ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 4, с. 317-325
ЯДРА
ЭМИССИЯ ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧНЫХ ПРОТОНОВ И ФОТОНОВ
В СТОЛКНОВЕНИЯХ ТЯЖЕЛЫХ ИОНОВ В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ
ПОДХОДЕ С НЕРАВНОВЕСНЫМ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ
© 2020 г. А. Т. Дьяченко1),2)*, И. А. Митропольский2)
Поступила в редакцию 25.12.2019 г.; после доработки 25.12.2019 г.; принята к публикации 25.12.2019 г.
При описании динамики столкновения тяжелых ионов средних и промежуточных энергий использу-
ется гидродинамический подход с неравновесным уравнением состояния. В развитие этого подхода с
включением эффектов ядерной вязкости и введением поправки на микроканоническое распределение
вычислены двойные дифференциальные сечения испускания протонов и фотонов при столкновениях
различных ядер, которые находятся в согласии с имеющимися экспериментальными данными по
эмиссии высокоэнергетических частиц, включая кумулятивную область спектра. В рамках такого
подхода удалось воспроизвести высокоимпульсные распределения протонов в реакции12С +9Be →
→ p + X при энергии ионов 12С 300, 600, 950 и 2000 МэВ/нуклон, а также энергетические спектры
жестких фотонов для реакции12С +9Be → γ + X при энергии ионов12С 2.0 и 3.2 ГэВ/нуклон.
DOI: 10.31857/S004400272004008X
1. ВВЕДЕНИЕ
равновесной релятивистской гидродинамики иде-
альной жидкости. В наших работах [7-12] было
К настоящему времени техника расчетов столк-
показано, что локальное термодинамическое рав-
новений тяжелых ионов достигла весьма высо-
новесие в процессе столкновений тяжелых ионов
кого уровня. Наряду с молекулярной динамикой
устанавливается не сразу, поскольку на стадии
и решением динамического уравнения Больцма-
сжатия важна неравновесная компонента функ-
на эффективным методом описания взаимодей-
ции распределения, приводящая к формированию
ствия тяжелых ионов при средних и промежу-
бесстолкновительной ударной волны, аналогично
точных энергиях является ядерная гидродинамика
бесстолкновительным ударным волнам в расчетах
(см., например, [1-6]). В [1] при средних энер-
по зависящему от времени методу Хартри-Фока
гиях ионов используется равновесное уравнение
(TDHF) [13].
состояния (EOS), предполагающее установление
Динамика процесса столкновения тяжелых
в системе локального термодинамического равно-
ионов предполагает использование неравновесного
весия. В области энергий строящегося в ОИЯИ
уравнения состояния с учетом эффектов ядерной
(Дубна) ускорительного комплекса “НИКА” бы-
вязкости
[7-12]. Это позволило нам описать
ло дано успешное описание экспериментальных
энергетические спектры протонов, пионов и легких
данных в рамках одножидкостной релятивистской
фрагментов при столкновении различных ядер в
гидродинамики [2]. При высоких энергиях исполь-
диапазоне средних энергий [10-12], за исключе-
зуются двухжидкостная [3] и трехжидкостная [4]
нием высокоэнергетических “хвостов” спектров
релятивистские гидродинамики с учетом отклоне-
протонов, полученных в [14], которые не воспроиз-
ния функции распределения от локально равно-
водятся вблизи кинематического предела спектра.
весной. В [5, 6] для энергий ускорителя “НИКА”
При использовании нами большого канонического
предложено использовать гибридную модель, ко-
ансамбля для функции распределения испуска-
торая включает в себя быструю неравновесную
емых протонов эти “хвосты” получаются более
кинетическую стадию и последующее описание ди-
жесткими. В данной работе нам удалось введением
намики ядерно-ядерного столкновения на основе
поправки на микроканоническое распределение в
высокоэнергетической части спектра воспроизве-
1)Петербургский государственный университет путей со-
сти экспериментальные данные [14] без нарушения
общения Императора Александра I, Санкт-Петербург,
согласия с другими данными. Кроме того, нам уда-
Россия.
лось получить в согласии с экспериментом высоко-
2)НИЦ “Курчатовский институт”— ПИЯФ, Гатчина, Рос-
сия.
импульсные распределения протонов как в реакции
*E-mail: dyachenko_a@mail.ru
12С +9Be → p + X при энергии ионов12С 300, 600
317
318
ДЬЯЧЕНКО, МИТРОПОЛЬСКИЙ
и 950 МэВ/нуклон, так и дополнительно к [15] при
фактор. Члены взаимодействия для плотности
энергии 2.0 ГэВ/нуклон под углом наблюдения 3.5◦
энергии eint и давления Pint соответственно равны
[16], которые относятся к кумулятивной области и
∫ρ
скорее качественно описываются “молекулярной
d(eint/ρ)
eint = W(ρ)dρ, Pint = ρ2
(2)
динамикой” и другими каскадными моделями.
dρ
0
Наконец, мы описали энергетические спектры
жестких фотонов, образующихся в реакции12С +
Входящий в члены взаимодействия самосогла-
+9Be → γ + X при энергии ионов углерода 2.0 и
сованный потенциал W (ρ) задается также, как
3.2 ГэВ/нуклон [17]. Эти реакции эксперименталь-
это делается в случае зависящих от плотности ρ
но изучались на ускорителе ИТЭФ. При описании
эффективных сил типа сил Скирма:
экспериментальных данных мы упростили расче-
W (ρ) = αρ + βρχ,
(3)
ты, рассматривая гидродинамическую эволюцию
выделенной области локального нагрева hot spot,
где три параметра α(α < 0), β(β > 0) и χ(χ > 1)
что приближает наш подход к моделям файербола
определяются заданием значений равновесной
и файерстрика [18, 19], позволившим в первом при-
плотности ρ0 = 0.145 Фм-3, энергии связи Eb =
ближении описать выходы высокоэнергетических и
= -16 МэВ и модуля сжатия K = 210 МэВ.
