ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2019, том 82, № 6, с. 484-494

ЯДРА

ГРАНИЦА НЕЙТРОННОЙ СТАБИЛЬНОСТИ ЯДЕР В ОКРЕСТНОСТИ

НЕЙТРОННОГО МАГИЧЕСКОГО ЧИСЛА N = 184

Поступила в редакцию 12.06.2019 г.; после доработки 12.06.2019 г.; принята к публикации 12.06.2019 г.

Проведены расчеты свойств основного состояния четно-четных ядер в широкой области массовых

чисел, включая ядра с нейтронным избытком в окрестности нейтронной границы стабильности.

Расчеты свойств этих ядер основаны на методе самосогласованного релятивистского и нерелятивист-

ского среднего поля при учете аксиальной деформации ядер. Особое внимание уделялось ядрам за

пределами теоретически известной границы нейтронной стабильности, которые образуют в (N, Z)-

пространстве при N = 184 полуостров ядер, стабильных по отношению к испусканию одного или двух

нейтронов.

DOI: 10.1134/S0044002719060126

1. Изучение структуры ядер c экстремальным

числа нейтронов в цепочке изотопов определя-

нейтронным избытком (ЭНИ) [1] и детализация

ется последний изотоп, имеющий положительное

знаний о положении и форме границы нейтронной

значение энергии отрыва одного нейтрона. Такая

стабильности (ГНС) являются одними из важ-

процедура основана на предположении, что любая

ных направлений исследований ядерной физики.

прямая линия в пространстве переменных (N, Z),

Эксперименты с использованием радиоактивных

которая соответствует фиксированному числу про-

пучков, проводимые в разных лабораториях мира,

тонов Z, пересекает линию, изображающую ГНС,

позволяют изучать свойства экзотических ядер,

только один раз. Если предположить, что форма

которые значительно удалены от долины стабиль-

линии, изображающая эту границу, имеет более

ности и имеют большое значение N/Z. В ближай-

сложную структуру, тогда исследование нейтрон-

шем будущем завершение строительства центров

ной стабильности необходимо продолжить далеко

для изучения свойств экзотических ядер [1] создаст

за пределы ГНС. В наших работах [8-14] было

новые возможности для приближения к границе

показано, что в окрестности нейтронных магиче-

существования атомных ядер.

ских чисел при фиксированном Z с возрастанием

К настоящему времени одним из наиболее

N в точках пространства (N,Z), соответствующих

фундаментальных теоретических подходов для

ГНС, ядра теряют нейтронную стабильность. При

изучения свойств ядер с избытком нейтронов и

последующем добавлении к изотопу некоторого

определения положения ГНС является подход,

числа нейтронов стабильность изотопов восста-

основанный на использовании метода Хартри-

навливается, что приводит к образованию полуост-

Фока (ХФ) или метода Хартри-Фока-Боголюбова

рова стабильности на (N, Z)-диаграмме.

(ХФБ)

[2,

3] с эффективными силами, либо

В работах [8-14] на основе метода ХФ с эф-

использование релятивистской теории Хартри-

фективными силами Скирма с учетом аксиальной

Боголюбова (РХБ) [4-6]. Вопрос о существовании

деформации и спаривания в приближении БКШ

островов или полуостровов нейтронной стабиль-

мы исследовали возможность существования ост-

ности (ПОС) ядер с очень большим избытком

ровов или полуостровов стабильности ядер с очень

нейтронов за пределами ГНС ядер обычно не

большим избытком нейтронов за пределами ГНС

рассматривается, так как предполагается [7], что за

ядер. Наши расчеты показали проявление каче-

пределами ГНС ядра не могут быть стабильными

ственного эффекта для ядер с экстремально боль-

по отношению к испусканию одного или двух

шим избытком нейтронов в окрестности магиче-

нейтронов.

ских чисел и “новых” магических чисел N = 32,

Определение положения ГНС обычно заключа-

58, 82, 126, 184, 258, который заключается в том,

ется в том, что при последовательном возрастании

что за пределами ГНС предсказывается существо-

¹⁾Национальный научный центр “Харьковский физико-

вание ПОС. Положение этих ПОС наблюдается

технический институт”, Украина.

при одних и тех же N в пространстве (N, Z) и

^*E-mail: vtarasov@kipt.kharkov.ua

не зависит от выбора рассмотренных нами сил

484

ГРАНИЦА НЕЙТРОННОЙ СТАБИЛЬНОСТИ ЯДЕР

485

Скирма. От выбора параметризации сил Скирма

уравнений Дирака в коде DIRHBZ, также, как и в

зависит протяженность ПОС и координаты N и

наших расчетах [8-14] на основе метода ХФ с си-

Z окончания ПОС в пространстве (N, Z). Теоре-

лами Скирма, используется разложение однонук-

тически предсказанные в наших расчетах ПОС в

лонных волновых функций по базису собственных

окрестности магических чисел вблизи ГНС и за ее

волновых функций аксиально-деформированного

пределами представляют собой проявление оболо-

гармонического осциллятора. В этом разложении

чечных эффектов, так как восстановление нейтрон-

учитывались все базисные функции, для которых

ной стабильности рассмотренных изотопов далеко

главное осцилляторное квантовое число не пре-

за пределами 2n ГНС и формирование ПОС за

вышает N_f = 18 (1330 базисных функций). При

пределами ГНС связано с полным заполнением

решении уравнений Клейна-Гордона для мезон-

нейтронных подоболочек с большой величиной ор-

ных полей (в расчетах с взаимодействием DD-

битального момента [8-14].

