ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 3, с. 246-262

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ

С УЧЕТОМ ЖЕСТКОГО ТОРМОЗНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

В ПОЛЯРИЗАЦИОННОМ БАБА-РАССЕЯНИИ

Поступила в редакцию 11.12.2019 г.; после доработки 11.12.2019 г.; принята к публикации 11.12.2019 г.

Рассчитаны полные однопетлевые электрослабые радиационные поправки, включая вклад жесткого

тормозного излучения, к наблюдаемым величинам поляризационного Баба-рассеяния. Произведен

численный анализ наблюдаемых поляризационных и пространственных асимметрий с учетом элек-

трослабых поправок для низкоэнергетических экспериментов типа Belle II и для будущего электрон-

позитронного коллайдера ILC/CLIC.

DOI: 10.31857/S0044002720030034

1. ВВЕДЕНИЕ

e^-e⁺ → μ^-μ⁺ при энергии ниже Z-резонанса

[для Belle II в системе центра масс (с.ц.м.) e^- и

Процессы аннигиляции электрон-позитронной

e⁺ энергия реакции

√s = m(Υ4S) = 10.577 ГэВ].

пары в пару фермионов играют фундаментальную

Измерения Belle II прекрасно дополнят данные,

роль в изучении природы микромира, начиная

которые были получены для sin² θ_W из экспери-

со становления КЭД и по настоящий момент,

ментов E-158 (SLAC) и QWeak (JLab) и которые

когда Стандартная модель электрослабых взаимо-

планируется существенно уточнить в эксперименте

действий (СМ) обрела статус экспериментально

MOLLER (JLab).

подтвержденной теории. Среди особо значимых

С электрон-позитронными коллайдерами ново-

для электрослабой физики e^-e⁺-машин нужно

го поколения: Международным линейным коллай-

отметить две фабрики по производству массив-

дером (International Linear Collider, ILC) c плани-

ных бозонов: SLC — Stanford Linear Collider —

руемой энергией реакции 1 ТэВ (до 2 ТэВ после

электрон-позитронный линейный коллайдер в

модернизации) и параллельно развивающимся с

лаборатории SLAC (Стэнфорд, США) с пучками

ним проектом — Компактный линейный коллай-

с энергией в системе центра масс 90 ГэВ (его

дер (Compact Linear Collider, CLIC) с суммар-

предшественник SPEAR обеспечил открытие τ-

ной энергией до 3 ТэВ, связаны серьезные пер-

лептона

[1]) и LEP — Large Electron Positron

спективы в поиске новой физики (НФ): прояв-

(Ring) — кольцевой e⁺e^--коллайдер в CERN с

ления дополнительных измерений, суперсиммет-

первоначальной энергией 50 ГэВ. Коллайдеры SLC

рии, кандидатов на темную материю и, если НФ

и LEP дали столь много точной информации, что

будет до этого обнаружена на LHC, ее интен-

основные аспекты электрослабой теории были

сивное и прецизионное изучение, чему поможет

прецизионно проверены и твердо установлены.

относительная “чистота” лептонного типа реакций

Процесс электрон-позитронной аннигиляции

на ILC/CLIC. Новый проект “Будущий цикличе-

отнюдь не исчерпал свой потенциал и по настоящий

ский коллайдер” (Future Circular Collider, FCC)

день. Успешно продолжают свою работу установки

с энергией пучков в лептонном режиме (FCC-ee)

VEPP (Новосибирск) и BEPC-II (Пекин, Китай),

от 45 до 175 ГэВ направлен на точное изучение

нацеленные на изучение мезонной физики. Ин-

свойств нового скалярного (хиггсовского) бозона

тересна программа для производства B-мезонов

в продолжение открытия LHC [2] и физику топ-

Belle II (KEK, Япония), одной из главных целей

кварка. В работе ILC/CLIC/FCC возможна также

которой будет определение важнейшего параметра

электрон-электронная (меллеровская) мода, кото-

СМ — синуса угла Вайнберга sin θ_W в канале

рая, как и при более низких энергиях в эксперимен-

те E-158 (SLAC) и в планируемом эксперименте

¹⁾Университет Мемориал, Корнер Брук, Канада.

MOLLER в JLab, может быть чрезвычайно инте-

²⁾Объединенный институт ядерных исследований, Дубна,

ресна как для прецизионных тестов и измерений

Россия.

СМ, так и для поисков НФ [3].

³⁾Гомельский государственный университет им. Ф. Скори-

ны, Беларусь.

Процесс рассеяния электронов на позитронах с

^*E-mail: zykunov@cern.ch

таким же конечным состоянием занимает уникаль-

246

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ

247

ное положение среди 4-фермионных процессов:

p₁

p₃

p₁

p₃

тождественность масс создает особые возможно-

сти по постановке эксперимента, хотя и суще-

ственно усложняет расчет наблюдаемых величин,

q_s

особенно в высших порядках теории возмуще-

q_t

ний. Впервые сечение рассеяния этого процесса

в рамках КЭД на борновском уровне вычислил

Х. Баба в [4] (в его честь дано название процес-

-p₂

-p₄

-p₂

-p₄

са — “Баба-рассеяние”). Очевидно, что для того

чтобы получить надежную информацию из экспе-

Рис. 1. Фейнмановские диаграммы процесса e^-e⁺ →

риментальных данных, необходимо точно учесть

→ e^-e⁺ с безрадиационной кинематикой (а — t-

эффекты высших порядков в СМ — электросла-

канальная, б — s-канальная). Внутренней волнистой

бые радиационные поправки (ЭСП). Включение

линиейна этой и последующихдиаграммах обозначены

ЭСП на уровне одной или больше петель явля-

фотон или Z-бозон.

ется неотъемлемой частью любого современного

эксперимента. Одними из первых работ по расчету

e^- и позитрон e⁺, в промежуточном состоянии фо-

электромагнитных радиационных поправок к про-

тон γ и Z-бозон. В скобках стоят 4-импульсы на-

цессу Баба были работы Берендса с соавторами,

чальных и конечных частиц. Фейнмановские диа-

например, [5]. Затем, на основе техники, описанной

граммы, соответствующие процессу (1) в борнов-

в работах [6-8], анализ ЭСП в рассеянии Баба был

ском приближении, изображены на рис. 1.

осуществлен в [9, 10]. Для нужд коллайдеров LEP

Четыре-импульсы начальных частиц (p₁ и p₂) и

и SLC потребовалось систематическое прецизи-

конечных частиц (p₃ и p₄) образуют стандартный

онное включение ЭСП в точном соответствии с

набор лоренц-инвариантных переменных Ман-

экспериментальными возможностями детекторов,

дельстама:

соответствующее программное обеспечение в об-

s = q2s = (p₁ + p₂)²,

(2)

суждаемом канале описано, например, в [11].

t = q2t = (p₁ - p₃)², u = (p₂ - p₃)².

В нашей предыдущей работе [12] целью ста-

вилось получение двух наборов асимптотических

Далее, если особо не оговаривается, приводятся

формул, имеющих простой компактный вид, но тем

только результаты, соответствующие ультрареля-

не менее надежно работающих (это доказывает-

тивистскому приближению (УРП):

ся успешным сравнением с точными результата-

s,-t,-u ≫ m²,

(3)

ми, полученными методами компьютерной алгебры

FeynArts/FormCalc [13]) при энергиях в стороне от

где m — масса электрона. УРП в общем случае

Z-резонанса. В этой работе к полученным в [12]

можно описать так: все лоренц-инварианты много

результатам для V -вклада добавим R-вклад, делая

больше (по абсолютной величине) всех фермион-

акцент на аккуратном учете жесткого тормозного

ных масс.

