ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2019, том 82, № 6, с. 471-483

ЯДРА

САМОСОГЛАСОВАННОЕ ОПИСАНИЕ ИЗОБАР-АНАЛОГОВЫХ

РЕЗОНАНСОВ В НЕЙТРОННО-ИЗБЫТОЧНЫХ ЯДРАХ

СО СПАРИВАНИЕМ

Поступила в редакцию 09.04.2019 г.; после доработки 09.04.2019 г.; принята к публикации 09.04.2019 г.

Развит самосогласованный подход к описанию изобар-аналоговых резонансов (ИАР) в нейтронно-

избыточных ядрах со спариванием. Используется квазичастичное приближение случайных фаз с

учетом континуума, основанное на новой модификации энергетического функционала плотности,

предложенного ранее Фаянсом и др. Рассчитаны свойства ИАР в тяжелых изотопах Са, Sn и

Pb, как близких к дважды магическим, так и с развитым нейтронным спариванием. Проведено

сравнение с расчетами в самосогласованных моделях с различными релятивистскими функционалами

и функционалами Скирма.

DOI: 10.1134/S0044002719060060

1. ВВЕДЕНИЕ

рования универсального ядерного энергетического

функционала плотности (ЭФП).

Коллективные изоспиновые и спин-изоспино-

Зарядово-нейтральные параметры ЭФП нахо-

вые возбуждения занимают особое место в тео-

дятся из экспериментальных характеристик ос-

рии структуры ядра и ее приложениях к про-

новных состояний (массы, радиусы, одночастич-

блемам ядерной астрофизики. Их исследованию

ные энергии). Изучение зарядово-обменных воз-

посвящено множество экспериментальных и тео-

буждений - ИАР и резонанса Гамова-Теллера

ретических работ (см. обзоры [1, 2]). Изобари-

(ГТР) - позволяет уточнить изоспиновые и спин-

ческий аналоговый резонанс (ИАР) — наиболее

изоспиновые (нечетные по времени) компоненты

простое зарядово-обменное возбуждение — бес-

семейства феноменологических ЭФП Фаянса [5-

спиновая мода (ΔL = 0, ΔS = 0, ΔJ = 0, ΔT =

8]. Дополнительная информация извлекается из

= 0), индуцируемая оператором изоспина

τ. Из-

свойств симметричной ядерной материи (равновес-

мерения характеристик ИАР с помощью адронных

ная плотность ρ₀, энергия симметрии E_symm, сжи-

реакций и бета-распада важны для определения

маемость K_∞), а также из характеристик коллек-

степени несохранения квантового числа изоспина

тивных возбуждений ядер (например, из энергий и

в сильно нейтронно-избыточных ядрах. Остается

вероятностей гигантского E1-резонанса).

актуальной проблема полностью микроскопиче-

ского самосогласованного описания характеристик

Калибровка зарядово-обменных компонентов

ИАР [3]. Представляет интерес уточнение вклада

ядерного ЭФП более сложна, поскольку для мо-

обменного кулоновского взаимодействия, что важ-

делей, основанных на ЭФП, существенны нетриви-

но для надежной оценки величины кулоновского

альные корреляции упомянутых ядерных характе-

смешивания; а также влияние гигантского моно-

ристик. Так, например, энергия возбуждения ГТР

польного резонанса на изоспиновое смешивание в

коррелирует с ядерной энергией симметрии и с

основном состоянии [4]. Исследования зарядово-

ее производной по плотности вблизи равновес-

обменных резонансов необходимы для конструи-

ной плотности ρ₀. Также обсуждалась корреля-

ция энергий ИАР с величиной “нейтронной шубы”

¹⁾Национальный исследовательский центр “Курчатовский

(R_np) нейтронно-избыточных изотопов [9], опреде-

институт”, Москва, Россия.

ляемой как разность среднеквадратичных нейтрон-

²⁾Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголю-

ных и протонных радиусов. Энергия симметрии

бова, Объединенный институт ядерных исследований,

влияет не только на свойства основных и возбуж-

Дубна, Россия.

денных состояний нейтронно-избыточных ядер, но

³⁾Московский физико-технический институт (националь-

и на уравнения состояния симметричной ядерной

ный исследовательский университет), Долгопрудный,

Россия.

и нейтронной материи. Таким образом, эта важная

^*E-mail: Borzov_IN@nrcki.ru

величина, характеризующая взаимодействие в мас-

^**E-mail: Tolokonnikov_SV@nrcki.ru

штабе нескольких фемтометров и непосредственно

471

472

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

связанная с энергией ИАР, отражается в свойствах

изоспин-инвариантным взаимодействием, разли-

компактных макро-объектов - нейтронных звезд.

чаются. Как известно, нарушенная за счет этого

изоспиновая симметрия может быть восстанов-

Отметим проблемы микроскопических расче-

лена в полностью самоcогласованном зарядово-

тов характеристик изобар-аналоговых резонан-

обменном RPA [13]. Ограничение базиса одноча-

сов. Во-первых - это самосогласованное описание

стичных состояний также нарушает изоспиновую

энергии ИАР. При “выключенном” кулоновском

симметрию. Преимуществом используемой в на-

взаимодействии ИАР должен проявляться при ну-

стоящей работе модели континуум-pnQRPA, опе-

левой энергии относительно основного состоя-

рирующей с полным базисом одночастичных со-

ния родительского ядра. Прямое и обменное ку-

стояний [14, 15], является отсутствие данного эф-

лоновское взаимодействие и короткодействующие

фекта.

изоспин-неинвариантные силы приводят к наруше-

нию этого условия. Их некорректный учет может

Другой (физический) источник нарушения изо-

приводить к систематической недооценке энергии

спиновой симметрии - это взаимодействие Кулона,

ИАР.

ответственное за дальнодействующую поляриза-

цию протонных и нейтронных состояний и оказы-

Во-вторых - это описание полной ширины

вающее сильное влияние на энергию ИАР. Необ-

ИАР, складывающейся из ширины прямой эмиссии

ходима корректная аппроксимация обменного ку-

(еscape width Γ ↑) и спредовой ширины (spreading

лоновского взаимодействия, так как часто исполь-

width Γ ↓). Еscape-ширина ИАР определяется, в

зуемое приближение Слэттера нуждается в уточне-

основном, прямой эмиссией протонов в контину-

нии. Также для полного согласования необходимо

ум, и поэтому очень мала в ядерном масштабе -

учесть вклад двухчастичного спин-орбитального

несколько десятков кэВ. Расчет escape-ширины

взаимодействия. Гораздо меньшее влияние оказы-

ИАР требует адекватной модели - pnQRPA с

вают другие изоспин-неинвариантные компоненты

учетом континуума одночастичных состояний [10].

сильного взаимодействия.

