ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2019, том 82, № 3, с. 186-195

ЯДРА

ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ЯДЕР В ЦЕПОЧКАХ ИЗОТОПОВ Kr, Sr, Zr, Mo

И Ru В ПРИБЛИЖЕНИИ РЕЛЯТИВИСТСКОГО СРЕДНЕГО ПОЛЯ

Национальный научный центр “Харьковский физико-технический институт”, Украина

Поступила в редакцию 01.08.2018 г.; после доработки 27.09.2018 г.; принята к публикации 27.09.2018 г.

На основе релятивистского метода Хартри-Боголюбова с моделями лагранжианов DD-PC1 и DD-

ME2 проведено исследование изменений формы ядер в цепочках четно-четных изотопов Kr, Sr, Zr, Mo

и Ru. Спаривание нуклонов описывалосьпарным взаимодействием сепарабельноготипа. Исследована

зависимость вычисленных характеристик ядер от выбора силы спаривания. Расчеты показывают, что

в окрестности N = 60 для некоторых изотопов Sr, Zr и Mo в зависимости от выбора параметров

сил спаривания наблюдаются большие скачки величины средних квадратов зарядовых радиусов и

параметров квадрупольной деформации.

DOI: 10.1134/S0044002719020107

1. Изучение свойств ядер с избытком нейтронов

ким изменением формы ядра [8, 14]. В то же время

является одним из наиболее важных направлений

для цепочек изотопов Kr, Mo и Ru, соседних по Z

исследований современной теоретической и экспе-

к ядрам Sr и Zr, в окрестности N = 60 изменение

риментальной ядерной физики. Эксперименталь-

среднеквадратичных зарядовых радиусов ядер при

ные исследования с использованием радиоактив-

переходе от изотопа к изотопу представляет собой

ных пучков в таких центрах, как ОИЯИ (Россия),

гладкую зависимость [16]. Различные теоретиче-

GSI (Германия) и RIKEN (Япония), открыли новые

ские модели [7-15] с разной степенью согласия

возможности для изучения свойств ядер с избыт-

с экспериментом описывают вышеуказанные осо-

ком нейтронов. Этой тематике посвящено боль-

бенности в изменениях среднеквадратичных заря-

шое количество теоретических работ, основанных

довых радиусов. Расчеты на основе модели РСП

на микроскопических самосогласованных подхо-

и анализ имеющихся экспериментальных данных

дах, таких, как метод Хартри-Фока-Боголюбова

для изотопов Sr и Zr, представленные в работе

(ХФБ) или метод Хартри-Фока (ХФ) [1-3] с

[10], показывают, что в окрестности N = 60 имеет

эффективными силами, либо на релятивистской

место сосуществование формы ядер. В теоретиче-

теории Хартри-Боголюбова (РХБ) [4-6]. Интерес

ских расчетах это проявляется в том, что в про-

к теоретическим расчетам, основанным на таких

стейшем случае зависимость полной энергии ядра

подходах, не убывает. Поэтому в настоящее время

от параметра квадрупольной деформации β₂ имеет

актуальны дальнейшие теоретические исследова-

два или более близких по энергии минимума для

ния возможности применения современных само-

разных значений параметра деформации. Это об-

согласованных моделей релятивистского среднего

стоятельство может приводить к чувствительности

поля (РСП), основанных на моделях c различными

результатов к деталям вычислений.

типами лагранжианов для описания свойств ядер с

Большое количество расчетов, основанных

избытком нейтронов в широком диапазоне массо-

на применении релятивистского метода Хартри-

вых чисел.

Боголюбова, используют модели лагранжианов

Изучению эволюции формы ядер в длинных

DD-PC1 [17], DD-ME2 [18], PC-PK1

[19] и

цепочках изотопов, включающих в себя N ≈ 60,

NL3^∗ [20], которые обеспечили наиболее хорошее

с привлечением различных теоретических моделей

описание свойств основного состояния очень

посвящено значительное количество работ [7-15].

