ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 1, с. 25-33

ЯДРА

ФУНКЦИОНАЛ ФАЯНСА: САМОСОГЛАСОВАННОЕ ОПИСАНИЕ

ИЗОСПИНОВЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ

Поступила в редакцию 28.08.2019 г.; после доработки 04.09.2019 г.; принята к публикации 04.09.2019 г.

Энергетический функционал плотности, развитый ранее Фаянсом и др., модифицирован для полно-

стью самосогласованных расчетов изобар-аналоговых резонансов (ИАР) в ядрах со спариванием.

Используется квазичастичное приближение случайных фаз с учетом континуума. Из систематического

анализа энергий связи изобарических дублетов и энергий переходов изобарических триплетов в

зеркальных ядрах получены ограничения на параметры экранировки обменного кулоновского взаи-

модействия. Сравнение с экспериментом показывает лучшее описание энергий ИАР для нейтронно-

избыточных изотопов Sn и Pb с развитым нейтронным спариванием с помощью нового функционала

DF3-f, чем в самосогласованных расчетах с релятивистским функционалом DC3* и с функционалом

Скирма SAMi. Функционал DF3-f применен к расчетам свойств ИАР в изотопах Ru, Pd, Cd со

спариванием как в нейтронной, так и протонной системах, а также в цепочке изотонов c N = 82.

DOI: 10.31857/S0044002720010043

Посвящается памяти Э. Е. Саперштейна

кристаллических структур с заданными свойства-

ми до фармакологии. В недавней монографии [3]

систематизирован опыт применения метода ЭФП в

1. ВВЕДЕНИЕ

ядерно-структурных расчетах.

В последнее время повышенное внимание уде-

Актуален поиск ядерных функционалов, адек-

ляется проектам по исследованию различных форм

ватно описывающих структуру ядер, близких к ли-

существования и свойств материи на субатом-

нии стабильности, и особенности эволюции оболо-

ном уровне: от экстремального состояния кварк-

чечной структуры ядер с экстремальной нейтрон-

глюонной плазмы до атомных ядер. Эксперименты

протонной асимметрией. Среди таких эффектов:

на современных мегаустановках обеспечивают по-

обнаружение новых магических оболочек [4] и ано-

ток новых данных о необычных свойствах кварк-

мально резких скачков среднеквадратичных ради-

глюонной плазмы, ядерной материи и экзотических

усов с ростом избытка нейтронов [5]. Они приводят

атомных ядер.

к заметному увеличению сечений взаимодействия

Структуру атомных ядер — самоподдерживаю-

экзотических ядер, в частности, сечений реакций

щихся кварк-мезонных систем — в самосогласо-

с полутяжелыми ионами, в которых нейтронно-

ванном подходе удобнее описывать в терминах

протонный баланс у ядра-мишени, налетающего и

эффективных взаимодействий между нуклонами.

улетающего ионов сильно различается.

В настоящее время для этого широко исполь-

Оригинальный ЭФП, разработанный в Курча-

зуется метод энергетического функционала плот-

товском институте С.А. Фаянсом и др. [6-8], осно-

ности (ЭФП) — общий подход к многочастичным

ван на методе квазичастичного лагранжиана, пред-

системам, развитый первоначально для расчетов

ложенном Э.Е. Саперштейном и В.А. Ходелем [9].

электронной структуры молекул [1, 2]. Метод ЭФП

Как отмечено в [3], он относится к классу фено-

успешно применяется в теории конденсированного

менологических функционалов, куда также входят

состояния и в квантовой химии: от моделирования

Seattle-Livermore-функционал [10] и Barcelona-

Catania-Paris-Madrid-функционал [11]. Все эти

¹⁾Национальный исследовательский центр “Курчатовский

ЭФП объединяют общие черты: а) параметризация

институт”, Москва, Россия.

уравнения состояния ядерной материи с помощью

²⁾Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбо-

разложения по степеням нуклонной плотности,

ва, Объединенный институт ядерных исследований, Дуб-

б) учет поправок, учитывающих и квантовые эф-

на, Россия.

фекты конечности размеров ядра, в) учет кулонов-

³⁾Физико-технический институт (Государственный универ-

ситет), Долгопрудный, Россия.

ских поправок и зависимость парных корреляций

^*E-mail: Borzov_IN@nrcki.ru

от нуклонной плотности. Первые два ЭФП являют-

^**E-mail: Tolokonnikov_SV@nrcki.ru

ся типичными ЭФП Кона-Шэма, использующи-

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

ми оператор кинетической энергии с эффективной

Калибровка зарядово-обменных компонентов

массой независимых частиц m^∗ = 1.

ядерного ЭФП более сложна, поскольку для мо-

делей, основанных на ЭФП, существенны кор-

В настоящее время к этому классу ЭФП при-

реляции упомянутых ядерных характеристик. Так,

влечено значительное внимание в литературе. Так,

энергия возбуждения ИАР коррелирует с ядер-

ЭФП Фаянса DF3 [6, 7], FaNDF⁰ [8] рассматрива-

ной энергией симметрии и с ее производной по

ются сейчас как удачная альтернатива известному

плотности вблизи равновесной плотности ρ₀. Это

ядерному ЭФП Скирма [12]. Функционалы этого

отчетливо проявляется в корреляции энергий ИАР

семейства отличаются от функционала Скирма бо-

с величиной нейтронной шубы (R_np) нейтронно-

лее сложной зависимостью от плотности как объ-

избыточных изотопов [16], определяемой как раз-

емного, так и поверхностного членов; последний

ность среднеквадратичных нейтронных и протон-

учитывает эффекты конечного радиуса взаимодей-

ных радиусов.