Изоспин ИАР равен изоспину основного со-

В нерелятивистских подходах [15, 16] для вос-

стояния родительского ядра T₀. Связь ИАР с

становления вырождения ИАР применялись усло-

состояниями дочернего ядра, имеющими изо-

вия частичного согласования по зарядовой плот-

спин (T₀ + 1), незначительна - взаимодействия,

ности. Более последовательный подход, основан-

нарушающие изоспин, не вызывают сильного

ный на энергетическом функционале плотности,

смешивания этих состояний и соответственно дают

требует выполнения условий полного самосогласо-

малый вклад в формирование спредовой ширины.

вания. В частности, они должны включать двух-

В основном, эффекты затухания обусловлены

частичное спин-орбитальное взаимодействие. В

связью частично-дырочных (1p-1h) состояний с

случае зарядово-нейтральных возбуждений в ма-

2p-2h-конфигурациями. Вклад в ширину ИАР,

гических ядрах схема полного самосогласования

возникающий за счет смешивания со сложными

была реализована в работе [17]. Однако в ядрах

конфигурациями, невелик - это было показа-

со спариванием такой подход технически сложен

но в микроскопической модели, учитывающей

и необходимы приближения. Самосогласованный

квазичастично-фононное взаимодействие [11] и,

RPA-подход применялся к ИАР в недавней рабо-

например, в частично-дырочной дисперсионной

те [18]. В ней учтен вклад двухчастичного спин-

оптической модели [12].

орбитального взаимодействия в форме, найденной

В-третьих, силовая функция ИАР для неза-

в работе [19], а вклад точного обменного куло-

висимых квазичастиц (в приближении Хартри-

новского взаимодействия вычисляется по теории

Фока + БКШ) фрагментирована, как правило, на

возмущений для одночастичных энергий. В рабо-

несколько компонент. В то же время полностью

те [18] также предлагалось анализировать данные

микроскопический расчет не должен противоре-

по разности энергий антианалогового резонанса и

чить экспериментальному факту вырождения ИАР

ИАР для установления ограничений на параметры

и его изобарических сателлитов: так ИАР проявля-

ЭФП, извлекаемые из коррелирующих величин J,

ется в сечениях зарядо-обменных (p, n)-реакций в

LиR_np.

виде одиночного узкого резонанса.

В работе [13] в полностью самосогласованном

Надежность микроскопического расчета зави-

релятивистском RPA-подходе с функционалами

сит от корректного учета вкладов эффектов, на-

PKO1-3 было показано восстановление вырожде-

рушающих изоспиновую симметрию. Основным

ния ИАР для случая магических ядер. Для полума-

(нефизическим) источником нарушения изоспи-

гических изотопов Sn с развитым нейтронным спа-

новой симметрии является приближение средне-

риванием этот эффект был также продемонстри-

го поля. В режиме “выключенного” кулоновского

рован в самосогласованном RHB + pnQRPA [9]

взаимодействия волновые функции нейтронов и

с функционалом DD-ME1, включающем взаимо-

протонов ядра с N = Z, рассчитанные с любым

действие Гони D1S [20] в канале частица-частица.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

САМОСОГЛАСОВАННОЕ ОПИСАНИЕ ИЗОБАР-АНАЛОГОВЫХ РЕЗОНАНСОВ

473

Аналогичные расчеты проводились для изотопов

ядра c развитым нейтронным спариванием, про-

Са, Ni, Sn с функционалами PK01, DD-ME2

верка восстановления вырождения ИАР, изучение

и D1S в работе [21], в которой использовалось

влияния протон-нейтронного (динамического, S =

квазичастичное разложение по базису Дирака-

= 0, T = 1) спаривания на характеристики ИАР.

Вудса-Саксона. Проблемы, связанные с поис-

В Заключении кратко суммированы результаты ра-

ком универсального, изоспин-инвариантного ЭФП

боты.

и совершенствованием его изоспиновых и спин-

изоспиновых компонентов, обсуждались в рабо-

те [22].

2. САМОСОГЛАСОВАННЫЙ ПОДХОД

К ИАР

В настоящей работе развит полностью само-

согласованный QRPA-подход к описанию ИАР

Отклик ядра со спариванием на внешнее за-

в ядрах со спариванием, основанный на теории

рядово-обменное поле V₀ =^Q exp(-iωt) (+ эрми-

энергетического функционала плотности (ЭФП).

тово-сопряженный оператор), где

Q - одноча-

Найден функционал DF3-f, являющийся новой

стичный оператор (^Q = τ_α, σ_ατ_β, qτ_α, Pτ_α и др.,

версией ЭФП DF3 [5], DF3-а [8] и FaNDF⁰ [7],

с очевидными обозначениями) в теории конечных

предложенных Фаянсом и др., позволяющий более

ферми-систем (ТКФС) [25] описывается уравне-

надежно описывать свойства ИАР. В функционале

DF3-f изменены параметры двухчастичного спин-

нием для эффективного пол

V . В символическом

орбитального взаимодействия; учтено модифици-

виде (в матричном представлении) оно имеет ком-

рованное обменное кулоновское взаимодействие

пактную форму:

V_exc [7, 23] и получено ограничение на его экра-

V (ω) = ê_q

V₀(ω)

FAˆ(ω

V (ω).

(1)

нирование короткодействующими кулон-ядерными

корреляциями. В данной работе соответствующие

Для ядер со спариванием в нейтронной и

параметры V_exc находятся из экспериментальных

протонной системах в стандартных обозначениях

данных по разностям зарядовых радиусов пар зер-

ТКФС имеем

кальных ядер. Это позволяет более надежно оце-

⎛

⎞

⎛

⎞

нить степень экранировки V_exc и ее влияние на

e_qV₀

характеристики ИАР. Функционал Фаянса отлича-

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

ется от ЭФП Скирма более сложной зависимостью

V =

⎜d1

⎟,

V₀ =

⎜

⎟,

(2)

⎝

⎠

⎝

⎠

от плотности его нормальной и спаривательной

d₂

частей. Это позволяет, наряду с характеристи-

ками ядерной материи, самосогласовано описать

⎛

⎞

ядерные массы [7, 8] и радиусы [6, 7] (см. также

F F^ωξ F^ωξ

обзор [24]).

⎜

⎟

⎜

⎟

F =

⎜

^ξω F^ξ

⎟

(3)

Для расчетов характеристик ИАР используется

⎝F

⎠

самосогласованное квазичастичное приближение

F^ξω

F^ξ

случайных фаз с учетом континуума, позволяющее

адекватно определить escape-ширину ИАР. Зави-

Матриц

A состоит из 3 × 3 интегралов по энергии

сящее от плотности эффективное взаимодействие

ϵ от произведений различных комбинаций функции

в каналах частица-дырка и частица-частица по-

Грина G(ϵ) и двух функций Горькова F⁽¹⁾(ϵ) и

лучено из того же энергетического функционала

плотности DF3-f, который использован для расче-

F⁽²⁾(ϵ). Их явный вид можно найти в [25]

⎛

⎞

та основных состояний.

