ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2019, том 82, № 5, с. 449-460
ЯДРА
ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА
В МОДЕЛИ ОБОЛОЧЕК БЕЗ ИНЕРТНОГО КОРА.
МЕТОД SS-HORSE
© 2019 г. А. И. Мазур1)*, А. М. Широков1),2),3), И. А. Мазур1),
Л. Д. Блохинцев1),2), Я. Ким4), И. Дж. Шин4), Дж. П. Вэри3)
Поступила в редакцию 25.12.2018 г.; после доработки 25.12.2018 г.; принята к публикации 25.12.2018 г.
Рассмотрен метод SS-HORSE исследования резонансного рассеяния. Метод основан на мик-
роскопических расчетах спектров ядер, выполненных в модели оболочек без инертного кора c
реалистическими NN-взаимодействиями, и не содержит никаких модельных приближений. В рамках
метода SS-HORSE исследованы резонансы 3/2- и 1/2- ядер5Li и5He. Исследована возможность
существования резонанса в системе четырех нейтронов.
DOI: 10.1134/S0044002719040123
1. ВВЕДЕНИЕ
модельных пространств повышают точность тео-
ретических предсказаний.
Для описания структуры ядер созданы и активно
развиваются методы ab initio, позволяющие зна-
Развиваются методы ab initio и для описания
чительно улучшить понимание свойств связанных
ядерных реакций. К наиболее известным методам
состояний легких ядер, такие как: метод Монте-
ab initio описания реакций в трех- и четырех-
Карло с функциями Грина (Green’s Function Monte
нуклонных системах относятся методы уравнений
Carlo, GFMC) [1], метод связанных кластеров [2,
Фаддеева, Фаддеева-Якубовского [20] и метод
3], эффективная теория поля на решетке [4, 5] и
Альта-Грассбергера-Сандхаса [21]. За последнее
другие. Одним из наиболее перспективных методов
десятилетие был достигнут значительный прогресс
ab initio для исследования широкого круга ядер
в исследовании таких систем.
является модель оболочек без инертного кора (No-
Успехи в описании рассеяния в системах, состо-
Core Shell Model, NCSM) [6]. В настоящее время
ящих более чем из четырех нуклонов, существенно
возможности современных суперкомпьютеров поз-
скромнее. В настоящее время развиваются методы
воляют рассчитывать в NCSM с разумной точно-
ab initio, такие как метод гиперсферических
стью ядра с массовым числом вплоть до A = 20.
гармоник [22], метод интегральных преобразований
Расчет энергий основных и возбужденных
Лоренца [22, 23]. В рамках GFMC были рассчита-
состояний ядра в NCSM основан на анализе
ны [24] характеристики низколежащих резонанс-
зависимости Eν (ℏΩ) связанного состояния ν в
ных состояний nα-рассеяния с Jπ = 3/2- и 1/2-.
разных модельных пространствах. Минимум этой
Свойства ядерных резонансов можно исследовать
зависимости ассоциируется с энергией состояния.
в гамовской модели оболочек без инертного кора
Сходимость расчетов и точность предсказания
(No-Core Gamow Shell Model, NCGSM) [25].
энергии оцениваются при сопоставлении резуль-
Развивается подход NCSM/RGM (комбинация
татов, полученных в соседних модельных про-
NCSM и метода резонирующих групп) и его
странствах. Различные методы экстраполяции [7-
более развернутая версия, известная как модель
19] результатов на случай бесконечно больших
оболочек без инертного кора с континуумом (No-
Core Shell Model with Continuum, NCSMC) [6,
1)Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск,
Россия.
26-29]. В настоящее время этот подход позволяет
2)НИИ ядерной физики им. Д.В. Скобельцына Московско-
исследовать процессы с системами, включающими
го государственного университета им. М.В. Ломоносова,
в себя вплоть до A = 11 нуклонов.
Россия.
Подходы NCGSM и NCSMC основаны на мо-
3)Department of Physics and Astronomy, Iowa State
дели оболочек, но расчеты в них существенно более
University, USA.
4)Institute for Basic Science, Daejeon, Korea.
сложные. Возможно ли без усложнения расчетов
*E-mail: mazur@khb.ru
выделить информацию о состояниях непрерывного
449
450
МАЗУР и др.
спектра непосредственно из результатов, получен-
2. МЕТОД SS-HORSE
ных в модели оболочек? Обычно полагается, что
энергии оболочечных состояний в континууме ас-
В основе метода SS-HORSE лежат формализм
социируются с резонансными энергиями. Однако,
метода J-матрицы с осцилляторным базисом и
как было показано в работах [30, 31], состояния
параметризация фаз рассеяния в низкоэнергетиче-
модели оболочек могут оказываться выше области
ской области с корректным учетом аналитических
резонанса, особенно в случае широких резонансов.
свойств S-матрицы.
Более того, анализ, проведенный в работах [30, 31],
Метод J-матрицы первоначально развивался
демонстрирует, что модель оболочек должна также
для решения задач атомной физики [44], поэтому
генерировать некоторые состояния и в нерезонанс-
ном континууме.
в нем естественным образом использовался ла-
герровский базис. В дальнейшем формализм был
В работах [32-36] мы предложили и апробиро-
обобщен на случай осцилляторного базиса [45].
вали новый метод SS-HORSE анализа энергий Er
Метод J-матрицы с осцилляторным базисом был
и ширин Γ резонансов и поведения сдвигов фаз в
позже независимо переоткрыт группами Филип-
области низких энергий. Первый этап этого метода
пова (ИТФ, Киев) [46] и Смирнова (НИИЯФ
является стандартным для оболочечных расчетов
МГУ) [47] и оказался очень эффективным для ре-
и заключается в расчете зависимости собственных
шения задач ядерной физики. Метод J-матрицы с
значений Eν гамильтониана NCSM от осциллятор-
осцилляторным базисом и его обобщение на случай
ного параметра ℏΩ в разных модельных простран-
рассеяния заряженных частиц известен также под
ствах. На втором этапе с помощью простых соот-
названием HORSE [48].
