ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2019, том 82, № 2, с. 167-171

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛА

НУЛЕВОГО РАДИУСА

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова,

физический факультет, Москва, Россия

Поступила в редакцию 20.11.2018 г.; после доработки 20.11.2018 г.; принята к публикации 21.11.2018 г.

Рассматривается эффект поляризации вакуума безмассового скалярного поля φ(x) вблизи точечного

источника с потенциалом нулевого радиуса в четырехмерном пространстве Минковского. С исполь-

зованием техники самосопряженных расширений получено точное выражение для регуляризованной

функции Адамара скалярного поля и вычислены перенормированные вакуумные средние квадрата

поля 〈φ²(x)〉_ren и оператора тензора энергии-импульса 〈T_μν (x)〉_ren.

DOI: 10.1134/S0044002719020089

1. ВВЕДЕНИЕ

идеально проводящих пластин [3-5], двух точечных

или линейных источников с потенциалом нулевого

Классической для квантовой теории поля про-

радиуса [6]. Похожая ситуация возникает при рас-

блемой, изучением которой занимаются уже не

смотрении теоретико-полевых эффектов в окрест-

один десяток лет, является эффект поляризации

ности космических струн. Действительно, при под-

вакуума квантованных полей на пространствах с

ходящем выборе координат уравнение для безмас-

нетривиальной топологией, при наличии границ, в

сового скалярного поля с неминимальной связью

присутствии внешних полей. Этот эффект обладает

приобретает вид полевого уравнения с линейным

целым рядом нетривиальных особенностей, одной

δ-образным потенциалом, что требует корректного

из которых является его эффективная нелокаль-

учета этой особенности [7].

ность. Последняя проявляется в том, что уравне-

Ниже мы рассмотрим эффект поляризации ва-

ния поля, как уравнения в частных производных,

куума вблизи точечного источника в пространстве

“чувствуют” структуру пространства в целом. Эта

Минковского в рамках подхода, основанного на

нелокальность дает себя знать, даже если рассмат-

построении самосопряженных расширений.

ривается евклидово пространство с дискретным

В работе используется система единиц ℏ = c =

(конечным или бесконечным) числом выколотых

= 1 и метрика пространства-времени с сигнатурой

точек. В этом случае наложение адекватных гра-

(+, -, -, -).

ничных условий позволяет исследовать квантовые

системы, гамильтониан которых на эвристическом

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

уровне записывается в виде

∑

Рассмотрим уравнение

H = -Δ + λ_yδ^d(x - y),

(1)

(□ + λδ³(x))φ(t, x) = 0,

□ = ∂2t - Δ,

(2)

которое на эвристическом уровне трактуется как

где Δ — самосопряженный лапласиан на L²(R^d),

гейзенберговское уравнение движения безмассо-

d = 1,2,3 —размерность конфигурационногопро-

вого скалярного поля φ(t, x) в поле локализо-

странства, δ^d(x - y) — дираковская δ-функция,

ванного в начале координат источника нулевого

локализованная в точке y, λ_y — соответствующая

радиуса.

константа связи.

Подстановка

Модели такого типа широко обсуждались в

φ(±)ω(t,x) = e^∓iωtu_ω(x)

(3)

литературе в связи с задачами, возникающими в

сводит нахождение положительно и отрицательно

физике твердого тела [1], атомной и ядерной физи-

частотных решений этого уравнения к исследо-

ке [2]. Аналогичный подход позволил рассмотреть

ванию стационарного уравнения Шредингера для

казимировское взаимодействие двух параллельных

частицы в поле с потенциалом нулевого радиуса

^*E-mail: grats@phys.msu.ru

Hu_ω(x) = ω²u_ω(x), H = -Δ + λδ³(x).

(4)

167

168

ГРАЦ

Известно, что формальная запись потенциала

Известно, что операторы h_l при l ≥ 1 являются

в виде λδ^d(x) требует расшифровки. Математи-

самосопряженными, в то время как однопарамет-

рическое семейство самосопряженных расшире-

чески корректное описание δ^d-образных взаимо-

ний оператора h₀ имеет вид

действий при d = 1, 2, 3 достигается построени-

ем самосопряженного расширения неотрицательно

d²

2 d

h0,α = -Δ0,α = -

(8)

определенного оператора -Δ, рассматриваемого

dr²

r dr

на R^d\{0} [8-10]. В случае одного простран-

D(h0,α) = {u_α ∈ L²((0, ∞); r²dr);

ственного измерения (d = 1) это достигается на-

4πα limruα(r) = lim[uα + ru′α]},

ложением условия на разрыв первой производной

r↓0

волновой функции в точке расположения источ-

ника (в нашем случае в начале координат). При

где -∞ < α ≤ ∞. При этом свободный гамильто-

надлежащем выборе параметра самосопряженного

ниан соответствует случаю α = ∞.

