ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 6, с. 482-494

ЯДРА

САМОСОГЛАСОВАННЫЙ РАСЧЕТ ЗАРЯДОВЫХ РАДИУСОВ

В ДЛИННОЙ ИЗОТОПИЧЕСКОЙ ЦЕПОЧКЕ58-82Cu

Поступила в редакцию 14.05.2020 г.; после доработки 08.06.2020 г.; принята к публикации 08.06.2020 г.

Проведены расчеты зарядовых радиусов в длинной изотопической цепочке меди, содержащей

нечетные ядра58,79Cu, вблизи экзотических дважды магических ядер58,78Ni и ядер с магическими

подоболочками N = 32, 34, 40. Используются самосогласованная теория конечных ферми-систем и

семейство энергетических функционалов плотности, предложенных Фаянсом и др. (DF3, DF3-а...).

Проведено сравнение с экспериментом и расчетами в самосогласованных моделях, использующих

новые версии функционала Фаянса, с параметрами, полученными с помощью расширенного оптимиза-

ционного протокола: Fy(std) и Fy(HFB, ∇r), а также с ab-initio расчетами в ренорм-групповой модели

и с расчетом с зависящим от плотности спин-орбитальным взаимодействием, полученным на основе

3N-взаимодействия. Проанализированы возможные механизмы обнаруженного в экспериментах

ISOLDE-CERN ослабления четно-нечетного “дрожания радиусов” при приближении к замкнутой

нейтронной оболочке N = 50. Показана корреляция изотопических зависимостей зарядовых радиусов

и полных энергий бета-распада.

DOI: 10.31857/S0044002720060100

1. ВВЕДЕНИЕ

самосогласованных подходов. Подход в теории

структуры атомного ядра, основанный на методе

Ускорители радиоактивных ионов — “фабрики

энергетического функционала плотности, приме-

редких изотопов” (FRIB), использующие вторич-

ним в широкой области ядерной карты. Изучение

ные пучки продуктов деления, открыли новые

характеристик основных состояний экзотических

перспективы синтеза короткоживущих нуклидов,

ядер дает уникальную возможность установления

сильно обогащенных нейтронами [1]. В совре-

ограничений на структуру и параметры нормальной

менных проектах ускорения ионов мощными

и спаривательной компонент ядерного функциона-

лазерными импульсами с пиковой мощностью

ла плотности.

экзаваттного уровня ((1-2)10¹⁷ Вт) ионные пучки

Особая роль принадлежит зарядовым ядерным

будут иметь плотности, на порядки превышающие

радиусам, содержащим информацию о мезоскопи-

доступные на классических ускорителях, что

ческой природе атомных ядер. Глобальные законо-

позволит синтезировать тяжелые ядра с нейтрон-

мерности изменения размеров ядер (их протонного,

ными избытками, близкими к экстремальным [2].

нейтронного, массового или зарядового радиусов)

Тем не менее значительная часть экзотических

с ростом массового числа описываются простой

тяжелых и сверхтяжелых ядер недоступна в земных

жидкокапельной формулой R = r₀A1/3, следую-

условиях. Для теоретического анализа свойств

щей из макроскопического подхода. Однако экс-

экзотических нейтронно-избыточных систем и

периментально наблюдается другая, более слабая

получения ядерных данных около

2000

экспе-

A-зависимость, приводящая к “отрицательному”

риментально неизвестных ядер, позволяющих

(по сравнению с жидкокапельным) изотопическому

моделировать процесс быстрого астрофизического

сдвигу радиусов. Более того, наблюдаются замет-

нуклеосинтеза (r-процесс), необходимо развитие

ные локальные флуктуации зарядовых радиусов.

¹⁾Национальный исследовательский центр “Курчатовский

Это специфически квантовое явление, отражаю-

институт”, Moсква, Россия.

щее эволюцию оболочечной структуры ядер. Наи-

²⁾Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбо-

более яркие примеры нерегулярностей изотопиче-

ва, Объединенный институт ядерных исследований, Дуб-

ской зависимости зарядовых радиусов — локаль-

на, Россия.

ные минимумы (или максимумы) при пересече-

³⁾Московский физико-технический институт (националь-

нии замкнутых оболочек и четно-нечетное “дро-

ный исследовательский унивеситет), Долгопрудный, Рос-

сия.

жание” радиусов (odd-even staggering или OES-

^*E-mail: Borzov_IN@nrcki.ru

эффект) [3].

482

САМОСОГЛАСОВАННЫЙ РАСЧЕТ ЗАРЯДОВЫХ РАДИУСОВ

483

В последнее время количество информации о

с величинами их относительного энергетического

зарядовых радиусах ядер резко возросло благо-

сдвига.

даря развитию высокочувствительного метода —

Эффект четно-нечетного “дрожания” зарядо-

коллинеарной резонансной ионизационной спек-

вых радиусов был впервые последовательно объ-

троскопии (CRIS) [4]. Новые данные об их изо-

яснен в рамках самосогласованной теории конеч-

топической зависимости, полученные в ISOLDE-

ных ферми-систем (ТКФС), использующей фор-

CERN, позволяют проверить предсказания мик-

мализм теории энергетического функционала плот-

роскопических самосогласованных моделей для

ности (ЭФП). В этом подходе, использующем се-

сильно нейтронно-избыточных изотопов. В изото-

мейство ЭФП, развитом Фаянсом и др. [14-21],

пах Са при заполнении орбиталей вблизи новой

результирующие эффективные NN-силы не за-

магической нейтронной подоболочки N = 32 обна-

ружен аномальный рост зарядовых радиусов, на-

висят от энергии, но зависимость ЭФП от ядер-

ной плотности ρ более сложна, чем в известных

пример в⁵²Са (относительно⁴⁸Ca) δ〈r^2ch〉(48, 52) =

функционалах Скирма [22, 23]. Поверхностные и

= 0.530(5) фм² [5]. Аналогичная тенденция роста

спаривательные компоненты в версиях ЭФП Фа-

〈r^2ch〉 при N > 28 обнаружена в изотопических це-

янса DF3, FaNDF0 зависят от градиента ядерной

почках K [6], Cr [7] и [8]. Измерения в изотопах

плотности, эффективно учитывающего связь с фо-

Sn показали, что изотопическая зависимость их

нонными возбуждениями, что позволило впервые

зарядовых радиусов при N > 82 отлична от экс-

объяснить OES-эффект [16, 17].

траполированной на основе плавного роста ради-

усов, наблюдаемого при заполнении нейтронной

Тонкая калибровка ЭФП Фаянса была про-

оболочки N = 82. Зарядовый среднеквадратич-

ведена с учетом систематики Х. Граве и др. [24],

ный радиус тяжелого нестабильного изотопа олова

содержащей

105

экспериментальных (из них

¹³⁴Sn (относительно¹²⁴Sn) более чем на на 70%

несколько оцененных) одночастичных энергий

превышает радиус дважды магического¹³²Sn [9].