странных частиц.
Время релаксации здесь выбрано в традиционной
форме τ = λ/υT [10], где длина свободного пробега
нуклонов λ = 1/σρ, σ ≈ 40 мбн — элементарное
2. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО
полное нуклон-нуклонное сечение, ρ — нуклон-
ПОДХОДА
ная плотность, υT — средняя скорость теплового
движения нуклонов. При низких энергиях для
Для нахождения нуклонной функции распре-
выбранной формы τ его численное значение близко
деления f(r, p, t), (где r(x1, x2, x3) — простран-
к значению, полученному для жидкости Ферми [20].
ственная координата, p(p1, p2, p3) — импульс, t —
При высоких энергиях нужно вместо сечения σ,
время) при промежуточных энергиях сталкиваю-
вообще говоря, подставлять транспортное сечение
щихся тяжелых ионов мы используем кинетическое
σT , что увеличивает величину τ. При больших вре-
уравнение [10-12]:
менах релаксации можно использовать уравнения
неравновесной длиннопробежной гидродинамики
df
f0 - f
в приближении локальной плотности
[9] (см.
=
,
(1)
dt
τ
также [21]).
где f0(r, p, t) — локально равновесная функция
Решение уравнения (1) можно упростить, если
распределения, τ — время релаксации.
искать функцию распределения в виде
Уравнение (1) должно решаться совместно с
f (r, p, t) = f1q + f0(1 - q),
(4)
уравнениями гидродинамики, следующими из (1)
где f1(r, p, t) соответствует состоянию с дефор-
взятием моментов с весом 1, p, p2 в импульсном
мированной ферми-поверхностью, q(r, t)(0 ≤ q ≤
пространстве для нахождения функции распре-
≤ 1) — релаксационный фактор, находящийся из
деления f(r, p, t), а также плотности ρ(r, t) =
кинетического уравнения с помощью взятия мо-
∫
d3p
мента с весом p2|| - p2⊥, определяющего степень
=g
f
, температуры T(r,t) и плотности i-й
(2πℏ)3
анизотропии функции распределения в импульс-
∫
d3p
ном пространстве [7-12] (p|| и p⊥ — продольная и
компоненты импульса mρυi(r, t) = g
pif
,
(2πℏ)3
поперечная составляющие импульса соответствен-
но). При q = 0 получаем уравнения равновесной
определяющих локально равновесную функцию
гидродинамики, а при q = 1 — уравнения нерав-
распределения f0(r, p, t). Плотность внутренней
новесной длиннопробежной гидродинамики. Это
энергии e = ekin + eint и тензор давления Pij =
приводит к необходимости использовать в качестве
= Pkin,ij + Pintδij, входящие в уравнения гидроди-
кинетической части тензора давления
намики, являются суммой кинетических членов и
членов взаимодействия.
Pkin,ij = P(kin,1)ijq + P(kin,0)(1 - q)δij,
(5)
Здесь кинетические члены ekin(r, t), Pkin,ij(r, t)
где P(kin,1)ij — неравновесный анизотропный тен-
и вектор плотности теплового потока Qi(r, t) вы-
зор давления, соответствующий деформированной
ражаются через функцию распределения f(r, p, t),
ферми-поверхности, которая выбирается в форме
индексы i, j = 1, 2, 3, δij — символ Кронекера, ℏ —
ферми-эллипсоида, деформированного с завися-
постоянная Планка, g = 4 — спин-изоспиновый
щим от плотности ρ(r, t) параметром деформации
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83
№4
2020
ЭМИССИЯ ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧНЫХ ПРОТОНОВ И ФОТОНОВ
319
и размытого в продольном направлении с темпера-
ρ/ρ0
турным параметром T1(r, t); P(kin,0)δij — изотроп-
2.8
ный тензор давления, соответствующий локаль-
ному термодинамическому равновесию. Кинетиче-
2.4
ские члены P(kin,1)ij и P(kin,0), включенные в дав-
ление, и кинетический член ekin, входящий в плот-
2.0
ность энергии e, определяются тепловым и ферми-
движением нуклонов. В процессе релаксации со-
храняются нуклонная плотность ρ(r, t), плотность
1.6
импульса mρ(r, t)υ(r, t) и плотность энергии e, а
температуру T1(r, t) можно найти через темпера-
1.2
туру T (r, t) для локально равновесной функции
распределения f0(r, p, t), поскольку в процессе
0
100
200
300
400
500
релаксации сохраняется плотность энергии. В ре-
E0, МэВ/нуклон
зультате получается замкнутая система уравнений
для нахождения плотности ρ(r, t), поля скоростей
Рис. 1. Зависимость ρ/ρ0 hot spot от E0 в системе
υ(r, t), поля температур T (r, t) и релаксационного
равных скоростей сталкивающихся ядер для вычис-
ленного нами релаксационного фактора q (сплошная
фактора q(r, t), позволяющая найти функцию рас-
кривая), для q = 0 (штриховая) и для q = 1 (штрих-
пределения f(r, p, t).
