ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 4, с. 344-348

ЯДРА

НЕРЕЗОНАНСНЫЙ МЕХАНИЗМ ВСТРЯСКИ

ПРИ БЕЗНЕЙТРИННОМ ДВОЙНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ЗАХВАТЕ

Поступила в редакцию 20.11.2019 г.; после доработки 04.01.2020 г.; принята к публикации 04.01.2020 г.

Общепринято считать, что двойной безнейтринный электронный захват является резонансным

процессом. Ниже выполнены расчеты вероятности встряски с ионизацией электронной оболочки,

имеющей место в ходе превращения ядер¹⁵²Gd. Данный нуклид обладает наименьшим значением

дефекта резонанса среди всех известных ядер, являясь основным кандидатом на поиск безнейтринной

моды распада. Поэтому вклад нового механизма оказывается меньше, чем традиционно-резонансного

механизма, представляя таким образом поправку к вероятности распада. Тем не менее значение этой

поправки достаточно велико и составляет 23% в случае¹⁵²Gd. Она быстро возрастает с увеличением

дефекта резонанса, так что для других ядер ожидается, что поправка превысит вклад резонансного

механизма и станет основным механизмом двойного безнейтринного электронного захвата. Поэтому в

принципе двойной безнейтринный e-захват оказывается вовсе не резонансным процессом.

DOI: 10.31857/S0044002720030125

1. ВВЕДЕНИЕ

вероятен, чем захват на основной уровень. Так,

распад¹⁵²Gd →¹⁵²Sm с большей вероятностью

Недавно коллаборацией Xenon было заявлено о

будет происходить путем захвата KL₁-электронов

первом случае прямого наблюдения 2e2ν-захвата в

в основное состояние дочернего ядра¹⁵²Sm. В

ядре¹²⁴Хе [1]. Это событие является вехой в по-

этом случае дефект резонанса Δ = 0.919 кэВ. В

исках двойного безнейтринного e-захвата. Его изу-

числе других кандидатов как наиболее вероятные

чение важно для проверки майорановской природы

рассматриваются превращения 164Er →164Dy c

нейтрино. Этот процесс традиционно рассматрива-

Δ = 6.82 кэВ и ¹⁸⁰W → ¹⁸⁰Hf c Δ = 11.24 кэВ [3].

ют как резонансный, поскольку ни одной частицы

не испускается в результате ядерного превраще-

В настоящей работе мы предлагаем другой,

ния [2]. Поэтому он не может осуществляться на

нерезонансный механизм двойного безнейтринного

голых ядрах, даже при энерговыделении Q > 0.

e-захвата. Поскольку он может быть реализован

Закон сохранения требует передачи части энергии

независимо от величины Δ, его вклад медленней

и импульса третьему телу. В качестве такового вы-

убывает с увеличением дефекта резонанса, чем

ступает электронная оболочка атома. Образующи-

обычного резонансно-флуоресцентного механиз-

еся вакансии заполняются путем флуоресценции.

ма. А восстановление закона сохранения энергии-

импульса происходит вследствие ионизации элек-

Закон сохранения энергии-импульса восстанавли-

вается после излучения первого кванта, энергия

тронной оболочки, вызванной эффектом встряски.

которого включает в себя избыточную величину Q.

В самом деле, процесс 2e-захвата — быстрый по

сравнению с характерными атомными времена-

Вероятность безнейтринного захвата макси-

ми. Поэтому изменение внутриатомного потенци-

мальна вблизи резонанса. Поэтому главный инте-

ала вследствие уменьшения заряда ядра на две

рес в настоящее время прикован к изучению ядер с

единицы и исчезновения двух электронов можно

малым значением Q. В некоторых случаях с боль-

рассматривать как внезапное [2, 4]. Следовательно,

шим Q уменьшение дефекта резонанса возможно

оно может сопровождаться встряской электронной

при захвате электронов из более высоких оболочек:

оболочки, в результате которой один из электронов

L₁, M₁, или на возбужденные состояния ядра или

вылетает из атома. Он-то и уносит избыток энер-

атома, в связи с чем этот процесс будет более

гии. Количественно вклад нового механизма в рас-

смотренной ниже модели даже в случае ядра¹⁵²Gd,

¹⁾ВНИИМ имени Д.И. Менделеева, Санкт-Петербург,

обладающего минимальным дефектом резонанса

Россия.

