ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 1, с. 12-16

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛЕВИНСОНА ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ

ЗНАЧЕНИИ ФАЗЫ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ

Поступила в редакцию 28.05.2020 г.; после доработки 28.05.2020 г.; принята к публикации 28.05.2020 г.

Теорема Левинсона устанавливает связь между разностью фаз рассеяния на пороге и бесконечности

с числом связанных состояний. Присутствие в амплитуде рассеяния полюсов Кастильехо, Далица

и Дайсона (КДД-полюсов) и примитивов Джаффе и Лоу, соответствующих нулям D-функции на

унитарном разрезе, модифицирует теорему. Показано, что в общем случае разность фаз рассеяния на

пороге и бесконечности определяется числом связанных состояний, числом КДД-полюсов и числом

примитивов. Обсуждаются некоторые следствия теоремы в отношении свойств нуклон-нуклонного

взаимодействия.

DOI: 10.31857/S004400272101013X

Аналитичность S-матрицы является, как из-

канального обмена шестикварковыми состояни-

вестно, следствием микропричинности (см., напри-

ями [11-19]. КДД-полюсам соответствуют нули

мер, [1]). В рамках теории возмущений особенности

по модулю π фазы рассеяния с положительным

амплитуд рассеяния по кинематическим инвариан-

наклоном. Обобщение теоремы Левинсона на си-

там определяются правилами Ландау [2, 3]. Для

стемы с примитивами представляет интерес с точ-

частиц с импульсами p₁ и p₂ S-матрица в каждой

ки зрения приложений соответствующих моделей

парциальной волне является аналитической функ-

к физике малонуклонных систем [16], уравнению

цией s = (p₁ + p₂)² на физическом листе римано-

состояния ядерной материи [18, 20], поискам узких

вой поверхности за исключением простых полюсов,

дибарионных резонансов [21].

соответствующих связанным состояниям, и левого

Уравнение состояния ядерной материи име-

разреза. Одним из следствий аналитичности яв-

ет важное значение для астрофизики компактных

ляется теорема Левинсона [4], связывающая раз-

объектов. Предельно жесткими считаются урав-

ность фаз рассеяния на пороге и бесконечности с

нения состояния, для которых скорость звука a_s

числом связанных состояний. Существует обобще-

совпадает со скоростью света c. В моделях средне-

ние этой теоремы на релятивистский случай [5, 6],

го поля это условие выполняется асимптотически

учитывающее многоканальность S-матрицы и на-

с ростом плотности нуклонов, взаимодействующих

личие КДД-полюсов [7, 8], введенных Кастильехо,

посредством ω-мезонного обмена [22]. Открытие

Далицем и Дайсоном для демонстрации неодно-

нейтронных звезд с массами порядка 2M_⊙ [23,

значности решений уравнения Лоу [9].

24] позволило исключить широкий класс мягких

уравнений состояния ядерной материи. При нали-

Рассмотренные обобщения не охватывают си-

стемы, в которых существуют “примитивы”, т.е.

чии отталкивания фаза рассеяния падает с ростом

полюса P -матрицы. Согласно Джаффе и Лоу [10]

энергии. Жесткость уравнения состояния, следо-

многокварковые состояния соответствуют полю-

вательно, зависит от асимптотики фазы рассеяния,

сам P -матрицы, а не S-матрицы. В терминах

которая согласно теореме Левинсона определяется

наличием связанных состояний, и, как мы покажем,

N/D-метода, примитивы проявляют себя как ну-

зависит от числа КДД-полюсов и числа примити-

ли D-функции на унитарном разрезе, в которых

вов.

фаза рассеяния обращается в нуль по модулю

π с отрицательным наклоном. Данные свойства

S-матрица упругого рассеяния в фиксирован-

примитивов позволяют интерпретировать нуклон-

ной парциальной волне выражается через фазу

нуклонный отталкивательный кор в терминах s-

рассеяния δ(s) либо через функцию Йоста D(s):

D_II(s)

¹⁾НИЦ “Курчатовский институт”— ИТЭФ, Москва, Рос-

S=e2iδ(s) =

(1)

сия.

D_I(s)

²⁾Национальный исследовательский центр “Курчатовский

институт”, Москва, Россия.