пунктирная).
3. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ СТАДИЯ
[12] получается система обыкновенных интегро-
дифференциальных уравнений, которая решается
После выделения области локального нагрева
численно.
hot spot — области перекрытия сталкивающихся
ядер, нами анализируются стадии сжатия, расши-
Подставляя выражение для f(r, p, t) из уравне-
рения и разлета вещества в процессе столкновений
ния (1) через f0(r, p, t) с учетом уравнений гидро-
тяжелых ионов. На стадии сжатия формируются
динамики, находим поправки к кинетическим чле-
бесстолкновительные ударные волны с изменяю-
нам плотности энергии ekin и давления Pkin:
(
щимся фронтом [8-12], аналогичные ударным вол-
4
5
) ∂υ
нам по методу TDHF. Учет вязкости на стадии
ekin = e(kin,0) - τ
e(kin,0) +
eF
=
(6)
3
4
∂r
сжатия не существенен в рассматриваемой обла-
сти энергий из-за значительной степени сжатия и
3
∂υ
=e(kin,0) -
η
,
большой величины числа Рейнольдса, поэтому в
2
∂r
выражениях для давления (5) и плотности энергии
(
4
5
) ∂υ
ekin отсутствуют дисперсионные члены и размы-
Pkin = P(kin,0) - τ
P(kin,0) +
eF
=
(7)
тием ударно-волнового фронта можно пренебречь.
3
6
∂r
В качестве иллюстрации на рис. 1 приведена за-
∂υ
висимость максимальной степени сжатия ρ/ρ0 hot
=P(kin,0) -η
,
∂r
spot от энергии столкновения в системе равных
2
скоростей сталкивающихся ядер E0 для случая
где e(kin,0) = eF + I, P(kin,0) =
e(kin,0) — равно-
вычисляемого нами релаксационного фактора q
3
весные кинетические части плотности энергии
(сплошная кривая), для случая, когда q = 0 (штри-
и давления, eF — фермиевская часть плотно-
ховая), и для случая, когда q = 1 (штрихпунк-
сти энергии, I — тепловая, т.е. зависящая от
тирная). Эта зависимость практически не зависит
температуры T , часть плотности энергии, η =
от состава сталкивающихся ядер, поскольку рас-
(
)
4
5
сматривается взаимодействие областей перекры-
=
P(kin,0) +
eF τ — коэффициент вязкости.
тия сталкивающихся ядер.
3
6
На стадии расширения [8-12] по достиже-
Следующие поправочные члены оказываются на
порядок меньше, и они не учитываются. Тепловой
нии ударной волной границ hot spot происходит
поток Q = 0. В пределе идеального больцманов-
расширение первоначально сжатой системы, ко-
торое описывается с учетом ядерной вязкости,
ского газа выражения (6), (7) для радиального
найденной нами в релаксационном τ-приближении
движения среды вместе с выражением для ко-
[12]. Расширение hot spot происходит в соответ-
эффициента вязкости совпадают с формулами,
ствии с уравнениями гидродинамики, записан-
полученными в [22].
ными в сферической системе координат. После
В рассматриваемом диапазоне энергий на ста-
интегрирования уравнений по объему hot spot
дии расширения коэффициент вязкости η доста-
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83
№4
2020
320
ДЬЯЧЕНКО, МИТРОПОЛЬСКИЙ
mρυl
где M = 3N/2, N — число нуклонов в термостате,
точно велик (число Рейнольдса Re =
≤ 1).
η
E1 (E1 ≫ T) — энергия, которая близка к энергии
Это уменьшает скорость разлета hot spot и увели-
термостата, т.е. близка к кинематическому преде-
чивает его температуру. По достижении расширя-
лу для энергии системы. Нами выбиралось так-
ющейся ядерной системой критической плотности
же значение энергии E2 (E2 < E1), когда функ-
(плотности замораживания) ρ∗, определяемой из
ция распределения спадает на порядок по срав-
dPint
dW
нению с ее максимумом. При ε < E2 поправка δ
условия
=ρ
= 0, происходит формиро-
dρ
dρ
полагалась равной нулю. В промежутке энергий
вание вторичных частиц (нуклонов, фрагментов,
E2 < ε < E1 поправка находилась линейной ин-
пионов) и их разлет.
терполяцией между нулем и числом, определяе-
мым выражением (10). Здесь поправка δ найде-
на для больцмановского предела идеального га-
4. ДВОЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
за, поскольку отклонения от большого канониче-
СЕЧЕНИЕ ИСПУСКАНИЯ ПРОТОНОВ.
ского распределения ферми-газа проявляются на
СРАВНЕНИЕ
“хвостах” энергетических спектров, когда ферми-
С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ
распределение совпадает с больцмановским пре-
Двойное дифференциальное сечение испуска-
делом.
