ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 3, с. 270-276

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ КВАНТОВАНИЯ

РЕЛЯТИВИСТСКОЙ СВЯЗАННОЙ СИСТЕМЫ ДВУХ ФЕРМИОНОВ

РАВНЫХ МАСС

Гомельский государственный технический университет им. П.О. Сухого;

Международный центр перспективных исследований, Гомель, Беларусь

Поступила в редакцию 27.11.2019 г.; после доработки 12.12.2019 г.; принята к публикации 12.12.2019 г.

Получены новые релятивистские квазиклассические условия квантования для системы двух ферми-

онов равных масс, взаимодействующих посредством несингулярных запирающих квазипотенциалов

и квазипотенциалов воронкообразного типа. Определены условия квантования в псевдоскалярном,

псевдовекторном и векторном случаях. Рассмотрение проведено в рамках гамильтоновой формули-

ровки квантовой теории поля путем перехода в релятивистское конфигурационное представление для

случая связанной системы двух релятивистских спиновых частиц равных масс.

DOI: 10.31857/S0044002720030046

1. ВВЕДЕНИЕ

частицы, удовлетворяющей полностью ковариант-

ному трехмерному РКП-уравнению в импульсном

Для описания спектра масс мезонов в основ-

пространстве (см., например, работы [7-10]). Кро-

ном и довольно успешно использовалось нере-

ме того, РКП-подход для случая взаимодействия

лятивистское уравнение Шредингера с линейным

двух релятивистских спиновых частиц равных масс

потенциалом

m₁ = m₂ = m, развитый в работах [5, 6], позволяет

V_lin(r) = σr, σ > 0.

перейти от импульсной формулировки в простран-

стве Лобачевского к трехмерному релятивистско-

Однако нерелятивистская модель оказалась непри-

му конфигурационному представлению, введенно-

годной при описании спектра масс существенно

му в [11]. Для сферически симметричных потенци-

релятивистских систем, поскольку вклад реля-

тивистских поправок для высших радиальных

алов конечно-разностная форма РКП-уравнения

для волновой функции в конфигурационном пред-

возбуждений становится большим (v²/c² ≈ 0.4), а

ставлении имеет вид [12]

для легких векторных ρ-, ω-мезонов он даже срав-

ним с вкладом нерелятивистского гамильтониана,

(M_Q -H0)ψ_M

(r) =

(1)

выбираемого в качестве основного [1-3].

2mc²

(

)

Иной подход для нахождения спектра масс ме-

H₀

зонов основан на применении одновременного пол-

=V(r

ψMQ(r).

ностью ковариантного двухчастичного трехмерно-

2mc²

го релятивистского квазипотенциального (РКП)

Здесь M2Q = Q² = (q₁ + q₂)², оператор

подхода Логунова-Тавхелидзе в квантовой теории

[

(

)

поля [4]. В настоящей работе используется тот

∂

H₀

вариант РКП-подхода [5] к задаче о составной

= 2mc² ch iλ

(2)

∂r

системе двух релятивистских спиновых частиц, ко-

(

)

(

)]

торый основан на гамильтоновой формулировке

iλ

∂

λ²

∂

sh iλ

Δ_θ,ϕ exp iλ

квантовой теории поля [6]. При этом важно, что

∂r

2r²

∂r

трехмерность в нее заложена с самого начала, а все

частицы даже в промежуточных состояниях явля-

– оператор свободного гамильтониана, являющий-

ся конечно-разностным оператором, построенным

ются физическими, т.е. лежат на массовых поверх-

ностях. Тем самым двухчастичная задача сводится

из операторов сдвига exp (±iλ∂/∂r), в то время

к одночастичной, описание которой ведется на язы-

как Δ_θ,ϕ — его угловая часть, причем λ = ℏ/mc —

комптоновская длина волны, а модуль радиуса-

ке волновой РКП-функции одной релятивистской

вектора r (r = rn, |n| = 1) является релятивист-

^*E-mail: chyud@mail.ru;chern@gstu.by

ским инвариантом; квазипотенциал V (r) является

270

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ КВАНТОВАНИЯ

271

локальным в смысле геометрии Лобачевского и для

моментом ℓ. Рассмотрены случаи, когда взаимо-

простоты считается не зависящим от энергии M_Q,

действие двух релятивистских фермионов равных

а операто

A определяется выражением

масс является либо несингулярным, чисто запи-

(

)

(

)₂

рающим, либо содержит кулоновское взаимодей-

[

]

