ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 1, с. 47-53

ЯДРА

АНГАРМОНИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ

В ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ФЕРМИ-СИСТЕМ

Поступила в редакцию 03.09.2019 г.; после доработки 10.09.2019 г.; принята к публикации 12.09.2019 г.

Кратко обсуждаются некоторые результаты Э.Е. Саперштейна и соавторов в области теории основ-

ного и низколежащих состояний магических и полумагических ядер. Впервые рассмотрены поправки к

амплитуде рождения g (одного) низколежащего фонона, которые основаны на существовании малого

параметра и включают связь амплитуд рождения одного и двух фононов, определяемую эффектом

“тэдпола”.

DOI: 10.31857/S0044002720010067

1. ВВЕДЕНИЕ

С.А. Фаянсом, А.П. Платоновым, С.В. Толоконни-

ковым и др., см., например, недавние обзоры [3, 4]

Э.Е. Саперштейн внес значительный вклад в

и обзоры самого Э.Е. Саперштейна о магнитных

развитие ядерной физики низких энергий, прежде

моментах ядер в основном состоянии [5], о само-

всего его работами в области применения кван-

согласованной ТКФС [6], о ядерном спаривании

товой ядерной теории многих тел. Его научный

стиль характеризует большая физическая куль-

[7, 8].²⁾

тура: виртуозное применение техники квантовых

Работы в рамках самосогласованной ТКФС ос-

функций Грина, умение оценивать неучтенные чле-

новывались на использовании малого параметра

ны, огромная эрудиция, способность подробно и

g², где g — амплитуда рождения низколежаще-

точно описать полученные результаты. Настоящая

го фонона (g²-приближение), который существует

статья посвящена, во-первых, краткому изложе-

для магических [11] и полумагических [12] ядер.

нию некоторых результатов, полученных Э.Е. Са-

Для самосогласования использовался функционал

перштейном с соавторами в области теории ос-

Фаянса, см. [3], главное отличие которого от функ-

новного и низколежащих состояний магических

ционала Скирма состоит во введении другой, т.е.

и полумагических ядер и, во-вторых, одному из

дробно-линейной, зависимости от плотности. Для

вопросов в направлении естественного развития и

продолжения его работ.

g²-поправок к рассчитанному самосогласованному

полю учитывались как обычные полюсные, так

После первого издания книги А.Б. Мигдала [1]

и неполюсные поправки, связанные с понятием

в 1965 г. его подход, основанный на формализме

квантовой теории многих тел, получил значитель-

фононного тэдпола, что позволило учесть все g²-

ное развитие. Принципиальное значение теории

поправки [3]. В понятие тэдпола входит амплитуда

конечных ферми-систем (ТКФС) состояло во вве-

g12 рождения двух одинаковых фононов (случай

дении в теорию ядра очень плодотворного аппарата

1 = 2). Существуют, однако, и другие перспектив-

квантовых функций Грина (ФГ). Важнейшие ре-

ные аспекты использования амплитуды g₁₂.

зультаты следующего этапа, которые частично во-

Существенное предположение всех указанных

шли в книгу [2], — это развитие самосогласованно-

работ заключалось в том, что фононы описыва-

го подхода, основанного на функционале Фаянса,

лись в рамках метода хаотических фаз (МХФ) или

между средним полем ядра и эффективным меж-

квазичастичного МХФ (КМХФ). Однако известно,

нуклонным взаимодействием, и развитие теории

что наблюдаемые фононы содержат вклад двухфо-

квазичастично-фононного взаимодействия (КФВ)

нонных состояний и это обстоятельство подроб-

и квантовой теории ангармонических эффектов. В

но изучается в известном методе квазичастично-

рамках этого этапа было выполнено большое ко-

фононной модели (КФМ) [13]. В рамках форма-

личество работ группой сотрудников Курчатовско-

лизма ФГ необходимо учесть этот вклад двумя

го института: В.А. Ходелем, Э.Е. Саперштейном,

способами, которые заметно отличаются друг от

¹⁾Национальный исследовательский центр “Курчатовский

²⁾В области теории возбужденных состояний с большей

институт”, Москва, Россия.

