ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 1, с. 16-24

ЯДРА

ВЛИЯНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НУКЛОННОЙ ПЛОТНОСТИ

НА ОПИСАНИЕ РАСПАДА ЯДРА

Поступила в редакцию 28.08.2019 г.; после доработки 27.09.2019 г.; принята к публикации 27.09.2019 г.

Параметры, используемые в самосогласованных расчетах распределения нуклонов в ядрах, пред-

лагается проверить при вычислении ядро-ядерного потенциала, необходимого для рассмотрения

распадов ядра. Показана корреляция распределения нуклонов и параметров нуклон-нуклонного

взаимодействия. На основе модели двойной ядерной системы разработан единый подход для расчета

характерных времен альфа-распада и спонтанного деления.

DOI: 10.31857/S0044002720010122

1. ВВЕДЕНИЕ

для описания взаимодействия двух ядер. Вычис-

ление этого взаимодействия требуется для анализа

Основной целью ядерной теории является раз-

столкновения ядер, динамики двойных ядерных си-

работка универсального подхода, применимого для

стем (ДЯС), предразрывной стадии деления ядер и

описания структуры ядра и ядерных реакций. Хо-

кластерной радиоактивности (КР).

тя неэмпирические (ab initio) подходы открывают

Процессы КР и спонтанного деления атомных

соответствующую перспективу, они в настоящее

ядер характеризуются большим временем, необ-

время используются лишь для описания относи-

ходимым для экспериментального наблюдения. В

тельно легких ядер. Ab initio и феноменологиче-

связи с этим большое значение приобретает тео-

ские подходы, как правило, разрабатываются либо

ретическое предсказание периодов полураспада.

для описания свойств ядер, либо для описания

Кроме того, теоретическое описание кластерного

динамики ядерных реакций.

и спонтанного деления необходимо для фундамен-

В работе [1] профили плотности нуклонов в сфе-

тального понимания процессов, происходящих в

рических ядрах рассчитывались на основе частич-

делящихся ядрах. Расчеты периодов полураспада,

но ab initio микроскопического подхода [2], в ко-

как ожидается, чувствительны к потенциалу взаи-

тором функционал плотности энергии (ФПЭ) кон-

модействия ядер. В работе [1] мы использовали фе-

струировался с использованием взаимодействия

номенологический потенциал, который достаточно

свободных нуклонов с несколькими феноменологи-

хорошо описывает положение и высоту кулонов-

ческими параметрами. С этим ФПЭ самосогласо-

ского барьера. В данной статье применим этот по-

ванно вычислялось распределение нуклонов в яд-

тенциал для описания кластерной радиоактивности

ре, которое потом использовалось для нахождения

и спонтанного деления. Отметим, что эмиссия кла-

потенциала взаимодействия между двумя ядрами.

стеров и спонтанное деление будут рассмотрены в

рамках единого подхода.

При самосогласованных расчетах распределе-

ния плотности нуклонов [1-5] было обнаружено,

что параметры радиуса и диффузности ядра име-

ют меньшие величины, чем используемые в фе-

2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУКЛОННОЙ

номенологическом подходе. Поэтому необходимо

ПЛОТНОСТИ

проверить применимость полученных результатов к

В сферических ядрах распределение нуклонной

расчету ядро-ядерного потенциала, используемого

плотности ρ обычно берется в виде трехпараметри-

¹⁾Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбо-

ческой симметризированной функции Ферми:

ва, Объединенный институт ядерных исследований, Дуб-

ρ₀

на, Россия.

ρ(r) =

(1)

1 + exp[(r - R)/a]

²⁾Национальный исследовательский Томский политехниче-

ский университет, Россия.

где ρ₀ — плотность нуклонов в центре ядра, R =

³⁾Казанский (Приволжский) федеральный университет,

Россия.

= r₀A1/3 — радиус ядра с параметром r₀, a — па-

^*E-mail: isrogov@theor.jinr.ru

раметр диффузности. Как видно на рис. 1, профиль

ВЛИЯНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НУКЛОННОЙ ПЛОТНОСТИ

плотности нуклонов хорошо описывается выраже-

Было обнаружено, что r₀ слабо зависит от числа

нием (1). Выражение

нейтронов в ядре. Основываясь на вычислениях

профилей нуклонной плотности, предложена пара-

ρ₀ =

(

)₂

(2)

метризация для оценки параметра радиуса:

4πr³

πa

⁰1+

r₀A1/3

r₀ = Z0.027.