больших совокупностей атомных ядер в рамках

Интерес к этой области ядер связан с тем, что в

единого подхода. В работе [21] отмечается, что в

цепочках изотопов Sr и Zr при переходе от N =

настоящий момент функционал DD-PC1 является

= 58 к N = 60 экспериментально наблюдается [16]

одним из лучших для описания свойств основного

большой скачок величины среднеквадратичных за-

состояния ядер. Однако именно использование

рядовых радиусов. Этот скачок связывают с рез-

функционала DD-PC1 в работе [6] при весьма

объемных расчетах свойств длинных цепочек изо-

^*E-mail: Vtarasov@kipt.kharkov.ua

топов в диапазоне 2 ≤ Z ≤ 118 для изотопов Sr и

186

ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ЯДЕР

187

Zr не описывает экспериментально наблюдаемого

спаривание нуклонов описывается сепарабельным

большого скачка величины среднеквадратичных

парным взаимодействием конечного радиуса дей-

зарядовых радиусов при переходе от N = 58

ствия. Это взаимодействие, предложенное в работе

к N = 60. При этом величина параметра β₂ в

[26], имеет в координатном представлении следую-

данных расчетах также не претерпевает больших

щий вид:

(

)

изменений. В то же время известно [22], что для

Vn(p)

r₁σ₁,r₂σ₂,r′1σ′1,r′2σ′2

(1)

ядер переходной области небольшие изменения

констант, определяющих силу парных корреляций,

= Gn(p)δ(R - R^′)P(r)P(r^′)

(1 - P_σ),

могут приводить к большим изменениям параметра

равновесной деформации β₂. В современных само-

где P_σ — оператор перестановки спинов, Gn(p) —

согласованных расчетах свойств ядер, основанных

константа сил спаривания для нейтронов (прото-

на модели РСП [23, 24], также показано, что

нов) и r = r₁ - r₂, R = (r₁ + r₂)/2 — относитель-

величина силы спаривания может существенно

ный радиус-вектор и радиус-вектор центра масс

изменить зависимость полной энергии ядра от

взаимодействующих нуклонов, а функция P (r)

параметра деформации и положение наиболее

определяется гауссианом:

глубокого минимума этой зависимости.

Целью настоящей работы является исследо-

P (r) = (4πa²)-3/2e-r2/4a2 ,

(2)

вание эволюции формы изотопов с Z = 36-44 в

приближении релятивистского среднего поля в мо-

где a определяет эффективную область действия

делях DD-PC1 и DD-ME2 с различными наборами

сил спаривания. Авторы кода DIRHBZ исполь-

параметров сил спаривания.

зуют набор параметров [25, 26] спаривательного

2. В настоящей работе были изучены свой-

взаимодействия (1), которые часто задействованы

ства основного состояния четно-четных изотопов

в работах разных авторов, G_n = G_p = -728 МэВ

Kr, Sr, Zr, Mo и Ru на основе метода РХБ с

Фм³, a = 0.644 Фм (обозначим V₁). В наших рас-

использованием моделей лагранжианов DD-PC1

четах для взаимодействия (1) также использова-

и DD-ME2. Для этого мы применили компью-

лись параметры G_n = G_p = -826.56 МэВ Фм³,

терный код DIRHBZ из пакета программ DIRHB

a = 0.636 Фм (обозначим V₂), которые были пред-

[25] в предположении аксиальной симметрии фор-

ложены в [6] и использовались авторами этой

мы ядра. Этот код решает систему стационар-

работы в последующих расчетах рассматриваемой

ных уравнений Дирака-Хартри-Боголюбова ме-

нами области ядер. Средние квадраты зарядовых

тодом итераций. При решении уравнений Дирака

радиусов ядер в используемом нами коде вычисля-

в коде DIRHBZ используется разложение одно-

лись по простой формуле

нуклонных волновых функций по базису волно-

вых функций аксиально-деформированного гармо-

〈r²〉_ch = 〈r²〉_p + 0.64.