ME2) также использовался базис волновых функ-

Очевидно, что использование метода ХФ с эф-

ций аксиально-деформированного гармонического

фективными силами Скирма для описания свойств

осциллятора с теми же частотами ω_r и ω_z, что и

ядер с экстремальным избытком нейтронов вблизи

для однонуклонных волновых функций. При этом

ГНС и за ее пределами представляет собой экс-

использовалась большая размерность базиса N_b =

траполяцию как наших знаний о свойствах сил, так

= 20 (1771 базисных функций). Наши расчеты по-

и возможность применения используемого метода

казали, что для рассматриваемой области массо-

расчетов в область, очень удаленную от долины

вых чисел ядер такие размерности базиса доста-

стабильности. Это приводит к необходимости в

точно большие. Это минимизирует влияние выбора

проведении дополнительных исследований устой-

осцилляторных параметров базиса на результаты

чивости полученных нами результатов для экстре-

расчетов. При вычислении матричных элементов

мально удаленных от долины стабильности ядер.

нами, как и в оригинальном коде, использовалось

Если полученные результаты, заключающиеся в

48 узлов квадратурных формул Гаусса-Лагерра и

существовании ПОС за пределами ГНС, являются

Гаусса-Эрмита.

общим свойством ядер в рассматриваемой области

Kод DIRHBZ позволяет решать систему урав-

N и Z, тогда можно ожидать аналогичного про-

нений Дирака-Хартри-Боголюбова с наложенны-

явления оболочек с большим значением орбиталь-

ми условиями на квадрупольную деформацию ядер.

ного момента и в других подходах, основанных на

Для определения наиболее связанного состояния

представлении о среднем поле, таких как ХФБ и

ядра все расчеты свойств рассмотренных нами ядер

РХБ.

были выполнены с наложенными условиями на па-

Целью данной работы является исследование

раметр квадрупольной деформации β₂ в интервале

качественного эффекта - предсказания существо-

-0.4 ≤ β₂ ≤ 0.7. Для более точного определения

вания ПОС для ядер с экстремально большим

минимального значения полной энергии ядра E

избытком нейтронов в окрестности магического

проводились уточняющие расчеты без наложен-

числа N = 184 за пределами ГНС на основе РХБ

ных условий в окрестности минимума зависимости

с современными моделями лагранжианов DD-PC1

E(β₂).

и DD-МЕ2 [15, 16]. Выбор магического числа N =

Спаривание нуклонов в используемом нами ко-

= 184 связан с тем, что в наших расчетах для сил

де описывается сепарабельным парным взаимо-

Скирма [11-14] было показано, что для этого числа

действием конечного радиуса действия следующего

протяженность ПОС в пространстве (N, Z) была

вида:

наибольшей.

(

)

Vn(p)

r₁σ₁,r₂σ₂,r′1σ′1,r′2σ′2

(1)

2. В данной работе были изучены свойства ос-

новного состояния четно-четных изотопов в ши-

= Gn(p)δ(R - R^′)P(r)P(r^′)

(1 - P_σ),

рокой области массовых чисел, включая ядра с

нейтронным избытком в окрестности ГНС на ос-

где P_σ — оператор перестановки спинов, Gn(p) -

нове метода РХБ с использованием современ-

константа сил спаривания для нейтронов (прото-

ных моделей лагранжианов DD-PC1 и DD-ME2.

нов) и r = r₁ - r₂, R = (r₁ + r₂)/2 — относитель-

Особенное внимание уделено расчетам свойств

ный радиус-вектор и радиус-вектор центра масс

ядер с экстремально большим избытком нейтро-

нов в окрестности магического числа N = 184 за

взаимодействующих нуклонов, а функция P (r)

определяется гауссианом

пределами ГНС. Для расчетов мы использовали

компьютерный код DIRHBZ из пакета программ

P (r) = (4πa²)-3/2e-r2/4a2 ,

(2)

DIRHB [17]. Код DIRHBZ позволяет решать си-

стему стационарных уравнений Дирака-Хартри-

где a определяет эффективную область действия

Боголюбова методом итераций в предположении

сил спаривания. Результаты расчетов, представ-

аксиальной симметрии формы ядра. При решении

ленные в настоящей работе, получены с парамет-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

486

ТАРАСОВ и др.

