ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2019, том 82, № 2, с. 158-166

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

CP-СВОЙСТВА ЛЕПТОНОВ В ЗЕРКАЛЬНОМ МЕХАНИЗМЕ

НИЦ “Курчатовский институт” — Петербургский институт ядерной физики, Гатчина, Россия

Поступила в редакцию 04.10.2018 г.; после доработки 08.10.2018 г.; принята к публикации 09.10.2018 г.

Образование массовых матриц кварков и лептонов, происходящее через промежуточные состояния

тяжелых зеркальных фермионов, способно воспроизвести основные наблюдаемые качественные

свойства матриц слабого смешивания (матрица СКМ и матрица PMNS). Воспроизведение включает

иерархию элементов СКМ, общую форму матрицы PMNS, в том числе малость угла смешивания

нейтрино θ₁₃ и приводит к исключительно малым массам нейтрино. Для лептонов эти свойства

возникают только при дираковской природе и инверсном характере спектра поколений нейтрино СМ.

В такой лептонной системе механизм спонтанного нарушения зеркальной симметрии и наблюдаемая

иерархия масс заряженных лептонов (e, μ, τ) задают структуру и делают возможной оценку величины

допустимой комплексности матрицы PMNS, т.е. CP-свойств лептонов. Матрица PMNS тогда не

содержит майорановских фаз, а ее дираковская

фаза δ_CP соответствует | sin δ_CP |, существенно

меньшему единицы.

DOI: 10.1134/S0044002719020065

1. ВВЕДЕНИЕ

видимых закономерностей качественные свойства

матрицы Понтекорво-Маки-Накагавы-Сакаты

Возможная комплексность матрицы слабого

(матрица PMNS) [11] возникают в зеркальном

смешивания (MCC) лептонов (источник CP -

сценарии, включая такие тонкие детали, как

нарушения в лептонных системах) приобрела осо-

малость именно угла смешивания нейтрино θ₁₃ [12].

бый интерес в связи с развитием представления о

Определяется [8, 9], что воспроизведение матрицы

лептогенезе как причине существования барионной

PMNS естественно и просто достигается лишь

асимметрии Вселенной ([1], обзор [2]).

при дираковской природе и инверсном характере

Предварительные данные группы Т2К [3] ука-

спектра нейтрино трех поколений. В такой системе

зывают на большую величину дираковской фазы

аналог see-saw-механизма (см. обзор [13]) при-

CP-нарушения лептонов: δ_CP ≃ -π/2,|sinδ_CP| ≈

водит к формуле для масс, которая подтверждает

≈ 1. Однако этот результат и его интерпретация не

возможность исключительной малости масс ней-

являются окончательными [4]. Шесть эксперимен-

трино [11] даже в большей степени, чем see-saw-

тальных групп [2, 5] планируют продолжать работу

рассмотрение.

по определению δ_CP .

Возникновение дираковского фермиона в see-

Гипотеза о механизме нарушенной зеркальной

saw-механизме является нетривиальной пробле-

симметрии (ЗС) была предложена автором для

мой. Наличие не сохраняющих лептонные чис-

объяснения ряда феноменологически определяе-

ла майорановских членов, что характеризует see-

мых, но теоретически не понятых свойств стан-

saw-подход, обычно приводит к майорановским

дартной модели (СМ). Главной целью работ [6-

частицам. В спонтанно нарушенной ЗС существует

9] является воспроизведение структур MCC для

именно дираковский вариант, отвечающий наблю-

кварков и лептонов. Это есть направляющий прин-

даемым свойствам. Эта редкая ситуация требует,

цип подбора системы и явлений, которые способны

казалось бы, слишком ограничивающего подбора

создать наблюдаемую картину.

соотношений между параметрами системы. Од-

нако получаемые в этом варианте результаты —

Спонтанное нарушение зеркально-симметрич-

указание на огромное различие масс нейтрино и

ного обобщения СМ [6-9] оказывается механиз-

заряженных лептонов и соответствие с матрицей

мом, при котором особенности матрицы Кабиббо-

PMNS — позволяют серьезно отнестись также к

Кобаяши-Маскавы (матрица СКМ), т.е. иерархия

следующим из него представлениям о характере

ее элементов [10], легко осуществляются. Иерар-

комплексности матрицы PMNS. Эти свойства ис-

хия элементов оказывается непосредственно свя-

следуются в настоящей работе.

занной с иерархическим характером спектров масс

кварков. Более того, не проявляющие отчетливо

Прямое вычисление дираковской фазы δ_CP в

ЗС-механизме лежит за рамками используемых

^*E-mail: dyatlov@thd.pnpi.spb.ru

в работе приближений. Оно не представляется

158

CP-СВОЙСТВА ЛЕПТОНОВ

159

рациональным и из-за обилия параметров, опре-

с одинаковыми массами составляют одно дира-

деляющих фазу в самом общем возможном ва-

ковское. Это условие приводит к ограничениям,

рианте выбранной схемы. Но будет показано, что

которые определяют структуру части лагранжиана,

комплексность матрицы PMNS здесь обязатель-

ответственную за массы частиц. Для ЗС-схемы

но сопровождается малым фактором ∼m_e/m_μ ≈

такие ограничения включают и комплексные свой-

ства.

≈ 0.005 (массы e-, μ-лептонов). Поэтому в ЗС-

подходе комплексная часть элемента V3e в обычном

В работах [6-9] ЗС-фермионы представлены

представлении [11]

дираковскими операторами (Ψaf))

(

V3e = sinθ₁₃e-iδCP

(1)

1⁾

Ψ_LR = ψ_L + Ψ_R T_W =

(3)

имеет существенное основание быть меньше его

наблюдаемого абсолютного значения | sin θ13| ≈

Ψ_RL = ψ_R + Ψ_L (T_W = 0)

≈ 0.14-0.16, что означает заметную малость

трех поколений a, b = 1, 2, 3 и двух флейворов f =

| sin δ_CP | < 1

(2)

= u

d. B (3) L, R — киральности, T_W — слабый

изоспин группы SU(2). Система с фермионными

и не соответствует ожиданиям [3] (Приложение 2).