нического осциллятора. В разложении однонук-

3. В работах [26, 27] показано, что в области

лонных волновых функций нами учитывались все

массовых чисел, рассматриваемой в настоящей

базисные функции, для которых главное осцил-

работе, для модели РСП DD-PC1 октупольные

ляторное квантовое число не превышает N_f = 18

деформации отсутствуют. Поэтому в наших расче-

(1330 базисных функций). При решении бозонных

тах мы ограничились предположением аксиальной

уравнений (в расчетах с взаимодействием DD-

симметрии ядер. Все приведенные в настоящей

ME2) также использовался базис волновых функ-

работе расчеты проводились в приближении РХБ

ций аксиально-деформированного гармонического

с параметрами модели DD-PC1, а для изотопов Zr

осциллятора, но при этом использовалась большая

были проведены дополнительные расчеты в модели

размерность базиса N_b = 20 (1771 базисных функ-

DD-ME2. Для определения наиболее связанного

ций). Такие размерности базиса для рассматривае-

состояния ядра все расчеты свойств рассмотрен-

мой области массовых чисел ядер достаточно боль-

ных нами ядер были выполнены с наложенными

шие, и это минимизирует влияние выбора осцил-

условиями на параметр квадрупольной деформа-

ляторных параметров базиса на результаты расче-

ции в интервале -0.4 ≤ β₂ ≤ 0.7. Для более точ-

тов. При вычислении матричных элементов нами

ного определения минимального значения полной

и в оригинальном коде использовалось 48 узлов

энергии ядра E проводились уточняющие расчеты

квадратурных формул Гаусса-Лагерра и Гаусса-

без наложенных условий в окрестности минимума

Эрмита. Данный код позволяет решать систему

зависимости E(β₂).

уравнений Дирака-Хартри-Боголюбова с нало-

Результаты расчетов зависимости величины β₂

женными условиями на квадрупольную деформа-

и изменение средних квадратов зарядовых радиу-

цию ядер. В программе реализованы современные

релятивистские функционалы плотности энергии

сов δr2N,50 = 〈r²〉_N - 〈r²〉₅₀ для изотопов86-98Kr,

DD-PC1 [17] и DD-ME2 [18]. В коде DIRHBZ

вычисленные в модели DD-PC1 с различными

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№3

2019

188

КУПРИКОВ, ТАРАСОВ

δr

β₂

Kr, DD-PC1

0.1

V₁

1.5

V₁

V₂

Эксп.

1.0

-0.1

-0.2

0.5

-0.3

-0.4

Рис. 1. Изменения параметров деформации β2 и средних квадратов зарядовых радиусов δrN,50 в изотопах86-98Kr с

наборами параметров спаривательного взаимодействия V1, V2. Экспериментальные данные для δrN,50 из работы [16].

δr_N

,50

, Фм

β₂

Sr, DD-PC1

V₁

0.4

V₁

V₂

0.2

Эксп.

-0.2

Рис. 2. То же, что на рис. 1, но для изотопов86-102Sr.

наборами параметров спаривательного взаимодей-

= 56, величина δr² отличается от имеющихся экс-

ствия V₁ и V₂, представлены на рис. 1. Как видно

периментальных данных, и это различие возрастает

с ростом N.

из рисунка, величины β₂ и δr² плавно изменяют

свои значения с возрастанием N и близки по вели-

Как отмечалось выше, в цепочке изотопов Sr

чине для параметров V₁ и V₂. В рассматриваемом

при переходе от N = 58 к N = 60 эксперименталь-

диапазоне N параметр деформации β₂ принимает

но наблюдается [16] скачок величины среднеквад-

отрицательные значения и изменяется от нулевого

ратичных зарядовых радиусов, который отсутству-

значения до величины β₂ ∼ -0.3. Отметим, что

ет в цепочке изотопов Kr. Рисунок 2, аналогичный

расчеты с наложенными условиями на параметр

рис. 1, показывает, что по сравнению с изотопами

деформации β₂ показали, что для изотопов88,90Kr

Kr характер изменения β₂ и δr² в цепочке изотопов

зависимость полной энергии от β₂ имеет два очень

Sr существенно меняется и зависит от выбора па-

близких по глубине минимума, и поэтому можно го-

раметров сил спаривания V₁ или V₂. Для парамет-

ворить о сосуществовании форм для этих изотопов.

ров V₂ обе величины β₂ и δr² плавно изменяются с

На рис. 1 для этих изотопов представлены данные

возрастанием N. Параметр деформации β₂ прини-

для наиболее связанных решений. Начиная с N =

мает нулевые или отрицательные значения, подоб-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№3

2019

ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ЯДЕР

189

E - E_min, МэВ

DD-PC1

⁹²Sr

⁹⁴Sr

⁹⁶Sr

V₁

V₂

⁹⁸Sr

¹⁰⁰Sr

¹⁰²Sr

-0.5

0.5

-0.5

0.5

-0.5

0.5

β₂

Рис. 3. Зависимости разности полных энергий ядер E - Emin от параметра квадрупольной деформации β2 для изотопов

92-102 Sr, вычисленные в модели DD-PC1 с наборами параметров спаривательного взаимодействия V1 и V2.

