ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2019, том 82, № 2, с. 172-176

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ПОРОГОВЫЙ РЕСУММИРУЮЩИЙ S-ФАКТОР ДЛЯ СИСТЕМЫ

ДВУХ РЕЛЯТИВИСТСКИХ СПИНОВЫХ КВАРКОВ

Гомельский государственный технический университет им. П.О. Сухого;

Международный центр перспективных исследований, Гомель, Беларусь

Поступила в редакцию 01.08.2018 г.; после доработки 08.10.2018 г.; принята к публикации 10.10.2018 г.

Получен новый пороговый ресуммирующий S-фактор в квантовой хромодинамике для составной

системы из двух релятивистских кварков равных масс и спинами 1/2, взаимодействующих по-

средством кулоновоподобного хромодинамического потенциала. Рассмотрены случаи псевдоскаляра,

вектора и псевдовектора. Исследование проведено в рамках релятивистского квазипотенциального

подхода в гамильтоновой формулировке квантовой теории поля путем перехода в релятивистское

конфигурационное представление для случая составной системы из двух релятивистских частиц

равных масс.

DOI: 10.1134/S004400271902003X

1. ВВЕДЕНИЕ

равных масс должно быть модифицировано. Ре-

лятивистская модификация выражения (3) в КХД

При описании кварк-антикварковых систем

для описания эффектов вблизи порога рождения

вблизи их порога рождения ограничиться конеч-

пар в процессах e⁺e^- → ttи e⁺e^- → W⁺W^- была

ным порядком теории возмущений нельзя даже в

выполнена в работах [7, 8] и заключалась в замене

том случае, когда КХД-константа связи α_s мала [1,

v_nr → v. Точно такой же вид S-фактора, как и

2]. Это связано с тем, что реальным параметром

в работах [7, 8], был позднее предложен в [9].

пертурбативного разложения в околопороговой

Еще одно релятивистское обобщение S-фактора и

области является сингулярная величина α_s/v, где

√

также для случая двух бесспиновых частиц равных

масс было получено в [10]. Однако, как было по-

(1)

казано в работах [11, 12], релятивистские пределы

S-факторов в [9] и [10] существенно отличаются от

- скорость,

√s — полная энергия взаимодейству-

релятивистского предела (v → 1) S-фактора:

ющих частиц в с.ц.и., а m — массы этих частиц.

X(χ)

πα

Эта проблема хорошо известна из квантовой элек-

S(χ) =

X(χ) =

(4)

тродинамики [3]. Такие пороговые сингулярности

1 - exp[-X(χ)]

shχ

вида (α_s/v)ⁿ должны быть просуммированы. В

равного единице, который был предложен в [13]

нерелятивистском случае для кулоновского взаи-

для случая взаимодействия двух релятивистских

модействия

бесспиновых частиц равных масс. Здесь χ — быст-

V (r) = -

(2)

рота, которая связана с полной энергией взаимо-

действующих частиц в с.ц.и.

√s соотношением

такое пересуммирование выполняет известный S-

√s = M = 2mchχ,

(5)

фактор Гамова-Зоммерфельда-Сахарова [4-6]

а функция X(χ) в (4) может быть выражена в тер-

X_nr

√

S_nr =

X_nr =

πα,

(3)

минах скорости v: X(χ) = πα

1 - v²/v. Развитый

1 - exp(-X_nr)

v_nr

в [13] метод основан на релятивистском квазипо-

который связан с волновой функцией непрерывно-

тенциальном (РКП) подходе [14] в форме, пред-

го спектра в нуле через |ψ(0)|². Здесь 2v_nr — отно-

ложенной в [15, 16], путем перехода от импульс-

сительная скорость двух нерелятивистских частиц.

ной формулировки в пространстве Лобачевского к

В релятивистской теории нерелятивистское вы-

трехмерному релятивистскому конфигурационному

ражение (3) для случая двух бесспиновых частиц

представлению, введенному в [17] для случая вза-

имодействия двух релятивистских частиц равных

^*E-mail: chyud@mail.ru;chern@gstu.by

масс.

