ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 4, с. 336-343

ЯДРА

УСЛОВИЯ T-ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

СЕЧЕНИЙ БИНАРНЫХ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ С УЧАСТИЕМ

ОРИЕНТИРОВАННЫХ ПО СПИНАМ ЯДЕР И ЧАСТИЦ

Поступила в редакцию 25.12.2019 г.; после доработки 25.12.2019 г.; принята к публикации 25.12.2019 г.

При использовании условия T-инвариантности для амплитуд произвольных бинарных ядерных

реакций с ориентированными по спинам частицами и обращенных к ним по времени реакций впервые

получено соотношение между дифференциальными сечениями указанных реакций. Рассмотренные

выше сечения определялись при использовании наборов потенциалов взаимодействия между части-

цами начального и конечного каналов реакций без учета любых спин-орбитальных взаимодействий.

Полученное соотношение включает случай, отвечающий реализации известного ранее принципа

детального равновесия. При использовании этого соотношения получены равенства для различных

компонент анализируемых сечений, обусловленных единым механизмом появления и обладающих

одинаковыми P - и T -четностями. Указанные равенства позволили доказать существование ряда

компонент сечений, обращающихся в нуль при учете T -инвариантности, что приводит к новым

возможностям в исследовании неинвариантных по обращению времени взаимодействий в ядерных

реакциях.

DOI: 10.31857/S0044002720040133

1. ВВЕДЕНИЕ

реализует достаточно хорошо известный в физике

ядерных реакций принцип детального равновесия

Анализ влияния инвариантности квантовых си-

[5]. Наконец, на основе S-матричной теории ядер-

стем к обращению времени (T -инвариантности)

ных реакций [2-5, 9, 10] при использовании усло-

[1-5] на поведение указанных систем является од-

вия T -инвариантности для исследуемых систем

ной из актуальных задач ядерной физики. Особый

[1-5] в [11, 12] продемонстрировано равенство

интерес вызывает учет подобного влияния на соот-

дифференциальных сечений реакций dσ_β,α/dΩkβ

ношение дифференциальных сечений dσ_β,α/dΩkβ

и dσ¯α,

/dΩ

k_α

. В качестве исходной рассматрива-

бинарной ядерной реакции α → β и dσ¯α,

/dΩ¯ ре-_k

лась упругая бинарная ядерная реакция α → β с

акци

β→ α,где α

β — обращенные по времени

участием в начальном α- и конечном β-каналах

состояния частиц в начальном α- и конечном β-

одинаковых по составу и спинам пар частиц a и A

каналах исходной реакции. При этом в начальном

при достаточно жесткой связи ориентаций спинов

и конечном каналах реакции α → β присутству-

указанных частиц во входном и выходном кана-

ют компоненты, ориентированные по спинам пар

лах реакции. На основе этого равенства доказана

частиц a, A и b, B (среди них могут быть раз-

теорема об отсутствии обращающихся в нуль T -

личные атомные ядра и элементарные частицы).

инвариантных наблюдаемых (T -нуль наблюдае-

К сожалению, подобный учет проведен лишь в

мых) в сечениях указанных реакций при исполь-

двух сравнительно простых случаях. В работах [5-

зовании представлений S-матриц, учитывающих

8] при использовании условий T -инвариантности

только общие законы сохранения при не завися-

для амплитуд указанных реакций продемонстриро-

щем от “динамических допущений” подходе, ори-

вана пропорциональность дифференциальных се-

ентированном на любые известные и, в принципе,

чений dσ_β,α/dΩkβ и dσ¯α,

/dΩ¯ в случае пол-_k

неизвестные динамические механизмы протекания

ностью неориентированных по спинам частиц в

анализируемых реакций. Таким образом, общая

начальном канале α исходной реакции α → β и

задача нахождения связи сечений произвольных

начальном канал

β реакци

β → α, обращенной

исходной и обращенной к ней по времени бинарных

по времени. Такая пропорциональность сечений

реакций с участием ориентированных частиц не

решена до сих пор.

¹⁾Воронежский государственный университет, Воронеж,

Россия.

Целью настоящей работы является получение

^*E-mail: kadmensky@phys.vsu.ru

соотношений, базирующихся на исследованных в

336

УСЛОВИЯ T -ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

337

[1-5, 7, 8] условиях T -инвариантности и связыва-

В (3) ϕ_αsm (x_α) — волновая функция, выражае-

ющих между собой T -четные (even) и T -нечетные₍

мая через внутренние волновые функции ϕasama

)

dσ_β,α

⁽ dσ

и ϕAsAm_A частиц a и A в канале α со спинами

(odd) компоненты

в диф-

s_a и s_A (их проекциями m_a и m_A) при значениях

dΩkβ

dΩ

e,o

k_α e,o

суммарного спина канала s и его проекции m:

∑

ференциальных сечениях dσ_β,α/dΩkβ и dσ¯α,

/dΩk_α

ϕαsm (xα) =

C^sm

(4)

sasAmamA

бинарных ядерных реакций α → β и обращенных к

mamA

ним по времени реакци

β → α с ориентированны-

ми по спинам частицами в начальных и конечных

× ϕasama (xa)ϕAsAmA (xA),

каналах реакций. Компоненты дифференциального

причем x_α — набор координат, выражаемый через

сечения реакци

β → α определены при использо-

полные наборы x_a и x_A пространственных, спино-

вании спиновой матрицы плотности

ее входного

вых и других координат частиц a и A.

