ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2020, том 83, № 6, с. 550-552
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
СВЯЗЬ ПОЛЕЙ ТЯЖЕЛОГО КВАРКА
В КХД И HQET В 4 ПЕТЛЯХ
© 2020 г. А. Г. Грозин1),2)*, П. Марквард3)**,
А. В. Смирнов4)***, В. А. Смирнов5)****, М. Штайнхаузер6)*****
Поступила в редакцию 05.05.2020 г.; после доработки 05.05.2020 г.; принята к публикации 05.05.2020 г.
Коэффициент сшивки полей тяжелого кварка в КХД и HQET вычислен до 4 петель.
DOI: 10.31857/S0044002720060173
Задачи КХД, в которых имеется один тяжелый
волновые функции связаны преобразованием
кварк Q с импульсом P = Mv + k (где M — масса
Фолди-Ваутхайзена
[
в схеме перенормировки на массовой поверхно-
k
( k2 )]
сти, а v — некоторый вектор с v2 = 1), причем
u(Mv + k) =
1+
+O
uv(k).
(2)
характерный остаточный импульс k ≪ M (и харак-
2M
M2
терные импульсы легких кварков и глюонов тоже
Поэтому голые поля связаны соотношением [3]
≪M), могут быть описаны эффективной теорией
тяжелого кварка (HQET, см., например, [1, 2]).
Q0(x) = e-iMv·x ×
(3)
[
(
)
Вместо поля тяжелого кварка Q в нее входит поле
(
)]
iD⊥
1
hv, удовлетворяющее vhv = hv. Операторы КХД
× z1/2
1+
hv0(x) + O
,
0
разлагаются в ряд по 1/M по операторам HQET,
2M
M2
коэффициенты сшивки находятся приравниванием
их матричных элементов на массовой поверхности
ZosQ (g(nf )0, a(nf )0)
z0 =
,
в обеих теориях.
Zosh (g(nl)0, a(nl)0)
Так, для голых кварковых полей мы имеем
где nf = nl + 1, a0 — голый параметр ковариант-
(
)1/2
〈0|Q0(x)|Q(P )〉 = e-iP·x
ZosQ
u(P ),
(1)
ной калибровки. Перенормированные в MS поля
1/2
(Q0 = ZQ
Q(μ), h0 = Z1/2hh(μ)) связаны как
〈0|hv0(x)|h(k)〉 = e-ik·x (Zosh)1/2 uv(k),
Q(μ) = e-iMv·x ×
(4)
где ZosQ,h — константы перенормировки полей в
[
(
)
(
)]
схеме на массовой поверхности, а биспинорные
iD⊥
1
× z(μ)1/2
1+
hv(μ) + O
,
2M
M2
1)Институт ядерной физики им. Будкера СО РАН, Новоси-
бирск, Россия.
Zh(αsnl)(μ),a(nl)(μ))
2)Новосибирский государственный университет, Новоси-
z(μ) =
z0.
бирск, Россия.
ZQ(αsnf )(μ),a(nf)(μ))
3)Deutsches Elektronen-Synchrotron, DESY,
15738
Zeuthen, Germany.
Перенормированный коэффициент сшивки
4)Научно-исследовательский вычислительный центр Мос-
ковского государственного университета, Москва, Рос-
Zh(αsnl)(μ),a(nl)(μ))ZosQ(g(nf )0,a(nf )0)
сия.
z(μ) =
(5)
5)Научно-исследовательский институт ядерной физики
ZQ(αsnf )(μ),a(nf)(μ))Zosh(g(nl)0,a(nl)0)
Московского государственного университета, Москва,
Россия.
связывает перенормированные пропагаторы вне
6)Institut f ¨ur Theoretische Teilchenphysik, Karlsruher Institut
массовой поверхности в двух теориях, и потому
f¨ur Technologie (KIT), 76128 Karlsruhe, Germany.
должен быть конечен при ε → 0. Ультрафиолето-
*E-mail: A.G.Grozin@inp.nsk.su
вые (УФ) расходимости сокращаются в отношени-
**E-mail: peter.marquard@desy.de
ях ZQ/ZosQ, Zh/Zosh; ZQ, Zh инфракрасно (ИК) ко-
***E-mail: asmirnov80@gmail.com
нечны; ИК-расходимости сокращаются в ZosQ/Zosh
****E-mail: smirnov@theory.sinp.msu.ru
*****E-mail: matthias.steinhauser@kit.edu
(поскольку HQET воспроизводит ИК-поведение
550
СВЯЗЬ ПОЛЕЙ ТЯЖЕЛОГО КВАРКА
551
КХД). Если все ароматы, кроме Q, безмассовые, то
Разумеется, ZQ в MS давно известна в 4 петлях.
