ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2019, том 82, № 2, с. 177-184
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ДВУХПЕТЛЕВЫЕ РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ КОНЕЧНОГО
СОСТОЯНИЯ К ПРОЦЕССУ ДРЕЛЛА-ЯНА НА LHC
В МЯГКОФОТОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
© 2019 г. В. А. Зыкунов*
Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия;
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, Беларусь
Поступила в редакцию 05.06.2018 г.; после доработки 09.07.2018 г.; принята к публикации 09.07.2018 г.
В мягкофотонном приближении в рамках схемы перенормировки на массовой поверхности полу-
чены компактные формулы для двухпетлевых электромагнитных радиационных поправок конечного
состояния к четырехфермионному процессу в s-канале. Предложена схема эффективной численной
оценки радиационных эффектов конечного состояния в применении к процессу Дрелла-Яна для
экспериментов на LHC при больших инвариантных массах.
DOI: 10.1134/S0044002719010215
1. ВВЕДЕНИЕ
при больших (выше 1 ТэВ) инвариантных массах
M лептонной пары l+l-. На партонном уровне
Экспериментальными данными групп ATLAS и
процесс обусловлен кварк-антикварковой (и
CMS на LHC [1], согласованными между собой,
антикварк-кварковой) аннигиляцией в лептонную
а к настоящему моменту также подтвержденными
пару. Далее для определенности рассматриваем
данными CDF и D0 с коллайдера Tevatron [2], уста-
подпроцесс
новлено существование фундаментального скаляр-
q(p1) + q(p2) → l+(k1) + l-(k2),
(2)
ного бозона, отвечающего за нарушение электро-
слабой калибровочной симметрии и, как следствие,
соответствующая ему диаграмма Фейнмана приве-
за существование у частиц массы. Таким образом
дена на рис. 1а. В скобках в (2) указаны: p1 — 4-
был утвержден статус стандартной модели (СМ)
импульс первого (анти)кварка с ароматом q и мас-
как согласованной и полностью экспериментально
сой mq; p2 — 4-импульс второго (анти)кварка (с
подтвержденной теории.
теми же ароматом и массой); k1(k2) — 4-импульс
конечного лептона l+(l-) с массой m. Инвари-
Тем не менее существуют модели “новой” физи-
антная масса дилептонной пары определяется так:
ки (НФ), такие, как расширенные калибровочные
√
теории типа теории великого объединения, моде-
M =
(k1 + k2)2. Используется стандартный на-
ли композитности калибровочных бозонов [3, 4],
бор инвариантов Мандельстама для упругого пар-
композитность фермионов [5], сценарии с допол-
тонного рассеяния:
нительными размерностями [6], дополнительными
s = (p1 + p2)2, t = (p1 - k1)2,
(3)
нейтральными калибровочными бозонами [7] и т.д.,
u = (k1 - p2)2
которые предсказывают существенное отклонение
от СМ в энергетической области выше 1 ТэВ.
и инвариант S = (PA + PB)2 для адронного рассе-
Соответственно освоение этого (пока нового) энер-
яния, где PA(PB) — 4-импульс первого (второго)
гетического масштаба становится одной из главных
адрона.
задач современной физики.
Эксперименты по изучению процесса Дрелла-
С этой точки зрения перспективным представ-
Яна (1) в настоящий момент идут на LHC полным
ляется исследование наблюдаемых величин (сече-
ходом. Пока что измеренные дифференциальные
ний и асимметрии вперед-назад) процесса Дрел-
сеченияdσdM , дважды дифференциальные сечения
ла-Яна [8]:
d2σ
(здесь y — быстрота пары) и асимметрия
dMdy
pp → γ,Z → l+l-X,
(1)
вперед-назад AFB находятся в полном соответ-
ствии с предсказаниями СМ: при полной энер-
√
*E-mail: zykunov@cern.ch
гии реакции
S = 8 ТэВ и набранной светимости
177
178
ЗЫКУНОВ
a
б
в
p1
-k1
k
q
→
−p2
k2
Рис. 1. Фейнмановские диаграммы для борновского (а) и однопетлевого (б) вкладов в процесс (1) на кварковом уровне,
в —вклад тормозногоизлучения.
