнена толь-

ние при всех рассматриваемых s_мин, особенно при

ко при

√s ≥ 10 ГэВ [12]. Для pp-столкновений

√s_мин = 3 и 5 ГэВ в экспериментально измеренной

наблюдается заметное несоответствие между глад-

области энергии с несколько большим различи-

кими кривыми (2) и аппроксимацией, основанной

ем между аппроксимациями для pp, чем для pp.

на параметризациях из [5, 12], в области энергий

Для функции (2б) аппроксимируюшая кривая при

√s ∼ 0.3-30 ТэВ (рис. 1). Для выбора предпо-

√s_мин = 2 ГэВ заметно отличается от двух других,

чтительного подхода полезны новые эксперимен-

которые фактически совпадают друг с другом при

тальные данные, которые могут быть получены на

5≤

√s < 10⁵ (2000) ГэВ для pp (pp). Качественные

Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC) при

√s ∼

соотношения, указанные выше для различных ап-

∼ 0.1-0.5 ТэВ и в низкоэнергетической моде на

проксимирующих кривых, объясняются, главным

Large Hadron Collider (LHC) при

√s ∼ 1.0 ТэВ.

образом, влиянием данных при низких энергиях,

Кривая для pp, основанная на [5, 12], демонстри-

которые исключаются из фитируемых выборок при

рует более медленный рост для R_у/п(s) при уль-

√s_мин ≥ 3 ГэВ.

травысоких энергиях

√s ≳ 100 ТэВ относительно

Гладкие кривые на рис. 1, 2 соответствуют фи-

функций (2) при различных s_мин, и эта особенность

там с лучшим качеством при каждом фиксиро-

может оказаться важной для оценки начала асимп-

ванном

√s_мин = 2 и 3 ГэВ, т.е. в соответствии

тотического режима. Аппроксимирующая кривая

с табл. 1, 2 аппроксимации функцией (2a) при

для pp, рассчитанная на основе параметризаций

√s_мин = 2 ГэВ и (2б) при√s_мин = 3 ГэВ показаны

из [5, 12], очень близка к кривым с лучшими

для pp-столкновений; кривые, полученные на ос-

χ²/ст.св., полученными в рамках настоящей рабо-

нове (2б) при обоих указанных

√s_мин, представле-

ты при

√s_мин = 2 и 3 ГэВ в диапазоне энергий 10 ≲

ны для упругой pp-реакции. Предложенные функ-

≲

√s ≲ 2000 ГэВ, тогда как для более высоких

ции (2a) и (2б) разумно согласуются с эксперимен-

энергий появляется некоторое различие (рис. 2).

тальными данными вплоть до

√s_мин = 2 ГэВ как

Это расхождение между различными аппроксима-

для pp- (рис. 1), так и для pp-рассеяния (рис. 2).

циями для R_у/п(s) в pp увеличивается с ростом s.

Фитирующие кривые, показанные на рис. 1 для pp,

демонстрируют близкое поведение при всех экспе-

Из рис. 1, 2 видно, что экспериментальные

риментально доступных энергиях, в то время как

зависимости R_у/п(s) для pp- и pp-столкновений

для pp аппроксимация при

√s_мин = 2 ГэВ растет

демонстрируют подобное, по крайней мере, на ка-

значительно медленнее в высокоэнергетическом

чественном уровне, функциональное поведение при

диапазоне, чем кривая при

√s_мин = 3 ГэВ (рис. 2).