D_I(s) совпадает с D(s) на физическом (первом)

^*E-mail: mikhail.krivoruchenko@itep.ru

листе римановой поверхности, к которому при-

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛЕВИНСОНА

надлежит верхний берег разреза (s₀, +∞). Ана-

интеграл на два слагаемых:

литическое продолжение D_I(s) через разрез в об-

∫

D_II(s)^′

D_I(s)^′

ласть ℑs < 0 приводит нас на нефизический (вто-

J =

+ ds

(4)

D_II(s)

D_I(s)

рой) лист римановой поверхности. Функция D_II(s)

C^′

определяется аналитическим продолжением D(s)

При смещении контура вниз аргумент функции

с нижнего берега разреза (s₀, +∞). В области

D_II(s) оказывается на листе I римановой поверх-

ℑs < 0, когда переменная s принадлежит физиче-

ности. Aргумент функции D_I(s) уходит под разрез

скому листу римановой поверхности, D_II(s) совпа-

и оказывается на нефизическом листе II. Пути ин-

дает с D(s).

тегрирования показаны на рис. 1. Контур C лежит

D(s) аналитична в комплексной плоскости s с

на физическом листе ниже разреза, в то время как

разрезом (s₀,+∞), порог s₀ является точкой ветв-

контур C^′ лежит под разрезом на втором листе,

ления. Мнимая часть D(s) на унитарном разрезе

где находятся нули D-функции, соответствующие

определяет N-функцию. D(s) не имеет нулей в

резонансам. Мы рассматриваем достаточно малое

комплексной плоскости за исключением простых

смещение контура, требуя, чтобы C^′ не пересекал

нулей на вещественной оси при s < s₀, отвечающих

при смещении нули, соответствующие резонансам.

связанным состояниям, и простых нулей s > s₀,

На вещественной оси оба подынтегральных вы-

отвечающих примитивам. КДД (простые) полюса

ражения имеют простые полюса, соответствую-

расположены на вещественной оси при s ≶ s₀. За-

щие нулям функций D_I(s) и D_II(s): нули D_I(s)

метим, что КДД-полюса по построению [7] про-

при s < s₀ отвечают связанным состояниям. Эти

низывают все листы римановой поверхности D(s).

нули, вообще говоря, смещены относительно ну-

Условие существования примитива D_I(s) = 0 при

лей D_II(s), расположенных на втором листе. Ну-

s∈(s₀,+∞)является необходимым идостаточным

ли на унитарном разрезе (s₀, +∞) соответствуют

для D_II(s) = 0 в силу того, что D_I(s) и D_II(s)

примитивам. Подынтегральные функции имеют на

отличаются лишь мнимой частью, которая в данном

вещественной оси также КДД-полюса. Нули, со-

случае равна нулю.

ответствующие примитивам, и КДД-полюса сов-

Рассмотрим интеграл

падают на листах I и II. s₀ — пороговая точка

ветвления подынтегральной функции, предполага-

+∞

ется, что D(s) ограничена в s₀, так что интеграл

J = dsln(S)^′ =

(2)

по окружности вокруг s₀ обращается в нуль при

s₀

стремлении радиуса окружности к нулю.

+∞

Контур C^′ деформируем вверх через разрез,

= 2i dsδ(s)^′ = 2i(δ(+∞) - δ(s₀)).

оказываясь на листе I, как показано на рис. 2. При

деформации возникает вклад в интеграл, соответ-

s₀

ствующий вычетам в полюсах, расположенных на

разрезе:

Здесь интегрирование ведется вдоль вещественной

оси. Запишем J в терминах функции Йоста:

∑

D_I(s)^′

J₁ = -2πi

Res(

,s_i) -

(5)

+∞

D_I(s)

⁽D_II(s))′

i=1

J = dsln

(3)

D_I(s)

∑

D_I(s)′

s₀

- 2πi

Res(

,s_j).

D_I(s)

+∞

)

j=k+1

⁽D_II(s)^′

D_I(s)^′

= ds

Здесь n_p — число примитивов, k — число КДД-

D_II(s)

D_I(s)

s₀

полюсов ниже порога, n_CDD — полное число КДД-

полюсов. На первом листе замыкаем интегрирова-

Под знаком второго интеграла каждое из двух

ние вдоль контуров C и C^′ и добавляем контур C_∞

слагаемых имеет простые полюса в точках, отве-

по бесконечно удаленной окружности, как показа-

чающих КДД-полюсам и примитивам. В величине

но на рис. 2 слева. Достаточным условием обра-

D_II(s)/D_I(s) нули и полюса, однако, сокращают-

щения в нуль интеграла по C_∞ является условие

ся, поэтому существует некоторая область ℑs ⋛ 0,

sD(s)^′/D(s) → 0 при s → ∞. Здесь предполагает-

примыкающая к унитарному разрезу, которая яв-

ся, что это условие выполнено.

ляется областью аналитичности подынтегральной

Контур Γ = C ∪ C^′ ∪ C_∞ является замкнутым.