и 65 спин-орбитальных расщеплений (включая

Наблюдается излом в 〈r^2ch〉(N) при пересечении

данные по “новым” дважды магическим ядрам

оболочки N = 82, аналогичный известному “kink”-

⁷⁸Ni,100,132Sn). Соответствующий ЭФП Фаянса

эффекту, найденному для оболочки N = 126 в ядре

DF3-а [19] позволил описать 〈r^2ch〉 для ряда изо-

²⁰⁸Pb [10].

топических цепочек с точностью 0.01-0.02 фм [20,

Систематические исследования OES-эффекта

21], превосходящей точность современных версий

в области от Z = 20 до Z = 26 указывают на

ЭФП Скирма [22, 23].

его подавление в изотопах Fe [11], соответствую-

В рамках самосогласованной ТКФС учиты-

щее увеличению силы нейтрон-протонного взаимо-

ваются также локальные флуктуации зарядовых

действия. Особенности проявления OES-эффекта

радиусов, связанные с вкладом квазичастично-

изучались также для тяжелых изотопов Cd [12] и

фононного взаимодействия. Явный учет фонон-

легких нейтронно-дефицитных изотопов Ca [13].

фононных корреляций [25] одновременно снимает

Объяснение изотопических нерегулярностей

известную проблему “обратной параболы” зарядо-

зарядовых радиусов — чувствительный тест для

вых радиусов Са (их равенство для изотопов с N =

самосогласованных моделей структуры атомного

= 20 и 28) и проблему аномального роста радиусов

ядра, основанных на теории энергетического

при N > 28 c формированием “нейтронной шубы”

функционала плотности. Излом в N-зависимости

(разности среднеквадратичных радиусов протон-

зарядовых радиусов объясняется, в основном,

плотностной зависимостью спин-орбитального

ных и нейтронных распределений плотности). Эти

изотопические аномалии зарядовых радиусов ра-

взаимодействия. Другим важным фактором яв-

ляется сильное нейтрон-протонное притяжение,

нее не удавалось описать с помощью функциона-

приводящее в самосогласованном подходе к вза-

лов Скирма. Отметим, что недавно обнаруженный

имосвязи нейтронного и протонного радиусов. В

излом в изотопической зависимости 〈r^2ch〉 при пе-

результате, при заполнении нейтронных орбиталей

ресечении оболочки N = 82 в изотопах Sn отлично

сверх главной оболочки, особенно тех, которые

описывается с функционалами Фаянса [9, 21].

имеют большую пространственную протяжен-

ность, увеличивается и протонный радиус (умень-

В настоящее время к функционалу Фаянса при-

шается энергия симметрии). Роль последовательно

влечено значительное внимание. Зависимость от

релятивистского описания спин-орбитального

нормальной плотности этого ЭФП более слож-

взаимодействия была продемонстрирована в [10].

ная, чем у ЭФП Скирма, а спаривательная часть

Масштаб изотопических нерегулярностей радиу-

содержит зависимость от нуклонной плотности и

сов зависит от (Z, N) ядра и меняется для различ-

от ее градиента. Нестандартный анзац обуслав-

ных сочетаний замкнутых оболочек в соответствии

ливает более высокую точность описания свойств

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№6

2020

484

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

основных состояний ядер и согласуется с равно-

2. ЗАРЯДОВАЯ ПЛОТНОСТЬ

весной ядерной плотностью, что позволяет объ-

И СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЙ РАДИУС ЯДРА

яснить тонкие особенности OES-эффекта в энер-

гиях связи и зарядовых радиусах широкого круга

Среднеквадратичный (mean-square) зарядовый

радиус атомного ядра определяется через заря-

ядер. Для анализа новых экспериментов ISOLDE-

CЕRN использовались самосогласованные модели

довую плотность ρ_ch(r). Прецизионные измерения

с новыми версиями функционала Фаянса Fy(std)

сечений упругого рассеяния электронов с энергия-

и Fy(HFB, ∇r), параметры которых получены с

ми E_e ≈ 500 МэВ позволили безмодельным обра-

помощью расширенного оптимизационного прото-

зом извлечь зарядовые плотности ядер и создать

кола [11-13, 26].

систематику зарядовых радиусов [33]:

∫

Радиусы распределений материи и заряда для

цепочек изотопов (изотонов) с магическими N(Z)

〈r^2ch〉 =

r²ρ_ch(r)d³r.

(1)

рассматривались также с полумикроскопиче-

ским, зависящим от плотности спин-орбитальным

Изотопические разности среднеквадратичных

взаимодействием, полученным из свойств

3N-

радиусов (differential mean-square) dms-радиусы

взаимодействия в модели [27]. Расчеты нацелены, в

δ〈r^2ch(A, A^′)〉 непосредственно связаны с наблю-

основном, на определение степени магичности ядра

даемыми величинами — изотопическими смеще-

по изотопическому поведению зарядовых радиусов.

ниями сверхтонкой структуры энергий атомных

Показано,что форма “излома” в R_ch(N) (поло-

уровней.

жительный излом — “кink” или отрицательный —

anti-“kink”) связана с последовательностью за-

Распределение плотности заряда ядра ρ_ch(r)

полнения спин-орбитальных партнеров j ± 1/2.

характеризуется радиальными моментами [34]:

В такой модели также удается описать “kink”-

(∫

)1/n

rⁿρ_ch(r)d³r

эффекты при пересечении магических оболочек.

R_n = (〈rⁿ〉)1/n =

∫

(2)

Для расчета зарядовых радиусов использовался

ρ_ch(r)d³r

и ab-initio подход ренорм-группы [28]. В рам-

ках этой модели rms-радиусы недооцениваются

Обычно используется так называемый rms-_√

для взаимодействия EMI1.8/2.0 и переоценивают-

радиус (root-mean-square) R_ch =

〈r^2ch〉. Точность

ся для взаимодействия PWA, так как они не вос-

современных измерений изотопических сдвигов

производят значение ядерной равновесной плотно-

достигает диапазона нескольких герц и уже позво-

сти ρ₀.

ляет анализировать информацию, содержащуюся в

В настоящей работе проведены самосогласо-

моментах более высокого порядка [35].

ванные расчеты зарядовых радиусов в изотопах Сu

с использованием энергетического функционала

В полностью самосогласованном структурно-

плотности DF3-а [19]. Последовательно самосо-

ядерном подходе рассчитываются нуклонные плот-

гласованное описание основных состояний полу-

ности в приближении точечных нуклонов:

магических ядер с нечетным Z представляет слож-

∑

ную задачу, требующую введения ограничений на

ρ_τ (r) =

n^τλφ^τλ(r).