√s > 2 ГэВ, т.е. во всей доступной для сравнения

Врезка на рис. 2 показывает в деталях измене-

области

√s. Поэтому отношение (1) также было

ние тенденции в R_у/п(s) вблизи нижней пороговой

рассмотрено для объединенной выборки, включа-

энергии

√s_н.г. для pp-столкновений и подтверждает

ющей данные для pp- и pp-взаимодействий³⁾. Ри-

справедливость аппроксимаций имеющихся экс-

сунок 3 демонстрирует экспериментальную зави-

периментальных данных функциями (2) при

√s ≥

симость R_у/п(s) совместно с аппроксимациями, де-

≥ 2 ГэВ. Как указано выше, фитирующая кривая

тально описанными ниже, для нуклон-нуклонного

(2б) при

√s_мин = 3 ГэВ для pp демонстрирует очень

рассеяния. Численные значения параметров фита

быстрый рост для области мультиТэВных энергий

R_у/п(s) функциями (2) приведены в табл. 3 для раз-

по сравнению как с другими аппроксимациями

личных

√s_мин. Функции (2a) и (2б) описывают на-

для pp, так и с соответствующей кривой для pp.

бор данных для отношения (1) в нуклон-нуклонном

Но это различие может определяться отсутствием

рассеянии с близкими значениями χ²/ст.св. при

экспериментальных точек для первого случая при

любых

√s_мин = 2-5 ГэВ, при этом статистиче-

√s > 2 ТэВ. Поэтому для более определенных фи-

ски приемлемое качество достигается только при

зических заключений относительно высокоэнер-

√s_мин = 5 ГэВ. Кроме того, функция (2б) обеспе-

гетического поведения R_у/п(s) на рис. 2 принци-

чивает несколько лучшее качество фитирования,

пиально важны новые экспериментальные данные

особенно при

√s_мин = 2 ГэВ, чем обобщенная ло-

для pp при мультиТэВных энергиях. Результаты

гарифмическая функция (2a). В отличие от аппрок-

настоящей работы сравниваются с отношением

симаций раздельных для pp и pp выборок фити-

фитирующей функции для σ_уп из [12] к “стандарт-

ным” гладким аппроксимациям для σ_полн в pp-

³⁾Ниже для краткости объединенная выборка также назы-

и pp-реакциях из [5], показанным тонкой линией

вается набором данных для нуклон-нуклонного рассея-

на рис. 1, 2 соответственно. Как ожидалось, эти

ния.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТНОШЕНИЯ

153

R_у/п

1.0

0.6

0.5

0.4

1.9

2.0

2.1

2.2

2.3

0.2

10⁰

10¹

10²

10³

10⁴

10⁵

√s, ГэВ

Рис. 3. Зависимость отношения R_у/п от

√s в случае объединенной выборки для pp- (светлые точки) и pp- (темные

точки) столкновений. Кривые: штриховая — фит функцией (2б) при

√sмин = 2 ГэВ, сплошная — функцией (2б) при

√sмин = 3 ГэВ, точечная — константой при√sмин = 1 ТэВ, тонкая сплошная — аппроксимация константой в диапазоне

промежуточных энергий при

√s1 = 10 ГэВ (см. детальное описание в тексте). Врезка: экспериментальные данные и

аппроксимирующая кривая для узкого интервала

√s = 1.86-2.36 ГэВ вблизи нижней границы по энергии. Точки —

экспериментальные данные из [3, 4].

рование R_у/п(s) для объединенного набора данных

данных для этих двух процессов сильного взаимо-

действия.