расширения он совпадает с интенсивностью одно-

Таким образом, самосопряженное расширение

мерного δ-взаимодействия λ. В случае двух и трех

оператора H = -Δ задает точечное взаимодей-

измерений оператор -Δ остается самосопряжен-

ствие только в s-волне.

ным, даже если собственные функции расходятся в

Известно, что если 0 ≤ α ≤ ∞, спектр само-

точке локализации центра, но при условии, что они

сопряженного оператора h0,α непрерывный, а его

остаются локально квадратично интегрируемыми и

собственные значения E покрывают всю неотрица-

удовлетворяют соответствующим граничным усло-

тельную полуось R₊ = [0, ∞). При этом радиаль-

виям. Для этих двух размерностей конфигураци-

ная часть соответствующих собственных функций

√

онного пространства имеются однопараметриче-

отличается от регулярной функции u_E ∼ sin

Er/r

ские семейства самосопряженных операторов. При

и имеет вид

этом параметр самосопряженного расширения α

[

]

√

не связан напрямую с интенсивностью взаимо-

sin

cos

u_E,α(r) = C

+ tg δ

(9)

действия, а определяет длину s-волнового рассея-

ния [8, 9] (см. также [11]). В этом состоит принци-

пиальное отличие двух- и трехмерного случаев от

E⊂R₊.

случая одного пространственного измерения. При

Относительный коэффициент tg δ однозначно

d ≥ 4 оператор -Δ является самосопряженным и

определяется граничным условием

(8) и при

точечные взаимодействия отсутствуют.

выбранном способе параметризации расширений

Рассмотрим неотрицательно определенный опе-

равен:

√

ратор H = -Δ, рассматриваемый на R³\{0}.

tg δ =

(10)

В сферических координатах пространство

4πα

L²(R³) представляется в виде прямой суммы

При -∞ < α < 0 оператор h0,α наряду с непре-

⊕

⊗

рывным спектром, который по-прежнему покры-

L²(R³) =

L²((0,∞);r²dr)

(5)

вает всю неотрицательную полупрямую, имеет в

l=0

точности одно невырожденное отрицательное соб-

⊗

ственное значение

[Y_l,-l, . . . , Y_l,l],

E_- = -(4πα)².

где

{Y_l,m|l = 0, 1, 2, . . . , m = 0, ±1, ±2, . . . , ±l} —

Соответствующая собственная функция имеет вид

сферические гармоники, а символом [. . .] обозна-

чена линейная оболочка векторов Y_l,-l, . . . , Y_l,l.

u(-)α(r) ∼ (|α|)1/2e-4π|α|r/r.

По отношению к этому разложению оператор H

Понятно, что это решение описывает связанное

разлагается в сумму (см. [8-10] и процитирован-

состояние, а самосопряженное расширение опера-

ную там литературу)

тора -Δ при -∞ < α < 0 соответствует введению

притягивающего точечного потенциала.

⊕

⊗

H = h_l

(6)

l=0

3. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА

ВБЛИЗИ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА

где

Вернемся к поставленной задаче и восполь-

2 d

l(l + 1)

h_l = -

(7)

зуемся изложенными в предыдущем разделе ре-

dr²

r dr

r²

зультатами. Ограничимся рассмотрением случая

r > 0, l = 0,1,2,

отталкивающего потенциала (0 ≤ α ≤ ∞).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛА

169

Возвращаясь к уравнению (4), мы видим, что в

а генерируемая самосопряженным расширением

этом случае в s-волновом решении (9) и (10) сле-

поправка

√

дует положить

E = ω. После чего, нормируя s-

∫

∞

волновые положительно и отрицательно частотные

D(1)α(x,x^′) = Re dωe-iω(t-t′) ×

(13)

решения φ^ω

,α(t,r) = e^∓iωtuω,α(r) в соответствии с

требованием, чтобы

∫

× [u_ω,α(x)u^∗ω,α(x^′) - u_ω,∞(x)u^∗ω,∞(x^′)].