ношений, следующих из осцилляторного представ-
ления уравнений рассеяния (Harmonic Oscillator
В HORSE пространство осцилляторных базис-
Representation of Scattering Equations, HORSE)
ных функций разбивается на внутреннюю и внеш-
и общих положений квантовой теории рассеяния,
нюю области. Во внутренней области гамильтониан
рассчитываются сдвиги фаз и резонансные пара-
полностью учитывает взаимодействие. Во внеш-
метры (если они есть). Второй этап не требует
ней области матрица гамильтониана представля-
больших вычислительных ресурсов, поэтому метод
ет собой бесконечную трехдиагональную матрицу
SS-HORSE можно применять для анализа ре-
оператора кинетической энергии. Сшивка решений
зонансов и ядерных реакций на основе расчетов
внутренней и внешней областей осцилляторного
ab initio в моделях и подходах, использующих
пространства позволяет рассчитать энергии свя-
осцилляторный базис. Так, в рамках метода SS-
занных состояний, сдвиги фаз и другие характери-
HORSE мы рассчитали резонансные характери-
стики рассеяния.
стики и сдвиги фаз рассеяния nα [32, 33] и pα [37,
Интересная особенность метода J-матрицы,
38] в низкоэнергетической области на основе рас-
как было отмечено еще в работе [44], заключается
четов ядер5He,5Li и4He в NCSM. Обобщен-
в существенном упрощении формул метода при
ный на случай истинно демократического распада
энергиях, совпадающих с собственными значения-
метод SS-HORSE позволил на основе расчетов
ми матрицы гамильтониана внутренней области [36,
ab initio подтвердить возможность существования
49, 50]. При этом, точность описания S-матрицы и
резонанса в экзотической системе, состоящей из
других характеристик рассеяния при этих энергиях
четырех нейтронов (тетранейтрон). Рассчитан-
повышается. Это позволило в работе [50] на основе
ные значения энергии Er = 0.8 МэВ и ширины Γ =
метода R-матрицы осуществить аналитическое
= 1.4 МэВ [39] тетранейтрона прекрасно согласу-
продолжение в комплексную плоскость энергий
ются с результатами недавнего эксперимента [40],
и получить аккуратные оценки энергий и ширин
который дал указание на существование резонанса
резонансных состояний.
с энергией 0.83 ± 0.65 (стат.) ± 1.25 (сист.) МэВ
выше порога распада тетранейтрона и верхней гра-
Эта же особенность используется и в мето-
ницей ширины 2.6 МэВ.
де SS-HORSE. В случае рассеяния заряженных
частиц в рамках HORSE [48] для сдвигов фаз
В настоящей работе представлены результаты
при энергиях, совпадающих с собственными значе-
последних исследований резонансного рассеяния
ниями гамильтониана внутренней области, можно
нуклонов на легких ядрах и возможности суще-
получить [36]:
ствования резонанса тетранейтрона, проведенных
(
)
нами с помощью метода SS-HORSE на основе ab
tg δl
Eν
=
(1)
initio расчетов в NCSM с реалистическими NN-
(
)
SN+2,l
Eν
Wb(nl,Fl) + CN+2,l(Eν)Wb(jl,Fl)
взаимодействиями JISP16 [41], Daejeon16 [42] и
=-
(
)
(
)
Idaho N3LO [43].
SN+2,l
Eν
Wb(nl,Gl) + CN+2,l
Eν
Wb(jl,Gl)
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№5
2019
ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА
451
Здесь SN+2,l и CN+2,l — известные регулярное и
Eν. Варьируя ℏΩ и N в разумных пределах, мы
нерегулярное осцилляторные решения в парци-
можем с помощью формул (1) или (4) рассчитать
альной волне l [47, 48]; полное число осцилля-
сдвиги фаз в соответствующем диапазоне энергий
торных квантов N соответствует границе внутрен-
Eν(ℏΩ). Такой метод расчета характеристик рас-
ней области осцилляторного пространства, в кото-
сеяния мы назвали методом SS-HORSE (Single-
рой учитывается взаимодействие. Квазивронскиан
State HORSE) [32, 34], так как из стандартно-
Wb(φ,χ) определяется соотношением
го формализма HORSE мы используем энергию
)
только одного собственного состояния Eν и явный
( dφ
dχ
Wb(φ,χ) =
χ-φ
(2)
вид осцилляторных решений SN,l(E) и CN,l(E).
dr
dr
r=b
Отметим, что выражения, аналогичные (1) и (4),
можно получить для S-матрицы и парциальной
В формуле (1) Fl(η, kr) и Gl(η, kr) — соответ-
амплитуды рассеяния.
ственно регулярная и нерегулярная кулоновские
функции [51], k — импульс относительного движе-
В NCSM размер модельного пространства мно-
гочастичного базиса определяется числом осцил-
ния частиц, η = Z1Z2e2μ/k — параметр Зоммер-
ляторных квантов возбуждения Nmax, в то время
фельда, Zie — заряды частиц, μ = m1m2/(m1 +
как SS-HORSE требует обрезания по полному
+ m2) — приведенная масса, σl = arg Γ(1 + l +
числу квантов относительного движения. Поэтому
+ iη) — кулоновский сдвиг фазы. Оптимальным
при решении конкретной задачи требуется устано-
значением r для расчета квазивронскиана (2), как
вить соответствие между Nmax и N. Так, например,
показано в статье [36], является естественный
для анализа методом SS-HORSE рассеяния Nα
радиус канала b0 [48],
мы используем N = Nmax + l, а в исследовании
√
тетранейтрона N = Nmax + 2.
b0 ≡ rclN+2,l = 2r0
N/2 + 7/4,
(3)
Следующим этапом метода SS-HORSE явля-
совпадающий с классической точкой поворота ос-
ется параметризация сдвигов фаз, рассчитанных с
цилляторной базисной функции с полным чис-
помощью формул (1) или (4). Важно, чтобы эта
лом осцилляторных квантов N + 2 — первой ба-
параметризация не только корректно описывала
зисной функции во внешней области осциллятор-
сдвиги фаз в области резонанса, но и обеспечивала
ного базисного пространства. В формуле (3) r0 =
правильное с точки зрения квантовой теории рас-
√
=
ℏ/(μΩ) — осцилляторный радиус.
сеяния поведение фаз в нуле.
Параметризацию сдвигов фаз можно осу-
При отсутствии кулоновских сил (η = 0) ку-
ществлять различными способами. Предложен-
лоновские функции совпадают со сферически-
ный нами первоначально вариант, основанный
ми функциями Бесселя и Неймана: Fl(0, kr) ≡
на свойствах симметрии S-матрицы [32-34] (S-
≡ krjl(kr) и Gl(0,kr) ≡ -krnl(kr), а формула
параметризация), нагляден: в нем можно по от-
расчета сдвига фаз при энергиях, совпадающих с
дельности рассматривать вклады в фазу рассеяния
собственными значениями гамильтониана внутрен-
различных полюсов. Так, в случае изолированного
ней области, принимает вид
резонанса nα-рассеяния представляет собой сум-
SN+2,l(Eν)
му фоновой и резонансной фаз
tg δl(Eν ) = -
(4)
CN+2,l(Eν)
δ(E) = φ(E) + δr(E).