по нуклон-нуклонным столкновениям константой

со статистически приемлемым качеством возможно

Имеются следующие качественные соотноше-

только в диапазоне ТэВных энергий. Поскольку в

ния между аппроксимирующими кривыми для раз-

этой области s доминирующий вклад дают экспе-

личных параметризаций в (2) и значений s_мин. В

рименты по pp-рассеянию, то, как и ожидалось,

случае функции (2a) фиты демонстрируют близкое

значение a₀ для объединенной выборки совпадает

поведение при всех рассматриваемых s_мин при лю-

бых s, достигнутых в ускорительных эксперимен-

в пределах погрешностей со значением константы

тах. Более того, это утверждение также справедли-

для pp-взаимодействий. Врезка на рис. 3 показы-

во и для параметризации (2б) в отличие от случая

вает в деталях R_у/п(s) вблизи нижней пороговой

раздельных для pp и pp выборок. Для нуклон-

энергии

√s_н.г. для pp и pp. Данный интервал по

нуклонных столкновений ситуация относительно

s характеризуется существенной дисперсией экс-

влияния типа параметризации при фиксированном

периментальных точек в pp, pp, которая приводит

s_мин менее однозначна, чем для pp и pp. При

к неприемлемо большому χ²/ст.св. при

√s_мин =

значениях

√s_мин = 3 и 5 ГэВ заметные различия

= 2 ГэВ. С другой стороны, экспериментальные

между двумя кривыми (2a) и (2б) наблюдаются в

результаты в столкновениях рассматриваемых ти-

области энергий

√s ≥ 10 ТэВ, причем в первом

пов демонстрируют подобные тенденции — умень-

случае различие намного больше. Но для наи-

шение отношения (1) с увеличением энергии столк-

меньшего значения нижней границы фитируемого

новения — при

√s > 2.1-2.2 ГэВ, что приводит к

интервала энергии

√s_мин = 2 ГэВ аппроксимиру-

быстрому улучшению согласия между данными для

ющие кривые, полученные на основе различных

pp и pp. Таким образом, детальный анализ резуль-

функций в (2), очень близки друг другу вплоть до

татов для R_у/п в нуклон-нуклонных столкновениях

√s ≈ 100 ТэВ, и различие между ними становится

при низких энергиях подтверждает качественный

заметным только при

√s ≳ 0.5 ПэВ.

вывод, сделанный выше относительно подобного

Важно отметить, что вплоть до получения

функционального поведения R_у/п(s) в упругих pp-

результатов LHC рассматривалась гипотеза о

и pp-реакциях почти во всей области энергии, ко-

независимости феноменологического параметра,

торая доступна для сравнения экспериментальных

связанного с R_у/п(s), от s при промежуточных

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

154

ОКОРОКОВ

Таблица 3. Результаты фитирования R_у/п(s) в случае объединенной выборки для упругих pp- и pp-столкновений

√s_мин,

Параметр

ГэВ

a₁

a₂ × 10³

a₃

a₄

a₅

χ²/ст.св.

(2a)

(2.0 ± 0.6) × 10-4

7.8 ± 0.4

0.931 ± 0.017

0.638 ± 0.005

1.073 ± 0.013

3279/180

0.018 ± 0.006

9.9 ± 1.5

0.83 ± 0.06

0.64 ± 0.05

1.22 ± 0.12

230/88

0.153 ± 0.004

0.067 ± 0.028

2.30 ± 0.13

0.55 ± 0.17

1.92 ± 0.24

108/62

(2б)

0.155 ± 0.003

0.28 ± 0.11

1.80 ± 0.12

0.952 ± 0.026

0.822 ± 0.021

3191/180

0.169 ± 0.003

0.018 ± 0.003

2.7 ± 0.3

0.97 ± 0.18

0.91 ± 0.08

230/88

0.121 ± 0.006

1.0 ± 0.3

1.48 ± 0.11

0.207 ± 0.025

0.32 ± 0.04

105/62

константа

10³

0.252 ± 0.003

9.72/9

Таблица 4. Оценки R_у/п(s) для pp на основе результатов фита при

√s_мин = 5 ГэВ

√s, ТэВ

Функ-

RHIC

LHC

HE-LHC, LHC-предел

ция

0.20

0.41

0.51

0.90

(2a)

0.19 ± 0.05

0.20 ± 0.06

0.21 ± 0.07

0.27 ± 0.11

0.29 ± 0.12

0.30 ± 0.12

(2б)

0.188 ± 0.023

0.20 ± 0.03

0.21 ± 0.04

0.27 ± 0.09

0.29 ± 0.11

0.30 ± 0.12

SPPC, FCC-hh, VLHC-I, II

70.6

100

125

150

175

200

(2a)