канала, однозначно связанной с матрицей плот-

Плоская волна eikαr^α в (3) описывает отно-

ности ρ_α начального канала α исходной реакции

сительное движение частиц a и A с волновым

α → β, учитывающей только векторы поляризации

вектором k_α и координатой r_α = R_a - R_A, где

Pa и PA частиц a, A. Полученные соотношения

R_a и R_A — координаты центров масс указанных

в случае единых механизмов появления сравни-

частиц. Ее парциальное разложение [2, 3] имеет

ваемых компонент исходной и обращенной к ней

стандартный вид

по времени реакций противоречат T -нуль теореме

∑

работ [11, 12], что позволяет проводить отбор ме-

eikαr^α =

4πi^lj_l (k_αr_α) ×

(5)

ханизмов, удовлетворяющих или не удовлетворя-

lm_l

ющих условиям T -инвариантности. В то же время

×Y^∗lm

(Ωkα ) Ylml (Ωrα ) .

появление обращающихся в нуль компонент диф-

ференциальных сечений исходной реакции α → β

Введем спин-орбитальную функцию начального

для всех известных T -инвариантных механизмов

φ^JMαls канала α реакции, зависящую от полного

позволяет оценивать роль T -неинвариантных вза-

спина квантовой системы J и его проекции M:

имодействий в ядерных системах.

∑

φ^JMαls (x_α) =

C^JMlsm′

i^l ×

(6)

m^′

2. УСЛОВИЯ T -ИНВАРИАНТНОСТИ

m^′m^′

ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

× Y_lm′

(Ωrα ) ϕ_αsm′ (x_α) ,

БИНАРНЫХ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ

обладающую правильными трансформационными

Исследуем бинарную ядерную реакцию вида

свойствами при обращении времени [3]. Тогда при

α → β, где в начальном α- и конечном β-каналах

использовании формул (4)-(6) функцию Φ_α (3)

реакции фигурируют произвольные частицы a, A

можно преобразовать к виду:

и b, B. Гамильтониан H анализируемой квантовой



∑∑

системы представляется как [9, 10]

Φ_α ≡

^ak_αsm

4πj_l (k_αr_α) ×

(7)

H=H_α +V_α =H_β +V_β,

(1)

JM lm_l

где H_α, H_β и V_α, V_β — невозмущенные части га-

×φ^JMαlsC^JMlsm

Y∗lm

(Ωkα) .

мильтониана H и потенциалы взаимодействия ча-

Аналогично можно определить волновую функ-

стиц в рассматриваемых каналах. Невозмущенные

цию конечного β-канала Φ_β = |βk_βσμ〉 при замене

взаимодействием волновые функции каналов Φ_α и

Φ_β являются решениями стационарных уравнений

в формуле (7) индексов k_α, r_α, l, s, m_l, m на

Шредингера:

индексы k_β, r_β, λ, σ, m_λ, μ.

Дифференциальное сечение dσβkβ σμ,αkαsm/dΩkβ

(H_α - E_α) Φ_α = 0; (H_β - E_β)Φ_β = 0,

(2)

реакции αk_αsm → βk_β σμ на основе формализма

S-матричной теории ядерных реакций [2-5, 9, 10]

причем энергии E_α и E_β начального и конечно-

в системе центра масс можно представить как

го каналов лежат на массовой поверхности ре-

акции, когда справедливо равенство E_α = E_β =

dσβkβ σμ,αkαsm

= |〈βk_βσμ| F |αk_αsm〉|² ,

(8)

= E, где E — полная энергия системы. В системе

dΩkβ

центра масс рассматриваемой квантовой системы,

где амплитуда указанной реакции 〈βk_β σμ| F |αk_αsm〉

где суммарные импульсы частиц в каналах α и β

выражается [2-5, 9, 10] через матричный элемент

равны нулю, волновая функция Φ_α определяется [4]

как

〈βk_βσμ|T |αk_αsm〉 оператора T :

Φ_α = ϕ_αsm (x_α)eikαr^α.

(3)

〈βk_βσμ|F |αk_αsm〉 =

(9)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

338

КАДМЕНСКИЙ и др.