состояниями (3), очевидно, инвариантна к замене:

В варианте ЗС настоящей работы (см. разд. 2)

L ↔ R, Ψ↔ ψ.

(4)

и при используемых приближениях в лептонной

MCC нет и майорановских фаз.

Нарушение “зеркальной симметрии” (4) есть пе-

Работа выполнена в низшем приближении по

реход от состояний Ψ_LR и Ψ_RL к состояниям Ψ и

отношению масс фермионов СМ к тяжелым мас-

ψ с разными массами. Механизм нарушения стро-

сам зеркальных аналогов: m_SM/M_mir ≪ 1. Очень

ится по аналогии с СМ при помощи подходящих

большая величина M_mir не есть удобный выбор ис-

скаляров. Для разделения Ψ и ψ следует каждый

следуемого варианта, но это — необходимое усло-

вводимый скаляр дополнить таким же псевдоска-

вие воспроизведения наблюдаемых свойств. В рас-

ляром [7].

сматриваемом варианте ЗС все зеркальные ферми-

В силу киральных свойств кинетическая и все

оны имеют очень большие массы.

калибровочные связи автоматически отделяют Ψ

В разд. 2 выведены условия появления ди-

от ψ:

раковских нейтрино при ЗС-аналоге see-saw-

(5)

L_SM(Ψ_RL,Ψ_LR) ≡ L_SM(Ψ) + L_SM(ψ).

механизма. В разд. 3 получена массовая матрица

таких нейтрино и найдены их волновые функции

Части Ψ и ψ различаются только слабыми взаимо-

в пространстве индексов поколений. Комплексные

действиями: L — ток для ψ и R — ток для Ψ.

параметры матрицы PMNS обсуждаются в разд. 4.

Лагранжиан, формирующий массы нейтрино,

Приложение 1 показывает, что переходы от одних

предполагаем в следующем виде [7]:

представлений нейтральных лептонов к другим,

использованные в работе, не меняют кинетиче-

AΨLRΨ_LR + B(ν) Ψ_RLΨ_RL +

(6)

ских частей лагранжиана системы, но приводят

+h(ν)Ψ_LRΨ_RLϕ₁ +h(ν)Ψ_LRγ₅Ψ_RLϕ₂ -

к стопроцентному нарушению лептонных чисел

тяжелых зеркальных нейтрино. В Приложении 2

- h_MΨ^TRLCΨ_RLϕ^′ - h_MΨ^TRLCγ₅Ψ_RLϕ^′′ + c.c.

выводится формула для комплексности элемента

V3e (1) в параметрах рассматриваемой ЗС-модели.

Здесь A и B(ν) — массовые матрицы (в про-

странстве индексов поколений) изодублета Ψ_LR и

изоскаляра Ψ_RL. В общем случае это эрмитовские

2. ДИРАКОВСКИЕ НЕЙТРИНО

В ЗС-SEE-SAW-МЕХАНИЗМЕ

матрицы. Слабая симметрия SU(2) требует равен-

ства A для u-

d-компонент изотопического дуб-

Наблюдаемые различия в свойствах спектров

лета, т.е. для нейтрино и заряженных лептонов¹⁾:

заряженных лептонов и нейтрино и MCC кварков

и лептонов [11] можно объяснить присутствием

A(ℓ) = A(ν) ≡ A, B(ℓ) = B(ν).

(7)

в нейтринной части лагранжиана майорановских

массовых членов, не сохраняющих лептонные чис-

Бозоны ϕ₁,ϕ₂ — изоспиноры, а ϕ^′,ϕ^′′ — изоска-

ла. Но это приводит, вообще говоря, к майоранов-

ляры.

скому же характеру описываемых нейтрино. Воз-

В самом общем случае матрицы взаимодействия

можность появления в такой ситуации дираковских

h(ν) могут быть произвольными, комплексными, а

частиц возникает, если нейтринные майорановские

состояния присутствуют в виде пар с равными (по

¹⁾Именно это равенство определяет свойства матрицы

модулю) массами. Два майорановских состояния

СКМ [6].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

160

ДЯТЛОВ

h_M — комплексными, симметричными. Они оди-

Соответствие с феноменологией в [6-9] происхо-

наковы у каждой пары скаляр-псевдоскаляр. Та-

дит при соотношении между собственными значе-

ково требование ЗС. Дело в том, что при равенстве

ниями матриц в (10)

h невозможно физическим способом определить

A∼B≪μ(ν) ≪M,

(11)

характер используемой системы координат (левый

L или правый R). Именно возможность такого

аналогичном условиям see-saw-механизма [11].

определения считалась главным парадоксом пря-

При произвольных параметрах формула (10)

мого несохранения четности [14, 8]. В рассматрива-

приводит к ψ-майорановским состояниям. В май-

емой ЗС-модели нарушение ЗС приводит к систе-

орановском варианте их массы, хотя и могут быть

мам с малыми массами ψ или малыми массами Ψ.

малыми при условиях (11), но спектр нейтрино не

При равных h нельзя определить, в каком из этих

показывает возможность инверсного характера, а

состояний система оказалась, а без этого нельзя

построенная на них MCC не демонстрирует каче-

физически фиксировать и L, R-характер системы

ственно свойств, соответствующих наблюдаемым.

координат.

Требуется численный подбор многочисленных па-

В терминах Ψ и ψ формула (6) имеет вид [8]

раметров.

