ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 4, с. 356-363

ЯДРА

КОРРЕКЦИЯ КОНЦЕПЦИИ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛА ФЕРМИ

В ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАССЕЯНИЯ

ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ

Поступила в редакцию 05.12.2019 г.; после доработки 05.12.2019 г.; принята к публикации 05.12.2019 г.

Рассмотрено прохождение тепловых нейтронов через среды с разной степенью упорядоченности.

Выявлена необходимость изменения стандартной концепции псевдопотенциала Ферми для получения

единообразного описания распространения тепловых нейтронов в кристаллических и аморфных

средах. Показано, что к удовлетворительным результатам приводит такой псевдопотенциал, который

правильно воспроизводит амплитуду рассеяния на одном центре не в первом, а во втором порядке

теории возмущений. Получены общие формулы, описывающие прохождение тепловых нейтронов при

произвольной степени упорядоченности вещества.

DOI: 10.31857/S004400272003006X

1. ВВЕДЕНИЕ

V0ε(r) не превосходят |f|/ε по порядку величины,

и поэтому уравнение Шредингера с потенциалом

Под динамическим рассеянием нейтронов обыч-

(1) применяется для описания движения нейтро-

но подразумевается многократное рассеяние при

на в более сложных условиях, когда невозможно

превалирующем значении интерференционных эф-

ограничиться первым борновским приближением.

фектов. Этот круг явлений называется также ней-

В частности, в так называемом одноволновом при-

тронной оптикой. В современной формулировке

ближении [1, 2, 5], когда нейтрон в диамагнитном

[1-7] псевдопотенциал Ферми [8] применяется для

веществе с плотностью n описывается плоской

описания взаимодействия тепловых нейтронов с

волной exp(ikr), этот подход приводит к выводу о

конденсированными средами и заменяет подлинное

сильное взаимодействие V (r) нейтрона с ядром,

том, что k² = k²⁰ - 4πnf, где k₀ — волновой вектор

закрепленным в начале координат, на такое малое

нейтрона в вакууме. При этом в типичных условиях

взаимодействие V0ε(r), которое дает правильную

с k²⁰ ≫ 4πnf и в пренебрежении тепловыми дви-

амплитуду s-рассеяния в первом борновском при-

жениями в среде получается, что пропускание пла-

ближении:

стины с толщиной l определяется полным сечением

σ_tot, причем

2π

V0ε(r) = -

fδ_ε(r),

(1)

I = I0 exp(-nσ_totl),

(3)

(

)

r²

где I₀ и I — входной и прошедший потоки ней-

δ_ε(r) =

exp

(2πε²)3/2

2ε²

тронов соответственно. Здесь предполагается, что

толщина пластины не слишком велика, и поэтому

Здесь f — амплитуда рассеяния, а ε — радиус дей-

можно пренебречь учетом перерассеянных нейтро-

ствия псевдопотенциала, на который налагается

нов, выбывших из первичного пучка. Полное сече-

условие

ние рассеяния нейтрона на одном ядре σ_tot связано

|f| ≪ ε ≪ λ,

(2)

с мнимой частью амплитуды рассеяния оптической

теоремой

хорошо выполненное для типичных значений |f| ∼

∼ 10-12 см и длин волн нейтронов λ ≳ 10-9 см.

Imf =

σ_tot,

(4)

Здесь и далее полагаем постоянную Планка ℏ = 1.

4π

Считается, что если выполнено условие (2), то

где

поправки к амплитуде f в высших порядках по

σ_tot = σ_el + σ_a, σ_el = σ_c + σ_inc.

(5)

Здесь σ_a — сечение поглощения нейтрона, а сече-

¹⁾НИЦ “Курчатовский институт”— ИТЭФ, Москва, Рос-

сия.

ние упругого рассеяния σ_el складывается из се-

²⁾НИЯУ “МИФИ”, Москва, Россия.

чений когерентного σ_c и некогерентного σ_inc рас-

^*E-mail: dzheparov@itep.ru

сеяния. При учете тепловых движений среды, по-

356

КОРРЕКЦИЯ КОНЦЕПЦИИ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛА ФЕРМИ

357

рождающих дополнительное рассеяние с сечением

Вышесказанное показывает необходимость та-

σ_T , соотношение (3) должно оставаться справед-

кой формулировки метода псевдопотенциала, ко-

ливым при замене σ_tot → σ_eff = σ_tot + σ_T . Далее мы

торый одинаково успешно опишет динамическое

ограничимся обсуждением ситуаций, в которых σ_T

рассеяние тепловых нейтронов в средах произ-

пренебрежимо мало.