но изотопам Kr, а величины δr² не претерпевают

изменяющийся отрицательный параметр деформа-

резких изменений. Для параметров V₁ в изотопах

ции β₂. Отметим, что в расчетах с параметрами

Sr резкое изменение β₂ и δr² наступает при пере-

V₁ для изотопов92,94Sr в решениях с отрицатель-

ходе от N = 54 к N = 56. В эксперименте такой

ной и положительной деформацией наблюдается

скачок в δr² происходит при больших значениях

очень маленькое различие по величине полной

числа нейтронов N. Для изотопов Sr расчеты с па-

энергии. Поэтому в данном случае можно говорить

раметрами V₁ показывают, что, начиная с N = 56,

о сосуществовании форм ядра, а выбор решения

параметр деформации принимает весьма большие

формально определяется минимальным числовым

значения β₂ > 0.4, что отражается на характере

значением величины полной энергии.

изменения δr².

Подобно изотопам Sr, для нейтроноизбыточных

Результаты расчетов зависимости E(β₂) - E_min

изотопов Zr в эксперименте [16] также наблюдают-

ся резкие изменения средних квадратов зарядовых

для изотопов92-102Sr, вычисленные в модели DD-

PC1 с наборами параметров спаривательного вза-

радиусов δr². На рис. 4, 5 представлены резуль-

имодействия V₁ и V₂, представлены на рис. 3. Рас-

таты расчетов для изотопов88-104Zr для модели

смотрение зависимости E(β₂) - E_min более удоб-

лагранжиана DD-PC1 и параметров спариватель-

но, чем просто E(β₂), так как устраняет большое

ного взаимодействия V₁, V₂ и V₃. Взаимодействие

различие в величине полной энергии для разных

V₃, которое имеет следующие параметры: G_n =

изотопов в цепочке. Отметим, что изотопы86-90Sr

= -738 МэВ Фм³, G_p = -826.56 МэВ Фм³, a =

обладают сферической или близкой к сферической

= 0.644 Фм, было предложено в работе [27] при

формами (рис. 2a). Для изотопов Sr расчеты по-

изучении изотопов Zr. Как видно из рис. 4, изотопы

казывают сильную зависимость E(β₂) - E_min от

88-92Zr имеют хорошо определенную сферическую

выбора параметров сил спаривания V₁ и V₂. На-

форму и зависимость E(β₂) - E_min обладает од-

чиная с⁹²Sr, по мере возрастания A все рас-

ним минимумом. Начиная с⁹⁴Zr, по мере воз-

смотренные изотопы обладают деформацией. Так-

растания A все рассмотренные изотопы обладают

же хорошо видно, что величина и знак параметра

деформацией. Также хорошо видно, что величина

квадрупольной деформации β₂, соответствующие

и знак параметра квадрупольной деформации β₂,

наиболее глубокому минимуму, зависят от выбора

соответствующие наиболее глубокому минимуму,

параметров спаривательного взаимодействия V₁ и

зависят от выбора параметров спаривательного

V₂. Для расчетов с параметрами V₂, как и в работе

взаимодействия V₁, V₂ и V₃. Для расчетов с па-

[6], все изотопы, начиная с⁹²Sr, имеют монотонно

раметрами V₂, как и в работе [6], все изотопы,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№3

2019

190

КУПРИКОВ, ТАРАСОВ

E - E_min, МэВ

DD-PC1

⁸⁸Zr

⁹⁰Zr

⁹²Zr

V₁

V₂

V₃

⁹⁴Zr

⁹⁶Zr

⁹⁸Zr

¹⁰⁰Zr

¹⁰²Zr

¹⁰⁴Zr

-0.5

0.5

-0.5

0.5

-0.5

0.5

β₂

Рис. 4. То же, что на рис. 3, но для изотопов88-104Zr и с наборами параметров спаривательного взаимодействия V1, V2

и V3.