(3)

обеспечивает необходимую нормализацию (1). С

В соответствии с уравнением (3), величина r₀ ва-

величинами параметров r₀ и a, полученных при фи-

рьируется от 1.07 фм для Mg до 1.135 для Ds.

тировании найденного в самосогласованных рас-

Как видно на рис. 2 и 3, рассчитанные диффуз-

четах профиля ядерной плотности (рис. 1), из

ности для Sn и Pb имеют локальные минимумы при

уравнения (2) следует ρ₀ = 0.158, 0.162, 0.156 и

N = 50, 82 и 118, также присутствует минимум a

0.154 фм-3 для⁶⁴Ni,¹²²Sn,¹⁹⁶Pb и²⁷⁶Ds соот-

при N = 162-164 в ядре Ds. Несмотря на то что

ветственно. Эти величины ρ₀ отличаются от по-

некоторые изотопы являются деформированными

лученных при трехпараметрическом фитировании

в основном состоянии, в данном исследовании

(рис. 1). Таким образом, трехпараметрическое фи-

они рассматриваются сферическими для выявле-

тирование не приводит к ρ(r), нормализованной на

ния изотопических зависимостей диффузностей без

общее число нуклонов. Используя ρ₀ из уравне-

учета поляризационных эффектов, вызванных де-

ния (2), был описан профиль нуклонной плотности

формацией [6]. В одночастичных моделях сфериче-

с параметрами r₀ и a и получена нормализованная

ских ядер эти нейтронные оболочки и подоболочки

величина ρ(r). Как видно из рис. 1, величины

замкнуты на уровнях с высоким значением угло-

ρ₀, полученные таким методом, близки к значе-

вого орбитального момента (l ≥ 7) [7]. Поэтому

центробежный барьер ограничивает диффузности

нию 0.16 фм-3, которое соответствует бесконечной

ядер с такими оболочками. Для Pb магическое

ядерной материи, а небольшие изменения ρ₀ имеют

нейтронное число N = 126 не проявляется в зави-

второстепенное значение для описания диффузно-

симости a(N), поскольку эта оболочка замкнута на

го слоя распределения плотности нуклонов. Для

уровне с малой величиной углового орбитального

рассмотрения изотопической зависимости r₀ и a и

момента.

упрощения вычислений ядро-ядерного потенциала

возможно с хорошей точностью положить ρ₀ =

Зависимости a от N на рис. 2 и 3 сложно

фитировать простой формулой. Поскольку значе-

= 0.16 фм-3, а фитирование профиля распределе-

ние a связано с энергией S_N отделения нейтрона

ния производить по r₀ и a. Использование такого

значения ρ₀ позволяет сосредоточиться на качестве

как 1/√SN, предполагается простая параметриза-

описания нуклонной плотности в области r > 0.8R

ция [1]

(рис. 1). Поскольку диффузный слой распределе-

√

ния нуклонной плотности ответственен за ядро-

a(N) = a₀

S₀/S_N ,

(4)

2N - N₀

ядерное взаимодействие, качество самосогласо-

ванного расчета может быть проверено путем вы-

где a₀ и S₀ — диффузность и энергия отделения

числения ядро-ядерного потенциала. Кроме того,

нейтрона соответственно для изотопа с нейтрон-

измеряемой величиной является высота кулонов-

ным числом N₀. Для S₀ и S_N можно использовать

ского барьера.

как экспериментальные, так и расчетные значения.

Как видно на рис. 2 и 3, данное выражение поз-

Для фиксированных значений ρ₀ = 0.16 фм-3

воляет с удовлетворительной точностью оценивать

и r₀ = 1.15 фм описание профиля распределения

величину диффузности.