ствия и нелокальные эффекты в ядерной среде.

Для полностью самосогласованных расчетов

Цель настоящей работы — повысить предска-

силовых функций изобар-аналоговых резонансов

зательную способность ядерно-структурных рас-

оказывается необходимой модификация ЭФП Фа-

четов с ядерным функционалом Фаянса. Общая

янса. Надежность такого микроскопического рас-

задача состоит в модификации ЭФП DF3, FaNDF⁰

чета энергии ИАР зависит от корректного уче-

для применения к ядерно-структурным расчетам

та эффектов, ответственных за нарушение изо-

изоспиновых (зарядово-обменных) возбуждений.

спиновой симметрии в ядрах. Основные наруша-

ющие факторы в самосогласованном подходе —

Изобарический аналоговый резонанс (ИАР) с

это переменная часть кулоновского потенциала и

квантовыми числами ΔL = 0, ΔS = 0, ΔJ = 0,

различие ядерных компонент нейтронного и про-

ΔT = 0 (T = 0 → T = 0 переходы запрещены) —

тонного самосогласованных потенциалов за счет

простейшая из зарядово-обменных мод возбуж-

энергии симметрии [17]. В ядрах со спариванием

дений, индуцируемая оператором изоспина τ. Из-

принципиально важен выбор формы и параметров

мерениям энергий и ширин ИАР в реакциях пе-

спаривательной части ЭФП.

резарядки с ΔT_z > 0 и ΔT_z < 0 посвящено мно-

Наиболее сильный (физический) источник на-

жество экспериментальных и теоретических работ.

рушения изоспиновой симметрии — это взаимо-

Исследования свойств ИАР позволяют определить

действие Кулона, ответственное за дальнодейству-

степень сохранения квантового числа изоспина в

ющую поляризацию протонных и нейтронных со-

атомных ядрах [13] и дают прямую информацию для

стояний и оказывающее сильное влияние на энер-

уточнения изоспиновых компонент ядерного ЭФП.

гию ИАР. При “выключенном” кулоновском взаи-

Здесь оказывается важным знание энергий ИАР

модействии ИАР должен проявляться при нулевой

относительно основного состояния дочернего ядра,

энергии относительно основного состояния роди-

гигантского резонанса Гамова-Теллера (ГТР) и

тельского ядра. Прямое и обменное кулоновские

антианалогового резонанса.

взаимодействия (и короткодействующие изоспин-

Зарядово-нейтральные параметры ЭФП фик-

неинвариантные силы) приводят к нарушению это-

сируются из экспериментальных характеристик

го условия. Их некорректный учет может приводить

основных состояний ядер (массы, радиусы, од-

к систематической недооценке энергии ИАР. Осо-

бенно важна аппроксимация обменного кулонов-

ночастичные энергии). Характеристики зарядово-

ского взаимодействия V_exc — часто используемое

обменных возбуждений ИАР дают возможность

приближение Слэттера нуждается в уточнении.

уточнить изоспиновые (нечетные по времени)

компоненты различных вариантов ЭФП Фаянса

Следующим (нефизическим) источником нару-

[6-8, 14].

шения изоспиновой симметрии является прибли-

жение среднего поля. В режиме “выключенно-

Дополнительная информация извлекается из

го” кулоновского взаимодействия волновые функ-

свойств симметричной ядерной материи (равно-

ции нейтронов и протонов ядра с N = Z, рассчи-

весная плотность ρ₀, энергия симметрии E_symm,

танные с любым изоспин-инвариантным взаимо-

сжимаемость K_∞), а также из характеристик

действием, различаются. Как известно, нарушен-

других коллективных возбуждений ядер (напри-

ная за счет этого изоспиновая симметрия может

мер, из энергий и вероятностей гигантского E1-

быть восстановлена в полностью самоcогласован-

резонанса). Проблемы, связанные с поиском

ном зарядово-обменном RPA [18]. Ограничение

универсального, изоспин-инвариантного ЭФП и

базиса одночастичных состояний также нарушает

совершенствованием его изоспиновых и спин-

изоспиновую симметрию. Преимуществом исполь-

изоспиновых компонентов, подробно обсуждались

зуемой в настоящей работе модели континуум-

в работах [15].

pnQRPA, оперирующей с полным базисом одно-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

ФУНКЦИОНАЛ ФАЯНСА: САМОСОГЛАСОВАННОЕ ОПИСАНИЕ

частичных состояний [19, 20], является отсутствие

использованы новые экспериментальные данные

данного эффекта.

по энергиям связи изобарических дублетов и

энергиям переходов изобарических триплетов в

Наконец, несмотря на то что силовая функ-

зеркальных ядрах. Проведенный анализ позволяет

ция ИАР независимых квазичастиц (в прибли-

более надежно определить степень экранировки

жении Хартри-Фока + БКШ) имеет, как прави-

V_exc и оценить ее влияние на характеристики ИАР.

ло, несколько компонент, в последовательно мик-

роскопическом подходе необходимо воспроизве-

Для расчетов характеристик ИАР используется

сти экспериментальный факт вырождения ИАР. В

самосогласованное квазичастичное приближение

сечениях зарядово-обменных (p, n)-реакций ИАР

случайных фаз с учетом континуума, позволяющее

проявляется в виде одиночного узкого резонанса, а

адекватно определить escape-ширину ИАР. Зави-

вклад изобарических сателлитов подавлен.

сящее от плотности эффективное взаимодействие

в каналах частица-дырка и частица-частица по-

В работах [20-23] использовались условия ча-

лучено из того же энергетического функционала

стичного согласования по зарядовой плотности.

