ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 2, с. 102-118

ЯДРА

ФЕРМИОННАЯ КОНДЕНСАЦИЯ: ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ

Поступила в редакцию 28.08.2019 г.; после доработки 28.08.2019 г.; принята к публикации 28.08.2019 г.

Излагаются основы физики фермионной конденсации — фазового перехода в сильно коррелиро-

ванных ферми-системах, происходящего в результате топологической перестройки ландауского

основного состояния с образованием фермионного конденсата, обладающего бездисперсионным

одночастичным спектром ϵ(p) = 0 в области импульсного пространства, примыкающей к поверхности

Ферми и, соответственно, аномально усиленной плотностью одночастичных состояний. Разработана

оригинальная методика решения нелинейных интегральных уравнений теории фермионной конденса-

ции, позволяющая проанализировать проблему квантового хаоса в сильновзаимодействующей много-

фермионной системе. Техника вычислений демонстрируется на примере сверхплотной кварк-глюонной

плазмы, где структура обменного кварк-кваркового взаимодействия хорошо известна. Показано, что

в электронных системах с фермионным конденсатом куперовское спаривание развивается намного

мощнее, чем в теории Бардина-Купера-Шриффера (БКШ), давая объяснение и высокой температуре

T_c сверхпроводящего перехода, и, с учетом C₄-симметрии кристаллической решетки, D-волновой

структуре спаривательной щели, наблюдаемой в купратах. Найдено, что в спектре одночастичных

возбуждений сверхпроводящих систем с фермионным конденсатом помимо БКШ-щели Δ есть и

другая, несверхпроводящая щель Υ, происхождение которой обязано его взаимодействию с над-

конденсатными частицами. Обсуждается связь полученных результатов с двухщелевой структурой

спектра возбуждений, обнаруженной недавно в купратах при анализе ARPES данных.

DOI: 10.31857/S0044002720020166

ВВЕДЕНИЕ

Лифшиц предложил искать минимум полной энер-

гии E на всем классе ландауских квазичастичных

В этой работе, посвященной памяти нашего

распределений n_L(p), равных либо нулю, либо

коллеги и друга Эдуарда Евсеевича Саперштейна,

единице в любой точке импульсного пространства.

мы проанализируем топологические переходы в

Тогда при нарушении топологической устойчивости

сильно коррелированных ферми-системах: сверх-

в привычном ландауском распределении появля-

плотной кварк-глюонной плазме, двумерной элек-

ются просветы, где заполнение обращается в 0.

тронной жидкости низкой плотности в квантовых

Число таких просветов, когда-то названных пу-

SiGe/Si/SiGe-ямах, электронных системах высо-

зырьками Лифшица, однозначно ассоциируемое с

котемпературных сверхпроводников. Впервые то-

числом листов новой поверхности Ферми, является

пологическая перестройка ландауского состояния

топологической характеристикой нового основного

была рассмотрена в классической работе И. Лиф-

состояния. За точкой перехода Лифшица теория

шица [1], опубликованной фактически в то же

Ландау все еще работает, но поскольку поверх-

самое время — в 1960, когда Л. Ландау построил

ность Ферми становится неодносвязной, то теоре-

свою теорию ферми-жидкости [2], ставшей затем

ма Ландау—Латтинжера о том, что плотность лан-

основой понимания явлений в металлах, жидком

дауских квазичастиц выражается через импульс

³He и других ферми-жидкостях. В своей работе

Ферми газовой формулой n = p^3F/3π², перестает

быть справедливой.

¹⁾Национальный исследовательский центр “Курчатовский

институт”, Москва, Россия.

Много позже выяснилось, что структура то-

²⁾McDonnell Center for the Space Sciences & Department of

пологической перестройки ландауского состояния

Physics, Washington University, St. Louis, USA.

может быть более изощренной, когда за точкой

³⁾Centro de Investiga¸c ˜ao em Matem ´atica e Aplica¸c ˜oes,

перехода система спонтанно становится двухком-

University of Madeira, Madeira, Portugal.

понентной. При этом одна из компонент обладает

⁴⁾Московский физико-технический институт (националь-

бездисперсионным одночастичным спектром с ну-

ный исследовательский университет), Долгопрудный,

Россия.

левой энергией ϵ(p) = 0, если отсчитывать ее от

^*E-mail: vak@wuphys.wustl.edu

химического потенциала [3-6]. Тогда аналогично

^**E-mail: zverev_mv@nrcki.ru

тому, как это имеет место в системе бозонов с

102

ФЕРМИОННАЯ КОНДЕНСАЦИЯ

103

бозонным конденсатом, плотность одночастичных

ландауского состояния, где задействовано ее необ-

состояний N(ε), вычисляемая через мнимую часть

ходимое условие, а не те, достаточные, которые

соответствующей одночастичной гриновской функ-

исследовал он. Это условие, имеющее дело с ва-

ции, приобретает специфическое сингулярное сла-

риациями первого порядка квазичастичного лан-

гаемое δN(ε) = ρ_fcδ(ε). Отчасти именно поэтому

дауского распределения, форма которого в одно-

авторами исходной работы [3] такой переход был

родном случае есть n_L(p) = θ(p_F - p), гласит, что

назван фермионной конденсацией (в литературе

рассматриваемая ферми-система стабильна до тех

вместо слов “фермионный конденсат” (ФК) чаще

пор, пока всякое изменение δE ее функционала

встречается термин flat band). Эффективным па-

энергии E(n) остается положительным при любой

раметром порядка теории является отношение η =

допустимой принципом Паули вариации этого рас-

= ρ_fc/n конденсатной плотности ρ_fc к полной плот-

пределения. Количественно изменение δE выра-

ности n.

жается через спектр одночастичных возбуждений

ϵ(p), отсчитываемый от химического потенциала:

В рамках одной, довольно короткой статьи

∫

трудно рассмотреть все аспекты этой теории,

d^kp

существенно изменившей квазичастичную картину

δE = 2

ϵ(p)δn(p)

(1)

(2π)^k

явлений физики конденсированного состояния,

сформулированную Л. Ландау в середине прошло-

В трехмерном случае k = 3, а в двумерном k = 2.

го века. Мы начинаем изложение с рассмотрения

В однородных ферми-системах со слабыми

условий, при которых топологическая устойчи-

или умеренной силы корреляциями энергетический

вость состояния Ландау нарушается, переходя в

спектр ϵ(p), как правило, монотонен, и тогда

следующих разделах к обсуждению устройства за

поверхность Ферми односвязнa, потому что урав-

точкой топологического перехода нового основного

нение

состояния материи — двухкомпонентной ферми-

ϵ(p, n) = 0

(2)

жидкости, одна из которых — ФК — обладает

бездисперсионным спектром. Затем мы исследуем

имеет единственный корень вследствие совпадения

влияние ФК на сверхпроводимость электронных

в соотношении (1) знака энергии ϵ(p) со зна-

систем купратов, включая D-волновую структуру

ком допустимых вариаций δn(p). Но монотонность

БКШ-щели Δ в спектрах их одночастичных

спектра ϵ(p) — не закон природы, a при немо-

возбуждений и значительный рост критической

нотонном характере ϵ(p) корней у уравнения (2)

температуры T_c по сравнению с обычными сверх-

может стать больше одного, что в итоге приведет к

проводниками, подчиняющимися стандартной тео-

перестройке ландауского состояния с сохранением

рии. В заключительных разделах мы анализируем

исходной симметрии основного состояния, что и

взаимодействие конденсата с надконденсатными

было впервые рассмотрено в классической работе

частицами, показывая, что его корректный учет ве-

И. Лифшица [1], положившей начало теории топо-

дет к появлению дополнительной несверхпроводя-

логических переходов.

щей щели Υ, обнаруженной в ARPES-измерениях

Микроскопические расчеты спектра одноча-

одночастичного спектра купратов [7].