излучения (ТИ), и проделаем полный численный

анализ важных наблюдаемых величин. Изучаемые

3. ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА

области (с точки зрения масштаба энергии) описы-

ваются следующими терминами:

Для записи амплитуды процесса используем

следующие правила Фейнмана (следуем обзо-

1. LE-режим (от “low energies”, низкие энер-

ру [6]):

гии): m_f ≪

√s ≪ m_W ,

Входящему фермиону с 4-импульсом p соответ-

ствует биспинорная амплитуда u(p), выходящему

2. HE-режим (от

“high energies”, высокие

соответствует биспинорная амплитуда u(p).

энергии):

√s ≫ m_Z.

Выходящему бозону с 4-импульсом p соответ-

ствует вектор поляризации e_ρ(p).

Пропагатору бозона (в калибровке Фейнмана)

2. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА

соответствует выражение

Процесс рассеяния Баба в рамках СМ записы-

-ig^αβ D_a(q),

(4)

вается следующей формулой:

где бозонный пропагатор D_a

определяется фор-

e^-(p₁) + e⁺(p₂) → e^-(p₃) + e⁺(p₄).

(1)

мулой

В ней обозначены частицы, участвующие в реак-

D_a(q) =

(5)

ции: в начальном (конечном) состоянии электрон

q² - m2a + im_aΓ_a

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

248

АЛЕКСЕЕВ и др.

a=γ,Z,

Все детали построения сечений с безрадиационной

кинематикой изложены в [12]. В этом разделе для

q — 4-импульс передачи в пропагаторе. Фотонная

полноты изложения приводятся основные полу-

масса m_γ ≡ λ равна нулю везде, кроме специально

ченные формулы. В вершинах фигурирует Q_e —

отмеченных ниже случаев, где она используется

заряд электрона в элементарных зарядах e, для

как инфинитезимальный параметр, который регу-

ясности: Q_e = -1. Полную амплитуду процесса с

ляризует инфракрасную расходимость. Масса Z-

обменом бозоном a получаем, суммируя

бозона обозначена как m_Z , его ширина — Γ_Z (ис-

Ma0 = M^at + M^as.

(13)

пользуется схема с фиксированной шириной).

Фермионный (электронный) пропагатор выгля-

Сформируем сечение процесса, для этого нужно

дит так (p — 4-импульс передачи в пропагаторе):

квадрировать амплитуду M₀ и упростить фазовый

объем реакции. В результате получаем дифферен-

p+m

iS(p) = i

(6)

циальное (по углу рассеяния) сечение процесса (1)

p² - m²

в борновском приближении

Вершине взаимодействия фермиона f с калибро-

∑

dσ⁰

вочным бозоном a сопоставляется выражение

Ma0Mb0+,

(14)

2⁵πs

ieγ_μΓ^af, где Γ^af = v^af - a^afγ₅.

(7)

a,b=γ,Z

где c = cos θ — косинус угла между начальным

Векторные и аксиально-векторные константы свя-

электроном и конечным (детектируемым) электро-

зи фермиона f с фотоном и Z-бозоном имеют вид:

ном в с.ц.м. начальных частиц.

v^γf = -Q_f, a^γf = 0,

(8)

Запишем сечение реакции в симметричном ви-

де, это существенно облегчит программирование

I3f - 2Q_f s^2W

I3f

v^Zf =

a^Zf =

и анализ физического содержания. Общая форма

2s_Wc_W

записи сечения будет такая:

В записи векторных и аксиальных констант в

∑

dσ⁰

πα²

процессе Баба везде, кроме петлевых вставок в

Π^abkS^aabk,

(15)

поляризации вакуума, индекс f = e и его будем

k=1 a,b=γ,Z

опускать.

где k = {rr^′} = {tt, ts, st, ss} = {1, 2, 3, 4}. Пропа-

В работе используются следующие параметры

гаторы бозонов встречаются в комбинациях

СМ: Q_f — электрический заряд f-частицы в еди-

ницах протонного заряда, третья компонента сла-

Π^abrr′ ≡ D_a(q_r)D^∗b(q_r′).

бого изоспина (тут конкретизируем тип фермиона):

Вычисляя следы, получим выражения S_k в следую-

щем виде (см. [12]):

I3ν = +

I3e = -

(9)

S^abctt = P-2fabc+u² + P⁺²f^abc-s² -

(16)

I3u = +

I3d = -

-P-1gabc+u² + P⁺¹g^abc-

s²,

а s_W (c_W) —синус (косинус) угла Вайнберга, ко-

торые связаны с массами Z- и W -бозона согласно

S^abcts =

S^abcst = P-2fabc+u² - P-1gabc+u²,

правилам СМ:

√

m_W

S^abcss = P-2(fabc+u² + f^abc-t²) -

c_W =

s_W =

1-c^2W.

(10)

m_Z

- P-1 (gabc+u² - g^abc-t²).

Присутствующие здесь новые величины f_± и g_±

4. СЕЧЕНИЯ С БЕЗРАДИАЦИОННОЙ

выражаются через комбинации констант связи

КИНЕМАТИКОЙ

g_V,A:

Применим вышеперечисленные правила Фейн-

f^abc± = g^acVg^bcV ± g^acAg^bcA,

(17)

мана, тогда амплитуды процесса Баба в приближе-

нии Борна, соответствующие рис. 1, выглядят так:

g^abc± = g^acVg^bcA ± g^acAg^bcV,

M^at = e²Q2eD_a(q_t) · u(p₃)γ_μ ×

(11)

g^abV = v^av^b + a^aa^b, g^abA = v^aa^b + a^av^b,

(18)

× Γ^au(p₁) · u(-p₂)γ_μΓ^au(-p₄),

и четыре комбинации степеней поляризаций элек-

M^as = -e²Q2eD_a(q_s) · u(-p₂)γ_μ ×

(12)

трона λ₁ и позитрона λ₂:

× Γ^au(p₁) · u(p₃)γ_μΓ^au(-p₄).

P±1 = λ₁ ± λ₂, P±2 = 1 ± λ₁λ₂.

(19)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ

249

Вклад дополнительных виртуальных частиц (V -

сечения dσ^C /dc. Индекс C (от “Contribution”)

вклад) представлен тремя классами диаграмм: бо-

означает рассматриваемый вклад в сечение и при-

зонные собственные энергии (boson self energies,

нимает значения C = 0, V, soft, VS, hard, NLO, где

BSE), вершинные функции (vertices, Ver) и двух-

“0” означает борновский вклад (часто его обозна-

бозонный обмен (боксы, Box); они обозначаются

чают также как “LO” — Leading Order), “NLO”

индексами: C = V = BSE, Ver, Box. В схеме пере-

означает сумму всех вкладов с точностью до одно-

нормировки на массовой поверхности нет однопет-

петлевых (Next-to-Leading Order).

левых вкладов от электронных собственных энер-

Первая наблюдаемая величина — поляризаци-

гий. Диаграммы, соответствующие вкладам допол-

онная асимметрия (или single spin asymmetry, т.е.

нительных виртуальных частиц, представлены и

асимметрия с одиночной поляризацией):

описаны в работе [12].

dσCL0

Сечение вклада бозонных собственных энергий

A^CLR = A^CLR(θ) =

(24)

получаем в борноподобном виде:

dσCL0

+dσ

∑

dσ^BSE

πα²

Π^abckS^abck.