плотности DF3-f, который использован для расче-

Более последовательный подход, основанный на

энергетическом функционале плотности, требует

та основных состояний.

выполнения условий полного самосогласования.

Структура работы: во Введении обсуждены

В частности, они должны включать двухчастич-

проблемы самосогласованного описания ИАР.

ное спин-орбитальное взаимодействие. В случае

В разд. 2 развит полностью самосогласованный

зарядово-нейтральных возбуждений в магических

подход к ИАР в ядрах со спариванием. Описан

ядрах схема полного самосогласования была ре-

полученный новый функционал DF3-f. В разд. 3

ализована в работе [24]. В ядрах со спариванием

представлены результаты новых расчетов силовых

такой подход технически сложен и необходимы

функций возбуждений J^π = 0⁺ в “эталонных”

приближения.

изотопах

42-48Са,

110-132Sn,

²⁰⁸Pb. Впервые

Самосогласованный RPA-подход применялся

проведены расчеты энергий ИАР для длинных

к ИАР в недавней работе

[25]. В ней учтен

изотопических цепочек, содержащих ядра, в ко-

вклад двухчастичного спин-орбитального взаи-

торых спаривание одновременно существует и в

модействия в форме, найденной в работе [26], а

протонной и нейтронной системах. В Заключении

вклад обменного кулоновского взаимодействия

кратко суммированы результаты работы.

вычисляется по теории возмущений для одноча-

стичных энергий. В работе [25] также предлагалось

2. САМОСОГЛАСОВАННЫЙ ПОДХОД

анализировать данные по разности энергий анти-

К ИАР

аналогового резонанса и ИАР для установления

ограничений на параметры ЭФП, извлекаемые из

Отклик ядра со спариванием на внешнее

коррелирующих величин L и (R_np).

зарядово-обменное поле V₀ =^Q exp(-iωt) (+ эр-

В работе [18] в полностью самосогласованном

митово сопряженный оператор) описывается урав-

релятивистском RPA-подходе с функционалами

нением для эффективного поля ТКФ

V , которое

PKO1-3 было показано восстановление вырожде-

в суперматричном представлении имеет вид

ния ИАР для случая магических ядер. Для полума-

V (ω) = ê_q

V₀(ω)

FAˆ(ω

V (ω),

(1)

гических изотопов Sn с развитым нейтронным спа-

риванием этот эффект был также продемонстри-

где

⎛

⎞

⎛

⎞

рован в самосогласованном RHB + pnQRPA [16]

e_qV₀

с функционалом DD-ME1, включающем взаимо-

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

действие Гони D1S [27] в канале частица-частица.

V =

⎜

⎟,

V₀ =

⎜

⎟,

(2)

Аналогичные расчеты проводились для изотопов

⎝^d

⎠

⎝⁰

⎠

Са, Ni, Sn с функционалами PK01, DD-ME2 и

d₂

D1S с использованием квазичастичного разложе-

⎛

⎞

ния по базису Дирака-Вудса-Саксона.

F F^ωξ F^ωξ

В настоящей работе уточнен новый функционал

⎜

⎟

⎜

⎟

DF3-f, найденный в [28] и являющийся верси-

F =

⎜

^ξω F^ξ

⎟

(3)

⎝F

⎠

ей ЭФП DF3 [7], DF3-а [14] и FaNDF0 [8],

F^ξω

F^ξ

предложенных Фаянсом и др. В функционале

DF3-f изменены параметры двухчастичного спин-

Здесь внешнее зарядово-обменное поле — V₀ =

орбитального взаимодействия и уточнены па-

раметры экранировки обменного кулоновского

= Qexp(-iωt) (+ эрмитово сопряженный опе-

взаимодействия V_exc [8, 29] короткодействующими

ратор), где

Q — одночастичный оператор

(^Q =

кулон-ядерными корреляциями. Дополнительно

= τ_α,σ_ατ_β, qτ_α,Pτ_α).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

В такой записи суперматрица пропагаторов

Плотность энергии имеет вид [2]

состоит из 3 × 3 интегралов по энергии ϵ от про-

E [ρ(r), ν(r)] = τ + ε_v + ε_s +

(8)

изведений различных комбинаций функции Грина

+ε_Coul +ε_sl +ε_ss +ε_pair.

G(ϵ) и двух функций Горькова F⁽¹⁾(ϵ) и F⁽²⁾(ϵ). Их

явный вид можно найти в [30, 31].

Плотность объемной энергии

Используя обозначения ТКФС (1)-(3), для си-

[

ловой функции получим следующее выражение:

1-hv1+xσ+

ε_v(r) = C₀ρ²

a^v

x²⁺ +

(9)

⁺1+hv2+x^σ

S(ω, q) = -

ImP(ω, q) =

(4)

]

1-hv1-x

+a^v

x²

⁻1+hv2-x

Im(e_q

V₀Aˆ(ω

V (ω, q)).

Здесь x_±(r) = (ρ_n(r) ± ρ_p(r))/2ρ₀, ρ₀ — равновес-

ная плотность одного сорта частиц в симметричной

3. ФУНКЦИОНАЛ ПЛОТНОСТИ DF3-f

ядерной материи, r₀ = (3/8πρ₀)1/3. Нормировоч-

ДЛЯ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ИАР

ный множитель C₀ — обратная плотность состоя-

В полностью самосогласованном подходе тео-

ний на поверхности Ферми в точке равновесия

рии энергетического функционала плотности эле-

)-1

⁽ dn

2ϵ_0F

π²

менты матрицы эффективных взаимодействий (3)

C₀ =

являются различными вторыми вариационными

dϵ_F

3ρ₀

p_Fm^∗

производными от ЭФП, зависящего от нормальной

ρ и аномальной ν плотностей:

Кулоновская энергия содержит модифициро-

∫

ванный cлэттеровский член:

∫∫∫

E₀ = E[ρ(r),ν(r)]d³r,

(5)

ρ_ch(r^′)

ε_Coul(r) =

ρ_ch(r)

d³r^′

(10)

а именно:

|r - r^′|

)1/3

δ²E

⁽3

F =

;

F^ωξ = F^ξω =

;

F^ξ =

(6)

−

e²ρ4/3p(1 - h_Coulxσ+).