L(ω) M₁(ω) M₂(ω)

Структура работы следующая. Во Введении об-

⎜

⎟

⎜

⎟

суждены основные проблемы микроскопического

A(ω) =

(4)

⎜

(ω) N₁(ω) N₂(ω)⎟

⎝^O

⎠

описания ИАР. В разд. 2 развит самосогласо-

ванный подход к ИАР в ядрах со спариванием.

O(-ω)

N₁(ω)

Ń₂(ω)

Рассмотрен новый функционал DF3-f, основан-

Используя введенные выше обозначения ТКФС,

ный на ЭФП DF3 [5], FaNDF₀ [7], DF3-a [8].

для силовой функции получим следующее выраже-

В разд. 3 представлены результаты расчетов си-

ние:

ловых функций возбуждений J^π = 0⁺ в изото-

пических цепочках42,44,48,54Ca,110,116,126,132Sn и

S(ω, q) = -

ImP(ω, q) =

(5)

184,192,200,208,212Pb. Основные цели работы - пол-

ностью самосогласованные CQRPA-расчеты ИАР

V₀Aˆ(ω

V (ω, q)).

для длинных изотопических цепочек, содержащих

=-πIm(e

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

474

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

В рамках полностью самосогласованного под-

Здесь x_±(r) = (ρ_n(r) ± ρ_p(r))/2ρ₀, ρ₀ - равновес-

хода, основанного на теории энергетического

ная плотность одного сорта частиц в симметричной

функционала плотности, элементы матрицы

(3)

ядерной материи, r₀ = (3/8πρ₀)1/3. Нормировоч-

являются различными вторыми вариационными

ный множитель C₀ - обратная плотность состоя-

производными от ЭФП, зависящего от нормальной

ний на поверхности Ферми в точке равновесия

ρ и аномальной ν плотностей:

)-1

∫

⁽ dn

2ϵ

π²

C₀ =

E₀ = E[ρ(r),ν(r)]d³r,

(6)

dϵ_F

3ρ₀

p_Fm^∗

а именно:

Плотность поверхностной энергии

δ²E

]

F =

;

F^ωξ = F^ξω =

;

(7)

ε_s = C₀

(ρ₊fs+)(fs+ρ+) + (ρ-fs)(fs-ρ- ,

(11)

δρ²

δρδν

δ²E

где

F^ξ =

δν²

f^s±(x) =

(12)

Здесь F - введенная выше “нормальная” ком-

1+h^s±x

понента обобщенной амплитуды взаимодействия

Оператор тильда введен в [26] для обозначения

самосогласованной ТКФС, а F^ξ - ее аномальная

оператора свертки

компонента или, другими словами, эффективное

∫

спаривательное взаимодействие, которое входит в

f (r) = D(r - r^′)f(r^′)dr^′.

(13)

уравнение для щели. Обратим внимание на то,

что в (3) входит и смешанная производная F^ωξ,

В импульсном представлении D имеет вид

которая отвечает за зависимость спаривательно-

го энергетического функционала от нормальной

(qr_c)²

плотности. Изотопические индексы в соотношени-

D(q) = -

(14)

1 + (qr_c)²

ях (1)-(7) для краткости опущены. Для избежания

недоразумений отметим, что F в (7) - это скаляр-

В пределе малых r_c это выражение упрощается

ная и изоспиновая компоненты полной обобщенной

D(q) = -(qr_c)².

(15)

амплитуды Ландау-Мигдала

F, которая входит

в (1), если внешнее поле V₀ не зависит от спина.

В результате выражение для ε_s приводится к форме

В случае спин-изоспиновых возбуждений, в (1),

Скирма - плотность поверхностной энергии про-

наоборот, входит спиновая компонента амплитуды.

порциональна (∇ρ)². Параметры a^v±, a^s±, hv1±, hv2±

Для изоспиновых возбуждений в зарядово-

и h^s± - безразмерные.

обменном канале, к которым относится ИАР, в

Кулоновская энергия содержит модифициро-

уравнения для эффективного поля входит амплиту-

ванный cлэттеровский член:

да F^-, которая определяется второй вариационной

∫∫∫

производной ЭФП:

ρ_ch(r^′)

ε_Coul(r) =

ρ_ch(r)

d³r^′

(16)

|r - r^′|

δ²E

F^- =

(8)

(δρ_-)²

⁽3)1/3

e²ρ4/3p(1 - h_Coulxσ+).

где ρ_- = ρ_n - ρ_p. Соответственно в уравнении (1)

⁻4 π

с учетом соотношений (2)-(4) это взаимодействие

Здесь константы h_Coul и σ - параметры экра-

состоит из изовекторных компонент в каналах

нировки обменного взаимодействия, позволяющие

частица-дырка и частица-частица (динамическое

устранить аномалию Нолена-Шиффера [27].

спаривание).

Спин-орбитальная часть функционала имеет

Плотность энергии имеет вид

вид

{

[

E [ρ(r), ν(r)] = τ + ε_v + ε_s +

(9)

∑

+ε_Coul +ε_sl +ε_ss +ε_pair.

ε_sl(r) =

C₀r²

κik ∇ρi(r) ×

(17)

i,k=p,n

Плотность объемной энергии

∑

[

1-hv1+xσ+

× ψ^†(r,s)[p × σ]ψ(r,s^′)

^k +

ε_v(r) = C₀ a^v

x²⁺ +

(10)

ss^′

⁺1+hv2+x^σ

]

∑

1-hv1-x^σ-

+ ∇ρ^k(r)

ψ^†(r,s)[p × σ]ψ(r,s^′)

+a^v

x²

^-1+hv2-x^σ-

ss^′

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

САМОСОГЛАСОВАННОЕ ОПИСАНИЕ ИЗОБАР-АНАЛОГОВЫХ РЕЗОНАНСОВ

475

∑∑

Таким образом, в расчетах учитывается изовектор-

+gik1

ψ^†(r,s)σ_αp_βψ(r,s^′)

ⁱ×

ное (S = 0, T = 1) спаривательное взаимодействие

α,β ss^′

}

идентичных нуклонов в основном состоянии.

