ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 1, с. 73-76
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ДИФРАКЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ ВИРТУАЛЬНЫХ ФОТОНОВ
НА ЯДРАХ И ЕГО ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ С ПРОЦЕССОМ ТОРМОЗНОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ МЮОНОВ
©2021 г. A. Сандрок1),2)*, Э. В. Бугаев1),3), Р. П. Кокоулин1), А. А. Петрухин1)
Поступила в редакцию 07.05.2020 г.; после доработки 07.05.2020 г.; принята к публикации 07.05.2020 г.
Изучение прохождения лептонов через вещество важно для физики космических лучей и нейтринной
астрономии. В статье рассматривается дифракционное рассеяние виртуальных фотонов как процесс
потери энергии лептонов, испускающих эти фотоны. Интерференция между этим процессом и
тормозным излучением дает вклад, зависящий от знака заряда лептона.
DOI: 10.31857/S0044002721010189
1. ВВЕДЕНИЕ
+ 2Re(MBHM∗diff).
В связи с планированием и созданием новых
Интерференционная поправка зависит от знака
больших нейтринных телескопов (IceCube-Gen2,
заряда eℓ лептона, потому что MBH ∝ e2ℓ, а Mdiff ∝
Байкал-GVD, KM3NeT) возрос интерес к про-
∝eℓ.
блеме точного вычисления энергетических потерь
Впервые процесс дифракционного рассеяния с
мюонов и тау-лептонов.
точки зрения энергетических потерь и переноса
Интерес представляют дифференциальное се-
лептонов был рассмотрен в работе Кельнера и
чение dσ/dy, где y = ω/E — доля энергии, пе-
Федотова (КФ) [1], которые получили большие
реданная при одном взаимойдествии, и средние∑
∫
поправки за счет дифракции, с большой разницей
потери
〈-dE/dX〉 =i
y(dσi/dy)dy ≈ a + bE.
между μ+ и μ- (≈5% при энергиях E ∼ 5 ТэВ) за
На больших глубинах даже маленькие поправки
счет интерференции. Однако эта статья осталась
оказывают значительное влияние. Для степенного
почти незамеченной, хотя возможность отличать
спектра мюонов на поверхности N(E) = N0E-γ
мюоны разных знаков при таких энергиях пред-
интенсивность их потока I(X) = N0 exp(-γbX) ×
ставляет большой интерес.
×{(a/b)[1 - exp(bX)]}-γ на глубине X примерно
Поэтому мы еще раз рассмотрели этот процесс,
экспоненциально зависит от b. При малых энергиях
проверив вычисления КФ. В работе [1] взаимодей-
главным процессом потерь энергии лептонов яв-
ствие фотона с ядром описывается путем введения
ляется ионизация. При больших энергиях (≳ ТэВ)
(в одночастичную функцию Грина фотона) мас-
доминируют образование пар, тормозное излучение
сового оператора, зависящего только от частоты
и неупругое взаимодействие лептонов с ядрами.
фотона и пропорционального локальной плотно-
Одним из источников неопределенности в поте-
сти ядерного вещества, пренебрегая в вычислениях
рях энергии являются эксклюзивные дифракцион-
виртуальностью этого фотона до его рассеяния.
ные процессы. Процесс взаимодействия мюона с
ядром, в котором виртуальный фотон, излучаемый
μ
μ
мюоном, дифракционно рассеивается на ядре (см.
рис. 1), и процесс обычного тормозного излучения
имеют одинаковые конечные состояния, ℓ + A →
→ ℓ + A + γ, поэтому амплитуды этих процессов
γ
интерферируют,
|M|2 = |MBH|2 + |Mdiff|2 +
(1)
Z, A
Z, A
1)Национальный исследовательский ядерный университет
“МИФИ”, Москва, Россия.
2)Technische Universit ¨at Dortmund, Deutschland.
3)Институт ядерных исследований РАН, Москва, Россия.
Рис. 1. Диаграммa Фейнмана дифракционных попра-
вок к процессу тормозного излучения.
*E-mail: alexandersandrock@gmx.de
73
74
САНДРОК и др.