стичных возбуждений ϵ(p) без введения каких

бы то ни было феноменологических параметров

довольно сложны. Они выполнены пока только

УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ

для кулоновских систем [8, 9], причем функцио-

ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

нальная зависимость всех величин от плотности

СОСТОЯНИЯ ЛАНДАУ

учитывается в рамках так называемого локального

Разнообразные варианты перестройки ланда-

приближения, которое превосходно воспроиз-

уского состояния интенсивно изучались и продол-

водит известные монте-карловские результаты

жают изучаться, главным образом, в рамках флук-

для полной энергии E. Основной результат

туационного сценария, ассоциируемого с наруше-

этих расчетов таков: действительно, бифуркации

нием условий устойчивости И. Померанчука, кото-

решений уравнения (2) возникают, и, следова-

рый вывел их, исследуя жесткость ферми-системы

тельно, топологическая устойчивость ландауского

по отношению к малым деформациям ее ферми-

состояния нарушается. Происходит это тогда,

поверхности. Когда хотя бы одно из этих условий

когда безразмерный кулоновский параметр α =

нарушается, поверхность Ферми перестраивается,

= e²/πv^0F, где v^0F = p_F/m_e — затравочная скорость

причем симметрия основного состояния меняет-

Ферми, значительно превышает единицу, т.е. вне

ся — характерный признак фазового перехода вто-

рамок, при которых эффективное взаимодействие

рого рода.

электронов описывается теорией возмущений.

Наряду с померанчуковским имеется и дру-

Переходя к более подробному анализу, следует

гой — топологический — критерий неустойчивости

отметить, что для изучения точек топологических

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

104

ХОДЕЛЬ и др.

бифуркаций, отделяющих на фазовой диаграмме

что поскольку в купратах кристаллическая решет-

тех же купратов область, занятую обычной ферми-

ка квадратная, то в силу C₄-симметрии проблемы,

жидкостью, поверхность Ферми которой односвяз-

нарушение устойчивости происходит одновремен-

на, от области, где эта поверхность уже многолист-

но в четырех разных парах точек импульсного

на, решать сложные нелинейные уравнения для

пространства, причем за точкой топологического

нахождения спектра ϵ(p) не обязательно. Это по-

перехода сразу образуются четыре разные области,

тому что в точке бифуркации p_c групповая скорость

где квазичастичное распределение перестает быть

ландауским.

v(p_c) = |∂ϵ(p)/∂p|pc зануляется. А раз так, то ис-

следование можно провести в рамках стандартного

ферми-жидкостного подхода с помощью хорошо

СТРУКТУРА ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ

известного тождества Питаевского [10], выводи-

мого на основе калибровочной инвариантности, а

ЗА ТОЧКОЙ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО

ПЕРЕХОДА

не галилеевской, как в работе [2], которой в неод-

нородных и анизотропных электронных системах

Как было уже сказано во Введении, есть два

твердых тел нет.

основных сценария топологической перестройки

Имея в виду двумерные электронные системы

состояния Ландау, происходящей исключительно в

купратов, стоит выписать для них явный вид этого

системах с эффективным отталкивательным вза-

уравнения:

имодействием квазичастиц — в обратном случае

∫

∂n(p₁) d²p₁

поверхность Ферми всегда остается односвязной.

v(p) = v⁰(p) + 2 f(p, p₁)

(3)

Первый сценарий, предложенный И. Лифшицем

∂p₁

(2π)²

в 1960 [1], заключается в появлении “пузырь-

где v⁰(p) — затравочная групповая скорость, вы-

ков Лифшица” — просветов в ландауском квази-

числяемая в рамках модели сильной связи (tight-

частичном заполнении, где оно обращается в 0. С

binding model), параметры которой подгоняют-

математической точки зрения новое квазичастич-

ся к известным экспериментальным данным по

ное заполнение, в дальнейшем обозначаемое через

фотоэмиссионным спектрам (ARPES), а f(p, p₁)

n_∗(p), ищется на классе функций Ландау, где оно

совпадает с феноменологической ландауской ам-

принимает только два значения: 0 или 1. Теория

плитудой рассеяния квазичастиц на поверхности

Ландау продолжает работать, сопротивление ρ(T )

Ферми. Поскольку в уравнение (3) входят только

все еще подчиняется формуле ρ(T ) = ρ₀ + A₂T²,

ферми-жидкостные характеристики, то при нахож-

и в нем лифшицевский переход проявляется в

дении точек бифуркации, в которых его левая часть

скачкообразном изменении в точке перехода вели-

обращается в 0, квазичастичная картина Ландау

чины производной по плотности коэффициента A₂.

всегда остается применимой, и это значительно

Этот факт можно использовать для детектирова-

облегчает анализ проблемы.

ния лифшицевской перестройки состояния Ландау

В двумерных электронных системах купратов,

в твердом теле.

свойства которых в дальнейшем обсуждаются по-

Второй сценарий — фермионная конденсация.

дробно, точки бифуркации решений уравнения (3)

Здесь решение n_∗(p) уже уходит во внутреннюю

возникают неотвратимо. Происходит это тогда, ко-

область паулиевского шара 1 ≥ n(p) ≥ 0. В перво-

гда заполнение зоны Бриллюэна приближается к

начальном сценарии фермионной конденсации [3]

половинному, и расстояние между линией Ферми

новое квазичастичное распределение n_∗ находи-

и границей зоны значительно сокращается. При

лось решением стандартного уравнения минимума

этом с изменением заполнения интегральное слага-

функционала энергии [3]:

емое в уравнении (3) меняется относительно слабо,

сохраняя свой отрицательный знак, а вот сво-

δE

= μ, p ∈ Ω,

(4)

бодный член — групповая скорость v⁰(p) — ведет

δn(p)

себя совсем иначе, обращаясь в 0 при том значении

с химическим потенциалом μ, определяемым из

допинга x и импульса p, при котором линия Ферми

условия Ландау—Латтинжера сохранения полного

впервые пересекает границу зоны Бриллюэна. Та-

числа квазичастиц:

ким образом, при подходе линии Ферми к границе

∑

этой зоны (как и при уходе от нее) левая часть

n_∗(p) = n.

(5)

уравнения (3) обязательно меняет знак, и, следо-

вательно, на фазовой диаграмме купратов имеется

Поскольку левая часть (4) есть не что иное, как

достаточно большая область допинга, где тополо-

одночастичная энергия ϵ(p), то отсчитывая ее от μ,

гическая устойчивость ландауского состояния на-

уравнение (4) можно переписать так:

рушена, вследствие чего новое основное состояние

ϵ(p) = 0, p ∈ Ω,

(6)

обладает нетривиальной топологией. Существенно,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ФЕРМИОННАЯ КОНДЕНСАЦИЯ

105

или в эквивалентной форме на основе уравне-

широко используемый теперь для измерений ха-

ния (3):

рактеристик электронных спектров купратов, еще

∫

только набирал силу, об измерении их температур-

∂n(p₁) d²p₁

ной зависимости не могло быть и речи. Но за про-

0 = v⁰(p) + 2 f(p,p₁)

(7)

∂p₁

(2π)²

шедшее десятилетие техника ARPES-измерений

p ∈ Ω.

шагнула далеко вперед, и сейчас публикуются экс-

периментальные работы, где температурное изме-

В области p ∈ Ω, не занятой ФК, квазичастичное

нение характеристик спектра ϵ(p) уже наблюда-

распределение n_∗(p) остается ландауским.

ется (см., напр., [13]). Точность измерений пока

Следует иметь в виду, что решения вариацион-

недостаточна для проверки соотношения (8), к тому

ного уравнения (4) существуют при любом зна-

же надо иметь в виду, что реально онo — всего

чении константы f > 0 эффективного отталкива-

лишь первый член соответствующего разложения

тельного взаимодействия квазичастиц. Однако при

Тейлора. Тем не менее прогресс очевиден, и, воз-

малых f > 0 они не удовлетворяют принципу Па-

можно, уже в ближайшие несколько лет форму-

ули, который требует выполнения неравенства 1 ≥

ла Нозьера (8) — визитная карточка фермионной

≥ n(p) ≥ 0 при любых импульсах. Поэтому в ана-

конденсации — будет проверена на эксперименте.

литически решаемых моделях фермионной конден-

Одночастичный спектр системы характеризует-

сации (см., напр., [3]) это требование вводится до-

ся еще и затуханием γ, которое вычисляется на

полнительно, так что в результате непосредственно

основе уравнения Дайсона:

за точкой перехода объем ФК растет линейно с

ϵ(p) - ϵ^0p - Σ(p, ϵ(p)) = 0,

(9)

разностью |n - n_c|.

Именно при анализе точно решаемых моде-

где ϵ^0p — затравочный спектр, а Σ — дайсонов-

лей впервые было обнаружено важное свойство

ский массовый оператор, мнимая часть кото-

фермионной конденсации — нарушение частично-

рого ImΣ(p,ε) ∝ sgnε дается интегралом (см.,

дырочной симметрии, свойственной состоянию

напр., [14]):

∫

Ландау. Один из эффектов, связанных с этим

нарушением — асимметрия туннельной прово-

ImΣ(p, ε > 0) ∝

|Γ²(p₁, p₂, p)| ×

(10)

димости — был предсказан В. Шагиняном

[11]

более десяти лет назад (современное состояние

× δ(ε - ϵ(p₁) - ϵ(p₂) - ϵ(p₃))dp₁dp₂,

проблемы освещено в недавней работе [12]).