∑

Поляризационный оператор возбуждения си-

× ψ^†(r,s)σ_αp_βψ(r,s^′)

стемы под действием внешнего поля V₀ в ТКФС

ss^′

определяется выражением

Заметим, что слагаемое ε_sl соответствует двух-

(

)

частичной амплитуде спин-орбитального взаимо-

P(ω) = e_qV₀ Â(ω

V (ω)

(23)

действия

а его спектральное разложение имеет следующий

F^ωsl = C₀r²⁰(κ + κ^′τ₁ · τ₂) ×

(18)

вид:

× [∇₁δ(r₁ - r₂) × (P₁ - P₂)](σ₁ + σ₂),

[

]

∑

|〈s|V₀|0〉|²

|〈0|V₀|s〉|²

P(ω) =

(24)

и первой скоростной гармонике спин-спиновой ам-

ω - ω_s - iδ

ω + ω_s + iδ

плитуды взаимодействия Ландау-Мигдала

Следует отметить, что в зарядово-обменном канале

Fω1 = C₀r²⁰(g₁ + g′1τ₁ · τ₂) ×

(19)

нет симметрии между прямыми и обратными пере-

× δ(r₁ - r₂)(σ₁ · σ₂)(P₁ · P₂).

ходами (относительно обращения времени), поэто-

му

Таким образом с помощью этих сравнительно про-

[

стых по форме членов, содержащих зависимость от

∑

|〈s|V⁽⁺⁾⁰|0〉|²

P(ω) =

(25)

импульсов, удобно параметризовать двухчастичное

ω - ωs+) - iδ

спин-орбитальное взаимодействие и эффективно

]

учесть тензорные спин-скоростные силы.

|〈s|V(-)0|0〉|²

−

Плотность энергии спаривания ε_pair имеет сле-

ω - ωs-) + iδ

дующую форму:

∑

Здесь состояния с частотами

ε_pair(r) =

F^ξ,τ (ρ₊(r))|ν_τ (r)|².

(20)

τ=n,p

ω⁽⁺⁾ > μ_p - μ_n

(26)

При учете вклада в энергию взаимодействия

интерпретируются как изобарические pn-состоя-

многочастичных сил и корреляций возникает зави-

ния (положительно-заряженные возбуждения), а

состояния с частотой

симость амплитуды F^ξ,τ от нормальной плотности

ω(-) < μ_p - μ_n

(27)

F^ξ,τ = C₀f^ξ(x₊).

(21)

как np-состояния (отрицательно-заряженные воз-

В общем случае параметризация f^ξ имеет вид

буждения).

f^ξ(x₊(r)) = fξex + h^ξ(x₊)^q(r) +

(22)

Разлагая поляризационный оператор в ряд по

+ f^ξ∇r20 (∇x₊(r))2 .

обратным степеням частоты ω, получаем

(

)

∑

(+)

(ωs+))ⁿ|〈s|e_qV

|0〉|² - (ωs-))ⁿ|〈s|e_qV(-)0

|0〉|²

∑

P(ω)_|ω→∞

= s

(28)

ωn+1

n=0

∑(

Из этого выражения видно, что в числителе сто-

(ω(+)s)ⁿ|〈s|e_qV⁽⁺⁾⁰|0〉|² -

ят моменты силовой функции S(ω), определяемые

)

как

- (ω(-)s)ⁿ|〈s|e_qV (-)0

|0〉|²

Для вычисления нулевого момента силовой функ-

∫∞

ции (правила сумм для матричных элементов

m_n = dωωⁿS(ω) =

(29)

ИАР), а также ее первого момента в поляризаци-

−∞

онном операторе достаточно оставить решение в

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

476

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

первом порядке по эффективному взаимодействию

Таблица 1. Разность энергий связи ΔE_B пары зеркаль-

ных ядер: симметричный четно-четный остов ± нуклон

V ≈e_qV₀

FÂ(ω)e_qV₀,

(30)

(МэВ)

откуда

(

)

Ядра

ΔE_B (эксп.) ΔE_B (DF3-f)

P(ω) ≈ e_qV₀ Â(ω)e_qV0 +

(31)

¹⁷O-¹⁷F

1d5/2

3.543

3.723

(

)

+ e_qV₀Â(ω

FÂ(ω)e_qV₀

³¹P-³¹S

2s-15/2

6.180

³³S-³³Cl

1d3/2

6.365

6.400

В случае ИАР внешнее поле имеет простой вид

e_qV₀ = τ⁺.

³⁹K-³⁹Ca

1d-13/2

7.3068(6)

7.302

Как видно, нулевой момент не зависит от взаи-

⁴¹Ca-⁴¹Sc

1f7/2

7.2778(2)

7.405

модействия и определяется первым членом асимп-

тотического разложения частично-дырочного про-

⁵⁵Co-⁵⁵Ni

1f-17/2

9.4764(8)

9.526

пагатора (условие полноты базиса квазичастиц)

⁵⁷Ni-⁵⁷Cu

2d5/2

9.6573(8)

9.666

A(ω)

m₀ =

(32)

∑(

)

Таблица 2. Разность энергий связи ΔE_B пары зеркаль-

|〈s|e_qV⁽⁺⁾⁰|0〉|² - |〈s|e_qV(-)0

|0〉|²

ных ядер: симметричный четно-четный остов ± пара

нуклонов (МэВ)

∫

[

(

)

= dξ₁dξ₂ Tr_τ

δ(ξ₁, ξ₂)τ⁺ ρ(ξ₂, ξ₁)τ^-

Ядра

Остов ΔE_B (эксп.) ΔE_B (DF3-f)

]

(

)

³⁴S-³⁴Ar

³²S

13.1180(1)

13.360

- Tr_τ

τ- ρ(ξ₁, ξ₂)τ⁺δ(ξ₂, ξ₁)

∫

³⁸Ar-³⁸Ca

⁴⁰Ca

14.2210(3)

14.181

= dξ (ρ_n(ξ) - ρ_p(ξ)) = N - Z.

⁴²Ca-⁴²Ti

⁴⁰Ca

15.0073(3)

15.327

⁵⁴Fe-⁵⁴Ni

⁵⁶Ni

18.541(5)

18.449

Для вычисления следующего момента необ-

⁵⁸Ni-⁵⁸Zn

⁵⁶Ni

19.49(5)

19.91

ходимо использовать второй член разложения

частично-дырочного пропагатора в нулевом поряд-

ке по взаимодействию и первый член разложения

В локальном приближении оно имеет простой вид

пропагатора в первом порядке по взаимодействию.

(

∫

∑

m₁ =

ω(+)s|〈s|e_qV⁽⁺⁾⁰|0〉|² -

(33)

m₁ = drV_c(r)(ρ_n(r) - ρ_p(r)) .

(37)

)

- ω(-)s|〈s|e_qV (-)0

|0〉|²

Таким образом, в точно согласованном расчете

[(

)

нулевой момент силовой функции не зависит от

ĥ_p -ĥn (ρn -ρp)+

взаимодействия, а для ее первого момента остает-

ся только кулоновское взаимодействие, усреднен-

+(ρ_n -ρ_p

F^-(ρ_n - ρ_p) +

ное по изовекторной части одночастичной матрицы

(

)

плотности.