0.30 ± 0.12

0.30 ± 0.13

0.31 ± 0.13

0.32 ± 0.14

0.33 ± 0.14

0.33 ± 0.15

0.34 ± 0.15

(2б)

0.30 ± 0.12

0.31 ± 0.12

0.32 ± 0.14

0.33 ± 0.14

0.34 ± 0.15

0.34 ± 0.16

0.35 ± 0.16

0.35 ± 0.17

Космические лучи ультравысоких энергий

ПэВные энергии

110

170

250

500

750

10³

5 × 10³

10⁴

(2a)

0.33 ± 0.14

0.34 ± 0.15

0.35 ± 0.15

0.37 ± 0.17

0.38 ± 0.17

0.39 ± 0.18

0.43 ± 0.21

0.46 ± 0.22

(2б)

0.33 ± 0.15

0.35 ± 0.16

0.36 ± 0.17

0.39 ± 0.20

0.40 ± 0.21

0.41 ± 0.22

0.49 ± 0.29

0.5 ± 0.3

энергиях в упругих pp- и pp-столкновениях [13].

pp; a₀ = 0.1786 ± 0.0008, χ²/ст.св. = 33.4/37 при

Действительно, из рис. 1-3 видно, что экспери-

√s₁ = 10 ГэВ для нуклон-нуклонного рассеяния. В

ментальная зависимость R_у/п(s) является почти

последнем случае аппроксимация показана тонкой

линией на рис. 3, и численные результаты фита

плоской в достаточно широкой области энергии

подтверждают гипотезу о независимом от s пове-

от

√s ∼ 5-10 ГэВ до√s ≈ 63 ГэВ. Для полноты

дении R_у/п(s) в обоих случаях раздельных выборок

информации отношение (1) было аппроксимирова-

для pp, pp и объединенного набора данных для

но константой при промежуточных энергиях s₁ ≤

нуклон-нуклонного рассеяния в рассматриваемом

≤ s ≤ 10⁴ ГэВ² со следующими результатами: a₀ =

диапазоне промежуточных энергий. Но измерения

= 0.1789 ± 0.0008, χ²/ст.св. = 28.3/28 при

√s₁ =

при ТэВных энергиях однозначно указывают, что

= 10

ГэВ для pp-столкновений; a₀ = 0.1805 ±

гипотеза о постоянном R_у/п(s) справедлива только

± 0.0017, χ²/ст.св. = 13.2/15 при

√s₁ = 5 ГэВ для в некоторой ограниченной области энергии и

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТНОШЕНИЯ

155

этот эффект обусловлен (а) широким и плоским

Hadron Collider — VLHC) используют протонные

минимумом в σ_полн(s) и почти независимым от

пучки [14-16]. Поэтому ниже обсуждение сосре-

s поведением σ_уп(s) в диапазоне промежуточных

доточено на pp-рассеянии. Оценки для диапазонов

энергий проектов Facility for Antiproton and Ion

энергий 5 ≲

√s ≲ 100 ГэВ и/или (б) относительно

небольшим количеством экспериментальных точек

Research (FAIR) и Nuclotron-based Ion Collider

fAcility (NICA) не делаются вследствие причин,

при

√s > 0.5 ТэВ для pp-,

pp-столкновений.

детально обсужденных в [4].

Рисунок 3 однозначно подтверждает этот вывод

плавным увеличением R_у/п(s) в области энергий

Сравнение различных фитирующих кривых по-

казывает, что самая слабая зависимость результа-

√s ≳ 5 ГэВ. Поэтому явный эффект постоянства

тов от типа аппроксимирующий функции с сохра-

R_у/п(s) объясняется скорее кинематическими

нением статистически приемлемого χ²/ст.св. на-

(ограниченный диапазон s и большой промежуток

блюдается при

√s_мин = 5 ГэВ. Поэтому в табл. 4

между двумя подмножествами экспериментальных

представлены оценки для R_у/п(s), которые вы-

данных) и/или методологическими (малый объем

подвыборки данных) причинами, чем особенностя-

числены на основе результатов, полученных фи-

ми динамики процессов сильного взаимодействия.