ния протонов в реакции A + B → p + X имеет вид
Вероятность микроканонического распреде-
(b — параметр удара)
ления для рассматриваемой системы в пределе
∫
d2σ
2π
больцмановского предела идеального газа имеет
=
G(b)bdb ×
(8)
вид
dEdΩ
(2πℏ)3
∫
(
)M
ε
× drγ(E - pυ)pf(r, p, t),
Wε = CM
1-
=
(11)
E
T
(
(
))
где функция распределения испускаемых протонов
ε
= CM exp M ln
1-
,
в пренебрежении неравновесной компонентой на
ET
стадии замораживания
где ε — кинетическая энергия системы, ET =
f (r, p, t) =
(9)
= MT — энергия термостата, CM — нормировоч-
[
]-1
(γ(E - pυ - μ) + Tδ)
ный множитель [23, 24]. В результате в пределе
= g exp
+1
3
T
большого числа частиц N при M =
N →∞
√
2
В (9) спиновый фактор g = 2, E =
p2 + m2,
выражение (11) переходит в большое каноническое
√
распределение
γ = 1/
1 - υ2 и p— полная энергия, Лоренц-
(
ε)
фактор и импульс протонов соответственно, Ω —
W0ε = CM exp
-
(12)
телесный угол, υ(r, t) — поле скоростей, G(b) —
T
фактор, учитывающий, что сечение образования
hot spot всегда больше геометрического. Действи-
Тем самым, на хвостах энергетических распре-
тельно, G(b) = σt/σ0, где σt = π〈Rb〉2 — полное
делений с помощью (11) мы можем найти поправку
сечение образования hot spot,
〈Rb〉 — средний
к микроканоническому распределению (10), кото-
радиус взаимодействия перекрывающихся частей
рое изменяет привычное распределение Ферми-
сталкивающихся ядер, σ0 - геометрическое сече-
Дирака, хорошо описывающее систему вдали от
ние перекрывающихся частей. Наконец, μ = μT +
хвостов спектра протонов. При этом в формулах
+ m —химический потенциал, который находится
(9), (10) учтено, что энергия системы пересчитыва-
из сохранения в среднем числа частиц для большо-
ется в соответствии с преобразованиями Лоренца.
го канонического ансамбля, T — температура, δ —
Величина энергии в распределении (9) отсчиты-
поправка на микроканоническое распределение,
вается от значения самосогласованного среднего
которая для кинетической энергии ε = E - m > E1
поля с учетом поверхностной энергии, поскольку
равна
нуклоны “запираются” средним полем.
[
(
)
γ(E - pυ) - m
Кроме вклада (8) в сечение от испускания про-
δ=
-M ln
1-
-
(10)
тонов из hot spot нами учитывался также вклад
MT
]
от слияния неперекрывающихся частей сталкива-
γ(E - pυ) - m
ющихся ядер — “спектаторов”. Это позволило нам
-
,
провести сравнение с имеющимися эксперимен-
T
тальными данными.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83
№4
2020
ЭМИССИЯ ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧНЫХ ПРОТОНОВ И ФОТОНОВ
321
d2σ/dEdΩ, мкбн (МэВ/с)-1
Сравнение вычисленных энергетических спек-
105
тров протонов, испускаемых в реакции
16O +
104
+27Al → p + X под углом 30◦ при энергии ионов
16O 207 МэВ (∼12 МэВ/нуклон) (кривые 1) и
103
310 МэВ (∼19 МэВ/нуклон) (кривые 2), с экспе-
102
риментальными данными представлено на рис. 2.
101
Наш расчет описывает данные [14] (до сих пор
2б
100
необъясненные) с учетом введенной поправки на
10-1
микроканоническое распределение. Без учета этой
1б
поправки спектры оказываются более жесткими.
10-2
2а
Соответствующие такому варианту расчета штрих-
10-3
1а
2
1
пунктирные кривые 1б и 2б идут заметно выше
10-4
экспериментальных точек. Рассчитанные спек-
0
20
40
60
80
100
120
140
тры, соответствующие неравновесному уравнению
E, МэВ
состояния (сплошные кривые), лучше согласу-
Рис. 2. Расчетные (сплошные кривые) и эксперимен-
ются с экспериментальными данными. Согласие
тальные (точки из [14]) энергетические спектры прото-
с экспериментом достигнуто для неравновесного
нов, испускаемых в реакции16O +27Al → p + X под
уравнения состояния с выбранным модулем сжатия
углом 30◦ при энергии ионов16O 207 МэВ (кривая 1
K = 210 МэВ и без нарушения согласия с другими
и •— экспериментальные точки, средняя температура
данными: для E = 207 МэВ средняя температура
hot spot 〈Th〉 равна 8.3 МэВ, химический потенциал
hot spot 〈Th〉 равна 8.3 МэВ, химический потенциал
〈μT 〉 ≈ 32.9 МэВ) и 310 МэВ (кривая 2 и ■ — экспе-
〈μT 〉 ≈ 32.9 МэВ, для E = 310 МэВ 〈Th〉 ≈ 10 МэВ,
риментальныеточки, 〈Th〉 ≈ 10 МэВ, 〈μT 〉 ≈ 31.2 МэВ,
средний радиус hot spot 〈Rh〉 ≈ 2 Фм). Кривые: штри-
〈μT 〉 ≈ 31.2 МэВ, средний радиус hot spot 〈Rh〉 ≈
ховые 1а и 2а — расчеты для равновесного уравнения
≈ 2 Фм.
