ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 2, с. 159-184

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ

ЭЛЕКТРОСЛАБЫХ ПОПРАВОК В ПОЛЯРИЗАЦИОННОМ

БАБА-РАССЕЯНИИ

Поступила в редакцию 02.10.2019 г.; после доработки 02.10.2019 г.; принята к публикации 02.10.2019 г.

В рамках схемы перенормировки на массовой поверхности получены асимптотические формулы для

однопетлевых электрослабых радиационных поправок к наблюдаемым величинам поляризационного

Баба-рассеяния. Произведен численный анализ относительных однопетлевых электрослабых попра-

вок к сечению и поляризационной асимметрии при энергиях ниже и выше Z-резонанса. Сделано

успешное сравнение с точными результатами, полученными с помощью системкомпьютерной алгебры.

DOI: 10.31857/S0044002720020026

1. ВВЕДЕНИЕ

Belle II будет определение важнейшего параметра

СМ — синуса угла Вайнберга sin θ_W в канале

Изучение процессов аннигиляции электрон-

e^-e⁺ → μ^-μ⁺ при энергии ниже Z-резонанса [для

позитронной пары в пару фермионов сыграло

Belle II в системе центра масс (с. ц. м.) e^- и

фундаментальную роль в формировании совре-

e⁺ энергия электрона E = m(Υ4S) = 10.577 ГэВ].

менных представлений о природе микромира.

Измерения Belle II прекрасно дополнят данные,

Среди особо значимых для электрослабой физики

которые были получены для sin² θ_W из экспери-

e^-e⁺-машин нужно отметить две фабрики по

ментов E-158 (SLAC) и QWeak (JLab), и которые

производству массивных бозонов: SLC — Stanford

планируется существенно уточнить в эксперименте

Linear Collider — электрон-позитронный линейный

MOLLER (JLab).

коллайдер в лаборатории SLAC (Стэнфорд, США)

с пучками энергии в системе центра масс 90 ГэВ

С электрон-позитронными коллайдерами ново-

(его предшественник SPEAR обеспечил открытие

го поколения:

τ -лептона [1]) и LEP — Large Electron Positron

(Ring) — кольцевой e⁺e^--коллайдер в CERN с

• Международным линейным коллайдером

первоначальной энергией

ГэВ. Коллайдеры

(International Linear Collider, ILC), который,

SLC и LEP дали столько точной информации,

как планируется, будет состоять из двух

что основные аспекты электрослабой теории были

линейных ускорителей с энергией 500 ГэВ

прецизионно проверены, а некоторые (например,

на пучок электронов и позитронов общей

существование трех поколений фермионов) твердо

длиной в

км (возможно дополнение

установлены. Таким образом, Cтандартная модель

новыми секциями, вследствие чего длина

(СМ) электрослабого взаимодействия получила

установки возрастет до 50 км, а энергия —

статус экспериментально подтвержденной теории.

до 1 ТэВ),

Процесс электрон-позитронной аннигиляции

• конкурирующим и долгое время парал-

отнюдь не исчерпал свой потенциал и по настоящий

лельно развивающимся с ним проектом —

день. Успешно продолжают свою работу уста-

Компактный линейный коллайдер (Compact

новки, нацеленные на изучение мезонной физики

Linear Collider, CLIC) с суммарной энергией

VEPP (Новосибирск), BEPC-II (Пекин, Китай),

до 3 ТэВ,

DAΦNE (Фраскати, Италия). Интересны програм-

мы для производства B-мезонов SuperB (Италия)

• и новыми проектами “Будущий цикличе-

и Belle II (KEK, Япония). Одной из главных целей

ский коллайдер” (Future Circular Collider,

FCC) — проектами по созданию коллайдера

¹⁾Университет Мемориал, Корнер Брук, Канада.

на базе CERN после окончания программы

²⁾Объединенный институт ядерных исследований, Дубна,

LHC с энергией в лептонном режиме (FCC-

Россия.

ee) от 45 до 175 ГэВ (запуск планируется в

³⁾Гомельский государственный университет им. Ф. Скори-

ны, Беларусь.

2039 г.) и в адронном режиме (FCC-hh) до

^*E-mail: zykunov@cern.ch

100 ТэВ (запуск планируется в 2043 г.),

159

160

АЛЕКСЕЕВ и др.

связаны не только возможности точного изучения

Затем на основе техники, описанной в работах [6-

свойств нового скалярного (хиггсовского) бозона

8], анализ электрослабых радиационных поправок

в продолжение открытия LHC [2], но и серьез-

к рассеянию Баба был осуществлен в [9, 10]. Для

ные перспективы в поиске новой физики (НФ):

нужд коллайдеров LEP и SLC потребовалось си-

проявления дополнительных измерений, суперсим-

стематическое включение слабой части поправок и

метрии, кандидатов на темную материю и, если

точное соответствие экспериментальным возмож-

НФ будет до этого обнаружена на LHC, ее ин-

ностям детекторов. Решение этой задачи потребо-

тенсивное и прецизионное изучение, чему поможет

вало разработки соответствующего программного

относительная “чистота” лептонного типа реакций

обеспечения, обзор имеющихся в наличии кодов в

на ILC/CLIC/FCC. В работе ILC/CLIC/FCC воз-

обсуждаемом канале сделан в [11].

можна также электрон-электронная (меллеров-

Cуществует множество продвинутых расчетов

ская) мода, которая как и при более низких энерги-

для радиационных поправок в Баба-рассеянии для

ях в эксперименте E-158 (SLAC) и в планируемом

определенных кинематических областей — в част-

эксперименте MOLLER в JLab может быть чрез-

ности, для малых углов рассеяния, например, [12],

вычайна интересна как для прецизионных тестов и

где можно получить существенное упрощение

измерений СМ, так и для поисков НФ [3].

(иногда это дает возможность рассчитать поправки

и более высокого порядка). В нашей работе,

Процесс рассеяния электронов на позитронах

с таким же конечным состоянием занимает осо-

напротив, изучается область больших углов (large

бое положение среди прочих 4-фермионных про-

angles), а целью ставится получение двух наборов

цессов: тождественность масс создает уникальные

асимптотических формул, имеющих упрощенный

возможности по постановке эксперимента, хотя

вид, но тем не менее превосходно работающих (это

и существенно усложняет расчет наблюдаемых,

доказывается успешным сравнением с точными ре-

особенно в высших порядках теории возмущений.

зультатами, полученными методами компьютерной

Впервые сечение рассеяния этого процесса в рам-

алгебры FeynArts/FormCalc [13]) при энергиях в

ках квантовой электродинамики вычислил Хоми

стороне от Z-резонанса.

Баба в своей работе 1935 г. [4] (в его честь и

название “Баба-рассеяние”).

2. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА

Очевидно, что для того чтобы получить надеж-

Процесс рассеяния Баба в рамках СМ записы-

ную информацию из экспериментальных данных,

вается следующей формулой:

необходимо как можно полнее учесть эффекты

высших порядков в СМ — электрослабые ради-

e^-(p₁) + e⁺(p₂) →

(1)

ационные поправки (ЭСП). Включение ЭСП на

→ e^-(p₃) + e⁺(p₄).

уровне одной или больше петель является неотъ-

емлемой частью любого современного эксперимен-

В ней обозначены частицы, участвующие в реак-

та и необходимо как при низких энергиях (ниже

ции: в начальном (конечном) состоянии электрон

Z-резонанса), так и при высоких энергиях плани-

e^- и позитрон e⁺, в промежуточном состоянии фо-

руемых экспериментов на ILC/CLIC/FCC.

тон γ и Z-бозон. В скобках стоят 4-импульсы на-

Одними из первых работ по расчету электромаг-

чальных и конечных частиц. Фейнмановские диа-

нитных радиационных поправок к процессу Баба

граммы, соответствующие процессу (1) в борнов-

были работы Берендса с соавторами, например, [5].

ском приближении, изображены на рис. 1.

Четыре-импульсы начальных частиц (p₁ и p₂) и

конечных частиц (p₃ и p₄) образуют стандартный

набор лоренц-инвариантных переменных Ман-

p₁

p₃

p₁

p₃

дельстама:

s = q2s = (p₁ + p₂)²,

(2)

q_s

q_t

t = q2t = (p₁ - p₃)², u = (p₂ - p₃)².

Далее, если особо не оговаривается, приводятся

-p₂

-p₄

только результаты, соответствующие ультрареля-

−p₂

-p₄

тивистскому приближению (УРП):

s,-t,-u ≫ m²,

(3)

Рис. 1. Фейнмановские диаграммы процесса e^-e⁺ →

→ e^-e⁺ с безрадиационной кинематикой (а — t-

где m — масса электрона. УРП, в общем слу-

канальная, б — s-канальная). Внутренней волнистой

чае, можно описать так: лоренц-инварианты много

линиейна этой и последующихдиаграммах обозначены

больше (по абсолютной величине) всех фермион-

фотон или Z-бозон.

ных масс в квадрате.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ПРИЛОЖЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

161

Чтобы записать амплитуду процесса, изобра-

ρ(-p₂) = u(-p₂)u(-p₂) =

(11)

женного на рис. 1, используем правила Фейнмана,

изложенные в Приложении A. В записи векторных

(1 + γ₅

ξ₂)(p₂ - m),

и аксиальных констант в процессе Баба везде,

где вводятся векторы поляризации частиц,

кроме петлевых вставок в поляризации вакуума,

для ультрарелятивистских продольно поля-

индекс f = e и его будем опускать.

ризованных частиц они пропорциональны

своим 4-векторам:

2.1. Сечение в борновском приближении

λ₁

λ₂

Применим правила Фейнмана (см. Приложе-

ξ₁ =

p₁, ξ₂ =

p₂;

(12)

ние A), тогда амплитуды процесса Баба в прибли-

жении Борна, соответствующие рис. 1, выглядят

так:

• по поляризациям конечных частиц суммиру-

M^at = e²Q2eD_a(q_t) · u(p₃)γ_μΓ^au(p₁) ×

(4)

ем, так формируется проекционный опера-

× u(-p₂)γ_μΓ^au(-p₄),

тор.

M^as = -e²Q2eD_a(q_s) · u(-p₂)γ_μΓ^au(p₁) ×

(5)

Заметим, что в случае неполяризованных началь-

× u(p₃)γ_μΓ^au(-p₄).

ных частиц усреднение в матрице плотности по-

лучается естественным образом, если занулить их

Знак “минус” в s-канальной амплитуде учитывает

степени поляризации: λ₁ = 0, λ₂ = 0.

тот факт, что электроны удовлетворяют статистике

Ферми (антисимметризация). Бозонный пропага-

В итоге произведения биспинорных амплитуд

тор D_a определяется формулой

(матрицы плотности для начальных частиц и про-

екционные операторы для конечных) удобно пере-

D_a(q) =

a=γ,Z.

(6)

писать единообразно через следующие выражения

q² - m2a + im_aΓ_a

(приведем также их вид в УРП):

В вершинах фигурирует Q_e — заряд электрона в

элементарных зарядах e, для ясности: Q_e = -1.

U₁ = ρ(p₁) ≈

(1 + λ₁γ₅)p₁,

(13)

Полную амплитуду процесса с обменом бозоном a

получаем, суммируя

U₂ = ρ(-p₂) ≈

(1 - λ₂γ₅)p₂,

Ma0 = M^at + M^as.

(7)

∑

U₃ =

u(p₃)u(p₃) = p₃ + m,

Сформируем сечение процесса, для этого нужно

∑

применить формулу (П.7): квадрировать амплитуду

U₄ =

u(-p₄)u(-p₄) = p₄ - m.

M₀ и упростить фазовый объем (П.8). В результате

получаем дифференциальное (по углу рассеяния)

Квадрируя все слагаемые в (9), получим следу-

сечение процесса (1) в борновском приближении

ющее выражение:

∑

dσ⁰

Ma0Mb0+,

(8)

M^arM

=e⁴D_a(q_r)D^∗b(q_r′)S^aabr

′

(14)

r^′

2⁵πs

a,b=γ,Z

где используем общее обозначение r = s, t, u для

где c = cos θ — косинус угла между начальным

канала реакции, а

электроном и конечным (детектируемым) электро-

[

]

ном в с.ц.м. начальных частиц.