SkM*

240

N = 184

Эксп.

ХФ

ХФБ

140

160

180

200

DD-PC1

246

N = 184

Эксп.

РХБ

РХБ [5]

140

160

180

200

Рис. 1. (N, Z)-диаграмма атомных ядер. а - ХФ-расчеты с силами Скирма SkM*, б - РХБ-расчеты для взаимодействия

DD-PC1. Светлые квадратики - стабильные ядра по отношению к испусканию одного нейтрона в наших расчетах.

Сплошная кривая и черные квадраты - 1n ГНС, полученная на основе расчетов методом ХФБ [3] с силами SkM*, и

РХБ-расчеты [5] с взаимодействием DD-PC1. Точечные линии - магическое число N = 184. Область серого цвета -

известные из эксперимента атомные ядра.

рами спаривательного взаимодействия (1) G_n =

где f(Z) ≥ 1 — численный коэффициент, который

= G_p = -728 МэВ Фм³, a = 0.644 Фм, которые

зависит от рассматриваемого диапазона ядер. Од-

используются в оригинальном коде DIRHBZ и в

нако, как показано в работе [18], такие параметры

работах разных авторов. Отметим, что в работе [5]

сил спаривания не обеспечивают описание резких

проведены обширные расчеты свойств ядер от про-

изменений величин среднеквадратичных радиусов

тонной границы стабильности до ГНС в диапазоне

нейтроноизбыточных изотопов Sr и Zr в окрест-

2 ≤ Z ≤ 118длявзаимодействия(1)спараметрами

ности N = 60. В [18] показано, что использова-

Gn = Gp = -f(Z) ∗ 738 МэВ Фм³, a = 0.636 Фм,

ние параметров G_n = G_p = -728 МэВ Фм³, a =

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

ГРАНИЦА НЕЙТРОННОЙ СТАБИЛЬНОСТИ ЯДЕР

487

= 0.644 Фм более предпочтительно по сравнению

область дискретных связанных состояний [11-15].

с упомянутыми выше параметрами.

Для сил SkM* и N = 184 при полном заполнении

Распределения плотности нейтронов и протонов

нейтронной подоболочки 1j15/2 окончание ПОС

ядер, образующих ПОС, обладают сферической

образует ядро²⁴⁰Ba. В наших РХБ-расчетах с DD-

симметрией [8-14]. Поэтому для ПОС одновре-

PC1 и N = 184 при полном заполнении нейтронной

менно с расчетом в DIRHBZ мы проводили допол-

подоболочки 1j15/2 окончание ПОС образует ядро

нительные расчеты непосредственно в координат-

²⁴⁶Sm (рис. 1б).

ном пространстве в предположении сферической

Положение окончания всех ПОС в простран-

симметрии, как в работе [19]. Это представляет

стве (N, Z) определяется выбором типа парамет-

интерес, так как в случае сферической симметрии

ризации сил Скирма (для ХФ) или типом лагран-

ядер вычислять такие характеристики, как распре-

деления плотности нуклонов и потенциалы ядер,

жиана (для РХБ) и зависит от расположенной

точнее и существенно проще в координатном про-

высоко по энергии части спектра нейтронных ква-

странстве, чем в DIRHBZ.

зисвязанных состояний с большим угловым мо-

ментом, который генерируется данным типом сил

3. Рассмотрим результаты, полученные в наших

расчетах.

в ХФ-расчетах или типом лагранжиана в расчетах

РХБ. Как видно из рис. 1, эффект образования

На рис. 1 приведены (N, Z)-диаграммы атом-

ПОС за пределами ГНС в окрестности магиче-

ных ядер, на которых представлены наши ХФ-

ского числа N = 184 обладает устойчивостью по

расчеты [11] и ХФБ-расчеты [3] для параметри-

отношению к типу расчетов. Внедрение некоторых

зации сил Скирма SkM^∗ [20] (рис. 1а), а также

квазисвязанных состояний с большим угловым мо-

настоящие расчеты РХБ в сравнении с данными [5]

ментом в область дискретных связанных состояний

для расчетов с лагранжианом DD-PC1 (рис. 1б).

при фиксированном значении N будет происхо-

Подобные диаграммы были получены нами ранее

дить при разных значениях Z для разных типов

для разных типов параметризации сил Скирма [12,

параметризации сил (для ХФ-расчетов) или ти-

13]. Область (N, Z)-диаграммы, выделенная се-

пов лагранжианов (для РХБ-расчетов). Для РХБ-

рым цветом, показывает известные из эксперимен-

расчетов этот эффект виден на рис. 2, на котором

та атомные ядра. Точечной линией показано ма-

показаны энергии отрыва одного нейтрона S_n для

гическое число N = 184. Сплошные линии, соеди-

цепочки изотонов с N = 184 в зависимости от Z,

няющие черные квадратики, показывают 1n ГНС,

полученные в расчетах с лагранжианами DD-PC1

полученные на основе расчетов ХФБ [3] с силами

и DD-ME2. На этом рисунке стрелками отмечены

SkM^∗ и с РХБ [5] с лагранжианом DD-PC1. В

ядра в окрестности окончания ПОС. Положение

наших расчетах положение 1n ГНС определялось

окончания ПОС определяется спектром одноча-

из условия, что энергии отрыва одного нейтрона

стичных состояний, порождаемых в РХБ-расчетах

S_n ≥ 0. В данных расчетах величины S_n, также

тем или иным типом лагранжиана.