(3)

времени-нечетные компоненты нуклонной плотно-

jls

сти [29], тогда как часто используемое приближе-

Здесь φ^τλ — одноквазичастичные волновые функ-

ние “усредненного заполнения” не дает их точного

ции нуклонов в сферическом самосогласованном

описания [30]. Характеристики основных состоя-

одночастичном потенциале, где λ = j, l = j ± 1/2,

ний изотопической цепочки Cu вызывают особый

s —стандартный набор квантовых чисел, τ = p,n;

интерес в связи с наличием в ней экзотических

n^τλ — числа заполнения нуклонных орбиталей,

слабосвязанных ядер⁵⁸Cu и⁷⁹Сu, содержащих

найденные в самосогласованном поле спарива-

непарный нуклон сверх магической оболочки. В

ния. Оценка показывает, что величина тонкого

недавних экспериментах [31] измерены зарядо-

расщепления в нечетно-нечетных изотопах меди

вые радиусы изотопов Cu вблизи замкнутых под-

составляет ±50 кэВ, что оправдывает усреднение

оболочек N = 32, 34, 40. Цель работы — иссле-

по спиновым компонентам в

(3). Нормировка

довать причины обнаруженного в экспериментах

плотностей на полное число нейтронов — N (про-

ISOLDE-CERN [32] ослабления четно-нечетного

тонов — Z).

“дрожания радиусов” изотопов Сu, приближаю-

щихся к полумагическому ядру⁷⁹Сu. Представляет

Прецизионное описание модельно независимых

также интерес наличие корреляций изотопической

зарядовых плотностей, извлекаемых из сечений

зависимости зарядовых радиусов, энергий связи и

упругого рассеяния электронов с E_e = 500 МэВ на

полных энергий бета-распада в длинной цепочке

ядрах с заполненными главными оболочками [34],

изотопов Cu.

показало, что в точечные плотности ρ_τ следует

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№6

2020

САМОСОГЛАСОВАННЫЙ РАСЧЕТ ЗАРЯДОВЫХ РАДИУСОВ

485

добавить релятивистские и спин-орбитальные по-

равноправной основе, что приводит к эффективно-

правки [36, 37], а распределение заряда нукло-

му сокращению этих вкладов в эффективной массе.

нов можно достаточно точно учесть формфактора-

В результате она практически совпадает с массой

ми F_Eτ , описывающими эффекты пространствен-

нуклона m^∗ = m_N . Поэтому самосогласованная

ной конечности нуклонов и их электромагнитную

ТКФС, использующая формализм ЭФП, является

структуру [38]:

вариантом метода энергетического функционала

∫

∑

Кона-Шема. В таком подходе правомерен также

ρ_ch(r) =

ρ_τ (r - r^′)F_Eτ (r^′)d³r^′,

(4)

критерий точности описания плотности одноча-

стичных состояний вблизи поверхности Ферми и

детального сравнения их энергий с эксперимен-

здесь протонный и нейтронный формфакторы (4)

тальными.

параметризуются в дипольном приближениии из

В настоящей работе используется ЭФП DF3-

условия описания зарядовых радиусов протона

а [15, 18]. Подробное описание различных версий

и нейтрона: 〈r2p〉 = 0.7080(32) фм² [39] и 〈r2n〉 =

ЭФП Фаянса можно найти в [15, 21]. Остановим-

= -0.117(4) фм² [40].

ся лишь на основных деталях, необходимых для

В результате среднеквадратичный зарядовый

дальнейшего обсуждения. В отличие от известных

радиус ядра приобретает вид [34]

ЭФП Скирма [22, 23], зависимость от ядерной

плотности ρ для ЭФП Фаянса более сложная. Для

〈r^2ch〉 = 〈r2p〉 + 〈δr^2ch〉_p +

(5)

объемной и поверхностной частей ЭФП эта за-

+ N/Z〈δr^2ch〉_n + 〈r2s-o〉 + 〈r^2cm〉,

висимость симулируется дробно-линейным Паде-

приближением [17] — в схематической форме име-

где 〈r2p〉 — среднеквадратичный протонный радиус,

ем

отвечающий точечной плотности (3), а поправки к

ϵ(ρ) = (1 + h₁ρ^α)/(1 + h₂ρ^σ),

нему упомянуты выше.

Полностью самосогласованные расчеты радиу-

где h₁, h₂, α, σ — параметры. При h₂ = 0 зави-

сов ядер основаны на обобщенном энергетическом

симость функционала от ρ более “жесткая”, как у

функционале плотности, зависящем от нормальной

ЭФП Скирма.

ρ и аномальной плотностей ν:

Плотность энергии спаривания ε_pair имеет вид

∫

1^∑

E[ρ, ν] = E(ρ(r), ν(r))d³r.

ε_pair(r) =

F^ξ,τ(ρ₊(r))|ν_τ (r)|²,

τ=n,p

Гамильтониан среднего поля h(1, 2) и потенциал

где ρ₊ = ρ_n + ρ_p. При учете вклада в энергию

спаривания Δ(r) находятся как вариации ЭФП

взаимодействия многочастичных сил и корреляций

по ρ и ν:

зависит от нормальной плотности

амплитуда F^ξ,τ

δE

x₊ = ρ₊/2ρ₀, где ρ₀ — равновесная ядерная плот-

h(1, 2) =

δρ(2, 1)

ность:

δE

F^ξ,τ = F^p,p = F^n,n = C₀f^ξ(x₊).

Δ(r) =

δν(r)

В наших расчетах основные состояния ядер описы-

где 1 = (r₁, σ₁), 2 = (r₂, σ₂) — пространственные и

ваются функционалом DF3-a. Учтены плотност-

спиновые координаты. Итерационная HF + BCS-

ные и зависящие от градиента плотности компо-

процедура в самосогласованной ТКФС позволяет

ненты спаривания; параметризация f^ξ имеет вид

определить основное состояние ядра, отвечающее

f^ξ(x₊(r)) = fξex + h^ξ(x₊)^q(r) + f^Sr²⁰ (∇x₊(r))² ,

условию минимума энергии, волновые функции

и числа заполнения, необходимые для расчетов

где

fξex — силовая константа нуклонного спарива-

плотностей и радиусов связи.

ния вне ядра.

В качестве критерия точности самосогла-

Параметры функционала спаривания выбира-

сованного расчета ядерных радиусов в ТКФС

лись из оптимального описания энергий отделе-

используется, во-первых, описание модельно-

ния нейтрона S_n и S2n (рис. 1а, б). Cогласие с

независимых зарядовых плотностей, извлекаемых

экспериментом по S_n в изотопах Cu на уровне

из сечений упругого рассеяния электронов с E_e =

≈100-200 кэВ (рис. 1а) (за исключением66,68Cu,

= 500 МэВ [34].

где отклонения ≈600 и 700 кэВ), а для S2n — на

Во-вторых, согласно с общими представления-

уровне ≈100-200 кэВ (рис. 1б) (за исключением

ми теории многих тел, в самосогласованной ТКФС

65-68Cu, где отклонения до ≈1300 кэВ). Использо-

зависимость массового оператора от импульса

(скоростные силы) и от энергии учитывается на

валась аппроксимация f^ppξ = f^nnξ = f^npξ = f^ξ. Для

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№6

2020

486

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

области изотопов Cu значение силового параметра

DF3-a

exp.

f^ξ = 0.28. Нормировка C₀ = 300 МэВ фм³, a па-

syst.