S^abctt = Sp γ_μΓ^aU₁Γc+γνU3

(15)

Сформируем квадрат амплитуды — произведе-

[

]

ние амплитуды на эрмитово-сопряженную (эту же)

× Sp γ_μΓ^bU₄Γc+γνU2 ,

амплитуду

[

]

S^abcts = -Sp γ_μΓ^aU₁Γc+γ_νU₂γ_μΓ^bU₄Γc+γνU3 ,

Ma0Mb0+ = (M^at + M^as)(M^bt + M^bs)⁺.

(9)

[

]

Используются следующие правила:

S^abcst = -Sp γ_μΓ^aU₁Γc+γ_νU₃γ_μΓ^bU₄Γc+γνU2 ,

[

]

[

]

• по поляризациям начальных частиц не сум-

S^abcss = Sp γ_μΓ^aU₁Γc+γνU2 Sp γμΓbU4Γc+γνU3 .

мируем, а берем заданные поляризации, так

формируется матрица плотности, для элек-

Можно заметить, что в формулах (15) встречаются

трона и позитрона матрицы плотности опре-

две определенные комбинации, которые могут быть

деляются выражениями:

представлены в УРП следующим образом:

ρ(p₁) = u(p₁)u(p₁) =

(1 + γ₅

ξ₁)(p₁ + m),

(10)

Uab1 = Γ^aU₁Γb+ =

(16)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

162

АЛЕКСЕЕВ и др.

]

Order). Все остальные вклады будут объяснены

g^abV - λ₁g^abA - (g^abA - λ₁g^abV)γ₅

p₁ =

ниже.

]

Итак, важная наблюдаемая величина — поля-

g^abV(1 + λ₁γ₅) - g^abA(λ₁ + γ₅)

p₁,

ризационная асимметрия

Uab4 = Γ^aU₄Γb+ =^[g^abV - g^abAγ₅]p₄,

(17)

dσCL0 - dσCR0

A^CLR =

(22)

где

dσCL0 + dσ^C

g^abV = v^av^b + a^aa^b, g^abA = v^aa^b + a^av^b.

(18)

скомбинированная из сечения

)

Запишем сечение реакции в симметричном ви-

dσCL0 =

dσ^CLL + dσ^CLR

де, это существенно облегчит программирование

и анализ физического содержания. Общая форма

которое соответствует рассеянию лево-поляризо-

записи сечения будет такая:

ванного электрона на неполяризованном позитроне

и аналогичного для право-поляризованного элек-

∑

dσ⁰

πα²

трона

Π^abkS^aabk,

(19)

)

k=1 a,b=γ,Z

dσCR0 =

dσ^CRL + dσ^CRR

где k = {rr^′} = {tt, ts, st, ss}. Пропагаторы бозо-

Другое название A_LR — single spin asymmetry, т.е.

нов встречаются в комбинациях

асимметрия с одиночной поляризацией.

Π^abrr′ ≡ D_a(q_r)D^∗b(q_r′).

Введем две относительные поправки от рас-

сматриваемого вклада C к комбинациям диффе-

Выражения S_k после вычисления следов имеют

ренциального сечения:

вид:

dσCL0 ± dσCR0

S^abctt = P-2fabc+u² + P⁺²f^abc-s² -

δ^C± =

(23)

dσ0L0 ± dσ

-P-1gabc+u² + P⁺¹g^abc-s²,

которые обладают свойством аддитивности:

S^abcts =

S^abcst = P-2fabc+u² - P-1gabc+u²,

δC1+C2± = δ±1 + δ±2 ,

(24)

и, следовательно, крайне удобны для анализа вли-

S^abcss = P-2(fabc+u² + f^abc-t²) -

яния радиационных поправок на наблюдаемые ве-

личины: δC+ дает неполяризованное сечение

- P-1 (gabc+u² - g^abc-t²).

σC00 = δC+ · σ⁰⁰⁰,

(25)

Они выражаются через комбинации констант связи

g_V,A:

а вместе они формируют поправку к поляризацион-

ной асимметрии:

f^abc± = g^acVg^bcV ± g^acAg^bcA,

(20)

A^CLR - A0LR

δ^C- - δC+

g^abc± = g^acVg^bcA ± g^acAg^bcV

δ^CA =

(26)

A0LR

1+δ^C

и четыре комбинации степеней поляризаций:

Эту формулу легко проверить непосредственной

P±1 = λ₁ ± λ₂, P±2 = 1 ± λ₁λ₂.

(21)

подстановкой. Пользуясь ей, получаем поправлен-

ную асимметрию (с учтенной однопетлевой поправ-

кой):

2.2. Наблюдаемые величины и относительные

поправки

1+δNLO-

ANLOLR = (1 + δNLOA)A0LR =

A0LR.

(27)

Прежде чем приступить к расчету следующего

1+δ^NLO

порядка теории возмущений (однопетлевых по-

правок), введем поляризационные наблюдаемые

величины, построенные на основе уже введенного

3. ВКЛАД ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ

ВИРТУАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ

дифференциального сечения dσ^C /dc. Индекс C

(от

“Contribution”) означает рассматриваемый

Перейдем к расчету радиационных вкладов,

вклад в сечение и принимает значения C =

начнем с вклада дополнительных виртуальных

= 0, V, soft, VS, hard, NLO, где “0” означает бор-

частиц (V -вклад), который представлен тре-

новский вклад (часто его обозначают также как

мя классами диаграмм: бозонные собственные

“LO” — Leading Order),

“NLO” означает сум-

энергии (boson self energies, BSE), вершинные

му всех однопетлевых вкладов (Next-to-Leading

функции (vertices, Ver) и двухбозонный обмен

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ПРИЛОЖЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

163

популярным в рамках данной схемы является при-

менение ренормализационных условий Холлика

(РУХ) [6, 7], либо ренормализационных условий

Деннера (РУД) [14]. Будем использовать схему

с применением РУХ, приведенную в

[6]. Для

контроля приведем здесь численные значения для

действительных и мнимых частей “обрезанных”

перенормированных поперечных собственных

Рис. 2. Фейнмановские диаграммы вкладов BSE в

Σab

процесс e^-e⁺ → e^-e⁺.

энергий

для энергии эксперимента Belle II

√

s = 10.577 ГэВ:

(боксы, Box); они обозначаются индексами: C =

Σ^γγ(s)

Σ^γZ(s)

= -0.0361, Re

= -0.0301,

= V = BSE,Ver,Box. В схеме перенормировки на

массовой поверхности нет однопетлевых вкладов

ReΣZZT (s)D_Z (q_s) = -0.0317,

от электронных собственных энергий.

Σ^γγ

Σ^γZ

(s)

= 0.0159, Im

= -0.0056,

3.1. Бозонные собственные энергии

ImΣZZT(s)D_Z(q_s) = -0.0003.

Диаграммы, соответствующие вкладам бозон-

ных собственных энергий, представлены на рис. 2.

Значения электрослабых параметров и масс

Кружком на них обозначены все возможные в

элементарных частиц берем из Particle Data Group

рамках СМ вклады. Обозначения 4-импульсов те

(PDG) Report [15]:

же, что на борновских диаграммах рис. 1.

α-1 = 137.035999, m_W = 80.4628 ГэВ,

(30)

Сечение вклада бозонных собственных энергий

получаем в борноподобном виде:

m_Z = 91.1876 ГэВ, m_H = 125 ГэВ.

∑

Заметим, что получаемые численные результаты

dσ^BSE

πα²

Π^abckS^abck,

(28)

для ЭСП весьма слабо зависят от вариаций значе-

k=1 a,b,c=γ,Z

ния массы хиггсовского бозона в довольно широ-

ком дипазоне: установлено, что, например, относи-

где

тельная ошибка от вкладов бозонных собственных

Πab′rr ≡ -D_a(q_r)ΣabT(r)D_b(q_r)D^∗c(q_r′),

энергий при изменении m_H от 115 ГэВ (значения,

часто использовавшегося для оценок в предше-

а Σ^abT(r) — перенормированная поперечная часть

ствующих открытию нового скалярного бозона ра-

вклада диаграмм собственных энергий фотона, Z-

ботах) до современного 125.18 ГэВ составляет не

бозона и γZ-смешивания, она соответствует части

более 0.3%. Электронная, мюонная и τ-лептонная

диаграмм рис. 2, обозначенной кружком (в нее не

массы имеют значения:

входят пропагаторные структуры и множитель i² =

m_e = 0.510998910 МэВ,

(31)

= -1) и часто называется “обрезанной” собствен-

m_μ = 0.105658367 ГэВ, m_τ = 1.77684 ГэВ.

ной энергией (truncated self energy). По правилам

Фейнмана она формально соответствует интегралу

Кварковые массы, необходимые для расчета:

по двум замкнутым линиям в фермионной (или W -

m_u = 0.06983 ГэВ, m_c = 1.2 ГэВ,

(32)

бозонной) петле. Для случая чисто фотонной по-

перечной части BSE имеем известное выражение

m_t = 174 ГэВ, m_d = 0.06984 ГэВ,

вида

m_s = 0.15 ГэВ, m_b = 4.6 ГэВ.

(

)

k_αk_β

Σ^γγ

(k²) g_αβ -

(29)

Приведенные “эффективные значения” кварковых

k²

масс обеспечивают сдвиг постоянной тонкой

структуры, обусловленный поляризацией вакуума

где k — 4-импульс входящего в фермионную петлю

фотона. Для случая петли только с одним электро-

адронами: Δα^(5)had(m2Z ) = 0.02757 [16], где

ном получим

(

)

∑

γγ,e

)

Δα⁽⁵⁾(s) =

Q²

(33)

(s)

⁽1

had

3π

m2q

= -0.0141.

q=u,d,s,c,b

m2e

Использование фиксированных кварковых масс

Расчет всех

Σab

(r) проведем по схеме пере-

как параметров является одним из возможных ва-

нормировки на массовой поверхности. Наиболее

риантов описания вкладов в ЭСП, обусловленных

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

164

АЛЕКСЕЕВ и др.

(

+v^Ze

(v^Ze )² + 3(a^Ze )²)ΛZ2 +

]

3c_W

ΛW2 -

ΛW3 ,

8s³

c_W

[

F_Z

a^ZeΛγ1,e +

4π

(

+a^Ze

3(v^Ze )² + (a^Ze )²)ΛZ2 +

]

3c_W

ΛW2 -

ΛW3 .

8s^3Wc_W

Функция Λγ1,e описывает вклад треугольной вер-

шинной диаграммы с дополнительным фотонным

обменом. Функция Λ₂ описывает вершинный вклад

с обменом массивным бозоном — Z или W, а Λ₃ —

с трехбозонной вершиной — WWγ или WWZ, они

Рис. 3. Фейнмановские диаграммы вершинных вкла-

рассчитываются аналогично. Вершинные функции

дов в процесс e^-e⁺ → e^-e⁺.

комплексны, но нас будет интересовать только дей-

ствительная часть, поскольку мнимая не дает вклад

в наблюдаемые величины в первой петле, хотя и

поляризацией вакуума адронами. Альтернативно

важна при расчете двухпетлевых (и более высокого

можно, например, применить аппарат дисперси-

порядка) поправок. Выражения для вершинных

онных соотношений [17] и непосредственную экс-

функций хорошо известны и приводятся в литера-

периментальную информацию о сечении реакции

туре, можно рекомендовать, например, обзор [7].

e⁺e^- → адроны [18].

Действительная часть первой функции содер-

жит коллинеарный логарифм, в УРП в t-канале

3.2. Вклад вершинных диаграмм

она имеет вид

(

)

Диаграммы, соответствующие вершинным вкла-

-t

дам (vertex diagrams), представлены на рис.