вольной упорядоченности. Данная проблема давно

известна [18], но никакого ее общего решения до

По построению формулы (3) и (4) должны быть

сих пор не предложено. В частности, желательно

верны и для кристалла вдали от условий брэггов-

получение общей формулы, описывающей переход

ского отражения. Ясно, однако, что в идеальной

от идеального кристалла к идеально некоррелиро-

кристаллической решетке нейтрон движется в поле

ванной аморфной среде по мере изменения корре-

периодического потенциала, и поэтому упругое ко-

ляций в расположении ядер. Формулировка такого

герентное рассеяние приводит к образованию бло-

общего решения на базе уравнения Шредингера и

ховских волн (хорошо известных в общей теории

концепции псевдопотенциала является целью дан-

твердого тела [9, 10]), а вовсе не к выбыванию

ной работы.

нейтронов из пучка. Т.е. при изучении пропускания

Основной вывод нашей работы будет состоять

кристалла правильнее принять, что σ_el = σ_inc. К

в том, что псевдопотенциал должен строиться так,

такому же выводу привел и анализ статьи [11], где

чтобы правильная амплитуда рассеяния на одном

показано, что если в псевдопотенциал вместо f

ядре получалась не в главном, а в двух первых по-

подставить f₀ = Ref + i

σ_a и вычислить в пер-

рядках теории возмущений. При этом появляется

4π

возможность с такой же точностью рассчитывать

вом порядке по псевдопотенциалу фазу рассеяния

всю картину динамического рассеяния нейтронов.

η, то получится правильное полное сечение од-

При этом далее будет показано, что учет теп-

нократного рассеяния σ_tot = 4π(Ref)² + σ_a, а ре-

ловых колебаний, приводящий к пространствен-

шение уравнения Шредингера для кристалла не

ной делокализации псевдопотенциала, приводит к

будет содержать вышеуказанного затухания вол-

большему изменению закона дисперсии нейтрона в

ны, обусловленного упругим рассеянием. Данный

среде, чем учет коррекции Лэкса-Сирса [16, 17], на

подход содержит противоречие, состоящее в том,

желательность наблюдения которой указывалось,

что η определяется в первом порядке по псевдо-

например, в работе [19].

потенциалу, а далее расчеты ведутся с учетом до

η² включительно. Поэтому более последовательно

2. РАССЕЯНИЕ НА ОДНОМ ЯДРЕ

было бы и η определить с точностью до второго

порядка по псевдопотенциалу. Можно показать,

Отсутствие члена ∼kσ_el в мнимой части псев-

однако, что для кристаллов в рассмотренном в [11]

допотенциала вполне оправдано при изучении эф-

круге вопросов работает не амплитуда f, а соотно-

фектов главного порядка по псевдопотенциалу, как,

шение f/(1 + ikf), поэтому использование f = f₀

например, в [20], но в более общем случае оно

или более точного значения f, но в комбинации

требует специального исследования. Существенно,

что псевдопотенциал вводится не для описания

f /(1 + ikf) приводит к практически одинаковому

отдельного акта рассеяния или формулировки си-

результату. Это и определяет достаточность расче-

стемы уравнений многократного рассеяния, а для

та η лишь в первом порядке по псевдопотенциалу

получения возможности описания движения ней-

для случая, когда положения ядер в кристалле

трона в среде на основе уравнения Шредингера

фиксированы.

с потенциалом, допускающим применение теории

Тот факт, что пропускание кристаллов превос-

возмущений. При этом нет никакой необходимости

ходит значение, предписываемое формулами (3) и

в том, чтобы правильная амплитуда рассеяния на

(4), давно известен, см. например, [12, 13]. Поэтому

одном ядре получалась в первом борновском при-

и на основе результатов [11] замена f → f₀ про-

ближении. Более того, использование в (1) полной

изводится без разъяснений в нейтронной оптике

амплитуды рассеяния при таком подходе является

идеальных кристаллов [14, 15].

просто ошибкой.

Другой способ анализа был предложен для

Действительно, введем по аналогии с (1) псев-

аморфных сред в работе [16] (см. также [17]). Он

допотенциал

основан на использовании так называемой системы

2π

V_ε(r) =

bδ_ε(r),

(6)

уравнений многократного рассеяния [4-7], в кото-

рой в качестве исходного элемента используется не

константу b в котором определим далее. С точ-

псевдопотенциал, а полная амплитуда рассеяния f.

ностью до второго порядка по V_ε(r) амплитуда

В [16] получено, что корреляции в расположении

рассеяния

рассеивателей аморфной среды приводят к суще-

∫

(

)

ственному изменению соотношения (3), которое

k₀,k^′

(7)

справедливо только при их отсутствии.

⁼-2πd3re-iqrV^ε(r) -

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

358

ДЖЕПАРОВ, ЛЬВОВ

∫

k₀

−

d³r d³r₁e-ik′rV_ε(r)G₀ (r - r₁) ×

b₂ = -

σ_a.

