ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 1, с. 90-92
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАНДАУ-ХАЛАТНИКОВА-ФРАДКИНА
И ЧЕТНЫЕ ζ-ФУНКЦИИ
© 2021 г. А. В. Котиков1)*, С. Тебер2)
Поступила в редакцию 13.04.2020 г.; после доработки 13.04.2020 г.; принята к публикации 13.04.2020 г.
Мы приводим точную формулу, связывающую стандартные ζ-функции и так называемые
ζ-функции
во всех порядках теории возмущений. Формула основана на преобразовании Ландау-Халатникова-
Фрадкина (ЛХФ).
DOI: 10.31857/S0044002720060197
1. ВВЕДЕНИЕ
важные приложения преобразования ЛХФ обычно
связаны с предсказаниями некоторых членов в
Рассмотрим свойства многопетлевых безмас-
высоких порядках теории возмущений: для КЭД [7]
совых функций пропагаторного типа. Существует
и ее обобщений [8], для более общих SU(N) калиб-
все больше свидетельств (см., например, [1]) того,
ровочных теорий [9].
что в расчетах различных величин в евклидовой
области возникают поразительные закономерности
В этой работе мы представляем краткий обзор
в членах, пропорциональных ζ2n, т.е. четным зна-
результатов [4] с акцентом на том, как преобра-
чениям ζ-функций Эйлера. Причину таких зако-
зование ЛХЧ раскрывает естественным образом
номерностей видят [2] в том факте, что основными
существовани
ζ-функций и позволяет обобщить
объектами являются не сами ζ-функции, а их ε-
результаты (1) на все порядки по ε.
зависимые комбинации
3ε
5ε3
ζ3 ≡ ζ3 +
ζ4 -
ζ6,
(1)
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛХФ
2
2
5ε
Рассмотрим КЭД в евклидовом пространстве
ζ5 ≡ ζ5 +
ζ6,
ζ7 ≡ ζ7,
2
размерности d (d = 4 - 2ε). Общая форма пропага-
тора фермиона в калибровке с параметром ξ имеет
которые приводят к отсутствию ζ2n в ε-разложе-
вид в p и x представлениях:
ниях четырехпетлевых функций пропагаторного
типа. Обобщение комбинаций (1) на случай пяти,
1
SF (p,ξ) =
P (p, ξ), SF (x, ξ) = xX(x, ξ),
(2)
шести и семи петель доступно в [3])3). Результа-
ip
ты (1) и их обобщение в [3] дают возможность
где факторы p и x, содержащие γ-матрицы Дирака,
предсказывать члены
∼π2n в более высоких
представлены в явном виде.
порядках теории возмущений.
Преобразование ЛХФ связывает пропагатор
В работе [4] (см. также [5]) было получено обоб-
фермионов в двух разных калибровках, с парамет-
щение (1) на все порядки по ε довольно неожидан-
рами ξ и η соответственно, как (в рамках размерной
ным образом: с помощью преобразования ЛХФ [6],
регуляризации) [4]:
которое связывает пропагаторы фермионов в КЭД
в двух разных калибровках. Заметим, что наиболее
SF (x,ξ) = SF (x,η)eiD(x),
(3)
1)Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбо-
где
ва, Объединенный институт ядерных исследований, Дуб-
iΔA
на, Россия.
D(x) =
Γ(1 - ε)(πμ2x2)ε,
(4)
2)Sorbonne Universit ´e, CNRS, Laboratoire de Physique
ε
Th ´eorique et Hautes Energies, LPTHE, F-75005 Paris,
αem
e2
France.
Δ=ξ-η, A=
=
,
4π
(4π)2
*E-mail: kotikov@theor.jinr.ru
3)Заметим, что результаты в [3] содержат также кратные
т.е. D(x) вносит вклад, пропорциональный ΔA и
ζ-функции (multi-zeta values), рассмотрение которых вы-
ходит за рамки настоящей работы.
полюсу ε-1.
90
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАНДАУ-ХАЛАТНИКОВА-ФРАДКИНА
91
{
}
Предположим, что для некоторого парамет-
+ 2l + (-1)s (m + l)s - ms ,
ра фиксации калибровки η пропагатор фермиона
p1(m,l) = 0, p2(m,l) = 0.
SF (p,η) с внешним импульсом p имеет вид (2) с
∑
Как видно из формулы (9), ΦMV(m, l, ε) содер-
(μ2)mε
P (p, η) =
am(η)Am
,
(5)
жит значения ζs-функции заданного веса s (или
p2
m=0
трансцендентного уровня) при εs. Такое свойство
μ2 = 4πμ2,
сильно ограничивает коэффициенты, тем самым
упрощая анализ (см. ссылку [11] на работы, где это
где am(η) — коэффициенты петлевого разложе-
свойство также было использовано).