ReΛγ1,e = -2 ln^-t

-1

(38)

λ²

m2e

Cнова кружком на них обозначены все вклады,

-t

возможные в рамках СМ, и обозначения

+ ln

+ ln²

π² - 4.

импульсов те же, что на борновских диаграммах

m2e

рис. 1.

В s-канале в УРП эта функция выглядит несколько

Сечение вершинных вкладов имеет вид

иначе:

(

)

∑

dσ^Ver

πα²

Faab

ReΛγ1,e = -2 ln^s

-1

(39)

Π^abk(S_k

+ SaFabk),

(34)

λ²

m2e

k=1 a,b=γ,Z

+ ln

+ ln²

π² - 4.

здесь расчет следует работе [6], где получены пере-

m2e

нормированные вершинные формфакторы в каче-

стве эффективных констант связи:

Далее в тексте будем пользоваться такими тер-

минами:

vγ(Z)e → veγ(Z) , aγ(Z)e → aeγ(Z) ,

(35)

1. LE-режим (от “low energies”, низкие энер-

для фотона:

[

гии): m_f ≪

√s ≪ m_W ,

veγ =^α

v^γeΛγ1,e +

(36)

4π

2. HE-режим (от

“high energies”, высокие

]

энергии):

√s ≫ m_Z.

(

(v^Ze )² + (a^Ze )²)ΛZ2 +

ΛW3 ,

4s²

В УРП для других вершинных функций в s-

[

]

канале получаем следующие выражения: в LE-

aeγ =^α

a^γeΛγ1,e + 2v^Zea^ZeΛZ2 +

Λ^W

режиме (получены в [19]):

4π

4s²

ΛZ,W2 = Λ₂(s,m_Z,W ) =

(40)

для Z-бозона:

[

(

)

m2Z,W

vFZe =

v^ZeΛγ1,e +

(37)

4π

m2Z,W

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ПРИЛОЖЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

165

δ_BSE+Ver

BSE+Ver

δ_-

-1

-1.5

-2.0

-2

-2.5

-3.0

-3

-3.5

−4

-4.0

-4.5

-5

100

1000

10⁴

100

1000

10⁴

s, ГэВ

Рис. 4. Зависимость от

√s относительных поправок δ^BSE+Ver+ (а) и δBSE+Ver- (б) к дифференциальному сечению Баба-

рассеяния при различных углах рассеяния: θ = 30^◦, 90^◦, 150^◦ для тонкой, средней и толстой линий соответственно.

Точки — относительные поправки δ^BSE+Ver+, полученные с помощью системы FeynArts/FormCalc.

Выражения, соответствующие t-каналу, получаем

ΛW3 = Λ₃(s,m_W ) = -

(41)

27 m²

заменой s → -t. Заметим, что старшие степени

судаковских логарифмов содержатся только в Λ₂ в

в HE-режиме:

HE-режиме.

m2Z,W

ΛZ,W2 = - ln²

- 3ln

(42)

На рис. 4 приведены зависимости от

√s отно-

сительных поправок δ_± от суммарного вклада BSE

m2W

и Ver (каждый из них по отдельности не имеет

ΛW3 = -

(43)

физического смысла, поскольку только в сумме об-

разуется калибровочно-инвариантный набор). Во

всех численных оценках статьи масса фотона бу-

p₁

p₃

p₁

p₃

дет фиксирована: λ = 10-7 ГэВ. Точками на всех

p₁ - k

рисунках работы обозначены относительные по-

q_t - k

правки δ^BSE+Ver+, полученные с помощью системы

q_t - k

FeynArts/FormCalc [13]. Видно превосходное со-

гласие двух расчетов.

−p₂ - k

-p₄ + k

-p₂

-p₄

-p₂

-p₄

3.3. Боксы: выражения для амплитуд и сечения

p₁

p₃

p₁

p₃

Сечение, соответствующее вкладу боксовских

диаграмм в NLO, выглядит так:

∑

dσ^Box

M_BoxMc0+,

(44)

- k

p₃ - k

p₁ - k

-p₄ + k

2⁴πs

c=γ,Z

q_s - k

где амплитуда боксов имеет вид суммы от всех

-p₂

-p₄

возможных вариантов (классов диаграмм):

γγ

M_Box = M

+M^γZt +M^Zγt +

(45)

Рис. 5. Диаграммы двухбозонных вкладов. Волнистой

линиейобозначеныфотон,или Z-бозон,илиW-бозон.

+ M^ZZt + M^WWt + (t → s).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

166

АЛЕКСЕЕВ и др.

Диаграммы двухфотонного обмена изображены на

для прямых s-канальных боксов (диаграмма 3 на

рис. 5 (а — прямой бокс, б — перекрестный). Со-

рис. 5в, далее обозначается как случай 3):

ответствующие им амплитуды обозначаются в об-

M^abs,DMct+ =

(50)

щем виде так: Mabt(s),D(C).

∫

d⁴k

Заметим, что первые три типа содержат как

= -4πα³

D_a(k)D_b(q_s - k)D^∗c(q_t) ×

прямой (D), так и перекрестный (C) бокс:

iπ²

[

× Sp γ_μΓ^aS(p₃ - k)γ_β Γ^bU₄γ_ν Uc2γ_β ×

M^abt = M^abt,D + M^abt,C (здесь a,b = γ,Z),

]

а WW-тип содержит только прямой бокс (как для

× Γ^bS(p₁ - k)γ_μUa1 Γc+γ_νU₃ ,

t-, так и для s-канала):

M^abs,DMcs+ =

(51)

M^WWt = M^WWt,D ,

∫

d⁴k

так как перекрестный бокс запрещен законом со-

= 4πα³

D_a(k)D_b(q_s - k)D^∗c(q_s) ×

iπ²

хранения заряда.

[

]

После квадрирования, используя обозначения

× Sp γ_βΓ^bS(p₁ - k)γ_μUa1γ_ν U^c

для 4-векторов передач в случае t- и s-каналов

[

]

[q_t = p₁ - p₃, q_s = p₁ + p₂, см. формулы (2)], по-

лучим (в общем случае a, b = γ, Z, W ) для прямых

× Sp γ_μΓ^aS(p₃ - k)γ_βΓ^bU₄Γc+γνU3 ,

t-канальных боксов (диаграмма на рис. 5а, далее

для перекрестных s-канальных боксов (диаграмма

обозначается как случай 1):

4 на рис. 5г, далее обозначается как случай 4):

M^abt,DMct+ =

(46)

∫

M^abs,CMct+

(52)

d⁴k

∫

= 4πα³

D_a(k)D_b(q_t - k)D^∗c(q_t) ×

d⁴k

iπ²

= -4πα³

D_a(k)D_b(q_s - k)D^∗c(q_t) ×

[

]

iπ²

[

× Sp γ_βΓ^bS(p₁ - k)γ_μUa1Γc+γνU3

× Sp γ_βΓ^bS(-p₄ + k)γ_μΓ^aU₄γ_ν Uc2γ_β ×

[

]

× Sp γ_μΓ^aS(-p₂ - k)γ_β Γ^bU₄γ_ν U^c

× Γ^bS(p₁ - k)γ_μUa1 Γc+γνU3 ,

M^abt,DMcs+ =

(47)

∫

M^abs,CMcs+

(53)

d⁴k

∫

= -4πα³

D_a(k)D_b(q_t - k)D^∗c(q_s) ×

d⁴k

iπ²

= 4πα³

D_a(k)D_b(q_s - k)D^∗c(q_s) ×

[

iπ²

[

]

× Sp γ_βΓ^bS(p₁ - k)γ_μUa1γ_ν Uc2γ_μ ×

× Sp γ_βΓ^bS(p₁ - k)γ_μUa1γ_ν U^c

]

[

]

× Γ^aS(-p₂ - k)γ_βΓ^bU₄Γc+γ_νU₃ ,

γ_νU₃ .

× Sp γ_βΓ^bS(-p₄ + k)γ_μΓ^aU₄Γc+

для перекрестных t-канальных боксов (диаграм-

ма 2 на рис. 5б, далее обозначается как случай 2):

Попробуем упростить запись результата для

дальнейшего удобства. Для этого, во-первых, ис-

M^abt,CMct+ =

(48)

пользуем коммутационные свойства матриц Γ:

∫

d⁴k

Γ^aΓ^b = Γ^bΓ^a, Γ^aγ^μ = γ^μΓa+.

(54)

= 4πα³

D_a(k)D_b(q_t - k)D^∗c(q_t) ×

iπ²

[

]

Во-вторых, вынесем за знак интеграла величины,

× Sp γ_βΓ^bS(p₁ - k)γ_μUa1Γc+γνU3

не зависящие от k, и введем обозначение

[

]

C_r ≡ 4πα³D^∗c(q_r).

× Sp γ_β Γ^bS(-p₄ + k)γ_μΓ^aU₄γ_ν U^c

Наконец, выпишем фермионные пропагаторы S в

M^abt,CMcs+ =

(49)

явном виде в УРП, например:

∫

d⁴k

p₁ -k + m

p₁ -k

= -4πα³

D_a(k)D_b(q_t - k)D^∗c(q_s) ×

S(p₁ - k) =

≈

iπ²

(p₁ - k)² - m²

k² - 2p₁k

[

× Sp γ_βΓ^bS(p₁ - k)γ_μUa1γ_ν Uc2γ_β ×

В результате получим упрощенные выражения,

]

в которых явно видна структура 4-точечных функ-

× Γ^bS(-p₄ + k)γ_μΓ^aU₄Γc+γ_νU₃ ,

ций. Для прямых t-канальных боксов (случай 1)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ПРИЛОЖЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

167

[

]

получим:

× Sp γ_μ(p₃ - k)γ_βU^abcγνU3 ,

∫

d⁴k

M^abt,DMct+

= -C_t

(55)

для перекрестных s-канальных боксов (случай 4):

iπ²

∫

d⁴k

M^abs,CMct+ = +C_t

(61)

× D_a(k)D_b(q_t - k)

iπ²

(k² - 2p₁k)(k² + 2p₂k)

[

]

× D_a(k)D_b(q_s - k)

× Sp γ_β(p₁ - k)γ_μU^abcγνU3

(k² - 2p₁k)(k² - 2p₄k)

[

]

[

× Sp γ_μ(p₂ + ^k)γ_βU^abcγνU2 ,

× Sp γ_β (p₄ - k)γ_μUabc4γ_ν ×

∫

]

d⁴k

× U₂γ_β(p₁ - k)γ_μUabc1γ_νU₃ ,

M^abt,DMcs+

= +C_s

(56)

iπ²

∫

d⁴k

M^abs,CMcs+ = -C_s

(62)

× D_a(k)D_b(q_t - k)

iπ²

(k² - 2p₁k)(k² + 2p₂k)

[

× D_a(k)D_b(q_s - k)

× Sp γ_β (p₁ - k)γ_μUabc1γ_ν ×

(k² - 2p₁k)(k² - 2p₄k)

]

[

]

× U₂γ_μ(p₂ + ^k)γ_βUabc4γ_νU₃ ,

× Sp γ_β(p₁ - k)γ_μU^abcγνU2

[

]

для перекрестных t-канальных боксов (случай 2):

× Sp γ_β(p₄ - k)γ_μU^abcγνU3 .