энергией, т.е. пигми и мультипольных гигантских резонан-

^*E-mail: kamerdzhiev_sp@nrcki.ru

сов, см. также обзоры [4, 9] и cтатью [10].

КАМЕРДЖИЕВ, ШИТОВ

δF

Рис. 1. Уравнение (2) в диаграммном виде.

друга. Во-первых, путем обобщения уже развитых

L₁ = L₂ = L. Уравнение для амплитуды рожде-

подходов [9, 10], основанных на включении эффек-

ния двух фононов g₁₂ получается варьированием

тов связи с фононами, только в квазичастично-

уравнения (1) для амплитуды рождения фонона g₁

квазидырочный пропагатор ТКФС как в магиче-

в поле фонона g₂:

ских ядрах, так и ядрах со спариванием. По-

g₁₂ = δ₁FAg₂ + F(δ₁A)g₂ + FAg₁₂,

(2)

видимому, это представляет интерес в области

энергий гигантских и пигми-резонансов и должно

и показано на рис. 1. Уравнение (2) есть интеграль-

быть реализовано в рамках обобщенной теории

ное уравнение с двумя свободными членами.

этих резонансов. Во-вторых, этот вклад необхо-

В работах группы Курчатовского института

димо рассмотреть с использованием связи между

большое внимание уделялось подробному изу-

амплитудами рождения одного и двух фононов, т.е.

чению эффектов тэдпола, т.е. случаю g_LL. Это

связи амплитуд g и g₁₂, определяемой в простей-

связано с тем, что учет тэдпола необходим для

шем приближении L₁ = L₂ как эффекты тэдпола.

последовательного учета

“духового” состояния,

Иначе говоря, представляет интерес обобщить ре-

соответствующего случаю фонона с L = 1, ω = 0,

зультаты ТКФС, чтобы в рамках g²-приближения

т.е. сдвигу системы как целого, когда система не

и на языке метода ФГ учесть эффекты смешивания

меняется. В этом случае для поправок к среднему

однофононных и двухфононных возбуждений для

полю учет тэдпола (локальная, или “охватываю-

лучшего описания самих низколежащих фононов,

щая” диаграмма) полностью сокращает полюс-

точнее, проверить степень адекватности описания

ные диаграммы, см. рис. 2. Как оказалось, для

фононов в рамках МФХ (и аналогично, если по-

реальных фононов вклад тэдпольных диаграмм в

надобится в будущем, включить g³-поправки). Это

g²-поправках к среднему полю заметен и частично

обобщение является главной целью настоящей ра-

боты.

компенсирует вклад полюсных диаграмм [3].

Для статических электромагнитных моментов

нечетных ядер в основном состоянии [17, 18] был

2. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

выполнен анализ g²-поправок с использованием

САМОСОГЛАСОВАННОЙ ТКФС

самосогласованного подхода на основе функци-

Амплитуда рождения g фонона с моментом L

онала Фаянса. Поскольку эти величины опреде-

в ТКФС удовлетворяет однородному уравнению (в

ляются диагональным матричным элементом от

символическом виде) [1]:

вершины (эффективного поля) V , описываемой в

рамках (К)МХФ, точнее в рамках самосогласо-

g_L = FAg_L,

(1)