начиная с⁹⁴Zr, имеют монотонно изменяющийся

98-100Zr, дают очень большую величину параметра

отрицательный параметр деформации β₂. Отметим,

деформации β₂ = 0.43-0.53. Сильное различие в

что в расчетах со всеми типами параметров V₁, V₂ и

величинах β₂ и δr² для¹⁰²Zr, вычисленных с па-

V₃ для изотопов94,96Zr в решениях с отрицательной

раметрами V₁ и V₃, связано с тем, что для этого

и положительной деформацией наблюдается очень

изотопа для параметров V₃ формально выбрано

маленькое различие по величине полной энергии.

наиболее связанное решение, соответствующее от-

Поэтому в данном случае также можно говорить

рицательной деформации. Из рис. 4 видно, что для

о сосуществовании форм ядра, а выбор решения

¹⁰²Zr решения с положительной и отрицательной

формально определяется минимальным числовым

деформацией с параметрами V₁ и V₃ имеют близкие

значением величины полной энергии. Соответству-

по величине полные энергии. Для изотопа¹⁰⁴Zr

ющие этим решениям величины β₂ и изменение

расчеты для всех трех наборов параметров спари-

средних квадратов зарядовых радиусов δr² пред-

вания дают близкие результаты. Из рис. 4, 5 видна

ставлены на рис. 5. Из рис. 4 видно, что для

сильная зависимость результатов расчетов свойств

параметров V₁ и V₂ изотопы94,96Zr имеют при-

изотопов Zr от выбора параметров сил спаривания.

близительно равную отрицательную деформацию.

Отмеченное выше монотонное изменение β₂ для

Для параметров V₃ деформация этих изотопов по-

параметров V₂ (рис. 5a) приводит также к моно-

ложительна, но близка по абсолютной величине к

тонному изменению δr² с ростом A (рис. 5б). Из

расчетам с V₁ и V₂. Поэтому на рис. 5 это различие

сравнения рис. 5a и 5б видно, что большим изме-

для величины δr² со всеми типами параметров

нениям β₂ соответствуют существенные изменения

спаривания мало. Для изотопов98-102Zr расчеты с

δr². Как видно из рис. 5a, 5б, для параметров V₁ и

наборами параметров V₁, а для V₃ — для изотопов

V₃ при переходе от⁹⁶Zr к⁹⁸Zr происходит скачок

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№3

2019

ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ЯДЕР

191

δr

β₂

Zr, DD-PC1

V₁

0.4

V₂

V₃

0.2

Эксп.

−0.2

Δ_n, МэВ

Δ_p, МэВ

Эмпир.

Zr, DD-PC1

V₁

Zr, DD-PC1

V₁

V₂

2.0

V₃

2.0

V₃

1.5

1.0

0.5

Рис. 5. Изменения параметров деформации β2 (a), средних квадратов зарядовых радиусов δrN,50 (б), энергетических

щелей Δn (в) и Δp (г) в изотопах88-104Zr. Экспериментальные данные для δrN,50 из работы [16].

в вычисленных величинах β₂ и δr², а наблюдаемый

спаривательными взаимодействиями V₁, V₂ и V₃,

в эксперименте скачок в величинах δr² происходит

и их эмпирические значения. Явные корреляции

при переходе от⁹⁸Zr к¹⁰⁰Zr. Такой же сдвиг в

между значениями Δ_p, Δ_n и β₂, δr² при N = 58,

область меньших значений A отмечается в других

60, 62, которые приводят к большим значениям β₂ и

работах (см., например, [8, 11]) в расчетах с лагран-

δr² для взаимодействий V₁ и V₃, трудно определить.

жианом NL3 и другим типом учета спаривания.

При N = 58 энергетические щели Δ_n для взаимо-

Из приведенных выше результатов видна силь-

действий V₁ и V₃ равны нулю, что может привести

ная зависимость E(β₂), β₂ и δr² от силы спарива-

к увеличению деформации ядра, но для изотопов

ния. Поэтому нами также были проведены расчеты

с N = 60, 62, для которых также наблюдаются

изотопных изменений значений парных энергети-

большие деформации, величина Δ_n не равна нулю.

ческих щелей для протонов Δ_p и нейтронов Δ_n

Отметим, что для взаимодействий V₁ и V₃ энергети-

(Δ = Σ_ku_kν_kΔ_k/Σ_ku_kν_k, где Δ_k — диагональные

ческие щели Δ_n близки к их эмпирическим значе-

матричные элементы парного поля в каноническом

ниям за исключением их значений для N = 50, 58,

базисе [6, 25], а u2k и ν2k — числа заполнения). Эм-

а для взаимодействия V₂ значения Δ_n значительно

пирические значения энергетической щели Δ(4)n(p),

больше их эмпирических значений. Для Δ_p не

вычисленные по энергиям связи четырех сосед-

наблюдается удовлетворительного согласия с их

них изотопов (изотонов), взяты из работы [28].