∫

d⁴k

M^abt,CMct+

= -C_t

(57)

В вышеприведенных выражениях использована

iπ²

новая форма записи комбинаций констант связи

× D_a(k)D_b(q_t - k)

и степеней поляризаций. Она возможна только в

(k² - 2p₁k)(k² - 2p₄k)

УРП, так как в этом случае выполняется следу-

[

]

ющее свойство: каждый сомножитель состоит из

× Sp γ_β(p₁ - k)γ_μU^abc

γ_νU₃

суммы произведений либо четного, либо нечетного

[

]

количества гамма-матриц. Обсуждаемое свойство

× Sp γ_β(p₄ - k)γ_μU^abcγνU2 ,

вместе со свойствами (54) позволяет комбинациям

∫

Γⁱ коммутировать с любыми матрицами в шпуре. В

d⁴k

M^abt,CMcs+

= +C_s

(58)

результате новые сокращения приобретают вид

iπ²

Uabc1,4 = Γ^aΓ^bΓ^cU1,4 = (vabc0 - aabc0γ₅)U1,4

(63)

× D_a(k)D_b(q_t - k)

(k² - 2p₁k)(k² - 2p₄k)

где

[

vabc0 = v^av^bv^c + v^aa^ba^c + a^av^ba^c + a^aa^bv^c,

(64)

× Sp γ_β (p₁ - k)γ_μUabc1γ_ν ×

]

aabc0 = a^aa^ba^c + a^av^bv^c + v^aa^bv^c + v^av^ba^c.

× U₂γ_β(p₄ - k)γ_μUabc4γ_νU₃ ,

Упрощая в УРП, получим

для прямых s-канальных боксов (случай 3):

abc

∫

Uabc1 =

(vabc1 - a

γ₅)p₁,

(65)

d⁴k

M^abs,DMct+

= -C_t

(59)

iπ²

Uabc4 = (vabc0 - aabc0γ₅)p₄,

где

× D_a(k)D_b(q_s - k)

(k² - 2p₁k)(k² - 2p₃k)

[

vabc1 = vabc0 - λ₁aabc0, aabc1 = aabc0 - λ₁vabc0.

(66)

× Sp γ_μ(p₃ - k)γ_βUabc4γ_ν ×

Новая форма записи позволяет собрать кон-

]

станты связи в сечениях боксов в симметричные и

× U₂γ_β(p₁ - k)γ_μUabc1γ_νU₃ ,

весьма удобные для программирования комбина-

∫

ции:

d⁴k

(

)

M^abs,DMcs+

= +C_s

(60)

Cabc1 = vabc1

vabc0 + λ₂aabc0

(67)

iπ²

(

)

Cabc2 = aabc1

aabc0 + λ₂vabc0

× D_a(k)D_b(q_s - k)

(

)

(k² - 2p₁k)(k² - 2p₃k)

Cabc3 = vabc0

vabc1 + λ₂aabc1

[

]

(

)

× Sp γ_β(p₁ - k)γ_μU^abcγνU2

Cabc4 = aabc0

aabc1 + λ₂vabc1

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

168

АЛЕКСЕЕВ и др.

Видно, кстати, что выполняется свойство

так, например:

Cabc1 + Cabc2 = Cabc3 + Cabc4.

vaγc0 = g^acV, aaγc0 = g^acA.

Пока запишем в новых обозначениях вклады бор-

После вычисления следов в числителях бок-

новского сечения:

сов 4-вектор k либо отсутствует, либо содержится

[

]

S^aactt = 2

Caγc1(u² + s²) + Caγc2(u² - s²)

как k_α или k_αk_β . Соответственно, для расчета

[

]

боксовских сечений нам предстоит вычисление 4-

S^aacts = S^aacst = 2u²

Caγc1 + Caγc2

точечных скалярных, векторных и тензорных функ-

[

]

ций (согласно порядку положения в числителе

S^aacss = 2

Caγc3(u² + t²) + Caγc4(u² - t²)

подынтегральных выражений ниже), перечислим

Верхний индекс γ в C играет специфическую роль, их для всех четырех случаев:

∫

d⁴k

1, k_α, k_αk_β

I(1),ab0,α,αβ =

(

)(

(68)

iπ²

k² - m2a

(k - q_t)² - m2b

k² - 2p₁k

k² + 2p₂k

∫

d⁴k

1, k_α, k_αk_β

I(2),ab0,α,αβ =

(

)(

iπ²

k² - m2a

(k - q_t)² - m2b

k² - 2p₁k

k² - 2p₄k

∫

d⁴k

1, k_α, k_αk_β

I(3),ab0,α,αβ =

(

)(

iπ²

k² - m2a

(k - q_s)² - m2b

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

∫

d⁴k

1, k_α, k_αk_β

I(4),ab0,α,αβ =

(

)(

iπ²

k² - m2a

(k - q_s)² - m2b

k² - 2p₁k

k² - 2p₄k

Сведение 4-точечных векторных и тензорных инте-

3-точечная функция

гралов к скалярным (так называемое векторное и

Hγ0(p₁,p₃) =

(70)

тензорное интегрирование) подробно разобрано в

∫

Приложении B.

d⁴k

(

)(

iπ²

k² - λ²

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

непосредственно выражающаяся через ска-

3.4. Расчет γγ-бокса

лярный мастер-интеграл, полный расчет ко-

торого приведен в Приложении C.

Все вклады (55)-(62) в сечение от диаграмм γγ-

бокса вычисляются по сходной методике. В начале

3. Борновская структура от произведения двух

этого раздела будет рассчитана (s, D) × s-часть

шпуров:

сечения γγ-бокса, т.е. формула (60) при a, b = γ.

[

]

S^cs,D = Sp γ_β p₁γ_μUγγ1γ_νU^c

Прежде всего выделим в (60) инфракрасно-

расходящиеся члены; произведения амплитуд име-

[

]

ют две точки инфракрасной расходимости (ИКР):

× Sp γ_μ p₃γ_βUγγ4 γ_ν U^c

= -2t · S^γcss.

k → 0 и k → q_r. В точке k → 0 вклад (60) фактори-

зуется:

4. Факторизуется также инвариант t, это мож-

M^γγs,DMcs+|k→0 = C_sD_γ(q_s)S^cs,DHγ0(p₁,p₃).

(69)

но проверить непосредственным расчетом.

Из полученных в точке k → 0 выражений без

труда формируется искомая ИКР-часть γγ-бокса,

1. Борновский пропагатор, который формиру-

приведем эти выражения здесь в порядке, удоб-

ется по простому правилу:

ном для дальнейшего попарного суммирования —

lim

D_γ(q_s - k) = D_γ(q_s),

t-канальные:

k→0

γγ

Mct+|k→0 =

(71)

t,D

видно, что он утрачивает зависимость от k и

выносится за знак интеграла.

= -2C_tD_γ(q_t) · S^γctt · sHγ0(p₁,-p₂),

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ПРИЛОЖЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

169

M^γγt,CMct+|k→0 =

2-точечные функции и ИК-конечные скалярные 3-

точечные функции G₀.

= +2C_tD_γ(q_t) · S^γctt · uHγ0(p₁,p₄),

Часто ИКР-часть сечения боксов, благодаря

M^γγt,DMcs+|k→0 =

очевидной факторизации перед борновским сече-

нием (не совсем, впрочем, полной, а лишь отдельно

= -2C_sD_γ(q_t) · S^γcts · sHγ0(p₁,-p₂),

перед t × (t + s) (71) и s × (t + s) (72) частями

M^γγt,CMcs+|k→0 =

борновского сечения), объединяется с вершинной

ИКР-частью (после этого факторизация уже пол-

= +2C_sD_γ(q_t) · S^γcts · uHγ0 (p₁,p₄)

ная, перед всем сечением) и вкладом мягких фото-

и s-канальные:

нов, так что параметр λ сокращается аналитически.

M^γγs,DMct+|k→0 =

(72)

Здесь поступим по-другому: приведем для сечений

боксов полные формулы, оставляя тем самым λ

= -2C_tD_γ(q_s) · S^γcst · tHγ0(p₁,p₃),

в программе численной оценки. Этим достигается

M^γγs,CMct+|k→0 =

как полнота и определенная симметрия записи, так

и то, что, получив в сумме всех вкладов независи-

= +2C_tD_γ(q_s) · S^γcst · uHγ0(p₁,p₄),

мость от параметра λ численно, можно иметь до-

полнительную степень уверенности в правильности

M^γγs,DMcs+|k→0 =

программирования.

= -2C_sD_γ(q_s) · S^γcss · tHγ0(p₁,p₃),

Приведем получившийся в результате вычисле-

ний результат для γγ-бокса в УРП. Скалярные

M^γγs,CMcs+|k→0 =

интегралы и вклады в сечения будем выражать

= +2C_sD_γ(q_s) · S^γcss · uHγ0(p₁,p₄).

однотипно через логарифмы, содержащие ферми-

онную массу:

В точке k → q_s, применяя закон сохранения 4-

Λ²

λ²

|r|

импульса, получим похожую факторизацию:

L_Λ = ln

L_λ = ln

L_r = ln

m²

M^γγs,DMcs+|k→qs = C_sD_γ(q_s)S^cs,DFγ0(p₁,p₃).

(73)

Вγγ-боксах встречаются только три определенные

Интеграл Fγ0 (p₁, p₃) определяется так:

комбинации констант связи и степеней поляриза-

ции:

Fγ0(p₁,p₃) =

(74)

γγc

∫

P₃ ≡ P-1gγγc+ - P-2f

(76)

d⁴k

(

)(

P₄ = P⁺²f^γγc-, P₅ = P-2f^γγc-,

iπ²

(k - q_s)² - λ²

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

перед которыми происходит факторизация. Кроме

Заменой k → k + q_s, которая формально требует

этого удобно использовать сокращенные обозна-

простых перестановок: p₁ → -p₂, p₃ → -p₄, не ме-

чения:

няющих инвариантов, он сводится к рассмотренно-

му выше:

T_± = t² ± u², T₀ = s² + u².

Fγ0(p₁,p₃) = Hγ0(p₁,p₃).

(75)

Выражения для прямых t-канальных γγ-боксов

выглядят так:

Соответствующие формулам (71) и (72) выражения

в точках k → q_r из-за равенства интегралов (75)

(

)

M^γγt,DMc+t =8πα3D∗c(qt)

P₃x₁ + P₄y₁

(77)

имеют в точности такой же вид:

M^γγMc+|k→0 = M^γγMc+|k→qr.

M^γγt,DMc+s =8πα3D∗c(qs)P3x1,

(78)

Теперь произведем вычитание ИКР-части γγ-

(

)

x₁ = [L_t - L_s]

T₀[L_s - L_t] - 2tu

бокса из полного результата, это делается для

каждого из восьми слагаемых сечения по единой

(

)

+ 2u²

L_s[L_s - 2L_λ] -

π²

схеме:

(

)

M^γγMc+ - M^γγMc+|k→0 - M^γγMc+|k→qs.

y₁

= 2s2 L2t - 2Ls[Lt - Lλ] +

π²

В получившемся выражении после алгебраических

преобразований все инфракрасно-расходящиеся

для перекрестных t-канальных γγ-боксов:

скалярные интегралы сгруппируются в инфракрас-

(

)

но-конечную комбинацию (будем обозначать ее

M^γγt,CMc+t =8πα3

D^∗c(q_t)

P₃x₂ + P₄y₂

(79)

X₀(p₁,p₃), согласно работе Кахане [20]). Упро-

щенный расчет интеграла X₀(p₁, p₃) приведен в

8πα

γγ

Mc+s =

D^∗c(q_s)P₃x₂,

(80)

Приложении C. Там же приведены все требуемые

t,C

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

170

АЛЕКСЕЕВ и др.

γγ

δ_γγ

δ_-

-0.2

-0.1

-0.4

-0.2

-0.6

-0.3

-0.8

-1.0

-0.4

100

1000

10⁴

100

1000

10⁴

s, ГэВ

Рис. 6. Зависимость от

√s относительных поправок δγγ+ (а) и δ^γγ- (б). Обозначения такие же, как на рис. 4.

(

)

(

)

x₂ = 2u2 L2t - 2Lu[Lt - Lλ] +

π2 ,

+ 2t²

L_u[L_u - 2L_λ] -

π²

y₂ = [L_u - L_t](T₀[L_t - L_u] + 2st) - π²T₀

На рис. 6 приведены зависимости от

√s относи-

(

)

тельных поправок к дифференциальному сечению

+ 2s2 Lu[Lu - 2Lλ] -

π2 ,

при различных углах для вкладов γγ-боксов. Вид-

но превосходное согласие двух расчетов: асимпто-

для прямых s-канальных γγ-боксов:

тического и с помощью компьютерной алгебры. На

рис. 6 и всех рисунках ниже приводятся только те

M^γγs,DMc+t =8πα

D^∗c(q_t)P₃x₃,

(81)

точки, в которых асимптотические методы работа-

ют надежно, т.е. в области, довольно далекой от

(

)

Z-резонанса.