тированием экспериментальной выборки для pp-

Как известно, рост R_у/п(s) является сильным

рассеяния функциями (2a) и (2б) при

√s_мин = 5 ГэВ

аргументом против геометрической модели и может

(табл. 1). Как ожидалось, значения R_у/п(s) для двух

быть рассмотрен как признак усиления непрозрач-

рассматриваемых функций совпадают в пределах

ности (анти-)нуклона с увеличением s [13].

погрешностей при каждом s. Отношение (1) дости-

√

s ≳ 5-10 ПэВ

гает асимптотического уровня при

в пределах 1.3-1.5 стандартных отклонений для

3. ПОИСК НАЧАЛА АСИМПТОТИЧЕСКОЙ

(2a) и в пределах больших погрешностей для (2б),

ОБЛАСТИ

но медианные значения R_у/п(s) все еще значи-

Аналитические функции (2) и численные ре-

тельно меньше 3/4 для обеих функций (2). Таким

зультаты фитов (табл. 1, 2) позволяют получить

образом, результаты табл. 4 можно рассматривать

количественные оценки отношения R_у/п при раз-

только как указание на начало асимптотическо-

личных энергиях столкновения. Нижеследующие

го режима в упругих pp-соударениях при

√s_a ∼

оценки получены в рамках стандартной модели

∼ 5-10 ПэВ. Необходимо отметить, что доступ-

(СМ) без учета каких-либо гипотез относительно

ные экспериментальные данные позволяют полу-

вкладов физики вне СМ. Известно, что до насто-

чать только достаточно грубую оценку по порядку

ящего времени не получено никаких свидетельств в

величины для граничной энергии асимптотической

пользу появления физических процессов и/или ча-

области. С этой точки зрения оценка s_a данной

стиц вне СМ, которые могли бы оказать влияние на

работы количественно согласуется с результатами

энергетическое поведение параметров из наборов

для нижней границы по s асимптотической обла-

G_pp,pp. Таким образом, использование подхода, ос-

сти для поперечных сечений (σ_полн, σ_уп и σ_неуп),

нованного на СМ, представляется обоснованным и

полученными в рамках приближения партонных

разумным. Необходимо отметить, что непрерывный

дисков [17]. Кроме того, значение s_a, полученное

рост функций (2) с увеличением s при

√s ≥ 3 ГэВ

здесь, разумно согласуется, по крайней мере, на

обусловлен тенденцией в доступных эксперимен-

качественном уровне с результатами исследова-

тальных данных. Но, как можно ожидать на ка-

ния асимптотического поведения σ_полн в подходе

чественном уровне, приближение к началу асимп-

АКТП [18], но значительно меньше, чем оценка s_a,

тотической области при дальнейшем увеличении

которая может быть получена с помощью пара-

s должно приводить к переходу к насыщению в

метра κ в рамках редже-эйкональной модели [3].