-поправок выполнялся

ванной ТКФС, то анализ g²

где F — эффективное взаимодействие Ландау-

для матричных элементов от вершины V . Были

Мигдала, которое в самосогласованной ТКФС

рассмотрены три вида g²-поправок: 1) основные

определяется как вторая вариационная производ-

пять поправок, которые дают большой вклад, —

ная по плотности от функционала, А — частично-

так называемые концевые поправки, и поправки от

дырочный пропагатор, представляющий собой

появления дополнительного взаимодействия, обу-

интеграл от двух ФГ. Это уравнение соответствует

словленного обменом фононами, которые, как ока-

обычному методу МХФ для магических ядер, запи-

залось, дают противоположные по знаку вклады

санному на языке ФГ. Если учитывать спаривание,

и сильно компенсируют друг друга, 2) несколь-

все величины в (1) являются соответствующими

ко поправок, которые содержат электромагнит-

матрицами [1] и тогда оно соответствует КМХФ. В

ный момент в возбужденном состоянии, именно

работах [6, 14, 15] была введена величина, которую

они оказались важными из-за того, что поправки

мы назвали [16] фононным тэдполом. Эта величи-

первой группы сильно компенсируют друг друга,

на, вообще говоря, представляет собой вариацию

3) поправки, связанные с изменением частично-

амплитуды рождения фонона g₁ с моментом L₁

дырочного пропагатора (две группы), и некоторые

в поле другого фонона g₂ с моментом L₂, но в

другие, эти поправки анализировались, и было

фононный тэдпол, по определению, входит g₁₂ c

показано, что их не надо учитывать в данной задаче.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

АНГАРМОНИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ТЕОРИИ

δΣ

Рис. 2. g²-поправкик массовомуоператорув магическихядрах. Кружки с однойволнистойлиниейв первомслагаемом —

амплитуды рождения фонона g. Волнистые линии — ФГ фонона D. Сплошные линии — одночастичные ФГ. Второе

слагаемое — фононный тэдпол (tadpole).

(2)

δ_LF

Рис. 3. Амплитуда перехода в два фонона для магических ядер (см. текст). Треугольник с пунктиром означает

эффективное поле V , определяющее поляризуемость ядра.

Результат этого анализа состоял в том, что та-

двухквазичастичных КОС, содержащихся в методе

кой подход для учета поправок позволяет заметно

(К)МХФ, эти новые КОС определяют приблизи-

улучшить описание экспериментальных данных.

тельно половину наблюдаемого эффекта, а другую

половину дает учет поляризуемости ядра, которая

Кроме поправок к статическим величинам

определяется эффективным полем V . В методе ФГ

(среднее поле, моменты нечетных ядер), вели-

трехквазичастичные КОС появляются в результате

чины g₁₂ с L₁ = L₂ оказались необходимыми

интегрирования трех одночастичных ФГ, каждая из

для анализа динамических эффектов второго и

которых содержит квазичастичную и квазидыроч-

третьего порядков по амплитуде g. Величины g²

ную (т.е. прямую и обратную) составляющие.

содержатся в явном виде в амплитудах переходов

Ангармонические эффекты третьего порядка по

в два фонона M⁽²⁾

, которые описывают: случай

L₁L₂

амплитуде g изучались для магических ядер и в

L₁ = L₂ электромагнитных моментов в возбужден-

приближении Бора-Моттельсона для амплитуды

ном состоянии, переходы между возбужденными

g в [6, 14]. Для ядер со спариванием они были

состояниями L₁ и L₂ и переход между основным и

обобщены в работе [22]. На рис. 4 показаны две

двухфононным состоянием, составленным из двух

характерные диаграммы для амплитуды перехода в

фононов с L₁ и L₂. Самосогласованные расчеты

три фонона M⁽³⁾

в магических ядрах без пере-

для первых двух случаев выполнялись в [19-21].

L₁L₂L₂

Диаграммы Фейнмана для амплитуды перехода в

становок фононов и без учета трех дополнительных

диаграмм, содержащих δF , которые по аналогии с

два фонона, описывающие эти ангармонические

результатом в [19], вероятно, должны вносить ма-

эффекты второго порядка, представлены на рис. 3.