(20)

скомбинированная из сечений:

k=1 a,b,c=γ,Z

)

dσCL0 =

dσ^CLL + dσ^CLR

(25)

Сечение вершинных вкладов имеет вид

)

∑

dσCR0 =

dσ^CRL + dσ^CRR

dσ^Ver

πα²

Faab

Π^abk(S_k

+ SaFabk),

(21)

которые соответствуют рассеянию левополяри-

k=1 a,b=γ,Z

зованного (правополяризованного) электрона на

здесь расчет следует работе [6], где используют-

неполяризованном позитроне. На борновском

ся перенормированные вершинные формфакторы в

уровне имеется возможность получить компактные

качестве эффективных констант связи.

выражения для асимметрии в LE-режиме:

Сечение, соответствующее вкладу боксовских

8v^Z a^Z stu³

диаграмм в NLO, выглядит так (все детали их

A0LR|_LE =

(26)

m2Z(s⁴ + t⁴ + u⁴)

расчета находятся в [12]):

dσ^Box

∑

и в HE-режиме:

M_BoxMc0+,

(22)

2⁴πs

u⁴

^∑gaab+

c=γ,Z

A0LR|_HE =

(27)

u⁴

^∑faab₊ + (s4 + t4)^∑faab

где амплитуда боксов имеет вид суммы от всех

возможных вариантов (классов диаграмм):

(суммирование идет по a и b: a, b = γ, Z).

M_Box = M^γγt + M^γZt +

(23)

Вторая наблюдаемая величина — поляризаци-

онная интегральная асимметрия:

+ M^Zγt + M^ZZt + M^WWt + (t → s).

Σ^CL - Σ^CR

Амплитуды, соответствующие диаграммам двух-

ACLRΣ = ACLRΣ(a) =

(28)

Σ^CL + Σ^C

фотонного обмена, обозначаются в общем виде так:

Mabt(s),D(C). Первые три типа содержат как прямой,

сформированная из аналогичных (25) сечений

так и перекрестный бокс:

∫

dσ^C

dσCR0

M^abt = M^abt,D + M^abt,C (здесь a,b = γ,Z),

Σ^CL =

· dc, Σ^CR =

· dc.

− cos a

- cos a

а WW-тип содержит только прямой бокс (как для

t-, так и для s-канала):

На борновском уровне получаем выражения для

асимметрии в LE-режиме:

M^WWt = M^WWt,D ,

4v^Z a^Z ss2a

так как перекрестный бокс запрещен законом со-

A0LRΣ|_LE =

(29)

m²

хранения заряда.

c_a(21 + c2a) + 12l_a

5. НАБЛЮДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

c_a(c4a + 26c2a - 75) - 24s2al_a

Введем три наблюдаемые асимметрии, постро-

енные на основе введенного дифференциального

и в HE-режиме:

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

250

АЛЕКСЕЕВ и др.

[c_a(c4a + 50c2a - 99) - 48s2al_a]

^∑gaab+

A0LRΣ|_HE =

(30)

[c_a(c4a + 50c2a - 99) - 48s2al_a]

^∑faab₊ + [c4_a - 2c2_a - 51]^∑faab-ca

где

пучка:

1-c_a

∫

∫0

c_a = cosa, s_a = sin a, l_a = ln

dσ^C

dσC00

1+c_a

Σ^CF =

· dc, Σ^CB =

· dc.

- cos a

Третья наблюдаемая величина — асимметрия

вперед-назад:

На борновском уровне получаем выражения для

асимметрии в LE-режиме:

Σ^CF - Σ^CB

A^CFB = A^CFB(a) =

(31)

Σ^CF + Σ^C

c2a(c2a - 17) - 8s2a lns2a

A0FB|_LE = 3

(32)

c_a(c4a + 26c2a - 75) - 24s2al_a

сформированная из сечений рассеяния в переднюю

и заднюю полусферы с отступом на угол a от оси и в HE-режиме:

-c2a[(15 + c2a)

^∑f^aab- + (19 - 3c2a)^∑faab+] - 16s2a lns2a ∑faab+

A0FB|_HE =

(33)

3 c_a[(c4a + 2c2a - 51)

∑ faab- + (c4_a + 50c2_a - 99)^∑faab₊] - 48s2_ala ∑faab^.

С помощью полученных формул для борновских

Введем лоренц-инварианты, описывающие ра-

асимметрий легко понять их характерные особен-

диационный процесс. Используем четыре радиаци-

ности (экстремумы, масштаб), они отображены на

онных инварианта:

рис. 2-4.

z₁ = 2p₁p, v₁ = 2p₂p,

(35)

6. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ:

z = 2p₃p, v = 2p₄p,

КИНЕМАТИКА, АМПЛИТУДЫ, СЕЧЕНИЕ

которые обращаются в нуль при p → 0 и не яв-

Тормозное излучение

ляются независимыми: так, благодаря законам со-

e^-(p₁) + e⁺(p₂) → e^-(p₃) + e⁺(p₄) + γ(p),

(34)

хранения, они и инварианты s, t, u связаны соотно-

шениями

т.е. процесс, который “сопровождает” исследуе-

мый процесс (1) и неотличим от него в инклюзивной

z₁ + v₁ = z + v, s + t + u = v + 4m².

(36)

постановке эксперимента (где тормозной фотон не

Далее вводятся три инварианта:

детектируется). Кроме того, даже без предполо-

жений о постановке эксперимента неотличимость

s₁ = q2s

= (p₃ + p₄)²,

(37)

процессов совершенно очевидна при малых энер-

гиях тормозного фотона; такой процесс будем на-

t₁ = q2t

= (p₂ - p₄)², u₁ = (p₁ - p₄)².

зывать мягким тормозным излучением. Кинематика

мягкого ТИ, соответственно, неотличима от кине-

Следует сказать, что из шести инвариантов (s,

матики безрадиационного процесса (1). В сумме

t, u, s₁, t₁, u₁) только инвариант s не зависит

сечение процесса (1) и сечение мягкого ТИ пред-

от c (s = 4E², где E — энергия электрона (пози-

ставляют инфракрасно-конечную величину, однако

трона) в с.ц.м.), остальные зависят от c, причем

эта сумма содержит дополнительный параметр —

по-разному в безрадиационном и радиационном

максимальную энергию (мягкого) тормозного фо-

случаях. Определения всех инвариантов и их связь

тона ω.

с входными параметрами (ими в этой ситуации

Фейнмановские диаграммы процесса ТИ (34)

являются E и c) в ультрарелятивистской форме

приведены на рис. 5 (t-канальные) и рис. 6 (s-

приведены в табл. 1.

канальные). Диаграммы рис. 5а, 5в, 6а, 6б со-

ответствуют излучению из начального состояния,

Инвариант t в радиационном случае свяжем в

остальные — излучению из конечного состояния.

с.ц.м. с углом рассеяния, приведем точный вид этой

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ

251

= 30 ГэВ

= 10.577 ГэВ

Born

0.35

3.0

NLO

0.30

2.5

0.25

2.0

0.20

1.5

0.15

1.0

0.10

0.5

0.05

100

150

100

150

θ, град

= 500 ГэВ

= 1 ТэВ

0.20

Born

0.12

NLO

0.10

0.15

0.08

0.10

0.06

0.04

0.05

0.02

100

150

100

150

θ, град

= 2 ТэВ

= 3 ТэВ

0.10

0.1

0.05

-0.1

-0.05

-0.2

-0.10

Born

NLO

100

150

100

150

θ, град

Рис. 2. Зависимость поляризационных асимметрий ALR от θ.