R_у/п(s). Очевидно, этот качественный эффект не

Таким образом, в целом численные результаты на-

может быть учтен в рамках модельно независи-

стоящей работы однозначно подтверждают важное

мой аппроксимации. Как отмечено выше, отсут-

заключение, сделанное на основе других указанных

ствие экспериментальных данных для pp в области

выше подходов, а именно, что начало асимптоти-

мультиТэВных энергий приводит к существенной

ческой области для глобальных параметров рас-

неопределенности в поведении R_у/п(s) при высоких

сеяния находится при энергиях, больших чем, по

энергиях. Более того, большинство действующих

крайней мере, O(100 ТэВ), и, что представляется

научно-ускорительных комплексов (RHIC, LHC),

более вероятным, даже в области мультиПэВных

так же как и международные проекты для возмож-

энергий. Новые экспериментальные данные с вы-

ного будущего адронного коллайдера на более вы-

сокой статистической обеспеченностью при энер-

сокие энергии (Future Circular Collider — FCC-hh,

гиях

√s ∼ O(100 ТэВ), так же как и развитие фе-

Super Proton-Proton Collider — SPPC, Very Large

номенологических моделей, принципиально важны

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

156

ОКОРОКОВ

для уточнения имеющихся оценок для s_a. Такие

получены оценки для R_у/п в упругом pp-рассеянии

данные могут быть получены в будущих коллай-

при различных s вплоть до

√s = 10 ПэВ. Эти

дерных экспериментах и при изучении космических

оценки указывают, что рассматриваемый параметр

лучей ультравысоких энергий. Возможно, выбор

достигает своей асимптотической величины при

подходящих параметров, которые чувствительны к

√s ≳ 5—10 ПэВ в пределах 1.0-1.5 стандартного

переходу в асимптотический режим, и последую-

отклонения в зависимости от типа фитирующей

щий совместный феноменологический анализ их

функции. Однако значительные погрешности оце-

зависимостей от s позволят повысить точность ко-

нок при ультравысоких энергиях допускают обсуж-

личественных оценок для нижней границы асимп-

дение начала асимптотического режима измеряе-

тотической области в адронных столкновениях.

мого параметра R_у/п в упругом pp-рассеянии толь-

ко на качественном уровне. Поэтому, принимая во

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

внимание последнее утверждение, значение

√s_a ∼

∼ 5—10 ПэВ можно рассматривать только как

Резюмируя изложенное выше, можно сделать

грубую оценку для нижней границы асимптотиче-

следующие выводы.

ской области энергий. Но в любом случае резуль-

Выполнен детальный анализ зависимости отно-

таты настоящей работы подтверждают важное за-

шения упругого к полному поперечному сечению

ключение, что асимптотическая область для адрон-

R_у/п от энергии для pp- и pp-столкновений, а также

ных взаимодействий находится далеко от энергий,

в случае объединенной выборки для указанных

достигнутых как в экспериментах на коллайдерах,

взаимодействий. Для аппроксимации R_у/п(s) пред-

так и в измерениях космических лучей.

ложены аналитические параметризации с обоб-

Автор благодарен проф. В.А. Петрову за

щенным логарифмическим членом, описывающим

полезные обсуждения. Работа была частично

область высоких энергий, и двумя различными

поддержана в рамках Программы повышения

функциональными представлениями низкоэнерге-

конкурентоспособности НИЯУ МИФИ (контракт

тического слагаемого. Указанные функции разум-

№ 02.a03.21.0005 от 27.08.2013).

но описывают все доступные экспериментальные

данные как для pp, так и для pp, за исключени-

ем узкого интервала

√s < 2 ГэВ вблизи нижней

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

границы по энергии в последнем случае. Обе па-

1. И. М. Дремин, УФН 188, 437 (2018) [Phys. Usp. 61,

раметризации обеспечивают статистически прием-

381 (2018)]; I. M. Dremin, Universe 04, 65 (2018).

лемые и близкие качества фитирования для ши-

2. V. A. Okorokov and E. V. Sandrakova, Univ. J. Phys.

рокого диапазона энергий

√s ≥ 3 ГэВ в pp- и

Appl. 1, 196 (2013); V. A. Okorokov, Int. J. Mod.

pp-рассеянии. В целом аналогичные утверждения

Phys. E 22, 1350041 (2013).

справедливы также и для объединенной выбор-

3. V. A. Petrov and V. A. Okorokov, Int. J. Mod. Phys. A

ки нуклон-нуклонных данных, но статистически

33, 1850077 (2018).

приемлемое качество наблюдается при несколь-

4. V. A. Okorokov and S. D. Campos, Int. J. Mod. Phys.

ко большем значении нижней границы диапазона

A 32, 1750175 (2017).