(5)
Эта же формула расчета сдвига фаз в мето-
В зависимости от конкретной задачи в эту фор-
мулу добавляются слагаемые, обусловленные дру-
де SS-HORSE, как следует из формализма ги-
персферического осцилляторного представления,
гими резонансами и/или связанными, ложными и
развитого в работе [52], справедлива и для задач
виртуальными состояниями. Например, в полной
истинно демократического распада. Но в этом слу-
фазе рассеяния 4n → 4n помимо резонансного мы
чае в формуле (4) нужно использовать регулярное
учитывали вклад ложного состояния:
SN+2,L и нерегулярное CN+2,L решения в гипер-
δ(E) = φ(E) + δr(E) + δf (E).
(6)
сферическом осцилляторном представлении [52],
а вместо орбитального момента l — параметр L =
Вклады отдельных полюсов находятся в со-
ответствии с полюсным разложением S-матрицы.
= K + (3A - 6)/2 для системы A частиц в состо-
Резонансная фаза рассеяния параметризуется как
янии с гипермоментом K. В случае A = 2 функ-
ции SN+2,L и CN+2,L — это обычные регулярное и
δr(E) =
(7)
нерегулярное осцилляторные решения, а параметр
⎛[
⎞
√
]1/2 √
L совпадает с орбитальным моментом: L = K = l.
2(
E2r + (Γ/2)2 - Er)
E
(
)
⎜
⎟
= -arctg⎝
√
⎠,
Таким образом, сдвиг фазы δl
Eν
полностью
E-
E2r + (Γ/2)2
определяется только лишь собственной энергией
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№5
2019
452
МАЗУР и др.
а поведение фазы, обусловленное связанным, лож-
В задачах рассеяния заряженных частиц даль-
ным или виртуальным полюсами, имеет соответ-
нодействующее кулоновское взаимодействие при-
ственно вид
водит к нарушению свойств симметрии S-матрицы
√
и применение описанного выше способа становит-
E
ся необоснованным. В работе [38] мы предложили
δb(E) = π - arctg
,
(8)
|Eb|
другой вариант — параметризацию функции эф-
√
фективного радиуса (K-параметризация), в основе
E
которой лежит тот факт, что перенормированная
δf(E) = - arctg
,
|Ef |
кулоновско-ядерная амплитуда [53, 54]
√
exp (2iδl) - 1
exp (2πη) - 1
E
fl(E) =
·
clη,
(11)
δv(E) = arctg
2ik
2πη
|Ev|
где
Здесь Er и Γ — энергия и ширина резонанса, а
∏
Eb, Ef и Ev — энергии соответственно связанного,
clη =
(1 + η2/n2)-1 (l > 0), c0η = 1,
(12)
ложного и виртуального состояний. Таким обра-
n=1
зом, характеристики положения полюсов (Er, Γ, а
по аналитическим свойствам на действительной
также при необходимости Eb, Ef и Ev) являются
оси импульсов полностью аналогична амплитуде
подгоночными параметрами.
рассеяния нейтральных частиц.
Зависимость фоновой фазы от энергии φ(E)
Перенормированная амплитуда связана с куло-
гладкая и достаточно слабая, и ее можно опи-
новски модифицированной функцией эффек-
сать полиномом или Паде-аппроксимантом. При
тивного радиусаKl(E) (см. [53, 54]):
этом важно, чтобы в разложении фоновой фазы
√
присутствовали только нечетные степени
E, а
k2l
fl =
,
(13)
параметры разложения обеспечивали правильное
Kl(E) - 2ηk2l+1H(η)(clη)-1
поведение фазы в низкоэнергетической области:
√
δl ∼ (
E)2l+1. Это требование существенно умень-
Kl(E) = k2l+1(clη)-1 ×
(14)
шает число подгоночных параметров. Так, в задаче
{
}
2πη
[
]
резонансного рассеяния nα [32] в парциальных
×
ctg δl(k) - i
+ 2ηH(η)
exp (2πη) - 1
волнах с l = 1 для описания фоновой фазы оказа-
лось достаточным использовать полином
Здесь
[
]1/2
√
H(η) = Ψ(iη) + (2iη)-1 - ln (iη),
2(
E2r + (Γ/2)2 - Er)
√
φ(E) = -
√
E + (9)
Ψ(z) — логарифмическая производная Γ-функции
E2r + (Γ/2)2
√
(дигамма, или Ψ-функция) [51].
+ d(
E)3,
В отсутствие кулоновского взаимодействия (η =
√
= 0) кулоновски модифицированная функция эф-
в котором коэффициент перед
E фиксирован тре-
фективного радиуса переходит в обычную функцию
бованием, чтобы полный сдвиг фазы в низкоэнер-
√
эффективного радиуса
гетической области вел себя как δ(E) ∼ (
E)3, и
к энергии Er и ширине Γ резонанса добавляется
Kl = Kl = k2l+1 cot δl,
(15)
только один подгоночный параметр d.
и амплитуда рассеяния принимает привычный вид
При исследовании тетранейтрона для фоновой
k2l
фазы мы использовали более сложное выраже-
fl(E) =
(16)
ние [39]:
Kl(E) - ik2l+1
√
√
√
5
w1
E+w3(
E)3 + c(
E)
По аналогии с разложением эффективного ра-
φ(E) = -
(10)
диуса [55], кулоновски модифицированная функ-
1 + w2E + w4E2 + w6E3 + dE4
ция эффективного радиуса
Kl(E) действительна
В этом случае требование правильного поведения
на действительной оси k, регулярна вблизи нуля,
сдвига фаз в низкоэнергетической области также
является четной функцией k и может быть пред-
приводит к фиксированным значениям параметров
ставлена в виде ряда по энергии относительно-
wi. В результате число подгоночных параметров
го движения частиц в системе центра масс E =
равно 5: энергия Er и ширина Γ резонанса, энергия
= ℏ2k2/2μ [53, 54]
ложного состояния Ef и параметры фоновой фазы
c и d.
Kl = w0 + w1E + w2E2 +
(17)
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№5
2019
ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА
453
Количество членов разложения зависит от кон-
3. УПРУГОЕ Nα-РАССЕЯНИЕ
кретной задачи и рассматриваемого интервала
Рассмотрим резонансное рассеяние Nα в мето-
энергий. В случае анализа рассеяния Nα в области
де SS-HORSE на основе расчетов ab initio ядер
низких энергий, как показали численные расчеты,
5Li,5He и4He.