связи:

инвариант u определяется сходной формулой, но с

(

другим знаком при c.

4m² - s + v +

(38)

Применяя вышеупомянутые правила Фейнма-

на, выпишем амплитуды радиационных процессов.

√

)

Удобно группировать их попарно, суммируя диа-

√

граммы с излучением из одной фермионной линии,

+c·

(s - v)² - 4m²s

итого получим четыре амплитуды R^aj, j = 1, 4. Ам-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

254

АЛЕКСЕЕВ и др.

p₁

p₃

p₁

p₃

p₁

p₃

p₁

p₃

p₄- p₂

p₁- p₃

p₂- p₄

-p₂

-p₄

-p₂

-p₄

−p₂

-p₄

-p₂

-p₄

Рис. 5. t-канальные фейнмановские диаграммы процесса с излучением тормозного фотона e^-e⁺ → e^-e⁺γ.

массовой поверхности) и p² = 0 (фотон реальный,

где

с нулевой массой):

p-p₁ -m

(Γa3)^μρ = γ^μΓ^a

γρ +

p₁ - p+ m

z₁

S(p₁ - p) =

(p₁ - p)² - m²

-p+p₂ -m

+γ

γ^μΓ^a.

p₁ - p+ m

p-p₁ -m

v₁

p²¹ - 2p₁p + p² - m²

z₁

Наконец, диаграммы рис. 6в и рис. 6г формируют

амплитуду

Амплитуда, соответствующая диаграммам

рис. 5в и рис. 5г, строится аналогично:

Ra4 = -ie_ρ(p)D_a(q_s) · u(-p₂)γ_μΓ^au(p₁) ×

Ra2 = ie_ρ(p)D_a(q_t) · u(p₃)γ_μΓ^au(p₁) ×

× u(p₃)(Γa4)^μρu(-p₄),

× u(-p₂)(Γa2)^μρu(-p₄),

где

-p-p₄ +m

(Γa4)^μρ = γ^μΓ^a

γ^ρ +

-p-p₄ +m

(Γa2)^μρ = γ^μΓ^a

γ^ρ +

p+p₃ +m

+γ^ρ

γ^μΓ^a.

-p+p₂ -m

+γ^ρ

γ^μΓ^a.

v₁

Существует хорошая возможность упростить

Диаграммы рис. 6а и рис. 6б дают

выражения Γ^aj. Это осуществляется следующим

Ra3 = -ie_ρ(p)D_a(qs1) ×

образом: рассмотрим для примера комбинацию

u(p₃)(Γa1)^μρu(p₁), входящая в него конструкция

× u(-p₂)(Γa3)^μρu(p₁) · u(p₃)γ_μΓ^au(-p₄),

упрощается с использованием коммутационных

свойств матриц Дирака:

Таблица 1. Инварианты для безрадиационного и радиа-

γ^αγ^β + γ^βγ^α = 2g^αβ

ционного случаев в УРП

и уравнения Дирака так:

Безрадиацион-

Радиацион-

Инвариант

ный случай

(-p₁ - m)γ^ρu(p₁) = -(p1αγ^αγ^ρ + mγ^ρ)u(p₁) =

= -(p1α[2g^αρ - γ^ργ^α] + mγ^ρ)u(p₁) =

s = (p₁ + p₂)²

4E²

= -(2p1ρ - γ^ρ[p₁ - m])u(p₁) = -2p1ρu(p₁).

t = (p₁ - p₃)²

-s(1 - c)/2

(v - s)(1 - c)/2

Тогда, протаскивая матрицу Γ^a на правую или,

u = (p₂ - p₃)²

-s(1 + c)/2

(v - s)(1 + c)/2

при необходимости, на левую сторону выражения

z₁ = 2pp₁

z₁

(это возможно через четное число гамма-матриц),

получаем упрощенную форму записи:

v₁ = 2pp₂

v₁

(

z = 2pp₃

z₁ + v₁ - v

pγ^ρ - 2p1ρ

(Γa1)^μρ = γ^μ

(39)

z₁

v = 2pp₄

)

γ^ρ p+ 2p₃

s₁ = (p₃ + p₄)²

s-z₁ -v₁

γ^μ Γ^a = Γμρ1Γ^a,

t₁ = (p₂ - p₄)²

t-v+v₁

(

- pγ^ρ - 2p4ρ

u₁ = (p₁ - p₄)²

u-v+z₁

(Γa2)^μρ = γ^μ

(40)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ

255

p₁

p₃

p₁

p₃

p₁

p₃

p₁

p₃

p₃+ p₄

p₁+ p₂

-p₂

-p₄

-p₂

-p₄

−p₂

-p₄

-p₂

-p₄

Рис. 6. s-канальные фейнмановские диаграммы процесса с излучением тормозного фотона e^-e⁺ → e^-e⁺γ.

)

-γ^ρp+ 2p2

Ra2Rb2+ = -D_a(q_t)D^∗b(q_t) ×

γ^μ Γ^a = Γμρ2Γ^a,

v₁

[

]

[

]

(

× Tr

Γμρ2Uab4Γνρ2+U₂

γ_μUab1γ_νU₃

pγ^ρ - 2p1ρ

(Γa3)^μρ = γ^μ

(41)

Ra3Rb3+ = -D_a(qs1)D^∗b(qs1) ×

z₁

)

[

]

[

]

-γ^ρp+ 2p2

× Tr

Γμρ3Uab1Γνρ3+U₂

γ_μUab4γ_νU₃

γ^μ Γ^a = Γμρ3Γ^a,

v₁

Ra4Rb4+ = -D_a(q_s)D^∗b(q_s) ×

(

- pγ^ρ - 2p4ρ

[

]

[

]

(Γa4)^μρ = γ^μ

(42)

× Tr

Γμρ4Uab4Γνρ4+U₃

γ_μUab1γ_νU₂

)

γ^ρ p+ 2p₃

Теперь приведем попарно недиагональные

эле-

γ^μ Γ^a = Γμρ4Γ^a.

менты:

Ra1Rb2+ = -D_a(qt1 )D^∗b(q_t) ×

Дифференциальное сечение процесса (34) имеет

[

]

[

]

вид

× Tr

Γμρ1Uab1γ_νU₃

γ_μUab4Γνρ2+U₂

∑

Ra2Rb1+ = -D_a(q_t)D^∗b(qt1 ) ×

dσ_R =

|R|²dΦ₃,

(43)

π²s

[

]

[

]

μρ

× Tr

Uab4γ_νU₂

γ_μUab1Γνρ1+U₃

где фазовый объем реакции записывается так:

Ra1Rb3+ = +D_a(qt1 )D^∗b(qs1 ) ×

dΦ₃ = δ(p₁ + p₂ - p₃ - p₄ - p) ×

(44)

[

]

μρ

× Tr

Uab1Γνρ3+U₂γ_μUab4γ_νU₃

d³p₃ d³p₄ d³p

2p₃₀ 2p₄₀ 2p₀

Ra3Rb1+ = +D_a(qs1)D^∗b(qt1 ) ×

[

]

Теперь нам предстоит квадрировать амплитуду

× Tr

Γμρ3Uab1Γνρ1+U₃γ_μUab4γ_νU₂

в (43), должным образом просуммировав и усред-

Ra1Rb4+ = +D_a(qt1 )D^∗b(q_s) ×

нив по поляризациям. Здесь можно опустить про-

[

]

изведения зарядов, поскольку вполне очевидно, что

× Tr

Γμρ1Uab1γ_νU₂γ_μUab4Γνρ4+U₃

Q2e = (-1)² = 1 во всех членах. Таким образом,

Ra4Rb1+ = +D_a(q_s)D^∗b(qt1 ) ×

∑

[

]

|R|² =

R^ajRbk+.

