ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 3, с. 263-269

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ДИРАКОВСКИЕ НЕЙТРИНО В SEE-SAW-МЕХАНИЗМЕ.

НЕСОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ДИРАКОВСКИХ НЕЙТРИНО

НИЦ “Курчатовский институт” — Петербургский институт ядерной физики, Гатчина, Россия

Поступила в редакцию 19.11.2019 г.; после доработки 19.11.2019 г.; принята к публикации 19.11.2019 г.

Механизм see-saw, объясняющий малость масс нейтрино присутствием тяжелых майорановских

масс, приводит к майорановским же частицам и прямому несохранению лептонного числа. Предложен

вариант see-saw, в результате которого появляются только дираковские нейтрино с тем же несохране-

нием. Такая ситуация представляется возможной для тяжелых нейтрино с непертурбативными связями

с хиггсовским бозоном H. Она требуется для зеркальных нейтрино в модели, объясняющей структуру

матриц слабого смешивания кварков и лептонов существованием очень тяжелых зеркальных аналогов

фермионов Стандартной модели. Непертурбативность задачи не позволяет провести аналитическое

решение, но выведенные условия свидетельствуют о предпочтительном появлении в данном механизме

именно дираковских нейтрино. Явление может иметь значение для процессов лептогенеза, если все

нейтрино дираковские.

DOI: 10.31857/S0044002720030058

1. ВВЕДЕНИЕ

Майорановские члены с компонентой изодуб-

лета Ψ_L обычно не рассматриваются. Введение

Нарушающие лептонное число майорановские

массы являются существенным элементом see-

их без прямого нарушения SU_L(2)-инвариантности

saw-механизма — возможного объяснения исклю-

требует совершенно иной, усложненной процеду-

чительной малости масс нейтрино. Результат see-

ры [1]: существования изовекторных скаляров со

saw известен, многократно применен и описан (см.

своим вакуумным средним или неперенормируемых

обзоры [1]): возникают два обязательно майора-

членов ∼Φ2H . Но и новые произвольные константы

новских нейтрино с разными массами — тяжелой и

(M_L) не меняют майорановского характера возни-

легкой.

кающих при этом нейтрино.

Лагранжан see-saw-механизма для масс ней-

Кажется очевидным, что в механизме see-saw

трино (одно поколение) имеет вид

невозможно совместить приемлемо подходящее

(

)

L(ν) = μ

Ψ_RΨ_L +ΨLΨR +

(1)

нарушение слабой SU_L(2)-симметрии с дираков-

скими состояниями нейтрино, т.е. с симметричным

(

)

M_R

одновременным присутствием Ψ_R и Ψ_L компонент.

Ψ^TRCΨ_R +ΨRCΨT

В предложенной автором феноменологической

где Ψ_R,L — киральные компоненты (R, L) ней-

модели [3, 4] наблюдаемые качественные структу-

трино, Ψ_R — слабый изоскаляр, Ψ_L — компонен-

ры матриц слабого смешивания кварков и лепто-

та изоспинора. Лагранжиан включает дираков-

нов обусловлены существованием очень тяжелых

скую (μ) и майорановскую (M_R) массы. Централь-

аналогов фермионов СМ с зеркальными свойства-

ную роль в выборе (1) играет слабая SU_L(2)-

ми (модель нарушенной зеркальной симметрии).

симметрия. Дираковская масса μ появляется в

Для нейтрино воспроизводятся наблюдаемые ка-

Стандартной модели (СМ) в результате спонтан-

чества — исключительная малость масс и суще-

ственное отличие лептонной матрицы слабого сме-

ного нарушения SU_L(2) вакуумным средним хигг-

шивания от кварковой [5], включая такие тонкие

совского изодублета Φ_H [2]. Майорановская мас-

детали, как малость синуса угла смешивания Θ₁₃.

са M_R может непосредственно присутствовать в

Воспроизведение, естественно, достигается здесь

лагранжиане, так как Ψ_R — изоскаляр. Она может

появляться также в результате процедуры, анало-

при дираковской природе как тяжелых (зеркаль-

гичной возникновению μ [2] c вакуумным средним

ных), так и легких (СМ) нейтрино. Оно оказыва-

нового изоскалярного мезона.