Zosh = 1: петлевые интегралы не содержат масшта-
Что известно о Zh в 4 петлях? Член CF (TF nl)3
ба, УФ- и ИК-расходимости взаимно сокращают-
известен давно; C2F (TF nl)2 найден в
[7];
ся.
CF CA(TF nl)2 — в [5]; C3F TF nl — в [8]; dFF nl —
Коэффициент сшивки удовлетворяет уравнению
ренормгруппы
в [9]; C2F CATF nl и CF C2ATF nl — в [10]; наконец,
члены CF C3A и dFA известны численно [5].
d log z(μ)
= γh(α(nl)s(μ),a(nl)(μ)) -
(6)
d log μ
Коэффициент сшивки z(μ) должен быть ко-
нечен. Из этого требования мы получили анали-
- γQ(αsnf)(μ),a(nf)(μ)),
тические выражения для всех 1/εn-членов в 4-
где аномальные размерности определены как γi =
петлевой ZosQ, за исключением CF C3A/ε и dFA/ε
= dlogZi/dlog μ. Поэтому его достаточно вычис-
(из-за того, что соответствующие члены в Zh не
лить при каком-нибудь μ ∼ M и решить это урав-
известны аналитически). Многие такие члены бы-
нение с таким начальным условием.
ли ранее известны только численно [5]. Аналити-
Чтобы вычислить
ческие выражения для 1/εn-членов в структурах
log z(μ) = log ZosQ(g(nf )0, a(nf )0) -
(7)
C4F , C3F TF nh, C2F (TF nh)2, CF (TF nh)3, dFF nh были
также недавно опубликованы в [6] и совпадают с
- log ZQ(αsnf )(μ), a(nf )(μ)) +
нашими.
Мы вычислили z(M): структуры C4F , dFF nh,
+ log Zh(α(nl )s(μ), a(nl )(μ)),
C3F TF nh, C2F (TF nh)2, CF (TF nh)3, C2F (TF nl)2,
нужно привести все 3 члена к единым переменным.
CF CA(TF nl)2, CF T3Fnhn2l, CF (TF nl)3 аналити-
Мы выбрали αsnf )(μ), a(nf)(μ). Голые величины
чески и C3F CA, C2F C2A, CF C3A, dFA, C2F CATF nh,
g(nf )0, a(nf )0 выражаются через них при помощи
CF C2ATF nh, CF CA(TF nh)2, C3F TF nl, C2F CATF nl,
хорошо известных MS констант перенормировки.
CF C2ATF nl, C2F T2Fnhnl, CF CAT2Fnhnl, CF T3Fn2hnl,
dFF nl численно. Эта формула слишком длинна,
Величины αsnl)(μ), a(nl)(μ) выражаются через них
чтобы приводить ее здесь. Численно
при помощи коэффициентов декаплинга (они нам
)2
нужны вплоть до α3sε). Мы выбрали μ = M (масса
4αs
(αs
z(M) = 1 -
-
(17.45 - 1.33nl) -
(9)
в схеме на массовой поверхности).
3 π
π
)3
Коэффициент сшивки z(μ) был вычислен с 3-
(αs
−
(262.42 - 0.78ξ - 35.81nl + 0.98n2l) -
петлевой точностью [3]. Здесь мы вычисляем его до
π
α4s. Если эта величина используется в вычислении,
(αs)4 [
в котором могут возникать 1/εn-расходимости, то,
-
5137.72 - 15.67ξ + 1.07ξ2 -
π
наряду с конечным α4s-членом, нужны α3s-члены до
- (1030.82 - 0.71ξ)nl + 60.30n2l -
ε, α2s до ε2 и αs до ε3.
]
- 1.00n3l
+ O(α5s),
Что известно о ZosQ в 4 петлях? Член n3l известен
много лет; члены с n2l известны аналитически [4];
где αs = αsnf )(M), ξ = 1 - a(nf)(M). Для b-
остальные члены были вычислены численно [5].