√
19.7 фбн-1 для M ≤ 2 ТэВ, а при
S = 13 ТэВ и
важно получение компактных, физически адек-
ватных результатов в ясном математическом виде
85 фбн-1 для M ≤ 3 ТэВ. Последние опубликован-
и разработка новых методов оценки многопетле-
ные результаты физического анализа (PAS, Physics
вых эффектов. Актуальность данной работы обу-
Analysis Summaries) зафиксированы, например, в
словлена именно этими факторами: в ней в про-
работах CMS PAS-SMP-16-009 и CMS PAS-
стой форме выведены выражения для двухпетле-
SMP-17-001.
вых КЭД-поправок конечного состояния к процес-
Изучение эффектов НФ невозможно без точ-
су (1), показано, как сокращается инфракрасная
ного знания предсказаний СМ, включая радиаци-
расходимость (ИКР) и старшие степени коллине-
онные поправки: электрослабые (ЭСП) и КХД-
арных логарифмов (КЛ) во второй петле. Кроме
поправки. В процессе (1) как первые, так и вторые
этого, в работе предложена схема эффективной
превосходно изучены на однопетлевом уровне. На-
численной оценки этих радиационных эффектов,
чиналась эта деятельность с работ по однопетле-
сделан численный анализ для современной ситуа-
вым КЭД-поправкам Мосолова, Сороко и Шумей-
ции на CMS LHC.
ко [9], по однопетлевым ЭСП [10] группы ZGRAD
и по однопетлевым КХД-поправкам [11]. Двухпет-
левые КХД-поправки впервые рассчитаны в рабо-
2. ОДНОПЕТЛЕВОЙ УРОВЕНЬ
те [12]. К настоящему моменту имеется большое
Для того чтобы получить полный результат для
количество разнообразных, взаимодополняющих
радиационных поправок на одно- или двухпетле-
друг друга программ и компьютерных кодов, посвя-
вом уровне к процессу (1), нужно рассчитать:
щенных этой проблеме. Перечислим (в алфавитном
1. излучение из конечного состояния (final state
порядке) некоторые из них с указанием основных
radiation, FSR), тут присутствуют только электро-
авторов: DYNNLO (S. Catani, L. Cieri, G. Ferrera
слабые диаграммы,
и др.), FEWZ (R. Gavin, Y. Li, K. Melnikov,
F. Petriello, S. Quackenbush и др.), HORACE
2. излучение из начального состояния (initial
(C. Carloni Calame, G. Montagna, O. Nicrosini и
state radiation, ISR), здесь есть как электрослабые,
так и КХД диаграммы,
др.), LPPG (Е. Дыдышко), MC@NLO (S. Frixione,
F. Stoeckli, P. Torrielli и др.), PHOTOS (N. Davidson,
3. все возможные интерференционные вклады,
T. Przedzinski, Z. Was и др.), POWHEG (L. Barze,
4. все возможные инверсные вклады, когда фо-
G. Montagna, P. Nason и др.), RADY (S. Dittmaier,
тон/глюон происходит из начального протона.
A. Huss, C. Schwinn и др.), READY (автор
Можно сказать, что в вышеприведенном пере-
настоящей работы), SANC (А. Арбузов, Д. Бардин,
числении до третьего пункта сложности с расчетом
Л. Калиновская и др.), WINHAC (W. Placzek,
нарастают.
S. Jadach, M.W. Krasny и др.), WZGRAD (U. Baur,
Простейший, но важный с точки зрения реше-
W. Hollik, D. Wackeroth и др.). Между различными
ния таких принципиальных вопросов, как проце-
программами достигнуто хорошее согласие, см.,
дура (порядок выполнения, методически правиль-
например, [13]. В качестве программы учета ради-
ное использование обозначений и т.д.) сокраще-
ационных эффектов (однопетлевых ЭСП и одно-
ния ИКР, доказательство независимости от пара-
и двухпетлевых КХД-поправок) в современных
метра, разделяющего области мягких и жестких
экспериментах на LHC используется FEWZ 3.1.