ется возможным как результат аналога see-saw-

механизма со специфическим подбором майора-

^*E-mail: dyatlov@thd.pnpi.spb.ru

новских констант (M_R, M_L). Даже при μ ≪ M

263

264

ДЯТЛОВ

механизм see-saw для каждой из систем легких

2. МАЙОРАНОВСКИЕ МАССОВЫЕ ЧЛЕНЫ

и тяжелых (зеркальных) частиц создает не два

ДЛЯ МАЙОРАНОВСКИХ И ДИРАКОВСКИХ

состояния (майорановские) с разными массами, а

НЕЙТРИНО

одно (дираковское) с определенной массой.

Для ясности понимания дальнейшего рассмот-

В настоящей работе исследуется, как требуемая

рения напомним процедуру возникновения майора-

система дираковских состояний может возникнуть

новских состояний в лагранжиане (1). Эта проце-

в see-saw-схеме как результат действия динами-

ческого механизма, вызванного обязательным при-

дура в той или иной форме присутствует во всех

сутствием в зеркальной модели непертурбативной

представлениях see-saw-механизма [1]. Введем

связи тяжелых зеркальных Ψ (это еще не физи-

майорановские опeраторы:

ческие нейтрино модели) с хиггсовским бозоном

Ψ_R + CΨTR

Ψ_L + CΨTL

H. Только непертурбативный механизм приводит

χ_R =

√

χ_L =

√

(2)

к возникновению массы M_L. Прямое наруше-

ние слабой SU(2)-симметрии непосредственным

C —матрица зарядового сопряжения, считаем ее

введением M_L в лагранжиан (1) не происходит.

вещественной C = -C^T , C² = -1. В терминах (2)

Поскольку H возникает в нарушенной SU(2)-

лагранжиан (1) имеет вид

системе, то и рассматриваемый механизм есть

(

)

следствие обычного хиггсовского механизма нару-

L(ν)

=μ χ_Rχ_L + χ_Lχ_R

+ M_R(χ_Rχ_R).

(3)

шения [2]. Он невозможен в системе до нарушения.

В зеркальной схеме слабая симметрия SU(2) ста-

Диагонализация (3) есть диагонализация матрицы

новится киральной: SU(2) → SU_L(2) только при

нарушении зеркальной симметрии. Ее нарушение

(4)

χ_R

χ_L

означает и нарушение слабой SU(2). В такой си-



стеме тяжелых дираковских нейтрино возникало



χ_R

R μ

^M



бы несохранение лептонного числа во взаимодей-



ствиях с бозоном H и слабым вектоном W.

 μ

0

χ_L

Непертурбативность системы препятствует

Она приводит к собственным значениям

аналитическому анализу процесса. Приходится

√

ограничиться исследованием свойств основного

M_R

M2R

уравнения и условий существования его решений.

λ_± =

+μ²

(5)

Эти условия соответствуют именно дираковской

природе нейтрино.

и собственным функциям майорановских фермио-

Связь физических тяжелых зеркальных ней-

нов

[

]

трино с хиггсовским бозоном H прикрыта здесь

χ₊ =

√

χ_R -

χ_L ,

(6)

непертурбативностью. Она может не соответство-

λ₊

вать правилам СМ: простая пропорциональность

[

]

λ²⁺

массам частиц. Такая ситуация существует уже и

χ_- =

√

χ_L +

χ_R , N =

в обычной (пертурбативной) see-saw-системе (см.

λ₊

λ²⁺ + μ²

формулы (11), (12)). В то же время константы

При M_R ≫ μ приходим к хорошо известным [1] —

связи H с легкими нейтрино, представляющими в

очень большой и очень малой, массам майоранов-

модели нейтрино СМ, пропорциональны их мас-

ских состояний (6)

сам. Поэтому для наблюдаемых частиц с их мас-

сами пертурбативные свойства СМ не меняются.

μ²

В частности, благодаря компенсации W -вкладов

λ₊ ≃ M_R, λ_- ≃ -

(7)

M_R

вкладами с участием бозона H нет быстрого роста

сечений процессов с рождением продольно поля-

Интерес представляют взаимодействия нейтри-

ризованных векторных W -бозонов [2].