M^γγs,DMc+s =8πα

D^∗c(q_s)

P₃x₃ + P₅y₃

(82)

x₃ = [L_t - L_s](T₊[L_s - L_t] + 2su) +

(

)

3.5. Расчет γZ-бокса в LE-режиме

+ 2u2 Lt[Lt - 2Lλ] -

π2 ,

(

)

Рассчитаем вклад боксовской диаграммы с од-

ним фотоном (который переносит 4-импульс k)

y₃ = 2t2 L2s - 2Lt[Ls - Lλ] +

π2 ,

и одним Z-бозоном (переносит 4-импульс q_r -

-k). Легко можно показать, что обратная ситуация

для перекрестных s-канальных γγ-боксов:

[когда Z-бозон имеет 4-импульс k, обозначим ее

как Zγ-бокс, см. (45)] даст совершенно такой же

M^γγs,CMc+t =8πα

D^∗c(q_t)P₃x₄,

(83)

вклад, поэтому будем поступать так: рассчитаем

первую ситуацию и в конце просто домножим на

(

)

M^γγs,CMc+s =8πα

D^∗c(q_s)

P₃x₄ + P₅y₄

(84)

два.

(

)

Нетрудно убедиться, что сечение формируется

x₄ = 2u2 L2s - 2Lu[Ls - Lλ] +

π2 ,

только из 4-точечного ИК-расходящегося скаляр-

ного (с одной точкой расходимости: k → 0) и ИК-

y₄ = [L_u - L_s](T₊[L_s - L_u] + 2st) +

конечных векторного и тензорного интегралов:

∫

d⁴k

1, k_α, k_αk_β

IγZ0,α,αβ(p₁,p₃,q_s) =

(

)(

iπ²

k² - λ²

(k - q_s)² - m2Z

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ПРИЛОЖЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

171

Скалярный интеграл IγZ0 после тождественного

p_αp_β - g_αβ(p² - Δ)/2

преобразования разобьем на две части:

6(p² - Δ)²

(



)



IγZ0 =

IγZ0 - IγZ0

+IγZ0

С учетом того, что Δ доминирует, получим

k→0

∫

Первая часть в LE-режиме незначительна, что-

бы это показать, применим методику предыдущего

I^γZαβ = -¹gαβ z2dz ydy dx

(90)

раздела, тогда расчет сводится к произведению

p² - Δ

пропагатора и 3-точечной функции: D_Z (q_s)HZ0 ∼

Выпишем выражение в знаменателе, после упро-

∼ O(m-4Z). Вторая часть выражается через ИК-

щения оно имеет следующий точный вид:

расходящуюся 3-точечную функцию Hγ0, которая

уже обсуждалась выше:

p² - Δ = y²z²tx(x - 1) +



+ (sy + m²y²)z² - (sy + m2Z )z + m2Z .

IγZ0

= D_Z(q_s)Hγ0 .

k→0

Видно, что интеграл по x в (90) легко снимается,

Выпишем ИКР-части γZ-бокса, они получают-

тогда, вводя новое обозначение IγZ(i) (i = 1, 4), по-

ся из исходного выражения в пределе k → 0. С

лучим тензорный интеграл:

учетом факторизации, точно так, как это было про-

делано выше для случая γγ-боксов, выясняем, что

I^γZαβ = g_αβIγZ(3),

(91)

вклады в сечения M^γZ Mc+|k→0 легко получить

∫

из (71), (72) простыми заменами:

√β - ayz

где IγZ(3) =1

zdz dy

D_γ(q_r) → D_Z(q_r), Sγcrr′ → S^Zcrr′.

(85)

√β^ln

√β + ayz,

Теперь рассчитаем ИК-конечную часть. В LE-

где

режиме с учетом того, что основной вклад в ин-

√

-t, β = a²y²z² - 4syzz + 4m2Z z.

(92)

теграл вносят большие k, численно важен только

тензорный интеграл. Используем трюк Фейнмана:

Поработаем с интегралом (91), введем обозна-

∫

чение

2xdx

(86)

δ=

→ +0

C²

A²B

C³

2m_Z

∫

и опустим незначимое в LE-режиме слагаемое

3x²dx

4syzz (это можно проверить численным интегриро-

A³B

C⁴

ванием), тогда интеграл IγZ(3)

приобретает вид

где

∫1

C = Ax + Bx,

x = 1 - x.

IγZ(3) =

zdz ×

(93)

4m2Z δ

Применяя этот прием и упрощая получившийся

знаменатель, получим:

∫

√

z+δ²y²z² -δyz

√

∫1

∫

× dy

z+δ²y²z²

z+δ²y²z² +δyz

I^γZαβ =

3z²dz

2ydy ×

(87)

Снять интеграл по y в (93) представляется возмож-

∫1

∫

ным, после этой операции получаем

d⁴k

k_αk_β

× dx

iπ² [k² - 2kp + Δ]⁴

IγZ(3) = -

(94)

4m²

где

∫

√

1-z+δ²z² -δz

p = xyz · (p₁ - p₃) + yz · p₃ + z· q_s,

(88)

dz ln²

√

4δ²

1-z+δ2z2 +δz

Δ = z· (q2s - m2Z).

Убедимся, что при δ → +0

Снимаем тензорный интеграл по формуле (A5) из

работы [20]:

√

∫

1-z+δ²z² -δz

d⁴k

k_αk_β

dz ln²

√

≈

(95)

(89)

1-z+δ²z² +δz

iπ² [k² - 2kp + Δ]⁴

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

172

АЛЕКСЕЕВ и др.

[

]

(

)

= 16πα³

4S^Zc + U^Zc

IγZ(1)D^∗c(q_t),

≈ 2δ² 3 - 4 ln(2δ) ,

γZ

Mc+s|^FLE = 16πα³U^ZcIγZ(1)D^∗c(q_s),

t,D

для этого предварительно рассчитаем более про-

(

)

стой интеграл:

M^γZt,CMc+t|^FLE = -16πα³

S^Zc + 4U^Zc

IγZ(2)D^∗c(q_t),

∫

√

1-z+δ² -δ

M^γZt,CMc+s|^FLE = -64πα³U^ZcIγZ(2)D^∗c(q_s),

dz ln²

√

≈

(96)

1-z+δ² +δ

а для s-канальных боксов:

[

]

≈ 2δ² 6 - 4 ln(2δ)

M^γZs,DMc+t|^FLE = 16πα³U^ZcIγZ(3)D^∗c(q_t),

(99)

(

)

M^γZs,DMc+s|^FLE = 16πα³

4T^Zc + U^Zc

IγZ(3)D^∗c(q_s),

(с ним справиться можно, интегрируя “в лоб”) и

затем разницу между (95) и (96), которая даст

M^γZs,CMc+t|^FLE = -64πα³U^ZcIγZ(2)D^∗c(q_t),

-6δ² + O(δ⁴). Наконец, получим асимптотическое

(

)

выражение для LE-режима:

M^γZs,CMc+s|^FLE = -16πα³

T^Zc + 4U^Zc

IγZ(2)D^∗c(q_s).

)

⁽3

m2Z

IγZ(3) = -

+ ln

(97)

4m²

-t

Выпишем ИК-конечные (обозначаем их симво-

3.6. Расчет ZZ- и W W -боксов в LE-режиме

лом “F” от “finite”) части γZ-бокса в LE-режиме,

учитывая факторизацию перед борновскими ком-

В расчете ZZ-бокса фигурируют ИК-конечные

бинациями S^aacr

′

; получаем для t-канальных боксов:

4-точечные скалярная, векторная и тензорная

M^γZt,DMc+t|^FLE =

(98)

функции:

∫

d⁴k

1, k_α, k_αk_β

IZZ0,α,αβ(p₁,p₃,q_s) =

(

)(

iπ²

k² - m2Z

(k - q_s)² - m2Z

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

В LE-режиме можно существенно упростить зада-

переходим к евклидовому 4-вектору k_E , что дает:

чу, замечая, что основной вклад в интеграл вносят

∫

d⁴k

1 1

большие k (так это было проделано и в предыду-

k2Edk2EdΩ₄,

dΩ₄ = 2π².

iπ²

π² 2

щем разделе). Внешними импульсами в подынте-

гральном выражении можно пренебречь, тогда

Осуществляя замену

∫

d⁴k

1, k_α, k_αk_β

k² = -k2E = -z,

= zdz,

IZZ(0,α,αβ)(p₁,p₃,q_s) =

(

)₂(

)₂ .

iπ²

k²

k² - m²

получим

^Z (100)

I^ZZαβ(p₁,p₃,q_s)≈

(102)

Векторный интеграл равен нулю из-за нечетности

∫

∞

по вектору k, а скалярный интеграл даст вклады,

-z

≈

g_αβ

zdz

малые по сравнению с вкладами тензорного.

z²(z + m2Z)²

Используя формулу

∞

∫

g_αβ

d⁴k

(z + m2Z )²

k_αk_βf(k²) =

g_αβ

k²f(k²)

iπ²



∞



(убедиться в ее правильности можно, домножив

g_αβ



g_αβ.



z+m2Z

4m²

обе части на g^αβ ) и осуществляя поворот Вика

Интегралы для прочих случаев имеют совершенно

k₀ → ik₀,

(101)

такой же вид.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ПРИЛОЖЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

173

Итак, выражения для ZZ-бокса в LE-режиме

- 2C_ssΠab1 (q_t)H^abcts,

M^ZZMc+|_LE получаем из (98), (99) заменами:

для перекрестных t-канальных боксов (случай 2):

[

Zc → ζc, IγZ1,2,3 → -

(103)

2C_t

4m²

M^abt,CMct+ = -

(Cabc1[s² + 3u²] +

(108)

(

)

Индекс “ζ” означает здесь следующее:

+ Cabc2[u² - s²])

l2tu + π²

]

v^ζ = vZZ+, a^ζ = aZZ+.

(104)

+ 2Cabc1-2l_tust

+ 2C_tuΠab2 (q_t)H^abctt

Чтобы получить выражения для W W -бокса,

[

]

во-первых, как уже говорилось, необходимо “вы-

2C_s

(

)

M^abt,CMcs+ = +

- 2Cabc1+2u²

l2tu + π²

ключить” перекрестные диаграммы. Далее выра-

жения в LE-режиме M^WW Mc+|_LE получаем из

+ 2C_suΠab2 (q_t)H^abcts,

формул (98), (99) следующими заменами:

для прямых s-канальных боксов (случай 3):

Zc → ωc, IγZ1,2,3 → -

(105)

4m²

M^abs,DMct+ =

(109)

[

]

Индекс “ω” означает здесь следующее:

2C_t

- Cabc1+2l_st(l_st[t² + u²

] + 2su)

v^ω = vWW+ , a^ω = aWW+ .

(106)

- 2C_ttΠab3 (q_s)H^abcst,

3.7. Расчет γZ, ZZ- и W W -боксов в HE-режиме

M^abs,DMcs+ =

[

Для того, чтобы рассчитать тяжелые боксы

2C_s

2Cabc3+4l_stsu + Cabc3l2st(3t² + u²) +

(боксы с по крайней мере одним массивным бо-

зоном: γZ, ZZ, WW) в HE-режиме воспользу-

]

емся асимптотическим подходом [21], который был

+ Cabc4l2st(u² - t²)

- 2C_stΠab3 (q_s)H^abcss,

впервые разработан одним из авторов для расчета

ЭСП к процессу Дрелла-Яна при больших ин-

для перекрестных s-канальных боксов (случай 4):

вариантных массах дилептона. Перестроим общие

[

]

2C_t

выражения для вкладов в сечение (55)-(62), при-

M^abs,CMct+ = +

- 2Cabc1+2l2su

u2 +

(110)

меняя следующие правила:

+ 2C_tuΠab4 (q_s)H^abcst,

1. отнимаем и добавляем “ИКР-части” (в точ-

ках k → 0 и k → q),

M^abs,CMcs+ =

[

2C_s

2. пренебрегаем массами бозонов везде, кроме

Cabc3l2su(t² + 3u²) + Cabc4l2su(u² - t²) +

комбинаций Π^ab(q_r) с бозонными пропага-

]

торами и 3-точечными функциями Hγ,Z0 (это

+ 2Cabc3-4l_sust

+ 2C_suΠab4 (q_s)H^abcss.