Значения виртуальности фотона в этом процес-
Амплитуда, связанная с этим массовым операто-
се малы (Q2 ≳ m2y2/(1 - y)), но, тем не менее,
ром, не является кроссинг-инвариантной. Нуж-
влияние конечности Q2 следует учитывать. Поми-
на амплитуда фотопоглощения в виде A ∝ (s +
мо неучета виртуальности фотона, в работе [1], к
+ i0)1+λ + (-s - i0)1+λ, которая соответствует
сожалению, допущена неточность при вычислении
массовому оператору Π ∝ (-s - i0)λ - (s + i0)λ,
реальной части комптоновской амплитуды (именно
откуда отношение реальной и мнимой части
этой реальной частью определяется вклад от ин-
терференции тормозного излучения и дифракцион-
Xsϵ tg(πϵ/2) - Y s-η tg(πη/2)
β=
,
(5)
ного процесса).
Xsϵ +Ys-η
В подходе КФ, поскольку введенный ими массо-
вый оператор пропорционален локальной плотно-
что кардинально отличается от результата КФ (4).
сти ядерного вещества, дифракционная поправка
Введем отношение мнимых частей амплитуд
к сечению естественным образом пропорциональ-
этих процессов
на формфактору ядра, который вычисляется по
модели равномерно заряженного шара с резким
ImMγ∗N→γ∗N
краем, что, конечно, является довольно грубым
R=
,
(6)
ImMγ∗N→γN
приближением.
где, очевидно, R|Q2=0 = 1. Тогда дифференциаль-
2. ДИФРАКЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ
ное сечение процесса γ∗N → γN
ВИРТУАЛЬНЫХ ФОТОНОВ
dσγ∗N→γN
(σγ∗N )2(1 + β2)
Согласно оптической теореме, сечение фотопо-
=
(7)
dt
16πR2
глощения определяется мнимой частью амплитуды
t=0
Mγ∗N→γ∗N упругого комптоновского рассеяния
виртуальных фотонов вперед
Следуя [3], разложим сечение в мягкий ком-
ImMγ∗N→γ∗N (s, t = 0)
понент, описываемый моделью векторной доми-
σγ∗N =
√
,
(2)
нантности, и жесткий компонент, описываемый мо-
2
spcm
делью цветного диполя [4]. Жесткий компонент
где s = (pγ∗ + pN )2, t = (pN - p′N )2 — переменные
оказывается численно малым (≃20% поправки при
Мандельштама и pcm — 3-импульс частиц в си-
энергиях порядка 100 ТэВ), в отличие от случая
стеме центра масс. Интересующий нас процесс
фотоядерного взаимодействия. Мягкий компонент
на фотонном уровне описывается амплитудой
параметризуется одним векторным мезоном мас-
Mγ∗N→γN. Так как входящий фотон виртуальный,
сой m1 и континуумом векторных мезонов массой
а выходящий фотон реальный, это неупругий
больше m2 (ср. [5])
процесс. В пределе фоторождения γN → γN, т.е.
в случае реального входящего фотона, амплитуды
σTγ∗p(Q2,ν) =
(8)
[
]
совпадают. Дифференциальное сечение упругого
m41
m22
процесса γ∗N → γ∗N вперед
= σγp(ν)
0.75
+ 0.25
,
(m21 + Q2)2
m22
+Q2
dσγ∗N→γ∗N
|Mγ∗N→γ∗N |2(s, t = 0)
=
m21 = 0.54 ГэВ2, m22 = 1.8 ГэВ2.
dt
64πsp2cm
t=0
В силу оптической теоремы мы знаем мнимую
Величина R принимает значения 1/2 ≲ R ≲ 1 и
часть этой амплитуды. Пусть β ≡ ReM/ImM есть
расчет R возможeн по модели цветного диполя
отношение реальной и мнимой части. Тогда
∫
∫1
dσγ∗N→γ∗N
(σγ∗N )2(1 + β2)
d2r
dz|ΨT (r, z, Q2)|2σdp(s∗, r)
0
=
(3)
R=
∫
∫
1
dt
16π
d2r
dzΨ∗T (r, z, 0)ΨT (r, z, Q2)σdp(s∗, r)
t=0
0
(9)
Для вычисления β КФ использовали двухре-
джеонную параметризацию сечения фотопоглоще-
Результаты расчетов по модели [4] с точностью
ния σγA = A[Xsϵ + Y s-η], где s = 2mpω/ГэВ2 [2].