фотонов и, наконец, выяснение точной формы ко-
Не вполне разработанным сектором является
эффициентов при старших степенях КЛ (которая
учет двухпетлевых ЭСП к процессу (1). Вероят-
принципиально важна при адсорбции коллинеар-
но, более других здесь продвинулись авторы кода
ных логарифмов в функции партонных распреде-
FEWZ. Тем не менее, из-за сложности задачи
лений для решения проблемы кварковой массовой
актуальными являются альтернативные расчеты,
сингулярности), в том числе сокращение старших
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№2
2019
ДВУХПЕТЛЕВЫЕ РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
179
(нефизичных) степеней КЛ, — это вклад конечного
несколько измененных обозначениях для полноты
состояния в электромагнитные поправки.
изложения.
На однопетлевом уровне КЭД-поправки конеч-
Действительная часть однопетлевого s-каналь-
ного состояния складываются из двух частей:
ного формфактора выглядит так:
[
1. вклад от диаграмм с наличием виртуальной
α
1
1
частицы (см. рис. 1б),
ReF(1)(s) =
-
L2 +
LλL +
(12)
π
4
2
2. вклад однофотонного излучения из конечного
]
состояния (мягкого и жесткого), см. рис. 1в.
3
1
π2
+
L-
Lλ - 1 +
Сечение, соответственно, состоит из двух слага-
4
2
3
емых:
В сечении излучения мягкого фотона факторизует-
σNLO = σV + σR.
(4)
ся поправка:
В мягкофотонном приближении сечения вкладов
α
[1
пропорциональны борновскому и выглядят так:
δS1 =
L2 - LλL +
(13)
π
2
]
σV = 2ReF(1)(s)σ0, σR = δS1σ0.
(5)
π2
+ 2LωL + Lλ - 2Lω -
Для записи сечений используется сокращенное
3
обозначение σ ≡ dσ/dt. Борновское сечение вы-
Как на однопетлевом, так и на двухпетлевом уровне
глядит как
все значимые результаты выражаются через три
σ0 = σqq0 =
(6)
логарифма: коллинеарный L, инфракрасный Lλ и
2
∑
мягкий Lω:
2πα
=
DiDj∗(bi,j+t2 + bi,j-u2),
s
λ2
2ω
s2
i,j=γ,Z
L = ln
,
Lλ = ln
,
Lω = ln
(14)
m2
m2
√s,
где α — постоянная тонкой структуры. Для того
где λ — инфинитезимальная масса фотона, ω —
чтобы найти выражения для qq-случая, необходимо
максимальная энергия мягкого тормозного фотона.
сделать очевидную замену переменных Мандель-
Легко заметить, что вклад с излучением мягкого
стама: t ↔ u.
фотона можно преобразовать к виду
Пропагатор j-бозона
[
]
α
ω
1
δS
=
A ln
-B ,
(15)
1
Djs =
(7)
π
λ
s - m2j + imjΓj
где
содержит mj (массу) и Γj (ширину) j-бозона.
A = 2(L - 1),
(16)
Удобно пользоваться комбинациями констант свя-
1
π2
зи для f-го фермиона с i- и j-бозонами
B=
L2 - L +
- 2(L - 1) ln 2.
2
3
λi,jf+ = vif vjf + aif ajf, λi,jf- = vifajf + aifvjf ,
(8)
Из (15) видно, что зависимость от λ “вымирает”
где
при стремлении ω → λ, это свойство нам пригодит-
ся в дальнейшем.
vγf = -Qf, aγf = 0,
(9)
Складывая сечения в формуле, легко заметить
I3f - 2s2WQf
I3f
сокращение старших степеней КЛ (второй степени
vZf =
,
aZf =
,
2sWcW
2sWcW
в первой петле) и сокращение ИКР (логарифмы
Lλ взаимно уничтожаются). В результате получим
Qf — заряд фермиона f, I3f — третья компонента
известный результат:
изоспина фермиона f, и sW(cW) — это (ко)синус
]
α
[3
π2
угла Вайнберга
σNLO =
L + 2(L - 1)Lω - 2 +
σ0.