как в работах [8-14], получены в предположе-

Энергии отрыва одного нейтрона, оцененные с

нии справедливости теоремы Купмана и поэтому

помощью теоремы Купмана, для окончаний ПОС

могут рассматриваться как приближенная оценка

представляют собой малые величины. Поэтому

величины энергии отрыва одного нейтрона. Сколь

для таких слабосвязанных состояний желатель-

угодно близкое к нулю положительное значение S_n

но проводить дополнительные проверочные рас-

свидетельствует о связанности ядра по отноше-

четы. Для ПОС при N = 184 РХБ-решения, как

нию к испусканию нейтрона. Отметим, что ГНС,

мы увидим далее, обладают сферической формой

обозначенная на рис. 1а темными квадратиками,

распределения плотности нейтронов и протонов.

определялась из условия достижения λ_n ≤ 0 [3],

Это предоставляет нам возможность в релятивист-

где λ_n - нейтронный химический потенциал.

ских расчетах использовать сферическое прибли-

На рис. 1а светлые квадратики показывают об-

жение [19], что позволяет проводить дополнитель-

наруженные нами в ХФ-расчетах с силами SkM*

ные проверочные вычисления одночастичных энер-

ядра, стабильные по отношению к испусканию

гетических спектров сферических ядер на основе

одного нейтрона и ПОС, образованный такими

другого вычислительного алгоритма, а также удоб-

ядрами. Положение ПОС в пространстве (N, Z)

но для представления потенциалов в координатном

устойчиво по отношению к выбору эффективных

пространстве. На рис. 3 представлены полученные

сил [12-15]. Обсуждаемый ПОС образуется при

в расчетах в координатном представлении на осно-

одних и тех же значениях числа N = 184. Как

ве метода [19] последний заполненный одночастич-

уже отмечалось, восстановление стабильности для

ный уровень 1j15/2 с энергией E_n = -0.253 МэВ

изотонов, образующих ПОС за пределами 1n ГНС,

для изотопа²⁵²Er с взаимодействием DD-ME2

связано с полным заполнением нейтронных под-

и соответствующий состоянию 1j15/2 потенциал

оболочек с большим угловым моментом и с внед-

рением соответствующих нейтронных уровней в

U_n(r). Для сферического изотопа²⁵²Er расчеты

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

488

ТАРАСОВ и др.

S_n, МэВ

DD-PC1

²⁶⁶Pb

DD-ME2

²⁶⁶Pb

²⁴⁸Gd

²⁴⁶Sm

²⁵²Er

²⁵⁰Dy

²⁴⁴Nd

-1

Рис. 2. Энергии отрыва одного нейтрона Sn в зависимости от Z, полученные в РХБ-расчетах для взаимодействия

DD-PC1 (■) и DD-ME2 (•) для цепочки изотонов с N = 184.

U_n(r), МэВ

²⁵²Er, DD-ME2

8.55 Фм

r, Фм

-5

= -0.253 МэВ

15/2

−10

−15

Рис. 3. Последний заполненный нейтронный одночастичный уровень 1j15/2 и соответствующий состоянию 1j15/2 РХБ-

потенциал U(r) для²⁵²Er (взаимодействие DD-ME2, энергия уровня 1j15/2 - 0.253 МэВ, высота барьера 8.55 МэВ).

с кодом DIRHBZ дают близкое значение энер-

с взаимодействием DD-PC1 для широкого диапа-

гии E_n = -0.301 МэВ для одночастичного уровня

зона массовых чисел A - от изотопов, близких

1j15/2. Это указывает на хорошую точность расче-

к границе протонной стабильности, до ГНС и за

тов характеристик ядер, принадлежащих ПОС.

пределами ГНС, включая изотоп²⁴⁸Gd, который

Рассмотрим более подробно результаты, полу-

принадлежит полуострову стабильности.

ченные в РХБ-подходе, для цепочки изотопов Gd

На рис. 4 представлены результаты расчетов

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

ГРАНИЦА НЕЙТРОННОЙ СТАБИЛЬНОСТИ ЯДЕР

489

S_n, МэВ

РХБ (DD-PC1)

Эксп.

ХФ (SkM*)

N = 82

²⁴⁸Gd

-2

N = 126

N = 184

-4

140

160

180

200

220

240

260

S2n, МэВ

РХБ (DD-PC1)

Эксп.