√

При учете того, что энергии E_α и E_β

в формуле

k_β μ_αμ_β 〈βk_βσμ| T |αk_αsm〉 ,

(2) лежат на массовой поверхности реакции, когда

2πℏ²

k_α

E_α = E_β = E, соотношение (18) можно привести

где μ_α и μ_β — приведенные массы частиц в каналах

[4, 7, 8] к виду

α и β, а оператор T имеет вид [2-5, 9, 10]



_T

〈βk_βσμ|T |αk_αsm〉 = αk_αsm

^βk_βσμ . (19)

T = V_α + V_β (E - H + iη)-1 V_α.

(10)

Связь

(9)

матричного

элемента

Следуя представлениям работ [1-5], можно



αk_αsmT

^βk_β σμ и амплитуды обращенной по

ввести волновые функции

αkαsm

(βkβσμ ),

времени реакции 〈βk_β σμ| F |αk_αsm〉 при учете (19)

обращенные по времени к исходным

|αk_αsm〉

можно преобразовать в условие T -инвариантности

(|βk_β σμ〉), и определить связанные с ними соот-

для амплитуд исходной и обращенной к ней по

ношения:



времени реакций:

^αk_αsm = T|αkαsm〉;

(11)



〈βk_βσμ|F |αk_αsm〉 =

(20)

βkβσμ

= T|βk_βσμ〉,



αk_αsmF

^βk_β σμ .

где T — оператор обращения времени:

k_α

T = OK.

(12)

Аналогично

(8) дифференциальное сечение

В (12) K — оператор комплексного сопряжения, а

dσαkαsm,βk_β σμ/dΩkαреакцииβkβσμ→αkα^sm

O —унитарный оператор, удовлетворяющий усло-

можно представить как

вию



OH^∗O⁺ = H,

(13)

dσαkαsm,βk_β σμ

 αk_αsmF

^(βk_β σμ)

² ,

(21)

dΩ

k_α

где H^∗ — гамильтониан, комплексно-сопряженный

исходному гамильтониану H, определенному в

где телесный угол Ω¯ совпадает с телесным углом_k

(1), а O⁺ — эрмитово-сопряженный оператор к

Ωkβ , входящим в формулу (8) для дифференциаль-

унитарному оператору O. Согласно (12), (13),

ного сечения исходной реакции αk_αsm → βk_βσμ.

для произвольного оператора Q можно ввести

В результате можно получить [2-5] условие T-

обращенный к нему по времени операторQ [2-5]:

инвариантности для дифференциальных сечений

Q= TQ⁺T⁺.

(14)

исходной и обращенной к ней по времени реакций:

В этом случае обращенные по времени опе-

dσαkαsm,βk_β σμ

⁽kα )² dσβk_βσμ,αkαsm

(22)

раторы координаты r, импульса p, орбитального

dΩk_α

k_β

dΩkβ

момента l и спина s частицы, т.е. операторы r, p,

l, s, представляются как

Заметим, что рассматриваемые сечения реак-

ций αk_αsm → βk_βσμ и βk_βσμ → αk_αsm очень

r = r,

p = -p,

l = -l,

s = -s.

(15)

трудно определить экспериментально, поскольку

При использовании (11) для обращенных по

такие эксперименты требуют задания конкретных



значений спинов s, m и их проекций σ, μ для пар

времени функций

^αk_αsm

(βkβ σμ ) и опреде-

частиц, участвующих в реакции.

ления оператора

Q (14) можно получить [2-5]

соотношение между матричными элементами опе-

раторов Q иQ вида

3. УСЛОВИЯ T -ИНВАРИАНТНОСТИ



 Q

ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

〈βk_βσμ| Q |αk_αsm〉 = αk_αsm

βkβσμ . (16)

БИНАРНЫХ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ,

Выбирая в качестве оператора Q оператор T

В НАЧАЛЬНЫХ КАНАЛАХ КОТОРЫХ

(10) и используя условие самосопряженности га-

УЧАСТВУЮТ НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ

мильтониана H, можно получить [4, 7, 8] согласно

ПО СПИНАМ ЧАСТИЦЫ

(14) выражение для оператор

T , обращенного по

Если в начальном канале реакции αk_αsm →

времени к оператору T :

→ βk_βσμ суммарный спин s частиц ориентирован

T = V_α + Vα (E - H + iη)-1 V_β.

(17)

произвольно, а ориентация суммарного спина σ

σμ не измеряется, то

частиц конечного канала βk_β

Тогда из (16) следует связь между матричными

дифференциальное сечение dσβkβ ,αkα/dΩkβ^реак-

элементами операторов T

ции αk_α → βk_β может быть получено путем усред-



〈βk_β σμ| T |αk_αsm〉 = αk_αsm

^βk_β σμ .