←→

dxφ(±)∗ω,α

∂_t φ(±)ω′,α=±δ(ω-ω′)^,

Функция D∞1)

не представляет интереса, по-

или, что эквивалентно,

скольку, взятые в пределе совпадающих точек, эту

∫

δ(ω - ω^′)

функцию и ее производные принято считать рав-

dxu_ω,αu_ω′_,α =

ными нулю и соответствующие выражения отбра-

2ω

сываются при регуляризации. Таким образом, ре-

мы получаем, что нормировочный коэффициент

гуляризованное значение функции Адамара дается

разностью

cos δ

C =

2π√ω.

D(1) = D(1) - D∞1) = Dα1),

Таким образом, s-волновая обобщенная соб-

откуда после подстановки (11) в (13) мы получаем

ственная функция оператора h0,α (8) имеет вид

D(1)α(x,x^′) =

(14)

sin(ωr + δ)

u_ω,α(r) =

(11)

∫

∞

2πr

√ω

cos ω(t - t^′)

dω

16π³αrr^′

1 + (ω/4πα)²

Пусть {u_ω,l,m} — полный ортонормированный

набор обобщенных собственных функций сво-

[

]

бодного гамильтониана H. Тогда полный орто-

× sin ω(r + r^′) +

cos ω(r + r^′)

нормированный набор обобщенных собственных

4πα

функций его самосопряженного расширения H_α

при

0 ≤ α ≤ ∞ состоит из

{u_ω,l,m|l ∈ N, m =

Дальнейшие вычисления традиционны (см., на-

= 0, ±1, ±2, . . . , ±l} и функции u_ω,α(r) (11). При

пример, [12]).

этом функция Адамара скалярного безмассового

Вакуумное среднее квадрата поля определяется

поля может быть представлена в виде

непосредственно взятой в пределе совпадающих

точек регуляризованной функцией Адамара (14)

D⁽¹⁾(x,x^′) =

〈φ(x)φ(x^′) + φ(x^′)φ(x)〉_vac =

(12)

J (β)

∫∞

〈φ²〉_ren = lim

D(1)α(x,x^′) =

(15)

[

x^′→x

4π²r²

= Re dωe-iω(t-t′) u_ω,α(x)u^∗ω,α(x^′) +

где

∞

∫

[

]

∑

]

J (β) = dz

sin βz + z cos βz ,

u_ω,l,m(x)u^∗ω,l,m(x^′) .

1+z²

m=-l l=1

β = 8παr.

Учтем, что uω,0,0 ≡ u_ω,α|α=∞, и запишем функ-

цию (12) как сумму

В рассматриваемом случае, когда β > 0, этот инте-

грал выражается через интегральную показатель-

D⁽¹⁾(x,x^′) = D(1)∞(x,x^′) + D(1)α(x,x^′),

ную функцию Ei(-x) [13]:

где D∞1)(x, x^′) — функция Адамара безмассового

J (β) = -e^βEi(-β).

(16)

скалярного поля в пустом пространстве Минков-

ского (α = ∞):

Вакуумное среднее оператора тензора энергии-

∫∞

импульса 〈T^νμ (x)〉_ren получается действием на ре-

гуляризованную функцию Адамара дифференци-

D(1)∞(x,x^′) = Re dωe-iω(t-t′) ×

альным оператором, вид которого определяется

классическим выражением для тензора энергии-

∑

импульса, с последующим переходом к пределу

u_ω,l,m(x)u^∗ω,l,m(x^′),

совпадающих точек. В случае метрического тензо-

m=-l l=0

ра в плоском пространстве и при использовании

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

170

ГРАЦ

криволинейных координат это дается выражени-

Из (18) следует, что перенормированное ваку-

ем [12]

умное среднее следа оператора тензора энергии-

импульса

〈T^νμ 〉_ren =

(17)

[

J +J₁ -J₂

(

)

〈T^μμ〉_ren = (1 - 6ξ)

4π²r⁴

= lim

(1 - 2ξ)∂^ν ∂^′μ -

- 2ξ δ^νμ∂^λ∂^′λ -

x^′→x

Таким образом, для конформного, ξ = 1/6, поля

]

след равен нулю, аномалия следа, как это и должно

(

)

-ξ

∇^ν∂_μ + ∇^′ν∂^′μ D(1)α(x,x^′),

быть в плоском пространстве, отсутствует.