ХФ (SkM*)

N = 82

²⁴⁸Gd

N = 126

-5

N = 184

140

160

180

200

220

240

260

Рис. 4. Свойства изотопов Gd в зависимости от массового числа A, рассчитанные методом РХБ с взаимодействием

DD-PC1 и методом ХФ для сил SkM^∗: a - энергии отрыва одного нейтрона Sn; б - энергии отрыва двух нейтронов S2n.

Светлые звездочки - экспериментальные данные [21].

энергий отрыва одного нейтрона S_n и двух нейтро-

РХБ- и ХФ-расчетах величин S_n и S2n с экспе-

нов S2n изотопов Gd для РХБ-расчета с DD-PC1

риментальными данными [21] приблизительно оди-

в сравнении с расчетом ХФ с силами SkM^∗ [11]

наковое. Приведенные на рис. 4а S_n представляют

собой приближенные оценочные величины, полу-

и имеющимися экспериментальными данными [21].

ченные в предположении справедливости теоре-

Из рис. 4а видно, что для сил SkM^∗ 1n ГНС

мы Купмана. Представленные на рис. 4б энергии

соответствует изотопу²³⁰Gd, что находится за пре-

отрыва двух нейтронов S2n вычисляются более

делами 2n ГНС (²²²Gd), а изотопы246,248Gd при-

точно, чем S_n, так как определяются как S2n =

надлежат ПОС. Расчеты РХБ с DD-PC1 также

= B(Z,N) - B(Z,N = 2), где B — полная энер-

показывают, что за пределами 1n ГНС (²¹⁶Gd, см.

гия связи ядра, а B = -E. Из рис. 4б также видно,

рис. 4а) и 2n ГНС (²¹²Gd, см. рис. 4б) существует

что изотоп²⁴⁸Gd при N = 184 в ХФ-расчетах с си-

стабильный по отношению к испусканию одного

лами SkM^∗ стабилен по отношению к испусканию

нейтрона изотоп²⁴⁸Gd. Согласие вычисленных в двух нейтронов (S2n > 0), а в РХБ-расчетах с DD-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

490

ТАРАСОВ и др.

PC1 этот изотоп 2n нестабилен, но проявляется

E, МэВ

тенденция к росту величины S2n при N = 184.

−1405

Из рис. 4 видно, что зависимости S_n и S2n от

A испытывают характерные изломы, связанные с

-1410

проявлением магических чисел нейтронов N = 82,

126, 184. Отметим, что в наших расчетах для ядер

²⁴⁸Gd

с этими магическими числами нейтронов энергия

-1415

спаривания нейтронов равна нулю.

Как отмечалось ранее, в РХБ-расчетах для

всех рассмотренных нами изотопов проводились

-1420

вычисления с наложенными условиями зависимо-

сти полной энергии ядра от величины параметра

квадрупольной деформации β₂. Рассмотрим более

-1425

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

детально такие зависимости для некоторых ядер,

принадлежащих ПОС с N = 184. На рис. 5 при-

-1450

ведены полные энергии изотонов с экстремальным

нейтронным избытком с N = 184 в зависимости от

²⁵⁰Dy

-1455

величины параметра квадрупольной деформации

β₂ массового распределения плотности, получен-

ные в РХБ-расчетах для ядер²⁴⁸Gd,²⁵⁰Dy,²⁶⁶Pb.

−1460

Эти зависимости E(β₂) в РХБ-расчетах подобны

зависимостям E(β₂), которые были получены нами

-1465

в ХФ-расчетах с силами SkM* для²⁴⁸Gd,²⁵⁰Dy,

²⁶⁶Pb [22]. На рисунке сплошная и штриховая

линии соответственно показывают полную энергию

-1470

ядра для стабильного и нестабильного ядер по

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

отношению к испусканию одного нейтрона. Видно,

что для²⁴⁸Gd (рис. 5а) и²⁵⁰Dy (рис. 5б), как в

-1770

ХФ-расчетах с силами SkM*, диапазон стабиль-

ности по отношению к квадрупольной деформации

²⁶⁶Pb

-1780

β₂ очень узкий, что проявляется в трудности об-

наружения таких решений в численных расчетах.

Минимум кривой E(β₂) соответствует равновесной

-1790

сферической форме ядер, принадлежащих ПОС с

N = 184. Изотоп ²⁶⁶Pb с экстремальным нейтрон-

ным избытком и N = 184 в области пространства

-1800

(Z, N), соответствующего стабильным ядрам по

отношению к испусканию нейтронов, стабилен во

всем диапазоне рассмотренных β₂ и также име-

-1810

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

ет равновесную сферическую форму. Это соот-

β₂

ветствует представлениям о сферичности ядер с

магическим числом нейтронов N = 184.