где p₃ = p + p₁ - p₂, Γ² — квадрат амплитуды

Таким образом, при нулевой температуре яв-

двухчастичного рассеяния. Неотрицательный мно-

ление фермионной конденсации характеризуется

житель, содержащий стандартную комбинацию

спонтанным разделением системы на две подси-

чисел заполнения, вынесен из-под знака интеграла,

стемы. Квазичастицы одной из них — конденсат —

поскольку на поведение γ вблизи поверхности

обладают нулевой энергией ϵ(p) = 0, занимая в им-

Ферми он не влияет. В обычных ферми-системах

пульсном пространстве конечную область Ω. Дру-

интеграл меняется с изменением входного им-

гая состоит из нормальных квазичастиц, групповая

пульса p и искомой энергии ε плавно, определяя

скорость которых v = |∇ϵ(p)| остается конечной.

ландауское затухание спектра одночастичных

Существенно, что объем ФК фазы не является

возбуждений: γ(ε) ∝ ε² (см., напр., [14]), что ведет

входным параметром задачи, а полностью опреде-

к известной формуле Ландау—Померанчука для

ляется из уравнений (7) и (5) [3, 6].

низкотемпературного сопротивления электронных

При любых конечных температурах ФК вы-

систем кристаллов: ρ(T ) = ρ₀ + A₂T².

рождение одночастичного спектра снимается. Дей-

В системах с ФК ситуация меняется кардиналь-

ствительно, малое повышение T не может заметно

но. Когда плотность ФК ∝ η мала, то нетриви-

изменить ФК распределение n_∗(p). А, как извест-

альный вклад в интеграл (10) дается слагаемым,

но, соотношение Ландау n(ϵ) = [1 + e^ϵ/T ]-1 оста-

где к ФК принадлежит всего одна промежуточная

ется справедливым и в системах с ФК [5]. Раз так,

квазичастица, энергия которой точно равна 0. При

то инвертировав формулу Ландау, можно исполь-

этом одно из двух интегрирований по импульсу

зовать полученное соотношение для определения

снимается, и мы получаем [15, 16]

дисперсии ФК спектра, что даст

γ(ε) ∝ εη.

(11)

1 - n_∗(p)

ϵ(p, T → 0) = T ln

p ∈ Ω.

(8)

В применении к нормальным состояниям элек-

n_∗(p)

тронных систем с ФК эта формула дает неферми-

Таким образом, при малых температурах дисперсия

жидкостное линейное по T поведение их сопротив-

ления:

ФК спектра оказывается линейной по T [5]. Лет

10 назад, когда фотоэмиссионный метод (ARPES),

ρ(T ) = ρ₀ + A₁T,

(12)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

106

ХОДЕЛЬ и др.

с коэффициентом A₁, пропорциональным ФК па-

спектра ϵ⁽²⁾(p), хотя и оказывается немонотон-

раметру η. К обсуждению этого поведения мы еще

ной, обращается в нуль, как и нулевая итерация,

вернемся.

лишь в точке p = p_F (см. рис. 1в). Поэтому вто-

рая итерация импульсного распределения n⁽²⁾(p) =

= n_F(p) совпадает с нулевой. В результате, как

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ПЕРЕСТРОЙКА

видно из точного совпадения рис. 1г с рис. 1б,

ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ

третья итерация спектра и импульсного распре-

В СВЕРХПЛОТНОЙ КВАРК-ГЛЮОННОЙ

деления совпадает с первой. Таким образом, все

ПЛАЗМЕ

четные итерации, в которых n(p) имеет вид ферми-

С первого взгляда на систему нелинейных ин-

ступеньки, совпадают между собой, и точно так же

тегродифференциальных уравнений теории ферми-

совпадают друг с другом все нечетные итерации, в

онной конденсации уже видно, что ничего, кроме

которых импульсное распределение имеет сфери-

итерационной процедуры их решения, предложить

ческий “пузырек”. Это означает, что в итерацион-

нельзя. Однако при конкретной ее реализации воз-

ной процедуре возникает цикл с периодом 2 (или

никают значительные трудности, потому что такая

просто 2-цикл).

процедура сходится далеко не всегда. Чтобы взгля-

нуть на проблему глубже, имеет смысл рассмот-

Раз численное решение уравнения (14) с по-

реть трехмерную сверхплотную кварк-глюонную

мощью простой итерационной схемы невозмож-

плазму (КГП), где обменное кварк-кварковое вза-

но, обратимся к модифицированной схеме, в ко-

имодействие f(p, p₁) ∝ |p - p₁|-1 вычисляется в

торой каждая (j + 1)-я итерация спектра полу-

первом порядке теории возмущений [17], и таким

чается “смешиванием” результата подстановки j-

образом, уравнение Питаевского (3), которое надо

й итерации импульсного распределения n(j)(p) в

решать численно, приобретает такой вид:

уравнение (14), входящего с весом ζ < 1, с j-й

∫

итерацией спектра, входящей с весом 1 - ζ. В такой

∂ϵ(p)

∂ϵ⁰

∂n(p₁) d³p

+ f(p,p₁)

(13)

модифицированной процедуре 2-цикл исчезает, но

∂p

∂p₁

(2π)³

итерации начинают вести себя нерегулярным об-

разом, причем в определенной области простран-

где ϵ0p = cp — затравочный энергетический одноча-

ства, примыкающей к поверхности Ферми, число

стичный спектр сверхплотной кварковой материи,

c —скорость света.

корней уравнения ϵ(j)(p) = 0 и, соответственно,

число поверхностей импульсного распределения

Благодаря зависимости амплитуды f(p, p₁) от

разности p - p₁, это уравнение можно преобразо-

n(j)(p) неограниченно, хотя и немонотонно, растет

вать к более удобной для решения форме:

с номером итерации j. Такое поведение итерацион-

∫

ной процедуры иллюстрирует рис. 2, где показаны

2p_F

ϵ(p) = ϵ0p + g ln

n(p₁)dp₁,

(14)

итерации спектра и импульсного распределения с

|p - p₁|

номерами 20, 48, 68, 132, 137, 159 в расчете с пара-

где g — эффективная константа связи.

метром смешивания ζ = 0.01. Как видно на правых

частях этого рисунка, на 68-й итерации ферми-

Начнем решение с простой итерационной схе-

поверхность имеет пять листов, а на 132-й им-

мы, в которой в правую часть (14) подставляется

пульсное распределение опять совпадает с n_F(p).

j-я итерация n(j)(p), и на ее основе вычисляется

На 137-й итерации возникает 7-листовая поверх-

следующая итерация спектра ϵ(j+1)(p). Рисунок 1

ность Ферми, а на 159-й итерации число листов

иллюстрирует эту процедуру. На рис. 1а показан

равно 21. В то же время в левых частях рис. 2

затравочный спектр ϵ⁽⁰⁾(p) = ϵ0p, обращающийся в

видно, что итерации для спектра ϵ(j)(p) и импульс-

нуль только в точке p = p_F, и отвечающая этому

ного распределения квазичастиц n(j)(p) ведут се-

спектру ферми-ступенька n⁽⁰⁾(p) = n_F(p) ≡ θ(p_F -

бя совершенно непредсказуемо. Это означает, что

- p). В левой части рис. 1б изображена первая

итерационная процедура не сходится. Заметим, что

итерация спектра ϵ⁽¹⁾(p), полученная подстанов-

описанная картина поведения итераций, различа-

кой нулевой итерации импульсного распределения

ясь лишь в деталях, в целом не зависит от того, как

n⁽⁰⁾(p) в правую часть уравнения (14). Спектр

выбирается схема взвешивания итераций. Отметим

ϵ⁽¹⁾(p) имеет три нуля в точках p₁, p₂ и p₃, а

также, что впервые неограниченное итерационное

в соответствующей первой итерации импульсно-

размножение ферми-поверхностей было замечено

в работе [18].