лый вклад. Следует сразу отметить, что эффект от

Как показали расчеты в

[19], количественный

второго графика, содержащего трехквазичастич-

вклад второй диаграммы на рис. 3, содержащей

ные КОС и величину g₁₂, нигде не изучался. В пер-

изменение δF эффективного взаимодействия в

вом графике на рис. 4 содержатся четырехквази-

поле фонона, оказался мал. Важный результат

частичные КОС, обусловленные интегрированием

этих работ состоял в количественном анали-

зе новых, т.е. трехквазичастичных корреляций

четырех одночастичных ФГ. Для вывода формул,

в основном состоянии (КОС) (backward-going

соответствующих графикам на рис. 4, оказалось

необходимым использовать величину g₁₂₃, появ-

graphs). Оказалось, что в отличие от обычных

ляющуюся в результате вариации уравнения (2),

рис. 3 для g₁₂ в поле фонона 3, которая удовлетво-

ряет сложному интегральному уравнению с пятью

свободными членами, подробнее см. [22].

(3)

Для случая EL-перехода между двух- и одно-

фононным состояниями в ядрах со спариванием

аналитическая формула, соответствующая перво-

Рис. 4. Амплитуда перехода в три фонона для магиче-

му графику на рис. 4, была получена в [22] и срав-

ских ядер (см. текст).

нена с аналогичной формулой, полученной ранее в

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

КАМЕРДЖИЕВ, ШИТОВ

g₁₂₃₄!). Он не сделан, потому что, во-первых, как

говорилось в предыдущем разделе, уравнение для

g₁₂₃ имеет весьма сложный вид с большим количе-

ством свободных членов и, во-вторых, возможные

оценки этой величины должны быть связаны с дру-

гим и более сложным условием согласования [14].

Оба эти вопроса не изучены и находятся вне рамок

Рис. 5. Диаграммы высшего порядка для амплитуды

рождения одного фонона.

настоящей работы.

Что касается двух последних слагаемых в (4)

и на рис. 6, то можно попытаться рассмотреть их

рамках КФМ [23]. Найдено, что формула из [23] по-

подробнее, если использовать уравнение (2) для

лучается из наших формул, если пренебречь всеми

g₁₂. Подставляя правую часть уравнения (2) во

многочисленными слагаемыми, соответствующими

второе из двух (однотипных) последних слагаемых

четырехквазичастичным КОС, не говоря уже о

в (4), получим три весьма сложных выражения,

второй диаграмме на рис. 4, о которой говорилось

содержащих три или четыре ФГ G и одну ФГ

выше.

фонона D. Одно из них представлено графиком,

показанным на рис. 8, который получается после

3. ПОПРАВКИ К АМПЛИТУДЕ РОЖДЕНИЯ

подстановки второго свободного члена уравнения

ОДНОГО ФОНОНА

(1) в величину (ϕλ1 , δ⁽¹⁾gδ⁽¹⁾ϕλ2 ) в (4) (последний

график на рис. 6). Похожий график с заменой

Мы используем g²-приближение, т.е. факт су-

амплитуды g на вершину V обсуждался в [17], где

ществования малого параметра [11, 12]

было показано, что такого рода графики не сле-

|〈1||g_s||2〉|

дует включать в задачу учета g²-поправок. Таким

α=

< 1,

(3)

(2j₁ + 1)ω2s

образом, подстановка правой части уравнения (2)

в последние графики на рис. 6 сильно усложняет

где 〈1||gs||2〉 — приведенный матричный элемент

задачу и фактически на данном этапе не нужна.

амплитуды рождения фонона c энергией ω_s.

Для анализа вклада двух последних графиков в (4),

Для простоты рассматриваются магические яд-

на рис. 6 необходимо попытаться использовать

ра и не учитываются эффекты порядка g³, содер-

уже имеющуюся оценку самой величины g₁₂, см.

жащие амплитуду рождения трех фононов δ⁽²⁾g =

следующий раздел.