172

ПОРОГОВЫЙ РЕСУММИРУЮЩИЙ S-ФАКТОР

173

Подчеркнем, что S-фактор (4) был получен

конфигурационном представлении для радиальной

для кулоновского потенциала (2), который, как

волновой РКП-функции с относительным орби-

показано в [18], учитывает существенную особен-

тальным моментом ℓ имеет вид [23]²⁾

ность КХД — свойство асимптотической свободы

и закон эволюции инвариантного заряда, а при

∞

∫

его применении к задачам КХД требуется заме-

(sh χ^′)2ℓ+2(-1)ℓ+1

(

)

dχ^′

ch χ - ch χ^′

(7)

на: α → 4α_s/3. Применение релятивистского S-

ρ(ℓ+1)

фактора (4) для описания ряда характеристик ад-

ронных процессов можно найти в [19-22].

[(

)_ℓ(

)]

sin ρχ^′

Также напомним, что в двухчастичном прибли-

d ch χ^′

shχ^′

жении амплитуда Бете-Солпитера связана с ква-

зипотенциальными волновыми функциями в про-

(

)_ℓ

∫

∞

странстве моментов и в конфигурационном пред-

ρ^′ sin(ρ^′χ^′)

dρ^′

ϕℓ(ρ^′, χ) =

ставлении (см. [11-13]) соотношением

d ch χ^′ sh χ^′

(-ρ^′)(ℓ+1)

χ_BS(x = 0) =

(6)

∫



∫

∞



(sh χ^′)2ℓ+2(-1)ℓ+1



dΩ_pΨ_q(p) = ψ_q(r)

= V (λρ) dχ^′

A(ch χ^′) ×



(2π)³

ρ(ℓ+1)

r=iλ

где dΩ_p = mdp/E_p — релятивистский трехмерный

[(

)_ℓ(

)]

sin ρχ^′

элемент объема в пространстве Лобачевского, ко-

торое реализуется на верхней пол ´е массового ги-

d ch χ^′

shχ^′

перболоида E2p - p² = m², λ = 1/m — комптонов-

(

)_ℓ

∫

∞

ρ^′ sin(ρ^′χ^′)

ская длина волны¹⁾, а модуль радиуса-вектора r

dρ^′

ϕℓ(ρ^′, χ),

(r = rn, |n| = 1) является релятивистским инвари-

d ch χ^′ sh χ^′

(-ρ^′)(ℓ+1)

антом.

Основная цель настоящей работы состоит в

где быстрота χ по-прежнему вводится соотноше-

обобщении метода, предложенного в работах [11-

13], для получения нового порогового ресуммиру-

нием (5), потенциал V (λρ), λρ = r, является ло-

ющего S-фактора в квантовой хромодинамике для

кальным в смысле геометрии Лобачевского, функ-

составной системы из двух релятивистских кварков

ция (-ρ)(ℓ) = i^ℓΓ(ℓ + iρ)/Γ(iρ) называется обоб-

равных масс и спинами 1/2, взаимодействующих

щенной степенью [17], где Γ(z) — гамма-функция,

посредством кулоновоподобного хромодинамиче-

ского потенциала. Исследование проведено в рам-

а операто

A определяется выражением³⁾

ках РКП-подхода в квантовой теории поля [14] в

[

]

форме, предложенной в [15, 16], путем перехода от

( Ĥ₀)

( Ĥ0 )2

импульсной формулировки в пространстве Лоба-

+b ,

(8)

чевского к трехмерному релятивистскому конфигу-

⎧

рационному представлению, введенному в [17] для

⎪1

при

Ô₌ γ₅ (псевдоскаляр);

случая составной системы из двух релятивистских

⎨

частиц равных масс. Рассмотрены случаи псев-

при

Ô₌ γ_μ (вектор);

доскаляра, вектора и псевдовектора и выполнен

a=⎪2

⎪

анализ поведения S-фактора в нерелятивистском,

⎩-1

при

Ô₌ γ₅γ_μ (псевдовектор);

релятивистском и в ультрарелятивистском случаях.