На рис. 6 представлена зависимость параметра

Рис. 5. Зависимости полной энергии экстремально

квадрупольной деформации β₂ массового распре-

нейтроноизбыточных изотонов с N = 184 от величины

деления плотности изотопов Gd от A для расчетов

параметра квадрупольной деформации β2 массового

с лагранжианом DD-PC1 в сравнении с резуль-

распределения плотности, полученные в расчетах для

татами, полученными методом ХФ [11] с силами

взаимодействия DD-PC1 для ядер²⁴⁸Gd (а),²⁵⁰Dy (б)

SkM*. Черные квадратики обозначают β₂, полу-

и²⁶⁶Pb (в). Кривые: сплошная- стабильное состояние

ядра по отношению к испусканию одного нейтрона,

ченные в РХБ, а светлые кружочки - резуль-

штриховая - нестабильное состояние ядра по отноше-

таты ХФ-расчетов [11] с силами SkM*. Напо-

нию к испусканию одного нейтрона.

ловину черные квадратики и наполовину черные

кружочки показывают 1n-нестабильные изотопы

соответственно в расчетах РХБ и ХФ. Стрелка

показывает стабильный изотоп²⁴⁸Gd за пределами

β₂ в РХБ изменяют как величину, так и знак, и

ГНС в расчетах РХБ и ХФ. Для рассматривае-

в основном согласуются с данными расчетов ХФ

мого диапазона массовых чисел A вычисленные

для сил SkM* [11] для стабильных изотопов по

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

ГРАНИЦА НЕЙТРОННОЙ СТАБИЛЬНОСТИ ЯДЕР

491

β₂

РХБ (DD-PC1)

0.5

ХФ (SkM*)

0.4

0.3

0.2

0.1

²⁴⁸Gd

-0.1

-0.2

N = 126

N = 184

N = 82

-0.3

140

160

180

200

220

240

260

Рис. 6. Зависимости параметров квадрупольной деформации β2 массового распределения плотности изотопов Gd от A

для взаимодействия DD-PC1, рассчитанные методом РХБ (■), в сравнении с расчетом ХФ с силами Скирма SkM^∗ (◦).

Наполовину черные квадраты и кружочки - 1n-нестабильные изотопы.

отношению к испусканию одного нейтрона. Су-

черные и светлые треугольники обозначают соот-

щественное различие в величине β₂ имеет место

ветственно 〈r2n〉1/2 и 〈r2p〉1/2 для нейтроностабиль-

только для изотопов, нестабильных по отноше-

ных изотопов, а черные наполовину треугольники

нию к испусканию одного нейтрона. Это различие

〈r2n,p〉1/2 изотопов, нестабильных по отношению к

не представляет интерес, так как такие решения

испусканию нейтронов в ХФ-расчетах. Штриховая

не соответствуют связанным системам. На рис. 6

линия отмечает стабильный по отношению к ис-

штриховой линией показаны изотопы с магическим

пусканию одного нейтрона изотоп²⁴⁸Gd, который

числом нейтронов N = 82, 126, 184. Полученные

является частью ПОС для N = 184 в РХБ- и

в расчетах РХБ и ХФ параметры квадрупольной

ХФ-расчетах. Для всех изотопов Gd наблюдается

деформации β₂ этих изотопов равны нулю, что со-

хорошее согласие 〈r2n,p〉1/2, полученных на осно-

ответствует представлению о сферической форме

ве методов ХФ и РХБ. Исключение составляют

для магических ядер. Отметим еще раз сфериче-

нестабильные изотопы по отношению к испуска-

скую форму изотопа²⁴⁸Gd, который стабилен по

нию одного нейтрона, также как это было для

отношению к испусканию одного нейтрона в РХБ-

зависимости β₂(A). Из рисунка видно, что для ней-

и ХФ-расчетах, а также стабилен к испусканию

троноизбыточных изотопов Gd имеет место суще-

двух нейтронов в ХФ-расчетах с силами SkM* и

принадлежит окончанию ПОС при N = 184.

ственное превышение величины 〈r2n〉1/2 над 〈r2p〉1/2.

На рис. 7а представлены полученные в РХБ-

Превышение пространственной протяженности

расчетах с силами DD-PC1 среднеквадратичные

распределения плотности нейтронов по сравне-

нию с распределением плотности протонов удоб-

радиусы 〈r2n,p〉1/2 изотопов Gd в сравнении с дан-

но характеризовать разностью между нейтронны-

ными, полученными в ХФ-расчетах с силами Скир-

ми и протонными среднеквадратичными радиусами

ма SkM* [11]. На этом рисунке светлые и черные

ΔR_n,p = 〈r2n〉1/2 - 〈r2p〉1/2. На рис. 7б для изотопов

квадратики обозначают соответственно 〈r2n〉1/2 и

Gd представлена зависимость ΔR_n,p от A, полу-

〈r2p〉1/2 для нейтроностабильных изотопов, а черные

ченная нами в РХБ-расчетах с силами DD-PC1

наполовину квадратики обозначают 〈r2n,p〉1/2 изо-

и ХФ-расчетах с силами SkM*. Ядра, близкие к

топов, нестабильных по отношению к испусканию

долине стабильности, имеют величину ΔR_n,p, ко-

нейтронов в РХБ-расчетах. На этом же рисунке

торая изменяется в интервале от 0.1 до 0.2 Фм [23].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

492

ТАРАСОВ и др.