нуклонов становится хуже (рис. 1), особенно для

легких ядер. Для тяжелых ядер профиль нуклонной

плотности может быть хорошо описан даже при

3. МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА ПЕРИОДОВ

фиксированных значениях ρ₀ и r₀.

ПОЛУРАСПАДА

В дальнейшем нами использовалось двухпа-

В подходе ДЯС [8] ядро в предделительном со-

раметрическое приближение при ρ₀ = 0.16 фм-3,

стоянии или в состоянии перед эмиссией кластера

поскольку данное значение близко к полученному в

представляется как система, состоящая из двух

трехпараметрическом приближении, приводящем к

дочерних ядер (кластеров). Предполагая быстрое

нормализованной зависимости ρ(r). Если величина

установление N/Z-равновесия, состояние такой

ρ₀ зафиксирована в уравнении (1), фитирование

системы описывается двумя координатами: рас-

профиля нуклонной плотности приводит к более

стоянием между центрами масс кластеров R и

гладкой зависимости параметра a от числа нейтро-

зарядовой асимметрией η_Z :

нов N. Хотя само значение a в данном приближе-

Z_H - Z_L

нии несколько больше, качественная зависимость

η_Z =

от N сохраняется.

Z_H + Z_L

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

РОГОВ и др.

ρ, фм^-3

0.16

¹⁹⁶Pb

0.12

0.08

0.04

r, фм

ρ, фм^-3

0.16

¹²²Sn

0.12

0.08

0.04

r, фм

Рис. 1. Рассчитанное распределение нуклонной плотности (точки) для указанных сферических ядер. Кривые: сплош-

ные — результаты трехпараметрического фитирования согласно (1), штриховые — результаты двухпараметрического

фитирования при ρ0, определенномсогласно уравнению (2), точечные — результаты однопараметрическогофитирования

при заданных ρ0 = 0.16 фм-3 и r0 = 0.15 фм.

где Z_H , Z_L — зарядовые числа тяжелого и легкого

включает в себя обратный массовый параметр

(

)

кластеров соответственно. Движение системы по

B-1

и потенциальную энергию U(R, η_z ) взаи-

ηz

координате зарядовой асимметрии соответствует

модействующих кластеров.

процессу формирования и эволюции ДЯС, а непо-

Значение спектрофактора S(Z_L) = S_L для ДЯС

средственно распад ДЯС происходит при движе-

с заданным Z_L легкого кластера определяется из

нии по R.

решения уравнения (5) следующим образом:

Вероятность S_L обнаружения ДЯС в состоянии

с заданным η_Z может быть определена при реше-

∫

нии стационарного уравнения Шредингера:

S_L =

|Ψ(η_Z )|²dη_Z ,

HΨ_n(η_z) = E_nΨ_n(η_z),

(5)

η_Z-1/Z

где коллективный гамильтониан:

где Z = Z_L + Z_H . Для решения (5) необходимо

(

)

ℏ

∂

определить потенциальную энергию и массовый

H =-

B-1

+ U(R,η_z)

2 ∂η_z

η^z ∂η_z

параметр.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

ВЛИЯНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НУКЛОННОЙ ПЛОТНОСТИ

a, фм

0.50

0.48

0.46

0.44

Рис. 2. Извлеченная из самосогласованных расчетов изотопическая зависимость диффузности для сферических

изотопов Sn. Величины a получены при ρ0 = 0.16 фм-3

Фитирование сплошной кривой с помощью (4) показано

штрихпунктирной кривой.

3.1. Потенциальная энергия ДЯС

Ядро-ядерный потенциал взаимодействия V

представлен в виде суммы кулоновского V_C,

Потенциальная энергия ДЯС (управляющий

ядерного V_N и, при наличии углового момента

потенциал) записывается в виде [9]

J, центробежного V_r = ℏ²J(J + 1)/(2ℑ) [где ℑ -

U (R, η_Z ) = V (R, η_Z ) - (B - B_L - B_H ),

момент инерции ДЯС] потенциалов:

где V — потенциал взаимодействия кластеров,

V (R, η_Z ) = V_C(R, η_Z ) +

B —энергиясвязиматеринскогоядра,аB_L,B_H —

+ V_N(R,η_Z) + V_r(R,η_Z).