раметр обрезания равен 40 МэВ [19]. Для изучения

f ^ξ = -1.05, h^ξ = 0.52, f ^S = 2

чувствительности радиусов к силовому параметру

f ξ = -1.05, h^ξ = 0.91, f ^S = 0

градиентного спаривания он варьировался в преде-

лах f^S = 0.0-2.0.

На рис. 1б приведены рассчитанные значения

энергий отделения двух нейтронов S2n. Корреля-

ция между 〈r^2ch〉 и величиной S2n обсуждалась в

работе [18], а между 〈r^2ch〉 и вероятностями запаз-

дывающей эмиссии двух нейтронов P2n — в ра-

боте [42]. На рис. 1в также приведены значения

полных энергий бета-распада Q_β, полученные с

найденной параметризацией функционала спари-

вательной компоненты функционала.

В уравнениях ТКФС точно учтен эффект поля-

ризации, вызывающий деформацию кора нечетным

протоном (и/или нейтроном). Для простой оценки

влияния деформации можно также использовать

подход Бора-Моттельсона, в котором увеличение

радиуса при деформации ядра описывается форму-

лой

(

)

∑

〈r²〉 = 〈r^2sph〉

1 + 5/4π β²

(6)

здесь β_i — параметры деформации i-порядка, а

〈r2s〉 — среднеквадратичный радиус сферического

ядра того же объема.

В работе [43], в которой для оценки вклада де-

формации в четных по N изотопах использовались

данные по спектроскопическим квадрупольным

моментам, было показано, что спад экспери-

ментальных радиусов в области подоболочки

N = 40 не объясняется одним лишь влиянием

деформации, конкурирующие вклады спаривания и

многочастичных корреляций делают спад не столь

-10

резким. В ТКФС возможно учесть флуктуирующий

(A-зависимый) вклад в нуклонные плотности,

связанный со взаимодействием квазичастиц с фо-

нонами (низкоэнергетическими колебаниями ядра).

Рис. 1. а — Рассчитанные с DF3-а энергии отделения

Увеличение радиуса за счет вклада квазичастично-

нейтрона для изотопов Cu (в зависимости от числа

фононного взаимодействия, во-первых, эффек-

нейтронов) в сравнении с экспериментальными [41];

тивно включено в поверхностной части функ-

б —рассчитанные с DF3-а энергии отделения двух

нейтронов для изотопов Cu (в зависимости от числа

ционала

[25]. Во-вторых, градиентный член в

нейтронов) в сравнении с экспериментальными [41];

эффек- тивном спаривательном взаимодействии,

в —рассчитанные с DF3-а полные энергии бета-

абсолютно необходимый для описания дрожания

распада — Q_β (в зависимости от числа нейтронов) в

радиусов, также обусловлен взаимодействием с

сравнении с экспериментальными [41].

фононами.

Отметим в заключение, что оптимизационный

протокол для ЭФП Фаянса включает, наряду с

массами и одночастичными энергиями, также за-

Фаянса FaNDF0. В последнее время аналогичный

рядовые радиусы “эталонных” ядер [17, 19]. Та-

кой подход применялся и в работах Ю и Бул-

подход применяется в работах [26, 32], активно

гака [44], эксплуатирующих оригинальный ЭФП

развивающих версию ЭФП Фаянса Fy(HFB, ∇r).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№6

2020

САМОСОГЛАСОВАННЫЙ РАСЧЕТ ЗАРЯДОВЫХ РАДИУСОВ

487

4.0

Cu (Z = 29)

3.9

Exp

f ^ξ = -1.05, h^ξ = 0.52, f^S = 2

3.8

f ^ξ = -1.05, h^ξ = 0.91, f^S = 0

(⁶⁵Cu)(A/65)^1/3

R_ch

1.2

0.8

0.4

DF3-a

f ^ξ = -1.05, h^ξ = 0.52, f^S = 2

-0.4

f ^ξ = -1.05, h^ξ = 0.91, f^S = 0

exp (new)

exp (old)

-0.8

syst. err.

Рис. 2. а — Рассчитанные с DF3-а и экспериментальные среднеквадратичные зарядовые радиусы для изотопов Cu

[31, 32] в зависимости от числа нейтронов; б — рассчитанные с DF3-а и экспериментальные дифференциальные

(относительно N = 66) средние квадраты зарядовых радиусов для изотопов Cu [31, 32] в зависимости от числа нейтронов.

Точки соответствуют диапазону систематической погрешности эксперимента.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

наших расчетов в сравнении с экспериментальны-

ми данными из работы [31] для58-62,67Cu и новы-

Изотопическая цепочка Cu c Z = 29 находится

ми экспериментальными данными из работы [32]

в самой нейтронно-избыточной области ядерной

карты вблизи дважды магического⁷⁸Ni и включа-

для63-78Cu. Можно заключить, что в расчете без

ет экзотические ядра с магическими нейтронными

градиентного спаривания OES-эффект практиче-

оболочками⁵⁸Cu и⁷⁹Сu и магическими подобо-

ски отсутствует. Расчеты с градиентным спарива-

лочками N = 32, 34, 40. В изотопах Cu имеется

нием f^s = 1.0-2.0 качественно отражают основ-

нечетный протон сверх полностью заполненной

ные тенденции изменения экспериментальных rms-

оболочки πf7/2. Исследования зарядовых радиусов

радиусов до области главной нейтронной оболочки

в таких системах могут дать дополнительные дета-

N = 49-51. Воспроизводятся основные свойства

ли для понимания протон-нейтронного и спарива-

экспериментальной изотопической зависимости —

тельного взаимодействий.

более выраженный рост радиусов для изотопов с

малым избытком нейтронов вплоть до N = 32-34

и его замедление для “межоболочечной” области

3.1. Изотопическая зависимость rms-радиусов R_ch

N = 36-42. Наши расчеты предсказывают замет-

Изотопическая зависимость rms-радиусов R_ch

ный “kink”-эффект при пересечении главной ней-

представлена на рис. 2а, где показаны результаты тронной оболочки N = 50 и cущественное сгла-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№6

2020

488

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

)

0.015

0.010

0.005

-0.005

-0.010

DF3-a

-0.015

exp.

f ^ξ = -1.05, h^ξ = 0.52, f^S = 2

f ^ξ = -1.05, h^ξ = 0.91, f^S = 0

−0.020

Рис. 3. Рассчитанные с DF3-а и экспериментальные [31, 32] 3-точечные OES-параметры зарядовых радиусов R_ch для

изотопов Cu в зависимости от числа нейтронов.

живание осцилляций радиусов после пересечения

ядра — стабильного изотопа с N = 46. Как вид-

главной нейтронной оболочки N = 50.