Δ+

- Δ+n (νn -νp)+

]

+ (ν+n - ν+p

F^ξ (ν_n - ν_p)

3. ФУНКЦИОНАЛ ПЛОТНОСТИ DF3-f

ДЛЯ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ИАР

Отделяя изоспиновые переменные и учитывая

В рамках описанного выше самосогласованного

условия самосогласования,

подхода предложен новый энергетический функци-

Û_p -Ûn =ÛCoul

F^-(ρ_n - ρ_p),

(34)

онал плотности DF3-f, являющийся модификацией

ЭФП DF3 [5, 6], DF3-a [8] и FANDF⁰ [7], пред-

Δ_p -Δn =

F^ξ(ν_n - ν_p),

(35)

ложенных Фаянсом и др. Функционалы этого се-

мейства отличаются от функционала Скирма более

получаем в рамках QRPA известное выражение

сложной зависимостью от плотности как объемно-

для первого момента силовой функции

го, так и поверхностного членов; последний учиты-

(

)

вает эффекты конечного радиуса взаимодействия и

m₁ =

Û_Coul(ρ_n - ρ_p)

(36)

нелокальные эффекты в ядерной среде.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

САМОСОГЛАСОВАННОЕ ОПИСАНИЕ ИЗОБАР-АНАЛОГОВЫХ РЕЗОНАНСОВ

477

Таблица 3. Частоты переходов между компонентами триплета: симметричный четно-четный остов ± пара нуклонов

(МэВ)

Триплет

ω-ИАР (эксп.)

ω^-

QRPA

ω^+ИАР (эксп.)

ω^+ИАР QRPA

ИАР

³⁸Ar →³⁸K ←³⁸Ca

6.827

6.87

7.394

7.51

⁴²Ca →⁴²Sc ←⁴²Ti

7.2094(1)

7.28

7.7985(2)

7.89

⁵⁴Fe →⁵⁴Co ←⁵⁴Ni

9.0268(1)

9.02

9.514(5)

9.72

⁵⁸Ni →⁵⁸Cu ←⁵⁸Zn

9.546

9.55

9.95(5)

9.95

В модифицированном ЭФП DF3-f для ЭФП

В настоящей работе из методических сообра-

DF3 значения параметров двухчастичного спин-

жений использовалось значение h_Coul = 1 (σ =

орбитального взаимодействия выбраны такими же,

= 1), отвечающее максимальной экранировке

как в ЭФП FANDF0, предложенном Фаянсом [7]:

обменной части кулоновского взаимодействия (16),

κ⁺ = 0.38, κ^- = 0 (κ_pp = κ_np = 0.19).

что позволяет устранить аномалию Нолена-

Шиффера [27]. По этой причине можно ожидать

В общем случае спаривательная часть функци-

некоторого завышения энергий ИАР в нашем

онала зависит как от нормальной плотности, так и

расчете.

от ее градиента [6]. В настоящей работе уравнение

ТКФС для обобщенного эффективного поля пол-

ностью согласовано с основным состоянием ядра

с ЭФП DF3-f, причем градиентное спаривание не

4. РАСЧЕТЫ ХАРАКТЕРИСТИК ИАР

В ИЗОТОПАХ Ca, Sn, Pb

учитывалось: f^ppξ = f^nnξ = f^npξ =

fξex + h^ξ (ρ⁺/2ρ0),

где

fξex = -1.05, h^ξ = 0.94 для Pb; h^ξ = 0.92 для

В рамках развитого метода рассчитаны сило-

Sn; h^ξ = 0.88 для области Ca, Ni.

вые функции возбуждений с J^π = 0⁺ для четно-

В обменном кулоновском взаимодействии учи-

четных изотопов Ca, Sn, Pb с нейтронным спари-

тывались кулон-ядерные корреляции, приводящие

ванием. Эффективное NN-взаимодействие в ка-

к его ослаблению согласно формуле (16). Для

налах частица-дырка и частица-частица получено

оценки степени эффективной экранировки в при-

из энергетического функционала плотности DF3-

ближении среднего поля были проведены расчеты

f. Для нахождения характеристик ИАР решаются

энергий связи ряда зеркальных ядер с использова-

уравнения модели континуум-pnQRPA на полном

нием нового ЭФП DF3-f. В табл. 1 и 2 приведены

базисе одночастичных состояний [10, 14].

соответственно разности энергий связи (величина

кулоновского расщепления) зеркальных дублетов

и триплетов в сравнении с экспериментальным

4.1. Изотопы Ca

расщеплением, взятым из [28]. Как видим, средне-

арифметическое отклонение теории от экспери-

Результаты DF3-f + CQRPA расчета сило-

мента составляет +57 кэВ для дублетов. Двойная

вых функций возбуждений с J^π = 0⁺ в изотопах

разность для триплетов составляет +170 кэВ, т.е.

42-54Ca приведены на рис. 1, 2. Несмотря на то, что

85 кэВ/нуклон. Из уравнения для обобщенно-

ИАР формируется в результате когерентной супер-

го эффективного поля ТКФС (1), эквивалентного

позиции нескольких протон-нейтронных двухква-

уравнению QRPA, нами были расчитаны также

зичастичных конфигураций, результирующая си-

частоты переходов ω-ИАР и ω^+ИАР между компо-

ловая функция каждого из изотопов представляет

нентами зеркальных триплетов (табл. 3). Средне-

собой узкий одиночный пик. Рассчитанная энергия

арифметическое отклонение (с превышением) тео-

возбуждения ИАР в⁴²Са на 50 кэВ выше экспе-

рии от эксперимента составляет 70 кэВ.

риментальной энергии 0.0 ± 0.160 МэВ, в⁴⁴Са на

Полученные результаты свидетельствуют о том,

56 кэВ выше экспериментальной энергии 2.786 ±

что величина расщепления компонент зеркальных

± 0.160 МэВ, а в ⁴⁸Са всего на 7 кэВ ниже экспе-

ядер, рассчитанного без обменнного кулоновского

риментальной энергии 6.677 ± 0.160 МэВ [29].

взаимодействия, систематически превышает экс-

перимент. Таким образом, проведенный анализ по-

Для удобства вычислений в расчет (рис.

казывает, что в этих ядрах взаимодействие необхо-

включалось искусственное лоренц-уширение Γ =

димо, по-видимому, эффективно экранировать на

= 100 кэВ. Типичная ширина ИАР, связанная с

85-90%.

прямой эмиссией протона (нейтрона) в континуум,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

478

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

S ^(-)(E_x), 1/МэВ

⁴⁸Ca

ИАР

⁵⁴Ca

⁴⁴Ca

E_x, МэВ

Рис. 1. Силовые функции ИАР изотопов кальция в зависимости от энергии возбуждения дочернего ядра Ex.