(

)

Ψ_Rψ_L

ψ_LΨ_R

(8)

Формула (10) обладает еще одним кажущимся

(

)

излишним для ЗС-подхода недостатком. Она на-

рушает четность, причем еще одним механизмом

+B(ν)

Ψ_Lψ_R

ψ_RΨ_L

+h(ν)Ψ_RΨ_LΦ₁ +

помимо слабого взаимодействия и различия масс

+h(ν)

ψ_Lψ_RΦ₂ - h_M Ψ^TLCΨ_LΦ^′ -

состояний СМ и зеркальных фермионов. Дело в

том, что она включает только одну киральность Ψ_L

- h_Mψ^TRCψ_RΦ^′′ + c.c.,

(изоскаляр) в майорановском члене. Для возник-

Φ1,2 = ϕ₁ ∓ ϕ₂, Φ^′,′′ = ϕ^′ ∓ ϕ^′′.

новения дираковских нейтрино необходимо при-

сутствие и изодублета Ψ_R. Появление майоранов-

Унитарными преобразованиями в пространстве

ской части массового лагранжиана с изодублетом

индексов поколений (a, b) можно без потери общ-

не может, как хорошо известно [13], осуществить-

ности уже в первоначальном лагранжиане сделать

ся простой процедурой (8)-(10). Для спонтанного

A и B диагональными вещественными матрица-

возникновения такого члена используются изовек-

ми — массами Ψ_LR- и Ψ_RL-состояний. При всех

торный скаляр или неперенормируемые члены с

таких преобразованиях соотношение (7), конечно,

квадратом изодублетов Φ₁(Φ₂). Оба варианта не

не меняется. Исследование свойств MCC, включая

представляются привлекательными.

комплексные свойства, удобно начинать с (A, B)-

В работе [7], в рамках ЗС, предложен каче-

диагональной формы.

ственный сценарий появления члена Ψ_R в резуль-

Для дираковских частиц, т.е. заряженных леп-

тате динамики, создаваемой при нарушении SU(2)

тонов и кварков, массы в работах [6-9] формиру-

конденсатом (9). Будем считать, что тем или иным

ются лагранжианами типа (6), (8), но без майора-

способом необходимая для феноменологии майо-

новских членов и со своими константами h(ℓ), B(ℓ)

рановская часть

и т.д. Изоспиноры Φ₁ и Φ₂ — одни и те же для

M_RΨ^TRCΨ_R + c.c.

(12)

всех сортов частиц (из них возникают массы W и

хиггсовский бозон H). Выпадение в конденсат [7]

входит в массовый лагранжиан (10).

〈Φ₁〉 = η или

〈Φ₂〉 = η

(9)

Сохранение четности (оператор P = γ₀, R ↔ L)

и дираковский характер состояний совмещаются

определяет массы слабых W_μ-бозонов и массы

в (10), (12) лишь при

зеркальных фермионов двух возможных “миров”

разрушенной ЗС — тяжелых Ψ или тяжелых ψ.

M_R = -M_L = M

(13)

Появление конденсатов 〈Φ₁〉 и 〈Φ^′〉 оставят Φ₂ и Φ^′′

(M_L = M_R — майорановская система, см. При-

тяжелыми бозонными состояниями [7]. В результа-

ложение в [8]).

те массовые члены лагранжиана (8) для нейтрино

Дираковость требует также равенства изо-

представляются формулой

(

)

дублетной и изоскалярной масс нейтрино в ЗС-

Ψ_Rψ_L

ψ_LΨ_R

(10)

лагранжиане (6), (8)²⁾:

(

)

A=B(ν).

(14)

+B(ν)

Ψ_Lψ_R

ψ_RΨ_L

+μ(ν)Ψ_RΨ_L -

− M_LΨ^TLCΨ_L + c.c.,

²⁾Условие (14) отсутствует в первоначальном тексте ста-

тьи [8]. Исправления внесены в тексте arXiv’a и в заме-

μ(ν) = h(ν)η, M = h_M 〈Φ^′〉.

чании в ЯФ 81, 406 (2018).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

CP-СВОЙСТВА ЛЕПТОНОВ

161

Равенство (14) должно выполняться не только ко-

Таким образом, U должна быть вещественной ор-

гда A, B — диагональные ЗС-массы, но и недиаго-

тогональной матрицей. В других вариантах нет пар

нальные массовые матрицы (в других представле-

состояний с равными массами — признака воз-

ниях поколений). Это означает, что юкавские связи

можной дираковости.

h(ν) в (8) и, следовательно, массовые матрицы μ(ν)

Матрица U должна участвовать и в диагона-

в (10) должны быть эрмитовскими: т.е. матрицы

лизации лагранжиана для заряженных лептонов,

преобразований Ψ_R и Ψ_L совпадают для состояний

т.е. быть преобразованием для всего изодублета

нейтрино.

UΨ_LR. Это необходимо, чтобы A во всех представ-

Отметим, что в результате подбора условий ди-

лениях удовлетворяла равенству (7). Только тогда

раковости — (13), (14), эрмитовость h — получим

свойства матрицы PMNS (да и СКМ для кварко-

нейтринную систему, в которой четность нарушает-

вых параметров) воспроизводятся непосредствен-

ся только слабыми взаимодействиями. Все другие

но, без детального дополнительного подбора мно-

части лагранжиана с участием нейтрино и после

гих констант [9]. При этом матрица

нарушения ЗС сохраняют четность. Эта особен-

A=UA_dU^T

(19)

ность, вполне возможная и кажущаяся естествен-

ной для идеи “зеркальности”, является в данной

остается вещественной.

модели и одним из условий возникновения каче-

Вещественная матрица U делает сомнительным

ственных свойств матрицы PMNS.