энергии связи кластеров, составляющих ДЯС.

Значения энергий связи брались из [10].

Кулоновский потенциал для соосных фрагментов

рассчитывается следующим образом:

⎛

a, фм

∑

e²Z_LZ

V_C =

⎝₁₊

√

R2iβ2i +

0.55

20πR²

i=L,H

⎞

∑

(R_iβ2i)²⎠,

+ 7πR

0.54

i=L,H

где для параметров квадрупольной деформации

β2i использовались экспериментально получен-

ные [11] или рассчитанные [12] значения.

0.53

Форма кластеров в ДЯС определяется как

R_i(θ) = r0iA1/3i (1 + β2iY₂₀(θ)).

Поскольку мода, ответственная за N/Z-равнове-

0.52

сие, является достаточно быстрой, величина по-

тенциальной энергии минимизирована по N для

100

105

110

115

120

125

каждого значения η_Z . Взаимная ориентация ядер

соответствует минимуму их взаимодействия.

Рис. 3. Извлеченная из самосогласованных расче-

Ядерная часть V_N потенциала вычислялась фе-

тов изотопическая зависимость диффузности для сфе-

номенологически:_∫

рических ядер Pb. Величины a получены при ρ0 =

= 0.16 фм-3.

V_N = ρ_H(r_H)ρ_L(R - r_L)F(r_H - r_L)dr_Hdr_L,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

РОГОВ и др.

U_i, МэВ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1 - η_z

Рис. 4. Управляющий потенциал для²³⁸U. Кривые: тонкая — результаты расчета с феноменологическими параметрами,

жирная — расчет с параметрами плотности нуклонов, определенными при самосогласованном рассмотрении, и пере-

определенным ξex = -3.35.

где нуклонные силы:

В данной области волновая функция Ψ₀(η_Z ) имеет

[

локальный максимум.

ρ(r_H )

F (r_H - r_L) = C₀ F_in

При расчете нуклон-нуклонных потенциалов с

ρ₀

параметрами распределения нуклонов, полученны-

(

)]

ми при самосогласованном рассмотрении, и неиз-

ρ(r_H )

+F_ex

δ(r_H - r_L),

менными параметрами нуклон-нуклонного взаимо-

ρ₀

действия наблюдается увеличение величины по-

тенциала. В этом случае барьеры кулоновского

A_L - 2Z_L

A_H - 2Z_H

Fin,ex = ξin,ex + ξⁱ

n,ex

взаимодействия ядер значительно возрастают и

A_L

A_H

в управляющем потенциале не наблюдается ямы,

и ρ(r_H ) = ρ_H (r_H ) + ρ_L(R - r_L). Константы ξ_in =

ответственной за спонтанное деление. Таким об-

= 0.09, ξ_ex = -2.59, ξ′in = 0.42, ξ′ex = 0.54, C₀ =

разом, необходимо переопределение параметров

= 300 МэВ фм³ взяты из [13]. Нуклонная плот-

F (r_H - r_L), т.е. его согласования со значениями a и

ность представлена в виде

r₀. Для комбинации¹⁰⁶Mo +¹³²Sn была подобрана

ρ₀

величина ξ_ex = -3.35, при которой минимум управ-

ρ_L,H(r) =

ляющего потенциала не меняется по сравнению с

1 + exp(|r - R_L,H|/a_L,H)

феноменологическим расчетом (рис. 4 и 5). В этом

где ρ₀ = 0.17 фм-3 и R_L,H = r0L,0H A1/3L,H . Пара-

случае изменяется форма управляющего потенци-

ала в области Z = 2-20, снижая высоту потен-

метры a_L,H = 0.47-0.56 фм и r0L,0H = 1.0-1.16 фм

циального барьера; в области близкой к симмет-

варьировались в зависимости от массы кластера.

ричной, в частности в области спонтанного деле-

С этими параметрами удается достаточно хорошо

ния, не наблюдается значительного расхождения.