среди известных кандидатов, увеличивает вероят-

²⁾НИЦ “Курчатовский институт”— ПИЯФ, Санкт-Петер-

бург, Россия.

ность распада приблизительно на 23% по сравне-

^*E-mail: fkarpeshin@gmail.com

нию с традиционным механизмом. В то же время

344

НЕРЕЗОНАНСНЫЙ МЕХАНИЗМ ВСТРЯСКИ

345

в случае других кандидатов с большим значением

в сплошном спектре. Обозначим ψ_i(r) волновую

дефекта резонанса вполне можно ожидать, что его

функцию этого электрона в материнском атоме га-

вклад окажется доминирующим. Физические осно-

долиния, φ_f (r) — в сплошном спектре в поле одно-

вы нерезонансного механизма излагаются в сле-

кратно ионизованного дочернего атома самария с

дующем разделе. Параллельно там же выводятся

дыркой на месте i-го электрона. Величина кинети-

основные формулы. Результаты расчетов приме-

ческой энергии электрона встряски E выбирается

нительно к¹⁵²Gd приводятся в разд. 3. Раздел 4

из условия равенства нулю дефекта резонанса (2)

посвящен обсуждению результатов, полученных в

E =Δ-I_i,

(4)

настоящей работе.

где I_i — потенциал ионизации i-го электрона. Со-

стояния i и f неортогональны, поскольку опи-

2. ФОРМУЛЫ ВЕРОЯТНОСТИ ВСТРЯСКИ

сываются собственными функциями разных га-

ПРИ ДВОЙНОМ e-ЗАХВАТЕ

мильтонианов. Соответственно обозначим V_Z (r) и

VZ-2(r) одноэлектронные потенциалы в исходном

Вновь образованные атомы обладают на две

и дочернем атомах, а внезапное изменение потен-

единицы меньшим атомным номером. Они обра-

циала ΔV (r) ≡ VZ-2(r) - V_Z (r). Тогда амплитуда

зуются нейтральными, хотя и в специфическом

встряски будет [6]

переходном состоянии с оболочкой, “раздутой” на-

личием двух дырок в K- и L₁-оболочках [5].

(5)

Fsh = 〈φf |ψi〉.

Энерговыделение в процессе двойного e-

Полную же амплитуду можно представить в виде

захвата определяется разностью масс нейтральных

произведения

атомов — начального M₁ и конечного M₂₃₎:

(sh)

F₂

=F2βF_sh,

(6)

Q=M₁ -M₂.

(1)

где F2β мы обозначили собственно амплитуду двой-

Даже при захвате двух K-электронов дочерний

атом образуется хотя и нейтральным, но в воз-

ного электронного захвата, приводящего к обра-

бужденном состоянии с двумя дырками на месте

зованию переходного состояния атома самария.

захваченных электронов. Такое состояние атома

Соответственно выражение для полной ширины

получим в виде

образно было названо раздутым [5]. При захвате

∑

электронов из более высоких оболочек энергия

Γ^(sh)

= Γ2β N_i|〈φ_f|ψ_i〉|² =

(7)

возбуждения дочернего атома соответственно воз-

2β

растает. Обозначим энергию возбуждения дочер-

∑

него атома E_A. Тогда дефект резонанса будет

= Γ2β N_i|F_sh|²,

Δ=Q-E_A.

(2)

где N_i — число заполнения i-й оболочки.

Если к тому же захват происходит на возбужденное

состояние ядра с энергией E_N , при достаточно

больших Q это приводит к дальнейшему уменьше-

3. ФЛУОРЕСЦЕНТНЫЙ ДВОЙНОЙ

нию дефекта резонанса

БЕЗНЕЙТРИННЫЙ e-ЗАХВАТ

Δ=Q-E_A -E_N.

(3)

Сравним выражение (7) с формулой для обыч-

В нашем случае путем одновременного ядер-

ного резонансного механизма безнейтринного 2e-

ного захвата K- и L₁-электронов атомы¹⁵²Gd

захвата, например в модели, рассмотренной в [7].

