ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 1, с. 85-89

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ТРЕXРЕДЖЕОННЫЕ РАЗРЕЗЫ В АМПЛИТУДАХ КХД

Поступила в редакцию 20.04.2020 г.; после доработки 20.04.2020 г.; принята к публикации 20.04.2020 г.

Для дальнейшего продвижения в теоретическом описании процессов КХД при больших энергиях и

ограниченных переданных импульсах необходимо понимать структуру трехреджеонных разрезов и

уметь вычислять их вклады в амплитуды КХД. В настоящее время теория таких разрезов находится

в зачаточном состоянии. В статье обсуждаются существующие подходы к вычислению вкладов

трехреджеонных разрезов в амплитуды упругого рассеяния.

DOI: 10.31857/S0044002720060148

1. ВВЕДЕНИЕ

частности, БФКЛ померон является двухреджеон-

ным разрезом). Но в амплитудах с отрицательной

Квантовая хромодинамика (КХД) является уни-

сигнатурой (далее речь идет только о них) ред-

кальной теорией, в которой все ее элементарные

жевские разрезы должны быть, по крайней мере,

частицы (как кварки, так и глюоны) реджезуются в

трехреджеонными и могут появляться только в

теории возмущений. В полной мере значение этого

следующем за следующим логарифмическом при-

явления еще, по-видимому, не осознано, но оно

ближении (ССГЛП).

давно используется для теоретического описания

процессов КХД в реджевской области (при боль-

Впервые нарушение полюсной формы было об-

ших энергиях и ограниченных переданных импуль-

наружено в [5] в двухпетлевых амплитудах gg-,

сах). В частности, на реджезации глюона основано

gq- и qq-рассеяния. Впоследствии нарушающие

уравнение БФКЛ (Балицкого-Фадина-Кураева-

полюсную форму вклады были найдены в трех

Липатова) [1-4], одно из фундаментальных урав-

петлях с использованием метода инфракрасной

нений КХД.

факторизации [6, 7].

В главном логарифмическом приближении

В [8] было показано, что наблюдаемое нару-

(ГЛП) и в следующем за ним (СГЛП) реджезация

шение может быть объяснено вкладами трехре-

глюона означает, что амплитуды процессов КХД

джеонного разреза. В появившейся чуть позже

в реджевской и мультиреджевской кинематике с

работе [9] было дано хотя и аналогичное, но другое

присоединенным представлением цветовой группы

объяснение, в котором кроме разреза используется

в кросс-каналах определяются глюонным полю-

смешивание разреза и полюса.

сом Редже и имеют простую факторизованную

Здесь мы обсуждаем использованные в рабо-

форму. В каждом порядке теории возмущений эти

тах [8] и [9] подходы, полученные результаты и пути

амплитуды дают главный вклад в соотношения

дальнейшего развития.

унитарности, что обеспечивает простой вывод

уравнения БФКЛ не только в ГЛП, но также и в

СГЛП.

2. ТРЕXРЕДЖЕОННЫЕ РАЗРЕЗЫ

Известно, что полюса Редже в j-плоскости

В ДВУХ И ТРЕХ ПЕТЛЯХ

(плоскости комплексных угловых моментов) по-

рождают реджевские разрезы. В амплитудах с по-

Наличие особенностей в j-плоскости, отличных

ложительной сигнатурой (симметрией относитель-

от глюонного полюса Редже, следует уже просто

но замены s ↔ u ≃ -s), в которых реальные части

из существования амплитуд с представлениями R

главных логарифмических членов сокращаются,

цветовой группы в t-канале, отличными от при-

реджевские разрезы появляются уже в ГЛП (в

соединенного, по которому преобразуется глюон

(цветовой октет в КХД). Для кварк-кваркового

¹⁾Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН,

рассеяния кроме октета (8) возможен еще и син-

Новосибирск, Россия.

глет (1), а для глюон-глюонного — два декуплета,

²⁾Новосибирский государственный университет, Новоси-

бирск, Россия.

10 и 10^∗ (вспомним, что рассматривается только

^*E-mail: fadin@inp.nsk.su

отрицательная сигнатура).