функции. Контур интегрирования, следовательно,

можно сместить, например, вниз, затем разбить

D_I(s) в окрестности разреза при ℑs ⋛ 0 и D_II(s)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№1

2021

КРИВОРУЧЕНКО, ТЫРИН

s₀

C '

Рис. 1. Нули и полюса функции Йоста на первом (I) и втором (II) листах римановой поверхности. Нули (кружки) соот-

ветствуют связанным состояниям при s < s0 и примитивам при s > s0, полюса (крестики) соответствуют КДД-полюсам.

Стрелки на контурах C и C^′ указывают направление, вдоль которого проводится интегрирование в уравнении (4).

s₀

C '

s₀

C_∞

Рис. 2. На левой панели контур C^′ выведен на лист I римановой поверхности, замкнут на контур C в обход порога s0 и

продолжен в обе стороны по бесконечно большой окружности C∞. На правой панели часть четвертого квадранта листа

I римановой поверхности отогнута вдоль пунктирной линии, начиная с точки s0, внизу расположен лист II римановой

поверхности,к которомуизначально принадлежалконтур C^′. Унитарныйразрезразграничивает листыI и II. Деформация

контура C^′ приводит к вычетам в полюсах, вокруг которых нарисованы окружности. Стрелки указывают направление

обхода полюсов.

на нижнем берегу разреза физического листа рима-

= Res(D(s)^′/D(s), s_i) = -Res(D(s)^′/D(s), s_j) =

новой поверхности являются аналитическими про-

= 1. Учитывая, что J = J₁ + J₂, находим

должениями D(s), поэтому в уравнении (5) D_I(s)

J = -2πi(n_b + n_p - n_CDD),

(7)

можно заменить на D(s), соответственно, на кон-

туре Γ D_I(s) и D_II(s) также можно заменить на

и окончательно

D(s). Интеграл по контуру Γ равен сумме вычетов

δ(+∞) - δ(s₀) = -π(n_b + n_p - n_CDD).

(8)

в полюсах, отвечающих связанным состояниям и

КДД-полюсам, расположенным ниже порога:

Простой эвристический аргумент в пользу соот-

∮

ношения (8) основан на представлении D-функции

D(s)^′

J₂ =

ds =

(6)

в виде (ср. [25])

Γ D(s)

∏

s-s_l

s₀ - s_j

∑

D(s)^′

D(s) =

(9)

= -2πi Res(

,s_l) -

s₀ - s_l

s₀ - s_i

s-s_j

D(s)

l=1

i=1

j=1

l=1

⎛

⎞

∫

∑

δ(s^′) - δ(s₀)

D(s)^′

- 2πi Res(

,s_j),

× exp^⎝-s - s0

ds^′⎠

D(s)

(s^′ - s₀)(s^′ - s + i0)

j=1

s₀

где n_b — число связанных состояний. В окрест-

В пределе s → ∞ D-функция ведет себя как

ности связанных состояний s_l D(s) ∼ (s - s_l),

D(s) ∼ snb+np-nCDD+(δ(+∞)-δ(s0))/π. Стандартное

в окрестности примитивов s_i D(s) ∼ (s - s_i),

условие нормировки D(s) = 1 при s → ∞ эк-

в окрестности КДД-полюсов s_j D(s) ∼ 1/(s -

вивалентно

(8). Условие ограниченности N(s)

− s_j), в результате имеем Res(D(s)^′/D(s),s_l) =

требует обращения в нуль по модулю π разности

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№1

2021

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛЕВИНСОНА

фаз δ(s) - δ(s₀) при значениях s = s_j > s₀, где

допустимость сколь угодно сильного отталкивания

расположены КДД-полюса.

между частицами. В представлении (9) максималь-

но жесткое уравнение состояния ядерной материи

В семействе D-функций, удовлетворяющих

соответственно подчиняется только требованиям

уравнению Лоу [9] и его обобщению, связанному с

релятивистской инвариантности. К таким требо-

существованием примитивов [17], входящая в дис-

ваниям относится ограничение на скорость звука

персионный интеграл величина ℑ1/D(s) ограни-

a_s ≤ c. Ударные волны переносят информацию и

чена. В представлении (9) нули, соответствующие

распространяются быстрее звука, поэтому спра-

примитивам, в таком случае обязаны совпадать с

ведливо также более сильное условие, согласно

нулями по модулю π разности фаз δ(s) - δ(s₀),

которому скорость распространения ударных волн

что обеспечивает знакоопределенность N(s) в

в ядерной материи меньше скорости света.

окрестности s_i. Знакоопределенность N(s) — при-

Семейство D-функций в s-канальных моделях

знак принадлежности D(s) классу обобщенных R-

взаимодействия, таким образом, ´уже семейства D-

функций, аналитичных в комплексной плоскости s

функций (9). Можно предположить, что аналогич-

с разрезом (s₀,+∞) и не имеющих простых нулей

ное утверждение справедливо и в отношении t-

вне вещественной оси (см. [7]).