(14)

2π

4π

× V_ε(r₁)eik0r¹ = f⁽¹⁾ + f⁽²⁾,

При этом, опуская зависящие от радиуса псев-

допотенциала ε вклады из (8) и (10), для амплитуды

где k₀, k^′ — волновые векторы падающей и рассе-

рассеяния получаем

янной волн, а q = k^′ - k — вектор рассеяния,

f = -b + ik₀b² = -b1 (1 + 2k₀b₂) +

(15)

G₀(r - r₁) = 〈r|G₀(E₀)|r₁〉 =

(

)

k₀

k²⁰

σ_tot - k₀b²

exp(ik₀ |r - r₁|), E₀ =

4π

2π |r - r₁|

k₀

(

)-1

= -b₁ + i

σ_tot + f^′ + if^′′,

p²

4π

G₀(E₀) = E₀ -

+ iη

η → +0.

где σ_tot = σ_el + σ_a. Слагаемые f^′ = -2k₀b₁b₂ и

f^′′ = -k₀b²² пренебрежимо малы в сравнении с b₁

k₀

Здесь p — оператор импульса нейтрона. При qε ∼

σ_tot соответственно и далее не учитываются.

∼ k₀ε = ε/λ ≪ 1 первое слагаемое

4π

∫

Соотношения (6) и (12)-(15) дают более пра-

вильное определение псевдопотенциала, чем ис-

f⁽¹⁾(q) = -

d³reiqrV_ε(r) =

(8)

2π

ходное (1). При этом стандартные уравнения тео-

рии многократного рассеяния остаются неизмен-

= -b(1 + O((k₀ε)²)).

ными, а псевдопотенциал, применяемый в ней-

тронной оптике идеальных кристаллов [14, 15],

С той же точностью второе слагаемое в

непосредственно следует из нашего нового опре-

(7) не зависит от q и в нем можно положить

деления. Существенно, что все члены, зависящие

exp(ik₀ |r - r₁|) = 1 + ik₀ |r - r₁|. Поэтому

от ε, не должны приниматься во внимание как

f⁽²⁾ = (f⁽²⁾¹ + f⁽²⁾²)(1 + O((k₀ε)²)),

(9)

нефизические.

В вышеприведенных расчетах мы для кратко-

∫

сти опустили спиновую часть амплитуды. Ее учет

f⁽²⁾¹ = b² d³r d³r₁δ_ε(r) |r - r₁|-1 ×

(10)

производится стандартно, как и в исходной версии

теории псевдопотенциала. При этом сохраняется

× δ_ε(r₁) =

основной вывод о том, что параметры псевдопотен-

ε√π,

циала должны быть выбраны так, чтобы правиль-

ная амплитуда рассеяния воспроизводилась не в

главном приближении теории возмущений, а в ее

f⁽²⁾² = ik₀b.

(11)

первых двух членах.



Требование малости

f⁽

 в сравнении с

^f⁽¹⁾



приводит к фигурирующему в (2) условию |f| ≈

3. НЕЙТРОН В СТАТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ

≈ |b| ≪ ε. Но вклад f⁽²⁾² хотя и мал в сравнении с

Покажем, что в новой версии теории псевдопо-

тенциала естественно получается такое описание

f⁽¹⁾ по параметру k₀ |b| ≪ 1, но он содержит имен-

прохождения нейтронов через образец, образован-

но то, что предписывается оптической теоремой.

ный статическим массивом одинаковых рассеива-

Поэтому, если мы выберем, как в [1-7], b = -f,

телей, которое воспроизводит формулу (3) при пол-

то учет f⁽²⁾² приведет к удвоению вклада упругого

ном отсутствии корреляций в расположении рассе-

сечения в мнимую часть амплитуды рассеяния, что

ивателей, обобщает ее на случай наличия корреля-

неверно.

ций и приводит к полному отсутствию вклада упру-

Из вышеизложенного ясно, что псевдопотенци-

гого рассеяния в поглощение нейтронов в случае

ал будет пригоден для расчетов по теории возмуще-

правильной кристаллической решетки.

ний, если принять, что

Пусть гамильтониан взаимодействия нейтрона

со средой имеет вид:

b = b₁ + ib₂,

(12)

p²

где действительные b₁ и b₂ описывают упругое рас-

H =H₀

V, H₀ =

(16)

сеяние и поглощение нейтронов соответственно,

∑

т.е.