(18)

нения сечения (8) по всем возможным значениям

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

УСЛОВИЯ T -ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

339

полных спинов s (σ) и их проекции m (μ) в началь-

4. УСЛОВИЯ T -ИНВАРИАНТНОСТИ

ном (конечном) каналах:

ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

БИНАРНЫХ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ

∑

dσβkβ ,αkα

С УЧАСТИЕМ ОРИЕНТИРОВАННЫХ

× (23)

ПО СПИНАМ ЧАСТИЦ

dΩkβ

(2s_a + 1) (2s_A + 1)

s=|sa-sA|

Рассмотрим теперь случай бинарной ядерной

∑

∑ σ∑

реакции, когда в начальном канале α сталки-

|〈βk_βσμ| F |αk_αsm〉|² .

ваются произвольные ориентированные частицы

m=-sσ=|sb-s_B| μ=-σ

a и A, спины которых s_a и s_A характеризуют-

ся векторами поляризаций P_a и P_A, входящими

в спиновые матрицы плотности ρ_a (s_am_a, s_am^′a)

Очевидно, что дифференциальное сечение

и ρA (s_Am_A,s_Am^′A) частиц a и A, через кото-

dσαkα,βk_β /dΩkαреакцииβkβ→αkα^{можнопред-}

рые определяется спиновая матрица плотности

ставить аналогичным образом:

ρ_α (sm,s^′m^′) канала α:

(

)

∑

ρ_α

sm,s^′m^′

C^sm

(28)

dσαkα,βk_β

sasAmamA

× (24)

mamAm^am^′

dΩk_α

(2s_b + 1) (2s_B + 1)

(

)

(

)

s=|sa-sA|

×ρ_a

s_am_a,s_am^′a

ρ_A

s_Am_A,s_Am^′A

s_Am^′am^′A

∑

∑ σ∑



удовлетворяющая условию нормировки

 αk_αsmF

^βk_β σμ

².

∑

m=-sσ=|sb-s_B| μ=-σ

ρ_α (sm,sm) = 1.

(29)

Тогда при учете условия T -инвариантности (22)

Это условие вытекает из аналогичных условий для

исследуемые сечения (23) и (24) могут быть связа-

спиновых матриц плотности частиц a и A.

ны между собой соотношением

Дифференциальное сечение dσβkβ ,αkα/dΩkβ

ядерной реакции αk_α → βk_β для ориентированных

dσαkα,βk_β

dσβkβ ,αkα

=C₀

(25)

частиц a и A можно представить в виде [2, 13]

dΩk_α

dΩkβ

dσ

∑

βk_β,αkα

〈βk_βσμ| F |αk_αsm〉 ×

где коэффициент C₀ имеет вид

dΩ_k

σμ sms^′m^′

⁽k_α)² (2s_a + 1)(2s_A + 1)

(30)

C₀ =

(26)



(

)

k_β

(2s_b + 1) (2s_B + 1)

× 〈βk_β σμ| F

^αk_αs^′m^′∗ ρ_α

sm,s^′m^′

учитывающей интерференцию амплитуд (9) реак-

Дифференциальные сечения (23) и (24) реакций,

ций αk_αsm → βk_βσμ и αk_αs^′m^′ → βk_βσμ с веса-

в которых участвуют неориентированные по спи-

ми, определяемыми спиновой матрицей плотности

нам частицы, не зависят от суммарных спинов s,

ρ_α (sm,s^′m^′).

σ и σ, s частиц во входных и выходных каналах

Соотношение (30) для дифференциального се-

реакций. Поэтому эти сечения при учете их инва-

чения реакции αk_α → βk_β позволяет получить [2,

риантности относительно поворотов осей системы

13] выражение для нормированной спиновой мат-

координат выражаются через скалярные произ-

рицы плотности ρ_β (σμ,σ^′μ^′) частиц b и B в конеч-

ведения волновых векторов (k_β, k_α) и

⁽k_β, k_α),

ном канале β исследуемой реакции:

которые равны друг к другу из-за соотношений

(

)-1

k_α = -k_α,kβ = -k_β (15) и имеют P-четный, T-

(

)

dσβkβ ,αkα

ρ_β

σμ,σ^′μ^′

(31)

четный характер [2, 5]. В результате в (25) можно

dΩkβ

k_α

∑

〈βk_β σμ| F |αk_αsm〉 ×

dσαkα,βk_β /dΩkα^{ипреобразовать(25)квиду}

sms^′m^′



(

)

dσαkα,βk_β

dσβkβ ,αkα

_F

× βk_βσ^′μ^′

^αk_αs^′m^′∗ ρ_α

sm,s^′m^′

=C₀

(27)

dΩkα

dΩkβ

Если матрица плотности ρ_α (sm, s^′m^′) началь-

Соотношение (27) отражает принцип детального

ного канала реакции αk_α → βk_β зависит только

равновесия [2, 5, 6] для сечений исходной αk_α →

от векторов поляризаций P_a и P_A спинов ча-

→ βk_β и обратной к ней βk_β → αk_α реакций.