но, в области 44 < N < 49, где новые измере-

Для сильно нейтронно-дефицитных изотопов с

ния [32] показывают значительно меньшую ам-

числом нейтронов N = 29-30 недооценка R_ch в

плитуду OES-осцилляций, расчет с сильным гра-

нашем расчете cоставляет около 0.04 фм, т.е. <1%,

диентным спариванием завышает данные и недо-

тогда как в области N = 31-35 вблизи новых

статочно полно воспроизводит сглаживание изо-

магических подоболочек N = 32, 34 недооценка

топической зависимости величин R_ch и δr²(N =

R_ch гораздо меньше — около 0.02 фм. Вопрос об

= 46, N^′). Следует отметить, что “эффект иска-

ослабленном проявлении подоболочки N = 40 в

жения” для дифференциальных dms-радиусов ча-

изотопической зависимости радиусов подробно об-

стично обусловлен влияющей на “положение” ре-

суждался в работе [31]. В нашем расчете в области

перной точки отсчета погрешностью расчета сред-

замкнутой подоболочки 39 < N < 41, где типич-

неквадратичного радиуса для N = 46 (-0.012 фм).

ная амплитуда OES-осцилляций 0.015-0.020 фм,

Вблизи магических подоболочек N = 32, 34, 40 (и

недооценка R_ch cоставляет около 0.01 фм.

главной оболочки N = 50), где спаривание несу-

Важно, что даже в предположении достаточно

щественно, расчет занижает (завышает) значе-

сильного градиентного спаривания f^s = 2.0, в рас-

ния δr²(N = 46, N^′) по сравнению с измерения-

чете нет сглаживания R_ch в области вблизи N =

ми CRIS-CERN [31, 32]. По-видимому, эффек-

= 50, хотя экспериментальные rms-радиусы так-

ты деформации в этих областях N не играют

же описываются с точностью до 0.01 фм. Таким

значительной роли. Было бы интересно оценить

образом, в отличие от результата работы [32],

возможную переоценку экспериментальных дан-

эффект выполаживания появляется только после

ных из-за неучета плотностной зависимости и 3N-

пересечения главной нейтронной оболочки. Такая

корреляций в используемом двухчастичном спин-

особенность, как правило, наблюдается и в других

орбитальном эффективном взаимодействии. Вели-

наших расчетах [21].

чина R_ch изотопа с Z = 29, N = 50 из расчета в [27]

(единственная доступная для сравнения) почти на

3.2. Изотопическая зависимость

0.2 фм выше полученной в нашем расчете.

cреднеквадратичных радиусов 〈r^2ch〉

и dms-радиусов

В системе с нечетным протоном сверх пол-

На рис. 2б расчет представлен в стандартной

ностью заполненной πf7/2-оболочки заполнение

форме N-зависимости среднеквадратичных ради-

нейтронной оболочки ν1g9/2 и следующих за ней

усов δr²(N = 46, N^′) относительно референтного

орбиталей может вызвать инверсию спина основ-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№6

2020

САМОСОГЛАСОВАННЫЙ РАСЧЕТ ЗАРЯДОВЫХ РАДИУСОВ

489

ного состояния. В экспериментах по измерениям

3.3. Изотопическая зависимость OES-параметров

магнитных моментов [45] было установлено, что за

зарядовых радиусов и энергетических

характеристик

счет сильного нейтрон-протонного взаимодействия

это происходит в изотопах Cu с A > 75: 2p3/2 →

На рис.

приведены рассчитанные вели-

→ 1f5/2. Естественно ожидать влияния инверсии

чины

3-точечных OES-параметров для δ(3)R =

на свойства основных и возбужденных состояний

= (RA+1 - 2R_A + RA-1)/2. Такое представление,

ядер. Именно в этой области экспериментальные

во-первых, подчеркивает выполаживание изото-

значения R_ch в изотопах Cu обнаруживают (в

пической зависимости радиусов после N = 45.

пределах ошибок) тенденцию к ослаблению EOS-

Во-вторых, для дифференциальных величин имеет

осцилляций. Предыдущие расчеты в формализме

место сокращение поправок на движение центра

DF3-a + CQRPA, обобщенном для учета спиновой

масс. Видно, что в отличие от области N =

инверсии [46], показали, что для изотопов Cu с

= 36-42 зависимость Δ⁽³⁾ от A области N < 35 в_R

A > 75 фиксирование нечетного протона в квази-

нашем подходе лучше описывается с более слабым

частичном состоянии π1f5/2 приводит к лучшему

градиентным спариванием. В расчете использова-

согласию с экспериментальными временами жизни

лись значения f^s = 2.0 и f^s = 1.65 (последнее не

β-распада и P_xn, чем для π1p3/2. В частности,

показано, чтобы не загружать рисунок деталями).

такой метод лучше описывает недавние данные

Расчеты с более слабым градиентным спариванием

RIKEN для A > 78 [47]. Однако результаты расче-

лучше описывают OES-эффект при приближении

та зарядовых радиусов, в которых спин основного

к N = 50 (в пределах статистических ошибок)

состояния для A > 75 фиксировался как 2p3/2,

и дают заметное уменьшение осцилляций для

лишь незначительно отличаются от расчета со

N > 50.

спином 1f5/2, соответствующим минимуму полной

На рис. 4а, 4б приведены рассчитанные OES-

энергии. Видимо, здесь необходимы расчеты с яв-

параметры для энергий связи Δ⁽³⁾ и полных энер-_E

ным учетом деформации, несмотря на то, что в ра-

гий бета-распада — Δ⁽³⁾ . Расчет OES-парамет-_Q

боте [31] указывалось, что в “межоболочечной” об-

ласти N = 36-42 можно ожидать лишь небольшо-

ров — Δ(3)E

для энергий связи E_B (рис. 4a) пока-

го влияния статической деформации на зарядовые

зывает ослабление осцилляций радиусов при при-

радиусы. В ТКФС-подходе эффект поляризации,

ближении к замкнутой оболочке N = 50 и уси-

вызывающий деформацию кора нечетным прото-

ление связи для 79Cu. На рис. 4б приведены

ном (и/или нейтроном), учтен точно. Этот механизм

также рассчитанные OES-параметры для полных

приводит к деформации на уровне β₂ < 0.05, что

энергий бета-распада — Δ⁽³⁾ . Расчет демонстри-_Q

согласуется с систематикой экспериментальных

рует ослабление OES-эффекта как в нейтронно-

данных по квадрупольным моментам [48]. Простая

дефицитной области (где точка N = 29, естествен-

оценка максимальной деформации для изотопов

но, “выпадает”), так и при приближении к N = 50.

меди с A = 70-75 по модели Бора-Моттельсона

Таким образом, можно говорить о корреляции всех

также дает β₂ ∼ 0.06. Столь слабая деформация

рассмотренных выше характеристик.

вряд ли устранит замедление роста зарядовых ра-

диусов с увеличением числа нейтронов в этой об-

ласти. (Заметим, что расчет в FRDM [49] дает для

3.4. Сравнение результатов с существующими

этой области деформацию β₂ = 0.15-0.17.)

расчетами

В методе HFB с использованием недавней вер-

Можно заключить, что для более определенных

сии ЭФП Фаянса Fy(HFB, ∇r) [32] эксперимен-

выводов необходимы детальные расчеты с уче-

тальные данные при N < 34 недооценены пример-

том деформации в рамках DF3+HFBTHO [50].