V =

n_RVε(R),

σ_el = 4πb²

(13)

R∈Ω

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

КОРРЕКЦИЯ КОНЦЕПЦИИ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛА ФЕРМИ

359

⌢

образца. Подставим в (18) разложение |ψk〉 =

где

V |r^′

= V (r)δ(r - r^′),

r|V ε(R)|r′

= π_k|ψ_k〉 + π_k|ψ_k〉, составим уравнения на π_k|ψ_k〉

= V_ε(r - R)δ(r - r^′), Ω — объем образца, а δ (r) —

π_k|ψ_k〉 и исключим уравнение на

π_k|ψ_k〉. В

дельта-функция. Здесь, как и в [21], предпола-

результате получается, что

гается, что ядра расположены в некоторой сово-

⌢

купности узлов правильной решетки, для которых

π_k(E₀ + iη - H₀ -

V )π_k |ψ_k〉 =

(19)

числа заполнения n_R = 1, а в прочих узлах этой

⌢

решетки n_R = 0. Мы ограничимся простейшим

=π_kV πk(E0 + iη - H0 - πk

V πk |ψ_k〉,

случаем, когда внутри образца все узлы заполнены

равновероятно и концентрация заполненных узлов

π_k |ψ_k〉 = (E + iη - H₀ -

(20)

〈n_R〉_c = c. Здесь и далее символ 〈···〉_c означа-

⌢

ет усреднение по конфигурациям примесей, т.е.

-π_k

V πk |ψ_k〉.

усреднение по распределению чисел заполнения.

Здесь учтено, что [H₀, π_k] = 0. Первое из этих

Рассматриваемая решетка может быть реальной

k²

в случае кристалла, или фиктивной, как в случае

соотношений является уравнением на E =

аморфной среды, когда объем элементарной ячей-

= 〈k |H₀| k〉, второе определяет поправку π_k|ψ_k〉 к

ки решетки Ω₀ → 0 вместе с концентрацией c → 0

главному приближению π_k|ψ_k〉 = ξ|k〉, а константа

при конечном значении плотности ядер n = c/Ω₀.

ξ определяется из условия нормировки 〈ψ_k|ψ_k〉 = 1

Далее нам понадобится корреляционная функ-

в объеме образца.

ция

Если мнимая часть E пренебрежимо мала, то

(

)



R, R^′

〈(n_R - c) (n_R′ - c)〉_c =

(17)



k

= V₀. Покажем, что это равенство оста-

Ω²

[

(

)]

ется в силе и когда мнимая часть k₂

длины вектора

c(1 - c)δ_RR′ + (1 - δ_RR′) c²χ

R, R^′

k удовлетворяет условию k₂r_c = k₂n-1/3 ≪ 1. Дей-

Ω²

ствительно, пусть ImE = 0. В этом случае

Если рассеяние происходит на идеальном кристал-



∫



⌢



ле, то все n_R = 1, и поэтому c = 1, а W (R, R^′) =

= d³r exp(-2rImk)V (r)/Z =

(21)



^k

= 0. В противоположном случае аморфной среды

W (R, R^′) = nδ (R - R^′) + n²χ (R, R^′), а корре-

∑ ∫

ляции в расположении ядер проявляются в том, что

= n_R d³rexp(-2rImk)V_ε(r - R)/Z ≈

χ(R,R^′) = 0.

R∈Ω

^Ω ∑

В типичных условиях E₀ = k²⁰/(2m) ≫ V₀ =

≈V₀Ω₀

n_R exp(-2RImk)/Zc.

∫

N ∫

d³rV (r) =

d³rV_ε(r), где N — число

R∈Ω

Ω Ω

∫

ядер в образце. Поэтому в главном приближении

Здесь учтено, что

d³rV_ε(r) = V₀Ω₀/c и ε|Imk| ≪

волновая функция нейтрона ψ_k (r) = 〈r|ψ_k〉 пред-

≪ ε|k| ≪ 1. Сумма в (21) содержит много прибли-

ставляет собой плоскую волну φk0 (r) = 〈r|k₀〉 =

зительно одинаковых слагаемых и является само-

усредняющейся. Поэтому

= Ω-1/2 exp(ik₀r).Для вычисления коэффициента



прохождения нейтрона через образец надо уточ-



⌢



∑



≈V₀Ω₀

exp(-2RImk)/Z ≈

(22)

нить ее на основе уравнения Липпмана-Швингера



^k

∫

R∈Ω

∫

ψ_k(r) = exp(ik₀r) + d³rG₀(r - r₁)V (r₁)ψ_k(r₁)

≈V₀

d³r exp(-2rImk)/Z = V₀.

или уравнения Шредингера в форме

(

)

Уравнение (19) можно записать в более ком-

⌢

E₀ + iη - H₀ -

|ψ_k〉 = 0.