(45)

× Tr

Γμρ4Uab4γ_νU₂γ_μUab1Γνρ1+U₃

a,b=γ,Z j=1 k=1

Ra2Rb3+ = +D_a(q_t)D^∗b(qs1) ×

При квадрировании амплитуд используем свойство

[

]

× Tr

Γμρ2Uab4γ_νU₃γ_μUab1Γνρ3+U₂

для вектора поляризации фотона:

e_ρ(p)e_ρ′ (p) = -g_ρρ′ .

(46)

Ra3Rb2+ = +D_a(qs1)D^∗b(q_t) ×

[

]

μρ

× Tr

Uab1γ_νU₃γ_μUab4Γνρ2+U₂

Рассчитаем выражения для квадрированных

амплитуд: всего будет

слагаемых, сначала

Ra2Rb4+ = +D_a(q_t)D^∗b(q_s) ×

запишем диагональные (следим за имеющейся

[

]

симметрией записи):

× Tr

Γμρ2Uab4Γνρ4+U₃γ_μUab1γ_νU₂

Ra1Rb1+ = -D_a(qt1 )D^∗b(qt1 ) ×

Ra4Rb2+ = +D_a(q_s)D^∗b(q_t) ×

[

]

[

]

[

]

× Tr

Γμρ1Uab1Γνρ1+U₃

γ_μUab4γ_νU₂

× Tr

Γμρ4Uab4Γνρ2+U₂γ_μUab1γ_νU₃

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

256

АЛЕКСЕЕВ и др.

Ra3Rb4+ = -D_a(qs1 )D^∗b(q_s) ×

Соответствующая техника описана в работе [14].

[

]

[

]

Финальный ответ в УРП таков:

× Tr

Γμρ3Uab1γ_νU₂

γ_μUab4Γνρ4+U₃

[

(

)

2α

2ω

Ra4Rb3+ = -D_a(q_s)D^∗b(qs1) ×

δ_soft =

2 ln

-1

(52)

m²u

[

]

[

]

× Tr

Γμρ4Uab4γ_νU₃

γ_μUab1Γνρ3+U₂

]

L2s

π²

-t

-u

+L_s -

+ Li₂

- Li₂

Прямое численное интегрирование (43) воз-

можно с использованием, например, техники

Монте-Карло, однако на этом пути возникает

Сумма виртуальных вкладов (C = V ) и мягкого

ряд проблем. Как основные выделим медленную

тормозного излучения (C = S) не зависит от λ.

сходимость и трудность контроля точности, в то

Установить это можно как численно, так и аналити-

время как (это уже отмечалось во введении) совре-

чески. Подобная процедура является стандартной

менные эксперименты предъявляют высочайшие

для расчетов такого рода и является реализацией

требования к теоретической оценке наблюдаемых

известной концепции Блоха-Нордсика [15].

величин (в рамках СМ) в реакциях типа

(1).

Покажем, как построить

“удовлетворительно”

точную программу численного интегрирования.

8. ФАЗОВЫЙ ОБЪЕМ

Поработаем с фазовым объемом реакции 2 → 3

из (44). Простой и математически ясный способ —

7. МЯГКИЕ ФОТОНЫ

это приведение его к форме с зависимостью от

Рассчитаем сечение процесса с излучением мяг-

четырех (радиационных) инвариантов в духе учеб-

кого фотона с энергией в с.ц.м. начальных частиц:

ника [16]:

p₁ = -p₂, p₁₀ = p₂₀ = E =

√s/2,

(47)

dΦ₃ =

√ dtdz₁dv₁dv,

(53)

16s

-Δ₄

меньшей фиксированного значения ω, такого, что

ω≪E.

где Δ₄ = Δ₄(p₁, p₂, p₃, p₄) — определитель Грама.

Так было сделано, например, в работе [17], где

Прежде всего, сделаем приближение p → 0 вез-

рассчитан вклад жесткого ТИ в условиях экспери-

де, кроме части фазового объемаd3p и знаменате-2p

мента MOLLER. Следует признать, что, несмотря

лей с p. Тогда амплитуды мягкого ТИ становятся

на внешнюю простоту и легкость интерпретации

пропорциональны борновским, что приводит к сле-

для компьютерного кода, вид фазового объема (53)

дующей факторизации:

представляет значительную трудность при инте-

(

)

грировании. Чтобы добиться необходимой скоро-

Ra1 + Ra2 + Ra3 + Ra4

|p→0 ∼

(48)

сти сходимости интеграла в таком подходе (назо-

)

⁽ p

pρ2

pρ3

pρ4

вем его M-методом), например, в работе [17] были

∼ e_ρ(p)

Ma0.

предприняты значительные усилия в преобразова-

pp₁

pp₂

pp₃

pp₄

нии (факторизации) подынтегрального выражения,

После квадрирования получим факторизацию

комбинировании результата в виде относительных

поправок δ_±, предварительном разбиении резуль-

также и перед борновским сечением:

тата по типам вкладов, удобных для программиро-

dσ^soft

dσ₀

вания интегрирования и пр. Необходимая точность

=δ_soft

(49)

результата достигается, но также остро выявляется

несоответствие объема затраченных усилий и по-

где

лученной довольно слабой сходимости результата

δ_soft = -

(50)

интегрирования.

4π²

∫

)₂

Решение может быть получено на пути под-

d³p

⁽ pρ1

pρ2

pρ3

pρ4

ходящего преобразования фазового объема (44)

p₀

pp₁

pp₂

pp₃

pp₄

в с.ц.м. начальных частиц (47). Изобразим в ней

|p|<ω

векторы конечных частиц, см. рис. 7, используя

= -p. Прежде всего

вспомогательный вектор p₅

Для того чтобы вычислить поправку δ_soft, требу-

снимем интеграл по d³p₄, тогда

ется уметь рассчитывать интегралы вида

∫

dΦ₃ = δ(√s - p30 - p40 - p0) ×

(54)

d³p 1

L_ij =

(i, j) = 1, 4.

(51)

d³p₃ d³p

p0 ppi ppj

|p|<ω

2p₄₀ 2p₃₀ 2p₀

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ

257

Перейдем в сферическую систему координат (бу-

где коэффициенты

дем пользоваться двумя обозначениями для угла

√s - p₀

|p|² - (√s - p0)2

рассеяния: θ₃ ≡ θ):

C =

(59)

A|p|

2A|p|

d³p₃ = |p₃|²d|p₃|dcos θ₃dϕ₃

выражаются через фактор

и применим соотношение |p₃|d|p₃| = p₃₀dp₃₀.