E_x, МэВ

Рис. 2. Энергия возбуждения ИАР Ex в дочернем ядре для четных изотопов кальция (сплошная линия с кружками -

DF3-f + CQRPA расчет, треугольники - экспериментальные энергии).

в рассмотренных изотопах Ca составляет Γ_escape ≈

ном состоянии). В самосогласованный pnQRPA-

≈ 100 кэВ. Нетрудно убедиться в том, что с уче-

расчет (сплошная кривая) включено эффектив-

том полной ширины Γ_tot ≈ 200 кэВ рассчитан-

ное протон-нейтронное взаимодействие в каналах

ные распределения S_ИАР (E_x) исчерпывают прак-

частица-дырка (ph) и частица-частица (pp), т.е.

протон-нейтронное T = 1 спаривание. В прибли-

тически 100% правилa сумм Ферми S_- - S₊ =

= N - Z. На рис. 3 показаны силовые функции

жении HF + BCS силовая функция определяет-

ся конфигурациями (n1f7/2 → p1f7/2) и (n1f7/2 →

возбуждений J^π = 0⁺ для изотопа⁵⁴Са. Пунк-

тирная кривая соответствует двухквазичастично-

→ p1f5/2), исчерпывающими соответственно 14% и

му (без эффективного NN-взаимодействия, но с

86% полной силы возбуждений N - Z. Таким об-

учетом нейтрон-нейтронного спаривания в основ-

разом, учет изовекторного отталкивательного вза-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

САМОСОГЛАСОВАННОЕ ОПИСАНИЕ ИЗОБАР-АНАЛОГОВЫХ РЕЗОНАНСОВ

479

S(ω), 1/МэВ

ИАР

⁵⁴Ca

-5

-4

-3

ω, 1/МэВ

Рис. 3. Силовая функция возбуждения ИАР (J^π = 0⁺) для изотопа⁵⁴Са, расcчитанная с ЭФП DF3-f + CQRPA:

пунктирная кривая - расчет в приближении HF + BCS; сплошная кривая - расчет с учетом эффективного протон-

нейтронного взаимодействия в каналах частица-дырка (ph) и частица-частица (pp).

ω_ИАР, МэВ

16.0

exp

15.5

DF3-f (V_exc = 0)

m₁/m₀ (V_exc = 0)

15.0

m₁/m₀

DD-ME1

14.5

PKO1

14.0

13.5

13.0

12.5

108

112

116

120

124

128

132

Рис. 4. Энергии ИАР относительно основного состояния родительского ядра в изотопах Sn в сравнении с экспери-

ментом [30]. Сплошная линия с заполненными кружками - DF3-f + CQRPA расчет, штриховая кривая с открытыми

кружками - оценка по правилу сумм (21) без учета кулоновского обмена, пунктирная с заполненными ромбами -

оценка по правилу сумм с учетом кулоновского обмена в локальном приближении,штриховая со звездами - DD-ME1 +

+ RQRPA расчет [9], штрих-пунктирная линия с открытыми ромбами - PKO1 + RQRPA-расчет [21], треугольники -

экспериментальные энергии.

имодействия в канале частица-дырка и протон-

при более высокой энергии близкой к средней

кулоновской энергии дочернего ядра.

нейтронного притягательного взаимодействия в ка-

Игнорирование NN-взаимодействия в pp-

нале частица-частица (S = 0, T = 1 динамиче-

канале нарушает SO(8)-симметрию уравнений

ское спаривание) приводит к концентрации силы в

pnQRPA для изменения матрицы плотности, опре-

одном изолированном состоянии, расположенном

деляющих отклик системы на внешнее зарядово-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

480

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

обменное поле. Их симметрия понижается до SU(4)

Таблица 4. Энергия возбуждения ИАР E_x в четных

или SU(2)∗ SU(2) уравнений BCS + RPA. Кроме

изотопах Ca, Sn и Pb (МэВ)

того, в расчете без pp-взаимодействия сильное

отталкивание в ph-канале завышает энергию

E_x (DF3-f)

E_x(эксп.)

возбуждения ИАР в ядре

⁵⁴Са, а в силовой

⁴²Ca

0.09

0.00(160)

функции возбуждений Ферми появляются “духо-

вые” сателлиты ИАР. Хотя парные корреляции

⁴⁴Ca

2.84

2.786(160)

сверхпроводящего типа не нарушают изоспиновой

⁴⁶Ca

5.12

симметрии, их некорректный учет, в частности

игнорирование индуцированного изоскалярного

⁴⁸Ca

6.67

6.677(160)

NN-взаимодействия спаривательного типа [32],

⁵⁰Ca

11.24

может сохранять фрагментацию силы ИАР, что

⁵²Ca

12.42

является ложным эффектом и противоречит экспе-

риментальным сечениям реакции (p, n), в которых

⁵⁴Ca

14.55

ИАР проявляется как узкий одиночный резонанс.

¹¹⁰Sn

5.13

¹¹²Sn

6.27

6.16(3)

4.2. Изотопы Sn

¹¹⁴Sn

7.15

7.28(3)

Для изотопов олова с A = 11-124 имеются

¹¹⁶Sn

8.56

8.36(3)

экспериментальные данные об энергиях и силовых

¹¹⁸Sn

9.60

9.33(3)

функциях ИАР и ГТР, полученные из (³He, t)-

¹²⁰Sn

10.49

10.24(3)

реакции [30]. На рис. 4 для цепочки изотопов Sn

приведены энергии ИАР (относительно основных

¹²²Sn

11.41

11.24(3)

состояний родительских ядер) в сравнении с экс-

¹²⁴Sn

12.16

12.19(3)

периментом и оценками, полученными из правила

сумм для первого и нулевого моментов (32), (37).

¹²⁶Sn

13.08

¹²⁸Sn

13.94

Как видно из рис. 4, расчет в DF3-f + CQRPA

в основном воспроизводит массовую зависимость

¹³⁰Sn

14.87

экспериментальных энергий ИАР в изотопах Sn

¹³²Sn

15.6

0.2

при заполнении оболочек 2d5/2, 1g7/2, 3s1/2 (N =

= 60-66), и оболочки 1h11/2 (N = 74-82). Имеет

¹⁸⁴Pb

5.86

место небольшая переоценка энергий ИАР (мак-

¹⁹²Pb

9.18

симальное отклонение от экспериментальных зна-

²⁰⁰Pb

12.04

чений составляет +200 кэВ, cм. табл. 4). В реля-

тивистских расчетах [9] и [21], напротив, наблю-

²⁰⁴Pb

13.46

дается недооценка энергий ИАР (максимальные

²⁰⁸Pb

15.09

15.1

отклонения от эксперимента -200 и -600 кэВ

соответственно). Во всех трех расчетах зависи-

²¹²Pb

18.50

мость энергии ИАР от массового числа A близка к

полученной из правила сумм (16), (21). Однако для

4.3. Изотопы Pb

A = 116-122 в работах [9, 21] эта зависимость бо-

лее плавная. Это может объясняться различием в

На рис. 5

приведены результаты расчета

си-

описании T = 1 спаривания в основном состоянии.

