ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2019, том 82, № 4, с. 287-296

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ФОРМФАКТОР ДВУХФЕРМИОННОЙ СОСТАВНОЙ СИСТЕМЫ:

СЛУЧАЙ РАВНЫХ МАСС И ВЕКТОРНОГО ТОКА

Гомельский государственный технический университет им. П.О. Сухого;

Международный центр перспективных исследований, Гомель, Беларусь

Поступила в редакцию 13.12.2018 г.; после доработки 13.12.2018 г.; принята к публикации 13.12.2018 г.

Получены новые выражения компонент формфактора составной системы двух релятивистских фер-

мионов равных масс для случая векторного тока. Рассмотрение проводится в рамках релятивистского

квазипотенциального подхода, основанного на ковариантной гамильтоновой формулировке квантовой

теории поля, путем перехода к трехмерному релятивистскому конфигурационному представлению для

случая взаимодействия двух релятивистских спиновых частиц равных масс.

DOI: 10.1134/S0044002719040068

1. ВВЕДЕНИЕ

торов релятивистских двухчастичных систем [17,

18]. Выражения упругих формфакторов связан-

Для описания поведения формфакторов состав-

ной системы двух релятивистских бесспиновых ча-

ных систем были предложены различные подходы

стиц произвольных масс для случая скалярного и

(см., например, работы [1-5]). Однако остается

векторного токов были получены в работах [19,

актуальной задача ковариантного описания форм-

20]. Здесь также был использован РКП-подход

факторов составных систем во всей области энер-

на основе гамильтоновой формулировки квантовой

гий, а для этого необходимо знать ковариантные

теории поля [13, 14] путем перехода к трехмерно-

волновые функции относительного движения квар-

му релятивистскому конфигурационному представ-

ков. Такой ковариантный метод был предложен в

лению для случая взаимодействия двух реляти-

работах [6-10]. Развитый в этих работах метод

вистских бесспиновых частиц произвольных масс

основан на релятивистском квазипотенциальном

[21, 22].

(РКП) подходе [11] в квантовой теории поля, ко-

Настоящая работа посвящена формфактору со-

торый был предложен Логуновым и Тавхелидзе

ставной системы двух фермионов равных масс для

в рамках одновременной формулировки проблемы

случая векторного тока и может рассматриваться

двух тел. Естественным развитием этого метода

как продолжение работы [23], в которой иссле-

является модель, рассмотренная в работе [12]. Эта

довался формфактор для случая скалярного тока.

модель использует РКП-подход [13], возникающий

Как и в работе [23], мы будем использовать РКП-

в терминах ковариантной гамильтоновой форму-

подход [13, 24], основанный на гамильтоновой фор-

лировки квантовой теории поля [14], путем пе-

мулировке квантовой теории поля [14], путем пе-

рехода от импульсной формулировки в простран-

рехода к трехмерному релятивистскому конфигу-

стве Лобачевского к трехмерному релятивистскому

рационному представлению для случая взаимодей-

конфигурационному представлению, введенному в

ствия двух релятивистских спиновых частиц рав-

работе [15] для случая взаимодействия двух реля-

ных масс m [15].

тивистских бесспиновых частиц равных масс m. В

этой модели учитывается как вклад в формфактор

протона векторных мезонов, так и вклад от его

2. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВОЛНОВОЙ

центральной части, радиус которой равен комп-

ФУНКЦИИ ДВУХФЕРМИОННОЙ

тоновской длине волны протона, играющей роль

СОСТАВНОЙ СИСТЕМЫ

естественного масштаба.

В рамках трехмерного ковариантного форма-

В рамках РКП-подхода [13, 14, 24] для случая

лизма описания составных систем из двух реляти-

взаимодействия двух релятивистских спиновых

вистских бесспиновых частиц равных масс, разви-

частиц равных масс m₁ = m₂ = m полностью

того в [16], были получены выражения формфак-

ковариантное двухчастичное трехмерное РКП-

уравнение для волновой функции в конфигу-

^*E-mail: chyud@mail.ru;chern@gstu.by

рационном представлении

[15] для сферически

287

288

ЧЕРНИЧЕНКО

симметричных потенциалов имеет вид [23, 25]¹⁾

где

(

)

(

)

λ²ℓ(ℓ + 1)

Ĥrad

(M_Q -Ĥ0)ψ_M

(r) =

(1)

= ch iλ

exp iλ

(6)

0,ℓ

2r(r + iλ)

)

( Ĥ₀

– радиальная часть оператора свободного гамиль-

=V(r;M_Q

ψMQ(r).

тониана (2), операторˆ по-прежнему определяет-

ся выражениями (3) и (4), а χ — быстрота, которая

Здесь M2Q = s_q = Q² = (q₁ + q₂)² = Q²⁰ - Q², где

параметризирует импульс и энергию:

q_i,i = 1,2 — 4-импульсы составляющих, оператор

Δq,mλQ = mshχnΔq,mλ

Δ_q,mλQ

| = 1,

[

(

)

M_Q = 2Δ0q,mλ

Δ⁰

= mchχ.

Ĥ₀ = 2m ch iλ∂

(2)

q,mλ_Q

∂r

Здесь временная и пространственная компоненты

(

)

(

)]

iλ

∂

λ²

∂

4-вектора Δq,mλQ = Λ-1 q из пространства Лоба-_λ

sh iλ

Δ_θ,ϕ exp iλ

∂r

2r²

∂r

чевского с 4-вектором скорости составной части-

√

цы λ_Q = (λ0Q; λ_Q) = Q/

Q² подчиняются преоб-

– оператор свободного гамильтониана, являющий-

разованиям Лоренца³⁾

ся конечно-разностным оператором, построенным

из операторов сдвига exp (±iλ∂/∂r), в то время

Λ-1λq = Δq,mλQ = q(-)mλQ =

(7)

как Δ_θ,ϕ — его угловая часть, причем λ = 1/m —

(

)

комптоновская длина волны; квазипотенциал

q·λ_Q

=q-λ_Q q₀ -

V (r; M_Q) является локальным в смысле геометрии

1+λ⁰

Лобачевского, причем модуль радиуса-вектора r

(r = rn, |n| = 1) — релятивистский инвариант, а

(Λ-1λ

q)⁰ = Δ0q,mλ

=q₀λ0Q - q · λ_Q =

√

операто

A дается выражением

= m² +Δ²

[

]

q,mλ_Q

)

( Ĥ₀

( Ĥ0 )2

+b ,

(3)

причем все 4-импульсы принадлежат верхней пол ´е

массового гиперболоида

где

Δ2q,mλ

=Δ02q,mλ

-Δ²

q,mλ_Q

=m².