²⁾Это уравнение было получено в полной аналогии с вы-

водом в [11, 12] интегрального уравнения для радиальной

2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КУЛОНОВСКАЯ

волновой функции с относительным орбитальным момен-

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ: СЛУЧАЙ

том ℓ для случая двух релятивистскихбесспиновыхчастиц

СПИНОВЫХ ЧАСТИЦ РАВНЫХ МАСС

произвольных масс.

³⁾Напомним, что для простоты рассмотрения, как и в ра-

Наш подход опирается на полностью ковари-

боте [24], мы считаем, что квазипотенциал имеет бис-

антное двухчастичное трехмерное РКП-уравнение

пинорную структуру вида I ⊗ I, а вершинная функция

также имеет заданную спинорную структуру, пропор-

в интегральной форме для случая двух реляти-

вистских спиновых частиц равных масс, которое в

циональную матрице

Ô, не зависящую от импульсных

переменных, причем в качестве

Ô выбираются матрицы

¹⁾Мы будем всюду использовать систему единиц, в которой

Дирака γ5, γμ, γ5γμ (μ = 0, 1, 2, 3). Такой выбор матрицы

положено: ℏ = c = 1.

Ôпозволяет нам найти точные решения РКП-уравнения.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

174

ЧЕРНИЧЕНКО

⎧

⎪0

при

Ô₌ γ₅ (псевдоскаляр);

бесспиновом случае только наличием осцилли-

⎨

рующего фактора exp[iαa sh x/4], а при a = 0 и

при

Ô₌ γ_μ (вектор);

b = 2 оно переходит в решение в бесспиновом

b=⎪⎪4

⎩3

случае [11, 12]. Учитывая эти обстоятельства,

при

Ô₌ γ₅γ_μ (псевдовектор).

вместо точного решения (9) будем рассматривать

его приближение, в котором вклад осциллирую-

Результирующее решение РКП-уравнения

(7),

щего фактора exp[iαa sh x/4] принимается равным

взятого при ℓ = 0, с кулоновоподобным потенциа-

единице. Такая аппроксимация не только не

лом (2), не содержащее i-периодических констант,

нарушает свойств симметрии решения (9), но и

имеет вид

[

]

позволяет представить выражение для радиальной

ϕ₀(ρ,χ) = 2C₀(χ)e^iBχ sh

π(ρ - ρ)

(9)

волновой РКП-функции в s-состоянии через

]

^[iαa

(

)

гипергеометрическую функцию, т.е. подобно тому,

∫∞

exp

shx +

1 + i(ρ - ρ)

как это делалось в бесспиновом случае [11, 12]:

× dx

(e^x + e^χ)²

ϕ₀(ρ,χ) = 2πC₀(χ)eiBχ-χ+i(ρ-ρ)χ(ρ - ρ) ×

(13)

−∞

(

)

]-1+iB

-χ

×F

1 - iB,1 - i(ρ - ρ);2;1 - e-2χ

^[e^x +e

e^x + e^χ

где параметры ρ и B определены в (10), а дей-

ствительный нормировочный множитель 2πC₀(χ)

где C₀(χ) — произвольная функция от χ, парамет-

дается выражением

ры a и b определены в (8), а параметры α, ρ и B

даются выражениями

|2πC₀(χ)|² = e^πB|Γ(1 - iB)|²,

(14)

α = αm,

(10)

которое находится из граничного условия (12) и

αach χ

α(a ch² χ + b)

асимптотики

ρ=

4sh χ

2πC₀(χ)e-πB/2

ϕ₀(ρ,χ)|ρ≫1 ≈

shχ|Γ(1 - iB)|

причем при χ = iκ параметр B связан с условием

{

[

]

квантования (подробности см. в работе [23])

× sin (ρ - ρ)χ + B ln

2(ρ - ρ) sh χ

α(a cos² κ + b)

}

= n,

(11)

+ arg Γ(1 - iB) .