но (6) с хиггсовским скалярным дублетом Φ_H и

В разд. 2 обычный механизм see-saw срав-

векторным бозоном W . Благодаря связи между

нивается с искомым вариантом, приводящим к

этими взаимодействиями, обусловленной спонтан-

дираковским нейтрино. Обсуждаются свойства и

ным нарушением слабой SU(2)-симметрии:

отличия двух систем. Раздел 3 посвящен выводу

приближенного уравнения, способного породить

〈Φ_H 〉 =

√ , η ≃ 246 ГэВ [5],

(8)

дираковские частицы, и найдены условия суще-

ствования решений. В разд. 4 обсуждается связь

изучаемых механизмов для тяжелых нейтрино с

в СМ происходит сокращение вкладов диаграмм с

физикой легких нейтрино СМ.

участием H и W , ограничивающее рост сечений с

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

ДИРАКОВСКИЕ НЕЙТРИНО В SEE-SAW-МЕХАНИЗМЕ

265

энергией. Кроме того, в инвариантной калибровке

Взаимодействие нейтрино (6) с полюсным членом

вклады от полюса q² = 0 в пропагаторе W

пропагатора W в (9) оказывается точно таким же

(M_W =

g₂η, [2]):

g_μν - q_μq_ν/q²

(9)

(

)

q^μ

τϕ

q² - M²

Ψ_Lγ_μ

Ψ_L

⇒

(15)

g₂ M_W

g_μν - q_μq_ν/M2W

q_μq_ν

)

^[M_R(

q² - M2W

q²

M²

⇒

χ₊γ₅χ_- + χ_-γ₅χ₊

ηN λ₊

сокращаются с вкладом голдстоуновского бозона

]

2μ

ϕ = ηθ/2 нарушенной симметрии

χ₊γ₅χ₊ -

χ_-γ₅χ_- ϕ,

λ₊

η+H

Φ_H =

√ ei(θτ)/2,

(10)

q=p₁ -p₂,

pχ_± = λ_±χ_±.

Благодаря связи вкладов с бозоном H и вкладов со

τ —матрицы изоспина. При взаимодействии толь-

слабым взаимодействием (как и в СМ) отсутствует

ко с нейтрино τ → τ₃ → 1. Сокращения проис-

быстрый рост сечений с участием продольных W .

ходят между вкладами диаграмм одного порядка

Проведенный анализ применим для теоретико-

теории возмущений. Такое пертурбативное сокра-

возмущенческой связи μ/η ≪ 1. Большие констан-

щение возможно при малых константах связи H-

ты существенно изменяют механизм.

бозона с фермионами.

Предположим теперь систему, которая хотя и

В СМ без see-saw эти свойства обеспечива-

включает майорановский массовый член, но при-

ются тем, что μ есть непосредственно масса фер-

водит к дираковским частицам. Такой вариант был

миона. В see-saw-механизме при массах λ_± (5)

построен в [2, 3] для модели зеркальной симмет-

взаимодействия Ψ_L и Ψ_R с Φ не пропорциональны

рии, воспроизводящей свойства матриц слабого

массам:

√

(

смешивания кварков и лептонов. Массовая часть

2μ

Ψ_LΨ_R η√H ei(θτ/2) +

(11)

лагранжиана для этого варианта есть

(

)

L(ν) = μ

Ψ_RΨ_L +¯LΨR

(16)

η+H

+ Ψ_RΨ_L

√ e-i(θτ/2)

⇒

)

M⁽

Ψ^TRCΨ_R - Ψ^T

CΨ_L

+ c.c.

⇒ μ(ΨΨ) + ^μ(ΨΨ)H + iμ(Ψγ5Ψ)ϕ.

Только при таком знаке между равными L- и R-

членами формула (16) представляет дираковское

Взаимодействие с хиггсовским бозоном H имеет

нейтрино, иначе — майорановское.

вид

Лагранжиан (16) отличается от (1) членом с

ΨΨH =

(12)

изоспинором Ψ_L и нарушает SU(2)-инвариант-

[

ность. Более того, как уже указано в разд. 1,

2μ

этот член нельзя простым образом получить из

χ_-χ_- +

χ₊χ₊ +

ηN

λ₊

SU(2)-инвариантного лагранжиана. Надо вводить

(

)]

нарушение с помощью вакуумных средних изо-

M_R

χ₊χ_- + χ_-χ₊ H.