δρ²

δρδν

δν²

Здесь F — введенная выше “нормальная” компо-

Здесь константы h_Coul и σ — параметры экрани-

нента амплитуды взаимодействия самосогласован-

ровки обменного взаимодействия, позволяющие

ной ТКФС, а F^ξ — ее аномальная компонента,

устранить аномалию Нолена-Шиффера [32]. В от-

или, другими словами, эффективное спариватель-

личие от [28], где предполагалась полная экрани-

ное взаимодействие, которое входит в уравнение

ровка, в данном расчете принято значение h_Coul =

для щели. Обратим внимание на то, что в (6) входит

= 0.8 (см. разд. 3.1).

и смешанная производная F^ωξ, которая отвечает

Спин-орбитальная часть функционала ε_sl со-

за зависимость спаривательного энергетического

держит двухчастичную амплитуду спин-орбиталь-

функционала от нормальной плотности. Изотопи-

ного взаимодействия и первую скоростную гар-

ческие индексы в соотношениях (1)-(6) для крат-

монику спин-спиновой амплитуды взаимодействия

кости опущены.

Ландау-Мигдала. C помощью этих двух простых

Отметим, что F в (6) — это скалярная и изо-

по форме членов (см. [6, 28]), содержащих за-

спиновая компоненты полной обобщенной ампли-

висимость от импульсов, удобно параметризовать

туды Ландау-Мигдала

F, которая входит в (1),

двухчастичное спин-орбитальное взаимодействие

если внешнее поле V₀ не зависит от спина. Для

и эффективно учесть тензорные спин-скоростные

изоспиновых возбуждений в зарядово-обменном

силы.

канале, к которым относится ИАР, в уравнения для

Плотность энергии спаривания ε_pair имеет сле-

эффективного поля входит амплитуда F^-, которая

дующую форму:

определяется второй вариационной производной

1^∑

ЭФП:

ε_pair(r) =

F^ξ,τ(ρ₊(r))|ν_τ (r)|².

δ²E

τ=n,p

F^- =

(7)

(δρ_-)²

При учете вклада в энергию взаимодействия

где ρ_- = ρ_n - ρ_p. Подробное описание ЭФП Фа-

многочастичных сил и корреляций возникает зави-

янса можно найти в [6] или в [28]. Ниже остано-

симость амплитуды F от нормальной плотности

вимся лишь на тех его ингредиентах, которые особо

F^ξ,τ F^p,p = F^n,n = C₀f^ξ(x₊).

важны для описания ИАР.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

ФУНКЦИОНАЛ ФАЯНСА: САМОСОГЛАСОВАННОЕ ОПИСАНИЕ

В общем случае параметризация f^ξ имеет вид

что позволило практически устранить аномалию

Нолена-Шиффера [32]. Полученные в настоящей

f^ξ(x₊(r)) = fξex + h^ξ(x₊)^q(r) + f^ξ∇r²⁰ (∇x₊(r))² .

работе величины расщепления компонент зеркаль-

ных ядер, рассчитанного без обменного кулонов-

Найденный в рамках описанного выше самосо-

ского взаимодействия, систематически превышают

гласованного подхода новый энергетический функ-

эксперимент. Проведенный анализ показывает,

ционал плотности DF3-f является модификацией

что обменную часть кулоновского взаимодействия

ЭФП DF3 [6, 7], DF3-a [14] и FaNDF⁰ [8]. В новом

необходимо экранировать не полностью, а на 80-

функционале DF3-f значения параметров двухча-

90%, что также улучшает описание “эталонных”

стичного спин-орбитального взаимодействия вы-

энергий ИАР в нашем расчете.

браны такими же, как в FaNDF⁰: т.е. κ⁺ = 0.38,

κ^- = 0 (κ_pp = κ_np = 0.19). В общем случае спари-

вательная часть функционала зависит как от нор-

4. РАСЧЕТЫ ХАРАКТЕРИСТИК ИАР

мальной плотности, так и от ее градиента. Отметим,

В ЯДРАХ СО СПАРИВАНИЕМ

что, хотя в настоящей работе уравнение ТКФС

Для нахождения характеристик ИАР решались

для обобщенного эффективного поля полностью

уравнения модели континуум-pnQRPA (3) на пол-

согласовано с основным состоянием ядра, рассчи-

ном базисе одночастичных состояний [19, 21]. Эф-

танным с ЭФП DF3-f, градиентное спаривание не

фективное NN-взаимодействие получено из энер-

учитывалось. Более детальное исследование вли-

гетического функционала плотности DF3-f. Для

яния формы спаривания и его силовых парамет-

изоспиновых возбуждений оно состоит из изовек-

ров на энергии ИАР предполагается в следующей

торного взаимодействия в канале частица-дырка

работе. Значения используемых спаривательных

и изовекторного протон-нейтронного взаимодей-

констант:

pp = fnn = fnp =

fξex + h^ξ(ρ⁺/2ρ0), где

ствия в канале частица-частица (S = 0, T = 1 ди-

fξex = -1.05, h^ξ = 0.94 для Pb; h^ξ = 0.92 для Sn;

намическое спаривание).

h^ξ = 0.88 для области Ca-Ni.