достаточно использовать полином второго порядка
по энергии.
Расчеты состояний Jπ = 3/2-, 1/2- ядер5Li
и5He в NCSM с нуклон-нуклонными взаимодей-
В отличие от S-параметризации, в число па-
ствиями JISP16 и Daejeon16 проводились с раз-
раметров разложения (17) не входят энергия Er
личными значениями ℏΩ в модельных простран-
и ширина Γ резонанса, и их нужно считать до-
ствах Nmax = 2-18. Энергии Eν относительно по-
полнительно. Так как резонансы ассоциируются с
рогов реакций упругого рассеяния nα и pα, исполь-
полюсами S-матрицы (или полюсами амплитуды
зуемые в формулах (1) и (4), рассчитывались как
рассеяния) в четвертом квадранте плоскости ком-
разности энергий EJπ5 состояний 3/2-, 1/2- ядер
плексных значений импульсов, для определения Er
5He или5Li и энергии E4 состояния 0+ ядра4He,
и Γ достаточно найти положения нулей знаменате-
полученных в одинаковых модельных простран-
лей выражений (13) или (16) [37, 38].
ствах Nmax с одинаковыми значениями ℏΩ:
π
Eν = EJ5
(ℏΩ, Nmax) - E4(ℏΩ, Nmax).
(21)
Рассмотрим процедуру подгонки параметров на
примере рассеяния заряженных частиц в случае
В процедуре подгонки в методе SS-HORSE
K-параметризации.
использовались не все результаты, полученные в
NCSM. Вопросы, связанные с отбором данных,
Пусть E(i) (i = 1, 2, . . . , D) — набор низших по-
детально обсуждались в статьях [32-36]. Было по-
ложительных собственных значений, рассчитан-
казано, что отобранные данные обязательно долж-
ных с разными значениями модельных параметров
ны удовлетворять условию dE/dℏΩ > 0, а расчеты
N(i) и ℏΩ(i); D — число энергий в этом наборе. При
в SS-HORSE по формулам (1) или (4) по ото-
некоторых пробных значениях параметров w0, w1,
бранным данным должны примерно формировать
w2 для каждого из значений N(i) и ℏΩ(i) найдем
гладкую кривую зависимости δl(E). Сходимость
энергии E(i), удовлетворяющие уравнению
конкретного результата SS-HORSE, полученного
на основе расчетов NCSM, можно оценить по
w0 + w1E + w2E2 = k2l+1(clη)-1 ×
(18)
степени его удаленности от этой кривой.
{
}
2πη
[
]
Результаты расчетов сдвигов фаз в SS-HORSE
×
ctg δl(E) - i
+ 2ηH(η)
,
по отобранным данным представлены на рис. 1-4.
exp (2πη) - 1
Гладкие кривые на этих рисунках построены на ос-
которое получено подстановкой выражения (14) в
нове проведенной параметризации фаз рассеяния.
формулу (17). Здесь сдвиг фазы δl(E) при любом
В случае резонансного рассеяния 1/2- сдвиги фаз,
значении энергии E рассчитывается по форму-
рассчитанные в SS-HORSE с нуклон-нуклонными
ле (1). Минимизация функционала
взаимодействиями JISP16 и Daejeon16, хорошо
согласуются друг с другом и экспериментальны-
ми данными в области резонанса. В случае узких
∑(
)2
Ξ=√1
E(i) - E(i)
(19)
резонансов 3/2- расчеты с Daejeon16 прекрасно
D
i=1
воспроизводят экспериментальные фазы в резо-
нансных областях рассеяния nα и pα. Аналогичные
позволяет получить значения подгоночных па-
сдвиги фаз в расчетах с JISP16 сдвинуты в сторону
раметров с точностью, определяемой значением
б ольших энергий. Отметим более быструю сходи-
функционала Ξ.
мость метода SS-HORSE в расчетах с JISP16: она
наблюдается в модельных пространствах, начиная
В случае рассеяния нейтральных частиц транс-
с Nmax = 4, тогда как сходимость в расчетах с
цендентное уравнение (18) принимает вид
Daejeon16 начинается с Nmax = 12.
CN+2,l(E)
Сравнение рассчитанных в SS-HORSE на ос-
w0 + w1E + w2E2 = -k2l+1
(20)
нове анализа полюсов амплитуды рассеяния энер-
SN+2,l(E)
гий и ширин резонансов 3/2-, 1/2- ядер5Li и5He
со значениями, полученными на основе экспери-
Отметим, что если параметризация фаз задана,
ментальных данных [58], представлено в табл. 1. В
т.е. параметры w0, w1, w2 фиксированы, уравне-
целом расчеты с NN-взаимодействиями JISP16 и
ния (18) и (20) позволяют рассчитать зависимость
Daejeon16 согласуются друг с другом и близки к
Eν(ℏΩ) в любом модельном пространстве N.
экспериментальным значениям. Различие энергий
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№5
2019
454
МАЗУР и др.
эксперим.
δ, град
= 2
Nmax
3/2-
4
120
6
8
10
12
90
14
16
18
60
1/2-
SS-HORSE
30
0
5
10
15
E, МэВ
Рис. 1. Сдвиги фаз резонансного рассеяния nα, полученные в SS-HORSE на основе отобранных данных из расчетов
NCSM с NN-взаимодействием JISP16 в разных модельных пространствах. Сплошные кривые — результат подгонки в
SS-HORSE. Экспериментальные фазы рассеяния взяты из [56].
эксперим.
δ, град
Nmax = 4
6
120
3/2-
8
10
12
14
90
16
18
SS-HORSE
60
1/2-
30
0
5
10
15
E, МэВ
Рис. 2. Сдвиги фаз резонансного рассеяния pα. Обозначения такие же, как на рис. 1. Экспериментальные фазы
рассеяния из [57].
резонансов 3/2- ядер5Li и5He в расчетах с
с самой шириной резонанса. В случае резонан-
разными NN-взаимодействиями немного меньше
са 3/2- ядра5He разница в ширинах меньше
300 кэВ, экспериментальные значения находят-
(470 кэВ). Для обоих ядер экспериментальные зна-
чения ширин узкого резонанса находятся внутри
ся внутри соответствующих интервалов. Ширина
интервалов расчетов с разными взаимодействиями.