возможно именно в HE-режиме),

Используются следующие сокращения:

3. сохраняем произвольную индексацию бозо-

[

]

нов a, b = γ, Z, W в комбинациях констант

H^abctt = 2

Cabc1(u² + s²) + Cabc2(u² - s²)

связи.

[

]

H^abcts = H^abcst = 2u²

Cabc1 + Cabc2

[

]

Для прямых t-канальных боксов (случай 1) по-

H^abcss = 2

Cabc3(u² + t²) + Cabc4(u² - t²)

лучим:

C^abci±j = C^abci ± C^abcj,

M^abt,DMct+ =

(107)

[

Π^abi(q_r) = Ha0D_b(q_r) + D_a(q_r)H

2C_t

2Cabc1+2l_sttu - Cabc1l2st(3s² + u²) +

(i — номер случая),

]

|r₁|

+ Cabc2l2st(s² - u²)

- 2C_tsΠab1 (q_t)H^abctt,

lr1r₂ = ln

|r₂|

[

]

2C_s

На этом этапе полезно будет убедиться, что

M^abt,DMcs+ = +

Cabc1+2l_st(l_st[s² + u²] - 2tu) -

вклад боксов в случае нейтральных бозонов не

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

174

АЛЕКСЕЕВ и др.

γZ

δγZ

δ₊

0.4

0.005

0.3

0.2

0.1

-0.005

-0.010

-0.1

100

1000

10⁴

s, ГэВ

δγZ

0.2

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

100

1000

10⁴

s, ГэВ

γZ

Рис. 7. Зависимость от

√s относительных поправок δ

(а и б) и δ

(в). Обозначения такие же, как на рис. 4.

содержит коллинеарной сингулярности. Убедимся

и, как видно, от массы m не зависит.

в этом на примере γγ-бокса в t-канале. Суммируя

На рис. 7, 8 и 9 приведены зависимости от

прямой и перекрестный вклады, получим слагае-

√s относительных поправок от вкладов γZ-, ZZ-

мое, содержащее фермионную массу в 3-точечной

и WW-боксов. Видно превосходное согласие для

функции, в виде

относительных поправок в обоих расчетах: асимп-

тотического и с помощью компьютерной алгебры

2C_t[-sΠγγ1 (q_t) + uΠγγ2 (q_t)]H^γγctt.

как в LE-режиме, так и в HE-режиме.

Выражение в скобках после подстановки

точечных интегралов пропорционально сумме

логарифмов

3.8. Мягкие фотоны

Рассчитаем сечение процесса с излучением мяг-

L2s + L_sL_λ +

L2u - L_uL_λ + ... =

кого фотона с энергией p₀ в с.ц.м. начальных ча-

(

)

стиц:

m²

λ²

= l_su ln

√

+L_λ

+ ... = l_su ln

√

+ ...

p₁ = -p₂, p₁₀ = p₂₀ = E =

√s/2,

(111)

s|u|

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ПРИЛОЖЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

175

δ_ZZ

0.005

3×10^-6

2×10^-6

1×10^-6

-0.005

-0.010

-1×10^-6

-0.015

500

1000

5000

10⁴

s, ГэВ

δ_-

0.01

-0.0008

-0.0010

-0.01

-0.0012

-0.02

-0.03

-0.0014

-0.04

-0.0016

-0.05

-0.0018

−0.06

500

1000

5000

10⁴

s, ГэВ

Рис. 8. Зависимость от

√s относительных поправок δ^ZZ± . Обозначения такие же, как на рис. 4.

меньшей фиксированного значения ω, такого, что

также и перед борновским сечением:

ω≪E.

soft

dσ

dσ₀

Прежде всего сделаем приближение p → 0, вез-

=δ_soft

(113)

де, кроме части фазового объемаd3p и знаменате-2p

где

лей с p. Тогда амплитуды мягкого тормозного из-

лучения становятся пропорциональны борновским,

δ_soft = -

(114)

что приводит к факторизации:

4π²

(

)

(

)₂

∫

Ra1 + Ra2 + Ra3 + Ra4

|p→0 ∼

(112)

d³p

pρ1

pρ2

pρ3

pρ4

(

)

p₀

pp₁

pp₂

pp₃

pp₄

pρ2

pρ3

pρ4

∼ e_ρ(p)

Ma0.

|p|<ω

pp₁

pp₂

pp₃

pp₄

После квадрирования получим факторизацию

Для того чтобы вычислить поправку δ_soft, требу-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

176

АЛЕКСЕЕВ и др.

δ_WW

0.1

0.00006

0.00004

-0.1

0.00002

-0.2

-0.3

500

1000

5000

10⁴

s, ГэВ

δ_-

0.028

0.026

0.024

0.022

0.020

0.018

-2

0.016

-4

500

1000

5000

10⁴

s, ГэВ

Рис. 9. Зависимость от

√s относительных поправок δ^WW± . Обозначения такие же, как на рис. 4.

ется уметь рассчитывать интегралы вида

жить формулу (34) (в ней положим F_a → F_γ), фор-

∫

мулы (107)-(110) (в них положим ab → γγ + γZ +

d³p 1

L_ij =

(i, j) = 1, 4,

(115)

+ Zγ), и формулу (113). В силу удачно выбран-

p₀

pp_i pp_j

ных обозначений и полученной факторизации это

|p|<ω

упражнение проделать не сложно. Полезно проде-

методы такого интегрирования разобраны в рабо-

лать проверку независимости от λ и численно, так

те [22]. Финальный ответ в УРП таков:

как это является дополнительным тестом кода.

[

(

)

2α

2ω

δ_soft =

2 ln

-1

(116)

На рис. 10 приведены зависимости от энергии

m²u

]

реакции

√s полных относительных поправок δV+S±

L2s

−t

-u

+L_s -

+ Li₂

- Li₂

от суммарного вклада виртуальных вкладов (C =

= V ) и мягкоготормозногоизлучения (C = S) (при

Чтобы проделать проверку независимости пол-

ω = 0.05√s). В сумме этих вкладов отсутствует

ного результата от λ аналитически, следует сло- зависимость от λ.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ПРИЛОЖЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

177

δV+S

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

10⁰

10¹

10²

10³

10⁴

s, ГэВ

V+S

δ_-

-0.5

-0.6

-0.7

-0.8

-0.9

-2

-1.0

-4

500

1000

5000

10⁴

s, ГэВ

Рис. 10. Зависимость от

√s относительных поправок δV+S± .

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

менных и будущих экспериментах физики высоких

энергий.

В работе получены два набора асимптотиче-

Авторы признательны А.Б. Арбузову, М. Ру-

ских формул (ниже и выше Z-резонанса) для

ни (M. Roney) за обсуждение. В.А.З. благодарит

электрослабых однопетлевых поправок к на-

государственную программу научных исследова-

блюдаемым величинам поляризационного Баба-

ний Республики Беларусь “Конвергенция-2020” за

поддержку.

рассеяния. Установленное хорошее согласие в

области больших углов с точными результатами,

полученными методами компьютерной алгебры

Приложение A

FeynArts/FormCalc, подтверждает правильность

найденных асимптотических выражений. Кроме

ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА

академического интереса, они без сомнения будут

полезны для “быстрой” оценки неполяризацион-

Приведем основные правила Фейнмана (следу-

ных и поляризационных наблюдаемых в совре- ем обзору [6]).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

178

АЛЕКСЕЕВ и др.

•

Входящему фермиону с 4-импульсом p соот-

• По 4-импульсу каждой внутренней частицы

ветствует биспинорная амплитуда u(p), вы-

следует провести интегрирование. С учетом

ходящему соответствует биспинорная ам-

сохранения 4-импульса в каждой вершине,

плитуда u(p).

которая выражается присутствием в ней со-

ответствующей δ-функции в конечном вы-

•

Выходящему бозону с 4-импульсом p соот-

ражении для амплитуды, останется одна δ-

ветствует вектор поляризации e_ρ(p).

функция, выражающая общий закон сохра-

нения энергии-импульса диаграммы.

•

Пропагатору бозона (в калибровке Фейнма-

на) соответствует выражение

Сконструированная по вышеприведенным пра-

вилам Фейнмана амплитуда M процесса позво-

-ig^αβ D_a(q),

(П.1)

ляет сформировать дифференциальное сечение. В

где q — 4-импульс передачи в пропагаторе.

случае процесса 2 → 2 дифференциальное сечение

Фотонная масса m_γ ≡ λ равна нулю везде,

записывается с помощью формулы

кроме специально отмеченных ниже слу-

чаев, где она используется как инфините-

dσ =

|M|²dΦ₂,

(П.7)

зимальный параметр, который регуляризу-

8π²s

ет инфракрасную расходимость. Масса Z-

где фазовый объем реакции имеет вид

бозона обозначена как m_Z , его ширина —

d³p₃ d³p₄

Γ_Z (используется схема с фиксированной

dΦ₂ = δ(p₁ + p₂ - p₃ - p₄)

(П.8)

шириной).

2p₃₀ 2p₄₀

Снимая с помощью δ-функции три интеграла по

•

Фермионный (электронный) пропагатор вы-

пространственным компонентам p₄ и используя

глядит так (p — 4-импульс передачи в про-

сферическую систему координат, получим в с.ц.м.

пагаторе):

(где энергии конечных частиц равны p₃₀ = p₄₀)

p+m

iS(p) = i

(П.2)

dΦ₂ = δ(√s - 2p30) ×

(П.9)

p² - m²

|p₃|²d|p₃|d cos θdϕ,

4p₃₀p₄₀

•

Вершине взаимодействия фермиона f с ка-

либровочным бозоном a сопоставляется вы-

где

ражение:

√s =^√(p₁ + p₂)2 = p₁₀ + p₂₀

ieγ_μΓ^af, где Γ^af = v^af - a^af γ₅.

(П.3)

— полная энергия реакции (в с.ц.м., где p₁ = -p₂

Векторные и аксиально-векторные кон-

Применив соотношение |p₃|d|p₃| = p₃₀dp₃₀ и

станты связи фермиона f с фотоном и Z-

снимая интегралы (по p₃₀ с помощью δ-функции,

бозоном:

а по ϕ с учетом симметрии системы относительно

v^γf = -Q_f, a^γf = 0,

(П.4)

азимутального поворота), получим, возвращаясь

на последнем шаге к лоренц-инвариантной записи:

I3f - 2Q_f s^2W

I3f

√

v^Zf =

a^Zf =

π|p₃|

4m²

2s_Wc_W

dΦ₂ =

d cos θ =

dt. (П.10)

4p₄₀

Используются следующие параметры СМ:

Q_f — электрический заряд f-частицы в еди-

Приложение B

ницах протонного заряда, третья компонента

слабого изоспина (тут конкретизируем тип

фермиона):

ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ

I3ν = +

I3e = -

(П.5)

Изложим технику вычисления тензорных и век-

торных 4-точечных интегралов (на примере рас-

I3u = +

I3d = -

чета прямого s-канального γγ-бокса, случай 3).

(3)

Тензорный интеграл I_α

и векторный интеграл Iα3)

аsW (c_W) —синус(косинус)углаВайнберга,

которые связаны с массами Z- и W -бозона

определены в (68). Далее в этом разделе опускаем

согласно правилам СМ:

обозначение случая 3 и индекс ab = γγ. Остальные

√

нужные для расчета скалярные и векторные инте-

m_W

c_W =

s_W =

1-c^2W.