= δ₁δ₂g₃ = g₁₂₃. Кроме того, не учитываются гра-

фики, показанные на рис. 5, которые содержат

фононную “треххвостку”, поскольку, как видно из

4. СВЯЗЬ АМПЛИТУД РОЖДЕНИЯ

ОДНОГО И ДВУХ ФОНОНОВ

рис. 5, они имеют более высокий порядок g⁵.

Тогда g²-поправки к матричному элементу

Эта связь, которая иллюстрируется на рис. 6

gλ1,λ₂ = (ϕλ₁ ,gϕλ₂ ) имеют вид

двумя последними графиками, требует специаль-

ного анализа. Во-первых, можно с большой сте-

Δgλ1,λ₂ = (δ⁽²⁾ϕλ₁ ,gϕλ₂ ) +

(4)

пенью уверенности утверждать, что слагаемые, со-

ответствующие сумме пятого графика и первых

+ (ϕλ1 , gδ⁽²⁾ϕλ2 ) + (δ⁽¹⁾ϕλ1 , gδ⁽¹⁾ϕλ2 ) +

четырех графиков на рис. 6, сильно компенсируют

+ (δ⁽¹⁾ϕλ1 , δ⁽¹⁾gϕλ2 ) + (ϕλ1 , δ⁽¹⁾gδ⁽¹⁾ϕλ2 ) ≡

друг друга. Для аналогичного случая, когда вместо

амплитуды g входит вершина V , это показано в

≡ Δgendλ

+ Δg^GGDλ

+ Δg^new ._λ

1λ2

расчетах магнитных и квадрупольных моментов ос-

Диаграммы Феймана, отвечающие этим поправ-

новного состояния нечетных ядер в работах [17, 18].

кам, показаны на рис. 6. Величина Δg^end со-_λ

Поэтому остальные два слагаемых на рис. 6, кото-

1λ2

держит четыре слагаемых, показанных на первых

рые реализуют связь амплитуд одного и двух фоно-

четырех графиках, а Δg^new

— это два последних

нов, могут оказаться существенными. Во-вторых,

λ₁λ₂

это обстоятельство является весьма важным, хотя

слагаемых из пяти в (4), представленные двумя

бы частично, в силу физических причин, описанных

последними графиками на рис. 6. В соответствии

во Введении.

с нашим предположением о неучете эффектов тре-

тьего порядка слагаемое, показанное на рис. 7,

Как уже говорилось, решение уравнения (2) для

которое содержит g₁₁₃, не включено в (4). Вооб-

амплитуды рождения двух фононов, входящей в

ще говоря, анализ роли амплитуды рождения трех

эти два графика, весьма трудоемко. Оно решалось

фононов g₁₂₃ желателен, потому что амплитуды g₁₂

в координатном представлении только в работах

и g₁₂₃ связаны между собой (также как и g₁₂₃, и

А.П. Платонова [15] для других по сравнению с

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

АНГАРМОНИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ТЕОРИИ

Δg

Рис. 6. Диаграммы, определяющие g²-поправки к амплитуде рождения одного фонона.

нашей задач. Поэтому на данном этапе необходи-

Ранее рассматривался только частный случай

мо выполнить анализ этих двух слагаемых с ис-

g_LL, соответствующий L₁ = L₂ (случай тэдпола),

пользованием имеющихся реалистических оценок

поэтому для простоты рассмотрим этот же случай

амплитуды g₁₂. Эти оценки основаны на том, что в

для нашей задачи анализа величины Δg^new (два_λ

1λ2

случае “духового” 1^--состояния точным решением

графика на рис. 6). Величина g_LL в координатном

уравнения для амплитуды g₁ является ω = 0, g₁ =

представлении имеет вид [15]

= α₁∂U/∂r, где U — среднее поле, что совпадает

∑

с результатами теории Бора-Моттельсона [11].

g_LL(r) =

aKΩLLYKΩ(n)M^KLL(r),

(6)