≲ 12% можно аппроксимировать
Предполагая, что массовый оператор Π ∝ (-s -
1 + 2.44q + 2.33q2 + 0.94q3
- i0)λ, авторы получили
R=
,
(10)
1 + 4.26q + 5.49q2 + 1.91q3
κ
-Xsϵ ctg(πϵ) + Y s-η
ctg(πη)
β=
=
(4)
γ
Xsϵ +Ys-η
где q = Q2/ГэВ2.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№1
2021
ДИФРАКЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ ВИРТУАЛЬНЫХ ФОТОНОВ
75
3. ДИФРАКЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К
ydσ/dy, см2/г
ТОРМОЗНОМУ ИЗЛУЧЕНИЮ МЮОНОВ
1
10-6
2
Дифференциальные сечения рассеяния мюона
3
на ядре, сопровождающегося дифракцией вирту-
4
ального фотона (вклад диаграммы рис. 1), для
5
10-7
6
когерентного (coh) и некогерентного (inc) каналов
можно записать в виде
dσcoh/inc
=
(11)
10-8
dy
∫
=
nT (y,Q2)σγA,coh/incdQ2,
10-9
μ2y2/(1-y)
где плотность виртуальных фотонов [7]
10-10
(
)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2
α
1
μ2y
y
nT (y,Q2) =
1 + (1 - y)2 -
2π yQ2
Q2
Рис. 2. Сечение тормозного излучения и дифракцион-
ные поправки к дифференциальному сечению dσ/dy
Если взаимодействие с ядром мишени про-
для стандартного грунта при энергии мюона 5 ТэВ.
исходит некогерентно (т.е. на отдельных нукло-
Показаны сечение тормозного излучения (1), дифрак-
нах), то, в отсутствие затенения, дифракционная
ционные (2) и интерференционные (3) поправки по
поправка равна поправке, вычисленной для нук-
оригинальным результатам КФ, и когерентные (4) и
лонной мишени, помноженной на A. Эксперимен-
некогерентные (5) дифракционные поправки и интер-
ференционные поправки (6) по настоящей работе.
тально наблюдается зависимость дифракционных
процессов на протонах dσ/dt ∝ exp(Bt), где B ≈
rA = (1.12A1/3 - 0.86A-1/3) фм и толщиной по-
≈ 6.2 ГэВ-2 [6], которая соответствует гауссовому
верхности d = 0.54 фм [10].
распределению заряда в рамках формализма КФ.
Чисто дифракционные поправки за счет обоих
Тогда полное сечение некогерентного канала
каналов дают примерно равные вклады в отсут-
σγA,inc = (A/B)(dσγ∗N→γN/dt)|t=0.
(12)
ствие нелинейных эффектов и затенения. Ампли-
туда тормозного излучения с развалом ядра очень
Необходимо также учесть вклад когерентного
мала, поэтому здесь рассматриваем только интер-
взаимодействия виртуального фотона с ядром, то
ференцию с когерентным каналом.
есть взаимодействия, при котором исходное яд-
Интерференционный член был вычислен по ана-
ро не разваливается. Соответствующая амплитуда
логии с работой [1] с учетом введенных поправок. В
есть сумма интерферирующих между собой ампли-
результате получена следующая формула [ср. (29)
туд взаимодействия фотона с различными нукло-
у КФ]
нами ядра. В результате, в отсутствие эффектов
dσint
глюонного насыщения и в пренебрежении эффек-
y
=
(14)
том ядерного затенения, амплитуда когерентно-
dy
∫
го взаимодействия приближенно пропорциональна
βσγ∗N
√
= sgn(e)ZAα2
F2n(
-t) ×
ядерному формфактору, так что вклад когерентной
4πR
части в дифференциальное сечение виртуального
{
комптоновского рассеяния можно записать в виде
Q4 - 4(E21 + E22)Q2 + 16m2ω2
×
×
(см., например, [9])
E2
1
(
)
dσγA,coh
dσγ∗N→γN
E2
E1
= A2F2n(t)
(13)
×
√
+
dt
dt
√S1 -
S2
t=0
(
)
Полное когерентное сечение получается интегри-
E21 + E22 + t/4
E1
E2
+ 4t
√
+
рованием в (13) квадрата ядерного формфактора
E21
√S1 -
S2
(считая, что нуклонное сечение в правой части (13)
(
)
ωtQ2
1
1
в области действия ядерного формфактора по-
+
√
-
E21
√S1 +
S2
чти не зависит от t), что дает фактор r-2A и, в
}
результате, полные сечения (когерентное на ядре
E1 + E2
2ω2 + Q2 + t
dQ2 dt
и на нуклоне) связаны, приближенно, фактором
− 2Q2
,
E2
(ω2 + Q2)3/2 Q2 2t
1
A4/3. Мы используем формфактор, соответству-
ющий ферми-распределению [8] с радиусом ядра
S1 = (E22 - m2)Q4 + 2Q2t(E1E2 - m2) +
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№1
2021
76
САНДРОК и др.