превращаются в атомы¹⁵²Sm. Одноэлектронные

Она получается умножением ширины образования

волновые функции начального и конечного ато-

входного состояния Γ2β на резонансный фактор

мов неортогональны. Это порождает всевозмож-

Брэйта-Вигнера

ные процессы встряски в конечном атоме, когда

Γ(γ)2β = Γ2βB_W ,

(8)

один или несколько электронов переходят в воз-

бужденное состояние (shake-up) или даже выле-

где

тают из атома в сплошной спектр, что приводит

Γ/2π

к ионизации атома (shake-off). Рассмотрим более

B_W =

(9)

детально процесс второго типа. Пусть i-й электрон

Δ² + (Γ/2)²

в результате встряски переходит в состояние f

В (9) Γ = Γ_K + ΓL1 — полная ширина “раздутого”

состояния с электронными дырками в K- и L₁-

³⁾Мы используем релятивистскую систему единиц

оболочках, образованного в результате резонанс-

ℏ = c = me = 1, me —электронная масса, если не

указано иначе.

ного 2e-захвата. Сравнивая (7) с (8), получим

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

346

КАРПЕШИН и др.

относительную поправку к вероятности распада в

Другое дело — волновые функции: в пределах

единицу времени в физически ясном виде

точности метода матричные элементы в форму-

ле (11) можно вычислять либо с волновыми функ-

g ≡ Γ(sh)2β/Γ(γ)2β =

(10)

циями начального, либо конечного атома. С целью

∑

контроля мы проводили расчеты по формулам (5)

= N_i|〈φ_f|ψ_i〉|²/B_W ≡

и (11) с неизменными волновыми функциями для

удобства счета.

ⁱ ∑

≡ N_i|F_sh|²/B_W.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Заметим, что формулу (5) можно переписать в

Расчеты по формулам (5), (10) выполнены в

другом, эквивалентном виде [6]

одноэлектронном приближении с помощью ком-

〈φ_f |ΔV (r)|ψ_i〉

плекса программ RAINE [9]. Волновые функции

Fsh ≈ I2 =

(11)

электронов и их энергии вычислялись самосогла-

сованным методом Дирака—Фока. С целью луч-

В принципе, встряска возможна на любой обо-

шего понимания физики процесса были рассчи-

лочке, энергия ионизации которой меньше Q. Но

таны матричные элементы (5) и (11) для ряда

формула (11) позволяет лучше понять, что она

гипотетических значений Δ от 0.05 до 10 кэВ

максимальна на электронах s-оболочек. В самом

для всех электронов, чьи потенциалы ионизации

деле, потенциал ΔV (r) ограничен в пространстве

меньше заданной величины Δ и которые, следова-

областью вблизи орбит дырочных состояний, обра-

тельно, вносят вклад в амплитуду нерезонансного

зованных захватом соответствующих электронов.

механизма нашего процесса.

А поскольку наибольшую вероятность e-захвата

Наши волновые функции нормированы на еди-

имеют s-электроны, то в нашем случае это об-

ницу для дискретных состояний и по шкале энер-

ласть K- и L₁-оболочек. Соответственно потен-

гий — в континууме. Поэтому квадрат матричного

циал ΔV (r) максимален в области ядра. С увели-

элемента F_sh имеет размерность, обратную энер-

чением расстояния от ядра он равномерно умень-

гии. Матричные элементы и факторы Брэйта-

шается. Вследствие этого область перекрывания с

Вигнера приведены в релятивистской системе еди-

ним у внешних электронов, и особенно с большим

ниц. В качестве ширин дырочных состояний мы ис-

угловым моментом, также значительно меньше, чем

пользовали значения Γ_K = 20 эВ, ΓL1 = 5 эВ [10].

у внутренних электронов, что и приводит к умень-

Используя наиболее точное измерение величи-

шению вероятности встряски. Отметим, что если

ны Q = 55.70(18) кэВ [7] вместе с приведенным

не учитывать в потенциале встряски ΔV (r) вклада

там же расчетным значением E_A = 54.794(9) кэВ,

от поля захватываемых электронов, т.е. считать от-

получим для дефекта резонанса значение Δ =

ветственным за встряску только изменение заряда

ядра на две единицы, вклад внешних электронов

= 0.91(19) кэВ.

был бы завышен.

Результаты расчетов представлены в табл. 1,

В заключение этого раздела остановимся на

а также на рис.

1. Парциальные вклады s-

вопросе о том, в каком поле вычислять резонанс-

электронов разных оболочек выписаны в табл. 1.