векторного скаляра или использовать неперенор-

λ₊

мируемые взаимодействия фермионов с квадратом

Здесь только взаимодействие с χ_- пропорциональ-

хиггсовского скаляра: ∼Φ2H [1]. Но тогда равенство

но его массе

коэффициентов M_R = -M_L представляется абсо-

λ₊λ_-

лютно не имеющим оснований.

=λ_-.

(13)

Далее будет предложен вариант решения этой

λ₊

проблемы; сейчас опишем свойства системы ней-

Рассмотрим, как сокращения вкладов происхо-

трино, определяемой выражением (16). Лагранжи-

дят в see-saw-системе. Связь с голдстоуновской

ан (16) можно переписать с помощью дираковских

“частицей” ϕ в терминах (2) и (6) приобретает

операторов

форму, аналогичную (12):

Ψ=Ψ_R +Ψ_L.

(17)

(

)

^[M_R

(Ψγ₅Ψ)ϕ = iμ

χ₊γ₅χ_- + χ_-γ₅χ₊

Имеем

ηN λ₊

(

)

]

L(ν) = μΨΨ +^M

Ψ^Cγ₅Ψ -^Ψγ₅ΨC ,

(18)

2μ

χ₊γ₅χ₊ -

χ_-γ₅χ_- ϕ.

(14)

λ₊

Ψ^C = CΨT .

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

266

ДЯТЛОВ

]

(

)

μM

Диагонализация этого выражения действительно

ΨC

Ψ_λ -ΨλΨ^C

ϕ, 〈T (ϕ, ϕ)〉 ∼

приводит к дираковским операторам [4]:

2λη

-q²

В то время как взаимодействие Ψ_λ с полюсным

Ψ_λ =

√

(19)

членом в пропагаторе W -бозона (9) есть:

]

[(

)

(

)

g₂

γ₅Ψ +

Ψ^C ,

Ψ_LqΨ_Lϕ_W =g2 ×

(24)

M +λ

M+λ

2M_W

[

(

)]

× μ(Ψλγ₅Ψ_λ) +

ΨCΨλ -ΨλΨC

Ψ^Cλ =

√

ϕW ,

]

[(

)

(

)

Ψ- 1-

γ₅ΨC ,

pΨ_λ = λΨ_λ,

〈T (ϕ_W , ϕ_W )〉 =

M +λ

M+λ

-q²

2λ

λ = (M² + μ²)1/2, N =

Ψ_λ = Ψ^Cλ.

Здесь pΨ_λ = λΨ_λ, pΨ^Cλ = -λΨ^Cλ, так как имеются

M+λ

в виду спинорные состояния u и v. В СМ масса

Лагранжиан (18) переходит в форму

M_W = g₂η/2, и не возникает возможности сокра-

щения вкладов от формул (23) и (24). Это, конечно,

L(ν) = λΨλΨ_λ,

(20)

не удивительно из-за произвольного включения в

т.е. в дираковский массовый член, что подтвер-

лагранжиан (16) нарушающего SU(2)-симметрию

ждается и переходом к Ψ_λ в кинетическом члене

члена. Почленная, пертурбативная компенсация

лагранжиана (см. [4b]).

вкладов не происходит. Наше утверждение состоит

в том, что дираковская система (16) с нарушени-

Очевидно, при этом теряется основная цель

ем лептонного числа может возникнуть при об-

введения see-saw-механизма — объяснение появ-

разовании нарушающего симметрию члена непер-

ления состояний с очень малой массой, но в мо-

турбативным путем, при сильном взаимодействии

дели [1, 2] именно существование очень тяже-

(μ/η ≫ 1) хиггсовского бозона H с нейтрино. Та-

лых дираковских зеркальных нейтрино приводит к

кая ситуация существует для тяжелых зеркальных

очень малым массам дираковского нейтрино СМ

состояний в модели [3, 4] (в see-saw-варианте

и подходящим качественным свойствам матрицы

M/η ≫ μ/η ≫ 1).

слабого смешивания.