состояния с q = 0, штрихпунктирные 1б и 2б — рас-
На рис. 3 приведены энергетические спектры
четы без поправки на микроканоническое распределе-
ние.
протонов, испускаемых в реакции14N +124Sn →
→ p + X под углами 45◦ (кривая 1), 62◦ (кри-
вая 2) и 90◦ (кривая 3) при энергии ионов14N
32 МэВ/нуклон. Рассчитанные спектры, соответ-
ствующие неравновесному уравнению состояния с
d2σ/dEdΩ, мкбн (МэВ/с)-1
учетом поправки на микроканоническое распреде-
102
ление (сплошные кривые), лучше согласуются с
экспериментальными данными [25], чем спектры,
101
вычисленные без учета этой поправки, которые
идут систематически выше экспериментальных то-
100
чек. Для этой реакции 〈Th〉 ≈ 11.4 МэВ, 〈μT 〉 ≈
≈ 30 МэВ, 〈Rh〉 ≈ 3 Фм. На концах эксперимен-
тальные спектры протонов несколько “срезаны”,
10-1
что не воспроизводится в наших расчетах.
1
На рис. 4-7 приведены импульсные спектры
10-2
3
2
протонов, испускаемых в реакции 12С +9Be →
→ p + X под углом 3.5◦ при энергии ионов 12С
10-3
0
20
40
60
80
100
300 МэВ/нуклон (рис. 4, при 〈Th〉 ≈ 35.9 МэВ,
E, МэВ
〈μT 〉 ≈ -7 МэВ, 〈Rh〉 ≈ 2 Фм), 600 МэВ/нуклон
(рис. 5), 950 МэВ/нуклон (рис. 6) и 2 ГэВ/нуклон
Рис. 3. Вычисленные с неравновесным уравнением
(рис. 7). Экспериментальные данные [16] отме-
состояния (сплошные кривые) и экспериментальные
чены точками. Кривые: 1 — наш расчет с уче-
(точки из [25]) энергетические спектры протонов, ис-
том поправки на микроканоническое распределе-
пускаемых в реакции14N +124Sn → p + X при энер-
ние, 2 — без учета этой поправки; результаты рас-
гии ионов14N 32 МэВ/нуклон под углами 45◦ (кривая
1 и • —экспериментальные точки), 62◦ (кривая 2 и
четов по транспортным кодам [16]: 3 — каскад-
■ — экспериментальные точки) и 90◦ (кривая 3 и ▴ —
ная модель [26], 4 — транспортная модель кварк-
экспериментальные точки); 〈Th〉 ≈ 11.4 МэВ, 〈μT 〉 ≈
глюонных струн [27], 5 — модель квантовой моле-
≈ 30 МэВ, 〈Rh〉 ≈ 3 Фм. Штриховые кривые — рас-
кулярной динамики (QMD), встроенной в монте-
четы без поправки на микроканоническое распределе-
карловский пакет GEANT4 [28]. Как видно из этих
ние.
рисунков, в кумулятивной области спектра наш
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83
№4
2020
322
ДЬЯЧЕНКО, МИТРОПОЛЬСКИЙ
d2σ/dEdΩ, бн (ГэВ/с)-1 ср-1
области. Однако в области малых импульсов при
102
энергиях 950 МэВ/нуклон и 2 ГэВ/нуклон наш
расчет несколько недооценивает эксперименталь-
ные данные, что может быть связано с вкладом от
протонов, образующихся в результате фрагмента-
ции12С. Поправка на микроканоническое распре-
деление проявляется в высокоимпульсной области
распределений протонов. Мы пересчитали резуль-
10-2
таты, приведенные в [15], корректно учитывая ре-
2
лятивистское движение системы равных скоростей
сталкивающихся ядер, в которой анализируется
4
1
временная эволюция hot spot, поэтому температу-
5
3
ры испускаемых протонов оказались выше.
10-6
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ
p, ГэВ/c
ЖЕСТКИХ ФОТОНОВ
Нам удалось воспроизвести также данные дру-
Рис. 4. Распределения протонов по лабораторному
гого эксперимента [17] по энергетическим спектрам
импульсу в реакции12C +9Be → p + X, испускаемых
под углом 3.5◦ при энергии12С 300 МэВ/нуклон.
жестких фотонов, испускаемых в реакции12С +
Кривые: 1 — наш расчет с поправкой на микроканони-
+9Be → γ + X при энергиях ядер12С, равных 2.0
ческое распределение; 2 — наш расчет без учета этой
и 3.2 ГэВ/нуклон.
поправки; 3, 4, 5 — результаты расчетов по транс-
портным кодам [16]: 3 — каскадная модель [26], 4 —
Для описания испускания прямых фотонов
транспортная модель кварк-глюонных струн [27], 5 —
можно использовать выражения (8) и (9), где
модель квантовой молекулярной динамики (QMD),
в качестве функции распределения фотонов ис-
встроенной в монте-карловский пакет GEANT4 [28].
пользовать функцию (9), положив везде массу
Точки — экспериментальные данные из [16].
фотонов и химический потенциал μ равными нулю,
поскольку число фотонов не задано. Кроме того,
для фотонов g = 2, а 1 в выражении (9) нужно
расчет согласуется с экспериментальными данны-
заменить на
-1, поскольку фотоны являются
ми [16], в отличие от транспортных подходов.