присутствие майорановских фаз в (16). Однако да-

3. СОСТОЯНИЯ И МАССОВЫЕ МАТРИЦЫ

же если они есть, перенесение фаз Ψ^′ = exp(iδ/2)Ψ

НЕЙТРИНО В ЗС-SEE-SAW МОДЕЛИ

на матрицу A для нейтрино

Выбор ЗС-системы с условиями разд. 2 поз-

A(ν) = UA_dU^T {e-iδ/2} = A{e-iδ/2}

(20)

воляет записать сумму лагранжианов (10) и (12)

для нейтрино через полные дираковские спиноры Ψ

не влияет на массовую матрицу ψ-состояний и,

и ψ:

следовательно, на PMNS-матрицу (см. форму-

(

)

лу (30)). Майорановские фазы (16) присутствуют

A_d

ψΨ +Ψψ + μΨΨ -

(15)

тогда во взаимодействиях с Φ^′′, в слабых заря-

женных токах тяжелых зеркальных частиц, в их

− MΨ^TCγ₅Ψ + M⁺ Ψγ₅C Ψ^T ,

распадных взаимодействиях.

Ψ=Ψ_L +Ψ_R, ψ=ψ_L +ψ_R.

Лагранжиан (15) с диагонализованными μ и M:

Используем вещественное представление C =

{

∑

= iγ₀γ₂, C⁺ = C^T = -C. В самой общей форме

A(ν)

ψΨ + A(ν)+ Ψψ +

μ_n Ψ_nΨ_n -

(21)

A_d — диагональная вещественная, μ — эрмитов-

n=0

ская и M — комплексная симметричная матрицы

(

)}

(3 × 3). Выражение (15) сохраняет четность: Ψ →

Ψ(c)

M_n

γ₅Ψ_n -Ψnγ₅Ψ(c)

→ γ₀Ψ, ψ → γ₀ψ.

Матрица M диагонализуется матрицей, удо-

Ψ(c) = CΨT ,

Ψ(c) = Ψ^T C,

влетворяющей условию U^TM U_M = 1. Это видно из

определяет состояния и массы как зеркальных

сравнения числа произвольных параметров в сто-

нейтрино, так и частиц СМ. Нумерация n = 0, 1, 2

ронах равенства:

}

(так в [6-9]) для тяжелых зеркальных частиц отли-

^{1

чает их индексы поколений от индексов поколений

M=U_M

M_deiδd U^TM , U^TM U_M = 1,

(16)

образуемых ψ состояний (a, b = 1, 2, 3).

Задачу можно решать, используя разложение

где {1/2M_deiδd } — диагональная матрица майора-

по неравенствам (11). Пренебрегая A, массы и

новских масс и фаз [11]. Эрмитовская матрица μ

состояния тяжелых зеркальных нейтрино опреде-

диагонализуется унитарными матрицами U

ляются матрицей

U⁺U = 1, μ = U{μ_d}U⁺

(17)

Ψ(c)γ₅

с диагональной вещественной {μ_d}.

Можно проследить, что дираковская система

(22)



возникает, только если диагонализация μ и M

M/2

μ/2

 γ₅Ψ(c)

происходит независимо и одновременно, т.е. при



преобразовании UΨ с одной и той же матрицей U.

 μ/2

-M/2

Это означает

В (22) опущены все индексы у Ψ, подразумеваются

U =U_M, U^TM =U⁺.

(18)

три матрицы для n = 0, 1, 2.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

162

ДЯТЛОВ

[(

)

Ортогональная матрица, диагонализующая

Ψ=

√

Ψ_λ +

(22), равна:

M +λ



]

(

)



M+λ

Ψ(c)

U =



,

(23)

+ 1-

γ5 ,



M +λ



^M+λ

[

]1/2

и учитывая, что только 〈Ψ_λ,Ψλ〉-пропагаторы от-

2λ

N =

λ = (M² + μ²)1/2.

личны от нуля, получим формулу для дираковской

M+λ

части массового оператора нейтрино ψ:

Собственные числа и операторные собственные

(m(D)ν)_ab =

(30)

функции (22) равны:

[(

)₂

∑

(

)

A(ν)

λ₁ = 1/2λ, Ψ₁ =

γ₅Ψ(c) +

Ψ ; (24)

2N²

M+λ

n=0

(

)

]

(

)₂

λ₂ = -1/2λ, Ψ₂ =

Ψ-

γ₅Ψ(c)

M+λ

-γ₅

M+λ

Собственные функции обладают свойством

(

)

∑

2μ

Ψ(c)1 = -γ₅Ψ₂,

Ψ(c)

= Ψ₂γ₅,

(25)

A(ν)+nb =

λ_n

N²

(M + λ)λ

n=0

откуда возникает соотношение

Обратим внимание, что майорановская фаза δ

Ψ(c)

Ψ(c)1 =Ψ1Ψ₁ = -Ψ2Ψ₂.

(26)

исчезла из этого выражения. Дираковская часть

массовой матрицы нейтрино вещественна (в при-

Поэтому Ψ-часть лагранжиана равна:

ближении |A| ≪ M).

μΨΨ -M

Ψ(c)γ₅Ψ +^M

^Ψγ₅Ψ(c) =

(27)

Аналогичное вычисление майорановской части

массовой матрицы ψ (α, β — спинорные индексы):

(

)

Ψ₂Ψ₁ +Ψ1Ψ₂

∑

ψ^Tα A(ν)T 〈Ψα,Ψβ〉A(ν)ψ_β,

(31)

(Ψ1 +Ψ2)

(Ψ₁ + Ψ₂)

=λ

√

≡λΨλΨ_λ,

n=0

[

]

(

)₂

Ψ₁ + Ψ₂

〈Ψα,Ψβ〉 = δα,β 1-

Ψ_λ =

√

M +λ

]

1^[

Формула (27) представляет дираковскую частицу

- (Cγ₅)^T

+ (Cγ₅)_βα

≡ 0,

βα

Ψ_λ с массой λ.