〈r

6.6

r_n РХБ

6.4

r_p РХБ

6.2

r_n ХФ

6.0

r_p ХФ

5.8

5.6

5.4

²⁴⁸Gd

5.2

5.0

4.8

140

160

180

200

220

240

260

ΔRn, p, Фм

1.0

0.8

ΔRn, p РХБ

0.6

ΔRn, p ХФ

²⁴⁸Gd

0.4

0.2

140

160

180

200

220

240

260

Рис. 7. а - Нейтронные (□, ▴) и протонные (■, Δ) среднеквадратичные радиусы в зависимости от A. Расчеты в РХБ

(□, ■) для изотопов Gd взаимодействия DD-PC1 в сравнении с расчетом ХФ (Δ, ▴ ). Наполовину черные квадраты

и треугольники - 1n-нестабильные изотопы. б - Разность между нейтронными и протонными среднеквадратичными

радиусами ΔRn,p для изотопов Gd. Точки: □ — расчеты РХБ с DD-PC1, • - расчеты ХФ с SkM^∗. Наполовину черные

квадратики и кружочки - 1n-нестабильные изотопы.

В ядрах с большим избытком нейтронов величина

на методе РХБ с лагранжианами DD-PC1 и DD-

ΔR_n,p существенно больше, что можно рассмат-

ME2 и методе ХФ с силами Скирма с учетом

ривать как проявление нейтронной “шубы”. Для

деформации. Показано, что за пределами ранее

изотопов Gd из рис. 7б видно, что в РХБ- и ХФ-

теоретически известной ГНС может существовать

расчетах с возрастанием числа нейтронов по от-

полуостров ядер, стабильных по отношению к ис-

ношению к N = 82 (¹⁴⁶Gd) величина ΔR_n,p систе-

пусканию одного или двух нейтронов. Полуост-

матически возрастает и для экстремально нейтро-

ров стабильности образован цепочками изотонов с

ноизбыточного изотопа²⁴⁸Gd значение ΔR_n,p =

N = 184каквРХБ-расчетах,такивХФ-расчетах.

= 0.84 Фм (РХБ-расчет) и ΔR_n,p = 0.78 Фм (ХФ-

Образование полуострова стабильности при N =

= 184 устойчиво к используемым типам расчетов и

расчет).

выбору взаимодействия.

4. Представлены результаты расчетов ядер с

экстремальным избытком нейтронов, основанные

Все изотоны с N = 184, принадлежащие полу-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019

ГРАНИЦА НЕЙТРОННОЙ СТАБИЛЬНОСТИ ЯДЕР

493

острову стабильности, имеют сферическую форму.

10.

K. A. Gridnev, D. K. Gridnev, V. G. Kartavenko,

Это соответствует представлению о сферической

V. E. Mitroshin, V. N. Tarasov, D. V. Tarasov, and

форме ядер для магического числа N = 184. Ана-

W. Greiner, Int. J. Mod. Phys. E 15, 673 (2006).

лиз зависимости полной энергии ядра от величины

11.

В. Н. Тарасов, К. А. Гриднев, В. Грайнер,

параметра квадрупольной деформации β₂ подтвер-

Д. К. Гриднев, В. И. Куприков, Д. В. Тарасов,

ждает устойчивость сферической формы для нейт-

К. Виньяс, ЯФ 75, 19 (2012)

[V. N. Tarasov,

роностабильных ядер с N = 184.

K. A. Gridnev, W. Greiner, D. K. Gridnev,

Восстановление нейтронной стабильности изо-

V. I. Kuprikov, D. V. Tarasov, and X. Vi ˜nas, Phys. At.

топов с экстремальным нейтронным избытком да-

Nucl. 75, 17 (2012)].

леко за пределами ГНС связано с полным заполне-

12.

В. Н. Тарасов, К. А. Гриднев, В. Грайнер, С. Шрамм,

нием нейтронных подоболочек с большой величи-

Д. К. Гриднев, Д. В. Тарасов, К. Виньяс, Изв.

ной углового момента. Такие состояния обладают

РАН. Сер. физ. 76, 976 (2012)

[V. N. Tarasov,

высоким центробежным барьером и при непол-

K. A. Gridnev, W. Greiner,

S. Schramm,

ном их заполнении квазисвязаны. При увеличении

D. K. Gridnev, D. V. Tarasov, and X. Vi ˜nas, Bull.

числа нейтронов в ЭНИ-изотопах за пределами

Russ. Acad. Sci. Phys. 76, 876 (2012)].