стиц a и A, то матрица плотности ρ_β (σμ, σ^′μ^′) в

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

340

КАДМЕНСКИЙ и др.



(

)

_F

(31) содержит новый вектор поляризации, направ-

× βk_βσ^′μ^′

^αk_αs^′m^′∗ ρ_α

sm,s^′m^′

ленный по направлению векторного произведения

Поскольку в правой и левой частях формулы

[k_α, k_β ] относительных волновых векторов k_α и k_β

(34) фигурирует одна и та же матрица плотности ρ_α

начального и конечного каналов. Происхождение

канала α с разными аргументами, то соотношение

этой поляризации обусловлено [5, 14] появлением

(34) справедливо при выполнении равенства

компонент амплитуд ядерных реакций вида (9),

∑

связанных с влиянием спин-орбитальных потенци-

〈αk_αs₁m₁| F |βk_β σμ〉 ×

(35)

алов, входящих в определение потенциалов взаи-

σμ,σ^′μ^′

модействия V_α и V_β частиц начального и конеч-



× 〈αk_αs₂m₂| F

^βk_βσ^′μ^′∗ ×

ного каналов и поэтому фигурирующих в матрице



реакций T

(10). В дальнейшем будем использо-

× 〈βk_β σμ| F |αk_αsm〉 βk_βσ^′μ^′F

^αk_αs^′m^′∗ =

вать важнейшее условие, связанное с пренебре-

жением влиянием спин-орбитальных взаимодей-

dσαkα,βk_β

dσβkβ ,αkα

= δs1m₁,smδs₂m₂,s′m′

ствий на амплитуды (9), связанные с описанием

dΩkα

dΩkβ

исследуемых в работе исходных и обращенных к

ним реакций. При отсутствии поляризаций P_a и

При использовании условия T -инвариантности

вида (20) в левой части формулы (35) она преобра-

PA в матрице плотности ρα (sm, s^′m^′) начально-

зуется к виду

го канала αk_α реакции (31) матрица плотности

∑



ρ_β (σμ,σ^′μ^′) конечного канала βk_β также включает

βk_βσμF

^αk_αs₁m1 ×

(36)

неполяризованные частицы b и B.

σμ,σ^′μ^′

Теперь рассмотрим обратную к исходной ре-



× βk_βσ^′μ^′F

^αk_αs₂m2∗ ×

акции αk_α → βk_β реакцию βk_β → αk_α, диффе-



ренциальное сечение которой по аналогии с (30)

× αk_αsmF

^βk_βσμ αk_αs^′m^′F

^βk_β σ^′μ^′∗ =

определяется как

dσαkα,βk_β

dσβkβ ,αkα

dσ

∑

= δs1m₁,smδs₂m₂,s′m′

dΩkα

dΩkβ

αkα,βkβ =

〈αk_αsm| F |βk_β σμ〉 ×

dΩkα

sm σμσ^′μ^′

Теперь по аналогии с формулами (30) и (31) по-

(32)

лучим формулы для сечения реакции βk_β → αk_α,



(

)

× 〈αk_αsm| F

βkβσ^′μ^′∗ ρ_β

σμ,σ^′μ^′

обращенной по времени к исходной, и для спиновой

(

)

матрицы плотности

σμ, σ^′μ^′

а матрица плотности ρ_α (s₁m₁, s₂m₂) конечного

канала обратной реакции имеет по аналогии с (31)

dσαkα,βk_β

вид

(37)

dΩ

k_α

)-1

⁽ dσ

∑



αkα,βkβ

ρ_α (s₁m₁,s₂m₂) =

(33)

αk_αsmF

^βk_βσμ

dΩkα

∑

σμ,σ^′μ^′,sm



)

〈αk_αs₁m₁| F |βk_β σμ〉 ×

× αk_αsmF

^βk_βσ^′μ^′∗ ρ¯_β (σμ,σ′μ′

σμσ^′μ^′



(

)

)-1

× 〈αk_αs₁m₁| F

^βk_βσ^′μ^′∗ ρ_β

σμ,σ^′μ^′

(

)

⁽ dσβk

β,αk

σμ,σ^′μ^′

(38)

dΩ

k_β

Выразим матрицу плотности ρ_β (σμ, σ^′μ^′) на-

∑



чального канала βk_β обратной реакции через мат-

βk_βσμF

αkαsm ×

рицу плотности (31) конечного канала исходной

sm,s^′m^′

реакции αk_α → βk_β. Тогда (33) преобразуется к



)