резонанса 3/2- ядра5Li в расчетах с JISP16
превышает на 750 кэВ соответствующий результат
Хорошее согласие наблюдается и для широкого
с Daejeon16, что достаточно много по сравнению резонанса 1/2- в ядре5Li. Абсолютная разница
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№5
2019
ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА
455
δ, град
эксперим.
3/2-
120
Nmax = 12
14
16
18
90
Daejeon16
JISP16
60
1/2-
30
0
2
4
6
8
E, МэВ
Рис. 3. Сдвиги фаз резонансного рассеяния nα на основе расчетов NCSM с взаимодействием Daejeon16. Обозначения
такие же, как на рис. 1. Штриховые кривые (для сравнения) — расчеты с JISP16. Экспериментальные фазы рассеяния
из [56].
δ, град
эксперим.
120
Nmax = 12
3/2-
14
16
18
90
Daejeon16
JISP16
60
1/2-
30
0
2
4
6
8
E, МэВ
Рис. 4. Сдвиги фаз резонансного рассеяния pα. Обозначения такие же, как на рис. 1. Штриховые кривые (для
сравнения) — расчеты с JISP16. Экспериментальные фазы рассеяния из [57].
энергий резонанса в расчетах с разными потенци-
взаимодействиями в ядрах5Li и5He составляют
алами в этом случае составляет 350 кэВ, разброс
около 400 кэВ (менее 10 процентов от значений
самих ширин) и несколько занижены по сравнению
ширин — около 400 кэВ, то есть относительные
с экспериментальными данными.
разбросы меньше, чем в случае узкого резонанса
Отметим, что наши расчеты энергий и ширин
3/2-. Для широкого резонанса в ядре5He рас-
резонансов ядра5Li близки к результатам рабо-
четы с JISP16 и Daejeon16 дают заметно разные
ты [28], полученным в NCSMC с реалистическим
предсказания для энергий: ΔEr ∼ 600 кэВ. Раз-
взаимодействием киральной эффективной теории
личия в ширинах резонансов в расчетах с двумя
поля, учитывающим двух- и трехнуклонные силы.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№5
2019
456
МАЗУР и др.
Таблица 1. Энергии Er и ширины Γ резонансов 3/2-, 1/2- ядер5Li и5He в SS-HORSE и разности энергий этих
резонансов Δ (приведены также значения среднеквадратичных отклонений Ξ, достигнутых в процедуре подгонки,
число отобранных данных D; результаты NCSMC с реалистическим взаимодействием киральной эффективной
теории поля, учитывающим двух- и трехнуклонные силы, взяты из работы [28]; экспериментальные данные —
из [58])
Er,
Γ,
Er,
Γ,
Δ,
Ξ, кэВ
D
Ξ, кэВ
D
МэВ
МэВ
МэВ
МэВ
МэВ
5Li, 3/2-
5Li, 1/2-
Эксперимент
1.69
1.23
3.18
6.60
1.49
JISP16
1.84
1.80
43
60
3.54
6.04
63
59
1.70
Daejeon16
1.52
1.05
24
40
3.21
5.63
50
40
1.69
NCSMC
1.77
1.70
3.11
7.90
1.34
5He, 3/2-
5He, 1/2-
Эксперимент
0.80
0.65
2.07
5.57
1.27
JISP16
0.89
0.99
70
68
1.86
5.46
85
60
0.97
Daejeon16
0.68
0.52
22
40
2.45
5.07
48
40
1.77
Разница энергий резонансов 1/2- и 3/2- Δ =
значениями параметров резонансов [58], что сви-
(
)
детельствует о качестве NN-потенциалов JISP16
= Er/2--Er/2-
зачастую сопоставляется со
и Daejeon16.
спин-орбитальным расщеплением. Значения Δ
приведены в последнем столбце табл. 1. Несмотря
на то, что разброс соответствующих энергий
4. РЕЗОНАНС В СИСТЕМЕ
резонансов ядра5Li в расчетах с разными NN-
ЧЕТЫРЕХ НЕЙТРОНОВ
потенциалами, как обсуждалось выше, составляет
примерно
300
кэВ, соответствующие величины
В последнее время в ядерной физике проявля-
Δ практически совпадают и близки к значению,
ется все больший интерес к изучению экзотических
полученному из экспериментальных данных. В
ядер. Данный интерес вызван с одной стороны воз-
случае ядра
5He расчеты с JISP16 приводят
растающими экспериментальными возможностями
изучения таких систем, а с другой стороны разви-
к заниженному на
300
кэВ по сравнению с
тием методов ab initio описания атомных ядер и
экспериментом значению Δ, тогда как расчеты с
Daejeon16 дают завышенное на 400 кэВ значение.
реакций с их участием. Изучение ядер за пределами
Кроме этого, спин-орбитальное расщепление на
линии стабильности ядер может дать новую инфор-
основе экспериментальных данных в рассеянии pα
мацию о природе межнуклонных сил. Примером
на 200 кэВ больше, чем в рассеянии nα, тогда как
экзотической ядерной системы является тетраней-
в расчетах SS-HORSE с JISP16 эта величина
трон, исследование которого началось около полу-
составляет 700 кэВ, а в расчетах с Daejeon16 спин-
века назад (см. исторический обзор [59]).
орбитальное расщепление в5Li и5He практически
В работе [39] мы исследовали систему 4n в
одинаково: разница составляет ∼50 кэВ, но, в
приближении истинно демократического распада
отличие от эксперимента, в этих расчетах Δ в
с минимальным значением гипермомента K = 2.
рассеянии nα больше, чем в рассеянии pα.
Это ограничение обосновано тем, что гиперсфе-
рические гармоники с K > 2 сильно подавлены
В заключение подчеркнем, что проведенный
анализ резонансных состояний базируется только
большим гиперсферическим центробежным барье-
ром. В NCSM с NN-взаимодействием JISP16
на микроскопических расчетах спектров ядер5He,
были проведены расчеты структуры тетранейтрона
5Li и4He, выполненных в NCSM c реалистиче-
в модельных пространствах вплоть до Nmax = 18.