4sin κ

n = 1,2,..., 0 < κ < π/2.

Отметим, что аппроксимация в (13) также при-

Легко установить, что нормировочный множитель

водит к точному условию квантования (11) для

C₀(χ) в решении (9) является действительным.

определения значений уровней энергии, при кото-

Кроме того, решение (9) имеет ту же форму, что и

рых гипергеометрическая функция в (13) становит-

решение в бесспиновом случае за исключением ос-

ся многочленом степени n при χ = iκ.

циллирующего фактора exp[iαa sh x/4], а при a = 0

Пороговый S-фактор в спиновом случае опре-

и b = 2 оно переходит в решение в бесспиновом

делим как

случае (см. работы [11, 12]).



ϕ₀(ρ,χ)2

Подчеркнем, что решение (9) удовлетворяет



S_RQP,S(χ) = lim

−πρ/2Γ(1 + iρ)

(15)

^e



граничному условию

ρ→i

sin(ρχ)

где дополнительный фактор exp(-π ρ/2)Γ(1 + iρ)

lim

ϕ₀(ρ,χ) ---→

(12)

α→0

ρ→∞ sh χ

обеспечивает не только правильный релятивист-

ский предел при χ → +∞, равный 1, но и переход

т.е. когда взаимодействие выключено (α → 0), оно

к бесспиновому случаю при a = 0 и b = 2. Таким

воспроизводит известную свободную волновую

образом, в спиновом случае функция

функцию.

ψ₀(ρ,χ) = e-πρ/2Γ(1 + iρ)ϕ₀(ρ,χ)

3. КУЛОНОВОПОДОБНЫЙ ПОРОГОВЫЙ

представляет собой физическую волновую функ-

S-ФАКТОР ДЛЯ ДВУХФЕРМИОННОЙ

цию для кулоновского взаимодействия (2).

СОСТАВНОЙ СИСТЕМЫ

Поскольку функция Бете-Солпитера χ_BS(x =

Для того чтобы найти выражение для куло-

= 0) связана с волновой РКП-функцией ψ_q(r) со-

новоподобного порогового ресуммирующего S-

отношением (6), то, используя соотношения (13)-

фактора, еще раз обратим внимание на то, что

(15), получаем следующее выражение для реляти-

решение (9) по форме отличается от решения в

вистского порогового S-фактора для случая со-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

ПОРОГОВЫЙ РЕСУММИРУЮЩИЙ S-ФАКТОР

175

ставной системы, состоящей из двух релятивист-

спиновых параметров a и b установлена. Про-

ских спиновых частиц равных масс:

веденный анализ его поведения в нерелятивист-

ском (v ≪ 1), релятивистском (v → 1) и в уль-

X_RQP,S(χ)

S_RQP,S(χ) =

[

]×

(16)

трарелятивистском (m → 0) пределах показал, что

1 - exp

-X_RQP,S(χ)

он воспроизводит как известный нерелятивистский



предел в бесспиновом случае, когда a = 0 и b =

×e^-πρΓ(2 + iρ)F (1 + iB, -iρ; 2; 1 - e-2χ)2,

= 2, так и ожидаемые релятивистский и ультра-

где величина

релятивистский пределы для всех трех случаев:

псевдоскаляра, вектора и псевдовектора.