(18)

пактной форме:

⌢

E = E₀ + iη - k|V |k

(23)

Для построения теории возмущений удобно

применить проекционную технику [22], введя про-



⌢

екторы π_k = |k〉〈k| и π_k = 1 - π_k. Здесь rk =

− k|V πk(E0 + iη - H0 - πk

V |k

≈

∫

= Z-1/2 exp(ikr), Z =Ω d³r exp(-2rImk), при-

≈ E₀ + iη - V₀ -

чем, в силу граничных условий, k ≈ k₀. Отметим,



⌢

что именно функция rk должна сшиваться

- k|(V - V0)G0(E0)(V - V0)|k

+ O(V ³).

с падающей и рассеянной волнами на границе

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

360

ДЖЕПАРОВ, ЛЬВОВ

В последнем преобразовании учтено соотношение

Для большого кристалла с объемом Ω → ∞ при

(22) и удержаны члены не выше квадратичных по

чисто действительном ΔV₀(r) (т.е. при b₁ = 0) име-

псевдопотенциалу V .

ем

(

)-1

⌢

∑

(g + k)

Матричный элемент 〈 k | (V - V0)G0(E0)(V-

ΔE₀ =

|U_g|2

E₀ -

+ iη

(26)

− V₀) |k 〉 является самоусредняющимся по чис-

g =0

лам заполнения по тем же причинам, которые были

описаны при выводе (22). Поэтому, полагая

Одноволновое приближение применимо, если

E₀

= (k + g)²/(2m), поэтому iη в (26) можно опу-

⌢

V -V₀ =Δ

V₀,

стить; в результате ΔE₀ является действительным

Vc +Δ

и не приводит к затуханию нейтронной волны.

ΔV_c(r) = V (r) - 〈V (r)〉_c =

∑

В случае прохождения нейтронов через пласти-

= (n_R - c)V_ε(r - R),

ну конечной толщины D вычисления показывают,

R∈Ω

V²⁰

что ImΔE₀ ∼

. Порождаемое этим сдви-

ΔV₀(r) = 〈V (r)〉_c - V₀ =

mk²

Dk₀

∑

гом затухание волновой функции в кристалле равно

= c[V_ε(r - R) - V₀/(cN)],

exp (-DΔk), где DΔk ∼ Dk₀ImE₀/E₀ ∼ V²⁰/E²⁰,

R∈Ω

что пренебрежимо мало для тепловых нейтронов.

получаем, что квадратичная по потенциалу поправ-

Сумма в (26) расходится при ε → 0, поскольку

ка к энергии равна

2πb₁c

при этом U_g =

δε (g) →2πb1c

и не зависит

⌢

mΩ₀

mΩ

∫

k|(V - V0)G0(E0)(V - V0)|k

от g. Здесьδε (g) =

d³rδ_ε (r) exp(-igr). Конеч-



ное в этом пределе выражение получится, если



⌢

произвести следующее преобразование:



= k

(ΔVc +ΔV0)G0(E0)(ΔVc +ΔV0)

k =



∑

|U_g|²

ΔE₀

(27)

= ΔE_c + ΔE₀,

E₀ - (g + k)² /2m

g =0

⎛

⎞

где

∫



∑

Ω₀



⌢



=^⎝

d³gP⎠ ×



V cG0(E0)ΔVc

(24)

^k

(2π)

g =0



⌢



|U_g|

ΔE₀ = k

V₀G₀(E₀)ΔV0

^Δ

^k

+ ΔE′0 (ε) .

E₀ - (g + k)² /2m

∫

В итоге существуют две поправки второго порядка

Здесь

d³gP понимается как интеграл в смысле

к энергии: ΔE_c, связанная с отличием потенциала

главного значения, а

от среднего по различным конфигурациям распо-

Ω₀

ложения ядер, и ΔE₀, связанная с отличием сред-

ΔE′0 (ε) =

(28)

него по конфигурациям потенциала от среднего по

(2π)³

объему

∫

|U_g|²

× d³gP

E₀ - (g + k)² /2m

= E₀ + iη - V₀ - ΔE₀ - ΔE_c.

(25)

∫

d³rd³r^′V_ε(r)V_ε(r^′) ×

Ω₀

Потенциал ΔV₀(r) периодичен и может быть

∫

представлен разложением

d³g

exp[ig(r - r^′)]

∑

(2π)³

E₀ - (g + k)² /2m

ΔV₀(r) =

eigrU_g,

∫

cos (k |r - r^′|)

g =0

d³rd³r^′V_ε(r)V_ε(r^′)

2πΩ₀

|r - r^′|

где g — вектор обратной решетки. Подставляя это

2πb²c²

(

)

разложение в (24), получаем

1 + O(k²ε²)

∑

mΩ₀ ε√π

ΔE₀ =

U_gU_g′ 〈k| eig′rG₀(E₀)eigr |k〉.