канальных моделей взаимодействия.

Таким образом, наличие примитивов, также как

Авторы благодарят Ю.А. Симонова за полезные

и КДД-полюсов, модифицирует теорему Левин-

обсуждения. Настоящая работы выполнена при

сона. Примитивы дают отрицательный вклад в

частичной поддержке гранта РФФИ № 18-02-

асимптотику фазы. В картине потенциального рас-

00733A.

сеяния уменьшение фазы рассеяния с ростом энер-

гии связано с действием отталкивающего потенци-

ала. В модели Дайсона [8] и ее обобщениях [17-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

21] число КДД-полюсов определяется числом свя-

Дж. Чью, Аналитическая теория S-матрицы

занных состояний, примитивов и резонансов (n_r):

(Мир, Москва, 1968).

n_CDD = n_b + n_p + n_r + Δ, где Δ = 0,±1. Данное

L. D. Landau, Nucl. Phys. 13, 181 (1959).

соотношение возникает вследствие того, что между

R. Eden, D. Landshoff, P. Olive, and J. Polkinhorne,

соседними КДД-полюсами находится связанное

The Analytic S-Matrix, International Series in

Pure and Applied Physics (McGraw-Hill, New York,

состояние, либо резонанс, либо примитив. Что-

1966).

бы усилить эффект отталкивания, можно добавить

N. Levinson, Mat. Fys. Medd. K. Dan. Vidensk.

в систему дополнительный примитив, однако при

Selsk. 25, 9 (1949).

этом придется добавить в систему, вообще говоря,

R. L. Warnock, Phys. Rev. 131, 1320 (1963).

и один дополнительный КДД-полюс. Примитивы

J. B. Hartle and C. E. Jones, Ann. Phys. (N. Y.) 38,

и КДД-полюса входят в уравнение (8) с противо-

348 (1966).

положными знаками, в результате чего асимптоти-

L. Castillejo, R. Dalitz, and F. Dyson, Phys. Rev. 101,

ка фазы остается неизменной. Поскольку асимп-

543 (1956).

тотика ограничена снизу, в модели существует,

F. Dyson, Phys. Rev. 106, 157 (1957).

очевидно, предельный отталкивающий потенциал.

F. E. Low, Phys. Rev. 97, 1392 (1955).

Добавление новых резонансов приводит к росту

10.

R. L. Jaffe and F. E. Low, Phys. Rev. D 19, 2105

n_CDD и соответствующему росту асимптотического

(1979).

значения фазы, что в потенциальном рассеянии

11.

Yu. A. Simonov, Phys. Lett. B 107, 1 (1981).

связывается с дополнительным притяжением. Зна-

12.

Yu. A. Simonov, Usp. Fiz. Nauk 136, 215 (1982).

чения n_r не ограничены сверху, поэтому, в отличие

13.

Yu. A. Simonov, Nucl. Phys. A 416, 109c (1984).

от отталкивания, притяжение в системе может быть

14.

V. S. Bhasin and V. K. Gupta, Phys. Rev. C 32, 1187

сколь угодно сильным. Существование ограниче-

(1985).

ния снизу на разность фаз δ(+∞) - δ(s₀) приводит

15.

C. Fasano and T.-S. H. Lee, Phys. Rev. C 36, 1906

к выводу о существовании в моделях s-канального

(1987).

обмена максимально жесткого уравнения состо-

16.

B. L. G. Bakker and I. M. Narodetsky, Adv. Nucl.

яния ядерной материи, что может представлять

Phys. 21, 1 (1994).

17.

M. I. Krivoruchenko, Phys. Rev. C 82, 018201 (2010).

интерес с точки зрения описания строения ней-

18.

M. I. Krivoruchenko, D. K. Nadyozhin,

тронных звезд.

T. L. Rasinkova, Y. A. Simonov, M. A. Trusov,

В представлении D-функции (9) число связан-

and A. V. Yudin, Phys. At. Nucl. 74, 371 (2011).

ных состояний, число примитивов, число КДД-

19.

M. I. Krivoruchenko and Amand Faessler, Rom.

полюсов и их взаимное расположение на оси s

J. Phys. 57, 296 (2012).

произвольны. Для фиксированного n_b примитивы

20.

M. I. Krivoruchenko, Phys. Part. Nucl. Lett. 14, 849

снимают ограничение на минимальное значение

(2017).

δ(+∞) - δ(s₀), что можно интерпретировать как

21.

M. I. Krivoruchenko, Phys. Rev. C 84, 015206 (2011).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№1

2021