(8)

⎧

⎪

при

Ô₌ γ₅ (псевдоскаляр);

⎪

⎨

3. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ФОРМФАКТОР

при

Ô₌ γ_μ (вектор);

(4)

a=⎪⎪2

ДВУХФЕРМИОННОЙ СОСТАВНОЙ

⎪

⎩_-

при

Ô₌ γ₅γ_μ (псевдовектор);

СИСТЕМЫ ДЛЯ ВЕКТОРНОГО ТОКА

⎧

Следуя работам [17, 18], основанным на рабо-

⎪0

при

Ô₌ γ₅ (псевдоскаляр);

⎪

тах [6-10], матричному элементу локального опе-

⎨

ратора векторного тока в импульсном приближе-

при

Ô₌ γ_μ (вектор);

нии вблизи полюсов связанных состояний с 4-

b=⎪⎪

импульсами Q, P двух релятивистских спиновых

⎪

⎩3

частиц равных масс может быть сопоставлено ин-

при

Ô₌ γ₅γ_μ (псевдовектор).

вариантное выражение

Уравнение для радиальной волновой функции с от-

〈P|J_ν |Q〉 =

(9)

∫

носительным орбитальным моментом ℓ имеет вид²⁾

z₁

dτ_P dτ_Qd⁽⁴⁾k₁d⁽⁴⁾k′1d⁽⁴⁾k₂ ×

(

)

(2π)³

Ĥrad

- ch χ ϕ_ℓ(r, χ) =

(5)

0,ℓ

(

)

× Γαβ+P(k₁,k₂;λ_Pτ_P)S(+)αγ(k₁,m) ×

Ĥrad

= -V (r

0,ℓ

ϕℓ(r, χ),

(k₁ + k′1)

S(+)γδ(k′1,m) ×

(τ_P + iε)(τ_Q - iε)

¹⁾Мы будем всюду использовать систему единиц, в которой

положено: ℏ = c = 1.

³⁾Напомним, что обозначение q(-)mλQ мы используем

²⁾Аналогичноеуравнениедляслучая двухспиновыхкварков

здесь и далее для операции сдвига в пространстве Ло-

равных масс было получено в [26] при ином определении

бачевского как пространства постоянной кривизны (см.,

волновой функции и квазипотенциала.

например, работы [15, 22]).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№4

2019

ФОРМФАКТОР ДВУХФЕРМИОННОЙ СОСТАВНОЙ СИСТЕМЫ

289

(

)

×Γ^δκQ

k′1,k₂;λ_Qτ_Q

S(+)βκ(k₂,-m) ×

(

)

×δ⁽⁴⁾

-Q + k′1 + k₂ - λ_Qτ_Q

× δ(4) (P - k₁ - k₂ + λ_Pτ_P) + (1 ↔ 2).

k₁, m

', m

Здесь S⁽⁺⁾(k_i, m) = θ(ki0)(ki + m)δ(k2i - m²) —

положительно-частотные части спинорных функ-

λ τ λ τ

ций Грина i-й составляющей с массой m₁ = m₂ =

= m, которая переносит 4-импульс k_i(p_i,q_i,i =

k₂, m

= 1, 2), где ki = kμi γ_μ, а γ_μ — матрицы Дирака (μ =

Рис. 1. Диаграмма для матричного элемента оператора

векторного тока между связанными состояниями с

= 0, 1, 2, 3), причем все 4-импульсы принадлежат

4-импульсами Q, P для случая двух релятивистских

верхней пол ´е массового гиперболоида

спиновых частиц равных масс.

k2i = k2i0 - k2i = m²,i = 1,2.

(10)

относительным орбитальным моментом J, скаляр-

Вершинные функции Γ^αβP(k₁, k₂; λ_P τ_P ) и Γ^δκQ(k′1, k₂;

ные части вершинных функций Γ_Q(k′1, k₂; λ_Qτ_Q) и

λ_Qτ_Q) для простоты рассмотрения, как и в ра-

Γ_P(k₁,k₂;λ_Pτ_P) зависят каждая только от одно-

ботах [23, 25, 26], имеют заданную спинорную

го скалярного лоренц-инвариантного параметра, в

качестве которого выберем Qk₂ и Pk₂, и введем

структуру, пропорциональную матрице^Ô, т.е.

обозначения:

Γ^αβP(k₁,k₂;λ_Pτ_P) =ÔαβΓ_P(k₁,k₂;λ_Pτ_P),

(11)

Γ_Q(k′1,k₂;λ_Qτ_Q) = Γ_M

(Qk₂),

(13)

Γ^δκQ(k′1,k₂;λ_Qτ_Q) =ÔδκΓ_Q(k′1,k₂;λ_Qτ_Q),

Γ_P(k₁,k₂;λ_Pτ_P) = ΓMP (Pk₂).

где α, β, ..., κ — биспинорные индексы, пробегаю-

Теперь учтем, что в выражении для матричного

элемента локального оператора векторного тока

щие значения 0, 1, 2, 3, причем матрица

Ô не за-

в (9) в общем случае будет присутствовать и его

висит от импульсных переменных и шпур SpÔ2 =

поперечная составляющая, которая приводит к на-

= 0, а в качестве

Ô выбираются матрицы Дира-

рушению условия поперечности [20]

ка γ₅, γ_μ, γ₅γ_μ (μ = 0, 1, 2, 3). Такой выбор мат-

(P - Q)^ν 〈P|J_ν |Q〉 = 0.