ФАДИН

В [8] вычисления основывались на диаграммах

теории возмущений. Трехреджеонный разрез дол-

]

1^[

жен проявляться в амплитудах, отвечающих диа-

G(8)(0)aAB + G(8)(0)f

= G(8)(0)AB +

(6)

граммам Фейнмана с тремя глюонами в t-канале,

отличающимися перестановками σ глюонных вер-

Здесь приводятся только полусуммы коэффициен-

шин (пусть σ принимает значения a, b, c, d, e, f,

тов G(8)(0)aAB и G(8)(0)fAB , потому что именно они вхо-

причем σ = a (σ = f) относится к диаграмме без

дят в рассматриваемые амплитуды с отрицательной

u- (s-) канальных разрезов). Амплитуды A(R)AB(s, t)

сигнатурой (поскольку M(0)aAB и M(0)fAB связаны за-

упругого рассеяния партонов A и B (это могут

меной s ↔ u). Из (5) и (6) следует, что и в октетной

быть кварки q и глюоны g) с представлениями R

амплитуде есть не только вклад реджезованного

цветовой группы в t-канале имеют вид

глюона, так как условие полюсной факторизации

∑

A(R)AB(s,t) =

G(R)(0)σAB M(0)σAB(s, t),

(1)

G(8)_gg + G(8)_qq = 2G(8)_gq

(7)

нарушено. При этом нарушающие факторизацию

члены в цветовых коэффициентах не зависят от σ,

где

G(R)(0)σAB — цветовой

коэффициент,

что делает их вклад калибровочно-инвариантным.

M(0)σAB(s,t) — не зависящий от цвета матричный

Но в этом порядке нельзя ни однозначно вы-

элемент. Прямое вычисление [10] показывает, что

делить вклад реджевского полюса, ни хоть как-то

для R = 8 цветовые коэффициенты не зависят

проверить, что другие вклады идут от трехреджеон-

от σ. Поскольку для R = 8 вклад реджезован-

ного разреза. Представление G(8)(0)AB в виде суммы

ного глюона отсутствует, мы можем положить

G(R = 8)(0)σAB = G(R = 8)(cut)AB, при этом

G(8)(0)AB = G(8)(pole)AB + G(8)(cut)AB,

(8)

(

)_(cut)

вкладов полюса, удовлетворяющего условию фак-

G(10) + G(10^∗)

(2)

торизации, и разреза, нарушающего это условие,

неоднозначно. Разделить вклады полюса и разре-

(N2c - 4)(N2c - 1)

G(1)(cut)qq =

за можно в более высоких порядках, используя

8N2c

различие в энергетической зависимости вкладов

полюса и разреза. Для полюса она дается факто-

Для таких представлений M(0)σAB(s, t) суммируются

ром Редже exp(ω(t) ln s), где 1 + ω(t) — траекто-

в калибровочно-инвариантную эйкональную ам-

рия глюона,

плитуду

∑

g²N_c

ω(t) = -

f₁(q),

(9)

M(0)σAB(s,t) = A^eik =

(3)

∫

d2+2ϵl

)

f₁(q) = q²

⁽-4π

(2π)(3+2ϵ)l²(q - l)²

=g⁶

q²I[1],

а для трехреджеонного разреза — оператором

где

exp (^K ln s),

∫

d2+2ϵl₁d2+2ϵl₂d2+2ϵl₃

I[F ] =

(4)

K= Ω+ K_r,

(10)

(2π)3(3+2ϵ)l²¹l²²l²

Ω=ω1 + ω₂ + ω₃,

(11)

× F(2π)(3+2ϵ)δ(q - l₁ - l₂ - l₃).

K_r =Kr(1,2) +Kr(1,3) +Kr(2,3),

Так должно и быть, поскольку для R = 8 вклад

в A(R)AB(s,t) дают только рассматриваемые диа-

где

ω_i — оператор траектории i-го реджеона,

граммы, так что их полный вклад должен быть

K_r(m,n) — оператор реальной части ядра БФКЛ,

калибровочно-инвариантным.

описывающей взаимодействие между реджеонами

m и n. Для реджеонов с поперечными импульсами

Для R = 8 прямое вычисление дает [8, 11]

q₁ и q₂ и цветовыми индексами c₁ и c₂

G(8)(0)σAB = G(8)(0)AB для σ = b, c, d, e,

(12)

[K_r(q₁,q₂;k)]c1c²c₁₂ =

]

G(8)(0)gg =

G(8)(0)gq =

(5)

g²

^[q²¹q′22 + q²²q′21

(

)

= -T^ac

T^ac

-q2 ,

1c¹

2c^′

2 (2π)D-1

k²

G(8)(0)qq =

-1 +

N2c

где q₁ + q₂ = q′1 + q′2 = q, q₁ - q′1 = q′2 - q₂ = k.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№1

2021

ТРЕXРЕДЖЕОННЫЕ РАЗРЕЗЫ В АМПЛИТУДАХ КХД

В трех петлях учет взаимодействия меняет цве-

большом числе цветов), полностью отвергнуть его,

товые коэффициенты для различных диаграмм на

используя только результаты трехпетлевых вычис-

множители, зависящие только от представления [8,

лений, мы не можем. Мы предполагаем сделать вы-

10, 11], так что вклад разреза в ССГЛП представ-

бор между подходами, используя четырехпетлевые

ляется в виде

расчеты в обоих подходах.