ную энергию испущенного фотона: материнского

Представленные результаты подтверждают прак-

или дочернего атома. Этот вопрос был разобран в

тическую эквивалентность методов расчета по

работах [2, 4]. Восходя к известной работе Мигдала

формулам (5) и (11). Соответствующие матричные

о встряске в атоме при бета-распаде [6, 8], в

элементы несколько различаются при малых Q ≈

работе [4] было аргументировано, что математи-

≈ 0.5 кэВ, но с увеличением Δ разница нивели-

чески корректный способ решения задачи состоит

руется до нескольких процентов, уже начиная с

в разложении волновых функций материнского и

Δ ≈ 0.7 кэВ.

промежуточного атомов по базисному набору соб-

Суммарный вклад нерезонансного механизма от

ственных функций конечного атома. Поэтому резо-

всех электронов относительно резонансного ме-

нансная энергия определяется уровнями конечного

ханизма представлен на рис. 1. Вероятность это-

атома¹⁵²Sm. Аналогичное заключение сделано в

го процесса носит резко выраженный ступенча-

работе [2]. В нашем подходе вопрос с энергией на-

тый характер благодаря тому, что с увеличением

ходит тот же ответ посредством формулы (4): в нее

Q подключаются все более глубокие оболочки,

входит энергия именно конечного состояния ато-

причем чем более глубоко лежит оболочка, тем

ма. Так же и в случае традиционного резонансно-

большую величину составляет ее вклад на пороге.

флуоресцентного механизма: энергия первого фо-

Как и ожидалось, основной вклад происходит от

тона определяется законом сохранения энергии,

электронов 4s-, 5s- и 6s-оболочек. Остальные

исходя из баланса для конечного состояния атома.

оболочки, в основном p1/2, p3/2 и d3/2, вносят

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

НЕРЕЗОНАНСНЫЙ МЕХАНИЗМ ВСТРЯСКИ

347

особенность состоит в том, что это нерезонансный

механизм. Поэтому можно ожидать, что он окажет-

ся более вероятным при распаде в ядрах, характе-

ризуемых значительным энерговыделением. В слу-

чае безнейтринного механизма такие случаи могут

сочетаться с большим дефектом резонанса, вслед-

ствие чего значительно уменьшается вероятность

резонансного распада. Рассмотрение нерезонанс-

ного механизма позволяет значительно уточнить

оценку периода распада. Расчеты, выполненные

для¹⁵²Gd, подтверждают это предположение: учет

нового механизма увеличивает оценку вероятности

двойного захвата на 23% по сравнению с традици-

онным резонансно-флуоресцентным механизмом.

Δ, кэВ

Учитывая полученную в работе [7] оценку пери-

ода полураспада этого ядра относительно 0ν2e-

Рис.

1. Отношение

(10) вкладов нерезонансного

механизма встряски и традиционного резонанcно-

захвата 10²⁶ лет в расчете на эффективную массу

флюоресцентного механизма в вероятность двойного

нейтрино m_ββ = 1 эВ, получим уточненную оценку

безнейтринного e-захвата в¹⁵²Gd в зависимости от



дефекта резонанса Δ.

полупериода T0ν1/2 ≈ 8.1 × 10²⁵

^1эВ2 лет. Прини-

ββ

мая во внимание другие достоинства¹⁵²Gd как кан-

дополнительную поправку ∼30%. Видно, что при

дидата на измерение 0ν2e-захвата [7], такие, как

малых Q резонансный механизм доминирует. При

почти полное отсутствие фона от 2ν2e-захвата вви-

фактическом значении Q = 0.919 кэВ вклад нере-

ду малости фазового пространства для последнего

процесса, а также абсолютно наибольшее значение

зонансного механизма встряски составляет 23%.

резонансного фактора усиления (9), данный нук-

Но при Q = 3.43 кэВ вклады обоих механизмов

были бы одинаковы. Если бы величина Q состави-

лид, по-видимому, остается наиболее вероятным

кандидатом для поиска двойного безнейтринного e-

ла 10 кэВ, вклад нерезонансного механизма был бы

захвата как свидетельства майорановской природы

уже в 4.5 раза больше резонансного.

нейтрино.