описать высоты и положения кулоновских барье-

Данное изменение, однако, слабо влияет на форму

ров для многих реакций. Далее мы также применим

параметры, полученные в самосогласованном рас-

волновой функции Ψ₀(η_Z ), поскольку возможное

чете. При этом необходимо будет переопределить

смещение плотности вероятности в область спон-

параметры нуклон-нуклонного взаимодействия,

танного деления ограничивает потенциальная яма

как и в работе [1].

в области альфа-частицы.

Пример расчета управляющего потенциала для

На рис. 5 для системы¹⁰⁶Mo +¹³²Sn сравнива-

²³⁴U показан на рис. 4. Спонтанное деление для

ются ядро-ядерные потенциалы, рассчитанные фе-

²³⁴U преимущественно осуществляется в области

номенологически и с использованием результатов

Z = 36-38, где управляющий потенциал опускает-

самосогласованного рассмотрения и переопреде-

ся ниже уровня энергии материнского ядра (рис. 4).

ленной ξ_ex. Поскольку самосогласованные расчеты

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

ВЛИЯНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НУКЛОННОЙ ПЛОТНОСТИ

V, МэВ

параметр дает диагональный матричный элемент:



240

ℏ² ∑∂n(ϵ)



M^diag =

⁽ ∂ϵ_k )2 ,

(7)



∂ϵ

∂η_Z

ϵ=ϵ_k

230

где ϵ_k и n(ϵ_k) — энергии одночастичных уровней

и соответствующие им числа заполнения. Величи-

на Δ определяет среднюю ширину одночастичных

220

уровней, описывающую связь 1p1h-состояний с

более сложными многочастичными конфигурация-

210

ми. Следуя результатам работы [17], величина Δ

бралась равной 1.0 МэВ. В расчете использова-

лись спектры одночастичных уровней, полученные

200

в рамках адиабатической двухцентровой модели

среднего поля [18]. Как показали вычисления, мик-

роскопические значения массового параметра ока-

зываются близкими к результатам выражения (6).

12.0

12.5

13.0

13.5

14.0

14.5

15.0

15.5

R, фм

3.3. Нахождение волновой функции

в управляющем потенциале

Рис. 5. Ядро-ядерный потенциал взаимодействия для

системы¹⁰⁶Mo +¹³²Sn. Кривые: сплошная — ξex =

Для удобства решения уравнения (5) перейдем к

= -2.59, штриховая — ξex = -3.35.

новой координате:

Z_L

x=2

=1-η_Z.

дают меньшие значения r₀ и a, положения ми-

нимума ядро-ядерного потенциала и кулоновского

При такой замене областью определения волновой

барьера сдвигаются в сторону меньших R. Высота

функции Ψ(x) является x ∈ (0, 1), где x = 0 соот-

кулоновского барьера в этом случае повышается на

ветствует состоянию моноядра, а x = 1 — наибо-

несколько МэВ. В данной работе мы переопреде-

лее симметричной конфигурации ДЯС. Координата

ляли лишь параметр ξ_ex. Как показано в работе [1],

x выбрана непрерывной, что позволяет предста-

также можно переопределять и функциональный

(

)

вить U и

B-1

в виде ступенчатой функции.

вид нуклон-нуклонного взаимодействия. При этом

η_Z

удается получить лучшее согласие с феноменоло-

В таком случае уравнение (5) можно заменить на

гическим потенциалом.

систему уравнений вида

(

)

ℏ²

∂²

B-1

ψ_j(x) +

(8)

⁻ 2

η_Z ∂x²

3.2. Массовый параметр

+ U_jψ_j(x) = Eψ_j(x),

Расчеты массового параметра выполнены со-

связанных граничными условиями:

гласно [14] с использованием следующего выраже-

⎧

⎫

ния:

⎬

^⎨ψ_j(x_j) = ψj+1(x_j)

(

)

A_neck

(9)

⎩∂ψj(xj)

⎭

B-1

√

(6)

ηz

= ∂ψj+1(xj)

2m₀ 2

2πb²A²

∂x

j=0..(N-1)

где параметр b характеризует размер шейки ДЯС,

Уравнения (8) имеют решения в виде суперпо-

A_neck — число нуклонов шейки:

зиции плоских волн:

∫

(

)

z²

ψ_j(x) = a_jeikjx + b_je-ikjx;