скими NN-взаимодействиями, и не содержит ни-
каких модельных приближений. При этом поведе-
Наиболее разумное описание сдвигов фаз рас-
ние фаз рассеяния и резонансные характеристики
сеяния 4n → 4n в методе SS-HORSE получи-
достаточно хорошо согласуются с результатами
лось в предположении существования не только
фазового анализа [56, 57] и экспериментальными
резонансного, но и дополнительного — ложного —
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№5
2019
ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА
457
δ, град
90
Nmax = 16
60
18
20
SS-HORSE
[39]
30
0
1
2
3
4
5
6
E, МэВ
Рис. 5. Сдвиги фаз рассеяния 4n → 4n, полученные в SS-HORSE на основе отобранных данных из расчетов NCSM
с NN-взаимодействием JISP16 в разных модельных пространствах. Сплошная—результат подгонки в SS-HORSE,
штрихпунктирная— взята из работы [39].
δ, град
90
Nmax = 16
60
18
20
Daejeon16
JISP16
30
N3LO SRG Λ = 1.5 фм-1
N3LO SRG Λ = 2.0 фм-1
0
1
2
3
4
5
6
E, МэВ
Рис. 6. Сдвиги фаз рассеяния 4n → 4n, полученные в SS-HORSE на основе отобранных данных из расчетов
NCSM с NN-взаимодействием Daejeon16 в разных модельных пространствах. Кривые: сплошная — результат под-
гонки в SS-HORSE, штриховая — результаты SS-HORSE с взаимодействием JISP16, штрихпунктирная— с NN-
взаимодействием Idaho N3LO (SRG, Λ = 1.5 фм-1), штрихштрихпунктирная — с NN-взаимодействием Idaho N3LO
(SRG, Λ = 2.0 фм-1).
полюсов S-матрицы (6). Сдвиги фаз, рассчитан-
с результатами эксперимента [40], который дал
ные и параметризованные в SS-HORSE, пред-
указание на существование резонанса с энерги-
ставлены на рис. 5. Полученные при этом зна-
ей 0.83 ± 0.65 (стат.) ± 1.25 (сист.) МэВ выше по-
чения энергии Er = 0.844 МэВ и ширины Γ =
рога распада тетранейтрона и верхней границей
= 1.38 МэВ тетранейтрона прекрасно согласуются
ширины 2.6 МэВ. Энергия ложного состояния,
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№5
2019
458
МАЗУР и др.
Таблица 2. Энергии Er и ширины Γ резонансов рассеяния 4n → 4n, а также энергии ложных состояний
тетранейтрона Ef в SS-HORSE (в последней строке приведены значения среднеквадратичных отклонений Ξ,
достигнутые в процедуре подгонки)
Idaho N3LO, SRG
Взаимодействие
JISP16
Daejeon16
Λ = 1.5 фм-1
Λ = 2.0 фм-1
Er [МэВ]
0.844
0.997
0.783
0.846
Γ [МэВ]
1.38
1.60
1.15
1.29
Ef [кэВ]
-54.9
-63.4
-52.1
-54.5
Ξ [кэВ]
44
48
29
32
соответствующего дополнительному полюсу, Ef =
Idaho N3LO приводит к результатам, очень близ-
= -54.9 кэВ.
ким к расчетам с JISP16 (см. рис. 6 и табл. 2, где
приведены результаты расчетов для двух значений
Сходимость метода SS-HORSE по отношению
параметра SRG-преобразования Λ).
к расширению модельного пространства NCSM
непосредственно видна из сравнения сдвигов фаз,
рассчитанных в SS-HORSE в разных модельных
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
пространствах. Более жестким тестом для оценки
Рассмотрен метод SS-HORSE исследова-
сходимости метода является то, что расширение
ния резонансного рассеяния. Метод основан на
модельного пространства для данных NCSM, ис-
микроскопических расчетах спектров ядер, вы-
пользуемых в SS-HORSE для исследования тет-
полненных в NCSM c реалистическими NN-
ранейтрона до Nmax = 20, практически не приве-
взаимодействиями, и не содержит никаких модель-
ло к изменению результатов параметризации фаз.
ных приближений.
Кривые сдвигов фаз — новые (с Nmax = 20) и взя-
В рамках метода SS-HORSE исследованы ре-
тые из [39] (Nmax = 18) — едва заметно различа-
зонансы 3/2- и 1/2- ядер5Li и5He на основе
ются в области энергий от 1 до 4 МэВ (рис. 5),
расчетов состояний ядер5Li,5He и4He в NCSM
а численные значения Er, Γ и Ef — совпадают в
с реалистическими NN-взаимодействиями JISP16
пределах трех значащих цифр.
и Daejeon16. Сходимость результатов в расчетах
Важно посмотреть, что происходит с характери-
с JISP16 наблюдается уже при использовании
стиками резонанса тетранейтрона в расчетах с дру-
данных NCSM с Nmax = 4. В расчетах с Daejeon16
гими NN-взаимодействиями. С этой целью мы по-
требуются расчеты NCSM в модельных простран-
вторили исследование с другими реалистическими
ствах, начиная с Nmax = 12.
взаимодействиями. На рис. 6 представлены фазы
Результаты расчетов энергий Er и ширин Γ
рассеяния 4n → 4n, полученные в SS-HORSE на
резонансов 3/2- и 1/2- ядер5Li и5He, а так-
основе результатов NCSM с реалистическим взаи-
же поведение сдвигов фаз рассеяния pα в пар-
модействием Daejeon16. Точно так же, как и в рас-
циальных волнах p3/2 и p1/2, в расчетах с NN-
четах с JISP16, разумное описание фаз рассеяния
взаимодействиями (JISP16 и Daejeon16) находят-
оказалось возможным только в предположении
ся в хорошем согласии друг с другом, эксперимен-
наличия двух полюсов S-матрицы, отвечающих
тальными данными [56-58], а также расчетами в
резонансному и ложному состояниям. Поведение
NCSMC [28].
фаз рассеяния в расчетах с Daejeon16 аналогично
В рамках метода SS-HORSE проведено
поведению в расчетах с JISP16: соответствующие
исследование резонансного состояния тетра-
кривые на рис. 6 близки друг к другу. Значения
нейтрона с различными реалистическими NN-
энергий и ширин резонанса тетранейтрона (см.
взаимодействиями. Наиболее разумное описа-
табл. 2), а также энергий ложных состояний в этих
ние фаз рассеяния
4n → 4n получается, если
двух вариантах расчета различаются не более, чем
предположить наличие двух полюсов S-матрицы,
на 15 процентов.
соответствующих резонансу и ложному состоянию.
Мы также провели исследование тетранейтро-
Результаты расчетов с NN-взаимодействиями
на с киральным взаимодействием Idaho N3LO,
JISP16, Daejeon16 и смягченного с помощью
построенным в эффективной теории поля [43].