Здесь в последнем равенстве использовано соот-

gg^′ = 0

ношение (10). Видно, что ΔE^′0(ε)/V0 ∼ b/ε, и, в

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

КОРРЕКЦИЯ КОНЦЕПЦИИ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛА ФЕРМИ

361

соответствии с общим правилом работы с псевдо-

применяем своеобразную “эргодическую гипоте-

потенциалом Ферми, этот вклад должен быть от-

зу”, согласно которой эту двухступенчатую проце-

брошен как нефизический. Т.е. в рассматриваемом

дуру заменяем прямым усреднением гамильтониана

приближении и для статической среды ΔE′0 (ε) =

(16) по ансамблю состояний кристалла. Степень

= 0. В (28), как и в (26), (27), принято, что Imb = 0.

ее адекватности следует выяснить в последующих

исследованиях. В настоящий момент существен-

но, что в предшествующих работах по нейтрон-

4. ВКЛАД КОЛЕБАНИЙ СРЕДЫ

b²c²

ной оптике влияние вклада ∼

было совсем

mΩ₀ε_T

Вывод о том, что энергетическое слагаемое (28)

не отражено, тогда как, например для кристал-

не должно учитываться, правилен для рассеяния

лов, меньший первый член из (27) фактически

на неподвижных ядрах. Однако при анализе дина-

содержится уже в уравнении (25) статьи Голдбер-

мической дифракции с учетом тепловых колебаний

гера и Зейтца [11]. В целом в данном вопросе

гамильтониан (16) должен быть усреднен по состо-

мы сталкиваемся с неформализованной проблемой

янию кристалла. При этом

об оптимальном выборе проекционного оператора

Накаджима-Цванцига P при выводе кинетических

V_ε(r - R) → V_T (r - R) =

(29)

уравнений для физических подсистем (в нашем

2πb

случае для подсистемы нейтрона в системе ней-

= 〈V_ε(r - R - u_R)〉_T =

δεT (r - R),

трон + кристалл). В общем случае, если суще-

√

ственная часть ρ₁ матрицы плотности, достаточная

ε_T =

ε² + ε2u, ε2u =

u2RT .

для описания кинетики подсистемы, определяется

соотношением ρ₁ = P ρ, где ρ — матрица плотности

Здесь u_R — смещение ядра из его среднего по-

всей системы с гамильтонианом H_S, то кинетика

ложения в узле R, а усреднение 〈· · ·〉_T произво-

подсистемы описывается уравнением

дится по равновесному распределению колебаний

∂

в кристалле. При выводе формулы (29) учтено,

ρ₁ = -iPLPρ₁ -

(30)

∂t

что в гармоническом приближении распределе-

ние смещений — гаусcово [9], т.е. 〈δ(r - u_R)〉_T =

∫

(

)

= δεu(r). Фурье-образ этой функции дает фактор

- dτP

P exp

-i

Pτ

PLPρ₁(t - τ) =

Дебая-Валлера в теории упругого однократного

рассеяния.

∫

Известно, что даже амплитуда нулевых коле-

= -i^Ωρ₁ - dτ M (τ)ρ₁(t - τ).

баний соизмерима с атомными масштабами [9] и

много больше, чем типичные значения амплитуды

рассеяния f. Поэтому в формуле (28) с ε → ε_T =

Здесь, как обычно (см., например, [23, 24]), исполь-

√

ε² + ε2u уже возможен переход к пределу ε →

зован супероператор L, определенный соотноше-

→ 0. При этом остается ε_T = ε_u, а радиус псевдо-

нием LF = [H_S, F ] , где F — обычный квантовоме-

потенциала ε исключается из всех связанных с (28)

ханический оператор,

P = 1 - P. Наша процеду-

величин.

ра усреднения гамильтониана (16) по ансамблю со-

стояний кристалла соответствует, например, про-

В этой ситуации соотношение (28) с ΔE′0(ε =

ектору P ρ = ρ_T Tr_T ρ, где след вычисляется по со-

= ε_T = ε_u) дает реальный ненулевой вклад в ΔE₀

стояниям кристалла, а ρ_T - его гиббсово равно-

и в динамику нейтрона. Отметим, что этот вклад

весное распределение. При этом матрица частот

∼(b/ε_u)V₀ и он существенно больше, чем первый

Ω описывает нейтронную оптику, причем

^Ωρ₁ =

член в (27), который имеет порядок ∼(b/Ω1/30)V₀.