Тогда, поскольку δ₁g₁ есть изменение g₁ в поле

KΩ

дипольного “духового” фонона, которое вызвано

где

⎛

⎞

сдвигом центра тяжести системы, то для этого

случая можно получить из уравнения для g₁₁

aKΩLL

= (-1)M′+Ω ⎝ ^LLK

⎠_×

(7)

(δ₁g₁)_ik = C²∂²U/∂r_i∂ r_k,

(5)

M -M^′ -Ω

⎛

⎞

(

)1/2

где C — нормировочная константа. Для произ-

2K + 1

вольного L, т.е. реального фонона, главная часть

×⎝LLK⎠(2L+1)

δ_Lg_L пропорциональна δ₁g₁ и, как показали рас-

4Π

четы [15], объемная квантовая поправка невели-

ка по сравнению с поверхностной классической

K = 0,2 и аналогично для свободных членов в

компонентой δ₁g₁. Поэтому можно использовать

уравнении для g_LL. Тогда, решая уравнение для

оценку (5), положив коэффициент пропорциональ-

радиальной части MK11(r) с учетом похожести ре-

ности равным коэффициенту динамической дефор-

шений уравнений для g₁₁ и g_LL можно записать:

(

)

мации α_L.

∂²U

2 ∂U

M0LL(r) = α²

(8)

∂r²

r ∂r

(

)

∂²U

∂U

M2LL(r) = α2L

∂r²

∂r

Рис. 7. Диаграмма высшего порядка для амплитуды

где U — самосогласованный потенциал ядра.

рожденияодногофонона,содержащаяамплитудурож-

Общая формула, которая в (4) обозначается как

дения g113 трех фононов.

Δgnewλ

для случая L₁ = L₂ = L, имеет вид

1λ2

∑

L-MLM^′

(ΔgnewLL)₁₃ =

gLM13 g

(9)

Iλ1λ₃L,

λ₂M

где

⎛

⎞

Рис. 8. Одна из сложных диаграмм, определяющая

gLM13 = (-1)j1-m1 ⎝j1 Lj3

⎠_×

(10)

амплитуду рождения одного фонона (см. текст).

−m₁ M m₃

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

КАМЕРДЖИЕВ, ШИТОВ

× 〈ν₁||g^L||ν₃〉,

для полумагических ядер в методе КФМ [23], где

учет смешивания с двумя фононами заметно изме-

∫

dω

нил вероятность Е1-перехода.

Iλ1λ₃L = Gλ₃ (ελ₁ + ω)DL(ω)

(11)

2Πi

Следует также отметить важность предложен-

ного здесь метода для других задач. Если вместо

-nλ3

-(1 - n)λ3

амплитуды g рассмотреть два аналогичных сла-

ελ1 - ελ3 + ω_L

ελ1 - ελ3 - ω_L

гаемых, или графика, в которых вместо g сто-

Здесь и ниже индексы 1, 2, 3 означают на-

ит эффективное поле V , то, используя предло-

бор одночастичных квантовых чисел

1≡λ₁ ≡

женную методику, можно рассчитать два слага-

≡ (n₁, j₁, l₁, m₁) ≡ (ν₁, m₁) (сферические ядра).

емых (δ⁽¹⁾ϕλ1 δ⁽¹⁾V ϕλ2 ) и (ϕλ1 δ⁽¹⁾V δ⁽¹⁾ϕλ2 ). При

Подставляя (6), (7) в (9), находим

этом следует воспользоваться формулой, анало-

∂U

гичной вышеупомянутой формуле g₁ = α_L

, но

(ΔgnewLL) = (ΔgnewLL)λ1λ₂LM′ =

(12)