(17)
√
π
2
3
cW = mW /mZ, sW =
1-c2W.
(10)
Одна из задач настоящей работы — получить по-
Константы связи собираются в комбинации:
добный результат для второй петли.
bn,k± = λn,kq+λn,kl+ ± λn,kq-λn,kl-.
(11)
3. ДВУХПЕТЛЕВОЙ УРОВЕНЬ
Результаты для отдельных вкладов в мягкофо-
тонном приближении хорошо известны и приведе-
Чтобы оценить сечение на двухпетлевом уровне,
ны, например, в работе [14]. Приведем их здесь в
нужно рассчитать:
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№2
2019
180
ЗЫКУНОВ
a
б
в
Рис. 2. Фейнмановские диаграммы для описания основных классов двухпетлевых вкладов в процесс (1) на кварковом
уровне: а — T-вклад, б — O-вклад, в — D-вклад.
Q-часть: квадратичный (Quadratic) вклад, т.е.
Эта часть сечения вычислена в рамках схемы пере-
квадрат однопетлевых NLO FSR поправок, см.
нормировки на массовой поверхности в работе [14]
рис. 1б,
и в наших обозначениях выглядит так:
T -часть: двухпетлевой (Two-loop) вклад
(α)2[ 1
3
(рис. 2а),
ReF(2)(s) =
L4 -
L3 +
π
32
16
O-часть: однофотонное (One-photon) излуче-
)
(
)
ние из диаграмм с одним виртуальным фотоном
( 17
5
21
3
+
-
ζ2
L2 +
-
+ 3ζ2 +
ζ3
L+
(мягкое и жесткое) (рис. 2б),
32
4
32
2
D-часть: двухфотонное (Double-photon) излу-
2
9
1
+
ζ22 -
ζ3 - 3ζ2 ln 2 -
ζ2 +
чение (мягкое и жесткое) (рис. 2в).
5
4
2
)
Если действовать в приближении мягких фото-
405
(1
1
1
3
нов, то, кроме этого, нужно учесть тот факт, что
+
+L2
L2 -
L+
-
ζ2
+
λ
216
8
4
8
4
сечение процесса с излучением двух мягких фото-
(
нов, каждый с энергией меньшей ω (это как раз D-
1
1
+Lλ
-
L3 +
L2 +
часть согласно нашей терминологии), отличается
8
2
(
)
)]
от сечения процесса с излучением двух мягких фо-
7
5
1
13
тонов с суммарной энергией, меньшей ω. Разницу
+
-
+
ζ2
L+
-
ζ2
8
2
2
4
будем называть K-частью (обозначим ее σK ) и
во втором случае (с ограничением на суммарную
Видно, что это выражение содержит нефизиче-
энергию), который, вообще говоря, и соответствует
ские степени КЛ (четвертую и третью), которым
экспериментальной постановке, ее нужно вычесть
предстоит сократиться, и значения дзета-функции
из сечения, соответствующего первому случаю.
Римана ζ2 = π2/6, ζ3 ≈ 1.202057.
С учетом вышесказанного, чтобы получить тре-
буемое сечение на двухпетлевом уровне, нужно
O- и D-части имеют интуитивно понятный и
суммировать Q-, T -, O-, D-части и вычесть K-
известный из литературы вид:
часть:
σO = δS1 · 2ReF(1)(s)σ0,
(21)
σNNLO = σQ + σT + σO + σD - σK.
1
σD =
(δS1 )2σ0.
(22)
Приведем все требуемые формулы.
2
Q-часть получается при квадрировании одно-
Множитель12 обусловлен тождественностью фо-
петлевой виртуальной амплитуды
имеет минимум в
тонов. Отметим, что сечение σD
σQ = |F(1)(s)|2σ0.