но на 0.4-0.6 фм, но неплохо описываются для

Поскольку спаривание вблизи N = 40 ослаблено,

б ольших N. В нашем расчете cреднеквадратичный

можно предположить, по аналогии с ситуацией в

радиус r^2ch описывается для N = 29, а для N =

изотопах Ca при N > 28, конкуренцию с вкладом

= 30-34 недооценка составляет 0.1-0.2 фм². Рас-

квазичастично-фононного взаимодействия [25]. В

чет OES-параметров для Δ⁽³⁾ в HFB с версией_R

частности, в обобщенном подходе QFRSA [51] бы-

ЭФП Фаянса Fy(std) недооценивает эффект, а для

ло бы интересно оценить вклад корреляций высше-

Fy(∇r) описывает OES-эффект в “деформиро-

го порядка между нечетными протоном и нейтрона-

ванной” области N = 36-42, но дает завышенный

ми в изотопах Сu, используя формализм, развитый

в [52].

OES-эффект в Δ(3)E

при N > 40 и в Δ⁽³⁾ для_R

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№6

2020

490

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

DF3-a

exp.

syst.

f ^ξ = -1.05, h^ξ = 0.52, f^S = 2

-1

-2

-3

-1

-2

-3

-4

Рис. 4. a — Рассчитанные с DF3-а и экспериментальные [41] 3-точечные OES-параметры энергий связи EB для

изотопов Cu в зависимости от числа нейтронов; б — рассчитанные с DF3-а и экспериментальные [41] 3-точечные

OES-параметры энерговыделений в β-распаде Q_β изотопов Cu в зависимости от числа нейтронов.

N, приближающихся к N_mag = 50, а это противо-

составляет 3.98 фм. Кроме того, на рис. 5а, 5б

речит тенденции, наблюдаемой экспериментально.

для изотопов Ni (Z = 28) приведены наши расчеты

Таким образом, в целом, точность описания OES-

радиусов распределения материи 〈r2m〉1/2 и отно-

параметров Δ(3)E

и δ(3)R в настоящем расчете выше,

сительных зарядовых радиусов δr^2ch(N, 32). Как

чем в работе [32], эксплуатирующей версии функ-

можно видеть, оба расчета предсказывают “kink”-

ционалов Фаянса Fy(std) и Fy(∇r).

эффекты при N = 28 и N = 50. При этом наш

В рамках метода ренорм-группы [28] абсолют-

расчет δr^2ch(N, 32) для N = 28 на 0.2 фм ниже, а для

ные радиусы R_ch недооценены для взаимодействия

N = 50 — выше, чем в [27].

EMI1.8/2.0 и переоценены для взаимодействия

PWA, так как они не воспроизводят значение

ядерной равновесной плотности ρ₀. Oписываются

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

локальные вариации Δ⁽³⁾ для N, приближающих-_R

Подход, основанный на самосогласованной

ся к N_mag = 50, но для меньших N OES-эффект

ТКФС с ЭФП Фаянса, позволяет описать гло-

несколько недооценивается.

бальное (макроскопическое) поведение зарядовых

Для сравнения доступен рассчитанный в HFB

радиусов, а учет градиентного спаривания поз-

с полумикроскопическим взаимодействием M3Y-

воляет объяснить локальные (микроскопические)

P6-a [27] радиус распределения материи 〈r2m〉1/2

флуктуации: OES-осцилляции зарядовых радиу-

для⁵⁹Cu (4.15 фм), в нашем расчете его значение

сов, энергий связи и полных энергий бета-распада.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№6

2020

САМОСОГЛАСОВАННЫЙ РАСЧЕТ ЗАРЯДОВЫХ РАДИУСОВ

491

4.4

Ni (Z = 28)

4.2

4.0

DF3-a

3.8

Exp

f ^ξ = -1.05, h^ξ = 0.52, f^S = 2

3.6

R_m(⁵⁸Ni)(A/58)^1/3

2.0

1.5

1.0

0.5

−0.5

Рис. 5. а — Рассчитанные с DF3-а и экспериментальные [41] среднеквадратичные радиусы распределения материи для

изотопов Ni в зависимости от числа нейтронов; б — рассчитанные с DF3-а и экспериментальные [41] дифференциальные

(относительно N = 32) средние квадраты зарядовых радиусов для изотопов Ni в зависимости от числа нейтронов.

Наши расчеты предсказывают положительный из-

Недавние работы по измерениям зарядовых ра-

лом (“kink”) в изотопической зависимости величин

диусов с помощью резонансной лазерной спектро-

R_ch(N) после пересечения главной нейтронной

скопии (см. ссылки в [13]) существенно расши-

оболочки N = 50 и выполаживание их осцилляций.

рили набор данных, позволяющий провести тон-

При этом в расчетах с ЭФП DF3-a сохраняется

кую калибровку функционала Фаянса и учесть

прецизионное описание масс ядер и одночастичных

квазичастично-фононные корреляции [25]. Полу-

энергий.

чил развитие так называемый гибридный функ-

Для дальнейшего развития самосогласованного

ционал плотности — Fy [26]. В нем использована

подхода необходимо совершенствование структу-

“нормальная” часть функционала Скирма наряду с

ры ядерных энергетических функционалов плотно-

поверхностной и спаривательной частями функци-

сти. Значительное внимание вызывает функционал

онала Фаянса, включающими зависимость от гра-

Фаянса, включающий новые спаривательные и по-

диента плотности. Актуально дальнейшее уточне-

верхностные компоненты, зависящие от градиента

ние формы и параметров спаривательных и спин-

плотности, что дает возможность одновременно-

орбитальных компонентов функционала Фаянса

го описания четно-нечетных и “kink”-эффектов

для универсального описания четно-нечетного эф-

в изотопической зависимости ядерных зарядовых

фекта в зарядовых радиусах, энергиях связи и

радиусов (см. обзоры [21] и [26]), а также энергий

полных энергиях β-распада Q_β.

связи, полных энергий β-распада и порогов эмис-

сии запаздывающих нейтронов Q_β, S_xn.

Остается ряд вопросов, требующих дальней-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№6

2020

492

БОРЗОВ, ТОЛОКОННИКОВ

шего уточнения. Вблизи магических подоболочек

T. E. Cocolios, H. H. Al Suradi, J. Billowes,

N = 32, 34, 40 и главной оболочки N = 50, где

I. Budin ˇcevi ´c, R. P. de Groote, S. De Schepper,

спаривание несущественно, расчет завышает зна-

V. N. Fedosseev, K. T. Flanagan, S. Franchoo,

чения R_ch по сравнению с измерениями CRIS-

R. F. Garcia-Ruiz, H. Heylen, F. Le Blanc,

K. M. Lynch, B. A. Marsh, P. J. R. Mason, G. Neyens,

CERN [31, 32]. Эффекты деформации в этих об-

et al., Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B 317, 565

ластях существуют, но, по-видимому, не столь

(2013).