πα(ach² χ + b)

X_RQP,S(χ) = 2πB =

(17)

2sh χ

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

может быть выражена в терминах скорости (1) в

виде

В настоящей работе получен новый пороговый

ресуммирующий S-фактор (16) для составной си-

πα(a + b - bv²)

X_RQP,S(v) =

√

(18)

стемы из двух релятивистских спиновых кварков

1-v²

равных масс, взаимодействующих посредством ку-

лоновоподобного хромодинамического потенциа-

Отметим, что при a = 0 и b = 2 релятивистский

ла. Рассмотрены случаи псевдоскаляра, вектора и

пороговый ресуммирующий S-фактор (16) перехо-

псевдовектора. Для этой цели была использована

дит в бесспиновый S-фактор (4), воспроизводя-

полностью ковариантная гамильтонова формули-

щий в нерелятивистском пределе (v ≪ 1) известный

ровка квазипотенциального подхода в квантовой

нерелятивистский результат [11, 12].

теории поля путем перехода к трехмерному реляти-

Исследуем поведение релятивистского порого-

вистскому конфигурационному представлению [17]

для случая составной системы из двух релятивист-

вого ресуммирующего S-фактора (16) в нереляти-

ских частиц равных масс.

вистском (χ → +0), релятивистском (χ → +∞) и

ультрарелятивистском пределах. В нерелятивист-

Установлена зависимость релятивистского по-

ском пределе имеем выражение

рогового ресуммирующего S-фактора (16) от спи-

новых параметров a и b. Показано, что релятивист-

S_RQP,S(χ)|χ→+0 ≈

ский S-фактор (16) при a = 0 и b = 2 переходит в

π α(a + b)/2 sh χ

бесспиновый S-фактор (4).

≈

1 - exp[-πα(a + b)/2shχ]

Выполненный анализ поведения S-фактора (16)

(

в нерелятивистском (v ≪ 1), релятивистском (v →

π αa/2

α²a² )

→ 1) и в ультрарелятивистском (m → 0) пределах

exp(π αa/2) - 1

показал, что он воспроизводит как известный нере-

лятивистский предел в бесспиновом случае, когда

которое при a = 0 и b = 2, как было отмечено выше,

a = 0 и b = 2, так и ожидаемые релятивистский

переходит в бесспиновый S-фактор (4).

и ультрарелятивистский пределы для всех трех

В релятивистском пределе (v → 1) находим

случаев: псевдоскаляра, вектора и псевдовектора.

S_RQP,S(χ)|χ→+∞ ≈

Поскольку S-фактор (16) получен нами в рам-

ках полностью ковариантного метода, то можно

2π(B - ρ)

≈

-----→ 1 + 0,

ожидать, что он более полно учитывает реляти-

1 - exp[-2π(B - ρ)]

χ→+∞

вистский характер взаимодействующих частиц и

спиновые эффекты.

справедливое для всех значений a и b в (8).

Автору приятно выразить искреннюю благодар-

В ультрарелятивистском пределе, как это было

ность О.П. Соловцовой за проявленный интерес

доказано в [25, 26], спектр связанных состояний

к работе, полезные обсуждения, стимулирующие

исчезает, когда масса m → 0, так как масса части-

дискуссии и ценные замечания.

цы является единственным размерным парамет-

ром. Эта особенность отражает существенное раз-

личие между потенциальными моделями и кванто-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

вой теорией поля, где появляется дополнительный

1. T. Appelquist and H. D. Politzer, Phys. Rev. Lett. 34,

размерный параметр. Кроме того, мы можем также

43 (1975); Phys. Rev. D 12, 1404 (1975).

заключить, что S-фактор, который соответствует

2. E. C. Poggio, H. R. Quinn, and S. Weinberg, Phys.

непрерывному спектру, должен стремиться к 1 при

Rev. D 13, 1958 (1976).

m → 0.

3. J. Schwinger, Particales, Sources, and Fields

Таким образом, зависимость релятивистского

(Addison-Wesley, New York, 1973), Vol. 2.

порогового ресуммирующего S-фактора (16) от

4. G. Gamov, Z. Phys. 51, 204 (1928).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019

176

ЧЕРНИЧЕНКО

A. Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien

17. V. G. Kadyshevsky, R. M. Mir-Kasimov, and

(Vieweg, Braunschweig, 1939), Vol. 2.