виду

_F

× βk_βσ^′μ^′

αkαs^′m^′∗ ρ_α (sm,s′m′

ρ_α (s₁m₁,s₂m₂) =

(34)

Подставляя (38) в (37) с учетом (36) и используя

)-1

)-1 (

условие нормировки (31), которое сохраняется при

⁽ dσ

dσβkβ ,αkα

= αkα,βkβ

переходе от состояний sm к состояниям sm, полу-

dΩkα

dΩkβ

чаем уравнение, связывающее дифференциальные

∑

сечения прямых и обратных реакций, обращенных

〈αk_αs₁m₁| F |βk_βσμ〉 ×

и необращенных во времени:

σμ,σ′μ′

sm,s^′m^′

dσβk

dσαkα,βk

β,αkα

dσαkα,βk_β dσβk_β ,αkα



(39)

× 〈αk_αs₁m₁| F

^βk_βσ^′μ^′∗ 〈βk_βσμ| F |αk_αsm〉 ×

dΩk_α

dΩk

dΩkα

dΩkβ

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

УСЛОВИЯ T -ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

341

Первая итерация этого уравнения приводит к ра-

Условие (44) справедливо для любых матриц

венствам

плотностей ρ_α (sm, s^′m^′) начального канала αk_α в

реакции αk_α → βk_β, включая и каналы с неори-

dσαkα,βk_β

;

(40)

ентированными по спинам частицами, в которых

dΩk_α

dΩkα

ρ_α (sm,s^′m^′) представляется [2] как

dσβk

(

)

β,αkα

dσβkβ ,αkα

ρ_α

sm,s^′m^′

(45)

dΩk_β

dΩkβ

δ_s,s′δ_m,m′ .

Для анализа этих равенств воспользуемся тем,

(2s_a + 1) (2s_A + 1)

что дифференциальное сечение dσβkβ ,αkα/dΩkβ

При использовании матрицы плотности (45) вы-

реакции αk_α → βk_β в общем случае можно пред-

ражение

(30) для дифференциального сечения

ставить в виде суммы по различным T -четным (e)

dσβkβ ,αkα/dΩkβ^{сводитсяк(23).Аналогичновыра-}

и T-нечетным (o) компонентам. Наборы индексов

(

)

жение (37) при использовании в нем

σμ,σ^′μ^′

e и o связаны с определенными механизмами

появления указанных компонент:

форме, аналогичной формуле (45) для неориенти-

(

)

рованных по спинам частиц в канал

β, приводится

dσ

∑

βk_β,αkα

dσβkβ ,αkα

(41)

к формуле (24). Тогда константу C в формуле

dΩkβ

dΩ

k_β

(43) можно выбрать равной константе C₀ (26),

(

)

фигурирующей в формуле (25) и приводящей,

∑

dσβkβ ,αkα

как было показано выше, к принципу детального

dΩkβ

равновесия.

где T -четные и T -нечетные компоненты этого се-

чения удовлетворяют условиям:

5. АНАЛИЗ КОМПОНЕНТ

)

⁽ dσ

С РАЗЛИЧНЫМИ P - И T -ЧЕТНОСТЯМИ

⁽ dσαkα,βk_β )

αkα,βkβ

(42)

В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЯХ

dΩkα

dΩ

k_α

БИНАРНЫХ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ

)

⁽ dσ

⁽ dσαkα,βk_β )

αkα,βkβ

При использовании [5, 7, 8] свойств симметрии

ядерных систем, связанных с их пространственно-

dΩkα

dΩ

k_α

временными характеристиками, введенные выше

Равенства (40) при учете (42) возможны только

компоненты дифференциальных сечений исходных

для T -четных компонент анализируемых сечений и

и обращенных к ним по времени реакций мож-

не реализуются для фигурирующих в этих сечениях

но представить через скалярные (псевдоскалярные

T -нечетных компонент. Поэтому равенства (40)

при нарушении P -четности) функции ϕ_e,o и

ϕe,o

можно исключить из рассмотрения, а выполнение

(

)

соотношения (39) связать с реализацией равенств:

dσβkβ ,αkα

= ϕe,o (k_b,s_b;k_a,s_a),

(46)

dΩ

k_β

dσαkα,βk_β

dσβkβ ,αkα

e,o

;

(43)

(

)

dΩk_α

dΩkβ

dσαk_α, βk_β

(

)