го распределения n⁽¹⁾(p) = θ(p₁ - p) - θ(p₂ - p) +

+ θ(p₃ - p), показанной в правой части рис. 1б, по-

Анализ можно сделать более наглядным, если

является “пузырек”, т.е. пустой сферический слой

рассматривать номера j = 0, 1, 2, . . . итерации как

с границами в p₁ и p₂. Однако вторая итерация

шаги дискретного времени. В этом случае левые

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ФЕРМИОННАЯ КОНДЕНСАЦИЯ

107

p/p_F

0.5

1.0

1.5

2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.3

-0.3

j = 0

p₁

p₂

p₃

0.3

-0.3

j = 1

p_F

0.3

-0.3

j = 2

p₁

p₂

p₃

0.3

-0.3

j = 3

0.5

1.0

1.5

2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

p/p_F

Рис. 1. Итерационные отображения для уравнения (14) с ϵ0p = cp и безразмерным параметром g/c = 1. Левые части

рисунка — итерации для спектра ϵ(j)(p), отсчитанные от соответствующих итераций для химического потенциала, в

единицах cp_F с j = 0, 1, 2, 3; правые — итерации для импульсного распределения n(j)(p).

части рис. 2 показывают тогда изменение квазича-

прыжкам чисел заполнения n(p, t), принимающих

стичного спектра ϵ(p, t) во времени. Основная осо-

два значения: 0 и 1. Существенно, что при t → ∞

бенность в поведении спектра заключается в том,

область импульсного пространства, где итерации

уравнения (14) не сходятся, стремится к постоян-

что знак ϵ(p, t) меняется непредсказуемо в объе-

ному пределу Ω.

ме Ω_t импульсного пространства, примыкающем к

поверхности Ферми. Эти хаотические смены знака

Отсутствие сходимости итерационного процес-

квазичастичного спектра ведут к беспорядочным са связано с существованием в рассматриваемой

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ФЕРМИОННАЯ КОНДЕНСАЦИЯ

109

p/p_F

∫

∑

0.5

1.0

1.5

n(p) = lim

n(p, t)dt ≡ lim

n(j)(p).

T→∞ T

N→∞ N

1.0

Связь между этими двумя средними дается уравне-

нием (14) при замене ϵ(p) на ϵ(p) и n(p) на n(p). При

этом все параметры, определяющие взвешивание

предыдущих итераций в итерационной процедуре,

0.5

выпадают. Усредненные по формулам (15) квази-

частичный спектр ϵ(p) и импульсное распределение

100

квазичастиц n(p) для уравнения (14) с затравочным

спектром ϵ0p = cp и параметром g/c = 1 приведены

на рис. 3. Разные кривые отвечают различным

значениям числа итераций N, до которого ведется

суммирование в формулах (15). Цифры на вставке

0.3

указывают числа эффективных итераций Nζ. Вид-

но, что при небольших значениях N результаты

0.3

зависят от предела суммирования, но при Nζ ∼

∼ 100 суммы насыщаются и функции ϵ(p) и n(p)

перестают зависеть от N. Как видно из рис. 3,

усредненное импульсное распределение n(p) при-

нимает значения 0 или 1 только в тех областях,

где итерации сходятся. Однако в области Ω, где

сходимость итерационной процедуры отсутствует,

-0.3

усредненные числа заполнения n(p) представляют

собой непрерывную функцию n_∗(p), значения кото-

рой лежат между нулем и единицей. В то же время

0.5

1.0

1.5

рис. 3 показывает, что функция ϵ(p) тождествен-

p/p_F

но зануляется в области Ω, где итерационная

процедура не сходится. Сглаженное импульсное

Рис. 3. Усредненные по формуле (15) спектры (а) и

распределение является решением уравнения

импульсные распределения (б). Указано соответствие

∫

типа линий числу эффективных итераций Nζ.

2p_F

0 = ϵ0p + g ln

n_∗(p₁)dp₁,

(16)

|p - p₁|

p_i < p < p_f.

многочастичнойсистеме “квантового хаоса”, ко-

торый всегда проявляет себя в наличии ненулевой

Границы p_i и p_f импульсного интервала p_i < p_F <

энтропии. В рассматриваемом случае она может

< p_f, определяющего область, где действует это

быть сопоставлена объему Ω импульсного про-

решение, даются условиями n_∗(p_i) = 1 и n_∗(p) =

странства, где отсутствует сходимость итерацион-

= 0. Вне этого интервала n_∗(p) = 1 при p ≤ p_i и 0

ного процесса, причем в качестве энтропии удобно

при p ≥ p_f . Таким образом, область Ω импульсного

взять не сам объем Ω, а величину 2Ω ln 2, в которой

пространства, где спектр оказывается совершенно

фактор 2 возникает от двух направлений спина.

плоским:

Эта наивная формула может быть обоснова-

на, если все входящие в рассмотрение величи-

ϵ(p, n_∗) = 0, p_i < p < p_f ,

(17)

ны усреднить по дискретному времени, исполь-

а импульсное распределение равно n_∗(p), занимает

зуя для этого стандартные формулы статистики.

ФК.

Тогда усредненный квазичастичный спектр ϵ(p) и

усредненное импульсное распределение квазича-

Введем теперь колмогоровскую энтропию [19],

определив ее следующим образом:

стиц n(p) определяются формулами

∫

S_∗ = -2

[n_∗(p) ln n_∗(p) +

(18)

ϵ(p) = lim

ϵ(p, t)dt ≡

(15)

T→∞ T

(p))]dυ.

+ (1 - n_∗(p)) ln(1 - n_∗

Согласно этому определению подынтегральное вы-

∑

≡ lim

ϵ(j)(p),

ражение исчезает вне области Ω, так что S_∗ про-

N→∞ N

порциональна ее объему, который мы тоже обозна-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

110

ХОДЕЛЬ и др.

p/p_F

Отметим, что, как видно из сравнения рис. 3

0.5

1.0

1.5

и 4, импульсное распределение, рассчитанное при

1.0

самой низкой из выбранных температур T/cp_F =

= 10-4 практически совпадает с распределением

n(p), вычисленным при нулевой температуре с по-

мощью процедуры усреднения (15). То же отно-

сится и к одночастичному спектру. Этот результат

свидетельствует о том, что усредненные величины

0.5

ϵ(p), n(p) являются истинными решениями уравне-

ния (14) при T = 0.

T/cp_F

Что касается структуры распределения квази-

частиц по импульсам n(p), то из рис. 4 видно,

10^-4

что вдали от ферми-поверхности это распределе-

10^-3

ние не отличается от обычного, т.е. n(p) = 0 при

импульсах, заметно превышающих p_F. Вместе с

10^-2

тем n(p) = 1 при p, значительно меньших p_F. Но

в окрестности поверхности Ферми распределение

n(p) имеет характерное ферми-конденсатное пове-

дение — оно плавно меняется между 1 и 0. Возник-

новение плато в одночастичном спектре КГП, ле-

жащего точно на поверхности Ферми, означает, что

в этой системе поверхность Ферми превращается в

объем Ферми, т.е. ее топологическая размерность

становится равной трем. Как видно на рис. 4б,

-5

где изображены отношения ϵ(p)/T , ненулевая тем-

пература снимает вырождение, и одночастичный

0.5

1.0

1.5

спектр в ферми-конденсатной области Ω, в со-

p/p_F

ответствии с формулой (8), оказывается линейно

зависящим от температуры. Этот результат согла-

Рис. 4. Импульсные распределения n(p) (а) и от-

суется с тем фактом, что, как видно на рис. 4а,

ношения ϵ(p)/T (б) для g/c = 1 при трех значениях

импульсные распределения квазичастиц в области

температур в единицах cp_F.

Ω практически не зависят от температуры.

чим Ω. Полагая n_∗(p) = 1/2 внутри Ω, мы находим

УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

S_∗ = 2Ω ln 2.

ПОМЕРАНЧУКА В СИСТЕМАХ С ФК

Появление ненулевой энтропии возможно,

только если основное состояние системы вы-

Как было сказано выше, линейная по темпера-

рождено, и тогда величина S_∗ характеризует

туре дисперсия одночастичного спектра (8) являет-

объем фазового пространства, где вырождение

ся одной из основных характеристик фермионной

“корежит” исходную волновую функцию системы.

конденсации, измерение которой будет доступно в

Разумеется, точная волновая функция основного

недалеком будущем. Однако появление ФК гене-

состояния невырождена (теорема Нернста), и к

рирует целый сонм фазовых переходов, в которых

анализу важной проблемы, каким образом снятие

перестраивается и сам одночастичный спектр. Их

этого вырождения происходит, мы еще вернемся.

количество неограниченно растет по мере пониже-

ния температуры за счет увеличения числа нару-

Обсудим теперь особенности ферми-конден-

шений условий устойчивости Померанчука в обоих

сатного основного состояния сверхплотной КГП.