ГНС некоторые состояния с большой величиной

углового момента погружаются в область дискрет-

13.

V. N. Tarasov, K. A. Gridnev, D. K. Gridnev,

ных связанных состояний, что приводит к вос-

D. V. Tarasov, S. Schramm, X. Vi ˜nas, and W. Greiner,

становлению стабильности ядра по отношению к

Int. J. Mod. Phys. E 22, 1350009 (2013).

испусканию нейтронов.

14.

В. Н. Тарасов, К. А. Гриднев, В. Грайнер, С. Шрамм,

Показано, что форма линии, изображающей

Д. К. Гриднев, Д. В. Тарасов, К. Виньяс, Изв.

границу нуклонной стабильности в пространстве

РАН. Сер. физ. 77, 927 (2013)

[V. N. Tarasov,

(Z, N), может быть весьма сложной, что связано с

K. A. Gridnev, W. Greiner,

S. Schramm,

проявлениями оболочечной структуры.

D. K. Gridnev, D. V. Tarasov, and X. Vi ˜nas, Bull.

Russ. Acad. Sci. Phys. 77, 842 (2013)].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

15.

T. Nik ˇsi ´c, D. Vretenar, and P. Ring, Phys. Rev. C 78,

1. Ю. Э. Пенионжкевич, Р. Г. Калпакчиева, Лег-

034318 (2008).

кие ядра у границы нейтронной стабильности

16.

G. A. Lalazissis, T. Nik ˇsi ´c, D. Vretenar, and P. Ring,

(ОИЯИ, Дубна, 2016).

Phys. Rev. C 71, 024312 (2005).

2. M. Bender, P.-H. Heenen, and P.-G. Reinhard, Rev.

Mod. Phys. 75, 121 (2003).

17.

T. Nik ˇsi ´c, N. Paar, D. Vretenar, and P. Ring, Comp.

Phys. Commun. 185, 1808 (2014).

3. M. V. Stoitsov, J. Dobaczewski, W. Nazarewicz,

S. Pittel, and D. J. Dean, Phys. Rev. C

68,

18.

В. И. Куприков, В. Н. Тарасов, ЯФ 82, 186 (2019)

054312

(2003);

http://www.fuw.edu.pl/∼

[V. I. Kuprikov and V. N. Tarasov, Phys. At. Nucl. 82,

∼dobaczew/thodri/thodri.html

191 (2019)].

4. J. Meng, H. Toki, S. G. Zhou, S. Q. Zhang,

19.

В. И. Куприков, В. В. Пилипенко, ЯФ 77, 1443

W. H. Long, and L. S. Geng, Prog. Part. Nucl. Phys.

(2014) [V. I. Kuprikov and V. V. Pilipenko, Phys. At.

57, 470 (2006).

Nucl. 77, 1378 (2014)].

5. S. E. Agbemava, A. V. Afanasjev, D. Ray, and P. Ring,

Phys. Rev. C 89, 054320 (2014).

20.

J. Bartel, P. Quentin, M. Brack, C. Guet, and

H.-B. Hеkansson, Nucl. Phys. A 386, 79 (1982).

6. A. V. Afanasjev, S. E. Agbemava, D. Ray, and P. Ring,

Phys. Rev. C 91, 014324 (2015).

21.

G. Audi, A. H. Wapstra, and C. Thibault, Nucl. Phys.

7. J. Dobaczewski and V. Nazarewicz, Philos. Trans.

A 729, 337 (2003).

R. Soc., A 356, 2007 (1998).

22.

В. Н. Тарасов, К. А. Гриднев, В. Грайнер, С. Шрамм,

8. K. A. Gridnev, D. K. Gridnev, V. G. Kartavenko,

Д. К. Гриднев, Д. В. Тарасов, К. Виньяс, Изв.

V. E. Mitroshin, V. N. Tarasov, D. V. Tarasov, and

РАН. Сер. физ. 78, 782 (2014)

[V. N. Tarasov,

W. Greiner, Eur. Phys. J. A 25, Suppl. 1, 353 (2005).

K. A. Gridnev, W. Greiner,

S. Schramm,

9. K. A. Гриднев, Д. К. Гриднев, В. Г. Картавенко,

D. K. Gridnev, D. V. Tarasov, and X. Vi ˜nas, Bull.

В. Е. Митрошин, В. Н. Тарасов, Д. В. Тарасов,

Russ. Acad. Sci. Phys. 78, 569 (2014)].

В. Грайнер, ЯФ 69, 3

(2006)

[K. A. Gridnev,

23.

S. Mizutori, J. Dobaczewski, G. A. Lalazissis,

D. K. Gridnev, V. G. Kartavenko, V. E. Mitroshin,

W. Nazarewicz, and P.-G. Reinhard, Phys. Rev. C 61,

V. N. Tarasov, D. V. Tarasov, and W. Greiner, Phys.

At. Nucl. 69, 1 (2006)].

044326 (2000).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 82

№6

2019