A = cos(p5,p3) =

(60)

Теперь нужно снять интеграл по p₃₀ с помощью

оставшейся δ-функции, используя свойство

= sin θ sin θ₅ cos ϕ₅ + cos θ cos θ₅ =

= -sinθ sinθp cosϕ_p - cosθcosθ_p,

δ[f(x)] =

δ(x - x₀),

(55)

|f^′(x₀)|

который определяет, какой знак в (58) соответ-

ствует физическому значению энергии, а именно:

где x₀ — корень уравнения f(x₀) = 0. Функция

при положительном значении A (в этой ситуации

f (x) в данном случае — это закон сохранения

вектор вылетевшего фотона образует с вектором

энергии, заданный в неявном виде:

p₃ тупой угол, т.е. вылетает в противоположную

f (x) = p₃₀ + p₄₀ + p₀ -

√s,

(56)

полусферу) выбираем x-0 и наоборот, т.е.

где

√s — полная энергия реакции, а x ≡ p₃₀.

{

Несложно найти производную f^′(x):

x-0, если A > 0,

x₀ =

x(1 - |p|A(x² - m²)-1/2)

x⁺⁰, если A < 0.

f^′(x) = 1 +

√

(57)

√

x² - 2|p|A

x² - m² + |p|²

Эти соотношения могут быть представлены в сле-

дующем виде:

Возможные энергии конечного электрона най-

√

s³ + 2p²⁰

√s - 3p₀s + p₀As_q

дем, решая закон сохранения энергии f(x±0) = 0:

p₃₀ =

(61)

√

2s - 4p₀

√s + 2p²⁰(1 - A2)

BC ±

C² + m²(1 - B²)

x±0 =

(58)

где

1-B²

√

[

s_q = s(√s - 2p0)2 + 4m2

p²⁰(A² - 1) + 2p₀

√s - s^].

В УРП выражение для энергии приобретает ком-

пактный вид:

√s

√s - 2p₀

p₃₀ =

√s - p₀(1 + A)^.

Итак, с учетом вышесказанного получим фазо-

p₁

вый объем в виде

|p₃|

d³p

p₃

dΦ₃ =

d cos θ₃dϕ₃

(62)

4p₄₀|f^′(x₀)|

2p₀

p₄

Здесь d cos θ₃ ≡ dc, а интегрирование по азимуталь-

ному углу ϕ₃ дает 2π из-за симметрии относительно

θ θ5

p₅

поворота всей реакции вокруг оси пучка.

Далее переходим к интегрированию по p:

d³p = |p|²d|p|dcos θ_pdϕ_p,

θ_p = π - θ₅, ϕ_p = π + ϕ₅.

С использованием p₅ векторы конечных частиц в

Рис. 7. Конфигурация 3-импульсов при интегрирова-

с.ц.м. выглядят просто:

нии по фазовому пространству тормозного фотона в

с.ц.м. начальных частиц.

p₃ = (|p₃|sin θ,0,|p₃|cos θ),

(63)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

258

АЛЕКСЕЕВ и др.

p₅ = (|p|sin θ₅ cosϕ₅,

где Ω — максимальная энергия тормозного фотона.

Заметим, что такое преобразование дает возмож-

|p| sin θ₅ sin ϕ₅, |p| cos θ₅),

ность представить сечение мягкого ТИ в виде (про-

p₄ = p₅ - p₃.

изведем также некоторые очевидные упрощения)

√

∫

Ясно, что p₄₀ =

m² + |p₄|² и легко вычисляется

dσ^soft

α³

из (63).

|p|dp₀

d cos θ_p ×

(67)

4πs

Теперь выразим через энергию, азимутальный

-1

и полярный углы фотона радиационные инвариан-

2π

∫

∑

ты [17]:

dϕ_p

|R|².

z₁ = 2p₀p₁₀ + 2|p||p₁|cos θ₅,

(64)

i,j=γ,Z

v₁ = 2p₀p₂₀ - 2|p||p₂|cos θ₅,

Видно, что использование преобразования (66)

z = 2p₀p₃₀ + 2|p||p₃|A,

дает дополнительные степени свободы для расчета:

v = 2p₀(√s - p30) - 2|p||p3|A.

мягкое ТИ теперь можно считать двумя спосо-

бами: либо по предварительно упрощенной форму-

Следует заметить, что во всех вышеприведенных

ле (49), либо по формуле (67) с помощью техники

формулах различаются p₀ и |p|, формально в них

Монте-Карло-интегрирования, а затем свериться;

удерживается масса фотона λ (т.е. p²⁰ - |p|² =

имеется возможность вовсе не разделять ТИ на

= λ² → 0), которая в дальнейшем будет использо-

мягкое и жесткое, а пользоваться формулой (65),

вана как инфинитезимальный параметр для регу-

в которой по смыслу содержится полностью все

ляризации инфракрасной расходимости. По при-

тормозное излучение; использование этого нового

чине малости ее удержание оказывается важным

и, как показывает практический опыт, полезного

только в нижнем пределе интегрирования (65) (см.

свойства назовем W -методом (от “whole” — пол-

ниже).

ный, цельный, без разделения).

W -метод весьма удобен для вычислений РП по-

добного рода, поскольку по построению не содер-

9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

жит нефизических параметров, кроме фиктивной

ПО ФАЗОВОМУ ОБЪЕМУ

массы фотона λ, которая естественным образом

регуляризует ИКР. С методической точки зрения

Теперь все готово для интегрирования по фазо-

он хорош тем, что вообще не оперирует такими

вому объему тормозного фотона. Используя полу-

терминами, как “мягкий фотон”, “жесткий фотон”,

ченные выражения для фазового объема, снимем

“параметр, разделяющий мягкую и жесткую обла-

интеграл по азимутальному углу детектируемого

электрона ϕ₃, тогда сечение R-вклада принимает

сти”, не требуется также отвлекающая в какой-то

мере от сути дела проверка на независимость от

вид

этого параметра. Не стоит забывать также о том,

∫

что расчет по области мягких фотонов в традици-

dσ^R

α³

|p|²

d|p|

d cos θ_p ×

(65)

онном подходе — это приближенное вычисление,

4πs

p₀

и оно принципиально содержит ошибку расче-

−1

та, которую, к слову сказать, довольно сложно

∫2π

∑

контролировать, расчет в рамках W -метода такой

|p₃|

dϕ_p

|R|².

ошибки не содержит.

p₄₀|f^′(x₀)|

i,j=γ,Z

Наконец, применив замену переменной (похо-

жая замена использовалась, например, в [19] для

Уже в таком виде численное интегрирование

выделения зависимости сечения от минимальной

(будем использовать Монте-Карло-интегратор

энергии фотона)

VEGAS [18]) осуществляется без проблем, если

p₀ = λ1-xΩ^x,

(68)

позаботиться о сгущении точек в области малых

|p|. Однако имеется возможность представить

что дает

результат в более изящном виде. Сначала перейдем

dp₀

= ln

dx,

к интегралу по фотонной энергии, используя

p₀

равенство |p|d|p| = p₀dp₀, тогда

получим сечение в виде

∫

|p|²

dσ^R

α³

d|p|... =

|p|dp₀...,

(66)

dx|p|p₀

d cos θ_p ×

(69)

4πs

-1

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ

259

Δ_-

1.5

1.0

0.5

-0.5

−2

-1.0

-4

-1.5

−2.0

-6

10⁰

10¹

10²

10³

10⁴

10⁰

10¹

10²

10³

10⁴

s, ГэВ

Рис. 8. Зависимость от

√s поправок Δ+ (а) и поправок Δ- (б). Виртуальный и мягкий вклад (C = VS) описывается

нижними линиями, жесткий (C = hard) — верхними, их сумма (C = NLO = VS + hard) — средними.