ϕe,o

k_a,s_a;k_b,s_b

dσβk

dΩ

β,αkα

dσαkα,βk_β

k_α

=C-1

e,o

dΩk

dΩkα

аргументы которых выражаются через последо-

где величина C не зависит от направлений векторов

вательности k_b, s_b; k_a, s_a и k_a, s_a; k_b, s_b, соответ-

k_α и k_β, а второе из равенств в (43) вытекает

ствуют изменению знаков спинов и импульсов при

из первого при перестановке местами индексов

обращении времени (15) и перестановке волновых

каналов αk_α и βk_β . Тогда при учете разложений

векторов и спинов k_a, s_a и k_b, s_b между собой

типа (41) для входящих в равенства (43) дифферен-

при переходе от исходной к обращенной к ней по

циальных сечений можно потребовать выполнение

времени реакций. Тогда при единых механизмах

подобных равенств для компонент указанных сече-

возникновения указанных компонент в сечениях

ний, связанных с одинаковыми P - и T -четностями

исходной и обращенной к ней по времени реакций

и обусловленных едиными механизмами их появле-

и условий T -инвариантности (42) можно получить

ния:

соотношения:

)

(

)

⁽ dσαk

(47)

α,βkβ

dσβkβ ,αkα

ϕe (kb, sb; ka, sa) = C0ϕe (ka, sa; kb, sb) ;

(44)

dΩ

k_α

dΩkβ

ϕo (kb, sb; ka, sa) = -C0ϕo (ka, sa; kb, sb) .

e,o

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

342

КАДМЕНСКИЙ и др.

Если учесть, что величина C₀ является положи-

от нуля значения, удовлетворяющие условию T -

тельно определенной, ненулевые значения указан-

инвариантности (44). Именно поэтому компонен-

ных компонент для конкретного T -инвариантного

та сечения A (s_n, k_LF) исследуемой реакции была

механизма исследуемых реакций получаются толь-

найдена в [16], экспериментально обнаружившей

ко в том случае, если при перестановке волно-

эффект несохранения четности в реакциях двойно-

вых векторов и спинов k_a, s_a и k_b, s_b величины

го деления ядер. Компонента сечения B (s_n, k_LF) до

ϕe не меняют знака, а величины ϕo — меняют.

сих пор не найдена экспериментально, хотя не вы-

Этот результат позволяет выделить конкретный T -

зывает сомнения ее заметное отличие от нулевого

инвариантный механизм, который может описать

значения.

характеристики отличных от нуля анализируемых

компонент сечения исходной реакции αk_α → βk_β

В то же время компоненты сечений с коэффи-

и отбросить все остальные механизмы. Однако в

циентами C, D, E меняют знак при переходе от

случае невыполнения указанных условий для T -

исходной к обращенной по времени реакции, что

инвариантных механизмов исследуемые компонен-

приводит к разным знакам членов, стоящих в пра-

ты обращаются в нуль, что позволяет использовать

вой и левой частях формулы (44). Это обстоятель-

их экспериментальные зависимости для оценки ро-

ство соответствует равенству нулю этих членов при

ли T -неинвариантных взаимодействий. Таким об-

сохранении T -инвариантности. Отсюда следует,

разом, данный результат находится в противоречии

что экспериментальные исследования указанных

с результатами, полученными в работах [11, 12], в

компонент с коэффициентами C, D, E позволяют

которых утверждалось отсутствие обращающихся

с хорошей степенью точности определить величину

в нуль компонент дифференциальных сечений при

компонент взаимодействий в ядерных системах,

сохранении системой T -инвариантности.

нарушающих T -инвариантность.

Проведем анализ компонент различной P -

и T-четности в дифференциальных сечениях

dσβkβ ,αkα/dΩkβ^{бинарныхреакцийдвойногоде-}

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ления ориентированных ядер-мишеней холодными

поляризованными нейтронами. Вектор поляриза-

Проведенное в работе исследование продемон-

ции спина J составного делящегося ядра, форми-

стрировало отсутствие в общем случае инвариант-

руемого при захвате холодного поляризованного

ности произвольных бинарных ядерных реакций

нейтрона со спином s_n поляризованным ядром-

с участием ориентированных по спинам частиц

мишенью со спином I, выражается суммой членов,

к обращению времени. Это связано с влиянием

связанных только с s_n, с I и с их векторным

спин-орбитальных взаимодействий в потенциалах

произведением [I, s_n] [15].

начального или конечного каналов, под действием

В результате можно выделить [16] следующие

которых спиновая матрица ρ_β конечного канала

компоненты дифференциального сечения реакции

βk_β в реакции αk_α → βk_β отличается от матрицы

двойного деления dσβkβ ,αkα/dΩkβ^{,длякоторых}

ρ_α начального канала появлением [5, 14] в ρ_β поля-

функции ϕ_e,o в формуле (44) соответствуют P -

ризационной компоненты, не зависящей от спинов

нечетным, T -четным компонентам A (s_n, k_LF) и

частиц начального и конечного каналов и про-

B (s_n, k_LF); P -нечетной, T -нечетной компоненте

порциональной векторному произведению [k_α, k_β ]

C ([I, s_n], k_LF); P -четной, T -нечетной компонен-

относительных волновых векторов начального и

конечного каналов.