(10)

A_neck =

[ρ_L(r) + ρ_H (R - r)] exp

dr,

b²

)

(E - U_j).

j =√(

где оси ядер ДЯС расположены вдоль оси z, а

ℏ²

B-1

значение z = 0 соответствует ρ_L = ρ_H (точка каса-

ηz

ния). Массовый параметр коллективного движения

Таким образом, решение уравнения (5) сводится к

ядра по координате зарядовой асимметрии также

отысканию коэффициентов a_j , b_j. Для этого под-

рассчитывался микроскопически в рамках теории

ставим решения (10) в условия (8):

линейного отклика [15-17]. Для касательной кон-

фигурации кластеров основной вклад в массовый

a_jeikjx^j + b_je-ikjx^j =

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

РОГОВ и др.

⎛

⎞⎛

⎞

Таблица 1. Спектроскопические факторы для⁴⁴Ti (зна-

eikj+1x^j

e-ikj+1x^j

aj+1

=^⎝

⎠⎝

⎠_,

чения S_L(Z_L) и S^∗L(Z_L) получены с феноменологиче-

скими и микроскопическими массовыми параметрами

kj+1eikj+1x^j

-kj+1e-ikj+1x^j

bj+1

соответственно)

L_jC_j = Lj+1Cj+1,

Легкий

S_L(Z_L)

S^∗L(Z_L)

кластер

−1

C_j = L

Lj+1Cj+1.

⁴He

7.93 × 10-2

7.32 × 10-2

Матрицу перехода от коэффициентов j + 1 к j

обозначим

⁶Li

2.98 × 10-2

3.14 × 10-2

j+1

T_j

=L-1jLj+1.

⁹Be

1.26 × 10-3

1.63 × 10-3

Из граничного условия следует:

¹¹B

4.44 × 10-5

1.07 × 10-4



∂Ψ_n



¹²C

3.63 × 10-6

1.76 × 10-5

=0⇒b_n =



∂x

x=1

¹⁵N

3.53 × 10-7

1.88 × 10-6

[

√

]

8U_n

= exp

(

)

a_n.

¹⁶O

3.71 × 10-8

1.86 × 10-7

−1

ℏ²

n ηz

¹⁷F

2.75 × 10-9

1.32 × 10-8

Следовательно, столбец C_n с точностью до норми-

ровочного коэффициента γ имеет вид:

²⁰Ne

1.52 × 10-10

9.14 × 10-10

⎛

⎞

²¹Na

9.45 × 10-12

1.37 × 10-10

⎜

[

]⎟

⎜

√

⎟

C_n = γ

⎝

8Un

⎠^.

exp

ℏ²(Bn1)

=aj+1eikj+1x^j - bj+1e-ikj+1x^j,

ηz

a_jk_jeikjx^j - b_jk_je-ikjx^j =

Последовательно восстанавливаем значения ко-

=aj+1kj+1eikj+1x^j - bj+1kj+1e-ikj+1x^j.

эффициентов от j = n до j = 1. Для перехода к

необходимо найти значение

коэффициентам a₀, b₀

Эти уравнения можно переписать в матричном

энергии моноядра U₀.

виде:

⎛

⎞⎛

⎞

В основном состоянии энергия E = 0. Тогда с

eikjx^j

e-ikjx^j

a_j

⎝

⎠⎝

⎠₌

учетом граничных условий при x = 0 получим

k_jeikjx^j

-k_je-ikjx^j

b_j



∂Ψ₀



=0⇒a₀ =b₀,



∂x

x=1

⎛

⎞

-ik₁x₁

C₀ = L-10L₁C₁ =

⎝a¹(1+k1)e-ik0x⁰ eik1x¹ +b1(1-k1)e-ik0x⁰ e

⎠_.

a₁(1 - k₁)eik0x⁰ eik1x¹ + b₁(1 + k₁)eik0x⁰ e-ik1x¹

Решая уравнение

относительно k₀, находим энергию U₀ моноядра.

Полученный набор коэффициентов необходимо

(1 + k₁)e-2ik0x⁰ - 1 + k₁

нормировать таким образом, чтобы

1 + k₁ - (1 - k₁)e-2ik0^x0

∫

|Ψ(x)|²dx = 1.