(18)
точке ω = λeB/A (при ω < λeB/A сечение падает),
поэтому для численной оценки следует пользовать-
Замечаем, что здесь принципально требуется учет
мнимой части вершинного формфактора, приведем
ся значениями ω > λeB/A, что, например, при q2 =
его:
= 107 ГэВ, m = mμ дает ω > 72.33 λ.
[
]
α
π
3
Наконец, K-часть имеет вид
ImF(1)(s) =
·
L-Lλ -
(19)
π
2
2
1(α)2 2
σK =
π2(L - 1)2σ0.
(23)
Как видно, мнимая часть содержит ИКР (а при
2
π
3
квадрировании и ведущую степень КЛ) и не может
Точный вывод этой формулы приведен в Приложе-
быть проигнорирована.
нии.
T -часть имеет вид
Суммируя все вклады, получаем компактный
σT = 2ReF(2)(s)σ0.
(20)
результат, который не содержит ИКР и старших
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№2
2019
ДВУХПЕТЛЕВЫЕ РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
181
Таблица 1. Структура по различным вкладам и зависимость от массы фотона относительных двухпетлевых
поправок конечного состояния к дифференциальному сечению по инвариантной массе процесса (1) при M = 2 ТэВ
и ω = ωeff = 0.069M
λ, ГэВ
Q
T
O
D
K
NNLO
10-12
1.7221
1.5956
-6.3766
3.0640
0.0062
-0.0011
10-11
1.4666
1.3564
-5.4073
2.5894
0.0062
-0.0011
10-10
1.2314
1.1364
-4.5170
2.1543
0.0062
-0.0011
10-9
1.0168
0.9359
-3.7067
1.7592
0.0062
-0.0011
10-8
0.8227
0.7548
-2.9764
1.4040
0.0062
-0.0011
10-7
0.6492
0.5931
-2.3262
1.0889
0.0062
-0.0011
10-6
0.4962
0.4507
-1.7558
0.8136
0.0062
-0.0011
10-5
0.3638
0.3279
-1.2653
0.5786
0.0062
-0.0011
10-4
0.2520
0.2245
-0.8548
0.3833
0.0062
-0.0011
10-3
0.1607
0.1406
-0.5245
0.2282
0.0062
-0.0011
10-2
0.0900
0.0761
-0.2741
0.1132
0.0062
-0.0011
10-1
0.0398
0.0310
-0.1037
0.0380
0.0062
-0.0011
100
0.0103
0.0054
-0.0133
0.0029
0.0062
-0.0011
101
0.0012
-0.0009
-0.0030
0.0077
0.0062
-0.0011
102
0.0128
0.0124
-0.0726
0.0526
0.0062
-0.0011
нефизичных степеней КЛ:
MRST2004QED-набор функций кварковых
)2[
]
распределений
[16] (относительные поправки
(α
σNNLO =
c2L2
+c1L + c0 σ0,
(24)
практически не зависят от выбора распределений);
π
накладываются следующие стандартные экспе-
где коэффициенты при степенях КЛ имеют вид:
риментальные ограничения на косинус угла детек-
тируемого лептона в с.ц.м. протонов -ζ∗ ≤ ζ ≤ ζ∗
9
c2 = 2L2ω + 3Lω - 2ζ2 +
,
или на его быстроту |y(l)| ≤ y(l)∗; для детектора
8
CMS значения ζ∗ и y(l)∗:
11
45
c1 = -4L2ω + Lω(4ζ2 - 7) +
ζ2 + 3ζ3 -
,
θ∗
2
16
y(l)∗ = - ln tg
= 2.5,
(25)
6
3
2
c0 = 2L2ω + 4Lω(1 - ζ2) -
ζ22 +
ζ2 -
5
8
ζ∗ = cos θ∗ ≈ 0.986614,
9
19
− 6ζ2 ln 2 -
ζ3 +
также используется второе ограничение CMS:
2
4
pT (l) ≥ 20 ГэВ;
применяем так называемую чистую схему
(“bare” setup) требований идентификации лепто-
4. ЧИСЛЕННАЯ ОЦЕНКА И ВЫВОДЫ
нов: не принимается во внимание “размазывание”
Для всех численных оценок работы принима-
(smearing) и не учитываются условия рекомби-
ется следующий набор предписаний, вложенный в
нации детектируемого лептона и радиационного
программу READY (версия 5.7):
фотона.