4.1. Расчеты свойств ИАР в изотопах Са, Sn и Pb

3.1. Расчеты энергий связи ряда зеркальных ядер

Для полноты изложения кратко обсудим точ-

В обменном кулоновском взаимодействии учи-

ность нового расчета энергий ИАР ω (относи-

тывались кулон-ядерные корреляции, приводящие

тельно основных состояний родительских ядер) в

к его ослаблению согласно формуле (10). Для

цепочках четно-четных изотопов Са, Sn и Pb (см.

оценки степени эффективной экранировки в при-

рис. 2) по сравнению с [28]. Для этих полумагиче-

ближении среднего поля в [28] нами были проведе-

ских изотопов со спариванием только по нейтронам

ны расчеты энергий связи ряда зеркальных ядер с

и для ²⁰⁸Pb имеются достаточно полные экспери-

новым ЭФП DF3-f для оценки значения параметра

ментальные данные.

h_Coul. На рис. 1 приведены соответственно разно-

Отклонение рассчитанных энергий возбужде-

сти энергий связи (величина кулоновского расщеп-

ния ИАР от экспериментальных энергий в⁴²Са-

ления) зеркальных дублетов (рис. 1а) и триплетов

(рис. 1б) в сравнении с экспериментальными дан-

⁴⁸Са сравнительно невелико — оно находится в

ными из [33, 34].

пределах экспериментальных погрешностей. Ха-

рактер зависимости от массового числа энергий

Среднеарифметическое отклонение теории от

ИАР, отсчитанных от основных состояний роди-

эксперимента составляет 21 кэВ для дублетов.

тельских ядер, достаточно плавный (рис. 2а). Об-

Двойная разность для триплетов составляет

ратим внимание на предсказываемое резкое пони-

-29

кэВ, т.е.

-15

кэВ/нуклон. С помощью

жение энергии ИАР при достижении нового маги-

уравнения для обобщенного эффективного поля

ческого числа нейтронов N = 34.

ТКФC, эквивалентного уравнению pnQRPA, нами

Систематические данные об энергиях ИАР

были рассчитаны также частоты переходов ω-IAR и

получены в (³He, t)-реакции для изотопов олова

ω^+IAR между компонентами зеркальных триплетов

с A = 112-124

[36]. Максимальное отклоне-

(рис. 1в). Среднеарифметическое отклонение (с

ние от экспериментальных значений составляет

превышением) теории от эксперимента составляет

+200 кэВ. При этом энергии ИАР несколько

+60 кэВ.

завышены в сравнении с экспериментом, тогда

В предыдущей работе [28] из методических

как другие самосогласованные расчеты [16] и [37],

соображений использовались значения h_Coul = 1

напротив, недооценивают энергии ИАР (макси-

(σ = 1), отвечающие максимальной экранировке

мальные отклонения от эксперимента

-200

обменной части кулоновского взаимодействия,

-600 кэВ соответственно).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

E_B, МэВ

ω_ИАР, МэВ

⁵⁷Cu-⁵⁷Ni

DF3-f h_Coul = 1

⁵⁸Zn

⁵⁸Zn-⁵⁸Ni

DF3-f h_Coul

= 1

⁵⁵Ni-⁵⁵Co

⁵⁴Ni

DF3-f h_Coul = 1

DF3-f h_Coul = 0.8

⁵⁸Ni

DF3-f h_Coul = 0.8

эксп.

⁵⁴Ni-⁵⁴Fe

эксп.

⁵⁰Cr

⁵⁴Fe

⁵⁰Fe-⁵⁰Cr

³⁹Ca-³⁹K

⁴¹Sc-⁴¹Ca

ω_И

АР

⁵⁰Cr

³³Cl-³³S

³¹S-³¹P

⁴²Ti-⁴²Ca

⁴²Ti

−

ω_И

АР

³⁸Ca

DF3-f h_Coul = 1

³⁸Ca-³⁸Ar

DF3-f h_Coul = 0.8

⁴²Ca

эксп.

³⁴Ar-³⁴S

¹⁷F-¹⁷O

³⁸Ar

Рис. 1. a — Разность энергий связи зеркальных ядер (кулоновское расщепление) — дублетов; б — двойная разность

энергий связи зеркальных ядер — триплетов; в — энергии возбуждения ИАР ω⁺ (β⁺-канал) и ω^- (β^--канал) для

зеркальных ядер — триплетов.

ω^-, МэВ

110

120

130

190

200

210

Рис. 2. Энергия возбуждения ИАР ω для цепочек изотопов (открытые символы — наша теория, черные треугольники —

экспериментальные данные для Ca [35], Sn [36], Pb [38]).

Из рис. 2б видно, что для A = 116-122, 130

взаимодействия в канале частица-частица с сило-

имеется незначительное отклонение от регулярного

вым параметром, не зависящим от A. В работах

поведениия ω(A), тогда как в работах [16, 37]

[16, 37] использовалось спаривание конечного ра-

наблюдается более плавная зависимость. Это, по-

диуса, состоящее из двух гауссиан. Вопрос о влия-

видимому, результат использования в нашем рас-

нии формы спаривания и эффективного взаимодей-

чете контактного спаривания нуклонов в основ-

ствия в канале частица-частица на возможное на-

ном состоянии (описываемого одним силовым па-

рушение зарядовой симметрии и на характеристики

раметром, зависящим от A) и эффективного pn-

ИАР заслуживает дальнейшего изучения.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

ФУНКЦИОНАЛ ФАЯНСА: САМОСОГЛАСОВАННОЕ ОПИСАНИЕ

ω, МэВ

¹⁵⁰Er

¹⁴⁶Gd

ИАР

¹⁴⁴Sm

exp

¹⁴²Nd

| DF3-f

¹⁴⁰Ce

| h_Coul = 1

¹³⁸Ba

N = 82

¹³⁶Xe

¹³⁴Te

¹³²Sn

¹³⁰Cd

¹²⁸Pd

100

110

120

130

140

150

Рис. 3. Энергия возбуждения ИАР ω для цепочки изотонов с N = 82 и цепочек немагических изотопов Ru, Pd, Cd.