эмпирическими значениями для всех трех наборов

На рис. 5в, 5г приведены энергетические щели

взаимодействия, за исключением области N = 58,

изотопов Zr, вычисленные в модели DD-PC1 со

60, 62 для параметров V₃.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№3

2019

192

КУПРИКОВ, ТАРАСОВ

E - E_min, МэВ

DD-ME2

⁹⁴Zr

⁹⁶Zr

⁹⁸Zr

V₁

V₂

¹⁰⁰Zr

¹⁰²Zr

¹⁰⁴Zr

-0.5

0.5

-0.5

0.5

-0.5

0.5

β₂

Рис. 6. Зависимости разности полных энергий ядер E - Emin от параметра квадрупольной деформации β2 для изотопов

94-104Zr, вычисленные в модели DD-ME2 с наборами параметров спаривательного взаимодействия V1 и V2.

δr_N

,50

, Фм

β₂

0.6

Mo, DD-PC1

V₁

0.4

V₂

Эксп.

0.2

-0.2

Рис. 7. То же, что на рис. 1, но для изотопов90-108Mo.

Для проверки влияния на результаты расчетов

зультаты, полученные в модели DD-PC1. Неболь-

выбора различных моделей лагранжианов нами

шое различие имеет место для изотопов⁹⁶Zr и

были дополнительно проведены расчеты в модели

¹⁰²Zr, заключающееся в выборе положения наи-

DD-ME2 с параметрами парного взаимодействия

более глубокого минимума в зависимости E(β₂) -

V₁ и V₂, которые представлены на рис. 6. На-

- E_min для этих изотопов. Но при этом следует

помним, что набор параметров V₁ соответствует

отметить, что различие по величине полной энергии

более слабому спариванию по сравнению с V₂.

очень мало и в этом случае также можно говорить

Из рисунка видно, что зависимости E(β₂) - E_min

о сосуществовании форм. Как и для модели DD-

для изотопов94-104Zr, вычисленные в модели DD-

PC1 наблюдается сильная зависимость результа-

ME2 с наборами параметров спаривательного вза-

тов от выбора параметров сил спаривания. Для

имодействия V₁ и V₂, практически повторяют ре-

модели DD-ME2 и набора параметров V₁ величина

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№3

2019

ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ЯДЕР

193

β₂

δr

Ru, DD-PC1

1.0

Ru, DD-PC1

V₁

V₂

0.5

0.2

Эксп.

-0.5

-1.0

-0.2

−1.5

Рис. 8. Изменения параметров деформации β2 и средних квадратов зарядовых радиусов δrN,60 в изотопах94-108Ru,

вычисленные в модели DD-PC1 с наборами параметров спаривательного взаимодействия V1 и V2. Экспериментальные

данные для δr2N,60 из работы [16].

параметра деформации β₂, как и для модели DD-

Расчеты с наложенными условиями на параметр

PC1, при N = 58, 60 принимает значение β₂ ∼

деформации β₂ показали, что зависимости полной

∼ 0.5. Это приводит к резкому возрастанию δr².

энергии от β₂ для всех рассмотренных в настоящей

Для параметров V₂ величины β₂ и δr² в модели DD-

работе изотопов Mo имеют только один наиболее

ME2 изменяются как для модели DD-PC1. Так как

выраженный минимум.

результаты расчетов для модели DD-ME2 близки

Результаты расчетов β₂ и δr² для изотопов Ru

к результатам, полученным в модели DD-PC1, то в

представлены на рис. 8. Отметим, что для изотопов

дальнейшем мы ограничимся обсуждением только

Ru изменения δr² представлены по отношению

модели DD-PC1.

к величине среднего квадрата радиуса с N = 60:

На рис. 7 представлены результаты расчетов

зависимости величины β₂ и изменение средних

δr2N,60 = r2N - r²

. Как видно из рис. 8a, ве-

квадратов зарядовых радиусов δr² для изотопов

личины параметров β₂ положительны и с возраста-

90-108Mo, вычисленные в модели DD-PC1 с пара-

нием N до N = 60 плавно изменяют свою величину,

метрами спаривательного взаимодействия V₁ и V₂.