H₀

ствие. В разд. 2 в рамках РКП-подхода в квантовой

+b ,

(3)

2mc²

теории поля, сформулированного в релятивистском

⎧

r-представлении для случая взаимодействия двух

⎪

при

Ô₌ γ₅ (псевдоскаляр);

релятивистских частиц равных масс [11], получены

⎪

⎨

квазиклассические решения уравнения для ради-

при

Ô₌ γ_μ (вектор);

альной волновой РКП-функции ϕ_ℓ(r, χ) и опреде-

a=⎪⎪2

⎪

лены условия применимости релятивистского ква-

⎩-1

при

Ô₌ γ₅γ_μ (псевдовектор);

зиклассического приближения. В разд. 3 и 4 полу-

⎧

чены условия квантования псевдоскалярных, век-

⎪

при

Ô₌ γ₅ (псевдоскаляр);

торных и псевдовекторных мезонов в релятивист-

⎪

⎨

ском квазиклассическом приближении для случая

при

Ô₌ γ_μ (вектор);

взаимодействия двух релятивистских спиновых ча-

b=⎪⎪4

⎪3

стиц равных масс посредством несингулярных за-

⎩

при

Ô₌ γ₅γ_μ (псевдовектор).

пирающих квазипотенциалов и квазипотенциалов

воронкообразного типа. Результаты исследований

Напомним, что для простоты рассмотрения, как

обсуждаются в Заключении.

и в работе [13], мы считаем, что квазипотенциал

имеет биспинорную структуру вида I ⊗ I, а вер-

шинная функция также имеет заданную спинорную

2. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

структуру, пропорциональную матрице^Ô, не зави-

РКП-УРАВНЕНИЯ

сящую от импульсных переменных, причем в ка-

честве^Ô выбираются матрицы Дирака γ₅, γ_μ, γ₅γ_μ

(μ = 0, 1, 2, 3). Такой выбор матрицы

Ô позволил

В основу нашего рассмотрения положено

найти точные решения РКП-уравнения (1) с куло-

полностью ковариантное РКП-уравнение в r-

новоподобным хромодинамическим потенциалом

представлении в конечно-разностной форме (1),

(см., например, работы [12, 13])

построенное в [12] для волновой РКП-функции

α_s

ψMQ(r) для случая сферически симметричных

V_Coul(r) = -

α_s > 0,

(4)

взаимодействий двух релятивистских спиновых

частиц равных масс m₁ = m₂ = m.

осуществляющим взаимодействие между кварками

внутри адрона путем обмена безмассовым скаляр-

ным глюоном и обладающим в импульсном про-

Используя разложение волновой РКП-функции

странстве КХД-подобным поведением [14].

ψMQ(r) по функциям Лежандра,

Отметим еще работы в [15], в которых в рамках

)

∑

⁽Δ_q,mλ

·r

РКП-подхода [5] были найдены выражения для

ϕℓ(r, χ)

ψMQ(r) =

(2ℓ + 1)i^ℓ

P_ℓ

квазиклассических условий квантования и ширин

|Δq,mλQ |r

ℓ=0

лептонных распадов векторных и псевдоскаляр-

ных мезонов. Также обратим внимание и на рабо-

вместо (1) получим уравнение для радиальной вол-

ту [16], в которой были вычислены слабые констан-

новой РКП-функции ϕ_ℓ(r, χ):

ты распада псевдоскалярных и векторных мезонов,

волновые функции которых удовлетворяют РКП-

[

(

)]

Hrad

- ch χ + V (r

(5)

уравнению, предложенному в [17], с полным реля-

ϕℓ(r, χ) = 0,

тивистским потенциалом взаимодействия кварка,

т.е. учитывающим все спин-зависимые и спин-

где

независимые релятивистские вклады.

(

)

(

)

λ²ℓ(ℓ + 1)

Hrad

Цель настоящей работы состоит в получении в

= ch iλ

exp iλ

2r(r + iλ)

релятивистском квазиклассическом приближении

(см., например, работы [15, 18-20]) релятивист-

– радиальная часть оператора свободного гамиль-

ских формул для условий квантования связан-

ной системы двух релятивистских спиновых ча-

тониана (2), оператор

A по-прежнему определен

стиц равных масс c относительным орбитальным

в (3), а χ — быстрота, которая параметризирует

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

272

ЧЕРНИЧЕНКО

импульс Δq,mλQ и полную энергию¹⁾:

Условие применимости релятивистского ВКБ-

метода в спиновом случае определяется неравен-

Δq,mλQ = mcsh χnΔq,mλ

Δ_q,mλQ

| = 1,

ством



ch χ_eff(r)

dχ₊(r)

M_Q = 2Δ0q,mλ

Δ⁰

= mc² ch χ.



q,mλ_Q

(9)

^≪

^χ₊(r)sh χ_eff(r) dr

В релятивистском квазиклассическом прибли-

где

(

)

√

жении (ВКБ-приближение) решение уравнения (5)

χ_eff(r) = archX_eff(r) = ln X_eff(r) + X^2eff(r) - 1

ищется в виде [15, 18-20]

[

]

X (r)

ϕℓ(r, χ) = exp

g(r) ,

(6)

X_eff(r) = ch χ_eff(r) =

ℏ

R(r)

)₂

ℏ

(ℏ

В случае ℓ = 0 условие (9) преобразуется в нера-

g(r) = g₀(r) +

g₁(r) +

g₂(r) +

венство



 ch χ(r)

dχ(r)



Учет первых двух членов разложения (6) позволяет

^≪

^χ(r)shχ(r) dr

получить ВКБ-решения с левой r_L и правой r_R

где величина

точками поворота в области r_L ≤ r ≤ r_R:

[

√

]

χ(r) = archX (r) = ln X (r) +

X²(r) - 1

(10)

ϕL,Rℓ(r, χ) =

(7)

имеет смысл быстроты релятивистской частицы

C_L,R

√

массы m, движущейся в поле потенциала V (r),

2⁴

[X²(r) - R²(r)][1 + aV (r)X(r)]

в терминах которой измеряется расстояние между

{

[

]

двумя точками импульсного пространства Лоба-

× exp iαL,R+(r) ∓iπ

чевского.

[

]}

В заключение этого раздела подчеркнем, что

при a = 0, b = 2/mc² все полученные выше вы-

+ exp iα^L,R-(r) ± iπ

ражения совпадают с аналогичными выражени-

ями, взятыми при m₁ = m₂ = m, которые были

где

получены в бесспиновом случае для произвольных

∫

масс [20].

α^L,R±(r) =1

dr^′χ_±(r^′),

(8)

3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ

r_L,R

КВАНТОВАНИЯ

[

√

]

Условие квантования, как и в бесспиновом слу-

χ_±(r) = ln X(r) ±

X²(r) - R²(r) ,

чае [20], находим из условия совпадения волновых

2X(r)

функций в (7) в точке r ∈ (r_L; r_R). Для этого необ-

X (r) =

√

ходимо положить

1 + aV (r)X(r)

⎡

⎤

∫

X(r) = ch χ -

V (r),

C_L = C_ℓ exp^⎣-i

dr^′ ln R(r^′)⎦ ,

√

r_L

λ²Λ

⎡

⎤

R(r) =

Λ = ℓ + 1/2,

∫

r²

C_R = C_ℓ(-1)ⁿ exp ⎣-i

dr^′ ln R(r^′)⎦ ,

C_L,R — нормировочные константы, а левая r_L и

r_R

правая r_R точки поворота определяются как точки

ветвления корня в (8):

где C_ℓ — произвольная постоянная, что ведет к

ВКБ-условию квантования

X (r_L,R) = R(r_L,R).

∫

(

)

√

dr [χ₊(r) - ln R(r)] = πλ n +

(11)

¹⁾Напомним, что здесь λQ = (λ^Q; λQ) = Q/

Q² —

4-вектор скорости составной частицы с 4-импульсом

r_L

Q = q1 + q2, причем все

4-импульсы принадлежат

n = 0,1,...,ℓ ≥ 0,

верхним пол ´ам массовых гиперболоидов Δ²

q,mλ_Q

= Δ02q,mλQ - c²Δ2q,mλQ = m²c⁴, где Δ0q,mλQ, Δq,mλQ —

которое при a = 0,b = 2/mc² совпадает с анало-

временная и пространственная компоненты 4-вектора

гичным выражением, взятым при m₁ = m₂ = m,

Λ-1λq = Δq,mλQ из пространства Лобачевского

полученным в бесспиновом случае для произволь-

(подробности см. в работе [12]).

ных масс [20].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ КВАНТОВАНИЯ

273

3.1. Случай несингулярного конфайнментного

для произвольных масс [20], взятых при m₁ =

потенциала

= m₂ = m:

(

)

Для несингулярного чисто запирающего (кон-

πσλ

ℓ

файнментного)

потенциала

V (r) = V_conf(r)

χ ch χ - sh χ =

(17)

2mc²

(V_conf(0) = 0) интеграл в (11) преобразуем к более

n = 0,1,...,ℓ ≥ 0.