ловых функций J^π = 0⁺-возбуждений в изотопах

В нашей работе используется дельта-функционное

184-212Рb. Как видно, независимо от степени за-

спаривание всего с одним силовым параметром,

полнения нейтронных орбиталей в диапазоне N =

зависящим от A, тогда как в [9, 21] - взаимодей-

= 102-130 самосогласованный DF3-f + CQRPA-

ствие Гони конечного радиуса, состоящее из двух

расчет, в котором учтено спаривание в основном

гауссиан. Важно отметить, что, как и в расчете раз-

состоянии как нейтрон-нейтронное (S = 0, T = 1),

ностей энергий связи зеркальных ядер, предполо-

так и протон-нейтронное спаривание (S = 0, T =

жение о полной экранировке кулоновского обмена

= 1), дает одиночные пики ИАР.

в изотопах Sn несколько завышает энергии ИАР.

На рис. 6 приведены результаты расчета си-

Наконец, используемое приближение для двухча-

стичного спин-орбитального взаимодействия мо-

ловых функций J^π = 0⁺-возбуждений для изотопа

жет приводить к неполному согласованию.

¹⁸²Рb. Как видим, в полностью самосогласованных

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

САМОСОГЛАСОВАННОЕ ОПИСАНИЕ ИЗОБАР-АНАЛОГОВЫХ РЕЗОНАНСОВ

481

S ^(-)(E_x), МэВ

²⁰⁸Pb

²⁰⁰Pb

¹⁹²Pb

ИАР

²¹²Pb

100

¹⁸⁴Pb

E_x, МэВ

Рис. 5. Силовые функции ИАР для четных изотопов Pb в зависимости от энергии возбуждения дочернего ядра Ex.

S(ω), МэВ

S(ω)

ИАР

182

HF + BCS + QRPA (V_exc = 0)

HF + RPA (V_exc = 0)

S(ω)

HF + BCS + QRPA

S₀(ω)

HF + BCS (V_exc = 0)

HF (V_exc = 0)

(ω)

HF + BCS

19.5

20.0

ω, МэВ

Рис. 6. Силовые функции S(ω) и S0(ω) результаты J^π = 0⁺-возбуждений для изотопа¹⁸²Рb.

RPA и QRPA сильно фрагментированная одноча-

Вклад в энергию ИАР от спин-орбитального

стичная сила ИАР “собирается” в отдельный пик.

взаимодействия отсутствует, поскольку в функци-

Без учета экранировки обменного кулоновского

онале DF3-f спин-орбитальная константа κ^′ = 0.

взаимодействия энергия ИАР уменьшается.

Однако энергия ИАР в²⁰⁸Pb, рассчитанная в

Для эталонного изотопа²⁰⁸Pb рассчитанная

этой работе, ниже экспериментальной от 200 до

энергия (E_th = 15.090 МэВ) хорошо согласуется с

900 кэВ. Для сравнения, в работе [21] энергия ИАР

экспериментальной E_x = 15.172 ± 0.020 МэВ [31]

на 300-600 кэВ ниже экспериментальной.

(см. табл. 4). При этом вклад в энергию ИАР

от учета корреляционной кулоновской энергии со-

Результаты наших самосогласованных расчетов

ставляет ΔE_c ≤ 350 кэВ, по сравнению со сдвигом

в изотопах Ca, Sn, Pb систематизированы в табл. 4

около 100 кэВ, полученным за счет феноменологи-

и показаны на рис. 7. Как можно видеть, отклоне-

ческой поправки протонных энергий в работе [18].

ние энергий ИАР от экспериментальных данных в

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

482

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

ω, МэВ

110

120

130

190

200

210

Рис. 7. Энергия возбуждения ИАР для изотопов Ca, Sn и Pb. (Открытые символы - наша теория, черные треуголь-

ники - эксперимент).

изотопах Са составляет от 3 до 56 кэВ, тогда как

свидетельствует об эффективном восстановлении

в Sn оно от -30 до 200 кэВ, и всего -82 кэВ в

изоспиновой симметрии, нарушенной в приближе-

²⁰⁸Pb. В рассмотренных изотопах исчерпывается

нии HF + BCS.

97-98% правила сумм для матричных элементов

При выключенном NN-взаимодействии в ка-

S_-S₊ = N - Z.

нале частица-частица (S = 0, T = 1) в силовой

функции ИАР остаются сателлиты, отражающие

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

нарушение изоспиновой симметрии. Ложные со-

стояния вносят заметный вклад в правило сумм.

В рамках обобщенной теории конечных ферми-

В моделях без учета динамического S = 0 и S =

систем развит полностью самосогласованный

= 1 спаривания искажаются силовые функции не

подход DF3-f

+ pnCQRPA-подход к описа-

только изоспиновых, но и спин-изоспиновых воз-

нию изобар-аналоговых резонансов в нейтронно-

буждений. Особенно заметный эффект наблюда-

избыточных ядрах с развитым спариванием. Рас-

ется для гамов-теллеровских возбуждений как в

считанные свойства ИАР в тяжелых изотопах Ca,

окне β⁺-распада, так и β^--распада. Это сказыва-

Sn и Pb сравнены с результатами предыдущих

ется, в частности, на интегральных характеристи-

самосогласованных расчетов [9, 13, 18, 21]. Расче-

ках β-распада. Так, например, в модели FRDM +

ты характеристик ИАР являются чувствительным

+ PRA [32] присутствует характерное усиление

тестом восстановления изоспиновой симметрии.

Основной источник ее нарушения в полностью

четно-нечетного эффекта в периодах β^--распада,

согласованном расчете — взаимодействие Кулона.

особенно заметное для изотонов с N = 28, 50, 82,

Особенно важен корректный учет вклада ко-

важных для моделирования r-процесса нуклеосин-

теза.

роткодействующих ядерных корреляций [7, 23] в

обменную компоненту кулоновского взаимодей-

Следует отметить, что в самосогласованном

ствия. Ограничения на параметры экранировки

подходе, основанном на ЭФП Фаянса, наряду

V_exc, полученные из разностей зарядовых радиу-

с характеристиками ядерной материи с хорошей

сов пар зеркальных ядер повышают надежность

точностью описываются ядерные массы и ра-

расчетов ИАР. В целом, использование нового

диусы [24]. Поэтому в настоящих расчетах не

ЭФП DF3-f эффективно увеличивает энергию

возникает противоречий между оценками энергий

ИАР в рассмотренных изотопических цепочках, в

ИАР, величины “нейтронной шубы” и энергии

значительной степени компенсируя ее недооценку

симметрии, имеющих место для многих парамет-

в самосогласованных расчетах [9, 11, 21].