рицы

Ô позволил найти точные решения РКП-

уравнения (1) и получить выражение для формфак-

Поэтому 4-вектор в (9) представим в виде

тора в случае скалярного тока [23, 25].

〈P|J_ν |Q〉 =

(14)

Выражению (9) отвечает диаграмма на рис. 1.

= F⁽⁺⁾(t)(P + Q)_ν + iF(-)(t)(P - Q)_ν,

Сплошные линии соответствуют ее составляющим,

которые переносят 4-импульсы k′1, k_i, i = 1, 2, а

причем при Q² = M2Q и P² = M2P имеют место

штриховые линии — квазичастицам-шпурионам. В

соотношения

качестве векторов 4-скорости составной частицы

√

t = (P - Q)² = -Q² = M2Q + M2P - 2PQ,

(15)

выбрали векторы λ_Q = (λ0Q; λ_Q) = Q/

Q² =

2PQ = M2Q + M2P - t,

= Q/M_Q, M2Q = s_q = Q² = (q₁ + q₂)² и λ_P = (λ0P ;

√

(P + Q)² = M2Q + M2P + 2PQ = 2(M2Q + M2P ) - t.

λ_P) = P/

P² = P/M_P, M2P = s_p = P² = (p₁ +

+ p₂)². Напомним, что из-за перехода к различ-

Тогда, принимая во внимание соотношения (11),

ным собственным временам системы до (τ_Q) и

(13)-(15), выполним в (9) интегрирования по k′10,

после взаимодействия (τ_P ) диаграмма на рисунке

ki0, i = 1,2, подобно тому как выполнялись инте-

отличается от диаграмм, которые возникают в

грирования в работах [19, 20, 23]. В результате вы-

подходе Кадышевского для S-матрицы. Также

ражения для компонент формфактора принимают

будут различны и векторы 4-скорости составной

вид

частицы до, λ_Q, и после взаимодействия, λ_P .

z₁

F⁽⁺⁾(t) = -

(16)

Опираясь на условия коллинеарности λ_Q ↑↑ Q,

(2M2Q + 2M2P - t)(4π)³

λ_P ↑↑ P и законы сохранения

∫

dτ_P dτ_Qdk₁dk′1dk₂

Γ∗MP (Pk₂)

√

-Q + k′1 + k₂ - λ_Qτ_Q = 0,

(12)

m² + k²²

m² + k²¹(τ_P + iε)

P - k₁ - k₂ + λ_Pτ_P = 0,

- m)] ×

× Sp[ Ô+(k1 + m)(k′1 + m) ^Ô(k2

в работе [23] было установлено (см. также рабо-

ΓMQ(Qk₂)

ты [19, 20]), что для связанной системы спиновых

× (P + Q)(k₁ + k′1)√

частиц, которые находятся в состоянии движения с

m² + k′21(τ_Q - iε)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№4

2019

290

ЧЕРНИЧЕНКО

(

)

(

)

×δ⁽⁴⁾

-Q + k′1 + k₂ - λ_Qτ_Q

δ⁽⁴⁾ ×

= -4m ãk₁k′1 +bk′1k₂ + bk₁k₂

+ ãm²

{

× (P - k₁ - k₂ + λ_Pτ_P) + (1 ↔ 2),

= -2m 4m²(ã - b) - ã(2Δ0k,mλ

- 2Δ

)²

k,mλ_P

z₁

[

]}

F(-)(t) = -

(17)

it(4π)³

+^b (2Δ0k,mλ

)² + (2Δ

k,mλ_P

)²

∫

dτ_P dτ_Qdk₁dk′1dk₂

Γ∗MP (Pk₂)

√

где параметры ã и^b (как и в работе [23]) даются

m² + k²²

m² + k²¹(τ_P + iε)

выражениями

⎧

× Sp[ Ô+(k1 + m)(k′1 + m) ^Ô(k2 - m)] ×

⎨1

при

Ô₌ γ₅ (псевдоскаляр);

ΓMQ(Qk₂)

при

Ô₌ γ_μ (вектор);

(20)

× (P - Q)(k₁ + k′1)√

ã=⎪⎩

m² + k′21(τ_Q - iε)

−4

при

Ô₌ γ₅γ_μ (псевдовектор);

(

)

⎧

×δ⁽⁴⁾

-Q + k′1 + k₂ - λ_Qτ_Q

δ⁽⁴⁾ ×

⎨

при

Ô₌ γ₅ (псевдоскаляр);

× (P - k₁ - k₂ + λ_Pτ_P) + (1 ↔ 2).

при

Ô₌ γ_μ (вектор);

^b=⎪⎩

Далее, в выражениях (16) и (17) проведем инте-

при

Ô₌ γ₅γ_μ (псевдовектор).

грирования по k′1, k₁, τ_Q, τ_P . Для этого мы выпол-

Тогда, после выполнения в выражениях (16) и

ним чистые преобразования Лоренца L = Λ-1λ

Q(P)

(17) чистых преобразований Лоренца L = Λ-1 и_λ

Q(P)

по формулам (7) соответственно в интегралах по

учета приведенных выше его свойств и соотноше-

k′1,k₂(k₁) и учтем, что

ний (18) и (19), компоненты упругого формфактора

запишутся в виде (M_Q = M_P = M)

Λ-1λQ = (MQ;0), Λ-1λP = (MP;0),

(z₁ + z₂)m(2M² - t)

Qk₂ = M_QΔ0k

Pk₂ =M_PΔ⁰

k₂,mλ_P

F⁽⁺⁾(t) =

(21)

2,mλQ

M (4M² - t)(2π)³

а меры интегрирования

∫

{

× dΩΔk,mλ

Ψ^∗M (Δ_k,mλ

)

4m²(ã -b) -

dΩki = mdk_i/ki0 = dΩ

Δ_ki,mλQ

]