преобразования SRG кирального взаимодействия
Смягченное преобразованием SRG (Similarity
Idaho N3LO хорошо согласуются друг с другом и с
Renormalization Group [60]) NN-взаимодействие
результатами недавнего эксперимента [40].
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№5
2019
ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА
459
Авторы благодарны В.Д. Эфросу и П. Марису
16.
K. A. Wendt, C. Forss ´en, T. Papenbrock, and D. S ¨a ¨af,
за ценные дискуссии.
Phys. Rev. C 91, 061301 (2015).
17.
S. A. Coon and M. K. G. Kruse, Int. J. Mod. Phys. E
Разработка и применение подхода SS-HORSE
25, 1641011 (2016).
выполнены при поддержке Российского научного
18.
I. J. Shin, Y. Kim, P. Maris, J. P. Vary, C. Forss ´en,
фонда (проект № 16-12-10048).
J. Rotureau, and N. Michel, J. Phys. G 44, 075103
Работа частично поддержана Департаментом
(2017).
энергетики США (US Department of Energy) —
19.
G. A. Negoita, G. R. Luecke, J. P. Vary, P. Maris,
гранты DOE
№ DESC00018223 (SciDAC/
A. M. Shirokov, I. J. Shin, Y. Kim, E. G. Ng,
NUCLEI) и № DE-FG02-87ER40371; проектом
and C. Yang, in Proceedings of the Ninth
RISP Института фундаментальных наук, финанси-
International Conference on Computational
Logics, Algebras, Programming, Tools, and
руемым Министерством науки Кореи (Rare Isotope
Benchmarking (COMPUTATION TOOLS 2018),
Science Project of Institute for Basic Science funded
February 18-22, 2018, Barcelona, Spain (IARIA,
by Ministry of Science); Фондом национальных
2018), p. 20; arXiv:1803.03215 [physics.comp-ph];
исследований Кореи (National Research Foundation
G. A. Negoita, J. P. Vary, G. R. Luecke, P. Maris,
of Korea) — грант № 2013M7A1A1075764.
A. M. Shirokov, I. J. Shin, Y. Kim, E. G. Ng, C. Yang,
Вычислительные ресурсы были предоставлены
M. Lockner, and G. M. Prabhu, arXiv:1810.04009
Национальным вычислительным центром NERSC
[nucl-th] (принято к печати в Phys. Rev. C).
(National Energy Research Scientific Compu-
20.
С. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев, Квантовая тео-
ting Center, USA) — контракт DOE № AC02-
рия рассеяния для систем нескольких частиц
05CH11231; Суперкомпьютерным центром Кореи
(Наука, Москва, 1985).
21.
E. O. Alt, P. Grassberger, and W. Sandhas, Nucl.
Института науки и технологий (Supercomputing
Phys. B 2, 167 (1967).
Center/Korea Institute of Science and Technology
22.
W. Leidemann and G. Orlandini, Prog. Part. Nucl.
Information) — проект № KSC-2015-C3-003.
Phys. 68, 158 (2013).
23.
V. D. Efros, W. Leidemann, G. Orlandini, and
N. Barnea, J. Phys. G 34, R459 (2007).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
24.
K. M. Nollett, S. C. Pieper, R. B. Wiringa, J. Carlson,
1. S. C. Pieper and R. B. Wiringa, Ann. Rev. Nucl. Part.
and G. M. Hale, Phys. Rev. Lett. 99, 022502 (2007).
Sci. 51, 53 (2001).
25.
G. Papadimitriou, J. Rotureau, N. Michel,
2. H. K ¨ummel, K. H. L ¨uhrmann, and J. G. Zabolitzky,
M. Płoszajczak, and B. R. Barrett, Phys. Rev. C
Phys. Rep. 36, 1 (1978).
88, 044318 (2013).
3. G. Hagen, D. J. Dean, M. Hjorth-Jensen,
26.
P. Navr ´atil, R. Roth, and S. Quaglioni, Phys. Rev. C
T. Papenbrock, and A. Schwenk, Phys. Rev. C
82, 034609 (2010).
76, 044305 (2007).
27.
G. Hupin, J. Langhammer, P. Navr ´atil, S. Quaglioni,
4. D. Lee, Progr. Part. Nucl. Phys. 63, 117 (2009).
A. Calci, and R. Roth, Phys. Rev. C 88, 054622
5. E. Epelbaum, H. Krebs, D. Lee, and U. G. Meissner,
(2013).
Phys. Rev. Lett. 106, 192501 (2011).
28.
G. Hupin, S. Quaglioni, and P. Navr ´atil, Phys. Rev. C
6. B. R. Barrett, P. Navr ´atil, and J. P. Vary, Progr. Part.
90, 061601(R) (2014).
Nucl. Phys. 69, 131 (2013).
29.
P. Navr ´atil, S. Quaglioni, G. Hupin, C. Romero-
7. P. Maris, J. P. Vary, and A. M. Shirokov, Phys. Rev. C
Redondo, and A. Calci, Phys. Scr. 91, 053002 (2016).
79, 014308 (2009).
30.
A. M. Shirokov, A. I. Mazur, J. P. Vary, and
8. S. A. Coon, M. I. Avetian, M. K. G. Kruse,
E. A. Mazur, Phys. Rev. C 79, 014610 (2009).
U. van Kolck, P. Maris, and J. P. Vary, Phys. Rev. C
31.
A. M. Shirokov, A. I. Mazur, E. A. Mazur, and
86, 054002 (2012).
J. P. Vary, Appl. Math. Inf. Sci. 3, 245 (2009).
9. R. J. Furnstahl, G. Hagen, and T. Papenbrock, Phys.
32.
A. M. Shirokov, A. I. Mazur, I. A. Mazur, and
Rev. C 86, 031301(R) (2012).
J. P. Vary, Phys. Rev. C 94, 064320 (2016).
10. S. N. More, A. Ekstrom, R. J. Furnstahl, G. Hagen,
33.
A. I. Mazur, A. M. Shirokov, I. A. Mazur,
and T. Papenbrock, Phys. Rev. C 87, 044326 (2013).
and J. P. Vary, in Proceedings of the
11. M. K. G. Kruse, E. D. Jurgenson, P. Navr ´atil,
International Conference
“Nuclear Theory in
B. R. Barrett, and W. E. Ormand, Phys. Rev. C 87,
the Supercomputing Era-2014” (NTSE-2014),
044301 (2013).
Khabarovsk, Russia, June
23-27,
2014, Eds.
12. D. S ¨a ¨af and C. Forss ´en, Phys. Rev. C 89, 011303
A. M. Shirokov and A. I. Mazur (Pacific National
(2014).