фитирования

√s_мин = 5 ГэВ. Тем не менее пред-

5. C. Patrignani et al. (Particle Data Group), Chin.

ложенные функции демонстрируют разумное со-

Phys. C 40, 100001 (2016).

гласие с качественными тенденциями, наблюдае-

6. S. D. Campos and V. A. Okorokov, Int. J. Mod. Phys.

мыми в объединенной выборке данных, при почти

A 25, 5333 (2010).

всех экспериментально доступных энергиях

√s >

7. V. A. Okorokov, Adv. High Energy Phys. 2015,

> 2 ГэВ. Таким образом, по сравнению с другими

914170 (2015); база данных для параметра на-

моделями эти параметризации обеспечивают зна-

клона дифракционного конуса доступна в arXiv:

1501.01142 [hep-ph].

чительное расширение описываемого диапазона в

8. A. Martin, Phys. Rev. D 80, 065013 (2009).

область низких энергий. Зависимость R_у/п(s) до-

9. Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов, А. П. Оксак,

пускает аппроксимацию константой в отдельных

И. Т. Тодоров, Общие принципы квантовой тео-

интервалах при промежуточных и высоких энер-

рии поля (Физматлит, Москва, 2005).

гиях для всех рассматриваемых выборок, pp, pp

10. В. А. Зорич, Математический анализ

и нуклон-нуклонного рассеяния, но, вероятно, та-

(МЦНМО, Москва, 2002), ч. 1.

кое поведение R_у/п(s) объясняется скорее огра-

11. V. A. Okorokov, arXiv: 1805.10514 [hep-ph].

ниченным диапазоном фитирования и/или незна-

12. G. Antchev et al. (TOTEM Collab.), arXiv:

чительным количеством экспериментальных точек

1712.06153 [hep-ex].

в данном интервале, чем какими-либо динамиче-

13. V. Barone and E. Predazzi, High-Energy Particle

скими особенностями процессов взаимодействия.

Diffraction (Springer-Verlag, Berlin Heidelberg,

На основании результатов аппроксимаций были

2002).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТНОШЕНИЯ

157

14. M. Schaumann, Phys. Rev. Accel. Beams 18, 091002

Group), Preprint Fermilab-TM-2149 (2001).

(2015).

17. В. В. Анисович, УФН 185, 1043 (2015) [Phys. Usp.

15. J. Tang, J. Scott Berg, W. Chai, F. Chen, N. Chen,

W. Chou, H. Dong, J. Gao, T. Han, Y. Leng, G. Li,

185, 963 (2015)].

R. Gupta, P. Li, Z. Li, B. Liu, Y. Liu, et al., arXiv:

18. В. А. Окороков, ЯФ 81, 481 (2018)

[Phys. Atom.

1507.03224 [hep-ex].

16. G. Ambrosio et al. (The VLHC Design Study

Nucl. 81, 508 (2018)].

THE ENERGY DEPENDENCE OF THE RATIO OF ELASTIC-TO-TOTAL

CROSS SECTION IN pp AND pp COLLISIONS

V. A. Okorokov

National Research Nuclear University MEPhI, Moscow, Russia

The results are presented for the phenomenological analysis of the energy dependence for the ratio of

elastic-to-total cross section in proton-proton and antiproton-proton scattering. The analytic functions

based on the study of low- and high-energy experimental data for various scattering parameters provide the

quantitative description of the energy dependence of the ratio with statistically acceptable qualities in a wide

range of collision energy

√s ≥ 3 GeV in the case of the separate datasets for pp, pp collisions and at√s ≥ 5

GeV for the joined experimental data ensemble. Basing on the fit results the estimations are derived for

the ratio of elastic-to-total cross section in pp scattering at various

√s up to energy frontier√s = 10 PeV

which can be useful for present and future hadron colliders as well as for cosmic ray measurements at

ultra-high energies. The indication is observed for onset of the asymptotic region at

√s ≳ 5-10 PeV for

the ratio of the cross sections under consideration.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019