исследуемая реакция (1) с конечной димюонной
Структура и зависимость от массы фотона всех
√
рассмотренных вкладов в относительную двухпет-
парой (m = mμ) и с энергией LHC
S = 13 ТэВ;
левую поправку к сечению dσ/dM при M = 2 ТэВ в
электрослабые параметры СМ и лептонные
случае l = μ и использования эффективного значе-
массы соответствуют работе [15];
ния ωeff = 0.069M (см. ниже) приведены в табл. 1.
учитываем все ароматы валентных и “морских”
Видно, что в сумме зависимость от λ отсутствует,
кварков в протоне кроме t;
масштаб каждого рассмотренного вклада весьма
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№2
2019
182
ЗЫКУНОВ
Таблица 2. Структура и зависимость от ω относительных двухпетлевых поправок конечного состояния к дифферен-
циальному сечению по инвариантной массе процесса (1) при M = 2 ТэВ и массе фотона λ = 10-4 ГэВ
ω, ГэВ
Q
T
O
D
K
NNLO
10-3
0.2519
0.2245
0.1486
0.0116
0.0062
0.6304
10-2
0.2519
0.2246
-0.0466
0.0011
0.0062
0.4248
10-1
0.2519
0.2246
-0.2418
0.0307
0.0062
0.2592
100
0.2519
0.2246
-0.4370
0.1002
0.0062
0.1335
101
0.2519
0.2246
-0.6323
0.2098
0.0062
0.0478
102
0.2520
0.2246
-0.8275
0.3594
0.0062
0.0021
103
0.2520
0.2246
-1.0228
0.5489
0.0062
-0.0035
велик и растет с уменьшением λ и только в сум-
В настоящей работе численный расчет полу-
ме имеет величину, характерную для двухпетлевых
ченного результата в мягкофотонном приближении
эффектов.
принципиально требует выбора значения ω. Чтобы
получить приблизительную оценку величины двух-
Далее, в табл. 2 показана структура по вкладам
петлевых эффектов конечного состояния, поступим
и зависимость от параметра ω относительных двух-
так:
петлевых поправок конечного состояния к диф-
1. точно рассчитаем однопетлевую радиацион-
ференциальному сечению по инвариантной массе
ную поправку конечного состояния (обозначим ее
процесса (1) при M = 2 ТэВ и массе фотона λ =
δNLO,FSR),
= 10-4 ГэВ (напомним, что полный результат от λ
2. подбираем эффективное значение макси-
не зависит).
мальной энергии ωeff, которое воспроизводит
Для точного учета двухпетлевых поправок тре-
точный результат,
буется вычисление по фазовому объему как мяг-
3. используем значение ωeff для того, чтобы
ких, так и жестких тормозных фотонов с уче-
получить двухпетлевую поправку δNNLO,FSR.
том возможностей детектора. Далее под термином
Результат для относительных поправок к диф-
“точный” учет понимаем именно такой подход. Тем
ференциальному сечению по инвариантной массе
не менее, граница между мягкими и жесткими
фотонами вполне условная, можно ее вовсе не
dσNNLO/dM
δNNLO =
(26)
вводить в расчет, как это сделать, объясняется
dσ0/dM
в [17] (так называемый G/N-метод). Точный расчет
приведен в табл. 3. Масштаб получившейся отно-
(с учетом жесткого излучения) и его сравнение
сительной поправки невелик, наблюдается близкая
с эффективной оценкой будет нашей следующей
к линейной зависимость от M и изменение знака
задачей.
эффекта в районе M = 2.5 ТэВ.