[(

)₂

(

)₂

i = 1,2,

= mdΔki,mλ_Q/Δ^k

i,mλQ

− (ã -b)

2Δ0k,mλ

2Δ⁰

k,mλ_P

полная энергия

(

)(

)}

+ 2ã

2Δ0k,mλ

2Δ⁰

k,mλ_P

√s_k = Λ-1λ

√s_k =^√s_Δ

= 2Δ0k,mλ

Q(P)

k,mλQ(P)

Q(P)

(

)

2Δ0k,mλ

+ 2Δ0k,mλ

Ψ_M(Δk,mλQ),

и δ-функции в (16) и (17) на массовом гиперболои-

де (10) инвариантны при преобразованиях Лоренца

(z₁ + z₂)m(2M² - t)

F(-)(t) =

(22)

Λ-1

(подробности см. в работах [19, 20, 23]).

λQ(P)

itM(2π)³

∫

{

Кроме того, из законов сохранения (12) следуют

× dΩΔk,mλ

Ψ^∗M (Δ_k,mλ

)

4m²(ã -b) -

формулы

]

[(

)₂

(

)₂

τQ(P) + MQ(P) =

(18)

− (ã -b)

2Δ0k,mλ

2Δ

√

k,mλ_P

sΔk,mλ

= 2Δ⁰

(

)(

)}

Q(P)

k,mλQ(P)

+ 2ã

2Δ0k,mλ

2Δ⁰

k,mλ_P

Δk,mλQ(P) = Δk2,mλQ(P) ,

(

)

2Δ0k,mλ

- 2Δ0k,mλ

Ψ_M(Δk,mλQ

M2Q + M2P

-t

(P ± Q)(k₁ + k′1) =

^√s

Δ_k,mλQ

где волновая РКП-функция в пространстве мо-

2M_Q

ментов связана со скалярной частью вершинной

M2Q + M2P

-t

функции в (13) соотношением

^√s

Δ_k,mλP

2M_P

Ψ_M(Δk,mλQ) =

причем все импульсы лежат на верхней пол ´е

ΓMQ(Δk,mλQ)

массового гиперболоида (8). Формулы (18) также

(

23/2

√mΔ0_k,mλ

M_Q - 2Δ⁰

+ iε

Ô₌

k,mλ_Q

позволяют вычислить шпур с матрицами

= γ₅,γ_μ,γ₅γ_μ (μ = 0,1,2,3):

Вектор Δk,mλP из пространства Лобачевского,

[

]

реализующегося на верхней пол ´е массового ги-

Ô⁺(k1 + m)(k′1 + m)^Ô(k2 - m) =

(19)

перболоида (8), может быть представлен в виде

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№4

2019

ФОРМФАКТОР ДВУХФЕРМИОННОЙ СОСТАВНОЙ СИСТЕМЫ

291

∫

(

)

[19, 20, 23]

× drξ^∗

Δ_P,Q,r

Δk,mλP = Λ-1k =

(23)

{

λ_P

× Re (ã -b)ψ^∗M (r)

ψ_M (r) +

= V (ΛλQ,P)Δk,mλQ(-)

Δ_P,Q,

]_∗(_ˆ

)₂

[ Ĥ₀

где V (ΛλQ , P) = Λ-1λΛλQ ΛΔP,Q — матрица вигне-

H₀

+ (ã +^b)

ψ_M (r)

ψ_M (r) -

ровского вращения,

а пространственная и вре-

менная компоненты 4-вектора передачи импульса

}

( Ĥ0 )3

Δ_P,Q из пространства Лобачевского преобразуют-

− (ã -b)ψ^∗M (r)

ψ_M (r)

ся по формулам

Δ_P,Q = Λ-1QP = P(-)Q =

(24)

(

)

16m⁴(z₁ + z₂)(2M² - t)

F(-)(t) =

(27)

P·Q

-Mt

=P-

P₀ -

∫

Q₀ + M

(

)

× drξ^∗

Δ_P,Q,r

= M shχ_Δn_Δ,

(

)₀

{

]_∗

Δ0P,Q =

Λ-1QP

× Im (ã -b)ψ_M (r)

ψ_M (r)

P₀Q₀ - P · Q

= M chχ_Δ,

)₂

]_∗

[ ˆ0

][(ˆH

+ (3ã -b)

ψ_M (r)

P = M shχ_Pn_P, Q = M shχ_Qn_Q,

[(_ˆ

)₃

]_∗}

P₀ = M ch χ_P, Q₀ = M ch χ_Q,

− (ã -b)ψ_M (r)

ψ_M (r)

|n_P | = |n_Q| = |n_Δ| = 1,

Δ02P,Q - Δ2P,Q = M²,

где функции

где χ_Δ, χ_P , χ_Q — соответствующие быстроты, а

⁽p₀ -p·n)-1-ir/λ

квадрат переданного 4-импульса t связан с век-

ξ(p, r) =

тором передачи импульса Δ_P,Q и быстротой χ_Δ

соотношением

выполняют роль релятивистских плоских волн в

пространстве Лобачевского и соответствуют глав-

Q² = -t = -(P - Q)² = -2M² +

(25)

ной серии унитарных неприводимых представлений

√

группы Лоренца.

+ 2M M² + Δ2P,Q = 2M² (ch χ_Δ - 1) .

Заметим, что если волновая РКП-функция

ψ_M (r) является вещественной функцией пере-

Таким образом, представление (23) вместе с

менной r и отвечает вещественному потенциалу

формулами (24) и (25) означает, что выраже-

V (r), то согласно уравнению (1) по крайней мере

ния (21) и (22) для компонент упругого формфак-

[

]_∗

величина ψ_M (r)

( Ĥ₀/2m)³ψ_M (r)

не является

тора являются функциями инвариантной перемен-

вещественной. Следовательно, поперечная компо-

ной Δ2P,Q — квадрата вектора передачи импульса

нента F(-)(t) упругого формфактора в отличие от

в пространстве Лобачевского. Следовательно, они

бесспинового случая [20] даже при равных массах

представляют собой свертки волновых функций в

(m₁ = m₂ = m) в нуль не обращается.