каналах: частично-дырочном в случае спонтанного

На рис. 4 приведены результаты расчета импульс-

нарушения однородности системы, возникновения

ного распределения квазичастиц n(p) и одноча-

антиферромагнетизма и т.д. и частично-частичном,

стичного спектра ϵ(p) при очень малых, но конеч-

когда речь идет о куперовской сверхпроводимости.

ных температурах. Эти величины получены чис-

В последнем случае, очевидным образом, соот-

ленным решением уравнения (14) с параметром

ветствующие измерения должны проводиться при

связи g/c = 1. Расчет выполнен для трех значений

температуре выше критической температуры T_c,

температур: 10-4, 10-3 и 10-2 в единицах cp_F.

когда калибровочная симметрия основного состо-

Одночастичный спектр показан на рис. 4б в виде

яния остается ненарушенной. К тому же в исследо-

отношения ϵ(p)/T .

ваниях свойств ФК можно использовать внешнее

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ФЕРМИОННАЯ КОНДЕНСАЦИЯ

111

0.006

0.5

1.0

LSCO

0.005

0.4

Tl2201

0.8

0.004

0.3

0.6

0.003

LSCO

0.2

0.4

Tl2201

0.002

0.1

0.2

0.001

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Рис. 5. Зависимость от допинга коэффициентов A1 и A2, характеризующих линейный и квадратичный по температуре

члены в сопротивлении ρ(T ) сверхдопированных соединений LSCO и Tl2201. Левая ось: треугольники — эксперимен-

тальные данные [25-27] для LSCO (шкала снаружи) и Tl2201 (шкала внутри); прямая линия — предсказанное поведение

A1(x) ∝ |x - xc| с наклоном, выбранным так, чтобы наилучшим образом воспроизвести эти данные в среднем. Правая

ось: кружки — экспериментальные данные [25-27], горизонтальная прямая A2 ≃ const — предсказание теории Ландау,

величина коэффициента A2 выбрана так, чтобы воспроизвести эксперимент [25].

магнитное поле, которое убивает сверхпроводи-

надо решить целый набор таких уравнений и срав-

мость, но относительно мало влияет на развитую

нить соответствующие критические температуры,

структуру ФК.

что дает иерархию различных, нередко довольно

экзотических фаз (например, фаза с волной заря-

В случае двумерной высокотемпературной

довой плотности), присутствие которых на фазовой

сверхпроводимости (ВТСП), которой мы займемся

диаграмме есть еще одна визитная карточка фер-

в следующих разделах, T_c находится из уравнения

мионной конденсации [21-24].

Таулесса [20]:

Чтобы проиллюстрировать, как влияет ФК на

Δ(p, T_c) =

(19)

характеристики системы, рассмотрим сопротив-

∫

∑

ление ρ(T ) нормального состояния сверхпрово-

= -T_c

V(p, p₁)G(p₁, ω_n)G(-p₁, -ω_n) ×

дящих купратов в сверхдопированной области

x_o < x < x_c их T-x-фазовой диаграммы. Она

d²p₁

часто называется странным металлом, потому что

× Δ(p₁,T_c)

(2π)²

температурное поведение ρ(T ) таких металлов не

поддается объяснению в рамках теории ферми-

или в эквивалентной форме

жидкости, меняясь линейно по температуре:

∫

ρ(T > T_c, x) = ρ₀ + A₁(x)T . При этом поведе-

tanhϵ(p1)2T

ние ρ(T ) сразу становится ландауским в обла-

Δ(p, T_c) = - V(p, p₁)

(20)

2ϵ(p₁)

сти x > x_c, где ВТСП исчезает. Еще труднее,

оставаясь в рамках флуктуационного сценария,

d²p₁

× Δ(p₁,T_c)

понять, почему коэффициент A₁(x), относящийся к

(2π)²

несверхпроводящему состоянию сверхдопирован-

с неприводимым в куперовском канале блоком

ных купратов, и критическая температура T_c(x),

характеризующая их сверхпроводящее состояние,

двухчастичного взаимодействия V(p, p^′) и мацу-

связаны друг с другом. Но это — эксперименталь-

баровской квазичастичной гриновской функцией

ный факт: в сверхдопированной области отношение

G(p, ω_n) = (iω_n - ϵ(p))-1 с ФК спектром ϵ(p), да-

A₁(x)/T_c(x) почти не меняется с изменением x (см.

ваемым формулой Нозьера (8), и ω_n = (2n + 1)πT_c.

рис. 5).

Аналогичные уравнения существуют для антифер-

ромагнитного и других параметров порядка. Чтобы

В модели фермионной конденсации этот факт

построить фазовую T -n-диаграмму системы с ФК,

объясняется прозрачно. Действительно, после

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

112

ХОДЕЛЬ и др.

подстановки нозьеровского спектра (8) в соответ-

кристаллической решеткой, потому что именно в

ствующую часть подынтегрального выражения в

купратах были проведены наиболее полные экс-

уравнении (20) оно приводится к виду

периментальные исследования, доказавшие, что в

них ВТСП действительно обязана куперовскому

tanhϵ(p,Tc)2T

1 - 2n_∗(p)

спариванию электронов, что делает сценарий, реа-

(21)

2ϵ(p, T_c)

2T_c ln [(1 - n_∗(p))/n_∗(p)]

лизованный в теории БКШ, основой и для анализа

феномена ВТСП.

p ∈ Ω.

В обычных однородных сверхпроводниках,

Как видно отсюда, ФК дает в правую часть (20)

подчиняющихся теории БКШ, сверхпроводимость

вклад порядка η/T_c, в то время, как стандарт-

возникает только тогда, когда в блоке V фононное

ный БКШ-вклад имеет порядок ln(Ω_D/T_c), где

притяжение превышает кулоновское отталкивание.

Ω_D — дебаевская частота, обрезающая логариф-

В купратах, где мы имеем дело с четырьмя пятнами

мическую расходимость интеграла. В результате,

ФК (см. рис. 6), ситуация меняется потому, что

учитывая в (20) оба вклада, мы прихoдим к такому

все эти области дают вклад в правую часть

уравнению для определения критической темпера-

уравнения

(20), и, вычисляя соответствующий

туры сверхпроводящего перехода:

интеграл с помощью теоремы о среднем его

значении, мы получаем сумму четырех разных

ηϵ^0F

=β

+ ln

Ω_D ,

(22)

слагаемых, пропорциональных величине и знаку

T_c

Δ_k = Δ(p_k) [22, 24]:

где ϵ^0F = p^2F/2m_e, λ — безразмерная константа вза-

∑

имодействия в куперовском канале, а численный

Δ(ϕ) = - V(ϕ, ϕ_k)IΔ_k,

(24)

фактор β ≃ 1. Таким образом, при λ → 0 получа-

k=1

ется

где ϕ — обычная угловая импульсная координата,

T_c(x) ∝ λη(x)ϵ^0F.

(23)

множитель V(ϕ, ϕ_k ) — усредненное по пятну зна-

чение спаривательного блока V, а

Что касается зависимости коэффициента A₁ от

∫

ФК параметра η, то она уже определена выше

1 - 2n_∗(p)

d²p

(см. (12), (11)). Таким образом, сравнивая (12) с

I =

(25)

2T_c ln [(1 - n_∗(p))/n_∗(p)] (2π)²

(23), мы приходим к выводу, что отношение T_c/A₁

от величины ФК параметра не зависит, и стало

После подстановки формулы (24) в уравнение (20)

быть, оно слабо зависит и от допинга, поскольку

получается алгебраическая система четырех урав-

все остальные задействованные в соответствую-

нений, имеющая не одно, как в БКШ-теории, а

щих уравнениях входные параметры остаются в

четыре решения. Здесь мы ограничимся рассмот-

сверхдопированной области неизменными [28].

рением того, которое имеет D-волновую структуру.

В нем относительный знак щели меняется при

переходе от одного пятна к другому по закону

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ

Δ_k = (-1)^kΔ, k = 1,2,3,4.

(26)

СВЕРХПРОВОДИМОСТИ

Тогда после подстановки этого решения в урав-

Обнаруженное Камерлинг-Оннесом в начале

нение (20) и несложной алгебры мы приходим к

20-го в. в ртути при понижении температуры T до

такому результату:

рекордной для того времени T_c = 4.2 K явление

T_c(x) ∝ λ_Dη(x).