¹e-2ik1x¹

a₁

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

ВЛИЯНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НУКЛОННОЙ ПЛОТНОСТИ

U_i, МэВ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1 - η_z

Рис. 6. Управляющий потенциал для⁴⁴Ti.

3.4. Расчет периодов полураспада

одов полураспада T1/2. Для расчета T1/2 в рам-

ках приведенной модели вычислялись величины

Спектроскопический фактор S_L не может быть

непосредственно измерен. Для сравнения модели

проницаемости потенциального барьера согласно

с экспериментом доступны лишь величины пери- одномерному ВКБ-приближению:

⎛

⎡

⎤⎞-1

∫

√

P_L =^⎝1 + exp ⎣²

2μ(V (R, η_Z (Z_L)) - Q)dR⎦⎠

ℏ

R₀

где R₀ и R_Jl — точки минимума потенциала и вы-

Вычисленные периоды полураспада как для α-

хода из потенциального барьера соответственно,

распада, так и для спонтанного деления²³⁸U, ока-

Q — энергия распада.

зались в хорошем согласии с экспериментальными

Ширины Γ_L рассчитываются как

данными (табл. 2). Использование феноменоло-

ℏω₀

гического потенциала и определенного из само-

Γ_L =

S_LP_L,

согласованного рассмотрения приводит к близким

значениям T1/2 при соответствующем переопреде-

где ω₀ — частота колебаний в потенциальном кар-

лении нуклон-нуклонного взаимодействия.

мане по R. Периоды полураспада вычисляются

согласно

ℏ ln 2

π ln 2

T1/2 =

Γ_L

ω₀S_LP_L

Таблица 2. Рассчитанные периоды полураспада для

²³⁸U (периоды полураспадов T1/2 и T∗1/2 вычислены

Рассчитаем в качестве примера S_L для легкого

с феноменологическими и самосогласованно опреде-

N = Z ядра⁴⁴Ti. Управляющий потенциал для

ленными нуклонными плотностями ядер соответствен-

этого ядра показан на рис. 6. Величины S_L опреде-

но; результаты расчетов сравниваются с эксперимен-

ляют вероятности соответствующих кластеризаций

тальными данными Texp1/2 [19])

или примеси кластерной компоненты к волновой

функции основного состояния ядра. Как видно из

T1/2, с

T∗1/2, с

Texp1/2, с

табл. 1, спектроскопические факторы оказываются

близки при использовании феноменологических и

α-распад

2.43 × 10¹⁷ 2.5 × 10¹⁷ 1.8 × 10¹⁷

микроскопических массовых параметров, что под-

Спонтанное деление 1.16 × 10¹⁶

2 × 10¹⁶ 8.2 × 10¹⁵

тверждает правильность выражения (6).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020

РОГОВ и др.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

А. В. Смирнов, С. В. Толоконников, С. А. Фаянс,

ЯФ

48,

1661

(1988)

[A. V. Smirnov,

Распределение плотности нуклонов в ядре вы-

S. V. Tolokonnikov, and S. A. Fayans, Sov. J. Nucl.

числялось самосогласованно. Использование этих

Phys. 48, 995 (1988)].

распределений для расчета ядро-ядерного потен-

S. A. Fayans, S. V. Tolokonnikov, E. L. Trykov, and

циала требует переопределения феноменологиче-

D. Zawischa, Nucl. Phys. A 676, 49 (2000).

С. В. Толоконников, Э. Е. Саперштейн, ЯФ

ского нуклон-нуклонного взаимодействия. Пра-

73,

1731

(2010)

[S. V. Tolokonnikov and

вильное описание высот кулоновского барьера для

E. E. Saperstein, Phys. At. Nucl. 73, 1684 (2010)].

столкновений сферических ядер является хорошей

G. Scamps, D. Lacroix, G. G. Adamian, and

проверкой функционала плотности энергии, ис-

N. V. Antonenko, Phys. Rev. C 88, 064327 (2013);

пользуемого в самосогласованных расчетах ρ(r).