)

⁽-4π

Конечно, хорошо бы сравнить их результаты с

G(R)(cut)ABg⁸ s

(13)

результатами прямых вычислений. Однако наде-

((

)

яться на их получение в скором времени не при-

×q²

N_c - C₂(R) I[f₁(l₁)] -

ходится. Можно, однако, воспользоваться методом

инфракрасной факторизации. К сожалению, и с его

)

использованием четырехпетлевые результаты еще

(3N_c - C₂(R)) I[f₁(l₁ + l₂)] ln s,

не получены, но на их получение можно рассчиты-

вать.

где I[f] определено в (4). Это позволяет объяснить

В ССГЛП четырехпетлевой вклад трехредже-

обнаруженные в двух и трех петлях нарушения по-

онного разреза представляется в виде

люсной реджевской формы тем, что кроме вклада

[

⁽-4π² )

полюса Редже есть вклад реджевского разреза

g¹⁰

q²

ln² s G(R)(2)AB,VV ×

(16)

)

⁽-4π

(

)

G(8)(cut)ABg⁶ s

(14)

× 6I[f₁(l₁)f₁(l₂)] + 3I[f²¹(l₁)]

(

×q2 I[1] + g2Nc ln s ×

+ G(R)⁽²⁾

4I[f₁(l₁)f₁(l₂)] + I[f²¹(l₁)] -

AB,V R

(

))

)

(

(2s)

− 2I[f₂(l₁ + l₂)]

+ G(R)

2I[f₁(l₁)f₁(l₂)] +

I[f₁(l₁)] - I[f₁(l₁ + l₂)]

AB,RR

)

+ 2I[f²¹(l₁)] - 4I[f₂(l₁ + l₂)] + I[f²¹(l₁ + l₂)]

(

G(8)(cut)gg = -

G(8)(cut)gq = -

(15)

+ G(R)(2d)

3I[f₁(l₁)f₁(l₂)] - I[f²¹(l₁)] -

AB,RR

3(1 - N2c)

)]

G(8)(cut)qq =

− 2I[f₂(l₁ + l₂)] + I[f₁(q - l₁)f₁(q - l₃)]

4N2c

Существует, однако, другой подход [9] к вве-

где интегралы I[F ] определены в (4), функция f₁

дению трехреджеонных разрезов, опирающийся не

в (9), f₂(q) = I[f₁], слагаемые с цветовыми ко-

на рассмотрение фейнмановских диаграмм, а на

эффициентами G(R)(2)AB,VV и G(R)(2)AB,VR отвечают

представление амплитуд рассеяния вильсоновски-

ми линиями (эффективную теорию вильсоновских

вкладам, идущим отΩ2 и от 2ΩKr, так что

линий). Основное отличие подходов касается цве-

товых коэффициентов. Для представлений R, от-

G(R)(2)AB,VV =

G(R)(cut)AB,

(17)

личных от присоединенного, они оказываются та-

кими же, что и в диаграммном подходе, но в присо-

G(R)(2)AB,VR =Nc

(C₂(R) - 3N_c) G(R)(cut)AB,

единенном представлении отличаются. В двух пет-

лях это отличие может быть отнесено к вкладу по-

люса за счет переопределения двухпетлевых вкла-

а слагаемые с цветовыми коэффициентами

дов в вершины глюон-глюон-реджеон и кварк-

G(R)(2s)AB,RR и G(R)(2d)AB,RR отвечают вкладам,

кварк-реджеон. Но в трех петлях этого сделать

идущим от

. Этот вклад содержит цветовые

уже нельзя, и для объяснения нарушения полюсной

матричные элементы

формы в [9] вводится еще смешивание полюса и

разреза.

G(R)(2s)σAB,RR =

(18)

∑

3. ЧЕТЫРЕ ПЕТЛИ В ДИАГРАММНОМ

〈Ψ^σB|

T^c(i

T^c(j

T^d(i

T^d(j)|Ψ_A〉,

ПОДХОДЕ

i = j=1

Хотя подход [9] имеет, на наш взгляд, некоторые

слабые стороны (отсутствие строгого вывода, от-

отвечающие двукратному взаимодействию одной

сутствие связи с фейнмановскими диаграммами и

пары реджеонов, и

согласованности цветовой структуры и эйкональ-

ной формы матричного элемента, поведение при

G(R)(2d)σAB,RR =

(19)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№1

2021

ФАДИН

∑

поскольку в этом приближении уже дают вклад

= 〈Ψ^σB|

T^c(i

T^c(j

T^d(i

T^d(k)|Ψ_A〉

трехреджеонные разрезы. Несовместимость по-

i = j = k=1

люсной формы с результатами прямых вычислений

амплитуд упругого рассеяния в двух петлях бы-

для взаимодействия разных пар реджеонов. Благо-

ла показана в [5]. Впоследствии нарушающие ее

даря сохранению цвета

вклады в эти амплитуды были исследованы [6, 7] в

G(R)(2s)σAB,RR + G(R)(2d)σAB,RR =

(20)

двух и трех петлях с помощью метода инфракрас-

ной факторизации. В настоящее время существует

(C₂(R) - 3N_c)² G(R)(cut)AB.