Может ли в таком варианте измениться стан-

Обращение формул (19)

дартная масса W -бозона M_W = g₂η/2? Сильные

взаимодействия, связанные с участием виртуаль-

Ψ=

√

(21)

ных тяжелых частиц, ограничены здесь очень ма-

]

[(

)

(

)

лой областью 1/λ ≪ 1/M_W . В работе [6] замечено,

γ₅Ψ_λ +

Ψ^C

что тогда влияние этих процессов может быть огра-

M+λ

ничено фактором отношения объемов, т.е. может

быть мало. Поправки к массе W от виртуальных

Ψ^C =

√

легких фермионов будут обычной стандартной ве-

]

личины.

[(

)

(

)

Ψ_λ - 1 -

γ₅Ψ^C

M +λ

M+λ

3. НЕПЕРТУРБАТИВНЫЙ ПЕРЕХОД

позволяет определить взаимодействие с хиггсов-

МАЙОРАНОВСКОЙ СИСТЕМЫ

ским бозоном. Оно включает члены, не сохраняю-

В ДИРАКОВСКУЮ

щие лептонное число:

В лагранжиане (1) дираковский параметр массы

^[μ²

μ возникает в СМ в результате нарушения слабой

(ΨΨ)H =

(ΨλΨ_λ) +

(22)

SU(2)-симметрии вакуумным средним хиггсовско-

λη

√

(

)]

го дублета 〈Φ〉 = n/

2 (масса M_R не нарушает

μM

ΨC

γ₅Ψ_λ -Ψλγ₅Ψ^Cλ H.

симметрию). Одновременно образуется хиггсов-

2λη

ский бозон H (10). Бозон H меняет киральность

нейтрино. Это приводит к обязательному появ-

Связь Ψ_λ с голдстоуновской “частицей” нарушен-

лению майорановской массы M_L в добавление к

ной симметрии равна (взаимодействие только с

естественно присутствующей в лагранжиане (как

нейтрино τ → 1):

в (1)) массе M_R. Рис.

1 поясняет это явление.

^[μ

При малых константах юкавской связи наведенные

^Ψγ₅Ψϕ = i

(Ψλγ₅Ψ_λ) +

(23)

λη

M_L = M_R и фермионы останутся майорановскими.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

ДИРАКОВСКИЕ НЕЙТРИНО В SEE-SAW-МЕХАНИЗМЕ

267

Ψ^C

f(p) =

f(k)

T(p - k)

M_L

M_R

Рис. 2. Уравнение для коэффициента f(p), форму-

ла (25).

Рис. 1. Возникновение майорановской массы ML че-

рез массу MR.

числителях G(p)-пропагаторов. В принципе (ес-

ли известно T ) можно затем вычислять поправки

При большом μ ≫ η взаимодействие с нейтрино Ψ

(α/λ)². Поправки α/λ отсутствуют. Анализ упро-

становится непертурбативным. Рассмотрим влия-

щается, поскольку теперь киральность меняется

ние этой сильной связи на майорановскую массу.

только H-взаимодействиями. Четное число вер-

Для этого обсудим упрощенную модель, которая

шин на каждой из линий фермионов не меняет

включает сильное взаимодействие Ψ c H (μ/η ≫

киральности: RR → RR, LL → LL. Нечетное чис-

≫ 1) и не содержит петель фермионов. В конеч-

ло вершин меняет киральность RR ⇋ LL. Разная

ном результате ожидаем, что фермионы окажутся

четность числа вершин на двух линиях фермионов

очень тяжелыми, что, возможно, ослабляет влия-

в T невозможна, так как f сохраняет киральность

ние их петель на исследуемые процессы (в see-

входящих-выходящих частиц.

saw-варианте M ≫ μ ≫ η).

Обозначим затравочную майорановскую мас-

Будем исследовать уравнения для коэффициен-

су в (1) M₀. Масса M₀ (коэффициент при Ψ_R-

тов

(

)

членах, M₀ ≡ M_R), конечно, не нарушает SU(2)-

ΨC

(p)Ψ_R,L(p) f_R,L(p),

(25)

R,L

инвариантности и может присутствовать непосред-

ственно в фундаментальном лагранжиане. Связан-

которые включают все диаграммы типа рис. 2 (Tr

ные уравнения для f_R и f_L теперь имеют вид

по спинорным значкам, f_RL определен как¹⁴ Tr).