сильны. Интересна оценка влияния на зарядовые

R. F. Garcia Ruiz, M. L. Bissell, K. Blaum,

радиусы плотностной зависимости двухчастичного

A. Ekstr ¨om, N. Fr ¨ommgen, G. Hagen, M. Hammen,

спин-орбитального эффективного взаимодействия.

K. Hebeler, J. D. Holt, G. R. Jansen, M. Kowalska,

Сравнение с расчетами в модели со взаимодей-

K. Kreim, W. Nazarewicz, R. Neugart, G. Neyens,

ствием M3Y + P6-a могло бы прояснить ее роль,

W. N ¨ortersh ¨auser, et al., Nat. Phys. 12, 594 (2016),

если бы в [27] содержались расчеты изотопической

https://doi.org/10.1038/nphys3645

зависимости зарядовых радиусов для нечетных

K. Kreim, M. L. Bissell, J. Papuga, K. Blaum,

ядер.

M. De Rydt, R. F. Garcia Ruiz, S. Goriely,

Необходима также оценка вклада квазичастич-

H. Heylen, M. Kowalska, R. Neugart, G. Neyens,

но-фононного взаимодействия [25], в частности,

W. N ¨ortersh ¨auser, M. M. Rajabali, R. S. Alarc ´on,

обусловленного корреляцией нечетных протона и

H. H. Stroke, and D. T. Yordanov, Phys. Lett. B 731,

нейтрона для цепочки Cu [52].

97 (2014).

G. Fricke and K. Heilig, Nuclear Charge Radii

Заслуживает внимания проблема изменения

(Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004).

формы и размера ядер в основных и возбужден-

G. Hagen, A. Ekstr ¨om, C. Forss ´en, G. R. Jansen,

ных состояниях. Представляют интерес расчеты

W. Nazarewicz, T. Papenbrock, K. A. Wendt,

магнитных моментов и радиусов ядер в основных и

S. Bacca, N. Barnea, B. Carlsson, C. Drischler,

изомерных состояниях и анализ соответствующих

K. Hebeler, M. Hjorth-Jensen, M. Miorelli,

экспериментов в деформированных ядрах [53-55].

G. Orlandini, A. Schwenk, and J. Simonis, Nat.

Очень важно и то, что корреляция зарядовых

Phys. 12, 186 (2016).

радиусов с энергиями ИАР и ГТР [56], вероятно-

C. Gorges, L. V. Rodriguez, D. L. Balabanski,

стями двухнейтронной эмиссии P2n [42] и величи-

M. L. Bissell, K. Blaum, B. Cheal, R. F. Garcia Ruiz,

нами дипольной поляризуемости [57] дает возмож-

G. Georgiev, W. Gins, H. Heylen, A. Kanellakopoulos,

ность извлечения недостаточно известной энергии

S. Kaufmann, M. Kowalska, V. Lagaki, S. Lechner,

B. Maaß, et al., Phys. Rev. Lett. 122, 192502 (2019).

симметрии ядер. Эта важная величина входит в

уравнение состояния нейтронной и симметричной

10.

M. M. Sharma, G. A. Lalazissis, and P. Ring, Phys.

ядерной материи, важного ингредиента, необходи-

Lett. B 317, 9 (1993).

мого для моделирования слияния нейтронных звезд

11.

K. Minamisono, D. M. Rossi, R. Beerwerth,

в тесных двойных системах [58], считающегося

S. Fritzsche, D. Garand, A. Klose, Y. Liu,

B. Maaß, P. F. Mantica, A. J. Miller, P. M ¨uller,

наиболее вероятным сценарием процесса быстрого

W. Nazarewicz, W. N ¨ortersh ¨auser, E. Olsen,

астрофизического нуклеосинтеза.

M. R. Pearson, P.-G. Reinhard, E. E. Saperstein,

Авторы благодарят Ю.С. Лютостанского и

C. Sumithrarachchi, and S. V. Tolokonnikov, Phys.

участников семинара отдела ядерной астрофи-

Rev. Lett. 117, 252501 (2016).

зики Национального исследовательского центра

12.

M. Hammen, W. N ¨ortersh ¨auser, D. L. Balabanski,

“Курчатовский институт” за полезные обсуждения.

M. L. Bissell, K. Blaum, I. Budin ˇcevi ´c, B. Cheal,

Работа была частично поддержана грантом Рос-

K. T. Flanagan, N. Fr ¨ommgen, G. Georgiev,

Ch. Geppert, M. Kowalska, K. Kreim, A. Krieger,

сийского фонда фундаментальных исследований

W. Nazarewicz, and R. Neugart, Phys. Rev. Lett. 121,

(РФФИ 18-02-00670) и грантом Отделения ней-

102501 (2018).

тринных процессов НИЦ “Курчатовский институт”

13.

A. J. Miller, K. Minamisono, A. Klose, D. Garand,

(2020).

C. Kujawa, J. D. Lantis, Y. Liu, B. Maaß,

P. F. Mantica, W. Nazarewicz, W. N ¨ortersh ¨auser,

S. V. Pineda, P.-G. Reinhard, D. M. Rossi,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

F. Sommer, C. Sumithrarachchi, A. Teigelh ¨ofer,

1. В. Е. Фортов, Б. Ю. Шарков, Х. Штокер, УФН 182,

and J. Watkins, Nat. Phys.

15,

432

(2019);

621 (2012) [Phys. Usp. 55, 582 (2012)].

https://doi.org/10.1038/s41567-019-0416-9

2. Проект

“Центр Исследований Экстремальных

14.

А. В. Смирнов, С. В. Толоконников, С. А. Фаянс,

Световых Полей” — xcels — ИПФ РАН;

ЯФ 48, 1661 (1988)

[Sov. J. Nucl. Phys. 48, 995

http://www.xcels.iapras.ru

(1988)].

3. I. Angeli and K. P. Marinova, At. Data Nucl. Data

15.

I. N. Borzov, S. A. Fayans, E. Kr ¨omer, and

Tables 99, 69 (2013).

D. Zawischa, Z. Phys. А 355, 117 (1996).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№6

2020

САМОСОГЛАСОВАННЫЙ РАСЧЕТ ЗАРЯДОВЫХ РАДИУСОВ

493

16.

S. A. Fayans and D. Zawischa, Phys. Lett. B 68, 169

41.

Meng Wang, G. Audi, F. G. Kondev, W. J. Huang,

(1998).

S. Naimi, and Xing Xu, Chin. Phys. C 41, 030003

17.

C. Ф. Фаянс, Письма в ЖЭТФ 68, 161 (1998)

(2017).

[JETP Lett. 68, 169 (1998)].

42.

И. Н. Борзов, ЯФ 81, 627 (2018) [Phys. At. Nucl.

18.

S. A. Fayans, S. V. Tolokonnikov, E. L. Trykov, and

81, 680 (2018)].

D. Zawischa, Nucl. Phys. A 676, 49 (2000).

43.

P. Vingerhoets, K. T. Flanagan, J. Billowes,

19.