кварковой HQET (nl = 4) в калибровке Ландау
Недавно были аналитически вычислены [6] чле-
)2
4αs
(αs
ны C4F , C3F TF nh, C2F (TF nh)2, CF (TF nh)3, dFF nh.
z(M) = 1 -
- 12.12
-
(10)
3 π
π
Здесь
(
)3
)4
αs
(αs
dabcdFdabcdF
− 134.11
- 1903.42
+ O(α5s).
dFF =
,
(8)
π
π
NF
В [3] было опубликовано предсказание наивной
dabcdF = Tr t(aFtbF tcF td)F, NF = Tr 1F ,
неабелианизации [11] (называемой также пределом
большого β0)
скобки означают симметризацию. Точнее говоря,
)2
в результат для последней цветовой структуры
4αs
(αs
z(M) = 1 -
- 16.66
-
(11)
входят ε0-части 6 непланарных мастер-интегралов
3 π
π
с рассеянием света на свете, известных с точно-
)3
)4
(αs
(αs
стью 1100 значащих цифр; для остальных вкладов
− 153.41
- 1953.40
+ O(α5s).
π
π
аналитические выражения через известные транс-
цендентные числа получены с помощью алгоритма
Результат (10) хорошо с ним согласуется. Коэф-
PSLQ.
фициенты ряда теории возмущений быстро растут;
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83
№6
2020
552
ГРОЗИН и др.
это связано с ИК-ренормалоном в u =12 [3], т.е.
Nucl. Phys. Cosmol. (Cambridge University Press,
в наиболее близкой к началу координат из всех
Cambridge, 2000).
возможных точек, что приводит к самому быстрому
2. A. G. Grozin, Heavy Quark Effective Theory,
росту.
Vol. 201 of Springer Tracts Mod. Phys. (Springer,
В квантовой электродинамике коэффициент
Berlin, 2004).
сшивки z(μ), связывающий поля электрона в
3. A. G. Grozin, Phys. Lett. B 692,
161
(2010),
КЭД и эффективной теории Блоха-Нордсика,
arXiv:1004.2662.
калибровочно-инвариантен во всех порядках по
4. R. Lee, P. Marquard, A. V. Smirnov, V. A. Smirnov,
α [3]. Мы получили
and M. Steinhauser, JHEP
03,
162
(2013),
)2
arXiv:1301.6481.
α
(α
z(M) = 1 -
- 1.09991
+
(12)
5. P. Marquard, A. V. Smirnov, V. A. Smirnov, and
π
π
)3
)4
M. Steinhauser, Phys. Rev. D 97, 054032 (2018),
(α
(α
arXiv:1801.08292.
+ 4.40502
- 2.16215
+ O(α5),
π
π
6. S. Laporta, Phys. Lett. B 802,
135264
(2020),
arXiv:2001.02739.
где α = α(1)(M), то есть MS α(1)(μ) (с 1 лептонным
7. A. Grozin, J. M. Henn, G. P. Korchemsky,
ароматом) при μ = M, массе электрона в схеме
and P. Marquard, JHEP
01,
140
(2016),
на массовой поверхности. Этот результат легко
arXiv:1510.07803.
перевыразить через α в схеме перенормировки на
8. A. Grozin, JHEP 06, 073 (2018); JHEP 01, 134
массовой поверхности. Быстрого роста коэффици-
(Addendum) (2019), arXiv:1805.05050.
ентов ряда здесь нет; коэффициенты не знакопо-
стоянны. Это связано с отсутствием ренормалона.
9. A. Grozin, J. Henn, and M. Stahlhofen, JHEP 10, 052
(2017), arXiv:1708.01221.
Подробные результаты представлены в [12].
10. R. Br ¨user, A. Grozin, J. M. Henn, and M. Stahlhofen,
Работа А.Г. поддержана российским министер-
JHEP 05, 186 (2019), arXiv:1902.05076.
ством науки и высшего образования.
11. D. J. Broadhurst and A. G. Grozin, Phys. Rev. D 52,
4082 (1995), hep-ph/9410240.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
12. A. G. Grozin, P. Marquard, A. V. Smirnov,
1. A. V. Manohar and M. B. Wise, Heavy Quark
V. A. Smirnov, and M. Steinhauser,
Physics, Vol. 10 of Camb. Monogr. Part. Phys.
arXiv:2005.14047.
MATCHING HEAVY-QUARK FIELDS IN QCD AND HQET AT 4 LOOPS
A. G. Grozin1),2), P. Marquard3), A. V. Smirnov4), V. A. Smirnov5), M. Steinhauser6)
1)Budker Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk, Russia
2)Novosibirsk State University, Novosibirsk, Russia
3)Deutsches Elektronen-Synchrotron, DESY, Zeuthen, Germany
4)Research Computing Center, Moscow State University, Russia
5)Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics of Moscow State University, Russia
6)Institut f ¨ur Theoretische Teilchenphysik, Karlsruher Institut f ¨ur Technologie (KIT),
Karlsruhe, Germany
The matching coefficient of the heavy-quark fields in QCD and HQET is calculated up to 4 loops.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 83
№6
2020