(27)

сверхпроводимости привлекает в себе внимание

физиков уже вторую сотню лет. Особенно много

Эффективная константа λ_D куперовского спари-

работ на эту тему появилось после открытия высо-

вания в D-канале дается формулой [22, 24]

котемпературной сверхпроводимости, сделанное в

λ_D = 2V⁺ - V⁰ - V⁺⁺,

(28)

купратах больше 30 лет назад [29, 30]. Результаты

опубликованных за это время экспериментальных

где V⁰ = V(ϕ_i, ϕ_i), V⁺ = V(ϕ_i, ϕi+1), V⁺⁺ =

работ, полученные в различных лабораториях с

= V(ϕ_i,ϕi+2).

помощью разных методик, позволяют надеяться,

что мир стоит на пороге новой промышленной ре-

Поскольку в обычном пространстве электрон-

волюции, когда существование сверхпроводимости

фононное притяжение локально, то его вклад в

при комнатной температуре будет, наконец, доку-

матричные элементы (28) слабо зависит от того, с

ментально подтверждено, и она станет доступна

каким из них мы имеем дело. Поэтому фононный

для использования в индустриальных масштабах.

вклад в D-волновое спаривание сокращается, а

Здесь мы ограничимся только анализом двумер-

знак и величина соответствующей эффективной

ных сверхпроводящих купратов с их квадратной

куперовской константы λ_D целиком зависят от

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ФЕРМИОННАЯ КОНДЕНСАЦИЯ

113

p_x

ского взаимодействия, где α > 1, трудно, но если

в определенной области входных параметров знак

эффективной константы λ_D способствует куперов-

скому спариванию, то по сравнению с обычны-

ми сверхпроводниками величина щели Δ заметно

увеличивается, поскольку компенсации фононного

притяжения и кулоновского отталкивания, свой-

p_y

ственной ситуации в обычных сверхпроводниках,

здесь нет.

СТРУКТУРА СПЕКТРА

ОДНОЧАСТИЧНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ

В УСОВЕРШЕНСТВОВАННОЙ ТЕОРИИ

ФЕРМИОННОЙ КОНДЕНСАЦИИ

Материал, изложенный в предыдущих разделах,

η = 0.02

основан на вариационной модели, предложенной

много лет назад в работе [3], где это явление об-

суждалось впервые, причем модельный спектр од-

ночастичных возбуждений получился бесщелевым.

Однако фермионный конденсат, появляющийся за

p_y

точкой топологического перехода, есть совокуп-

ность вырожденных одночастичных состояний, и

работа с такими состояниями требует усовершен-

ϕ_c

ствования математического аппарата, используе-

мого для описания взаимодействия конденсатных

и надконденсатных степеней свободы, в результате

чего в массовом операторе Σ надконденсатных

частиц появляются сингулярности. То, что нали-

чие конденсата приводит к появлению таких син-

гулярностей в массовом операторе Σ надконден-

η = 0.04

сатных частиц, впервые обнаружил С. Беляев в

построенной им теории бозе-жидкости [31]. В этой

теории полюсная особенность ReΣ(p, ε) ∝ 1/(ε +

+ ϵ(p)) обязана вкладу в интеграл (10) промежу-

точных состояний, где две частицы принадлежат к

p_y

конденсатным, имеющим нулевой импульс, а тре-

ϕ_c

тья, надконденсатная, в силу сохранения полного

импульса имеет импульс, противоположный вход-

ному.

В отличие от бозе-жидкости, в электронных

системах с ФК, где конденсат занимает конечную

область импульсного пространства, не запрещен

процесс, где все три промежуточные квазичастицы

p_x

принадлежат ФК, что возможно, если

Рис. 6.

Фермионная конденсация в зависимости от

допинга

x в модели Нозьера со

взаимодействием,

p₁ ∈ Ω, p₂ ∈ Ω, p + p₁ - p₂ ∈ Ω.

(29)

сосредоточенным при ϕ < ϕc, что грубо моделирует

В результате в системах с ФК сингулярность мас-

его конечный радиус. а — Окрестность критического

значения xc: ФК еще не развит. б, в — Плотность ФК

сового оператора Σ(p, ε) усиливается по сравне-

(темные области) равна η = 0.02 и 0.04 соответствен-

нию с той, которая найдена в бозе-системах. Чтобы

но. Критические значения угла ϕc ∝ η1/2 ∝ |x - xc|1/2

продемонстрировать это, надо сначала включить

указаны стрелками.

все регулярные компоненты Σ(p, ε) в одночастич-

ную ландаускую энергию ϵ(p). Тогда в области p ∈

∈ Ω, занятой ФК, эта энергия равна 0, и инте-

того, как кулоновская часть блока V(q) падает с

грал (10) преобразуется к виду [24]

ростом переданного импульса. Сделать однознач-

ный вывод об этом в случае сильного кулонов-

ImΣ(p, ε > 0) = Υ²(p)δ(ε),

(30)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

114

ХОДЕЛЬ и др.

ReΣ(p, ε) = Υ²(p)/ε, p ∈ Ω,

эта производная становится отрицательной. Впер-

вые объяснение такого совпадения было предло-

где

жено в работе [36], выполненной на основе тео-

Υ(p, x) ∝

(31)

рии слабой локализации в двумерной электронной

⎤1/2

системе [37]. Эксплуатируя в окрестности точки

⎡∫

перехода металл-изолятор ренормгрупповой (РГ)

∝^⎣

|Γ²(p, p1, p2)|dp1dp2⎦

∝ η(x),

формализм, развитый ими ранее [38], авторы выво-

дят уравнение для эволюции перенормировочного

множителя z, определяющего вес квазичастицы

причем границы области C интегрирования опреде-

в одночастичном состоянии, и показывают, что в

ляются равенствами

точке перехода z зануляется, приводя не только

ϵ(p₁) = ϵ(p₂) = ϵ(p + p₁ - p₂) = 0.

(32)

к расходимости эффективной массы m^∗, но и де-

лая квазичастичное описание непригодным. Од-

Подставляя (30) в (9), мы приходим к такому

нако эксперимент ведет к противоположному ре-

уравнению для нахождения одночастичного спек-

зультату: оказывается, величина электронной эф-

тра:

фективной массы нечувствительна к уровню бес-

E(p)(E(p) - ϵ(p)) = Υ²(p),

(33)

порядка [39]. Более того, совсем недавно были

опубликованы результаты измерений, проведенных

решение которого — щелевое. Характерная вели-

в SiGe/Si/SiGe-квантовых ямах, где электронная

чина щели

подвижность почти на два порядка выше, чем в

E_min(p,x) = Υ(p) ∝ η(x) ∝ |n - n_c|.

(34)

MOSFETs. Несмотря на такую огромную разницу

в подвижностях, в пределах точности эксперимента

Новые квазичастичные числа заполнения даются

плотности n_c и n_t все равно совпадают [32], что в

формулой

локализационных сценариях объяснению не под-

дается.

n_∗(p,T) = (1 + eE(p)/T )-1.

(35)

С другой стороны, равенство между n_c и n_t

Таким образом, при учете рассеяния токовых, нор-

является неотъемлемой частью альтернативно-

мальных квазичастиц на конденсате в спектре од-

го топологического сценария перехода металл-

ночастичных возбуждений нормальной подсисте-

изолятор [24]. В противоположность РГ-подходу

мы появляется несверхпроводящая щель Υ. В

[36, 38], в этом сценарии беспорядок вообще не

определенном смысле в сильно коррелированных

задействован, поэтому в точке топологического

электронных системах она — более фундаменталь-

перехода перенормировочный множитель z оста-

ная характеристика, чем сверхпроводящая БКШ-

ется конечным, а значит, квазичастичная картина

щель Δ, для возникновения которой необходимо

продолжает работать как в самой точке перехода,

притяжение между электронами в куперовском ка-

где расходимость m^∗ сигнализирует о топологиче-

нале. А оно существует далеко не всегда. Его нет,

ской неустойчивости ландауского состояния, так

например, в несверхпроводящих двумерных элек-

и за нею. В этой области топологический сценарий

тронных системах SiGe/Si/SiGe-квантовых ям,

предсказывает, что активационная энергия Δ_a сов-

где за точкой топологического перехода щель Υ в

падает со щелью Υ в одночастичном электронном

одночастичном спектре есть [32]. Поэтому вначале

спектре, которая, согласно формуле (31), меняется

мы применим полученные результаты к однород-

линейно с дальнейшим уменьшением плотности.