(вместо TrT пишем T ):

Символ T на рис. 2 подразумевает диаграммы с

∫

d⁴k

(+k²)

произвольным числом H линий, не приводимые к

f_R(p) =

M₀ +

(28)

разделению на части, соединенные двумя ферми-

(2π)⁴i (λ² - k²)²

[

]

онными линиями. Функции f_R и f_L связаны друг

× T_RR(p - k)f_R(k) + T_RL(p - k)f_L(k) ,

с другом, так как киральности на фермионных

∫

линиях меняются как взаимодействием с H, так и

d⁴k

(+k²)

массовыми частями пропагаторов. Нас интересует

f_L(p) =

здесь возможность возникновения именно дира-

(2π)⁴i (λ² - k²)²

[

]

ковского нейтрино, когда в лагранжиане присут-

× T_LR(p - k)f_R(k) + T_LL(p - k)f_L(k) .

ствует только M_R.

Пропагаторы фермионов 〈T (Ψ,Ψ)〉 ищем в при-

В уравнениях (28) можно перейти к евклидовой

ближении “среднего поля”, т.е. в виде выражений,

метрике (-k² → k²). Тогда факторы f, T являются

которые хотим получить, но с произвольными, не

вещественными.

зависящими от импульса, коэффициентами, опре-

Функции T не зависят от киральности, но

деляемыми согласованием решения:

T₊ = T_RR = T_LL не равно T_- = T_RL = T_LR. B T₊

α+βp

G(p) =

p=p_μγ^μ.

(26)

содержится четное число вершин H на каждой

λ² - p²

фермионной линии, а в T_- — нечетное. Обозначим

Для дираковских состояний (19) с помощью обра-

f_- = f_R - f_L.

(29)

щенной формулы (21) имеем для 〈T (Ψ,Ψ)〉 (26):

√

Для f_- имеем уравнение (в евклидовой метрике:

α = μ, β = 1, λ =

M² + μ².

(27)

k² → -k², d⁴k → -id⁴k)

∫

Так как μ для данной задачи есть внешний па-

d⁴k

k²

раметр, заданный спонтанным нарушением 〈Φ〉, в

f_-(p) =

M₀ +

(30)

(2π)⁴ (λ² + k²)²

параметризации (26), (27) только M определяется

[

]

согласованием решения (см. ниже формулу (34)).

× T₊(p - k) - T_-(p - k) f_-(k).

И в упрощенном виде система уравнений оста-

ется слишком сложной даже для качественно-

Величина f_- и уравнение для нее выбраны потому,

го анализа. Но в see-saw-варианте имеем α =

что ядро уравнения в этом случае представляет

= μ ≪ λ. Можно решать задачу, пренебрегая α в

собой знакопеременный ряд с разными знаками у

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

268

ДЯТЛОВ

членов с четным и нечетным числом H вершин на

поскольку лагранжиан (16) описывает частицы

каждой из фермионных линий рис. 1.

с массой λ = (M² + μ²)1/2. Из уравнения (30)

Уравнение (30) не имеет решения, если в T огра-

очевидно, что f пропорционально M₀. Величина

ничиться несколькими диаграммами с H-линиями.

f (p² = -(M² + μ²)) вещественна, так как особен-

При больших импульсах асимптотика этих вкладов

ности по массе p² диаграмм, образующих f, вы-

при p² → ∞ равна

ше величины p² > ((M² + μ²)1/2 + m_H )² при p² в

неевклидовой метрике.

T_N (p) ∼

lnⁿ

(31)

Надежда на сходимость интеграла (32) при

p²

λ²

асимптотике членов ряда (31) может осуществить-

Число n < (N - 1); N — число линий H: T_N ∼

ся только при знакопеременности этого ряда. Такое

∼ (μ²/η²)^N . Уравнение в таком пертурбативном

поведение представляется более достижимым при

варианте сводится к дифференциальному с гранич-

варианте f_-, где чередование знаков заложено в

ными условиями (аналогично [7, 8]). Его решение

определение. Это соответствует лагранжиану для

дираковского нейтрино. Тогда для f₊ решение от-

убывает f_-(p) → 0 при p² → ∞. Интеграл в (30)

сутствует (это было бы майорановское нейтрино).

от такого решения сходится и тоже убывает при

p² → ∞, что противоречит самому уравнению, где

Вспомогательная функция f_-(p) сама по себе

не описывает никакого процесса, но если она воз-

f_-(p) →¹²M₀. При малых юкавских константах

можна, то в эффективном лагранжиане появляется

дираковское нейтрино (при M_R = 0) невозможно.