С. В. Толоконников, Э. Е. Саперштейн, ЯФ 73,

M. L. Bissell, K. Blaum, B. Cheal, M. De Rydt,

1731 (2010) [Phys. At. Nucl. 73, 1684 (2010)].

D. H. Forest, Ch. Geppert, M. Honma, M. Kowalska,

20.

Э. Е. Саперштейн, С. В. Толоконников, ЯФ 74,

J. Kr ¨amer, K. Kreim, A. Krieger, R. Neugart,

1306 (2011) [Phys. At. Nucl. 74, 1277 (2011)].

G. Neyens, et al., Phys. Lett. B 703, 34 (2011).

21.

Э. Е. Саперштейн, С. В. Толоконников, ЯФ 79, 703

44.

Youngle Yu and A. Bulgac, Phys. Rev. Lett. 90,

(2016) [Phys. At. Nucl. 79, 1030 (2016)].

222501 (2003).

22.

E. Chabanat, P. Bonche, P. Haensel, J. Meyer, and

45.

K. T. Flanagan et al., Phys. Rev. Lett. 103, 142501

R. Schaeffer, Nucl. Phys. A 635, 231 (1998).

(2009).

23.

S. Goriely, N. Chamel, and J. M. Pearson, Phys. Rev.

46.

J. A. Winger, S. V. Ilyushkin, K. P. Rykaczewski,

Lett. 102, 152503 (2009).

C. J. Gross, J. C. Batchelder, C. Goodin,

inez-Pinedo,

R. Grzywacz, J. H. Hamilton, A. Korgul, W. Krolas,

24.

H. Grawe, K.-H. Langanke, and G. Mart

S. N. Liddick, C. Mazzocchi, S. Padgett,

Rep. Prog. Phys. 70, 1525 (2007).

A. Piechaczek, M. M. Rajabali, D. Shapira,

25.

Э. Е. Саперштейн, И. Н. Борзов, С. В. Толоконни-

E. F. Zganjar, and I. N. Borzov, Phys. Rev. Lett.

ков, Письма в ЖЭТФ 104, 216 (2016) [JETP Lett.

102, 142502 (2009).

104, 218 (2016)].

47.

Z. Y. Xu et al., Phys. Rev. Lett. 113, 032505 (2014).

26.

P.-G. Reinhard and W. Nazarewicz, Phys. Rev. C 95,

064328 (2017).

48.

N. J. Stone, INDC(NDS)-0658, IAEA (Viena, 2014).

27.

H. Nakada, Phys. Rev. C 100, 044310 (2019).

49.

P. Muller, M. R. Mumpower, T. Kawano, and

28.

S. Tsykyama, K. Bogner, and A. Schwenk, Phys. Rev.

W. D. Myers, At. Data Nucl. Data Tables 125, 1

C 85, 061304(R) (2016).

(2018).

29.

Haruki Kasuya and Kenichi Yoshida, arXiv:

50.

S. V. Tolokonnikov, I. N. Borzov, M. Kortelainen, Yu.

2005.03276 [nucl-th].

S. Lutostansky, and E. E. Saperstein, J. Phys. G:

inez-Pinedo,

Nucl. Part. Phys. 42, 075102 (2015).

30.

T. Marketin, L. Huther, and G. Mart

51.

A. P. Severyukhin, V. V. Voronov, I. N. Borzov,

Phys. Rev. C 93, 025805 (2016).

N. N. Arsenyev, and Nguyen Van Giai, Phys. Rev. C

31.

M. L. Bissell, T. Carette, K. T. Flanagan,

90, 044320 (2014).

P. Vingerhoets, J. Billowes, K. Blaum, B. Cheal,

52.

K. Muto, E. Bender, and H.-V. Klapdor, Z. Phys. A

S. Fritzsche, M. Godefroid, M. Kowalska, J. Kr ¨amer,

R. Neugart, G. Neyens, W. N ¨ortersh ¨auser, and

334, 177 (1989).

D. T. Yordanov, Phys. Rev. C 93, 064318 (2016).

53.

L. Xie, X. F. Yang, C. Wraith, C. Babcock, J. Biero ´n,

32.

R. P. de Groote, J. Billowes, C. L. Binnersley,

J. Billowes, M. L. Bissell, K. Blaum, B. Cheal,

M. L. Bissell, T. E. Cocolios, T. Day Goodacre,

L. Filippin, K. T. Flanagan, R. F. Garcia Ruiz,

G. J. Farooq-Smith, D. V. Fedorov, K. T. Flanagan,

W. Gins, G. Gaigalas, M. Godefroid, C. Gorges,

S. Franchoo, R. F. Garcia Ruiz, W. Gins, J. D. Holt,

et al., Phys. Lett. B 797, 134805 (2019).

A. Koszor ´us, K. M. Lynch, T. Miyagi, et al., arXiv:

54.

B. A. Marsh, T. Day Goodacre, S. Sels, Y. Tsunoda,

1911.08765 [nucl-ex].

B. Andel, A. N. Andreyev, N. A. Althubiti,

33.

H. de Vries, C. W. de Jager, and C. de Vries, At. Data

D. Atanasov, A. E. Barzakh, J. Billowes, K. Blaum,

T. E. Cocolios, J. G. Cubiss, J. Dobaczewski,

Nucl. Data Tables 36, 495 (1987).

G. J. Farooq-Smith, D. V. Fedorov, et al., Nat. Phys.

34.

J. Heisenberg,J. Lichtenstadt, C. N. Papanicolas, and

14, 1163 (2018);

J. S. McCarthy, Phys. Rev. C 25, 2292 (1982).

https://doi.org/10.1038/s41567-018-0292-8

35.

A. Papoulia, B. Carlson, and J. Ekman, Phys. Rev. A

94, 042502 (2016).

55.

A. Voss, F. Buchinger, B. Cheal, J. E. Crawford,

J. Dilling, M. Kortelainen, A. A. Kwiatkowski,

36.

W. Bertozzi, J. Frair, J. Heisenberg, and J. W. Negele,

A. Leary, C. D. P. Levy, F. Mooshammer, M. L. Ojeda,

Phys. Lett. B 41, 408 (1972).

M. R. Pearson, T. J. Procter, and W. Al Tamimi, Phys.

37.

H. Chandra and G. Sauer, Phys. Rev. С 13, 245

Rev. C 91, 044307 (2015).

(1976).

56.

И. Н. Борзов, С. В. Толоконников, ЯФ 82, 471

38.

J. L. Friar, J. Martorell, and D. W. L. Sprung, Phys.

(2019) [Phys. At. Nucl. 82, 560 (2019)].

Rev. A 56, 4579 (1997).

57.

S. Kaufmann et al., Phys. Rev. Lett. 124, 132502

39.

https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rp

(2020).

40.

S. Kopecky, J. A. Harvey, N. W. Hill, M. Krenn,

58.

А. В. Тутуков, А. М. Черепащук,

M. Pernicka, P. Riehs, and S. Steiner, Phys. Rev. C

56, 2229 (1997).

https://doi.org/10.3367/UFNr.2019.03.038547

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83

№6

2020