также свидетельствует о дираковском характере

Теперь рассмотрим характер состояний ψ, воз-

ψ. Это — нейтрино системы (21) с исключительно

никающих из лагранжиана (21). В Приложении 1

малыми массами (30).

показано, что кинетическая часть общего лагран-

жиана (5) и в терминах Ψ, и в терминах Ψ_λ, имеет

4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

одинаковый вид. Ψ_λ представляет собой истинно

МАТРИЦЫ PMNS

дираковское состояние. Тогда массовую матрицу ψ

можно найти из диаграмм для собственной энергии.

В рассматриваемом низшем порядке по па-

При m_ψ ≪ λ (считаем m_ψ ∼ m_SM) в пропагаторе Ψ

раметрам (11) единственно возможная комплекс-

можно пренебречь |p| ≈ m_ψ. Из выражения

ность нейтринного лагранжиана (15), (21) — май-

орановская фаза δ — не переходит при диагонали-

ψm_νψ)

ψ_αA(ν)〈Ψ_α,Ψβ〉A(ν)+ψ_β

(28)

зации на волновые функции физических нейтрино.

CP-нарушающие фазы могут появиться лишь от

(α, β — спинорные индексы), находя операторы Ψ

заряженных лептонов.

через Ψ_λ:

В заряженной системе, в приближении A/μ ≪

[(

)

≪ 1, имеем после диагонализации соответствую-

Ψ=

√

Ψ_λ -

(29)

щих связей массовую матрицу [6, 8, 9]:

M +λ

]

(

)

∑

(m(ℓ))

ab =

A(ℓ)

B(ℓ)+nb.

(32)

-γ₅

Ψ(c)

^an μn)

M+λ

n=0

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

CP-СВОЙСТВА ЛЕПТОНОВ

163

Трехмерные векторы Anℓ), Bnℓ), n = 0, 1, 2 с проек-

значительных зaимствований из работ [6, 8, 9],

циями на оси индексов поколений a, b = 1, 2, 3 об-

поскольку основано на обнаруженных там свой-

ладают здесь следующими свойствами (в отличие

ствах. Для стандартной формы элемента PMNS

от условий (14) для нейтрино):

(нейтрино 3 — электрон): V3e = sin θ₁₃ exp iδ_CP —

получена формула (П.18)

A(ℓ) = B(ℓ), но A(ℓ) = A(ν) = A.

(33)

V3e ≃ (0.14-0.16) + ξF(b_n)

Как уже объяснялось в тексте, общий для ℓ- и ν-

m_μ

систем вектор A есть вещественная величина. Ис-

точником комплексности в матрице PMNS могут

|ξ| ∼ 1,

|F (b_n)| ≲ 1 — комплексный (приблизи-

тельно чисто мнимый) фактор. При выводе (П.18)

быть только векторы B(ℓ).

использованы как теоретические следствия ра-

Элементы PMNS-матрицы есть скалярные

бот [6-9], так и экспериментальные данные [15],

произведения (в пространстве индексов поколе-

позволяющие оценить возможные величины ис-

ний) волновых функций физических состояний φ_ℓ

пользуемых в работе параметров. Формула (П.18)

и φ_ν, которые представляют заряженные лептоны

свидетельствует о малости синуса комплексной

и нейтрино разных массивных поколений.

фазы δ_CP в нашем варианте ЗС-сценария.

В работе [6] диагонализация сепарабельной

матрицы типа (30) или (32) проведена для случая,

когда спектр физических состояний должен иметь

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

результативную иерархическую структуру. Пред-

Отметим, что массы m_ν , которые возникнут

полагается, что такая структура обеспечивается

при диагонализации (30), параметрически ука-

иерархией юкавских масс μ_n:

зывают на большее отличие масс нейтрино от

m_τ ≫ m_μ ≫ m_e ←→ μ₂ ≫ μ₁ ≫ μ₀.

(34)

масс заряженных лептонов, чем обычная see-saw-

формула [13]. Имеем:

Для параметров A и B (33) более естественно быть

величинами одного порядка для всех n. Это осо-

m_ν ∼ m(ℓ)

(see-saw),

(36)

бенно ясно в их недиагональной форме. Инверсная

иерархия формулы (32) приводит к тому, что самой

⁽ μ)2

тяжелой массе m_τ соответствует самая легкая μ₀

m_ν ∼ m(ℓ)

(ЗС).

и т.д. Эта же иерархия μ_i, присутствующая в чис-

лителях формулы (30), позволяет предположить

В (36) считаем, что для see-saw μ ∼ m(ℓ) — мас-

инверсный характер спектра СМ-нейтрино [7], что

сы заряженных лептонов СМ, а для ЗС m(ℓ) ∼

существенно облегчает воспроизведение “стран-

∼ AB/μ [8]. В обоих случаях полагаем, что пара-

ных” качественных свойств матрицы PMNS.

метры μ(ℓ) ∼ μ(ν). Это предполагается и в обычном

Результаты работ [6-9] показывают, что ком-

see-saw-сценарии.

плексные параметры B(ℓ) присутствуют в волновых

Формула (П.18) соответствует малой величине

функциях заряженных лептонов только в попра-

синуса нарушающей CP лептонной фазы δ_CP . От-

вочных по иерархии (34) членах. Главные вклады

в эти функции зависят лишь от вещественных век-

ношение m_e/m_μ значительно меньше наблюдае-

торов A. Это приводит к тому, что комплексности

мого вещественного слагаемого в (П.18). Послед-

нее не удается оценить теоретически, поскольку

масс сопровождаются малыми факторами отноше-

в него вносят вклад сложно вычисляемые, прене-

ний масс лептонов разных поколений:

брегаемые в нашем рассмотрении, отношения масс

m_e

m_μ

≈ 0.005

или

≈ 0.06.