N. B. Skachkov, Nuovo Cimento A 55, 233 (1968).

А. Д. Сахаров, ЖЭТФ 18, 631 (1948).

18. V. I. Savrin and N. B. Skachkov, Lett. Nuovo Cimento

В. С. Фадин, В. А. Хозе, ЯФ 48, 487 (1988)

29, 363 (1980).

[Sov. J. Nucl. Phys. 48, 309 (1988)]; V. S. Fadin,

19. K. A. Milton, I. L. Solovtsov, and O. P. Solovtsova,

V. A. Khoze, and T. Sjostrand, Z. Phys. C 48, 613

Phys. Rev. D 64, 016005 (2001).

(1990).

20. I. L. Solovtsov and O. P. Solovtsova, Nonlin. Phenom.

V. S. Fadin, V. A. Khoze, A. D. Martin, and

Complex Syst. 5, 51 (2002).

A. Chapovsky, Phys. Rev. D 52, 1377 (1995).

21. K. A. Milton, I. L. Solovtsov, and O. P. Solovtsova,

A. H. Hoang, Phys. Rev. D 56, 7276 (1997).

Mod. Phys. Lett. A 21, 1355 (2006).

10.

J.-H. Yoon and C.-Y. Wong, Phys. Rev. C 61, 044905

(2000); J. Phys. G 31, 149 (2005).

22. K. A. Milton, in Proceedings of the International

11.

О. П. Соловцова, Ю. Д. Черниченко, ТМФ 166, 225

Seminar Dedicated to the Memory of

(2011) [Theor. Math. Phys. 166, 194 (2011)].

I. L. Solovtsov, Dubna, 15-18 Jan. 2008, Preprint

12.

О. П. Соловцова, Ю. Д. Черниченко, ЯФ 73, 1658

no. D4-2008-65, JINR (Dubna, 2008), p. 82.

(2010)

[Phys. Atom. Nucl. 73, 1612 (2010)]; arXiv:

23. Ю. Д. Черниченко, ЯФ 80, 396 (2017) [Phys. Atom.

0904.0754v1.

Nucl. 80, 707 (2017)].

13.

K. A. Milton and I. L. Solovtsov, Mod. Phys. Lett. A

24. N. B. Skachkov and I. L. Solovtsov, Preprint no. E2-

16, 2213 (2001).

81-760, JINR (Dubna, 1981); Н. Б. Скачков,

14.

A. A. Logunov and A. N. Tavkhelidze, Nuovo Cimento

И. Л. Соловцов, ТМФ 54, 183 (1983) [Theor. Math.

29, 380 (1963).

Phys. 54, 116 (1983)].

15.

В. Г. Кадышевский, ЖЭТФ 46, 654, 872 (1964)

25. W. Lucha and F. F. Sch ¨oberl, Phys. Rev. Lett. 64, 2733

[Sov. Phys. JETP 19, 443, 597 (1964)]; Докл. АН

(1990).

СССР 160, 573 (1965)

[Sov. Phys. Dokl. 10, 46

(1965)].

26. W. Lucha and F. F. Sch ¨oberl, Phys. Lett. B 387, 573

16.

V. G. Kadyshevsky, Nucl. Phys. B 6, 125 (1968).

(1996).

THRESHOLD RESUMMATION S FACTOR FOR A SYSTEM

OF TWO RELATIVISTIC SPINOR QUARKS

Yu. D. Chernichenko

P. Sukhoi Gomel State Technical University, Belarus;

International Center for Advanced Studies, Gomel, Belarus

The new threshold resummation S factor is received for a system of two relativistic spin-1/2 quarks of

equal masses interacting via a Coulomb-like chromodynamical potential. The cases of the pseudoscalar,

vector, and pseudovector are considered. The study is conducted within the framework of the quasipotential

approach using the Hamiltonian formulation of quantum field theory via a transition to the relativistic

configurational representation for the case of two relativistic particles of equal masses.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№2

2019