комбинацияΨC γ₅Ψ с коэффициентом (34), связан-

Решение (30) могло бы существовать, если бы

ная с существованием только M_R.

бесконечный ряд членов T₊ - T_- убывал при k² →

Решение (34) для f_- означает несохранение

→ ∞ быстрее, чем 1/k². При асимптотике отдель-

лептонного числа во взаимодействиях бозона H с

ных членов (31) такое поведение возможно только

тяжелыми нейтрино, как видно из формулы (23).

при знакопеременном характере ряда T₊ - T_- при

Аналогичное явление возникает и в слабых взаи-

больших k². Асимптотика знакопеременного ряда

модействиях этих частиц (см. (24)).

должна быть меньше (31).

Суммы вкладов диаграмм с определенными чет-

4. СВЯЗЬ С ЛЕГКИМИ НЕЙТРИНО

ными или нечетными числами линий H в T₊ и T_-

трудно оценить. Но нет никаких оснований ожи-

В работах [3, 4] тяжелые нейтрино Ψ составля-

дать, что четные вклады имеют регулярно другие

ют зеркально-отраженную часть общей системы с

знаки, чем нечетные. Поэтому для возникновения

легкими фермионами ψ. Это значит, что разница в

знакопеременности ряда функция f_- является бо-

свойствах (кроме массы) только в том, что в слабых

лее предпочтительной величиной. Тогда условием

взаимодействиях они участвуют правым током, т.е.

Ψ_R — SU(2)-дублет, Ψ_L — синглет.

существования решения f(k² → ∞) →¹² M₀ явля-

ется сходимость интеграла

Тяжелые фермионы связаны с легкой частью

(

)

системы (ψ) прямым образом членами, описываю-

∫



T₊(p - k) - T_-(p - k)



щими переходы одних в другие:

d⁴kk2

<∞.(32)



(2π)⁴

(λ² + k²)²

ψ_LΨ_R +

ψ_RΨ_L + c.c.

(35)



Очевидно, это SU(2)-инвариант. Такая конструк-

Величина f_- определяет майорановскую массу

ция возникает из симметричной к замене ψ ⇋ Ψ

именно в эффективном лагранжиане (16) для дира-

системы, в которой переходные коэффициенты A и

ковских тяжелых нейтрино. Действительно, имеем

B представляют массы дираковских изоспинора и

изоскаляра (ψ_R,L + Ψ_L,R), включаемые в лагран-

ΨC

Ψ_Rf_R +Ψ(C)LΨ_Lf_L =

(33)

жиан системы до нарушения зеркальной симмет-

(

)

ΨC

рии ψ ⇋ Ψ. Зеркальная симметрия нарушается

Ψ_R -ΨCLΨ_L (f_R - f_L) +

аналогами хиггсовских скаляров.

(

)

Массы легких нейтрино, образуемые через пе-

ΨC

Ψ_R +ΨCLΨ_L (f_R + f_L) =

реходы (35) в тяжелые зеркальные состояния, ока-

зываются равными

(ΨCγ₅Ψ)f_- +1(ΨCΨ)f+.

)₂

( μ

m_V ≃

(36)

Величина M есть решение уравнения

μ M



f_-(p²)

= M,

(34)

¹⁾Для дираковских легких частиц A = B, см. [3], “исправ-

p²=-(M²+μ²)

ление” в ЯФ или arXiv.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

ДИРАКОВСКИЕ НЕЙТРИНО В SEE-SAW-МЕХАНИЗМЕ

269

Параметры μ и M — по-прежнему, соответствен-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

но, дираковская и майорановская части массы Ψ,

Отправным пунктом для выбора зеркально-

как в (18). Формула (36) непосредственно свиде-

го механизма с дираковскими нейтрино служит

тельствует о возможности исключительно малой

открывающаяся здесь возможность естественно-

массы нейтрино A ≪ μ ≪ M, причем даже в бо-

го воспроизводства наблюдаемых качественных

лее выразительной форме, чем обычный see-saw-

свойств матриц слабого смешивания и кварков

механизм.

(матрица СКМ) и лептонов (матрица PMNS).