∂r

∂V

⎛

⎞

для δ⁽¹⁾V ∼ α_L

, которая была предложена в

∂r

работе [24]. Тогда, поскольку электромагнитные

= (-1)j1-m1 ⎝j1 j² L

⎠(Δgnew

)ν1ν₂L,

моменты нечетных ядер в основном состоянии

-m₁ m₂ M^′

определяются диагональным матричным элемен-

том 〈λ₁|V |λ₂〉, можно оценить суммарный вклад

(ΔgnewLL)ν1ν₂L = (2L + 1) ×

⎛

⎞

{

}

связи фононов типа (δ⁽¹⁾ϕλ1 δ⁽¹⁾V ϕλ2 ), не оценивая

∑

⁽ 2K + 1⁾

отдельные слагаемые, входящие в эту величину,

1/2 ⎝^LLK⎠j1 j² L

как это делалось в [17]. Таким образом, можно

4Π

ν₃K

K L j₃

уточнить результаты самосогласованных расчетов

в работах [17, 18] для магнитных и квадрупольных

× 〈ν₃||Y_K ||ν₂〉〈ν₁||g^L||ν₃〉Iν1ν₃L(

)ν3ν₂ ,

моментов нечетных ядер в основном состоянии. В

где

работе А.П. Платонова, см. [24], соответствующие

∫

несамосогласованные расчеты выполнялись для

(r)Rν2 r²dr,

(13)

(M^KLL)ν3ν₂ = Rν3

других физических характеристик.

Во Введении были названы два пути развития

Rν3 , Rν2 — одночастичные радиальные волновые

ТКФС. Первый — в области энергий низколежа-

функции и приведенные матричные элементы рас-

щих фононов, который описан в настоящей работе.

считываются по обычной схеме.

Второй — в области энергий гигантских и пигми-

Аналогично получаются формулы и для другого

резонансов. Можно думать, что эти две большие,

из двух последних слагаемых в (4) и на рис. 6.

хотя и несравнимые по количеству работы задачи,

Расчеты, как по полученным здесь новым фор-

должны быть названы как третий этап развития

мулам (9)-(13), так и по остальным формулам,

ТКФС. Настоящая работа является первым шагом

соответствующим графикам на рис. 6, вклад кото-

в этом направлении.

рых необходимо проверить, должны быть сделаны

Полученные результаты, к сожалению, не об-

в отдельной работе.

суждались с Э.Е. Саперштейном. Но, конечно, они

не могли быть получены, если бы не совместная

многолетняя работа одного из авторов (С.К.) с

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Э.Е. Саперштейном, у которого этот автор многому

В работе предложен метод проверки правиль-

научился.

ности описания низколежащих фононов, которое

Авторы благодарны организаторам семинара

основано на предположении, что фононы описыва-

INFINUM за поддержку и С.В. Толоконникову за

ются в рамках метода (К)МХФ, формулируемого

полезные обсуждения материалов работы.

в стандартной теории конечных ферми-систем на

Исследование выполнено при финансовой под-

языке ФГ. Точнее, рассмотрены поправки перво-

держке РФФИ в рамках научного проекта № 19-

го порядка к амплитуде рождения фонона, осно-

32-90186

и поддержано грантом РНФ 16-12-

ванные на существовании малого g²-параметра.

10155.

По-видимому, наибольший интерес будет иметь

применение предлагаемого подхода к полумагиче-

ским ядрам, где указанные поправки могут доста-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

точно заметно изменить результаты, полученные

1. А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и

с использованием указанного предположения. По

свойства атомных ядер (Наука, Москва, 1965).

крайней мере, для задачи ангармонических эффек-

2. А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем

тов второго порядка, решенной без учета КОС, это

и свойства атомных ядер, 2-е изд. (Наука,

было продемонстрировано на нескольких примерах

Москва, 1983).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

АНГАРМОНИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ТЕОРИИ

Э. Е. Саперштейн, С. В. Толоконников, ЯФ 79, 703

15. V. A. Khodel, A. P. Platonov, and E. E. Saperstein,

(2016) [Phys. At. Nucl. 79, 1030 (2016)].

J. Phys. G: Nucl. Phys. 6, 1199 (1980).

С. П. Камерджиев, О. И. Ачаковский, С. В. Толо-

16. S. P. Kamerdzhiev and E. E. Saperstein, Eur. Phys.

конников, М. И. Шитов, ЯФ 82, 320 (2019) [Phys.