простому виду вынесением зависимости от центро-

бежного члена в χ₊(r) за знак интеграла путем

Проведенный сравнительный анализ формул (14)-

разбиения на две части области интегрирования

(16) с формулой (17) для бесспинового случая

в (11) точкой R, лежащей в классически допу-

показывает, что учет спина приводит к увеличению

стимой области движения и такой, что значение R

значений уровней энергии, отвечающих фиксиро-

можно считать большим по сравнению с r_L, т.е. как

ванным значениям n и ℓ.

и в бесспиновом случае (подробности см. в [20]).

В результате проведенных вычислений приходим к

3.2. Случай сингулярного конфайнментного

следующему ВКБ-условию квантования в случае

потенциала

несингулярного конфайнментного потенциала:

∫

(

)

В случае, когда к несингулярному потенциалу

ℓ

запирания V_conf(r) добавляется кулоновское взаи-

drχ(r) = πλ n +

(12)

модействие (4), т.е.

α_s

V (r) = V_conf(r) -

,α_s > 0,

(18)

n = 0,1,...,ℓ ≥ 0,

которое по форме совпадает c выражениями, по-

необходимо в условии квантования (11) теперь

лученными в бесспиновом случае в работах [19,

вынести за знак интеграла зависимости от цен-

20], однако быстрота χ(r) теперь дается выраже-

тробежного и кулоновского членов в выражении

нием (10), причем точка поворота r_L определяется,

для χ₊(r). При этом точка поворота r_R ≈ r₊ по-

также как и в бесспиновом случае, центробежным

прежнему определяется условием (13), однако точ-

членом, т.е.

ка поворота r_L ≈ r_- теперь определяется в основ-

λΛ

r_L ≈ r_- =

ном суммой центробежного и кулоновского членов

sh χ

и находится из условия

(

)

а точка поворота r_R ≈ r₊ — потенциалом V_conf(r),

bα_s

т.е., как и в случае ℓ = 0, условием

ch χ +

4r_-

X (r₊) = 1.

(13)

[

√

(

)]√

В качестве примера применения формулы (12)

aα_s

bα_s

λ²Λ²

= 1+

ch χ +

приведем условия квантования для линейного по-

r_-

4r_-

r²

тенциала (1)

(

)

в качестве приближенного решения которого мож-

πσλ

ℓ

4(sh χ - arctg sh χ) =

(14)

но взять

2mc²

√

-B ch χ +

Λ² + B

n = 0,1,...,ℓ ≥ 0 (псевдоскаляр);

r_- ≈ λ

(19)

√

(_√

)

sh χ

3 ch χ + sh χ

ch χ ln

√

(15)

где параметр B здесь определяется как

2 ch² χ + 1

√

(√

)

(

)

α_s(ach² χ + b)

α_s

πσλ

ℓ

α_s =

arctg

sh χ

4sh χ

2mc²

и входит в выражение для кулоновской волно-

n = 0,1,...,ℓ ≥ 0 (вектор);

вой функции двухфермионной связанной системы

⎛

⎞

√

в s-состоянии (ℓ = 0), а при χ = iκ он связан с

3 shχ + ch χ

условием квантования (подробности см. в работах

ch χ ln⎝√

⎠_-

(16)

[12, 21])

|2 ch² χ - 3|



α_s(acos² κ + b)

√

(

)



= n,

√



2 shχ + 1

πσλ

ℓ

4sin κ

-4

2 ln√



2 shχ - 1

2mc²

n = 1,2,...,

0 < κ < π/2.

n = 0,1,...,ℓ ≥ 0 (псевдовектор),

Тогда условие квантования (11) путем разбиения

которые отличаются от условия квантования для

его области интегрирования точкой R на две части

запишем в виде

линейного потенциала (1) в бесспиновом случае

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

274

ЧЕРНИЧЕНКО

⎧

∫

⎨

2(X_conf(r) + bα_s/4r)

dr ln

[

] +

(20)

√

⎩

1 + λ²Λ²/r2 1+

1 + a(V_conf(r) - α_s/r)(X_conf(r) + bα_s/4r)

r_L

⎫

%⎡

⎤₂

⎬

2(X_conf(r) + bα_s/4r)

√⎣√

[

√

]⎦ -1

⎭

1 + λ²Λ²/r2 1+

1 + a(V_conf(r) - α_s/r)(X_conf(r) + bα_s/4r)