Прямое вычисление позволяет показать, что

также выполняется и закон сохранения:

где ∂_μ и ∂^′μ — производные по x и x^′ соответствен-

∇_μ〈T^μν〉_ren = 0.

но, а ∇_μ и ∇^′μ — соответствующие ковариантные

производные (ниже будут использоваться сфери-

Далее, известно [13], что при больших значениях

ческие координаты).

аргумента имеет место асимптотическое разложе-

Пропорциональные ξ-члены возникают при

ние

введении в действие для скалярного поля члена

∑

(-1)^k(k - 1)!

ξRφ², описывающего связь между скалярным и

e^xEi(-x) =

x ≫ 1.

(19)

x^k

гравитационным полями:

k=1

∫

√

(

)

Откуда, в частности, следует, что что при α →

S_φ =

d⁴x

|g|

g^μν∇_μφ∇_νφ - ξRφ²

→ ∞ (предельный случай пустого пространства

Минковского) вакуумные средние (15) и (18) обра-

где R — скалярная кривизна, ξ — константа связи.

щаются в нуль.

Соответствующий вклад в действие и урав-

Отдельно рассмотрим предел больших, r ≫

нение поля обращается в нуль, если метрика

≫ α-1, расстояний от источника. Используя

пространства-времени совпадает с метрикой про-

асимптотическое разложение (19), из (15) и (16) мы

странства Минковского, но метрический тензор

получаем, что на больших расстояниях вакуумное

энергии-импульса определяется как

среднее 〈φ²〉_ren представимо в виде

δS_φ

(

[

)]

T_μν =

√

〈φ²〉_ren =

1+O

(20)

|g| δg^μν

32π³αr³

αr

а функциональная производная по метрике в этой

Что касается тензора энергии-импульса, то в слу-

точке не равна нулю и дает соответствующие вкла-

чае больших r (18) приобретает вид

ды в (17).

(

)

(1 - 6ξ)

В результате для ненулевых компонент ва-

〈T^νμ 〉_ren =

diag

1, -1,

(21)

куумного среднего оператора тензора энергии-

2⁶π³r⁵α

[

импульса мы получаем:

−

diag (1, -1, 2, 2) -

〈T⁰⁰〉_ren =

(18)

2⁹π⁴r⁶α²

]

(

)

(

)

[J + J₁ - 4ξ(J + J₁ - J₂)] ,

8π²r⁴

- 8ξdiag

1, -

r⁷α³

〈T^rr〉_ren =

[J + J₁ - 4ξ(2J + J₁)] ,

Обращает на себя внимание тот факт, что

8π²r⁴

перенормированное вакуумное среднее тензора

〈T^θθ〉_ren = 〈T^ϕϕ〉_ren =

энергии-импульса скалярного поля при конформ-

ной связи (ξ = 1/6) на больших расстояниях

[J + J₁ - J₂ - 2ξ(4J + 3J₁ - 2J₂)] ,

убывает быстрее, чем при других значениях кон-

8π²r⁴

станты ξ.

где

(

)

J₁(β) = β

- J(β)

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(

)

В работе рассмотрена задача поляризации ва-

J₂(β) =

- J(β)

куума безмассового скалярного поля в поле с по-

β²

тенциалом нулевого радиуса. Задача формально

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛА

171

сводится к рассмотрению трехмерного стационар-

ность А.В. Борисову за обсуждение полученных

ного уравнения Шредингера с δ-образным потен-

результатов и высказанные замечания.

циалом. В случае двух- и трехпространственных

измерений рассмотрение такого рода квантово-

механических задач методами теории возмущений

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

приводит к необходимости бесконечных перенор-

R. de I. Kronig and W. G. Penney, Proc. Roy. Soc.

мировок. В работе использовался альтернатив-

(London) 130 A, 499 (1931).

ный подход, основанный на построении самосо-

Ю. Н. Демков, В. Н. Островский, Метод по-

пряженных расширений оператора -Δ. В случае

тенциалов нулевого радиуса в атомной физике

трехмерного конфигурационного пространства это

(Изд-во ЛГУ, 1975).