G. G. Adamian, N. V. Antonenko, L. A. Malov,

Этот факт необходимо учитывать при выборе этого

G. Scamps, and D. Lacroix, Phys. Rev. C 90, 034322

функционала для описания структуры ядер.

(2014).

V. G. Soloviev, Theory of Atomic Nuclei:

Предложен подход для одновременного опи-

Quasiparticles and Phonons (Institute of Physics

сания кластерного распада и спонтанного деле-

Publishing, Bristol and Philadelphia, 1992).

ния. Полученные значения периодов полураспа-

G. G. Adamian, N. V. Antonenko, and W. Scheid,

да оказались близки к экспериментальным дан-

in Clusters in Nuclei, Vol. 2, Ed. by C. Beck, Lect.

ным. Использование результатов самосогласован-

Notes Phys. 848.

ных расчетов ρ(r) приводит к результатам, близким

G. G. Adamian, N. V. Antonenko, R. V. Jolos,

к тем, которые следуют из феноменологическо-

S. P. Ivanova, and O. I. Melnikova, Int. J. Mod. Phys.

го рассмотрения ядро-ядерного взаимодействия.

E 5, 191 (1996).

10.

J. K. Tuli, Nuclear Wallet Cards (BNL, New York,

Следовательно, использование самосогласованно

2000).

определенных ядро-ядерных потенциалов для рас-

11.

S. Raman, C. W. Nestor, Jr., and P. Tikkanen, At.

четов T1/2 является их хорошей проверкой.

Data Nucl. Data Tables 78, 1 (2001).

12.

P. M ¨oller and J. J. Nix, At. Data Nucl. Data Tables 39,

Показано, что макроскопическое и микроско-

213 (1988).

пическое определения массового параметра для

13.

А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и

движения ДЯС по η_Z приводят к близким значени-

свойства атомных ядер (Наука, Москва, 1982)

ям спектроскопических факторов. Таким образом,

[A. B. Migdal, Theory of Finite Fermi Systems and

выражение (6) позволяет с достаточной точностью

Applications to Atomic Nuclei (Nauka, Moscow,

определять величину массового параметра.

1982; Interscience, New York, 1967)].

Работа выполнена при частичной поддержке

14.

G. G. Adamian, N. V. Antonenko, and R. V. Jolos,

Nucl. Phys. A 584, 205 (1995).

РФФИ (грант № 17-52-12015).

15.

G. G. Adamian, N. V. Antonenko, and H. Lenske,

Phys. Rev. C 91, 054602 (2015).

16.

G. G. Adamian, N. V. Antonenko, S. P. Ivanova, and

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

W. Scheid, Nucl. Phys. A 646, 29 (1999).

1. G. G. Adamian, N. V. Antonenko, H. Lenske,

17.

G. G. Adamian, N. V. Antonenko, A. Diaz-Torres,

S. V. Tolokonnikov, and E. E. Saperstein, Phys. Rev.

and W. Scheid, Nucl. Phys. A 671, 233 (2000).

18.

J. Maruhn and W. Greiner, Z. Phys. A 251, 431

C 94, 054309 (2016).

2. F. Hofmann and H. Lenske, Phys. Rev. C 57, 2281

(1972).

(1998).

19.

http://www.nndc.bnl.gov/nndc/ensdf/

INFLUENCE OF THE NUCLEON DENSITY DISTRIBUTION

ON THE DESCRIPTION OF DECAY OF A NUCLEUS

I. S. Rogov^1),2), N. V. Antonenko^1),2), G. G. Adamian¹⁾, T. M. Shneidman^1),3)

¹⁾ Bogoliubov Laboratory of theoretical Physics, Joint Institute for Nuclear Research,

Dubna, Russia

²⁾ Tomsk Polytechnic University, Russia

³⁾ Kazan Federal University, Russia

The parameters used in the self-consistent consideration of nucleon distribution in nuclei can be checked

with the calculations of nucleus-nucleus interaction. The correlation is demonstrated between the nucleon

distribution and nucleon-nucleon interaction. Based on the dinuclear system model, the unified approach

is proposed for the calculations of half-lives of alpha decay and spontaneous fission.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№1

2020