∫2π

∑

Введем две относительные поправки от рас-

|p₃|

dϕ_p

|R|².

сматриваемого вклада C к комбинациям диффе-

p₄₀|f^′(x₀)|

i,j=γ,Z

ренциального сечения (эти поправки аддитивны):

dσCL0 ± dσCR0

δ^C± =

(72)

dσ⁰

± dσ⁰

10. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ

(соответствующие поправки для полного сечения

Значения электрослабых параметров и масс

обозначаем большой буквой: Δ^C±, их анализ приве-

элементарных частиц берем из Particle Data Group

ден на рис. 8). Исследуем относительные поправки

(PDG) Report [20]:

δ_± к дифференциальным сечениям при различных

α-1 = 137.035 999, m_W = 80.4628 ГэВ,

(70)

значениях угла рассеяния электрона (кроме об-

ласти, близкой к рассеянию назад) в интервале

m_Z = 91.1876 ГэВ, m_H = 125 ГэВ.

| cos θ₃| ≤ 0.9, так что 25.8^◦ ≤ θ₃ ≤ 154.1^◦ (также ис-

Электронная, мюонная и τ-лептонная массы име-

пользуется соответствующее ограничение на угол

ют значения:

рассеяния позитрона | cos θ₄| ≤ 0.9). Максимальная

энергия фотона ограничена значением Ω = 0.45√s.

m_e = 0.510 998 910 МэВ,

(71)

Тогда, выбирая для LE-режима энергию планируе-

m_μ = 0.105 658 367 ГэВ, m_τ = 1.776 84 ГэВ.

мого эксперимента Belle II (√s = 10.577 ГэВ), а для

Остальные параметры, например, применяемые

HE-режима типичную энергию ILC

√s = 500 ГэВ,

эффективные кварковые массы, необходимые для

получим и сведем в табл. 2, 3 численные оценки

расчета, описаны в [12].

относительных поправок δ^C± .

Теперь все готово для демонстрации результа-

Теперь проведем численный анализ полных

тов работы компьютерной программы и доказа-

(проинтегрированных по углу рассеяния) наблюда-

тельства независимости от вспомогательных пара-

емых. Cначала сверим расчет сечения жесткого ТИ

метров. Мы пользовались как W -методом, так и

с результатами других групп: в табл. 4 для энергии

стандартным методом с использованием ω, получая

численно стабильные одинаковые результаты. Во

реакции

√s = 500 ГэВ получено неплохое согласие

втором случае независимость полного результата

с результатами групп SANC и WHIZARD, которые

от параметра ω (очевидная по построению) тем не

приведены в работе [21]. Для данных в этой таблице

менее должна проверяться численно, так как та-

интегрируем по энергии фотона так: нижний предел

кая проверка традиционно служит хорошим тестом

выбираем 1 ГэВ, в качестве верхнего выбирается

правильности численных расчетов.

его максимальное значение, допустимое кинема-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

260

АЛЕКСЕЕВ и др.

Таблица 2. Относительные поправки δ_± к дифференциальным наблюдаемым в LE-режиме (при

√s = 10.577 ГэВ)

при разных θ (масса фотона λ = 10-7

ГэВ)

ω/√s

δV+

δS+

δH+

δ^NLO+

δ^V-

δ^S-

δ^H-

δNLO-

θ = 30^◦

10-5

-1.8111

0.3380

1.4678

-0.0052

-2.2484

0.3380

1.4502

-0.4601

10-4

-1.8111

0.6855

1.1206

-0.0050

-2.2484

0.6855

1.1029

-0.4599

10-3

-1.8111

1.0330

0.7732

-0.0050

-2.2484

1.0330

0.7557

-0.4597

θ = 60^◦

10-5

-2.0398

0.4317

1.7254

0.1173

-2.4783

0.4317

1.6388

-0.4077

10-4

-2.0398

0.8121

1.3451

0.1173

-2.4783

0.8121

1.2585

-0.4077

10-3

-2.0398

1.1924

0.9653

0.1179

-2.4783

1.1924

0.8784

-0.4075

θ = 90^◦

10-5

-2.2065

0.5023

1.9006

0.1964

-2.6579

0.5023

1.7931

-0.3625

10-4

-2.2065

0.9061

1.4970

0.1966

-2.6579

0.9061

1.3895

-0.3623

10-3

-2.2065

1.3100

1.0936

0.1970

-2.6579

1.3100

0.9861

-0.3618

θ = 120^◦

10-5

-2.3782

0.5729

2.0403

0.2350

-2.8585

0.5729

2.1509

-0.1347

10-4

-2.3782

1.0002

1.6126

0.2346

-2.8585

1.0002

1.7228

-0.1354

10-3

-2.3782

1.4276

1.1854

0.2347

-2.8585

1.4276

1.2956

-0.1354

тикой:

части. Наоборот, при смещении ω к большим

значениям “мягкие” формулы начинают работать

√s

Ω=

(73)

неточно, хотя интегрирование жесткой части про-

√s.

ще. Естественно, что для обеспечения более вы-

сокой заданной точности требуется уменьшение ω

Используется 15 итераций и два выбора для ко-

(вплоть до λ, как объясняется выше в рамках

личества случайных точек (10⁶ и

10⁸) программы

W -метода) и, как следствие, большее время для

VEGAS [18] (третья и четвертая строки табл. 4

интегрирования жесткой части.

соответственно).

Наконец, на рис. 8 приведем зависимости от

Следующий шаг — проведение полного анализа

√s относительных поправок Δ_± от однопетлево-

наблюдаемых величин для определенной экспе-

го вклада с учетом мягких фотонов с энергией,

риментальной ситуации. В последующем анализе

меньшей ω, с учетом жестких фотонов с энер-

трех наблюдаемых асимметрий будет использован

гией, большей ω (верхние линии), и их суммар-

простой выбор: ограничение на энергию фотона

ный вклад (средние линии). В качестве парамет-

не делается [т.е. используется (73)], также накла-

ра — разделителя энергий мягкой и жесткой об-

дывается простое симметричное ограничение на

ласти — выбирался ω = 10-3

√s. При таком зна-

угол рассеяния позитрона: | cos θ₄| ≤ cos 20^◦ (хо-

рошо видно изменение характера асимметрий с

чении, во-первых, “мягкие” формулы неплохо ра-

ботают (имеют физический смысл в плане по-

учетом ЭСП именно в окрестности точки, соот-

ложительности сечения) и, во-вторых, “жеcткий”

ветствующей 20^◦). Анализ электрослабых радиа-

вклад интегрируется достаточно точно и быстро.