два разных подхода к объяснению наблюдаемого

нарушения трехреджеонными разрезами. В одном

Прямое вычисление цветовых матричных элемен-

из них [8] (см. также [10, 11]), основанном на фей-

тов дает, что для R = 8 они не зависят от σ и равны

нмановских диаграммах, оно объясняется только

между собой, так что

вкладом разреза, а в другом [9], использующем

эффективную теорию вильсоновских линий, вво-

G(1)(2s)qq,RR =3

N2cG(1)(cut)qq,

(21)

дится также смешивание полюса и разреза. Право-

мерность этих подходов может быть подтверждена

G(1)(2d)qq,RR =3

N2cG(1)(cut)qq,

или опровергнута в четырех петлях при сравнении

их результатов с результатами четырехпетлевых

(

)(2s)

вычислений методом инфракрасной факторизации.

G(10) + G(10^∗)

gg,RR

Конечно, подтверждение не является доказа-

⁽N2c

)(

)_(cut)

G(10) + G(10^∗)

тельством. Для доказательства нужен какой-то

метод типа бутстрапа, использованного при дока-

(

)(2d)

зательстве реджезации глюона в ГЛП и СГЛП.

G(10) + G(10^∗)

(22)

А для него нужно исследование трехреджеонных

gg,RR

(

)_(cut)

разрезов в амплитудах множественного рождения

= -3

G(10) + G(10^∗)

в мультиреджевской кинематике, к которому еще

не приступали, но которое необходимо для выво-

Для R = 8 вычисление дает результат, аналогич-

да уравнения БФКЛ в ССГЛП с использованием

ный двухпетлевому: члены, нарушающие полюс-

соотношения унитарности. Так что теория трехре-

ную факторизацию, имеют σ-независимые цвето-

джеонных разрезов находится пока в зачаточном

вые коэффициенты, что обеспечивает их калиб-

состоянии.

ровочную инвариантность, так же как в двух и

трех петлях. Для σ = b, c, d, e матричные элементы

Работа поддержана частично Министерством

одинаковы:

науки и высшего образования РФ, частично

РФФИ, грант № 19-02-00690.

G(8)(2i)bAB,RR = G(8)(2i)cAB,RR =

(23)

= G(8)(2i)dAB,RR = G(8)(2i)eAB,RR = G(8)(2i)AB,RR,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

i = s,d, а матричные элементы для σ = a,f отли-

1. V. S. Fadin, E. A. Kuraev, and L. N. Lipatov, Phys.

чаются от них на не зависящее от сорта частиц

Lett. B 60, 50 (1975).

слагаемое. При этом, считая, что разбиение на

2. E. A. Kuraev, L. N. Lipatov, and V. S. Fadin, ЖЭТФ

вклады полюса и разреза задано трехпетлевым

71, 840 (1976) [Sov. Phys. JETP 44, 443 (1976)].

приближением, получаем

3. E. A. Kuraev, L. N. Lipatov, and V. S. Fadin, ЖЭТФ

72, 377 (1977) [Sov. Phys. JETP 45, 199 (1977)].

G(8)(2s)gg,RR = -2N2c -⁹,

(24)

4. I. I. Balitsky and L. N. Lipatov, ЯФ 28, 1597 (1978)

[Sov. J. Nucl. Phys. 28, 822 (1978)].

5. V. Del Duca and E. W. N. Glover, JHEP 0110, 035

G(8)(2s)gq,RR = -¹⁵

(2001).

6. V. Del Duca, G. Falcioni, L. Magnea, and

G(8)(2s)qq,RR = 0, G(8)(2d)gg,RR =

L. Vernazza, Phys. Lett. B 732, 233 (2014).

7. V. Del Duca, G. Falcioni, L. Magnea, and

)

L. Vernazza, JHEP 1502, 029 (2015).

G(8)(2d)gq,RR =9

G(8)(2d)qq,RR =3(1-

8. V. S. Fadin, AIP Conf. Proc. 1819, 060003 (2017).

9. S. Caron-Huot, E. Gardi, and L. Vernazza, JHEP

1706, 016 (2017).

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

10. V. S. Fadin, PoS(DIS2017), 042 (2018).

Как и следовало ожидать, полюсная реджев-

11. V. S. Fadin and L. N. Lipatov, Eur. Phys. J. C 78, 439

ская форма амплитуд КХД нарушается в ССГЛП,

(2018).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№1

2021