В работе в ясной форме выведены выраже-
Таблица 3. Зависимость относительных двухпетлевых
ния для двухпетлевых КЭД-поправок конечно-
поправок конечного состояния к дифференциальному
го состояния к процессу (1). Понятно, что та-
сечению по инвариантной массе процесса (1) от M
кую же форму будут иметь и двухпетлевые КЭД-
поправки начального состояния. Пользуясь разра-
M, ТэВ
δNLO,FSR
ωeff/M
δNNLO,FSR
ботанной процедурой, можно сформировать также
двухпетлевые КХД-поправки (как синглетный, так
0.5
-0.0628
0.093
-0.0025
и несинглетный вклад). Также в работе предложена
1.0
-0.0773
0.083
-0.0022
схема эффективной численной оценки рассмотрен-
ных радиационных эффектов, данная оценка яв-
1.5
-0.0895
0.076
-0.0018
ляется приблизительной, очевидно, что необходим
2.0
-0.1017
0.069
-0.0011
точный учет жесткого тормозного излучения.
2.5
-0.1104
0.063
-0.0002
Автор признателен коллегам по группе RDMS
CMS, а также А.Б. Арбузову и Ю.М. Быстрицкому
3.0
-0.1222
0.057
+0.0008
за обсуждение.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№2
2019
ДВУХПЕТЛЕВЫЕ РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
183
a + da
b + db
Приложение
= 4(L - 1)2 ln
ln
≈
a
b
da
db
ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ σK
≈ 4(L - 1)2
a b
Сечение процесса с одним мягким фотоном име-
Наконец, находим искомую разницу в сечениях:
ет вид
(α)2 1 ∑
α
σK = σ0
I(a, a + da; b, b + db) =
σR = σ0
L(λ, ω),
(П.1)
π
2
π
Ω
∫
1
d3k
∫
ω
∫
ω
L(λ, ω) = -
Tα(k)Tα(k).
(α)2 1
da
db
4π
k0
=σ0
4(L - 1)2
=
k0<ω
π
2
a
b
0
ω-a
Для излучения из конечного состояния характерна
)ω
(α)2 1
(a
комбинация
=σ0
4(L - 1)2
Li2
=
π
2
ω
0
kα1
kα2
Tα(k) =
-
,
(П.2)
(α)2 1 2π2
k1k
k2k
=σ0
(L - 1)2,
π
2
3
где k — 4-импульс тормозного фотона.
где Ω = {a < ω} ∩ {b < ω} ∩ {a + b > ω}, а Li2
Общее выражение для сечения процесса с дву-
означает дилогарифм Спенса.
мя мягкими фотонами по области A имеет вид
)2
(α)2 1( 1
σγγ
=σ0
×
(П.3)
A
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
π
2
4π
∫
1.
ATLAS Collab., Phys. Lett. B
716,
1
(2012)
d3k d3p
×
Tα(p)Tα(p)Tβ(k)Tβ(k).
[arXiv:1207.7214 [hep-ex]]; CMS Collab., Phys. Lett.
k0
p0
B 716, 30 (2012) [arXiv:1207.7235 [hep-ex]].
A
2.
CDF and D0 Collab., Phys. Rev. Lett. 109, 071804
Согласно введенным обозначениям очевидно, что
(2012) [arXiv:1207.6436 [hep-ex]].
3.
M. Cveti ˇc and S. Godfrey, hep-ph/9504216;
σD = σγγk
(П.4)
0<ω,p0<ω
J. L. Hewett and T. G. Rizzo, Phys. Rept. 183,
Видно также, что
193 (1989).
4.
T. G. Rizzo, in Proceedings of the 1996 DPF/DPB
σK = σγγk
-σγγk
(П.5)
0<ω,p0<ω
0+p0<ω
Summer Study on New Directions for High Energy
Physics,
“Snowmass 96”, Snowmass, CO,
25
Рассчитаем σK точно, для этого введем обозна-
June-12 July 1996 [hep-ph/9612440].
чение
5.
D. Bourilkov, hep-ph/0305125;
CERN-CMS-
I(a1, a2; b1, b2) =
(П.6)
NOTE-2006-085.
∫
(1
)2
6.