ционных эффектов представлен тремя рисунками:

Смещение ω к меньшим значениям делает мяг-

рис. 2 для асимметрии A_LR, рис. 3 для асимметрии

кий вклад более точно описывающим процесс, но

ALRΣ, рис. 4 для асимметрии A_FB. Он показывает,

существенно усложняет интегрирование жесткой

что эффекты довольно значительны, особенно этот

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ

261

Таблица 3. Относительные поправки δ_± к дифференциальным наблюдаемым в HE-режиме (при

√s = 500 ГэВ)

при разных θ (масса фотона λ = 10-7 ГэВ)

ω/√s

δV+

δS+

δH+

δ^NLO+

δ^V-

δ^S-

δ^H-

δNLO-

θ = 30^◦

10-5

-3.0478

0.9305

2.1614

0.0441

-3.2444

0.9305

2.1447

-0.1692

10-4

-3.0478

1.4429

1.6486

0.0437

-3.2444

1.4429

1.6328

-0.1687

10-3

-3.0478

1.9554

1.1369

0.0444

-3.2444

1.9554

1.1213

-0.1677

θ = 60^◦

10-5

-3.3436

1.0792

2.4824

0.2180

-3.7905

1.0792

2.4466

-0.2647

10-4

-3.3436

1.6245

1.9391

0.2199

-3.7905

1.6245

1.9021

-0.2639

10-3

-3.3436

2.1698

1.3942

0.2203

-3.7905

2.1698

1.3590

-0.2617

θ = 90^◦

10-5

-3.5301

1.1891

2.7642

0.4232

-3.8617

1.1891

2.9623

0.2898

10-4

-3.5301

1.7579

2.1970

0.4248

-3.8617

1.7579

2.3944

0.2907

10-3

-3.5301

2.3267

1.6283

0.4249

-3.8617

2.3267

1.8262

0.2913

θ = 120^◦

10-5

-3.7318

1.2991

2.9332

0.5005

-3.1921

1.2991

6.4915

4.5985

10-4

-3.7318

1.8914

2.3407

0.5003

-3.1921

1.8914

5.8935

4.5928

10-3

-3.7318

2.4837

1.7486

0.5005

-3.1921

2.4837

5.2947

4.5863

Таблица 4. Сечение (в пбн) жесткого тормозного излучения в процессе Баба

Группа

SANC

15.137(2)

11.454(3)

11.455(3)

20.489(5)

17.149(4)

WHIZARD

15.138(2)

11.461(2)

11.457(2)

20.488(3)

17.147(3)

наш расчет, 10⁶

15.10 ± 0.03

11.49 ± 0.03

11.42 ± 0.03

20.46 ± 0.04

17.09 ± 0.03

наш расчет, 10⁸

15.16 ± 0.02

11.44 ± 0.02

20.47 ± 0.03

17.06 ± 0.02

факт проявляется для поляризационных асиммет-

является предстоящей, совместной с эксперимен-

рий A_LR и ALRΣ.

таторами, работой.

Авторы признательны А.Б. Арбузову, М. Ру-

ни (M. Roney) за обсуждение. Мы благодарны

11. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Е.В. Дыдышко, Л.В. Калиновской и Р.Р. Сады-

кову за помощь в сравнении наших результатов

Значительность полученных эффектов до-

с результатами группы SANC. В.А.З. благодарит

казывает необходимость учета электрослабых

Государственную программу научных исследова-

радиационных поправок в предстоящих экспе-

ний Республики Беларусь “Конвергенция-2020” за

риментальных программах как для низкоэнер-

поддержку.

гетических экспериментов типа Belle II, так и

для будущего электрон-позитронного коллайдера

ILC/CLIC/FCC. Установка точного набора огра-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ничений, соответствующих определенным услови-

1. M. L. Perl, G. S. Abrams, A. Boyarski,

ям детектирования (так называемые fiducial cuts),

M. Breidenbach, D. Briggs, F. Bulos, W. Chinowsky,

для конкретной экспериментальной программы и

J. T. Dakin, G. J. Feldman, C. E. Friedberg,

анализ радиационных эффектов в такой ситуации

D. Fryberger, G. Goldhaber, G. Hanson, F. B. Heile,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

262

АЛЕКСЕЕВ и др.

B. Jean-Marie, J. A. Kadyk, et al., Phys. Rev. Lett.

11. G. Balossini, C. Bignamini, C. M. Carloni Calame,

35, 1489 (1975).

G. Montagna, O. Nicrosini, and F. Piccinini, Nucl.

G. Aad, T. Abajyan, B. Abbott, J. Abdallah,

Phys. Proc. Suppl. 183, 168 (2008); arXiv: 0806.4909

S. A. Khalek, A. A. Abdelalim, O. Abdinov, R. Aben,

[hep-ph].

B. Abi, M. Abolins, O. AbouZeid, H. Abramowicz,

12. А. Г. Алексеев, С. Г. Барканова, Ю. М. Быстрицкий,

H. Abreu, B. S. Acharya, L. Adamczyk, D. Adams,

В. А. Зыкунов, ЯФ 83, 159 (2020) [Phys. At. Nucl.

et al. (ATLAS Collab.), Phys. Lett. B 716,

83 (2) (2020)].

(2012); arXiv: 1207.7214 [hep-ex]; S. Chatrchyan,

13. T. Hahn and M. Perez-Victoria, Comput. Phys.

V. Khachatryan, A. M. Sirunyan, A. Tumasyan,

Commun. 118, 153 (1999) [hep-ph/9807565].

W. Adam, E. Aguilo, T. Bergauer, M. Dragicevic,

14. G. ’t Hooft and M. Veltman, Nucl. Phys. B 153, 365

J. Ero, C. Fabjan, M. Friedl, R. Fruehwirth,

(1979).

V. M. Ghete, J. Hammer, M. Hoch, N. Horman, et al.

(CMS Collab.), Phys. Lett. B 716, 30 (2012); arXiv:

15. F. Bloch and A. Nordsieck, Phys. Rev. 52, 54 (1937).

1207.7235 [hep-ex].

16. Е. Бюклинг, К. Каянти, Кинематика элементар-

C. A. Heusch, Int. J. Mod. Phys A 20, 7289 (2005).

ных частиц (Мир, Москва, 1975).

H. J. Bhabha, Proc. R. Soc. Lond. A 154, 195 (1935).

17. В. А. Зыкунов, ЯФ 78, 489 (2015) [Phys. At. Nucl.

F. A. Berends, K. J. F. Gaemers, and R. Gastmans,

78, 453 (2015)].

Nucl. Phys. B 68, 541 (1974).

18. P. G. Lepage, J. Comput. Phys. 27, 192 (1978).

M. B ¨ohm, H. Spiesberger, and W. Hollik, Fortschr.

19. T. Ishikawa et al.

[MINAMI-TATEYA Group

Phys. 34, 687 (1986).

Collab.], KEK-92-19.

W. Hollik, Fortschr. Phys. 38, 165 (1990).

20. Particle Data Group (C. Amsler et al.), Phys. Lett. B

M. B ¨ohm and W. Hollik, Nucl. Phys. B 204, 45

667, 1 (2008).

(1982).

21. D. Bardin, Ya. Dydyshka, L. Kalinovskaya,

M. Bohm, A. Denner, and W. Hollik, Nucl. Phys. B

304, 687 (1988).

L. Rumyantsev, A. Arbuzov, R. Sadykov, and

10.

F. A. Berends, R. Kleiss, and W. Hollik, Nucl. Phys. B

S. Bondarenko, Phys. Rev. D 98, 013001 (2018);

304, 712 (1988).

arXiv: 1801.00125 [hep-ph].

ELECTROWEAK CORRECTIONS WITH HARD BREMSSTRAHLUNG

TO POLARIZED BHABHA SCATTERING

A. G. Aleksejevs¹⁾, S. G. Barkanova¹⁾, Yu. M. Bystritskiy²⁾, V. A. Zykunov2),3)

¹⁾Memorial University, Corner Brook, Canada

²⁾JINR, Dubna, Moscow region, Russia

³⁾Francisk Skorina Gomel State University, Belarus

One-loop electroweak radiative corrections to polarized Bhabha scattering are calculated including hard

real photon emission. The numerical analysis of polarized and spatial asymmetries includes electroweak

corrections for low energy experiments like Belle II and for future electron-positron collider ILC/CLIC.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020