бозонами.
Спад сечений на пять порядков по величине
В выходы фотонов, кроме прямых, дают вклад
воспроизводится в нашем подходе не хуже монте-
карловских транспортных кодов. Причем некото-
фотоны от распада π0-мезонов π0 → γ + γ. Для
рые каскадные расчеты заметно недооценивают
определения выхода π0-мезонов необходимо, за-
экспериментальные данные в высоко-импульсной
менив в формуле (9) массу m на массу пионов mπ,
d2σ/dEdΩ, бн (ГэВ/с)-1 ср-1
d2σ/dEdΩ, бн (ГэВ/с)-1 ср-1
102
102
101
100
10-2
2
10-1
2
3
10-2
1
4
1
10-3
3
5
5
4
10-6
10-4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
p, ГэВ/c
p, ГэВ/c
Рис. 5. То же, что на рис. 4, при энергии ионов
Рис. 6. То же, что на рис. 4, при энергии ионов12С
12С
600 МэВ/нуклон и 〈Th〉 ≈ 54.9 МэВ, 〈μT 〉 ≈
≈ -51.2 МэВ.
950 МэВ/нуклон и 〈Th〉 ≈ 70 МэВ, 〈μT 〉 ≈ -93 МэВ.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83
№4
2020
ЭМИССИЯ ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧНЫХ ПРОТОНОВ И ФОТОНОВ
323
d2σ/dEdΩ, бн (ГэВ/с)-1 ср-1
p-1d2σ/dEdΩ, отн. ед.
102
102
101
100
−3
10-1
10
2
10-2
1
5
4
10-3
3
2
1
10-4
10-8
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
p, ГэВ/c
E, ГэВ
Рис. 7. То же, что на рис. 4, при энергии ионов12С 2.0
Рис. 8. Расчетные (сплошные кривые) и эксперимен-
ГэВ/нуклон и 〈Th〉 ≈ 92 МэВ, 〈μT 〉 ≈ -172 МэВ.
тальные (точки из [17]) энергетические спектры фото-
нов, испускаемых в реакции12C +9Be → γ + X под
углом 38◦ при энергии ионов12С 2.0 ГэВ/нуклон (кри-
химический потенциал положить равным нулю, g
вые 1 и ■ — экспериментальные точки, 〈Th〉 ≈ 92 МэВ,
приравнять 1 и снова в формуле (9) 1 заменить
〈μT 〉 ≈ -172 МэВ) и 3.2 ГэВ/нуклон (кривые 2 и • —
экспериментальные точки, 〈Th〉 ≈ 120 МэВ, 〈μT 〉 ≈
на -1. В сечение рождения π0-мезонов помимо
≈ -255 МэВ). Кривые: штриховые — наш расчет с
тепловых π0 вносит также вклад канал распада
учетом только прямых фотонов, штрихпунктирные —
Δ → p + π0, который мы включили в рассмотрение
наш расчет без поправки на микроканоническое рас-
пределение.
аналогично [3, 29]. Спектр распадных фотонов при
этом получается сверткой энергетического спектра
π0 с распределением фотонов dN по энергиям в
В качестве иллюстрации на рис. 8 приведены
dEлаб.сист. .
спектры кумулятивных фотонов, испускаемых
Действительно [30, 31], в системе покоя пиона
под углом 38◦ при энергиях 2.0 ГэВ/нуклон и
фотоны распределены изотропно по направлени-
3.2 ГэВ/нуклон (экспериментальные точки из [17]
ям dN = dΩ∗/4π = 1/2|dcos θ∗|. Энергия фотона
Eлаб.сист. связана с величинами E∗ и p∗, относящи-
и сплошные кривые 1, 2). Для E = 2.0 ГэВ/нуклон
мися к системе покоя пиона соотношением (υπ —
〈Th〉 ≈ 92 МэВ,
〈μT 〉 ≈ -172 МэВ, для E =
скорость пиона, |p∗| = p∗ = E∗ — модуль импуль-
= 3.2
ГэВ/нуклон
〈Th〉 ≈ 120 МэВ,
〈μT 〉 ≈
са фотона в системе покоя пиона):
≈-255 МэВ. Экспериментальные спектры [17]
∗
(они даны в относительных единицах и поэтому
E∗ + p∗υπ cos θ
E =
√
(13)
“привязаны” к расчетным кривым) согласуются
1-υ2π
с нашими расчетами. В случае включения только
прямых фотонов (штриховые кривые) расчетный
Выражая |d cos θ∗| через dE, получим нормиро-
спектр оказывается мягче экспериментального
ванное на единицу распределение (для каждого из
(расчетные кривые идут ниже точек), а с учетом
двух фотонов):
вклада от распада π0 он описывает кумулятивную
1
√
область спектра. Если пренебречь поправкой на
dN =
1 - υ2πdE.
(14)
2υπp∗
микроканоническое распределение (штрихпунк-
тирные кривые), то вычисленный спектр оказыва-
Распределение (14) не зависит от энергии фо-
ется жестче экспериментального.