ризаций функционала Скирма. Это важно для

Во всех рассмотренных изотопах в самосогла-

согласованности ядерно-структурных и астрофи-

сованном DF + pnCRPA расчете наблюдается

зических расчетов, так как E_symm — необходимый

вырождение энергий ИАР и изобарических парт-

ингредиент моделирования r-процесса нуклеосин-

неров. Полученное разумное описание имеющихся

теза, происходящего при слиянии нейтронных

экспериментальных и эмпирических энергий ИАР

звезд и в коллапсирующих сверхновых.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

САМОСОГЛАСОВАННОЕ ОПИСАНИЕ ИЗОБАР-АНАЛОГОВЫХ РЕЗОНАНСОВ

483

И.Н.Б. благодарен за дискуссии Н. Ван Джаю

18.

X. Roca-Maza, L.-G. Cao, G. Col `o, and H. Sagawa,

(N. Van Giai) и участникам франко-российской

Phys. Rev. C 94, 044313 (2016).

встречи “Meeting on New Avenues in Low-Energy

19.

P.-G. Reinhard and H. Flocard, Nucl. Phys. A 584,

Nuclear Physics” в IPN Oрсэ, 14-16 ноября 2018.

467 (1995).

Работа поддержана грантом Российского научного

20.

J. F. Berger, M. Girod, and D. Gogny, Nucl. Phys. A

фонда (РНФ 16-12-10161).

428, 25 (1984).

21.

Z. M. Niu, Y. F. Niu, H. Z. Liang, W. H. Long, and

J. Meng, Phys. Rev. C 95, 044301 (2017).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

22.

S. G. Rohozinski, J. Dobaczewski, and

N. Auerbach, Phys. Rept. 98, 273 (1983).

W. Nazarewicz, Phys. Rev. C 81, 014313 (2010).

F. Osterfeld, Rev. Mod. Phys. 64, 491 (1992).

23.

A. Bulgac and V. R. Shaginyan, Nucl. Phys. A 601,

B. L. Birbrair, Nucl. Phys. A 108, 449 (1968).

103 (1996).

Bui Minh Loc, N. Auerbach, and G. Col `o, Phys. Rev.

24.

Э. E. Саперштейн, С. В. Толоконников, ЯФ 79, 703

C 99, 014311 (2019).

(2016) [Phys. At. Nucl. 79, 1030 (2016)].

I. N. Borzov, S. A. Fayans, E. Kr ¨omer, and

25.

А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и

D. Zawischa, Z. Phys. A 355, 117 (1996).

свойства атомных ядер (Наука, Москва, 1983).

S. A. Fayans, S. V. Tolokonnikov, E. L. Trykov, and

D. Zawischa, Nucl. Phys. A 676, 49 (2000).

26.

D. J. Horen, G. R. Satchler, S. A. Fayans, and

С. A. Фаянс, Письма в ЖЭТФ 68, 161 (1998)

E. L. Trykov, Nucl. Phys. A 600, 193 (1996).

[JETP Lett. 68, 169 (1998)].

27.

J. A. Nolen, Jr. and J. P. Schiffer, Ann. Rev. Nucl. Sci.

Э. E. Саперштейн, С. В. Толоконников, ЯФ 74,

19, 471 (1969).

1306 (2011) [Phys. At. Nucl. 74, 1277 (2011)].

28.

https://www.nndc.bnl.gov/nudat2

N. Paar, T. Nik ˇsi ´c, D. Vretenar, and P. Ring, Phys.

29.

K. Yako, M. Sasano, K. Miki, H. Sakai, M. Dozono,

Rev. 69, 054303 (2004).

D. Frekers, M. B. Greenfield, K. Hatanaka, E. Ihara,

10.

И. Н. Борзов, Е. Л. Трыков, С. А. Фаянс, ЯФ 52,

M. Kato, T. Kawabata, H. Kuboki, Y. Maeda,

985 (1990) [Sov. J. Nucl. Phys. 52, 627 (1990)].

H. Matsubara, K. Muto, and S. Noji, Phys. Rev. Lett.

11.

G. Col `o, H. Sagawa, N. Van Giai, P. F. Bortignon, and

103, 012503 (2009).

T. Suzuki, Phys. Rev. C 57, 3049 (1998).

30.

R. Pham, J. J ¨anecke, D. A. Roberts, M. N. Harakeh,

12.

G. V. Kolomiytsev, M. L. Gorelik, and M. H. Urin,

G. P. A. Berg, S. Chang, J. Liu, E. J. Stephenson,

Eur. Phys. J. 54, 228 (2018).

B. F. Davis, H. Akimune, and M. Fujiwara, Phys. Rev.

13.

H. Liang, N. Van Giai, and J. Meng, Phys. Rev. Lett.

C 51, 526 (1995).

101, 122502 (2008).

31.

D. J. Horen, C. D. Goodman, C. C. Foster,

14.

И. Н. Борзов, С. А. Фаянс, Препринт-ФЭИ-1129

C. A. Goulding, M. B. Greenfield, J. Rapaport,

(1980).

D. E. Bainum, E. Sugarbaker, T. G. Masterson,

15.

Н. И. Пятов, С. A. Фаянс, ЭЧАЯ 14, 953 (1983).

F. Petrovich, and W. G. Love, Phys. Rev. Lett. B 95,

16.

В. A. Родин, M. Г. Урин, ЯФ 66, 2178 (2003) [Phys.

27 (1980).

At. Nucl. 66, 2128 (2003)].

32.

P. M ¨oller, B. Pfeiffer, and K.-L. Kratz, Phys. Rev. C

17.

S. A. Fayans, E. L. Trykov, and D. Zawischa, Nucl.

Phys. A 568, 523 (1994).

67, 055802 (2003).

SELF-CONSISTENT STUDY OF ISOBARIC ANALOG RESONANCES

IN NEUTRON-RICH NUCLEI WITH PAIRING

I. N. Borzov1),2), S. V. Tolokonnikov1),3)

¹⁾National Research Center “Kurchatov Institute”, Moscow, Russia

²⁾Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics, Joint Institute for Nuclear Research, Dubna,

Russia

³⁾Moscow Institute of Physics and Technology (State University), Dolgoprudny, Russia

The self-consistent approach is developed to the isobaric analog resonances (IAR) in the neutron-rich

nuclei with paring correlations. A continuum quasiparticle random-phase approximation is used, based on

a new modification of the energy density functionals proposed earlier by Fayans and collaborators. The IAR

properties in heavy isotopes of Ca, Sn and Pb both close to doubly-magic ones and those with developed

neutron pairing are calculated. A comparison is made with the calculations in the self-consistent models

with various relativistic functionals and Skyrme functionals.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019