(35)

нейтрино m₃/m₁, m₃/m₂, малые при инверсном

m_μ

m_τ

характере нейтринного спектра: m₃ ≪ m₁ ∼ m₂. В

обсуждаемых условиях включение таких поправок

Исследование именно комплексного характера

оставляет величины вещественными. В (П.18) вы-

MCC требует выяснения еще одного сложного

числение этого вклада заменено эксперименталь-

вопроса. Параметризация массовых матриц (30)

ным значением [11].

и (32) не включает явно канонических парамет-

ров MCC лептонов — углов смешивания поколе-

Майорановские фазы, несохранение лептонного

ний нейтрино θ₁₂, θ₁₃, θ₂₃. Вычисленные из (30),

числа (см. формулу (П.7) Приложения 1), нару-

(32) MCC могут поэтому отличаться от стандарт-

шение CP = T инвариантности [16] проявляются в

ной формы [11] преобразованиями фаз волновых

полную силу лишь в процессах с участием тяжелых

функций. Требуется приведение полученной MCC

зеркальных нейтрино.

к матрице PMNS.

Следующие приближения по малому парамет-

Рассмотрение этих вопросов вынесено в При-

ру m_SM/M_mir могут потребовать дополнительных

ложение 2. Оно довольно громоздко и требует

условий для сохранения дираковского характера

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

164

ДЯТЛОВ

нейтрино СМ. Это были бы новые теоретические

с одного Ψ на другое. Знак минус от этой операции

условия на все параметры, т.е., в конце концов, на

сделает вклад от второй скобки равным нулю, а

массы лептонов и элементы MCC.

первая скобка равна, согласно (23),

Рассматриваемый механизм нарушения ЗС (че-

{(

)₂

рез вакуумные средние скалярных полей) приводит

^Ψ pΨ =

(П.5)

к непертурбативной связи наблюдаемого хиггсов-

2N²

M+λ

ского бозона H(m_H = 126 ГэВ) с очень тяжелыми

}

(

)₂

зеркальными фермионами: M_mir ≫ m_H . Влияние

+ 1-

Ψ_λ pΨ_λ ≡Ψλ pΨ_λ

непертурбативности связано поэтому с явлениями

M+λ

на исключительно малых расстояниях (∼1/M_mir).

Вклад их в характеристики процессов только с

— кинетическому члену фермиона Ψ_λ.

энергиями и частицами СМ представляется каче-

При вычислении слабого нейтрального тока тя-

ственно несущественным для нашего анализа (мо-

желых зеркальных нейтрино Ψ

гут меняться лишь величины массовых констант).

1+γ₅

Попытка учета влияния области сильного взаимо-

Ψ(ν)

γ_μΨ(ν)R =Ψ(ν)

γ_μ

Ψ(ν)

(П.6)

действия на сечение рождения хиггсовского бозона

H представлена в [17].

получим, снова используя формулы (29), выраже-

ние, не сохраняющее лептонные числа:

Приложение 1

{

(

)₂

Ψ_λ

γ₅

γ_μγ₅Ψ_λ - (П.7)

Покажем, что операция перехода от фермио-

2N²

M+λ

нов Ψ к представителям массивных нейтрино Ψ_λ

(

)

μ²

сохраняет форму кинетической части. В слабых

- 1-

токах тяжелых зеркальных нейтрино, в их взаимо-

(M + λ)²

действиях с хиггсовским бозоном появятся члены,

}

[

]

1+γ₅

нарушающие сохранение лептонного числа. Этот

Ψ(c)

γ_μ

Ψ_λ +Ψλγ_μ

Ψ(c)

факт был уже отмечен в [16].

Рассмотрим нейтральный ток Ψ. Подставив в

него выражения (29), получим

Формула (П.7) аналогична вычисленной другим

{(

)₂

путем формуле (39) из [16]. Так же вычисляются

слабые заряженные токи и взаимодействия зер-

^Ψγ_μΨ =

Ψ_λγ_μΨ_λ + (П.1)

2N²

M+λ

кальных нейтрино со скалярами.

(

)₂

}

В более высоких порядках по малому параметру

Ψ(c)

m_SM/M_mir ≪ 1 несохранение лептонных чисел мо-

+ 1-

γ_μΨ(c)

M +λ

жет проявиться и в системе легких нейтрино СМ в

(

)

виде малых поправок к СМ-формулам.

μ²

2N²

(M + λ)²

{

}

Приложение 2

- Ψ_λγ_μγ₅Ψ(c)λ +Ψ(c)γ5γμΨλ

В работе [6] найдены волновые функции (в про-

Обе фигурные скобки не равны нулю:

странстве индексов поколений) массивных заря-

Ψ(c)

женных фермионов СМ. Это левые собственные

γ_μΨ(c)λ = Ψ^Tλ Cγ_μCΨTλ = -Ψλγ_μΨ_λ, (П.2)

функции сепарабельной матрицы (32) — массовой

так как Ψ антикоммутируют, C² = -1. Во второй

матрицы ЗС-модели. Вычисление проводится по

скобке

теории возмущений по иерархии (34).

Ψ_λγ_μγ₅Ψ(c)λ =

(П.3)

Для векторов A_n и B_n работы [6] введем пара-

метризацию, соответствующую настоящей работе:

= Ψ_λLγ_μγ₅CΨTλR +ΨλRγ_μγ₅CΨTλL,

а второе слагаемое в (П.3) равно первому:

A_n ⇒ A_na_n, B_n ⇒

B_n b_n,

(П.8)

μ_n

Ψ_λRγ_μγ₅CΨTλL =ΨλLγ_μγ₅CΨTλR.