а также в основном близки по величине для набо-

В отличие от изотопов Sr и Zr, эксперименталь-

ров параметров V₁ и V₂. Для изотопов Ru при пере-

ходе от N = 60 к N = 62 параметр деформации β₂

ные данные показывают, что величина δr² плавно

меняет знак и принимает отрицательные значения.

изменяет свои значения с возрастанием N. Такое

Расчеты с наложенными условиями на β₂ показали,

плавное изменение δr² в изотопах Mo характерно

что зависимости полной энергии от β₂ для всех

для расчетов с параметрами V₂, но показывает

изотопов Ru, также как для изотопов Mo, имеют

более медленный рост, чем в эксперименте, начи-

только один наиболее выраженный минимум. Ве-

ная с изотопа¹⁰⁰Mo. Для параметров V₁, подобно

личины δr², представленные на рис. 8б, удовле-

изотопам Sr и Zr, в зависимостях β₂ и δr² при N =

творительно согласуются с экспериментальными

= 58 расчеты показывают резкий скачок величины

данными и монотонно возрастают с ростом N. Для

δr², что связано с возрастанием параметра дефор-

всех N значения δr² очень близки по величине для

мации до величины β₂ ∼ 0.57. Большие величины

параметров сил спаривания V₁ и V₂. Небольшое

β₂ и δr², полученные в расчетах с параметрами

различие в величинах δr² для результатов расчетов

V₁, имеют место только для изотопов100,102Mo.

с силами V₁ и V₂ имеет место для N = 52, что

Такое большое изменение δr² не согласуется с экс-

связано с различием в величине β₂. Отметим, что

периментальными данными. Для всех остальных

все полученные нами результаты в модели DD-PC1

изотопов Mo результаты расчетов β₂ и δr² для

с параметрами сил спаривания V₂ очень близки к

параметров спаривательного взаимодействия V₁ и

результатам аналогичных расчетов [6].

V₂ близки по величине. Из рис. 7a также видно, что

изотопы Mo при возрастании N, также как изото-

4. В настоящей работе проведено исследование

пы Zr, изменяют знак параметра деформации β₂.

изменений формы ядер в цепочках четно-четных

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№3

2019

194

КУПРИКОВ, ТАРАСОВ

изотопов Kr, Sr, Zr, Mo и Ru в приближении реля-

R. Rodr´ıguez-Guzm ´an, P. Sarriguren, L. M. Robledo,

тивистского метода Хартри-Боголюбова с моде-

and S. Perez-Martin, Phys. Lett. B 691, 202 (2010).

лями лагранжианов DD-PC1 и DD-ME2. Спари-

10.

J. Xiang, Z. P. Li, Z. X. Li, J. M. Yao, and J. Meng,

вание нуклонов описывалось сепарабельным пар-

Nucl. Phys. A 873, 1 (2012).

ным взаимодействием конечного радиуса действия.

В расчетах использовалось несколько известных

11.

B. Kumar, S. K. Singh, and S. K. Patra, Int. J. Mod.

из литературы наборов параметров спаривательно-

Phys. E 24, 1550017 (2015).

го взаимодействия. Для всех рассмотренных изо-

12.

K. Nomura, R. Rodr ´ıguez-Guzm ´an, and L. M. Rob-

топов были проведены расчеты с наложенными

ledo, Phys. Rev. C 94, 044314 (2016).

условиями на параметр квадрупольной деформа-

ции. Проведенные расчеты показали, что наблю-

13.

T. Togashi, Y. Tsunoda, T. Otsuka, and N. Shimizu,

дается сильная зависимость вычисленных величин

Phys. Rev. Lett. 117, 172502 (2016).

квадратов зарядовых радиусов и параметров квад-

рупольной деформации от выбора силы спаривания

14.

В. И. Куприков, А. П. Созник, В. Н. Тара-

для некоторых изотопов Sr, Zr и Mo в окрестности

сов, ВАНТ.Сер.:Ядерно-физические исследования

N = 60. Для цепочек изотопов Kr и Ru такой

1(9), 23 (1990).

сильной зависимости результатов расчетов от силы

15.