ной двумерной электронной жидкости, обитающей

Это предсказание подтверждается в измерениях

в кремниевых полевых структурах MOSFETs и

(см. рис. 7).

в SiGe/Si/SiGe-квантовых ямах, где куперовское

спаривание отсутствует.

ДВУХЩЕЛЕВОЙ СПЕКТР

ОДНОЧАСТИЧНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ

ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПЕРЕХОД

В СВЕРХПРОВОДЯЩИХ КУПРАТАХ

МЕТАЛЛ—ИЗОЛЯТОР В КРЕМНИЕВЫХ

Перейдем теперь к анализу структуры элек-

ПОЛЕВЫХ СТРУКТУРАХ

тронного спектра сверхпроводящих купратов, по-

Этот переход был открыт в двумерных крем-

лученных в работе [7] и приведенных на рис. 8,

ниевых полевых структурах (MOSFETs) еще в

которые показывают, что в электронных спек-

прошлом веке [33-35]. Тогда же было показано,

трах одновременно присутствуют две разные ще-

что это не фазовый переход, а кроссовер, в котором

ли. Одна — хорошо известная сверхпроводящая

металлическое поведение сопротивления ρ(T, n)

куперовская щель Δ, имеющая привычную D-

с положительной производной (dρ(T, n_c)/dT )

волновую структуру, доминирует на сверхдопиро-

T=0

относительно плавно сменяется изоляторным, где

ванной стороне, где x > x_o, но проявляет себя и

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ФЕРМИОННАЯ КОНДЕНСАЦИЯ

115

Δ_α/k_B, K

1.0

0.8

0.6

, 10¹⁰ см^-2

n_s

0.4

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

n_s, 1010 см-2

Рис. 7. Энергия активации Δa в единицах постоянной Больцмана kB в SiGe/Si/SiGe квантовой яме в зависимости от

электронной плотности ns [32]. На вставке показано произведение плотности ns на отношение кристаллической массы

m0 = 0.19me к эффективной массе на ферми-поверхностиmF как функция ns. Обе прямые пересекают горизонтальную

ось при плотности ns = nt.

в недодопированных компаундах тоже. Другая —

проводящая щель Υ(p) исчезает. Когда импульс p

Υ —исчезает, когда допинг x подходит к кри-

уходит из района узла, то при Δ = 0 щель Υ(p)

тическому x_c ≃ 0.3. Однако ее величина быстро

становится отличной от нуля, однако при Δ_D =

растет в противоположном направлении. Как видно

= 0 величина последней, которая в основном опре-

из рисунка, по мере того, как x приближается к

деляется вкладом узлового района, все еще очень

оптимальному значению x_o, обе щели становятся

мала, в согласии с тем, что мы видим на рис.

одного порядка, а на недодопированной стороне

6а. По направлению к противоположной стороне

нетрадиционная щель уже превосходит куперов-

фазовой диаграммы ФК параметр η растет, и с его

скую. Объяснение этому факту, скорее всего, сле-

ростом щель Υ(p) начинает тоже расти, особенно

дует искать в том, что наличие куперовской щели Δ

в области, занятой ФК (“antinodal region”), где с

в одночастичном спектре размывает сингулярность

ростом η роль кинематических ограничений (32)

в ImΣ и подавляет величину соответствующего

быстро уменьшается. При этом, как видно из урав-

интеграла (30).

нения для Δ, ее величина падает. Качественно эти

выводы согласуются не только с тем эксперимен-

Посмотрим теперь, объясняются ли эти экс-

том, результаты которого приведены на рис. 8, но

периментальные особенности одночастичных спек-

и с неметаллическим поведением сопротивления

тров в рамках обсуждаемого топологического сце-

нария, где нетрадиционная щель отождествляет-

ρ(T ) (bad metal) в нормальной фазе при x < x_o,

ся с несверхтекучей щелью Υ(p). С теоретиче-

последнее — простое следствие формулы (35). Для

количественного описания проблемы надо акку-

ской точки зрения главное отличие однородных

двумерных электронных систем от купратов за-

ратно учитывать интерференцию двух щелей друг с

другом, анализ которой довольно громоздок и будет

ключается в том, что в последних ФК занимает

не всю поверхность Ферми, а только ее часть,

выполнен в другой работе.

примыкающую к границам зоны Бриллюэна (см.

рис. 6). Поэтому кинематические ограничения (32)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

выходят на первый план. Например, для входного

импульса p, располагающегося на линии Ферми

В настоящей работе мы проанализировали

недалеко от диагоналей зоны (район узла, “nodal

фермионную конденсацию — специфическую пе-

region”), условия (32) не выполняются при η →

рестройку основных состояний сильно коррелиро-

→ 0, и, следовательно, интеграл (31) зануляется,

ванных ферми-систем, спонтанно происходящую в

приводя к выводу, что в этом пределе несверх-

них без изменения симметрии и заключающуюся в

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

116

ХОДЕЛЬ и др.

Spectral gap, meV

OD29K

11 K

40 K

Δ₀ cos(2φ)

p_y

Δ₀ = 14 meV

-π

p_x

φ, deg

OP35K

UD23K

11 K

40 K

Δ₀ cos(2φ)

Δ₀ = 18 meV

Δ₀ = 19 meV

φ, deg

Рис. 8. а — Контур ферми-поверхности в Bi2201. Остальные части рисунка — угловая зависимость суммарной щели

в спектре этого компаунда, полученной в работе [7] на основе анализа фотоэмиссионных данных для трех значений

допинга при температурах T = 11 K < Tc (квадратики) и T = 40 K > Tc (кружки); б — сверхдопированное соединение,

в котором ФК еще нет; в — оптимальный допинг xo, где Tc(x) достигает максимального значения; г — недодопированное

соединение.

возникновении фермионного конденсата — группы

дальнейшей перестройки основного состояния, в

одночастичных состояний, имеющих нулевую энер-

результате чего сам конденсат тоже перестра-

гию. Как мы видели, спектр систем, испытывающих

ивается. Поэтому для изучения конденсатных

такую перестройку, довольно широк — от элек-

свойств предпочтителен температурный интер-

тронных жидкостей кристаллов до сверхплотной

вал Tmaxc < T < T_f , где Tmaxc — максимальная из

кварковой материи. Мы показали, что появление

температур, выше которой симметрия основного

конденсата с нулевой энергией является триггером

состояния уже не нарушается, а T_f — характерная

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ФЕРМИОННАЯ КОНДЕНСАЦИЯ

117

температура разрушения ФК. При более низких

С.В. Кравченко, Л.П. Питаевскому и В.Р. Шаги-

температурах T < Tmaxc в эксперименте, в первую

няну за полезное обсуждение затронутых в рабо-

очередь, проявляются свойства фаз с нарушенной

те вопросов. Авторы также выражают глубокую

симметрией, характеристики которых заметно

признательность А. Камински, разрешившему ис-

отличаются от обычных. В качестве примера

пользовать рис. 8 из работы [7], и С.В. Кравченко,

можно привести трехмерные волны зарядовой

предоставившему рис. 7. В.А.К. и Дж.У.К. благо-

плотности — в обычных металлах они отделены

дарят за поддержку МакДоннеловский Центр кос-

большой ленгмюровской щелью, а в высоко-

мических наук, Дж.У.К. также признателен Центру

температурных сверхпроводниках, по-видимому,

математических наук Университета Мадейры за

могут сосуществовать со сверхпроводимостью [40].

гостеприимство.

Другой подробно разобранный в работе пример —

сама высокотемпературная сверхпроводимость,

где наличие ФК меняет не только критическую

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

температуру T_c, но и структуру самого спаривания.

И. М. Лифшиц, ЖЭТФ 38, 1569 (1960).

В этой проблеме есть одна загадка, которая

Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 30, 1058 (1956).

редко обсуждается в литературе. Она связана с

В. А. Ходель, В. Р. Шагинян, Письма в ЖЭТФ 51,

тем фактом, что меньше чем за десятилетие с

488 (1990).

момента открытия этого фундаментального явле-

G. E. Volovik, JETP Lett. 53, 222 (1991); Springer

Lect. Notes Phys. 718, 31 (2007).

ния [29] максимальная критическая температура

разрушения сверхпроводимости, достигнутая в ис-

P. Nozi `eres, J. Phys. I France 2, 443 (1992).

ледованиях, выросла в несколько раз, превзойдя

V. A. Khodel, J. W. Clark, and M. V. Zverev, Phys. Rev.

B 78, 075120 (2008).