Авторы признательны Ю.Н. Новикову за ини-

5. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

циирующие обсуждения. Они также хотели бы по-

Выше положено начало изучению процессов

благодарить И. Алиханова за ценные замечания.

встряски в безнейтринном двойном ядерном e-

захвате. В результате предложен новый механизм

безнейтринного двойного ядерного e-захвата. Его

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. XENON Collab., Nature 568, 532 (2019).

Таблица 1. Результаты расчета матричных элементов

2. Z. Sujkowski and S. Wycech, Phys. Rev. C 70,

F_sh (5) и относительной величины поправки g (10) к

052501 (2004).

вероятности безнейтринного 2e-захвата на встряску для

3. S. A. Eliseev, Yu. N. Novikov, and K. Blaum, J. Phys.

электронов s-оболочек (для сравнения приведены так-

G 39, 124003 (2012).

же значения суммы квадратов матричных элементов (5)

и (11), обозначенных Σ_sh и Σ₂ соответственно)

4. Ф. Ф. Карпешин, Письма в ЭЧАЯ 5, 636 (2008)

[Phys. Part. Nucl. Lett. 5, 379 (2008)].

F_sh = 〈φ_f |ψ_i〉

5. Ф. Ф. Карпешин, M. Б. Tржасковская, В. В. Кузь-

Δ, кэВ

Σ_sh

Σ₂

B_W g

минов, Изв. РАН. Сер. физ. 76, 986 (2012)

[Bull.

Russ. Acad. Sci. Phys. 76, 884 (2012)].

0.5

0.72

0.30

0.08

0.62

0.90

8.13

0.15

6. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механи-

0.65

0.57

0.22

0.06

0.38

0.48

4.81

0.16

ка (Наука, Москва, 1974).

0.83

0.45

0.17

0.05

0.23

0.26

2.95

0.16

7. S. Eliseev, C. Roux, K. Blaum, M. Block, C. Droese,

F. Herfurth, H.-J. Kluge, M. I. Krivoruchenko, Yu.

1.01

0.37

0.14

0.04

0.16

1.99

0.16

N. Novikov, E. Minaya Ramirez, L. Schweikhard,

1.2

0.31

0.12

0.03

0.11

1.41

0.16

V. M. Shabaev, F. Simkovic, I. I. Tupitsyn, K. Zuber,

and N. A. Zubova, Phys. Rev. Lett. 106, 052504

1.5

0.25

0.09

0.02

0.071

0.064

0.90

0.16

(2011).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

348

КАРПЕШИН и др.

8. A. Migdal, J. Phys. USSR

449

(1941);

M. B. Trzhaskovskaya, At. Data Nucl. Data Tables

E. L. Feinberg, J. Phys. USSR 4, 423 (1941).

55, 43 (1993); 35, 1 (1986).

9. I. M. Band, M. B. Trzhaskovskaya, C. W. Nestor,

10. J. L. Campbell and T. Papp, At. Data Nucl. Data

Jr., P. O. Tikkanen, and S. Raman, At. Data

Nucl. Data Tables 81, 1 (2002); I. M. Band and

Tables 77, 1 (2001).

THE NON-RESONANCE SHAKE MECHANISM

OF THE NEUTRINOLESS DOUBLE ELECTRONIC CAPTURE

F. F. Karpeshin¹⁾, M. B. Trzhaskovskaya²⁾, L. F. Vitushkin¹⁾

¹⁾D.I. Mendeleyev Institute for Metrology, St. Peterburg, Russia

²⁾National Research Center “Kurchatov Institute” — PNPI, St. Peterburg, Russia

It is generally accepted that double neutrinoless electron capture is a resonance process. The calculations

of the probability of shaking with the ionization of the electron shell occurring during the transformation

of¹⁵²Gd nuclei are performed below. This nuclide has the lowest resonance defect among all known

nuclei, being considered as one of the main candidates for discovering the neutrinoless mode of the

transformation. As a result, the contribution of the new mechanism turns out to be smaller than that of

the traditional resonance mechanism, thus representing a correction to the decay probability. However,

the value of this amendment is high enough, attaining twenty-three percent. It rapidly increases with

an increasing resonance defect, so that for other nuclei it is expected to exceed the contribution of the

resonance mechanism and become the main mechanism of double neutrinoless electron capture. Therefore,

in principle, double neutrinoless e-capture appears not to be a resonance process at all.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020