(П.4)

n = 0,1,2.

В кинетическом члене лагранжиана производ-

Здесь A_n, B_n в правой части (П.8) — модули век-

ные p = iγ∂ во втором слагаемом первой скоб-

торов, нормированные векторы: a_n = (a(n)1, a(n)2,

ки (П.1), т.е. в формуле (П.2), и во втором слагае-

мом (П.3), т.е. в формуле (П.4), следует перекинуть

a(n)3) и аналогично b_n (|b_n| = 1 — комплексный, а

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

CP-СВОЙСТВА ЛЕПТОНОВ

165

|a_n| = 1 — вещественный). Левые волновые функ-

Из формул (П.9) и (П.12) элемент V3e MCC

ции заряженных лептонов (оставляя только наи-

лептонов представляется формулой:

большие по иерархии (34) комплексные вклады)

([a₂, a₁], [a₀, a₁])

равны (формулы (28)-(30), [6]):

V3e = 〈Φν3,Φ_e〉 =

- (П.14)

| sin α₀₁ sin α₁₂|

(B₁A₁/μ₁)

Φ_τ = a₀ +

(b⁺¹, b₀)a₁ + · · · ,

(П.9)

(B₂A₂/μ₂) ([a₂, a₁], [a₀, a₂])

(B₀A₀/μ₀)

- F(b_n)

(B₁A₁/μ₁) | sin α₀₁ sin α₁₂|

a₁ - cos α₀₁a₀

Φ_μ =

([a₂, a₁], [a₀, a₁]) = cos α₀₂ - cos α₀₁ cos α₁₂,

| sin α₀₁|

([a₂, a₁], [a₀, a₂]) = cos α₀₂ cos α₁₂ - cos α₀₁.

(B₁A₁/μ₁)

- |sinα₀₁|

(b⁺⁰, b₁)a₀ + · · · ,

(B₀A₀/μ₀)

Первый (вещественный) член в (П.14) оказывается

малой величиной [9]. Это связано с тем, что при

[a₀, a₁]

(B₂A₂/μ₂) [a₀, a₂]

Φ_e =

- F(b_n)

+··· ,

иерархическом характере спектра масс заряжен-

| sin α₀₁|

(B₁A₁/μ₁) | sin α₀₁|

ных лептонов вектор a₂ с точностью до малых

отношений масс (34) разных поколений ортогона-

где комплексный фактор F (b_n) равен:

лен векторам a₀ и a₁. Приближенная ортогональ-

(b⁺¹, b₂) - (b⁺¹, b₀)(b⁺⁰, b₂)

ность является теоретическим обоснованием в ЗС-

F (b_n) =

(П.10)

подходе малости нейтринного угла смешивания θ

1 - |(b+1 ,b₀)]²

(формулы (35), (37), [9]). Но тогда следует иметь

Модули векторных произведений векторов

в виду, что первый член в (П.14) не может один

определять величину V3e. Возможны дополнитель-

|[a₀, a₁]| = sin α₀₁,

|[a₀a₂]| = sin α₀₂ и т.д.,

ные вещественные вклады того же порядка от учета

(П.11)

влияния малой массы m₃ и поправок к форму-

α₀₁, α₀₂, α₁₂ — углы между вещественными век-

лам (П.12) и (П.13). Сумма всех этих величин

торами a_n. Скалярные произведения a_n есть:

должна здесь определять модуль элемента |V3e| =

(a₀, a₁) = cos α₀₁ и т.д.

= |sinθ₁₃| ≈ 0.14-0.16, если комплексный вклад

Волновые функции дираковского нейтрино ве-

в (П.14) еще меньше.

щественны (разд. 3). Для вычисления возможных

Параметры, определяющие MCC лептонов

наибольших комплексных вкладов в MCC доста-

в (П.14), отличаются от стандартных углов сме-

точно использовать главные части этих функций.

шивания θ₁₂, θ₁₃, θ₂₃ поколений нейтрино. Поэтому

Согласно формуле (40) [8], если бы спектр ней-

комплексный фактор в (П.14) может изменяться

трино был бы инверсным и чисто иерархическим —

переносом комплексных фаз других элементов

m₁ > m₂ > m₃, то главные члены левых функций

MCC. Это происходит переопределением фаз

нейтрино (собственные функции матрицы (30)) бы-

волновых функций лептонов. К элементу V3e такие

ли бы:

фазы могут перейти от элементов V3τ и V1e.

Φν1 = a₂ + ... ,

(П.12)

Элемент V3τ в рассматриваемом приближении

оказывается вещественным, а V1e равен:

a₁ - cosα₁₂a₂

Φν2 =

+...,

(a₂, [a₀, a₁])

| sin α₁₂|

V1e = 〈φ^′ν

|φ_e〉 =

(П.15)

| sin α₀₁|

[a₂, a₁]

[

Φν3 =

| sin α₁₂|

× (cos β - sin β| cot α₁₂|) +

]

Реальный наблюдаемый спектр нейтрино: при

(B₂A₂/μ₂) sin β

инверсном характере спектра состояния c номе-

+ F(b_n)

(B₁A₁/μ₁) | sin α₁₂|

рами 1, 2 близки по массе (“вырождение”, [8]).

Волновые функции состояний 1, 2 определяются

т.е. с тем же комплексным фактором, что и (П.14).

тогда через (П.12) и формулу (38) работы [9]:

Этот фактор безусловно мал в нашей ЗС-системе и

связан с отношением масс m_e/m_μ. Действительно,

Φ′1 = Φν1 cos β + Φν2 sinβ,

(П.13)

согласно формулам (24), (25) статьи [6] при уче-

те (П.8) имеем

Φ′2 = -Φν1 sin β + Φν2 cos β.