в 1993 г. 150 K [40]. С тех пор она не сдвину-

A. Kaminski, T. Kondo, T. Takeuchi, and G. Gu,

лась с места ни на иоту (мы оставляем в стороне

Philos. Mag. 95, 453 (2015).

несколько сенсационных результатов, опублико-

М. В. Зверев, В. А. Ходель, В. Р. Шагинян, ЖЭТФ

ванных за это время в печати, поскольку пока

109, 1054 (1996) [JETP 82, 567 (1996)].

они не подтверждены другими исследованиями). В

М. В. Зверев, В. В. Борисов, Письма в ЖЭТФ 81,

рамках топологического сценария разгадка этого

623 (2005).

парадокса, вероятно, состоит в сосуществовании

10.

Л. П. Питаевский, ЖЭТФ 37, 1794 (1959).

в сверхпроводящих купратах двух щелей Δ и Υ.

11.

V. R. Shaginyan, JETP Lett. 81, 222 (2005).

В сверхдопированных купратах по кинематическим

12.

V. R. Shaginyan, A. Z. Mzezane, V. A. Stephanovich,

причинам, обсуждавшимся выше, щель Υ стремит-

G. S. Japaridze, and E. V. Kirichenko, Phys. Scr. 99,

ся к 0 быстрее, чем Δ, когда x → x_c, и в этом

065801 (2019).

районе T -x фазовой диаграммы роль щели Υ

13.

Y. S. Kushnirenko, A. A. Kordyuk, A. V. Fedorov,

мала. Но с ростом разницы между x_c и x эта щель

E. Haubold, T. Wolf, B. B ¨uchner, and S. V. Borisenko,

растет быстрее, чем куперовская, и ее присутствие

Phys. Rev. B 96, 100504 (R) (2017).

подавляет куперовскую щель Δ, так что та, а с нею

14.

А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и

вместе и критическая температура T_c, не достигают

свойства атомных ядер (Наука, 1967).

тех значений, которые должны были бы достичь,

15.

В. А. Ходель, В. Р. Шагинян, П. Шук, Письма в

если бы щели Υ не существовало.

ЖЭТФ 63, 719 (1996).

Возникновение несверхпроводящей щели Υ

16.

В. А. Ходель, М. В. Зверев, Письма в ЖЭТФ 74,

ответственно за еще одно фундаментальное явле-

565 (2001).

ние — топологический кроссовер металл-изолятор,

17.

M. G. Alford, A. Schmitt, K. Rajagopal, and

обнаруженный в двумерных кремниевых полевых

T. Schafer, Rev. Mod. Phys. 80, 1455 (2008).

структурах [32]. Его отличительной чертой яв-

18.

C. J. Pethick, G. Baym, and H. Monien, Nucl. Phys.

A 498, 313 (1989).

ляется тот факт, что плотность n_c, при которой

этот кроссовер происходит, и электронная система

19.

А. Н. Колмогоров, Пробл. передачи информ. 1, 3

(1965).

становится изолятором, фактически совпадает с

20.

А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошин-

плотностью n_t, при которой расходится элек-

ский, Методы квантовой теории поля в ста-

тронная эффективная масса, и топологическая

тистической физике (Физматгиз, Москва, 1962).

стабильность состояния Ландау нарушается. За

21.

V. A. Khodel and M. V. Zverev, JETP Lett. 85, 404

точкой перехода рассчитанное сопротивление

(2007).

имеет стандартную активационную форму, причем

22.

V. A. Khodel, J. W. Clark, and M. V. Zverev, JETP

в согласии с экспериментом [32] энергия активации

Lett. 105, 267 (2017).

меняется линейно с изменением плотности.

23.

В. А. Ходель, Дж. У. Кларк, М. В. Зверев, Письма

Авторы благодарны Г.Е. Воловику, Р. Грину,

в ЖЭТФ 108, 267 (2018).

В.Т. Долгополову, А. Камински, Я. Копелевичу,

24.

V. A. Khodel, J. Low Temp. Phys. 191, 14 (2018).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

118

ХОДЕЛЬ и др.

25.

R. A. Cooper, Y. Wang, B. Vignolle, O. J. Lipscombe,

33. S. V. Kravchenko, G. V. Kravchenko, J. G. Furneaux,

S. M. Hayden, Y. Tanabe, T. Adachi, Y. Koike,

V. M. Pudalov, and M. D’Iorio, Phys. Rev. B 50, 8039

M. Nomara, H. Takagi, C. Proust, and N. E. Hussey,

(1994).

Science 323, 603 (2009).

34. E. Abrahams, S. V. Kravchenko, and M. P. Sarachik,

26.

N. E. Hussey, R. A. Cooper, X. Xu, I. Mouzopoulou,

Rev. Mod. Phys. 73, 251 (2001).

Y. Wang, B. Vignolle, and C. Proust, Phys. Trans.

35. S. V. Kravchenko and M. P. Sarachik, Rep. Prog.

R. Soc. A 369, 1626 (2011).

27.

N. E. Hussey, H. Gordon-Moys, J. Kokaly, and

Phys. 67, 1 (2004).

R. H. McKenzie, J. Phys.: Conf. Ser. 449, 012004

36. A. Punnnoose and A. M. Finkel’stein, Science 310,

(2013).

289 (2005).

28.

V. A. Khodel, J. W. Clark, and M. V. Zverev, Phys.

37. B. L. Altshuler and A. G. Aronov, Mod. Problems

Lett. A 318, 3281 (2018).

Cond. Mat. Sci. 10, 1 (1985).

29.

J. G. Bednorz and K. A. M ¨uller, Z. Phys. B 64, 189

(1986); Rev. Mod. Phys. 60, 585 ( 1988).

38. A. Punnoose and A. M. Finkel’stein, Phys. Rev. Lett.

30.

M. K. Wu, J. R. Ashburn, C. J. Torng, P. H. Hor,

88, 016802 (2002).

R. L. Meng, L. Goa, Z. J. Huang, Y. Q. Wang, and

39. A. A. Shashkin, A. A. Kapustin, E. V. Deviatov,

C. W. Chu, Phys. Rev. Lett. 58, 908 (1987).

V. T. Dolgopolov, and Z. D. Kvon, Phys. Rev. B 76,

31.

С. Т. Беляев, ЖЭТФ 34, 417 (1958); 34, 433 (1958).

241302 (R) (2007).

32.

M. Yu. Mel’nikov, A. A. Shashkin, V. T. Dolgopolov,

A. X. Y. Zhu, S. V. Kravchenko, S. H. Huang, and

40. B. Keimer, S. A. Kivelson, M. R. Norman, S. Uchida,

C. W. Liu, Phys. Rev. B 99, 081106 (R) (2019).

and J. Zaanen, Nature 518, 179 (2015).

FERMION CONDENSATION: THEORY AND EXPERIMENT

V. A. Khodel^1),2), J. W. Clark^2),3), M. V. Zverev^1),4)

¹⁾National Research Centre Kurchatov Institute, Moscow, Russia

²⁾McDonnell Center for the Space Sciences & Department of Physics, Washington University,

St. Louis, USA

³⁾Centro de Investigac ˜ao em Matem ´atica e Aplicac ˜oes, University of Madeira, Madeira, Portugal

⁴⁾Moscow Institute of Physics and Technology, Dolgoprudny, Russia

Fundamentals of physics of fermion condensation are outlined. This phase transition occurs in strongly

correlated Fermi systems by virtue of a topological reconstruction of the Landau ground state with

formation of the so-called fermion condensate, a dispersionless portion of the single-particle spectrum

ϵ(p) = 0 associated with the divergent density of single-particle states. To solve the set of nonlinear integral

equations of theory of fermion condensation a specific method is developed. Computational technique

is demonstrated for superdense quark-gluon plasma, where the structure of exchange quark-quark

interactions is well established. In superfluid systems with the fermion condensate, the magnitude of

the gap Δ in the single-particle spectrum owed to Cooper pairing is shown to be much larger than

that in Bardeen-Cooper-Schrieffer theory, providing explanation for both high temperature T_c of the

superconducting transition, and, with account of C₄ symmetry of the crystal lattice, D-wave structure

of Δ(p), in agreement with experimental data on cuprates. It is found that in the spectrum of excitations of

systems with a fermioncondensate, there exists a differentnon-superconducting gap Υ, whose origin is due

to interaction of the fermion condensate with normal quasiparticles, residing in momentum space outside

the condensate region. We discuss correlation between the results obtained and a two-gap structure of

single-particle spectrum, recently uncovered in available ARPES data on high-T_c superconductors.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020