позволяет ввести как отталкивающий контактный

С. Г. Мамаев, Н. Н. Трунов, Изв. вузов, Физика 7, 9

потенциал (неотрицательный параметр расшире-

(1980) [Russ. Phys. J. 23, 551 (1980)], ЯФ 35, 1049

ния), так и потенциал притяжения (отрицательный

(1982) [Sov. J. Nucl. Phys. 35, 612 (1982)].

параметр расширения). Мы ограничились случа-

M. Bordag, D. Henning, and D. Robaschik, J. Phys.

ем отталкивающего потенциала. Следует подчерк-

A 25, 4483 (1992).

нуть, что используемый подход позволяет выйти за

J. M. Mu ˜nos-Casta ˜neda, J. Moteos Guilarte, and

рамки теории возмущений и не требует наложения

M. Mosquera, Phys. Rev. D 87, 105020 (2013).

каких-либо ограничений на интенсивность взаи-

Ю. В. Грац, ЯФ 81, 242 (2018) [Phys. Atom. Nucl.

модействия или на расстояние от источника, что

81, 253 (2018)].

заведомо пришлось бы сделать при использовании

Yu. V. Grats and P. Spirin, Eur. Phys. J. C 77, 101

(2017).

пертурбативных методов. В результате получены

точные выражения для перенормированных ваку-

М. Рид, Б. Саймон, Методы современной

умных средних квадрата поля и оператора тензора

математической физики.

2. Гармонический

анализ. Самосопряженность (Мир, Москва,

энергии-импульса. Показано, что полученные ре-

1978) [M. Reed, B. Simon, Methods of Modern

зультаты удовлетворяют естественным налагаемым

на вакуумное среднее тензора энергии-импульса

Mathematical Physics. II. Fourier Analysis.

требованиям обращения в нуль дивергенции и ра-

Self-Adjointness (Academic-Press, New-York,

London, 1975)].

венства нулю следа в случае конформной связи.

С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хеэг-Крон, Х. Холь-

Показано, что на больших расстояниях среднее

ден, Решаемые модели в квантовой механике

тензора энергии-импульса в случае конформно-

(Мир, Москва, 1991) [S. Albeverio, F. Gesztezy,

го поля убывает значительно быстрее, чем при

R. Hoeg-Krohn, H. Holden, Solvable Models in

других значениях параметра ξ. Поведение кон-

Quantum Mechanics (World Sci., Singapore, 1995)].

формного поля на искривленном пространственно-

10.

D. M. Gitman, I. V. Tyutin, and B. L. Voronov,

временном фоне обладает рядом особенностей, это

Self-Adjoint Extensions in Quantum Mechanics

известно. Неожиданным является появление такой

(Springer, 2012).

особенности в плоском пространстве. Связь полу-

11.

R. W. Jackiw, Diverse Topics in Theoretical

ченных результатов с в принципе измеримыми ве-

and Mathematical Physics, Advanced Series in

личинами определяется тем, что 4πα совпадает со

Mathematical Physics (World Sci., Singapore,

взятой со знаком минус обратной длиной рассеяния

1995), Sect. 13.

для гамильтониана -Δ_α.

12.

Н. Биррелл, П. Девис, Квантованные поля

В заключение отметим, что используемый метод

в искривленном пространстве-времени (Мир,

применим и в случае притягивающего потенциа-

Москва, 1984) [N. D. Birrell and P. C. W. Davies,

ла. Однако это потребует последовательного учета

Quantum Fields in Curved Space (Cambridge

связанного состояния. Было бы интересно также

University Press, 1982)].

рассмотреть и многоцентровый случай. Эти вопро-

13.

И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегра-

сы находятся в стадии рассмотрения.

лов, сумм, рядов и произведений (Наука, Москва,

Хотелось бы высказать искреннюю благодар-

1971).

VACUUM POLARIZATION IN A ZERO-RANGE POTENTIAL FIELD

Yu. V. Grats

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Physics, Russia

We analyze the effects of vacuum polarization associated with a massless scalar field near a point source

with a zero-range potential in a four-dimensional Minkowski space. With the use of the self-adjoint

extension technique we compute the renormalized vacuum expectation value of the field square 〈φ²(x)〉_ren

and the renormalized vacuum averaged of the scalar-field’s energy-momentum tensor 〈T_μν (x)〉_ren.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019