J. A 37, 333 (2008).

At. Nucl. 82, 366 (2019)].

17. Э. Е. Саперштейн, О. И. Ачаковский, С. П. Камер-

И. Н. Борзов, Э. Е. Саперштейн, С. В. Толокон-

джиев, З. Кревальд, Й. Шпет, С. В. Толоконников,

ников, ЯФ 71, 493 (2008) [Phys. At. Nucl. 71, 469

ЯФ 77, 1089 (2014)

[Phys. At. Nucl. 77, 1033

(2008)].

(2014)].

V. A. Khodel and E. E. Saperstein, Phys. Rep. 92, 183

18. E. E. Saperstein, S. Kamerdzhiev, D. S. Krepish,

(1982).

S. V. Tolokonnikov, and D. Voitenkov, J. Phys. G:

Э. Е. Саперштейн, С. С. Панкратов, М. В. Зверев,

Nucl. Part. Phys. 44, 065104 (2017).

М. Балдо, У. Ломбардо, ЯФ 72, 1167 (2009) [Phys.

At. Nucl. 72, 1121 (2009)].

19. D. Voitenkov, S. Kamerdzhiev, S. Krewald,

M. Baldo, U. Lombardo, E. E. Saperstein, and

E. E. Saperstein, and S. V. Tolokonnikov, Phys.

M. V. Zverev, Phys. Rep. 391, 261 (2004).

Rev. C 85, 054319 (2012).

S. Kamerdzhiev, J. Speth, and G. Tertychny, Phys.

20. С. П. Камерджиев, Д. А. Войтенков, Э. Е. Сапер-

Rep. 393, 1 (2004).

штейн, С. В. Толоконников, Письма в ЖЭТФ 108,

10.

С. П. Камерджиев, А. В. Авдеенков, Д. А. Войтен-

155 (2018) [JETP Lett. 108, 155 (2018)].

ков, ЯФ 74, 1509 (2011) [Phys. At. Nucl. 74, 1478

21. С. П. Камерджиев, Д. А. Войтенков, Э. Е. Сапер-

(2011)].

штейн, С. В. Толоконников, М. И. Шитов, Письма

11.

О. Бор, Б. Моттельсон, Структура атомного

в ЖЭТФ 106, 132 (2017)

[JETP Lett. 106, 139

ядра, т. 2 (Мир, Москва, 1977).

(2017)].

12.

А. В. Авдеенков, С. П. Камерджиев, ЯФ 62, 610

22. С. П. Камерджиев, М. И. Шитов, Письма в ЖЭТФ

(1999) [Phys. At. Nucl. 62, 563 (1999)].

109, 65 (2019) [JETP Lett. 109, 69 (2019)].

13.

В. Г. Соловьёв, Теория атомного ядра. Квази-

23. V. Yu. Ponomarev, Ch. Stoyanov, N. Tsoneva, and

частицы и фононы (Энергоатомиздат, Москва,

M. Grinberg, Nucl. Phys. A 635, 470 (1998).

1989).

14.

В. А. Ходель, ЯФ 24, 704 (1976) [Sov. J. Nucl. Phys.

24. А. П. Платонов, Препринт ИАЭ-3786/2 (Москва,

24, 367 (1976)].

1983).

ANHARMONIC EFFECTS

IN THE THEORY OF FINITE FERMI SYSTEMS

S. P. Kamerdzhiev¹⁾, M. I. Shitov¹⁾

1) National Research Center “Kurchatov Institute”, Moscow, Russia

A short review of the results by E.E. Saperstein and his coauthors devoted to the theory of ground and

low-lying excited states of magic and semi-magic nuclei is given. Here, the corrections to the low-lying

phonon creation amplitude g are considered for the first time. They are based on existence of a small

parameter and contain a tadpole coupling between one- and two-phonon-creation amplitudes.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020