этом пространстве. Значит, компоненты упруго-

Для случая s-состояния (ℓ = 0) составной си-

го формфактора (21) и (22) можно представить

стемы из выражений (26) и (27) после интегриро-

в виде релятивистских фурье-образов от ковари-

вания по угловым переменным получим (ρ = rm)

антных волновых РКП-функций в конфигураци-

онном представлении (подробности см. в работах

F(+)ℓ=0(t) =64πm3(z1 +z2)(2M2 -t)

(28)

[19, 20, 23])⁴⁾:

M (4M² - t)

∞

∫

16m⁴(z₁ + z₂)(2M² - t)

F⁽⁺⁾(t) =

(26)

χ_Δ

sin(ρχ_Δ)

M (4M² - t)

dρ

sh χ_Δ

ρχ_Δ

⁴⁾Подчеркнем, что ни при каких значениях параметров ã

{

и b выражения (26) и (27) не могут быть сведены к их

× Re (ã - b)ϕ∗0(ρ, χ) Ĥrad0,ℓ=0ϕ₀(ρ, χ) + (ã +^b) ×

аналогам для случая двух бесспиновых частиц произволь-

[

]_∗ (

)₂

ных масс при m1 = m2 = m, которые были найдены в

Ĥrad

ϕ₀(ρ,χ)

ϕ₀(ρ,χ) -

работе [20].

0,ℓ=0

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№4

2019

292

ЧЕРНИЧЕНКО

(

)₃

}

Ĥrad

а радиальная часть

оператора свободного

- (ã -b)ϕ∗0(ρ,χ)

ϕ₀(ρ,χ) ,

0,ℓ=0

гамильтониана (2) определена в (6).

Таким образом, если для s-состояния функ-

∫_∞

F(-)ℓ=0(t) =64πm3(z1 +z2)(2M2 -t)

(29)

ция R(ρ) является знакопостоянной и

dρ(ρ² -

-Mt

− 3/2)R(ρ) > 0, то она описывает не всю структуру

∞

∫

составной частицы, а только область, лежащую

χ_Δ

sin(ρχ_Δ)

dρ

на расстояниях, больших ее комптоновской дли-

sh χ_Δ

ρχ_Δ

ны волны 1/M. При этом центральной сфере с

{

[

]_∗

〈r²⁰〉 = 1/M² отвечает функция пространственно-

Ĥrad

× Im (ã -b)ϕ₀(ρ,χ)

ϕ₀(ρ,χ)

0,ℓ=0

го распределения вида R(ρ) = δ(ρ)/4π, которая в

[(

)₂

]_∗

соответствии с (28) приводит к величине вклада в

Ĥrad

+ (3ã -b)

ϕ₀(ρ,χ)

ϕ₀(ρ,χ) -

0,ℓ=0

формфактор от этой сферы, равного

}

[(

)₃

]_∗

- (ã -b)ϕ₀(ρ,χ)

Ĥrad

ϕ₀(ρ,χ)

0,ℓ=0

16m³(z₁ + z₂)(2M² - t) χ_Δ

F(+)ℓ=0(t)|_r

0=1/M =

M (4M² - t)

sh χ_Δ

где поперечная компонента F(-)ℓ=0(t) упругого форм-

Если же функция R(ρ) является знакопостоянной,

фактора для действительных потенциалов обраща-

∫_∞

(

)

но

dρ

ρ² - 3/2

R(ρ) < 0, то ей будут отвечать

ется в нуль, а быстрота χ соответствует уровню

отрицательные значения

n связанного состояния c энергией M = M_n =

∫

∞

(

)

= 2m ch χ.

dρ ρ² -

R(ρ)

4. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИЙ РАДИУС

〈r²〉=

∞

∫

M²

ДВУХФЕРМИОННОЙ СОСТАВНОЙ

dρR(ρ)

СИСТЕМЫ

Инвариантный среднеквадратический радиус

Отрицательные значения величина 〈r²〉 также бу-

двухфермионной составной системы в терминах

дет принимать, когда функция R(ρ) в (32) не явля-

продольной компоненты формфактора (28) имеет

ется знакопостоянной. В обоих случаях вклад от-

классическую форму [12]

〉 приводит, как

рицательных значений величины 〈r²

(+)

6∂F_ℓ

(t)/∂t|t=0

это видно из (31), к уменьшению величины сред-

〈r²⁰〉 =

(30)

неквадратического радиуса 〈r²⁰〉 мезона по срав-

F(+)ℓ=0(0)

нению с его комптоновской длиной волны 1/M.

Результат вычисления (28) в соответствии с (30)

Этот результат согласуется с экспериментальным

значением для π-мезона.

можно представить в виде⁵⁾

⎡

⎤

Из выражений (20), (28), (31) и (32) следует,

∫

∞

(

)

что для случая

Ô₌ γ₅ (псевдоскаляр) вклады в

⎢

dρ ρ² -

R(ρ)⎥

⎢

⎥

продольную компоненту формфактора и в средне-

⎢

⎥

квадратический радиус определяются вторым сла-

⎢

⎥

〈r²⁰〉 =

1+⁰

(31)

⎢

∫

∞

⎥^,

M²

гаемым в (32); в случаях

Ô₌ γ_μ,γ₅γ_μ (вектор и

⎢

⎥

⎣

⎦

dρR(ρ)

псевдовектор) вклады в продольную компоненту

формфактора и в среднеквадратический радиус да-

ют все три слагаемых в (32).