1/E(-dE/dx), см2/г
ференциального сечения dσ/dy представлены на
1
рис. 2 и для средних потерь энергии 〈-dE/dX〉 на
2
рис. 3. Сечение тормозного излучения вычислено
10-6
3
по формулам [11].
4
5
6
10-7
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
После исправления ошибки, касающейся ре-
10-8
альной части амплитуды в работе [1], полученные
результаты значительно уменьшили численную ве-
личину дифракционной поправки и различие между
10-9
лептонами и антилептонами за счет интерферен-
ции. С учетом дифракционных поправок сечение и
потери энергии на тормозное излучение увеличи-
10-10
102
103
104
105
106
ваются на ∼[(A4/3 + A)/Z2] × 0.3% при энергиях
E, ГэВ
порядка ∼100 ТэВ.
Работа A. С. поддержана Немецким научно-
Рис. 3. Потери на тормозное излучение и дифракци-
онные поправки к средним потерям энергии мюонов
исследовательским обществом (Deutsche Forschun-
на протонах. Показаны средние потери на тормозное
gsgemeinschaft), грант SA 3867/1-1.
излучение (1), дифракционные (2) и интерференцион-
ные (3) поправки по оригинальным результатам КФ,
и когерентные (4) и некогерентные (5) дифракционные
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
поправки и интерференционныепоправки (6) по насто-
ящей работе.
1. С. Р. Кельнер, А. М. Федотов, ЯФ 62, 307 (1999)
[Phys. At. Nucl. 62, 272 (1999)].
+ t(E21t - m2t - 4m2ω2),
2. A. Donnachie and P. V. Landshoff, Phys. Lett. B 296,
227 (1992).
S2 = S1|E1↔E2,
3. E. V. Bugaev and Yu. V. Shlepin, Phys. Rev. D 67,
034027 (2003).
где E1 = E, ω = yE, E2 = (1 - y)E, и пределы
4. J. R. Forshaw, G. Kerley, and G. Shaw, Phys. Rev. D
интегрирования
60, 074012 (1999).
(
)2
m2y
5. J. J. Sakurai and D. Schildknecht, Phys. Lett. B 40,
-4E2(1 - y) < t < -
≡tmin,
121 (1972).
2E(1 - y)
6. A. Aktas et al., Eur. Phys. J. C 48, 749 (2006).
2
√
m2y
7. V. M. Budnev et al., Phys. Rep. C 15, 181 (1975).
Q2min ≡
< Q2 < 2Ey
-t.
1-y
8. L. C. Maximon and R. A. Schrack, J. Res. Nat. Bur.
Stand. 70B, 85 (1966).
Интерференция КФ отличается от нашего при-
9. M. V. T. Machado, Eur. Phys. J. C 59, 769 (2009).
ближением σγ∗p/R → σγp и использованием менее
10. T. Lappi and H. M ¨antysaari, Phys. Rev. C 83, 065202
реалистичного формфактора.
(2011).
Дифракционные и интерференционные поправ-
11. S. R. Kelner, R. P. Kokoulin, and A. A. Petrukhin,
ки в стандартном грунте (Z = 11, A = 22) для диф-
Preprint No. 024-95, MEPhI (Moscow, 1995).
DIFFRACTIVE SCATTERING OF VIRTUAL PHOTONS OFF NUCLEI
AND ITS INTERFERENCE WITH THE PROCESS OF BREMSSTRAHLUNG
A. Sandrock1),2), E. V. Bugaev1),3), R. P. Kokoulin1), A. A. Petrukhin1)
1)National Research Nuclear University MEPhI, Moscow, Russia
2)Technische Universit ¨at Dortmund, Germany
3)Institute for Nuclear Research of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
The transport of leptons through matter is of great importance in cosmic ray physics and neutrino
astronomy. In this paper, we analyze diffractive scattering of virtual photons as an energy loss process of
leptons. The interference of this process with the usual bremsstrahlung process gives a contribution whose
sign depends on the sign of the lepton charge, and which rises with energy more slowly than the purely
diffractive contribution.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№1
2021