(П.6)

гралы имеют вид:

m_Z

G0,α(p1,3,q_s) =

(П.11)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ПРИЛОЖЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

179

∫

d⁴k

1, k_α

интегралы, расчет которых приведен в следующем

(

)(

iπ²

k² - λ²

(k - q_s)² - λ²

k² - 2p1,3k

разделе, в УРП эти коэффициенты выглядят так:

]

H0,α(p₁,p₃) =

g₁ = G₀ -

P (p₁, q_s) - R(q_s)

∫

d⁴k

1, k_α

(

)(

[

]

iπ²

k² - λ²

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

L2s - 4L_s +

π²

F0,α(p₁,p₃,q_s) =

]

∫

g₃ =

P (p₁, q_s) - R(q_s)

L_s.

d⁴k

1, k_α

(

)(

iπ²

(k - q_s)² - λ²

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

Нетрудно убедиться, что

G₂ = g₁, G₃ = g₃.

Векторные интегралы раскладываются следующим

образом (где можно, скобки с аргументами опу-

стим):

2. Интегралы H_α и F_α

Gα(p1, qs) = g1p1α + g3qsα,

(П.12)

Для интеграла H_α имеем следующую систему:

Gα(p3, qs) = G2p3α + G3qsα,

p1αH_α = h₁m² + h₂(p₁p₃) =

H_α = h₁p1α + h₂p3α,

]

-P(p₃) + N(p₁,p₃)

Fα = f1p1α + f2p3α + f3qsα,

I_α = a₁p1α + a₂p3α + a₃q_sα.

p3αH_α = h₁(p₁p₃) + h₂m² =

]

-P(p₁) + N(p₁,p₃)

1. Интеграл G_α

Решая ее, в УРП получим

Далее с векторными интегралами поступим со-

[

]

h₁ = h₂ =

N (p₁, p₃) - P (p₁)

L_t.

гласно методу, описанному в работе [23]: домножим

2p₁p₃

каждый из них на каждый 4-вектор из правой

части. Для интеграла G_α получим:

Для расчета F_α проделаем следующий трюк:

заменим переменную интегрирования k → k + q_s

p1αG_α = g₁m² + g₃(p₁q_s),

[этот прием уже применялся при получении (75)].

Упрощая, получим соотношение

q_sαG_α = g₁(p₁q_s) + g₃q2s.

∫

d⁴k

k_α + q_sα

Далее подносим под знак интеграла домножаемый

(

)(

) =

Fα =

iπ²

k² - λ²

k² + 2p₂k

k² + 2p₄k

4-вектор, свертываем с числителем и выражаем

через комбинации, присутствующие в знаменате-

= H_α|p1,3→-p2,4 + qsαH0|p1,3→-p2,4^.

лях (осуществляем так называемое разложение

Вельтмана-Пассарино [23]):

Отсюда получаем, раскладывая по 4-векторам:

f₁p1α + f₂p3α + f₃q_sα

p1,3k =

(2p1,3k - k² + k²),

= -h₁p2α - h₂p4α + q_sαH₀.

q_sk =

(k² + q2s - (k - q_s)²).

Приводя подобные и приравнивая коэффициенты

при соответствующих 4-векторах, получим:

Деля почленно подынтегральные выражения, по-

f₁ = f₂ = h₁, f₃ = H₀ - 2h₁.

лучим комбинации 2-точечных функций (они при-

ведены в следующем Приложении). В результате

получаем систему уравнений:

3. Интеграл I_α

]

Для интеграла I_α имеем следующую систему:

g₁m² + g₃(p₁q_s) =

P (p₁, q_s) - R(q_s)

p1αI_α = a₁m² + a₂(p₁p₃) + a₃(p₁q_s) =

g₁(p₁q_s) + g₃q2s =

]

-G₀ + F₀

]

P (p₁, q_s) + q2sG₀(p₁, q) - P (p₁)

p3αI_α = a₁(p₁p₃) + a₂m² + a₃(p₃q_s) =

Решение этой системы дает выражения коэффи-

]

-G₀ + F₀

циентов в векторных интегралах через скалярные

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

180

АЛЕКСЕЕВ и др.

q_sαI_α = a₁(p₁q_s) + a₂(p₃q_s) + a₃q2s =

Получившаяся система 10 уравнений имеет 7

[

]

неизвестных, следовательно, является переопреде-

F₀ + q2sI₀ - H₀

ленной (некоторые уравнения являются линейно-

зависимыми). Для решения выбираются 7 урав-

Из первых двух уравнений в УРП получим a₁ = a₂.

нений, обязательны следующие: уравнение (П.15),

Решая далее, находим:

одно уравнение из блока (П.16)-(П.18), одно из

блока (П.19)-(П.21) и одно из блока (П.22)-

[

]

a₁ = -

sI₀ - H₀ - F₀ + 2G₀

= (П.13)

(П.24).

[

]

Приведем здесь решение системы в упрощенном

X₀ + 2G₀

виде:

)

]

b₀ =

G₀ - a₁t

(П.25)

a₃ =

a₁t - G₀ + F₀

(

)

b₁ = b₂ =

G₀s + g₁u - g₃s + h₁t - a₁st

4. Интеграл I_αβ

(

)

b₃ =

g₃s + H₀u + h₁(s - u) + G₀t - a₁t²

Тензорный интеграл I_αβ раскладывается по

(

)

простейшим следующим образом:

b₄ =

-g₃s - G₀t + h₁t + a₁t²

I_αβ(p₁,p₃,q_s) =

(П.14)

)

b₅ = b₆ =

G₀ - g₃ - h₁ - a₁t

=b₀g_αβ + b₁p1αp1β + b₂p3αp3β + b₃q_sαq_sβ +

+ b₄(p1αp3β + p3αp1β) + b₅(p1αq_sβ + q_sαp1β) +

Естественно, что в силу переопределенности пол-

ной системы такая форма записи не является един-

+ b₆(p3αq_sβ + q_sαp3β).

ственно возможной. Это не отражается на физиче-

ском результате (следует помнить, что между коэф-

Домножая его на g^αβ , получим уравнение

фициентами системы существуют дополнительные

4b₀ + m²(b₁ + b₂) + q2sb₃ + 2(p₁p₃)b₄ +

связи, для построения программы численного рас-

чета они не имеют особого значения).

+ 2(p₁q_s)b₅ + 2(p₃q_s)b₆ = F₀.

Упрощая с учетом того, что для безрадиационной

Приложение C

кинематики s-канала выполняются соотношения

2p1,2,3,4q_s = s, в УРП находим

4b₀ + sb₃ + (-t)b₄ + sb₅ + sb₆ = F₀.

(П.15)

СКАЛЯРНЫЕ МНОГОТОЧЕЧНЫЕ

ФУНКЦИИ

Далее, домножая на p1β и приравнивая коэф-

1. 2-точечные функции

фициенты при одинаковых членах, получим три

уравнения, запишем их сразу в УРП:

Введем скалярные 2-точечные (ультрафиолето-

во-расходящиеся) функции:

2b₀ + (-t)b₄ + sb₅ = f₁,

(П.16)

N (p₁, p₃) =

(П.26)

(-t)b₂ + sb₆ = f₂ - G₂,

(П.17)

∫

d⁴k

sb₃ + (-t)b₆ = f₃ - G₃.

(П.18)

(

)(

iπ²

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

Домножая на p3β, получим следующие три уравне-

P (p₁, q) =

(П.27)

ния:

∫

d⁴k

(-t)b₁ + sb₅ = f₁ - g₁,

(П.19)

(

)(

iπ²

(k - q)² - λ²

k² - 2p₁k

2b₀ + (-t)b₄ + sb₆ = f₂,

(П.20)

∫

d⁴k

sb₃ + (-t)b₅ = f₃ - g₃.

(П.21)

P (p₁) =

(

)(

(П.28)

iπ²

k² - λ²

k² - 2p₁k

Наконец, домножая на q_sβ, получим:

∫

d⁴k

R(q) =

(

)(

). (П.29)

sb₁ + sb₄ + 2sb₅ = f₁ + sa₁ - h₁,

(П.22)

iπ²

k² - λ²

(k - q)² - λ²

sb₂ + sb₄ + 2sb₆ = f₂ + sa₂ - h₂,

(П.23)

Рассчитаем для примера первую (нужна только

2b₀ + 2sb₃ + sb₅ + sb₆ = f₃ + sa₃.

(П.24)

действительная часть).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ПРИЛОЖЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

181

Применяем трюк Фейнмана [конкретно, первую

Наконец, снимаем интеграл по y и получаем выра-

формулу из (86)] и получаем выражение (П.26) в

жение

виде

∫

Λ²

d⁴k

N (p₁, p₃) = ln

+ 1.

(П.33)

N (p₁, p₃) =

(П.30)

m²|a|

iπ²

∫1

В УРП явный вид 2-точечных функций такой:

[(k² - 2p₁k)y + (k² - 2p₃k)(1 - y)]²

Снимаем интеграл по k по формуле

N (p₁, p₃) = L_Λ + ln

+ 1,

(П.34)

∫

2p₁p₃

d⁴k

Λ²

= ln

- 1.

(П.31)

P (p₁, q_r) = P (p₁) = L_Λ + 1,

iπ² [(k - b)² - d]²

R(q_r) = L_Λ - L_r

+ 1.

Тогда

∫1

(

)

Λ²

N (p₁, p₃) = dy ln

- ln

- 1 , (П.32)

m²

2. 3-точечные функции

где

b = p₁y + p₃(1 - y), d = b².

Скалярный мастер-интеграл имеет вид (опус-

Упрощая, получим

каем для краткости обозначение обхода полюса

+iϵ, кроме этого, везде далее рассчитываем только

2m²

- 2p₁p₃

= ay² - ay + 1, a =

действительную часть)

m²

∫

d⁴k

Hγ0(p₁,p₃) =

(П.35)

iπ2 (k2 - λ2)((k - p1)2 - m2)((k - p3)2 - m2)

Подробный расчет этого интеграла разобран в [22].

d = -λ², e = 0, f = λ² - iϵ.

Приведем нужные формулы для справочных целей.

В обозначениях этого Приложения:

Используем ультрарелятивистское приближе-

ние

b = p₁x - (p₁ - p₃)y,

m² ≪ |b|,

(П.38)

d = m²x² + 2(m² - p₁p₃)y² -

также используется условие малости фотонной

- 2(m² - p₁p₃)xy - λ²x + λ²,

массы по сравнению с массой излучающего лепто-

а интеграл имеет вид

на

λ≪m

(П.39)

∫1

∫

Hγ0(p₁,p₃) = - dx dy¹.

(П.36)

и обозначения для коллинеарного L_b и инфракрас-

ного логарифмов L_λ:

|b|

L_b = ln

L_λ = ln

(П.40)

m²

Hγ0(p₁,p₃) =

(П.37)

Приведем основные выражения в ультрареля-

∫1

∫

тивистском приближении, используя обозначения:

= - dx dy

ax² + by² + cxy + dx + ey + f

m²

λ²

μ=

ν =

где

так что выполняются соотношения

a = m², b = 2(m² - p₁p₃), c = -2(m² - p₁p₃),

ln |μ| = -L_b, ln |ν| = L_λ - L_b.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

182

АЛЕКСЕЕВ и др.

Для упрощений в ультрарелятивистском прибли-

тов 3-точечной функции, получим:

)

жении используем очень полезную формулу

⁽1

Hγ0 (p₁,-p₂) =1

L2s - L_sL_λ -

π²

(П.42)

⁽1⁾

Li₂(z) = -Li₂

ln²(-z) -

π², (П.41)

для случая 1,

)

⁽1

связывающую дилогарифмы Спенса с обратными

Hγ0 (p₁,p₄) =1

L2u - L_uL_λ -

π²

аргументами. Вычисляя Hγ0 на основе приближен-

но вычисленных в УРП (П.38) и с условием (П.39),

для случая 2 и случая 4,

получим общую формулу

)

(

)

⁽1

m²

Hγ0 (p₁,p₃) =1

L2t - L_tL_λ -

π²

Hγ0(p₁,p₃) =

Li₂

2m² - 2p₁p₃

λ²

)

для случая 3.