где

{

R(ρ) = Re (ã -b)ϕ∗0(ρ, χ)Ĥrad0,ℓ=0ϕ₀(ρ, χ) +

(32)

5. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИЙ РАДИУС

[

]_∗ (

)₂

ДВУХФЕРМИОННОЙ СОСТАВНОЙ

Ĥrad

+ (ã +^b)

ϕ₀(ρ,χ)

ϕ₀(ρ,χ) -

СИСТЕМЫ С ХРОМОДИНАМИЧЕСКИМ

0,ℓ=0

(

)₃

}

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

- (ã -b)ϕ∗0(ρ,χ)

Ĥrad

ϕ₀(ρ,χ) ,

0,ℓ=0

В качестве примера найдем выражения для про-

дольной компоненты формфактора и среднеквад-

ратического радиуса составной системы с хромо-

⁵⁾Подчеркнем, что выражение (31) только по форме совпа-

дает с его аналогом для случая двух бесспиновых частиц

динамическим взаимодействием

произвольных масс при m1 = m2 = m, которое было

α_S

V (r) = -

,α_S > 0,

(33)

найдено в работе [20].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№4

2019

ФОРМФАКТОР ДВУХФЕРМИОННОЙ СОСТАВНОЙ СИСТЕМЫ

293

пропогатору которого в РКП-подходе в конфигу-

Результаты вычислений продольной компонен-

рационном представлении отвечает на расстояни-

ты формфактора (28) и среднеквадратического ра-

ях r > 1/m потенциал (33). Радиальная волновая

диуса (31) двухфермионной составной системы с

функция точного решения РКП-уравнения (5) с

хромодинамическим взаимодействием (33) для ос-

потенциалом (33) для основного уровня (n = 1) s-

новного уровня s-состояния c энергией M₁ можно

состояния (ℓ = 0) составной системы c энергией

записать в виде

M₁ имеет вид [25]

ϕ(1)0(ρ, κ₁) = C⁽¹⁾⁰(κ₁)(ρ - ρκ1 )e(ρ-ρκ1)κ1 ,

(34)

F(+)Coulℓ=0,n=1(t) =

(36)

где

64(z₁ + z₂)m⁴κ³¹ cos κ₁(2M²¹ - t)

α_Sa

(2κ²¹ρ2κ1 - 2κ₁ρκ1 + 1)M₁(4M²¹ - t)

ρκ1 =

cos κ₁, M₁ = 2m cos κ₁,

χ_Δ

^{ 4κ₁(ã - b + 2b cos² κ₁)

0 < κ₁ < π/2,

α_S = mα_S,

shχ_Δ

(χ^2Δ + 4κ²¹)²

быстрота κ₁ определяется из условия квантования

tg κ₁(ã -b - 2^b cos² κ₁)

α_S(acos² κ₁ + b) = 4sin κ₁,

(35)

χ^2Δ + 4κ²

параметры a, b приведены в (4), а нормировочный

}

2(ã -b) sin² κ₁

χ_Δ

множитель C⁽¹⁾⁰(κ₁) дается выражением [23]

arctg

χ_Δ

2κ₁

mκ³¹e-2κ1ρ^κ1

|C⁽¹⁾⁰(κ₁)|² =

π(2κ²¹ρ2κ1 - 2κ₁ρκ1

+ 1)

{

〈r²⁰〉(+)Coulℓ=0,n=1 =

(37)

M²¹

[

]}

5(ã -b + 2^b cos² κ₁) + 2κ₁ tg κ₁(ã -b - 2^b cos² κ₁)

2κ²¹

ã - b+ 2^bcos2 κ₁ + κ1 tgκ₁(ã - b - 2^bcos2 κ₁) + 4(ã -b)κ21 sin2 κ₁

где квадрат переданного 4-импульса t связан с

сии с его убыванием по закону F (t) ∼ |t|-1, кото-

быстротой χ_Δ соотношением (25).

рый предсказывается правилом размерного квар-

кового счета [27, 28], в то время как нереляти-

Подчеркнем, что при нахождении выраже-

ний (36) и (37) мы исключали константу вза-

вистская модель с кулоновским потенциалом (33)

имодействия

α_S, используя не только условие

дает дипольный закон убывания F (t) ∼ t-2. В слу-

квантования (35), но и установленное в процессе

чае скалярного тока поведение формфактора для

вычислений тождество

двухфермионной составной системы при больших t

также происходит по закону F (t) ∼ |t|-1 (см. рабо-

a(ã +^b) - 2^b(a + b) ≡ 0,

(38)

ту [23]). В бесспиновом же случае убывание форм-

справедливое относительно спиновых параметров

фактора происходит по закону F (t) ∼ (|t| ln³ |t|)-1

a, b, ã и^b, значения которых даны в (4) и (20).

(см. работу [19]).

При больших Q² быстрота χ_Δ ≈ ln(Q²/M²¹) и,

Таким образом, именно учет спина приводит

следовательно, поведение формфактора (36) дает-

к такому поведению формфактора при больших

ся выражением

t, который предсказывается правилом размерного

кваркового счета [27, 28].

128(z₁ + z₂)m⁴κ³¹ cos κ₁

F(+)Coulℓ=0,n=1(t) ≈

(39)

В заключение нашего рассмотрения вычислим

M₁(2κ²¹ρ2κ1 - 2κ₁ρκ1 + 1)

среднеквадратический радиус основного уровня s-

[

состояния (n = 1, ℓ = 0) пионов π^± c энергией

π(ã -b)sin² κ₁ +

(Q/M₁)²

M₁ ≡ M_π± = 0.140 ГэВ [29], а в качестве его вол-

]

новой функции выберем кулоновскую волновую

+ tg κ₁(ã -b - 2^b cos² κ₁) ln-1(Q/M₁)²

функцию (34). Для пиона (псевдоскаляр,

Ô₌ γ₅,

Из асимптотики (39) видно, что поведение форм-

см. (4) и

(20)) имеем a = 1, b = 0, ã =^b = 1, а

фактора при больших t = -Q² находится в согла-

условие квантования (35) принимает простой вид:

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№4

2019

294

ЧЕРНИЧЕНКО

α_S cos κ₁ = 4tg κ₁. Тогда выражение (37) запишет-

масс. Рассмотрены случаи псевдоскаляра, вектора

ся в виде

и псевдовектора.