тона в лабораторной системе. Энергия фотона
E согласно (13) изменяется в пределах от E =
(E∗ - p∗υπ)
(E∗ + p∗υπ)
=
√
до E =
√
, что позволяет
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1-υ2π
1-υ2π
выразить отсюда пределы изменения энергии пио-
Таким образом, в настоящей работе в рам-
√
на Eπ = mπ/
1 - υ2π. Поправка на микроканони-
ках простой модели получила дальнейшее разви-
ческое распределение для фотонов и пионов была
тие идея использования при описании столкнове-
включена в рассмотрение аналогично рассмотрен-
ний тяжелых ионов гидродинамического подхода с
ному выше случаю для протонов.
неравновесным уравнением состояния. С теми же
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83
№4
2020
324
ДЬЯЧЕНКО, МИТРОПОЛЬСКИЙ
фиксированными параметрами уравнения состоя-
8.
А. Т. Дьяченко, К. А. Гриднев, Изв. РАН. Сер. физ.
ния, как и в предыдущих работах [10-12], посвя-
77, 943 (2013) [Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 77, 857
щенных описанию дифференциальных сечений об-
(2013)].
разования протонов, пионов и легких фрагментов,
9.
A. T. D’yachenko, K. A. Gridnev, and W. Greiner,
описаны высокоимпульсные спектры протонов, ис-
J. Phys. G 40, 085101 (2013).
10.
А. Т. Дьяченко, И. А. Митропольский, Изв. РАН.
пускаемых в столкновениях тяжелых ионов в ши-
Сер. физ. 80, 1004 (2016) [Bull. Russ. Acad. Sci.
роком диапазоне энергий, а также энергетические
Phys. 80, 916 (2016)].
спектры жестких фотонов, включая кумулятивную
11.
А. Т. Дьяченко, И. А. Митропольский, Изв. РАН.
область спектра.
Сер. физ. 81, 1720 (2017) [Bull. Russ. Acad. Sci.
Новым по сравнению с предыдущими работа-
Phys. 81, 1521 (2017)].
ми явилось включение в рассмотрение эффектов
12.
А. Т. Дьяченко, И. А. Митропольский, в сб.: Памя-
ядерной вязкости, найденной нами в релаксацион-
ти К. А. Гриднева. К 80-летию со дня рождения
ном τ-приближении для кинетического уравнения,
(НИЦ “Курчатовский институт”-ПИЯФ, Гатчина,
а также поправки на микроканоническое распре-
2018), c. 63.
деление, проявляющейся в области высокоэнерге-
13.
P. Bonche, S. Koonin, and J. W. Negele, Phys. Rev. C
тических “хвостов” спектров протонов и фотонов.
13, 1226 (1976).
При промежуточных энергиях в кумулятивной об-
14.
S. I. Gogolev, M. I. Gostkin, S. I. Merzlyakov,
ласти импульсных спектров протонов и энергети-
K. O. Oganesyan, E. A. Pasyuk, S. Yu. Porokhovay,
ческих спектров фотонов важен учет испускания
R. Woski, М. P. Ivanov, I. P. Kuznetsov,
Yu. Ts. Oganessian, Yu. E. Penionzhkevich, and
протонов из образующегося hot spot и их испус-
Yu. G. Sobolev, in Proceedings of the International
кания в результате слияния неперекрывающихся
School-Seminar on Heavy Ion Physics, Vol. 2,
областей сталкивающихся ядер. Это может объ-
Dubna, 1993, Ed. by Yu. Ts. Oganessian et al.
яснить аппроксимацию экспериментальных дан-
(JINR, Dubna, E7-93-274, 1993), p. 66.
ных двумя экспонентами со своими температу-
15.
A. T. D’yachenko and I. A. Mitropolsky, EPJ Web
рами, проведенную в [16]. Следует отметить, что
Conf. 204, 03018 (2019).
остается вопрос о правомерности использования
16.
Б. М. Абрамов, П. Н. Алексеев, Ю. А. Бородин,
макроскопических параметров к легким системам.
С. А. Булычев, И. А. Духовской, А. П. Крутенкова,
Но в нашем случае среднее число частиц в hot
√
В. В. Куликов, М. А. Мартемьянов, М. А. Мацюк,
spot N ∼ 10, и дисперсия ∼1/
N ≪ 1 не столь
С. Г. Машник, Е. Н. Турдакина, А. И. Ханов, ЯФ 78,
велика. Поправка на микроканоническое распре-
403 (2015) [Phys. At. Nucl. 78, 373 (2015)].
деление улучшает описание эксперимента. “Плечо”
17.
И. Г. Алексеев, А. А. Голубев, В. С. Горячев,
в кумулятивной области спектра протонов воспро-
Г. Б. Дзюбенко, А. Г. Долголенко, Н. М. Жигарева,
изводится в нашем подходе и, как видно, иногда оно
С. М. Киселев, К. Р. Михайлов, Е. А. Морозова,
воспроизводится в транспортных каскадных кодах.
П. А. Полозов, М. С. Прокудин, Д. В. Романов,
Д. Н. Свирида, А. В. Ставинский, В. Л. Столин,
Возможно, такое согласие связано с перерассея-
Г. Б. Шарков, ЯФ 78, 995 (2015) [Phys. At. Nucl.
нием пионов, как было получено в [32].
78, 936 (2015)].
Авторы благодарны В.В. Вечернину, В.Н. Кова-
18.