University, Khabarovsk, Russia,
2016), p.
183;
13. R. J. Furnstahl, S. N. More, and T. Papenbrock, Phys.
Rev. C 89, 044301 (2014).
34.
I. A. Mazur, A. M. Shirokov, A. I. Mazur, and
14. S. K ¨onig, S. K. Bogner, R. J. Furnstahl, S. N. More,
J. P. Vary, Phys. Part. Nucl. 48, 84 (2017).
and T. Papenbrock, Phys. Rev. C 90, 064007 (2014).
35.
Л. Д. Блохинцев, А. И. Мазур, И. А. Мазур,
15. R. J. Furnstahl, G. Hagen, T. Papenbrock, and
Д. А. Савин, А. М. Широков, ЯФ 80, 102 (2017)
K. A. Wendt, J. Phys. G 42, 034032 (2015).
[Phys. At. Nucl. 80, 226 (2017)].
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№5
2019
460
МАЗУР и др.
36.
Л. Д. Блохинцев, А. И. Мазур, И. А. Мазур,
липпов, ЯФ 33, 928 (1981) [Sov. J. Nucl. Phys. 33,
Д. А. Савин, А. М. Широков, ЯФ 80, 619 (2017)
488 (1981)].
[Phys. At. Nucl. 80, 1093 (2017)].
47. Yu. F. Smirnov and Yu. I. Nechaev, Kinam 4, 445
37.
A. I. Mazur, A. M. Shirokov, I. A. Mazur,
(1982); Ю. И. Нечаев, Ю. Ф. Смирнов, ЯФ 35, 1385
E. A. Mazur, Y. Kim, I. J. Shin, L. D. Blokhintsev,
(1982) [Sov. J. Nucl. Phys. 35, 808 (1982)].
and J. P. Vary, in Proceedings of the
48. J. M. Bang, A. I. Mazur, A. M. Shirokov,
International Conference
“Nuclear Theory in
Yu. F. Smirnov, and S. A. Zaytsev, Ann. Phys.
the Supercomputing Era-2016” (NTSE-2016),
(N.Y.) 280, 299 (2000).
Khabarovsk, Russia, September 19-23, 2016, Ed.
49. H. A. Yamani and M. S. Abdelmonem, J. Phys. A 26,
by A. M. Shirokov and A. I. Mazur (Pacific National
L1183 (1993).
University, Khabarovsk, Russia,
2018), p.
185;
50. H. A. Yamani, Eur. J. Phys. 34, 1025 (2013).
51. NIST Digital Library of Mathematical Functions,
38.
A. M. Shirokov, A. I. Mazur, I. A. Mazur,
E. A. Mazur, I. J. Shin, Y. Kim, L. D. Blokhintsev,
and J. P. Vary, Phys. Rev. C 98, 044624 (2018).
52. С. А. Зайцев, Ю. Ф. Смирнов, А. М. Широков,
39.
A. M. Shirokov, G. Papadimitriou, A. I. Mazur,
ТМФ 117, 227 (1998) [Theor. Math. Phys. 117, 1291
I. A. Mazur, R. Roth, and J. P. Vary, Phys. Rev. Lett.
(1998)].
117, 182502 (2016).
53. J. Hamilton, I. verb ¨o, and B. Tromborg, Nucl. Phys.
40.
K. Kisamori, S. Shimoura, H. Miya, S. Michimasa,
B 60, 443 (1973).
S. Ota, M. Assie, H. Baba, T. Baba, D. Beaumel,
54. H. van Haeringen, Charged-particle Interactions:
M. Dozono, T. Fujii, N. Fukuda, S. Go,
Theory and Formulas (Coulomb Press Leyden,
F. Hammache, E. Ideguchi, N. Inabe, et al., Phys.
Leiden, Netherlands, 1985).
Rev. Lett. 116, 052501 (2016).
55. Р. Дж. Ньютон, Теория рассеяния волн и частиц
41.
A. M. Shirokov, J. P. Vary, A. I. Mazur, and
(Мир, Москва, 1969).
T. A. Weber, Phys. Lett. B 644, 33 (2007).
56. R. A. Arndt, D. D. Long, and L. D. Roper, Nucl. Phys.
42.
A. M. Shirokov, I. J. Shin, Y. Kim, M. Sosonkina,
A 209, 429 (1973).
P. Maris, and J. P. Vary, Phys. Lett. B 761, 87 (2016).
57. D. C. Dodder, G. M. Hale, N. Jarmie, J. H. Jett,
43.
D. R. Entem and R. Machleidt, Phys. Lett. B 524, 93
P. W. Keaton, Jr., R. A. Nisley, and K. Witte, Phys.
(2002); Phys. Rev. C 68, 041001(R) (2003).
Rev. C 15, 518 (1977).
44.
E. J. Heller and H. A. Yamani, Phys. Rev. A 9, 1201
58. A. Cs ´ot ´o and G. M. Hale, Phys. Rev. C 55, 536
(1974).
(1997).
45.
H. A. Yamani and L. J. Fishman, J. Math. Phys. 16,
59. R. Kezerashvili, arXiv:1608.00169 [nucl-th].
410 (1975).
46.
Г. Ф. Филиппов, И. П. Охрименко, ЯФ 32, 932
60. S. K. Bogner, R. J. Furnstahl, and A. Schwenk,
(1980) [Sov. J. Nucl. Phys. 32, 480 (1980)]; Г. Ф. Фи-
Progr. Part. Nucl. Phys. 65, 94 (2010).
DESCRIPTION OF CONTINUUM STATES
WITHIN NO-CORE SHELL MODEL. SINGLE STATE HORSE METHOD
A. I. Mazur1), A. M. Shirokov1),2),3), I. A. Mazur1), L. D. Blokhintsev1),2),
Y. Kim4), I. J. Shin4), J. P. Vary3)
1)Department of Physics, Pacific National University, Khabarovsk, Russia
2)Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia
3)Department of Physics and Astronomy, Iowa State University, Ames, Iowa, USA
4)Institute for Basic Science, Daejeon, Korea
The SS-HORSE method of analysis of resonant scattering is considered. The method is based on
microscopiccalculations of nuclear spectra within the No-Core Shell Model with realistic NN interactions
avoiding any model assumption. In the framework of the SS-HORSE method, the resonances 3/2-
and 1/2- in5Li and5He nuclei are investigated. The possibility of the existence of a resonance in the
four-neutron system is studied.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82
№5
2019