A₂B₂

Вещественный угол β — “угол снятия вырожде-

m_e ≃

f_e(a_n,b_n),

(П.16)

μ₂

ния” — зависит от поправок к функциям (П.12) и

влияния на них Φν3 . При нашем рассмотрении β

1B1

m_μ ≃

f_μ(a_n,b_n),

остается еще одним параметром задачи.

μ₁

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

166

ДЯТЛОВ

f_e, f_μ — определяемые в [6] вещественные функ-

C. Hagedorn, R. N. Mohapatra, E. Molinaro,

ции.

C. C. Nishi, and S. T. Petcov, J. Mod. Phys. A 33,

1842006 (2018), arXiv: 1711.02866 [hep-ph].

Можно убедиться, что все сопровождающие

комплексности F (b_n) факторы не проявляют воз-

K. Abe et al. (T2K Collab.), Phys. Rev. D 91, 072010

(2015); arXiv: 1502.01550 [hep-ph].

можности больших отклонений от единицы. Для

доказательства используем следующие свойства.

J. Elevant and T. Schwetz, arXiv: 1506.07685 [hep-

ph]; D. V. Forero and P. Huber, arXiv: 1601.03736

1. Приближенная ортогональность векторов

[hep-ph].

a₂ ⊥ a₀,a₁, следующая из иерархического харак-

S. Pascoli, CERN Courier 56 (6), 34 (2016).

тера спектра лептонов [9].

И. Т. Дятлов, ЯФ 77, 775 (2014) [Phys. Atom. Nucl.

2. Сепарабельная форма массовой матрицы (32)

77, 733 (2014)]; arXiv: 1312.4339 [hep-ph].

приводит к тому, что аналогичная ортогональность

b₂ ⊥ b₀,b₁ имеет место и для чисто вещественных

И. Т. Дятлов, ЯФ 78, 1015 (2015)

[Phys. Atom.

b_n.

Nucl. 78, 956 (2015)]; ЯФ 81, 406 (2018) (Поправ-

ка); arXiv: 1509.07280 [hep-ph].

3. Наблюдаемая матрица PMNS [15] в срав-

И. Т. Дятлов, ЯФ 78, 522 (2015) [Phys. Atom. Nucl.

нении с вычисленным в работе [9] приближен-

78, 485 (2015)]; ЯФ 81, 406 (2018) (Поправка);

ным остовом MCC лептонов (формула (39), [9])

arXiv: 1502.01501 [hep-ph].

позволяет оценить величину ряда используемых

параметров:

И. Т. Дятлов, ЯФ 80, 368 (2017) [Phys. Atom. Nucl.

80, 679 (2017)]; arXiv: 1703.00722 [hep-ph].

10.

L. Wolfenstein, Phys. Rev. Lett. 51, 1945 (1983).

cos β ≃ 0.8-0.9, sin β ≃ 0.5-0.6,

(П.17)

11.

M. Takabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev.

sin α₁₂ ∼ cos α₁₂ ≈ 0.6-0.8.

D 98, 030001 (2018).

12.

F. P. An et al. (Daya-Bay Collab.), Phys. Rev. Lett.

В результате для стандартной формы элемента V3e

108, 171803 (2012); J. K. Ahn et al. (RENO

матрицы PMNS получим выражение

Collab.), Phys. Rev. Lett. 108, 191802 (2012); Y. Abe

et al. (Double Chooz Collab.), Phys. Rev. D 86,

V3e ≃ (0.14-0.16) + ξF(b_n)

m_e ,

(П.18)

m_μ

052008 (2012).

13.

R. N. Mohapatra and A. Yu. Smirnov,

|ξ| ∼ 1. Из формулы (П.10) следует, что F (b_n)

hep-ph/0603118.

является небольшой (если b₀ = b₁), почти чисто

14.

T. D. Lee and C. N. Yang, Phys. Rev. 104, 254 (1956).

мнимой величиной, так как при вещественных b₂ ⊥

15.

J. Bergstr ¨om, M. C. Gonzalez-Garcia, M. Maltoni,

⊥ b₀,b₁ F(b_n) ≃ 0. Для равенства “направлений”

and T. Schwetz, JHEP 1509, 200 (2015); arXiv:

b₀ = b₁ нет видимых причин.

1507.04366 [hep-ph].

16.

И. Т. Дятлов, ЯФ 80, 151 (2017) [Phys. Atom. Nucl.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

80, 275 (2017)]; arXiv: 1611.05635 [hep-ph].

1. M. Fukugita and T. Yamagida, Phys. Lett. B 174, 45

17.

И. Т. Дятлов, ЯФ 80, 253 (2017) [Phys. Atom. Nucl.

(1986).

80, 469 (2017)]

LEPTON CP PROPERTIES IN THE MIRROR MECHANISM

I. T. Dyatlov

National Research Center Kurchatov Institute —

Petersburg Nuclear Physics Institute, Gatchina, Russia

Quark and lepton mass matrices can be generated by transitions through intermediate states formed of

heavy mirror fermions. Such a model is capable to reproduce the main qualitative features of the weak

mixing matrices (CKM and PMNS matrices). The reproduction includes the hierarchy of CKM matrix

elements, smallness of the θ₁₃ — neutrino mixing angle. It brings also very tiny neutrino masses. For

leptons these properties appear only for the neutrino Dirac nature and its inverse spectrum. Spontaneous

violation of the mirror symmetry together with the observed mass hierarchy for charged leptons (e, μ, τ) set

the PMNS matrix structure and make possible evaluation of its allowed complexity, i. e. of the lepton CP

properties. The PMNS matrix does not contain then Majoran phases and its Dirac phase δ_CP corresponds

to | sin δ_CP | significantly less than unity.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019