(

)

I₁

I₂ = πλ n +

n = 0,1,..., ℓ ≥ 0,

где

⎧

∫R

⎨

2(X_conf(r) + bα_s/4r)

I₁ =

dr ln

√

[

√

] +

⎩

1 + λ²Λ²/r2 1+

1 + a(V_conf(r) - α_s/r)(X_conf(r) + bα_s/4r)

r_L

⎫

%⎡

⎤₂

⎬

2(X_conf(r) + bα_s/4r)

√⎣

[

]⎦ -1

√

⎭

1 + λ²Λ²/r2 1+

1 + a(V_conf(r) - α_s/r)(X_conf(r) + bα_s/4r)

⎧

r_R

⎨

2(X_conf(r) + bα_s/4r)

I₂ =

dr ln

[

] +

√

⎩

1 + λ²Λ²/r2 1+

1 + a(V_conf(r) - α_s/r)(X_conf(r) + bα_s/4r)

⎫

%⎡

⎤₂

⎬

2(X_conf(r) + bα_s/4r)

√⎣

[

]⎦ -1

√

⎭

1 + λ²Λ²/r2 1+

1 + a(V_conf(r) - α_s/r)(X_conf(r) + bα_s/4r)

X_conf(r) = ch χ -

V_conf(r).

В принятых приближениях r_- ≪ R ≪ r₊,

α_s ≪

взаимодействия (18):

≪ 2Λ sh χ, где точка поворота r₊ определяется

∫

(

)

условием (13), а точка поворота r_- теперь дается

ℓ

drχ(r) = πλ n +

(23)

выражением (19), для интегралов

I₁

I₂ получаем

следующие результаты:

(

)

- λδCoul,WKBℓ(χ), n = 0, 1, . . . , ℓ ≥ 0.

2R sh χ

I₁ ≈ Rχ + λB ln

√

(21)

Λ² + B²

Здесь

(

)

πλΛ

2r₊ sh χ

- λχρ,

δCoul,WKBℓ(χ) = B ln

√

-χρ

(24)

Λ² + B

∫

⁽r₊)

– фаза релятивистской кулоновской функции в

I₂ ≈ drχ(r) - Rχ + λB ln

(22)

ВКБ-приближении в рассматриваемых спиновых

случаях, вычисленная в точке поворота r₊ при

α_s ≪ 2Λsh χ.

где

α_sach χ

Отметим, что при a = 0, b = 2/mc² как ВКБ-

ρ=

условие квантования (23), так и выражение (24)

совпадают с аналогичными выражениями, взятыми

Наконец, подставляя в (20) выражения (21) и (22),

при m₁ = m₂ = m, которые были получены в бес-

приходим к ВКБ-условию квантования в случае

спиновом случае для произвольных масс [20].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ КВАНТОВАНИЯ

275

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

то можно ожидать, что они более полно учитывают

релятивистский характер взаимодействующих ча-

В настоящей работе в релятивистском квази-

стиц.

классическом приближении получены новые реля-

Автору приятно выразить искреннюю благодар-

тивистские выражения для условий квантования

ность О.П. Соловцовой за обсуждение полученных

псевдоскалярных, векторных и псевдовекторных

результатов, ценные замечания и техническую под-

мезонов. Рассмотрение проводится для случая, ко-

держку, А.Е. Дорохову, Ю.А. Курочкину, И.С. Са-

гда релятивистские кварки, составляющие мезо-

ны, взаимодействуют посредством несингулярных

цункевичу, В.В. Андрееву и А.В. Киселеву за об-

суждение полученных результатов, их комментарии

запирающих потенциалов, либо когда к несингу-

и стимулирующие дискуссии.

лярному потенциалу запирания добавляется ку-

лоновское взаимодействие. Для этой цели было

Работа выполнена при поддержке програм-

использовано полностью ковариантное конечно-

мы международного сотрудничества Республи-

разностное РКП-уравнение в трехмерном реляти-

ки Беларусь с ОИЯИ и Государственной про-

вистском r-представлении [11] для случая взаи-

граммы научных исследований на 2016-2020 гг.

модействия двух релятивистских спиновых частиц

“Конвергенция-2020”, подпрограмма “Микромир,

равных масс. РКП-уравнение решено релятивист-

плазма и Вселенная”.