В. Н. Тарасов, Д. В. Тарасов, К. А. Гриднев,

спаривания не обнаружено. Наблюдаемые в экс-

Д. К. Гриднев, В. Грайнер, В. Г. Картавенко,

перименте большие скачки в величине квадратов

В. И. Куприков, Изв. РАН. Сер. физ. 72, 890 (2008)

среднего радиуса для изотопов Sr и Zr при переходе

[Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 72, 842 (2008)].

от N = 58 к N = 60 в расчетах происходят при

близких к данным значениям N и определяются

16.

I. Angeli and K. P. Marinova, At. Data Nucl. Data

выбором силы спаривания. В наших расчетах эти

Tables 99, 69 (2013).

скачки δr² связаны с очень большими значениями

17.

T. Nik ˇsi ´c, D. Vretenar, and P. Ring, Phys. Rev. C 78,

вычисленных величин параметров квадрупольной

034318 (2008).

деформации β₂ ∼ 0.5. В изотопах Kr и Ru не проис-

ходит таких скачков величин δr² и β₂. Рассматри-

18.

G. A. Lalazissis, T. Nik ˇsi ´c, D. Vretenar, and P. Ring,

ваемая в работе область ядер является переходной,

Phys. Rev. C 71, 024312 (2005).

и для более точного описания эксперименталь-

19.

P. W. Zhao, Z. P. Li, J. M. Yao, and J. Meng, Phys.

ных данных δr², по-видимому, необходимы, помимо

Rev. C 82, 054319 (2010).

изучения влияния парных корреляций и статиче-

ской деформации в ядрах, дополнительные иссле-

20.

G. A. Lalazissis, S. Karatzikos, R. Fossion, D. Pena

дования вклада динамической деформации ядер,

Arteaga, A. V. Afanasjev, and P. Ring, Phys. Lett. B

которая не учитывалась в настоящей работе.

671, 36 (2009).

21.

A. V. Afanasjev, S. E. Agbemava, and A. Gyawali,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Phys. Lett. B 782, 533 (2018).

1. M. Bender, P.-H. Heenen, and P.-G. Reinhard, Rev.

Mod. Phys. 75, 121 (2003).

22.

В. Г. Соловьев, Теория сложных ядер (Наука,

2. M. V. Stoitsov, J. Dobaczewski, W. Nazarewicz,

Москва, 1971) [V. G. Soloviev, Theory of Complex

S. Pittel, and D. J. Dean, Phys. Rev. C

68,

Nuclei (Pergamon Press, Oxford, 1976)].

054312

(2003); http://www.fuw.edu.pl/∼doba-

23.

S. E. Agbemava, A. V. Afanasjev, and P. Ring, Phys.

czew/thodri/thodri.html

Rev. C 93, 044304 (2016).

3. N. Tajima, Prog. Theor. Phys. Suppl. 142, 265 (2001).

24.

S. E. Agbemava and A. V. Afanasjev, Phys. Rev. C 96,

4. J. Meng, H. Toki, S. G. Zhou, S. Q. Zhang,

024301 (2017).

W. H. Long, and L. S. Geng, Prog. Part. Nucl. Phys.

57, 470 (2006).

25.

T. Nik ˇsi ´c, N. Paar, D. Vretenar, and P. Ring, Comput.

Phys. Commun. 185, 1808 (2014).

5. T. Nik ˇsi ´c, D. Vretenar, and P. Ring, Prog. Part. Nucl.

Phys. 66, 519 (2011).

26.

Y. Tian, Z. Y. Ma, and P. Ring, Phys. Lett. B 676, 44

(2009).

6. S. E. Agbemava, A. V. Afanasjev, D. Ray, and P. Ring,

Phys. Rev. C 89, 054320 (2014).

27.

J. Zhao, B.-N. Lu, E.-G. Zhao, and S.-G. Zhou,

7. L. S. Geng, H. Toki, and J. Meng, Mod. Phys. Lett. A

Phys. Rev. C 95, 014320 (2017).

19, 2171 (2004).

28.

G. Audi, A. H. Wapstra, and C. Thiba-

8. M. Hemalatha, A. Bhagwat, A. Shrivastava, S. Kai-

ult, Nucl. Phys A

729,

337

(2003); http://

las, and Y. K. Gambhir, Phys. Rev. C 70, 044320

(2004).

amdc.in2p3.fr/masstables/Ame2003/rct7.mas03

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№3

2019