{

0.0389

Показано, что выражения для компонент

(40)

,n=1

упругого формфактора (21) и (22) представляют

M²¹

[

]}

собой свертки волновых РКП-функций в про-

странстве моментов Лобачевского. Это позволило

фм²,

2κ²¹

κ₁ tg κ₁ - 1

представить их в виде релятивистских фурье-

образов от ковариантных волновых РКП-функций

вычисление которого с энергией пионов M₁ ≡

в конфигурационном представлении (см. формулы

≡ M_π± = 0.140 ГэВ и значением быстроты κ₁ =

(26) и (27)).

= 1.3687

дает следующее значение величины

среднеквадратического радиуса основного уровня

Установлено, что если волновая РКП-функция

ψ_M (r) является вещественной функцией перемен-

,n=1

ной r и отвечает вещественному потенциалу V (r),

= 0.32 фм². Этому значению быстроты κ₁ = 1.3687

то поперечная компонента F(-)(t) упругого форм-

отвечают параметры модели (константа связи и

фактора в отличие от бесспинового случая [20]

масса кварка) α_S = 97.26 и m = 0.348 ГэВ. Най-

даже при равных массах (m₁ = m₂ = m) в нуль не

денное значение величины среднеквадратического

обращается.

радиуса заряженных пионов находится вблизи

доверительного интервала его экспериментального

Применение трехмерного релятивистского кон-

фигурационного представления для системы двух

= 0.42 ± 0.08 фм², которое было

релятивистских спиновых частиц равных масс поз-

получено в результате исследования реакции e^- +

волило установить, что если для s-состояния функ-

∫_∞

+ π → e^- + π [30]. Это различие означает, что

ция R(ρ) является знакопостоянной и

dρ(ρ² -

межкварковый потенциал для псевдоскалярных

− 3/2)R(ρ) > 0, то она описывает не всю структуру

мезонов должен включать в себя не только

составной частицы, а только область, лежащую

кулоновское взаимодействие, но и запирающую, и

на расстояниях, больших ее комптоновской длины

спин-спиновую части, а также учитывать различие

масс кварков.

волны 1/M. Выполненный анализ также показал,

что основной вклад в структуру составной частицы

Подчеркнем, что выражение (40) для средне-

квадратического радиуса имеет сингулярность при

от центральной сферы радиуса r₀ = 1/M пропор-

κ₁ tg κ₁ = 1, т.е. при κ₁ ≃ 0.86034. Точно такая же

ционален χ_Δ/ sh χ_Δ. В нерелятивистском пределе

сингулярность возникала и в случае скалярного

этот релятивистский геометрический фактор стре-

тока [23].

мится к 1.

Если же функция R(ρ) является знакопосто-

∫_∞

(

)

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

янной, а

dρ

ρ² - 3/2

R(ρ) < 0, или функция

В данной работе для случая векторного тока

R(ρ) не является знакопостоянной, то это приводит

найдены новые ковариантные выражения компо-

к уменьшению величины среднеквадратического

нент упругого формфактора составной системы

радиуса мезона по сравнению с его комптоновской

двух релятивистских фермионов равных масс как

длиной волны 1/M. Этот результат согласуется с

функции инвариантной переменной Δ2P,Q — квад-

экспериментальным значением для π-мезона.

рата вектора передачи импульса в пространстве

На примере кулоновского поля притяжения по-

Лобачевского. Для этой цели был использован

лучены выражения продольной компоненты форм-

РКП-подход, основанный на ковариантной га-

фактора (28) и среднеквадратического радиуса (31)

мильтоновой формулировке квантовой теории по-

для составной системы двух фермионов равных

ля [13, 14], путем перехода к трехмерному реляти-

масс.

вистскому конфигурационному представлению для

Установлено тождество (38), справедливое для

системы двух релятивистских спиновых частиц

значений спиновых параметров a, b, ã и^b в случаях

равных масс.

псевдоскаляра, вектора и псевдовектора.

В рамках рассматриваемого РКП-подхода, раз-

Показано, что при учете спина ковариантные

витого в [13, 14], было получено инвариантное

выражение матричного элемента локального опе-

волновые РКП-функции кулоновского поля при-

ратора векторного тока в импульсном приближе-

тяжения при больших переданных импульсах t

нии вблизи полюсов связанных состояний двух

приводят к поведению продольной компоненты

релятивистских спиновых частиц равных масс че-

формфактора, которое находится в согласии с его

рез квазипотенциальные волновые функции, удо-

убыванием по закону F (t) ∼ |t|-1, который пред-

влетворяющие уравнению Кадышевского для слу-

сказывается правилом размерного кваркового сче-

чая двух релятивистских спиновых частиц равных

та [27, 28].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№4

2019

ФОРМФАКТОР ДВУХФЕРМИОННОЙ СОСТАВНОЙ СИСТЕМЫ

295

Установлено, что имеется “критическое” зна-

А. Л. Хелашвили, Сообщение P2-8750, ОИЯИ

(Дубна, 1976).

чение быстроты κ₁ ≃ 0.86034, при котором форм-

фактор псевдоскалярных мезонов обращается в

Р. Н. Фаустов, ТМФ 3, 240 (1970)

[Theor. Math.

Phys. 3, 478 (1970)].

нуль, а их константа связи и масса кварков при-

нимают “критические” значения: α_S = 7.129, m =

10.

R. N. Faustov, Ann. Phys. (N.Y.) 78, 176 (1973).

= 0.107 ГэВ.

11.

A. A. Logunov and A. N. Tavkhelidze, Nuovo Cimento

29, 380 (1963).

Вычислено значение величины среднеквадра-

12.

С. И. Биленькая, Н. Б. Скачков, И. Л. Соловцов,

тического радиуса основного уровня s-состояния

ЯФ 26, 1051 (1977)

[Sov. J. Nucl. Phys. 26, 556

заряженных пионов с массой M_π± = 0.140 ГэВ

(1977)].