те D ([I,s_n],k_LF)(I,k_LF) и, наконец, P-четной T-

четной компоненте E ([I, s_n], [k_n, k_LF]), где k_n и

Поэтому

дифференциальное

сечение

k_LF — волновые векторы падающего нейтрона и

dσαkα,βk_β /dΩkαреакцииβkβ→αkα^{,обращенной}

легкого фрагмента деления, а A, B, C, D, E —

по времени к исходной αk_α → βk_β при исполь-

коэффициенты при соответствующих компонентах

зовании спиновой матрицы ρ_β начального канала,

дифференциального сечения.

однозначно связанной с матрицей ρ_β, не переходит

Стоит отметить, что механизм появления всех

с точностью до постоянного множителя в диф-

указанных компонент связан с интерференцией де-

лительных амплитуд s- и p-нейтронных резонанс-

ференциальное сечение dσβkβ ,αkα/dΩkβ^{исходной}

ных состояний составного делящегося ядра. По-

реакции, определяемой спиновой матрицей ρ_α, что

скольку при переходе от исходной реакции αk_α →

ожидается при инвариантности ядерной реакции к

→ βk_β к обратной реакции βk_β → αk_α компонен-

обращению времени. Этот результат определяется

ты A(s_n,k_LF) и B (s_n,k_LF) не меняют знака и

тем, что описание поляризационных явлений в

являются T -четными, то эти компоненты имеют

ядерных реакциях связано с появлением спиновых

одинаковый знак для исходной и обращенной по

матриц плотности, которые имеют статистический

времени реакций. Поэтому они имеют отличные

характер, необратимый по времени [14].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

УСЛОВИЯ T -ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

343

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

10. M. Gell-Mann and M. Goldberger, Phys. Rev. 91, 398

(1953).

1. E. P. Wigner, G ¨ottingen Nachrichten 31, 546 (1932).

11. F. Arash, M. J. Moravscik, and G. R. Goldstein, Phys.

2. А. С. Давыдов, Теория атомного ядра (Физмат-

лит, Москва, 1958).

Rev. Lett. 54, 2649 (1985).

3. A. M. Lane and R. G. Thomas, Rev. Mod. Phys. 30,

12. H. E. Conzett, Phys. Rev. C 52, 1041 (1995).

257 (1958).

13. A. Simon, Phys. Rev. 92, 1050 (1953).

4. М. L. Goldberger and К. M. Watson, Collision

14. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая ме-

Theory (J. Wiley & Sons, 1964).

ханика: нерелятивистская теория (Физматлит,

5. A. Bohr and B. R. Mottelson, Nuclear Structure

Москва, 2004).

(Benjamin, New York, 1969), Vol. 1.

15. А. Л. Барабанов, Симметрии и спин-угловые

6. F. Coester, Phys. Rev. 84, 1259 (1951).

корреляции в реакциях и распадах (Физматлит,

7. С. Г. Кадменский, П. В. Кострюков, ЯФ 79, 556

Москва, 2010).

(2016) [Phys. At. Nucl. 79, 786 (2016)].

16. Г. В. Данилян, Б. Д. Воденников, В. П. Дроняев,

8. С. Г. Кадменский, П. В. Кострюков, ЯФ 81, 443

В. В. Новицкий, В. С. Павлов, С. П. Боровлев,

(2018) [Phys. At. Nucl. 81, 895 (2018)].

Письма в ЖЭТФ 26, 197 (1977) [JETP Lett. 26, 186

9. B. A. Lippmann and J. Schwinger, Phys. Rev. 79, 469

(1950).

(1977)].

T-INVARIANCE CONDITIONS FOR DIFFERENTIAL CROSS SECTIONS

OF BINARY NUCLEAR REACTIONS INVOLVING SPIN-ORIENTED

NUCLEI AND PARTICLES

S. G. Kadmensky¹⁾, P. V. Kostryukov¹⁾, D. E. Lyubashevsky¹⁾

¹⁾ Voronezh State University, Russia

Using the T-invariance condition for the amplitudes of arbitrary binary nuclear reactions with spin-oriented

particles and time-reversed reactions, the relation between the differential cross sections of these reactions

is obtained for the first time. At the same time, the cross sections considered above were constructed

using sets of interaction potentials between particles of the initial and final channels of reactions without

taking into account any spin-orbital interactions. The obtained relation includes the case corresponding to

the implementation of the previously known principle of detailed equilibrium. When using these relations,

equality was obtained for different components of the analyzed cross sections due to a uniform mechanism

of occurrence and having the same P and T parity. These equations allowed us to prove the existence of

a number of these components that vanish when taking into account T invariance, which leads to new

possibilities in the study of T-non-invariant interactions in nuclear reactions.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020