[

]

⌢

= H₀ +

,ρ₁

. Ядро памятиM (τ) учитыва-

Обычно в теории неупругого рассеяния усред-

нение производится по начальной волновой функ-

ет все прочие процессы, среди которых наиболее

ции рассеивающего объекта. При этом дальнейше-

изучено некогерентное рассеяние фононами [1, 20],

му усреднению по гиббсову ансамблю состояний

которое выводит нейтроны из интерференции с

кристалла подлежат уже непосредственно наблю-

начальным пучком. Естественно, что ядро памяти

даемые величины, такие, например, как поток ней-

влияет и на нейтронную оптику, например, через

тронов. Такой подход тоже приведет к появлению

учет выбывания нейтронов из первичного пучка.

b²c

Аналогичную роль имеют матрица частот и релак-

вклада ∼

в энергетических параметрах (и

mΩ₀ε_T

сационный супероператор в кинетических уравне-

в законе дисперсии k(E₀)), но возможно отличие

ниях Линдблада, контуры соответствующей теории

в численных коэффициентах. Мы в данной работе

для нейтронной оптики строились в работе [25].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

362

ДЖЕПАРОВ, ЛЬВОВ

(

)

5. ПОПРАВКИ К ЭНЕРГИИ НЕЙТРОНА

2π

b²

= -e-2RImk

В СРЕДЕ

mZ ε_u

√π+ikb2

Таким образом, с учетом колебаний среды

В итоге, используя (17) и (32), получаем

⎛

⎞

∫

∑

Ω₀

ΔE_c = ΔE(0)c + ΔE(1)c,

(34)

ΔE₀ = lim

⎝

d³gP⎠ ×

gm→∞

(2π)

∑

(

)

g =0

ΔE(0)c = -Ω²⁰

R, R^′

e-2RImk ×

(35)

|U_g|

R∈Ω

× ϑ(g < g_m)

+ ΔE′0 (ε_u).

(

)

E₀ - (g + k)² /2m

2π

b²

+ ikb²

mZ ε√π

Теперь при любом конечном g_m можно выпол-

(

)

нить переход к ε = 0 и в первом слагаемом из (27).

2π

b²

= -c(1 - c)

+ ikb²

В итоге

mΩ₀

ε_u

√π

⁽ 2πbc⁾

ΔE₀ =

(31)

∑

2πb²c²

mΩ₀

ΔE(1)c =

(1 - δ_RR′ ) ×

(36)

⎛

⎞

∫

R,R^′∈Ω

∑

Ω₀

⎝

× lim

d³gP⎠ ×

(

))

) exp (ik |R-R^′|)

gm→∞

(2π)

×χ

R, R^′

exp

R-R^′

g =0

|R - R^′|

2πb²c

В случае рассеяния на аморфном образце, тол-

× ϑ(g < g_m)

E₀ - (g + k)² /2m

mΩ₀ ε_u

√π.

щина которого существенно больше радиуса кор-

реляции функции χ (R, R^′), соотношение (36) сов-

В этом выражении мы уже сняли ограничение

падает с корреляционной поправкой Лэкса-Сирса

b = b₁, использованное выше для упрощения об-

[16, 17].

суждения формулы (26).

Отметим, что в аморфной среде, т.е. в пределе,

когда c → 0, c/Ω₀ = const, получается, что ΔE₀ =

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

= 0.

Проведенное исследование показывает, что для

С точностью до квадратичных по псевдопотен-

применения в естественных задачах рассеяния низ-

циалу членов включительно

коэнергетических нейтронов псевдопотенциал дол-

∑

(

)

(

)

жен строиться так, чтобы выполнение оптической

ΔE_c = Ω²⁰

R, R^′

M_T

R, R^′

(32)

теоремы при рассеянии на изолированном рассеи-

R,R^′∈Ω

вателе происходило не в первом, а во втором по-

где, как и в (31), мы учли колебания среды заме-

рядке теории возмущений. При этом обеспечивает-

ной (29). При этом

ся возможность последовательного расчета более

(

)

(

)

сложных процессов динамической дифракции на

R, R^′

→M_T

R, R^′

(33)

больших рассеивающих системах.



⌢



Полученные соотношения (25), (31) и (34)-(36)



V_T (R)G₀(E₀)V T(R′)

^k

дают достаточно общее решение для поведения

∫

нейтронной волны в образце. Они показывают, что

(

))₁

(

))

= exp

R-R^′

d³rd³r^′ exp

r-r^′

в случае идеального кристалла (т.е. при c = 1, когда

W (R, R^′) = 0) длина упругого рассеяния Reb не

(

)

× V_T(r)G₀

R+r-R^′ -r^′

V_T (r^′).

дает вклад в ImE и, соответственно, в коэффициент

прохождения нейтронов. В случае аморфной среды

Если R = R^′, то можно пренебречь изменением

без корреляций W (R, R^′) = nδ (R - R^′) и, в глав-

G₀ (R + r - R^′ - r^′) на масштабе ε_u радиуса псев-

ном приближении по ReE, получается E = E₀ +

допотенциала, и

+ iη - V₀ + i2πnkb²/m, что приводит к классиче-

2πb

exp(ik |R - R^′|)

скому результату (3). При наличии же корреляций

M_T (R,R^′) = -

|R - R^′|

следует применять более общие формулы (25), (31)

и (34)-(36).