Для изотопа²⁰⁸Pb рассчитанная энергия (E_th =

Развитый формализм дает возможность рассмот-

= 15.09 МэВ) хорошо согласуется с эксперимен-

реть нейтронно-избыточные ядра со спариванием

тальной E_x = 15.1 МэВ [38] (рис. 2в). При этом

как в нейтронной, так и протонной системах. На

вклад в энергию ИАР от корреляционной куло-

рис. 3 представлены результаты DF3-f + CQRPA-

новской энергии составляет ΔE_Cc ≤ 350 кэВ по

расчета энергий ω для J^π = 0⁺ возбуждений в

сравнению со сдвигом около 100 кэВ, полученным

нейтронно-избыточных изотонах с числом нейтро-

за счет феноменологической поправки протонных

нов N = 82. Расчет хорошо описывает экспери-

энергий в работе [25]. В то же время энергия ИАР

ментальные энергии ИАР в дважды-магическом

в²⁰⁸Pb при вариации параметров в самосогласо-

ядре¹³²Sn [39], а также в ядрах с протонным

ванном расчете [25] оказывается ниже экспери-

спариванием¹³⁶Хe [40],¹⁴⁴Sm [41].

ментальной от 200 до 900 кэВ. Для сравнения,

Как видно из рис. 3, для изотопических цепочек

в другом самосогласованном расчете [37] энергия

Ru, Pd, Cd массовая зависимость энергий ИАР ω

ИАР также оказывается ниже экспериментальной

носит вполне регулярный характер. Такая же регу-

на 300-600 кэВ. Заметим, что, хотя непосред-

лярная массовая зависимость энергий ω отмечает-

ственный вклад в энергию ИАР от двухчастичного

ся для цепочки изотонов с N = 82. Представляли

спин-орбитального взаимодействия в функционале

бы несомненный интерес измерения энергий ИАР

DF3-f отсутствует, тем не менее для выполнения

в нестабильных изотопах Cd и в изотонах N = 82

условий согласования его учет необходим.

и анализ корреляции энергий ИАР с величиной

“нейтронной шубы” в этих нейтронно-избыточных

Результаты самосогласованных расчетов в изо-

ядрах. Согласие с экспериментом для¹⁴⁴Sm,¹³⁴Xe

топах Ca, Sn, Pb систематизированы на рис. 2а-

и¹³²Sn отличное.

2в. Oтклонение энергий ИАР от эксперименталь-

ных данных в изотопах Sn от -30 до 200 кэВ и

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

-10 кэВ в²⁰⁸Pb. В рассмотренных изотопах ис-

В рамках обобщенной теории конечных ферми-

черпывается 97-98% правила сумм для матричных

систем развит полностью самосогласованный под-

элементов S_- - S₊ = N - Z.

ход DF3-f + pnCQRPA-подход к описанию изо-

спиновых резонансов в нейтронно-избыточных яд-

рах с развитым спариванием как в нейтронной,

4.2. Ядра со спариванием по нейтронам и протонам

так и протонной системах. Как отмечалось в на-

Существующие самосогласованные расче-

шей предыдущей работе [28], во всех рассмот-

ты [16, 18, 22, 37] ограничены в основном полу-

ренных изотопах в самосогласованном DF3-f +

магическими ядрами с нейтронным спариванием.

+ pnCQRPA-расчетах наблюдается вырождение

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

энергий ИАР и его изобарических партнеров. По-

“нейтронной шубы”, а также и энергии симметрии

лученное хорошее описание имеющихся экспери-

E_symm, часто возникающих для многих параметри-

ментальных cиловых функций ИАР в изотопах Ca,

заций функционала Скирма.

Sn, Pb свидетельствует об эффективном восста-

В заключение отметим важность самосогласо-

новлении изоспиновой симметрии, нарушенной в

ванности ядерно-структурных и астрофизических

приближении HF + BCS. Сравнение с резуль-

расчетов. Энергия симметрии влияет не только

татами предыдущих самосогласованных расчетов

на свойства основных и возбужденных состояний

свойств ИАР в изотопах Ca, Sn и Pb [37] показы-

нейтроно-избыточных ядер, но и на уравнения со-

вает надежность развитой модели, основанной на

стояния симметричной ядерной и нейтронной ма-

новом ЭФП Фаянса DF3-f.

терии. Величина E_symm — необходимый ингредиент

Проведенные полностью самосогласованные

моделирования r-процесса нуклеосинтеза, проис-

расчеты характеристик ИАР являются чувстви-

ходящего при слиянии нейтронных звезд. Таким

тельным тестом восстановления изоспиновой

образом, эта важная характеристика взаимодей-

симметрии в ядрах со спариванием. Основным

ствия в масштабе нескольких фемтометров, тесно

источником нарушения изоспиновой симметрии в

связанная с энергией ИАР, непосредственно от-

ядрах со спариванием остается взаимодействие

ражается в свойствах компактных (макроскопиче-

Кулона. Оценен вклад короткодействующих ядер-

ских) объектов — нейтронных звезд.