Взаимодействие легких частиц с хиггсовским

скаляром Φ и бозоном H, ответственным за обра-

Несохранение лептонного числа дираковских

зование параметра μ, происходит здесь сложным

нейтрино имело бы значение при построении ши-

образом, только через переходы в тяжелые Ψ (см.

роко обсуждаемых в последние годы (см., напри-

Приложение I статьи [9]). Переходы (35) приводят

мер, [10]) моделей лептогенеза, если наблюдаемые

к присутствию в физических функциях нейтрино

нейтрино окажутся дираковскими.

представителей тяжелых частиц Ψ:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ψ_ν ≃ ψ +

Ψ.

(37)

1. R. N. Mohapatra and A. Yu. Smirnov,

hep-ph/0603118; S. F. King et al., arXiv: 1402.4271

Взаимодействие легких нейтрино с H оказывается

[hep-ph]; L. Maiani, arXiv: 1406.5503 [hep-ph].

пропорциональным массе m_ν , т.е., как в СМ, имеем

2. Л. Б. Окунь, Лептоны и кварки, 2-е изд. (Наука,

из (36)

Москва, 1990) [L. B. Okun, Leptons and Quarks

μ AB

m_ν

(North-Holland, Amsterdam, 1982, transl. 1st ed.)].

f∼

≃

(38)

3. И. Т. Дятлов, ЯФ 78, 522 (2015) (исправление

ηM²

ошибки: ЯФ 81, 406 (2018)) [Phys. At. Nucl. 78, 485

Благодаря этому, в зеркальной модели для легких

(2015)]; arXiv: 1502.01501 [hep-ph].

нейтрино сохраняются свойства СМ:

4. И. Т. Дятлов, ЯФ 80, 368 (2017) [Phys. At. Nucl. 80,

679 (2017)]; arXiv: 1703.00722 [hep-ph] (a); ЯФ 82,

158 (2019) [Phys. At. Nucl. 82, 144 (2019); arXiv:

• пертурбативное сокращение голдстоунов-

1812.02403 [hep-ph] (b).

ских вкладов с полюсом q² = 0 пропагатора

5. M. Takabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev.

W -бозона в инвариантной калибровке;

D 98, 030001 (2018).

6. И. Т. Дятлов, ЯФ 80, 253 (2017) [Phys. At. Nucl. 80,

• отсутствие быстрого роста сечений процес-

469 (2017)].

сов с участием W -бозонов продольной по-

7. V. A. Miransky, Nuovo Cimento A 90, 149 (1985).

ляризации;

8. C. N. Leung, S. T. Love, and W. A. Bardeen, Nucl.

Phys. B 273, 649 (1986).

• отсутствие нарушения лептонного числа в

9. И. Т. Дятлов, ЯФ 81, 206 (2018) [Phys. At. Nucl. 81,

процессах только с легкими нейтрино.

236 (2018)]; arXiv: 1802.00193 [hep-ph].

10. K. Moffat, S. Pascoli, S. T. Petcov, and J. Turner,

В работах [3, 4], а также [9], описано, как эти

arXiv: 1809.08251 [hep-ph]; K. Earl, C. S. Fing,

явления происходят в общем случае трех семейств

T. Gregoire, and A. Tonato, arXiv:

1903.12192

фермионов.

[hep-ph].

DIRAC NEUTRINOS IN THE SEE-SAW MECHANISM.

DIRAC LEPTON NUMBER VIOLATION

I. T. Dyatlov

National Research Centre “Kurchatov Institute” — PNPI, Gatchina, Russia

The see-saw-mechanism explains exclusively low values of neutrino masses through Majorana mass

involvement. This mechanism entails a simultaneous appearance of Majorana neutrinos only and direct

violation of the lepton number. This paper proposes a see-saw scenario that results in production of

Dirac-type neutrinos alone with the same violation. This scenario becomespossiblefor very heavy neutrinos

with the nonperturbative Higgs scalar H coupling. For heavy mirror neutrinos, it is required in the model

that describes the structure of weak mixing matrices for quarks and leptons through the existence of heavy

mirror analogues of Standard Model fermions. The nonperturbativity hampers the analytic solution, but

the obtained conditions indicate that the mechanism under consideration preferentially generates just

Dirac-type neutrinos. This phenomenon could have relevance for leptogenesis processes if all existing

neutrinos were of the Dirac type.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020