,n=1

13.

V. G. Kadyshevsky, Nucl. Phys. B 6, 125 (1968).

= 0.32 фм². Этому значению быстроты κ₁ =

14.

В. Г. Кадышевский, ЖЭТФ 46, 654, 872 (1964)

[Sov. Phys. JETP 19, 443, 597 (1964)]; Докл. АН

= 1.3687 отвечают параметры модели (константа

СССР 160, 573 (1965)

[Sov. Phys. Dokl. 10, 46

связи и масса кварка), равные

α_S = 97.26 и

(1965)].

m = 0.348 ГэВ. Найденное значение величины

15.

V. G. Kadyshevsky, R. M. Mir-Kasimov, and

среднеквадратического радиуса заряженных пи-

N. B. Skachkov, Nuovo Cimento A 55, 233 (1968).

онов

= 0.32 фм² находится вблизи

,n=1

16.

N. B. Skachkov and I. L. Solovtsov, Preprint No. E2-

доверительного интервала его экспериментального

11678, JINR (Dubna, 1978); Н. Б. Скачков, И.

= 0.42 ± 0.08 фм², которое было

Л. Соловцов, ТМФ 41, 205 (1979)

[Theor. Math.

Phys. 41, 977 (1979)].

получено в результате исследования реакции e^- +

17.

N. B. Skachkov and I. L. Solovtsov, Preprint No. E2-

+ π → e^- + π [30]. Такое различие требует, чтобы

11727, JINR (Dubna, 1978); Н. Б. Скачков,

межкварковый потенциал для псевдоскалярных

И. Л. Соловцов, ЯФ 30, 1079 (1979) [Sov. J. Nucl.

мезонов включал в себя не только кулоновское

Phys. 30, 562 (1979)].

взаимодействие, но и запирающую, и спин-

18.

Н. Б. Скачков, И. Л. Соловцов, ТМФ43, 330 (1980)

спиновую части, а также учитывал и различие масс

[Theor. Math. Phys. 43, 494 (1980)].

кварков.

19.

Ю. Д. Черниченко, ЯФ 77, 251 (2014)

[Phys. At.

Автору приятно выразить искреннюю благодар-

Nucl. 77, 229 (2014)].

ность О.П. Соловцовой, В.В. Андрееву, А.Е. Доро-

20.

Ю. Д. Черниченко, ЯФ 78, 226 (2015)

[Phys. At.

хову, Ю.А. Курочкину и И.С. Сацункевичу за про-

Nucl. 78, 201 (2015)].

явленный интерес к работе, полезное обсуждение

21.

В. Г. Кадышевский, М. Д. Матеев, Р. М. Мир-

полученных результатов и ценные замечания к ним.

Касимов, ЯФ 11, 692 (1970) [Sov. J. Nucl. Phys. 11,

Работа выполнена при поддержке программы меж-

388 (1970)].

дународного сотрудничества Республики Беларусь

22.

В. Г. Кадышевский, Р. М. Мир-Касимов,

с ОИЯИ и Государственной программы научных

Н. Б. Скачков, ЭЧАЯ 2, 635 (1972) [Sov. J. Part.

исследований на 2016-2020 гг. “Конвергенция-

Nucl. 2 (3), 69 (1972)].

2020”, подпрограмма “Микромир, плазма и Все-

23.

Ю. Д. Черниченко, ЯФ 81, 346 (2018)

[Phys. At.

ленная”.

Nucl. 81, 360 (2018)].

24.

V. G. Kadyshevsky and M. D. Mateev, Nuovo

Cimento A 55, 275 (1968).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

25.

Ю. Д. Черниченко, ЯФ 80, 396 (2017)

[Phys. At.

1. J. G. K ¨orner and M. Kuroda, Phys. Rev. D 16, 2165

Nucl. 80, 707 (2017)].

(1977).

26.

N. B. Skachkov and I. L. Solovtsov, Preprint No. E2-

2. S. Dubnicka, Nuovo Cimento A 103, 1417 (1990).

81-760, JINR (Dubna, 1981); Н. Б. Скачков, И.

3. О. Д. Далькаров, Письма в ЖЭТФ 28, 183 (1978)

Л. Соловцов, ТМФ 54, 183 (1983)

[Theor. Math.

[JETP Lett. 28, 170 (1978)].

Phys. 54, 116 (1983)].

4. O. D. Dalkarov and K. V. Protasov, Nucl. Phys. A

27.

V. A. Matveev, R. M. Muradyan, and

504, 845 (1989); Mod. Phys. Lett. A 4, 1203 (1989);

A. N. Tavkhelidze, Lett. Nuovo Cimento

О. Д. Далькаров, К. В. Протасов, Письма в ЖЭТФ

907

(1972);

719

(1973); В. А. Матвеев,

49, 241 (1989) [JETP Lett. 49, 273 (1989)].

Р. М. Мурадян, А. Н. Тавхелидзе, ТМФ 40, 329

5. O. D. Dalkarov, P. A. Khakhulin, and A. Yu. Voronin,

(1979) [Theor. Math. Phys. 40, 778 (1979)].

arXiv: 0906.0266v1 [nucl-th].

28.

S. J. Brodsky and G. R. Farrar, Phys. Rev. Lett. 31,

6. V. A. Matveev, R. M. Muradyan, and

1153 (1973).

A. N. Tavkhelidze, Preprint No. E2-3498, JINR

29.

K. A. Olive et al. (Particle Data Group), Chin. Phys.

(Dubna, 1967); No. P2-3900, JINR (Dubna, 1968).

C 38, 090001 (2014).

7. В. Р. Гарсеванишвили, А. Н. Квинихидзе, В. А. Мат-

веев, А. Н. Тавхелидзе, Р. Н. Фаустов, ТМФ 23, 310

30.

I. Eschrich et al. (SELEX Colab.), Phys. Lett. B 522,

(1975) [Theor. Math. Phys. 23, 533 (1975)].

233 (2001).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№4

2019