ных корреляций [8, 29] в обменную компоненту

Один из дней Международного симпозиу-

кулоновского взаимодействия. Ограничения на

ма “Бесконечная и конечная ядерная материя”

параметры экранировки V_exс, полученные из раз-

(INFINUM) в ЛТФ ОИЯИ, Дубна, 20-22 марта

ностей энергий связи ΔE_B, повышают надежность

2019 г. был посвящен памяти проф. Э.Е. Сапер-

расчетов ИАР. В целом использование нового

штейна. Благодарим организаторов и всех участ-

варианта ЭФП DF3-f эффективно увеличивает

ников за обсуждения вопросов, тесно связанных с

энергию ИАР в рассмотренных изотопических

его работами. Мы с теплотой и признательностью

цепочках, в значительной степени компенсируя

ее недооценку в самосогласованных расчетах

вспоминаем Эдуарда Евсеевича Саперштейна —

соавтора и друга, с которым нас объединяло

[16, 22, 37].

многолетнее сотрудничество и общение.

В настоящей работе не рассматривался вопрос

о полной ширине ИАР, аномально малой в ядерном

Работа выполнена при частичной поддержке

масштабе. Она складывается из ширины прямой

Российского фонда фундаментальных исследова-

эмиссии (еscape width Γ↑) и спредовой ширины

ний (грант РФФИ 18-02-00670).

(spreading width Γ↓). Еscape-ширина ИАР в ос-

новном определяется прямой эмиссией протонов в

континуум, и поэтому составляет всего несколько

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

десятков кэВ. Расчет escape-ширины ИАР требует

1. P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev. 136, B864

адекватной модели — pnQRPA с учетом континуу-

(1964).

ма одночастичных состояний [21].

2. W. Kohn and L. G. Sham, Phys. Rev. 140, A1133

(1965).

Вклад в ширину ИАР, возникающий за счет

3. Energy Density Functional Methods for Atomic

смешивания со сложными конфигурациями, неве-

Nuclei, Ed. by N. Shunck (IOP Publ. Ltd, 2019).

лик — это показано в микроскопической моде-

4. D. Steppenbeck, S. Takeuchi, N. Aoi, P. Doornenbal,

ли, учитывающей квазичастично-фононное вза-

M. Matsushita, H. Wang, H. Baba, N. Fukuda,

имодействие [22], и в частично-дырочной дис-

S. Go, M. Honma, J. Lee, K. Matsui, S. Michimasa,

персионной оптической модели [42]. Заслуживает

T. Motobayashi, D. Nishimura, T. Otsuka, et al.,

Nature 502, 207 (2013).

внимания анализ влияния сложных конфигураций

5. R. F. Garcia-Ruiz, M. L. Bissell, K. Blaum,

на энергию ИАР в рамках модели, учитывающей

A. Ekstr ¨om, N. Fr ¨ommgen, G. Hagen, M. Hammen,

квазичастично-фононное взаимодействие [43].

K. Hebeler, J. D. Holt, G. R. Jansen, M. Kowalska,

Нетривиальным фактом является то, что в са-

K. Kreim, W. Nazarewicz, R. Neugart, G. Neyens,

мосогласованном подходе, основанном на ЭФП

W. N ¨ortersh ¨auser, et al., Nature Physics 12, 594

Фаянса, наряду с характеристиками ядерной ма-

(2016).

терии с хорошей точностью описываются ядер-

6. S. A. Fayans, S. V. Tolokonnikov, E. L. Trykov, and

D. Zawischa, Nucl. Phys. A 676, 49 (2000).

ные массы и радиусы [30]. Более того, в этом

7. I. N. Borzov, S. A. Fayans, E. Kr ¨omer, and

подходе воспроизводятся экспериментальные дан-

D. Zawischa, Z. Phys. A 355, 117 (1996).

ные по зарядовой плотности, полученные в (e, e^′)-

8. С. A. Фаянс, Письма в ЖЭТФ 68, 161 (1998)

экспериментах [44]. По этой причине в настоящих

[JETP Lett. 68, 169 (1998)].

расчетах не наблюдается существенных противо-

9. V. A. Khodel and E. E. Saperstein, Phys. Rept. 92,

речий между оценками энергий ИАР и величины

183 (1982).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

ФУНКЦИОНАЛ ФАЯНСА: САМОСОГЛАСОВАННОЕ ОПИСАНИЕ

10.

A. Bulgac, M. McNeil Forbes, Shi Jin, R. Navarro

32.

J. A. Nolen, Jr. and J. P. Schiffer, Ann. Rev. Nucl. Sci.

Perez, and N. Schunck, Phys. Rev. C 97, 044313

19, 471 (1969).

(2018).

33.

https://www.nndc.bnl.gov/nudat2

11.

M. Baldo, L. M. Robledo, P. Schuck, and X. Vinas,

34.

M. Wang, G. Audi, A. H. Wapstra, F. G. Kondev,

Phys. Rev. C 95, 014318 (2017).

M. MacCormick, X. Xu, and B. Pfeiffer, Chin. Phys.

12.

P.-G. Reinhard and W. Nazarewicz, Phys. Rev. C 95,

C 36, 1603 (2012).

064328 (2017).

35.

K. Yako, M. Sasano, K. Miki, H. Sakai, M. Dozono,

13.

N. Auerbach, Phys. Rept. 98, 273 (1983).

D. Frekers, M. B. Greenfield, K. Hatanaka, E. Ihara,

14.

Э. E. Саперштейн, С. В. Толоконников, ЯФ 74,

M. Kato, T. Kawabata, H. Kuboki, Y. Maeda,

1306 (2011) [Phys. At. Nucl. 74, 1277 (2011)].