G. D. Westfall, J. Gosset, P. J. Johansen,
ленко, В.Ю. Петрову, М.Б. Жалову и А.В. Ставин-
A. M. Poskanzer, W. G. Meyer, H. H. Gutbrod,
скому за полезные обсуждения, а также В.В. Ку-
A. Sandoval, and R. Stock, Phys. Rev. Lett. 37, 1202
ликову за предоставление экспериментальных дан-
(1976).
ных [16].
19.
К. К. Гудима, В. Д. Тонеев, ЯФ 42, 645 (1985) [Sov.
J. Nucl. Phys. 42, 409 (1985)].
20.
G. Bertsch, Z. Phys. A 289, 103 (1978).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
21.
В. М. Коломиец, в сб.: Коллективная ядерная ди-
1. H. St ¨ocker and W. Greiner, Phys. Rep. 137, 277
намика, под ред. Р. В. Джолоса (Наука, Ленинград,
(1986).
1990), с. 67.
2. A. V. Merdeev, L. M. Satarov, and I. N. Mishustin,
22.
K. Хуанг, Статистическая механика (Мир,
Phys. Rev. C 84, 014907 (2011).
Москва, 1966).
3. И. Н. Мишустин, В. Н. Русских, Л. М. Сатаров, ЯФ
23.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Cтатистическая
54, 429 (1991) [Sov. J. Nucl. Phys. 54, 260 (1991)].
физика, ч. 1 (Наука, Москва, 1976).
4. Yu. B. Ivanov, V. N. Russkikh, and V. D. Toneev, Phys.
24.
А. И. Ансельм, Основы статистической физики
Rev. C 73, 044904 (2006).
и термодинамики (Наука, Москва, 1973).
5. А. С. Хворостухин, В. Д. Тонеев, Письма в ЭЧАЯ
25.
V. V. Avdeichikov, A. I. Bogdanov, O. V. Lozhkin,
14, 22 (2017) [Phys. Part. Nucl. Lett. 14, 9 (2017)].
Yu. A. Murin, M. Berg, I. Carlen, R. Eimer,
6. А. С. Хворостухин, В. Д. Тонеев, ЯФ 80, 161 (2017)
B. Jakobsson, B. Noren, J. P. Bondorf, K. Sneppen,
[Phys. At. Nucl. 80, 285 (2017)].
J. Nyberg, L. Westerberg, M. Guttormsen, E. Olberg,
7. А. Т. Дьяченко, ЯФ 57, 2006 (1994) [Phys. At. Nucl.
T. F. Thorsteinsen, and G. Lovhoiden (CHIC-
57, 1930 (1994)].
Collab.), in Proceedings of the International
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83
№4
2020
ЭМИССИЯ ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧНЫХ ПРОТОНОВ И ФОТОНОВ
325
School-Seminar on Heavy Ion, Physics, Vol. 2,
29. А. T. D’yachenko and V. N. Baryshnikov, in
Dubna, 1993, Ed. by Yu. Ts. Oganessian et al. (JINR,
Proceedings of the Baldin ISHEPP XIX, Vol. 2,
Dubna, E7-93-274, 1993), p. 238.
Dubna, 2008, Ed. by A. N. Sissakian et al. (JINR,
26. A. V. Dementev and N. M. Sobolevsky, Nucl. Tracks
Dubna, 2008), p. 234.
Radiat. Meas. 30, 553 (1999).
30. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля (Наука,
27. S. G. Mashnik, K. K. Gudima, R. E. Prael, A. J. Sierk,
Москва, 1976).
M. I. Baznat, and N. V. Mokhov, LA-UR-08-2931
31. В. И. Гольданский, Ю. П. Никитин, И. Л. Розен-
(Los Alamos, 2008); arXiv: 0805.0751 [nucl-th].
таль, Кинематические методы в физике высо-
28. T. Koi, D. H. Wright, G. Folger, V. Ivanchenko,
ких энергий (Наука, Москва, 1987).
M. Kossov, N. Starkov, A. Heikkinen, P. Truscott,
32. М. А. Браун, В. В. Вечернин, ЯФ 43, 1579 (1986)
F. Lei, and H. P. Wellisch, AIP Conf. Proc. 896, 21
(2007).
[Sov. J. Nucl. Phys. 43, 1016 (1986)].
EMISSION OF HIGH ENERGY PROTONS AND PHOTONS IN HEAVY ION
COLLISIONS IN THE HYDRODYNAMIC APPROACH
WITH A NON-EQUILIBRIUM EQUATION OF STATE
A. T. D’yachenko1),2), I. A. Mitropolsky2)
1) Emperor Alexander I Petersburg State Transport University, St. Petersburg, Russia
2) National Research Centre “Kurchatov Institute” — PNPI, Gatchina, Russia
A hydrodynamic approach with a non-equilibrium equation of state is used to describe the collisions of
heavy ions at medium and intermediate energies. In the development of this approach, with the inclusion
of nuclear viscosity effects and the introduction of an amendment to the microcanonical distribution,
the double-differential cross sections of proton and photon emission in collisions of different nuclei are
calculated, which are in agreement with the available experimental data on the emission of high-energy
particles, including the cumulative spectral region. We were able to reproduce the high-momentum proton
distributions in the12С +9Be → p + X reaction at the 300, 600, 950, and 2000 MeV/nucleon energies
of12С ions, as well as the hard photon energy spectra in the12С +9Be → γ + X reaction at 2.0 and
3.2 GeV/nucleon energies of carbon ions.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83
№4
2020