ским ВКБ-методом. Установлено условие приме-

нимости ВКБ-приближения. Получены простые

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

формулы для определения спектра масс псевдо-

R. Barbieri, R. K ¨ogerler, Z. Kunszt, and R. Gatto,

скалярных, векторных и псевдовекторных мезо-

Nucl. Phys. B 105, 125 (1976).

нов, рассматриваемых как системы двух связанных

R. McClary and N. Byers, Phys. Rev. D 28, 1692

кварков.

(1983).

Показано, что в рамках рассматриваемого пол-

E. Etim and L. Sch ¨ulke, Nuovo Cimento A 77, 347

ностью ковариантного РКП-подхода в квантовой

(1983).

теории поля новые модифицированные реляти-

A. A. Logunov and A. N. Tavkhelidze, Nuovo Cimento

вистские квазиклассические условия квантования

29, 380 (1963).

устанавливают явную зависимость относительного

V. G. Kadyshevsky, Nucl. Phys. B 6, 125 (1968).

орбитального момента ℓ от энергии резонансов,

В. Г. Кадышевский, ЖЭТФ 46, 654, 872 (1964)

что определяет релятивистские траектории Редже

[Sov. Phys. JETP 19, 443, 597 (1964)]; Докл. АН

семейства мезонов как системы двух связанных

СССР 160, 573 (1965)

[Sov. Phys. Dokl. 10, 46

кварков. Полученные формулы позволяют учи-

(1965)].

тывать влияние константы кулоновского взаимо-

R. N. Faustov, Ann. Phys. (N. Y.) 78, 176 (1973).

действия α_s при вычислении уровней энергий и

N. B. Skachkov and I. L. Solovtsov, Preprint No. E2-

реджевских траекторий двухчастичных связанных

11727, JINR (Dubna, 1978); Н. Б. Скачков,

И. Л. Соловцов, ЯФ 30, 1079 (1979) [Sov. J. Nucl.

систем.

Phys. 30, 562 (1979)].

Установлено, что во всех трех рассматриваемых

N. B. Skachkov and I. L. Solovtsov, Preprint No. E2-

спиновых случаях (псевдоскалярных, векторных и

11678, JINR (Dubna, 1978); Н. Б. Скачков,

псевдовекторных мезонов) модифицированное ре-

И. Л. Соловцов, ТМФ 41, 205 (1979) [Theor. Math.

лятивистское квазиклассическое условие кванто-

Phys. 41, 977 (1979)].

вания, когда к несингулярному потенциалу запи-

10.

А. Д. Линкевич, В. И. Саврин, Н. Б. Скачков, ТМФ

рания добавляется кулоновское взаимодействие,

53, 20 (1982) [Theor. Math. Phys. 53, 955 (1982)].

включает в себя поправочный член в виде фа-

11.

V. G. Kadyshevsky, R. M. Mir-Kasimov, and

зы релятивистской кулоновской функции в ВКБ-

N. B. Skachkov, Nuovo Cimento A 55, 233 (1968).

приближении, взятой в точке поворота r₊, которая

12.

Ю. Д. Черниченко, ЯФ 80, 396 (2017)

[Phys. At.

соответствует несингулярному запирающему (кон-

Nucl. 80, 707 (2017)].

файнментному) потенциалу.

13.

N. B. Skachkov and I. L. Solovtsov, Preprint No. E2-

81-760, JINR (Dubna, 1981); Н. Б. Скачков, И.

Получены условия квантования для псевдоска-

Л. Соловцов, ТМФ 54, 183 (1983)

[Theor. Math.

лярных, векторных и псевдовекторных мезонов,

Phys. 54, 116 (1983)].

отвечающих линейному потенциалу (1), которые

14.

V. I. Savrin and N. B. Skachkov, Lett. Nuovo Cimento

отличаются от условия квантования для линейного

29, 363 (1980).

потенциала в бесспиновом случае. Показано, что

15.

А. В. Сидоров, Н. Б. Скачков, ТМФ 46, 213 (1981)

учет спина приводит к увеличению значений уров-

[Theor. Math. Phys. 46, 141 (1981)]; Препринт

ней энергии, отвечающих фиксированным значени-

Р2-80-45, ОИЯИ (Дубна, 1980); V. I. Savrin,

ям n и ℓ.

A. V. Sidorov, and N. B. Skachkov, Hadronic J. 4,

Поскольку выражения для релятивистских ква-

1642 (1981).

зиклассических условий квантования мезонов по-

16.

D. Ebert, R. N. Faustov, and V. O. Galkin, Phys. Lett.

лучены в рамках полностью ковариантного метода,

B 635, 93 (2006).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№3

2020