× exp(ik(R - R^′)).

В целом проведенное исследование показывает,

Если R = R^′, то интеграл уже был вычислен ранее

что для дальнейшего повышения точности пред-

(см. (7), (9)-(11)),

сказаний в нейтронной оптике необходимо более

2π

обстоятельное исследование на основе кинетиче-

M_T (R,R^′) = -e-2RImk

f⁽²⁾ =

ского уравнения (30) или его аналогов.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020

КОРРЕКЦИЯ КОНЦЕПЦИИ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛА ФЕРМИ

363

Благодарим за полезные обсуждения Л.Н. Бог-

12. M. D. Whitacker and H. G. Beyer, Phys. Rev. 55,

данову, А. Д. Гулько, Б.Л. Иоффе, Б.О. Кербикова,

1101 (1939).

В.В. Федорова и А.И. Франка.

13. L. J. Rainwater, W. W. Havens, Jr., J. R. Dunning, and

C. S. Wu, Phys. Rev. 73, 733 (1948).

14. V. F. Sears, Phys. Rep. 82, 1 (1982).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

15. H. Rauch and S. A. Werner, Neutron Interferometry

1. И. И. Гуревич, Л. В. Тарасов, Физика нейтронов

(Oxford Univ. Press, 2015).

низких энергий (Наука, Москва, 1965).

16. M. Lax, Phys. Rev. 85, 621 (1952).

2. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механи-

17. V. F. Sears, Phys. B 151, 156 (1988).

ка (Наука, Москва, 1989).

18. H. Ekstein, Phys. Rev. 83, 721 (1951).

3. А. Абрагам, М. Гольдман, Ядерный магнетизм:

19. G. V. Kulin, A. N. Strepetov, A. I. Frank, P. Gel-

порядок и беспорядок (Мир, Москва, 1984), т. 2.

tenbort, S. V. Goryunov, M. Jentschel, and

4. A. L. Barabanov and S. T. Belyaev, Eur. Phys. J. B 15,

D. V. Kustov, Phys. Lett. A 378, 2553 (2014).

59 (2000).

20. А. Ахиезер, И. Померанчук, Некоторые вопросы

5. В. В. Федоров, Нейтронная физика (Изд-во

теории ядра (Гос. изд-во тех.-теор. лит., Москва-

ПИЯФ, Санкт-Петербург, 2004).

Ленинград, 1950).

6. M. Utsuro and V. K. Ignatovich, Handbook of

21. Ф. С. Джепаров, Д. В. Львов, Письма в ЖЭТФ 72,

Neutron Optics (Wiley-VCH Verlag, 2010).

518 (2000) [JETP Lett. 72, 360 (2000)].

7. Ф. С. Джепаров, Д. В. Львов, Нейтронные

22. Н. Марч, У. Янг, С. Сампантхар, Проблема многих

исследования конденсированных сред (НИЯУ

тел в квантовой механике (Мир, Москва, 1969).

МИФИ, Москва, 2012).

23. Д. Форстер, Гидродинамические флуктуации,

8. E. Fermi, Ricerca Sci. 2, 13 (1936).

нарушенная симметрия и корреляционные

9. Дж. Займан, Принципы теории твердого тела

функции (Атомиздат, Москва, 1980).

(Мир, Москва, 1974).

24. F. S. Dzheparov and D. V. Lvov, Appl. Magn. Reson.

10. О. Маделунг, Теория твердого тела (Наука,

48, 989 (2017).

Москва, 1980).

25. L. Lanz and B. Vacchini, Phys. Rev. A 56, 4826

11. M. L. Goldberger and F. Seitz, Phys. Rev. 71, 294

(1997).

(1947).

CORRECTION OF THE FERMI PSEUDOPOTENTIAL CONCEPT

IN THE THEORY OF DYNAMIC SCATTERING OF THERMAL NEUTRONS

F. S. Dzheparov^1),2), D. V. Lvov^1),2)

¹⁾NRC “Kurchatov Institute” — ITEP, Moscow, Russia

²⁾National Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute),

Moscow, Russia

The passage of thermal neutrons through a crystal or disordered medium is considered. The necessity

of changing the standard concept of the Fermi pseudopotential to obtain a uniform description of the

interference effects in crystalline and amorphous media is revealed. It is shown that a pseudopotential,

which correctly reproduces the amplitude of scattering at one center in the second order of perturbation

theory, leads to satisfactory results. General relations have been obtained that describe the passage of a

neutron wave at arbitrary degree of orderliness of matter.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№4

2020