15.

S. G. Rohozi ´nski, J. Dobaczewski, and

H. Matsubara, K. Muto, and S. Noji, Phys. Rev. Lett.

W. Nazarewicz, Phys. Rev. C 81, 014313 (2010).

103, 012503 (2009).

16.

N. Paar, T. Nik ˇsi ´c, D. Vretenar, and P. Ring, Phys.

36.

R. Pham, J. J ¨anecke, D. A. Roberts, M. N. Harakeh,

Rev. 69, 054303 (2004).

G. P. A. Berg, S. Chang, J. Liu, E. J. Stephenson,

17.

B. L. Birbrair, Nucl. Phys. A 108, 449 (1968).

B. F. Davis, H. Akimune, and M. Fujiwara, Phys. Rev.

18.

H. Liang, N. Van Giai, and J. Meng, Phys. Rev. Lett.

C 51, 526 (1995).

101, 122502 (2008).

37.

Z. M. Niu, Y. F. Niu, H. Z. Liang, W. H. Long, and

19.

И. Н. Борзов, С. А. Фаянс, Препринт-ФЭИ-1129

J. Meng, Phys. Rev. C 95, 044301 (2017).

(1980).

38.

D. J. Horen, C. D. Goodman, C. C. Foster,

20.

Н. И. Пятов, С. A. Фаянс, ЭЧАЯ 14, 953 (1983).

21.

И. Н. Борзов, Е. Л. Трыков, С. А. Фаянс, ЯФ 52,

C. A. Goulding, M. B. Greenfield, J. Rapaport,

985 (1990) [Sov. J. Nucl. Phys. 52, 627 (1990)].

D. E. Bainum, E. Sugarbaker, T. G. Masterson,

22.

G. Col `o, H. Sagawa, N. Van Giai, P. F. Bortignon, and

F. Petrovich, and W. G. Love, Phys. Rev. Lett. B 95,

T. Suzuki, Phys. Rev. C 57, 3049 (1998).

27 (1980); 67, 055802 (2003).

23.

В. A. Родин, M. Г. Урин, ЯФ 66, 2178 (2003) [Phys.

39.

Y. Yasuda et al., Phys. Rev. Lett. 121, 132501 (2018).

At. Nucl. 66, 2128 (2003)].

40.

P. Puppe, D. Frekers, T. Adachi, H. Akimune, N. Aoi,

24.

S. A. Fayans, E. L. Trykov, and D. Zawischa, Nucl.

B. Bilgier, H. Ejiri, H. Fujita, Y. Fujita, M. Fujiwara,

Phys. A 568, 523 (1994).

E. Ganio ˘glu, M. N. Harakeh, K. Hatanaka, M. Holl,

25.

X. Roca-Maza, L.-G. Cao, G. Col `o, and H. Sagawa,

H. C. Kozer, J. Lee, et al., Phys. Rev. C 84,

Phys. Rev. C 94, 044313 (2016).

26.

P.-G. Reinhard and H. Flocard, Nucl. Phys. A 584,

051305(R) (2011).

467 (1995).

41.

J. J ¨anecke, F. D. Becchetti, W. S. Gray, R. S. Tickle,

27.

J. F. Berger, M. Girod, and D. Gogny, Nucl. Phys. A

and E. R. Sugarbacker, Nucl. Phys. A 402, 262

428, 25 (1984).

(1983).

28.

И. Н. Борзов, С. В. Толоконников, ЯФ 82, 471

42.

G. V. Kolomiytsev, M. L. Gorelik, and M. H. Urin,

(2019).

Eur. Phys. J. A 54, 228 (2018).

29.

A. Bulgac and V. R. Shaginyan, Nucl. Phys. A 601,

43.

A. P. Severyukhin, V. V. Voronov, I. N. Borzov,

103 (1996).

N. N. Arsenyev, and N. Van Giai, Phys. Rev. C 90,

30.

Э. E. Саперштейн, С. В. Толоконников, ЯФ 79, 703

044320 (2014).

(2016) [Phys. At. Nucl. 79, 1030 (2016)].

44.

J. Неisenberg,J. Lichtenstadt, C. N. Papanicolas, and

31.

А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и

свойства атомных ядер (Наука, Москва, 1983).

J. S. McCarthy, Phys. Rev. C 25, 2292 (1982).

FAYANS FUNCTIONAL: SELF-CONSISTENT DESCRIPTION

OF ISOSPIN EXCITATIONS

I. N. Borzov^1),2), S. V. Tolokonnikov^1),3)

¹⁾ National Research Center “Kurchatov Institute”, Moscow, Russia

²⁾ Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics, Joint Institute for Nuclear Research,

Dubna, Russia

³⁾ Moscow Institute of Physics and Technology (State University), Dolgoprudny, Russia

Energy density functional DF3 developed previously by Fayans et al. is modified in order to fully self-

consistently describe the isobaric analog resonances (IAR) in the nuclei with pairing. The use is made of

the continuum quasiparticle random-phase approximation (CQRPA). Systematic analysis of the binding

energies of isobaric doublets and transition energies of the isobaric triplets in the mirror nuclei makes it

possible to constrain the screening parameters of the Coulomb exchange interaction. Comparison with

experiment shows a better description of the IAR energies for the reference neutron-rich Sn and Pb

isotopes with developed neutron pairing using the newly designed DF3-f functional than in self-consistent

calculations with the relativistic functional DC3* and SAMi Skyrme functional. The DF3-f functional was

applied for the first time to calculations of the IAR properties in Ru, Pd, Cd isotopes with pairing in both

neutron and proton systems, as well as in the isotonic chain with N = 82.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020