Nima Arkani-Hamed, Savas Dimopoulos, and Gia
d3k d3p
=
×
Dvali, Phys. Lett. B
429,
263
(1998)
[hep-
4π
k0
p0
ph/9803315]; I. Antoniadis, N. Arkani-Hamed,
a1<k0<a2, b1<p0<b2
S. Dimopoulos, and G. Dvali, Phys. Lett. B 436,
× Tα(p)Tα(p)Tβ(k)Tβ(k).
257 (1998)
[hep-ph/9804398]; L. Randall and
R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 3370, 4690 (1999)
Очевидно, что если λ ≪ a, b, то выполняется усло-
[hep-ph/9905221, hep-th/9906064]; C. Kokorelis,
вие
Nucl. Phys. B 677, 115 (2004) [hep-th/0207234].
I(0, a; 0, b) = L(λ, a)L(λ, b).
(П.7)
7.
A. Leike, Phys. Rept. 317,
143
(1999)
[hep-
Далее, если da, db ≪ a, b, из простых геометриче-
ph/9805494].
ских соображений следует
8.
В. А. Матвеев, Р. М. Мурадян, А. Н. Тавхелид-
зе, Препринт № Р2-4543, ОИЯИ (Дубна, 1969);
I(a, a + da; b, b + db) =
S. D. Drell and T. M. Yan, SLAC-PUB-0755 (June,
= I(0,a + da;0,b + db) + I(0,a;0,b) -
1970), Phys. Rev. Lett. 25, 316, 902 (Erratum)
(1970).
- I(0,a;0,b + db) - I(0,a + da;0,b).
9.
V. A. Mosolov and N. M. Shumeiko, Nucl. Phys. B
186, 397 (1981); А. Сороко, Н. Шумейко, ЯФ 52,
Упрощая с помощью (П.7) и явного вида L(λ, ω) =
514 (1990) [Sov. J. Nucl. Phys. 52, 329 (1990)].
= 2(L - 1) ln 2ωλ + ... (см. формулу (15)), получим
10.
U. Baur et al. (ZGRAD), Phys. Rev. D 65, 033007
I(a, a + da; b, b + db) =
(П.8)
(2002) [hep-ph/0108274].
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№2
2019
184
ЗЫКУНОВ
11. H. Baer, J. Ohnemus, and J. F. Owens, Phys. Rev.
15. S. Alioli, A. B. Arbuzov, D. Yu. Bardin, et al., Eur.
D 40, 2844 (1989); 42, 61 (1990); W. T. Giele and
Phys. J. C 77, 280 (2017) [arXiv:1606.02330 [hep-
E. W. N. Glover, Phys. Rev. D 46, 1980 (1992).
ph]].
12. R. Hamberg, W. L. van Neerven, and T. Matsuura,
16. A. D. Martin, R. G. Roberts, W. J. Stirling, and
Nucl. Phys. B 359, 343 (1991).
13. Е. В. Дыдышко, В. Л. Ермольчик, В. А. Зыкунов,
R. S. Thorne, Eur. Phys. J. C 39, 155 (2005) [hep-
Х. Г. Суарес, С. В. Шматов, ЭЧАЯ 49, 1267 (2018)
ph/0411040].
[Phys. Part. Nucl. 49, 722 (2018)].
17. В. А. Зыкунов, ЯФ 80, 388 (2017)
[Phys. Atom.
14. F. A. Berends, W. L. van Neerven, and
G. J. H. Burgers, Nucl. Phys. B 297, 429 (1988).
Nucl. 80, 699 (2017)].
TWO-LOOP CORRECTIONS OF FINAL STATE RADIATION
TO THE DRELL-YAN PROCESS AT LHC IN SOFT-PHOTON
APPROXIMATION
V. A. Zykunov
Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Russia;
Francisk Skorina Gomel State University, Belarus
Using the soft-photon approximation and on-mass-shell renormalization the compact formulas for the
two-loop electromagnetic corrections of final state radiation to 4-fermionic process in the s-channel are
obtained. The scheme of effective numerical estimation of radiative effects of the final state for the Drell-Yan
process experiments at LHC with large invariant mass is proposed.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№2
2019