⁽ 2m² - 2p₁p₃ )

− Li₂

- Li₂(1)

λ²

Теперь рассчитаем подобный скалярный инте-

Подставляя значение b в зависимости от аргумен-грал,носмассивнымZ-бозоном(естественным

будет обозначение HZ0 ):

∫

d⁴k

HZ0(p₁,p₃) =

(П.43)

iπ2 (k2 - m2Z )((k - p1)2 - m2)((k - p3)2 - m2)

Методика расчета HZ0 в HE-режиме такая же са-

Видно, что рассматриваемый интеграл во всех че-

тырех случаях выражается через квадрат судаков-

мая, как в случае расчета Hγ0 за исключением того,

ского логарифма.

что вместо условия (П.39) необходимо использо-

вать (очевидное для первых поколений фермионов)

Теперь вычислим скалярный мастер-интеграл

условие

∫

d⁴k

1, k_α

m_Z ≫ m.

(П.44)

G₀(p₁,q) =

(

), (П.46)

iπ² k²(k - q)²

k² - 2p₁k

действовать будем по той же схеме. Выбирая a₁ =

Изменение условий, с первого взгляда выглядя-

= k² - λ², a₂ = (k - q)² - λ², a₃ = (k - p₁)² - m²,

щее как не особенно важное, тем не менее “дра-

получим (при условии нахождения конечных ча-

матическим” образом меняет форму результата.

стиц на массовой поверхности и равных масс)

. Под-

^b=qx+p₃y,

ставляя значение b в зависимости от аргументов

3-точечной функции и упрощая, где это возможно,

d = q²x² + m²y² - q²xy - q²x +

получим:

+ (q² - λ²)y + λ².

)

⁽1

m2Z

HZ0 (p₁,-p₂) =

ln²

π²

(П.45)

Далее подставляем полученные значения коэффи-

циентов a, b, ..., f в процедуру расчета. Заметим,

для случая 1,

что здесь μ и ν уже определяются по-другому:

)

⁽1

m2Z

m²

λ²

HZ0 (p₁,p₄) =

ln²

π²

μ=

ν =

-u

q²

для случая 2 и случая 4,

)

Упрощая, получим общую формулу

⁽1

m2Z

HZ0 (p₁,p₃) =

ln²

π²

(

-t

⁽q² ))

G₀(p₁,q) =

2Li₂(2) - Li₂

для случая 3.

q²

m²

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

ПРИЛОЖЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

183

Ультрарелятивистские выражения для конкретных

нет. Разбиваем ее на шесть элементарных слагае-

случаев приобретают следующий вид:

мых и снимаем интеграл:

G₀ (p₁,q_t) = G₀ (-p₂,q_t) = G₀ (p₄,q_t) = (П.47)

)

X₀(p₁,p₃,q) =

√

(П.53)

⁽1

1 - 4α

L2t +

π²

(

]

[₁∫

∫

-t

G₀ (p₁,q_s) = G₀ (p₃,q_s) = G₀ (p₄,q_s) = (П.48)

× ln

q²

y-y₁

y-y₂

)

⁽1

L2s +

π²

∫

ln |y - y₁|

ln(y - y₂)

y-y₁

y-y₂

3. 4-точечные интегралы X₀ и I₀

)

∫

ln(y - y₂)

ln |y - y₁|

В этом разделе вычислим ИК-конечную 4-

точечную функцию (рассмотрим случай 3, следова-

y-y₁

y-y₂

тельно q = q_s):

Упрощая с учетом (П.52) и затем делая УРП

X₀(p₁,p₃,q) =

(П.49)

(|α|, |y₂| ≪ 1), получим

= q²Iγ0(p₁,p₃,q) - Fγ0 (p₁,p₃) - Hγ0(p₁,p₃) =

∫

(

)

d⁴k

q-k

X₀(p₁,p₃,q) =

√

(П.54)

(

)(

1 - 4α

iπ² k²(k - q)²

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

(

-t

-y₂

2 ln

+ ln²(-y₂) - ln² y₁ +

Будем использовать ряд обозначений и методику

q²

y₁

расчета из работы Кахане [20] (все ссылки на

)

формулы до конца абзаца относятся к формулам

y₁

y₂

из [20]): применяем трюк Фейнмана (П.1)-(П.3)

+ 2Li₂

- 2Li₂

y₁ - y₂

y₂ - y₁

и интегрируем по внутреннему 4-импульсу (П.5).

(

)

Снимая два первых интеграла по параметрам Фей-

-t

нмана x и z, получаем (П.36). В наших обозначени-

2 ln

ln(-α) + ln²(-α) +

π²

q²

ях это дает следующее выражение:

(

)

∫1



q²

p2y

-2ln

ln(-α) - ln²(-α) +

π²

X₀(p₁,p₃,q) =

ln



(П.50)

^,

m²

p2y

^q²

где p_y = yp₁ + (1 - y)p₃.

Для конкретных случаев в УРП получаем:

(

)

Вычислим p2y, после возведения в квадрат полу-

X₀(p₁,-p₂,q_t) =

(2L_t - L_s)L_s +

π²

чим

p2y = t(y² - y + α) = t(y - y₁)(y - y₂),

(П.55)

для случая 1,

где

(

)

1±

^√1 - 4α

X₀(p₁,p₄,q_t) =

(2L_t - L_u)L_u +

π²

y1,2 =

α=

(П.51)

для случая 2,

Полезны следующие соотношения:

(

)

√

y₁ - y₂ =

1 - 4α, y₁ + y₂ = 1.

(П.52)

X₀(p₁,p₃,q_s) =

(2L_s - L_t)L_t +

π²

Нетрудно сделать разложение

для случая 3,

(

)

(

)

√

X₀(p₁,p₄,q_s) =

(2L_s - L_u)L_u +

π²

p2y

1 - 4α y - y1

y-y₂

для случая 4.

Приступаем к последнему интегрированию, за-

мечая, что в случае α < 0 (это справедливо при

Заметим, что в интеграле X₀(p₁, -p₂, q_t) появилось

t < 0) особенностей у подынтегральной функции

добавочное слагаемое +π², его происхождение та-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020

184

АЛЕКСЕЕВ и др.

кое:

C. A. Heusch, Int. J. Mod. Phys A 20, 7289 (2005).

(

)

(

)

H. J. Bhabha, Proc. R. Soc. Lond. A 154, 195 (1935).

m²

−Re ln²(-α)

= -Re ln²

F. A. Berends, K. J. F. Gaemers, and R. Gastmans,

−s

Nucl. Phys. B 68, 541 (1974).

M. B ¨ohm, H. Spiesberger, and W. Hollik, Fortschr.

(

)₂

m²

= -Re

- iπ

= -ln²

+π².

Phys. 34, 687 (1986).

W. Hollik, Fortschr. Phys. 38, 165 (1990).

M. B ¨ohm and W. Hollik, Nucl. Phys. B 204, 45

Наконец, для скалярной

4-точечной ИК-

(1982).

расходящейся функции для конкретных случаев в

M. Bohm, A. Denner, and W. Hollik, Nucl. Phys. B

УРП получаем следующие выражения:

304, 687 (1988).

10.

F. A. Berends, R. Kleiss, and W. Hollik, Nucl. Phys. B

I₀(p₁,-p₂,q_t) =

L_s(L_t - L_λ)

(П.56)

304, 712 (1988).

11.

G. Balossini, C. Bignamini, C. M. Carloni Calame,

для случая 1,

G. Montagna, O. Nicrosini, and F. Piccinini, Nucl.

Phys. Proc. Suppl. 183, 168 (2008); arXiv: 0806.4909

I₀(p₁,p₄,q_t) =

L_u(L_t - L_λ) для случая 2,

[hep-ph].

12.

A. Arbuzov, E. Kuraev, and B. Shaikhatdenov, ЭЧАЯ

I₀(p₁,p₃,q_s) =

L_t(L_s - L_λ) для случая 3,

33, 5 (2002).

13.

T. Hahn and M. Perez-Victoria, Comput. Phys.

I₀(p₁,p₄,q_s) =

L_u(L_s - L_λ) для случая 4.

Commun. 118, 153 (1999) [hep-ph/9807565].

14.

A. Denner, Fortsch. Phys. 41, 307 (1993).

15.

Particle Data Group (C. Amsler et al.), Phys. Lett. B

667, 1 (2008).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

16.

F. Jegerlehner, J. Phys. G 29, 101 (2003)

[hep-

1. M. L. Perl, G. S. Abrams, A. Boyarski,

ph/0104304].

M. Breidenbach, D. Briggs, F. Bulos, W. Chinowsky,

17.

S. Eidelman and F. Jegerlehner, Z. Phys. C 67, 585

J. T. Dakin, G. J. Feldman, C. E. Friedberg,

(1995).

D. Fryberger, G. Goldhaber, G. Hanson, F. B. Heile,

18.

S. Actis, A. Arbuzov, G. Balossini, P. Beltrame,

B. Jean-Marie, J. A. Kadyk, et al., Phys. Rev. Lett.

C. Bignamini, R. Bonciani, C. M. Carloni Calame,

35, 1489 (1975).

V. Cherepanov, M. Czakon, H. Czyz, A. Denig,

2. G. Aad, T. Abajyan, B. Abbott, J. Abdallah,

S. Eidelman, G. V. Fedotovich, A. Ferroglia, J. Gluza,

S. A. Khalek, A. A. Abdelalim, O. Abdinov, R. Aben,

A. Grzelinska, et al., Eur. Phys. J. C 66, 585 (2010).

B. Abi, M. Abolins, O. AbouZeid, H. Abramowicz,

19.

А. Г. Алексеев, С. Г. Барканова, В. А. Зыкунов, ЯФ

H. Abreu, B. S. Acharya, L. Adamczyk, D. Adams,

75, 231 (2012) [Phys. At. Nucl. 75, 209 (2012)].

et al. (ATLAS Collab.), Phys. Lett. B 716,

20.

J. Kahane, Phys. Rev. B 135, 975 (1964).

(2012); arXiv: 1207.7214 [hep-ex]; S. Chatrchyan,

21.

V. A. Zykunov, Phys. Rev. D 75, 073019 (2007) [hep-

V. Khachatryan, A. M. Sirunyan, A. Tumasyan,

ph/0509315].

W. Adam, E. Aguilo, T. Bergauer, M. Dragicevic,

22.

G. ’t Hooft and M. Veltman, Nucl. Phys. B 153, 365

J. Ero, C. Fabjan, M. Friedl, R. Fruehwirth,

(1979).

V. M. Ghete, J. Hammer, M. Hoch, N. Horman, et al.

(CMS Collab.), Phys. Lett. B 716, 30 (2012); arXiv:

23.

G. Passarino and M. J. G. Veltman, Nucl. Phys. B

1207.7235 [hep-ex].

160, 151 (1979).

APPLICATION OF ASYMPTOTIC METHODS TO THE CALCULATION OF

THE ELECTROWEAK CORRECTIONS TO POLARIZED

BHABHA-SCATTERING

A. G. Aleksejevs¹⁾, S. G. Barkanova¹⁾, Yu. M. Bystritskiy²⁾, V. A. Zykunov^2),3)

¹⁾Memorial University, Corner Brook, Canada

²⁾JINR, Dubna, Moscow region, Russia

³⁾Francisk Skorina Gomel State University, Belarus

Within on-mass-shell renormalization scheme the asymptotic formulas for one-loop electroweak radiative

corrections to observables in polarized Bhabha scattering are obtained. The numerical analysis of relative

one-loop electroweak corrections to the cross section and to the polarization asymmetry at energies below

and above Z resonance is performed. The successful comparison with precise results obtained with the use

of computer algebra systems is done.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№2

2020