ния, а μ — шкала перенормировки, расположенная
между шкалами MS и MS схем. Преобразование
ЛХФ определяет пропагатор фермиона при другом
3
ζ2n-1
калибровочном параметре ξ как
Теперь сосредоточимся на многочлене ps(m, l)
∑
(μ2)mε
P (p, ξ) =
am(η)Am
×
(6)
в (10), который удобно разделить на четные и
p2
m=0
нечетные значения s. Выполняются следующие ре-
курсивные coотношения:
∑
1 - (m + 1)ε
×
×
p2k = p2k-1 + Lp2k-2 + p3,
(11)
1 - (m + l + 1)ε
l=0
p2k-1 = p2k-2 + Lp2k-3 + p3, L = l(l + 1).
l
(ΔA)
(μ2MV)lε
× ΦMV(m,l,ε)
,
Выражая четные значения p2k через нечетные
(-ε)ll!
p2
∑
где
p2k =
p2s-1C2k,2s-1 =
(12)
ΦMV(m,l,ε) =
(7)
s=2
Γ(1 - (m + 1)ε)Γ(1 + (m + l)ε)Γ2l(1 - ε)
∑
=
= p2k-2m+1C2k,2k-2m+1,
Γ(1 + mε)Γ(1 - (m + l + 1)ε)
m=1
Здесь символом MV обозначена так называемая
мы можем определить точную структуру
минимальная шкала Владимирова, введенная в [4].
C2k,2k-2m+1 в виде
Заметим, что при использовании популярной G-
шкалы [10] были получены [4] те же окончательные
C2k,2k-2m+1 =
(13)
результаты (16) и (17).
(2k)!
=b2m-1
,
Чтобы получить (6), мы использовали пропа-
(2m - 1)!(2k - 2m + 1)!
гатор фермиона SF (p, η) с P (p, η), заданным (5),
(22m - 1)
сделали преобразование Фурье к SF (x, η) и пре-
b2m-1 =
B2m,
m
образование ЛХФ (3). Как последний шаг мы сде-
лали обратное преобразование Фурье и получили
где Bm — хорошо известные числа Бернулли.
SF (p,ξ) с P(p,ξ) в (6).
Теперь удобно представить аргумент экспонен-
Исcледуем теперь фактор ΦMV(m, l, ε). Ис-
ты в выражении (9) следующим образом:
пользуя разложение Γ-функции
∑
∑
[
]
ηspsεs =
η2kp2kε2k +
(14)
∑
Γ(1 + βε) = exp
- γβε +
(-1)sηsβsεs ,
(8)
s=3
k=2
s=2
∑
+
η2k-1p2k-1ε2k-1.
ζs
ηs =
k=2
s
С помощью (12) первое слагаемое в правой части
(γ - константа Эйлера) и подставляя его в (7),
(14) может быть выражено как
получаем для ΦMV(m, l, ε):
[
]
∑
∑
η2kp2kε2k =
(15)
ΦMV(m,l,ε) = exp
ηsps(m, l)εs ,
(9)
k=2
s=2
∑
∑
где
=
η2kε2k
p2s-1C2k,2s-1 =
ps(m,l) = (m + 1)s - (m + l + 1)s
+
(10)
k=2
s=2
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№1
2021
92
КОТИКОВ, ТЕБЕР
∑
∑
Один из нас (А.В.К.) благодарит Организаци-
= p2s-1 η2kC2k,2s-1ε2k.
онный комитет Сессии-конференции СЯФ ОФН
s=2
k=s
РАН за приглашение.
Тогда соотношение (14) можно записать как
∑
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
η2s-1p2s-1ε2s-1 =
1.
P. A. Baikov and K. G. Chetyrkin, PoS (LL2018), 008
s=2
(2018).
∑
2.
D. J. Broadhurst, hep-th/9909185; P. A. Baikov and
=
ζ2s-1/(2s - 1)]p2s-1ε2s-1,
K. G. Chetyrkin, Nucl. Phys. B 837, 186 (2010).
s=2
3.
A. Georgoudis, V. Goncalves, E. Panzer, and
где
R. Pereira, arXiv: 1802.00803 [hep-th]; P. A. Baikov
and K. G. Chetyrkin, JHEP 1806, 141 (2018); 1910,
∑
190 (2019).
ζ2s-1 = ζ2s-1 +
ζ2k
C2k,2s-1ε2(k-s)+1
(16)
4.
A. V. Kotikov and S. Teber, Phys. Rev. D 100, 105017
k=s
(2019).
с
5.
A. V. Kotikov and S. Teber, arXiv: 1912.10957 [hep-
2s - 1
th].
C2k,2s-1 =
C2k,2s-1 =
(17)
6.
L. D. Landau and I. M. Khalatnikov, ЖЭТФ
2k
29, 89 (1955)
[Sov. Phys. JETP 2, 69 (1956)];
(2k - 1)!
E. S. Fradkin, ЖЭТФ 29, 258 (1955)
[Sov. Phys.
=b2k-2s+1
(2s - 2)!(2k - 2s + 1)!
JETP 2, 361 (1956)].
7.
A. Bashir and A. Raya, Phys. Rev. D 66, 105005
Соотношения (16), (17) и (13) приводят к выра-
(2002); S. Jia and M. R. Pennington, Phys. Rev. D
жению дл
ζ2s-1 в терминах обычных ζ-функций,
95, 076007 (2017).
действительному во всех порядках в разложении
8.
A. Ahmad, J. J. Cobos-Mart
inez, Y. Concha-
по ε.
S ´anchez, and A. Raya, Phys. Rev. D 93, 094035
(2016); A. James, A. V. Kotikov, and S. Teber, Phys.
Rev. D 101, 045011 (2020).
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
9.
T. De Meerleer, D. Dudal, S. P. Sorella, P. Dall’Olio,
and A. Bashir, Phys. Rev. D 97, 074017 (2018); Phys.
Из результата (6), полученного с помощью пре-
Rev. D 101 (8), 085005 (2020).
образования ЛХФ для пропагатора фермиона, мы
10.
K. G. Chetyrkin, A. L. Kataev, and F. V. Tkachov,
нашли рекурсивные соотношения (11) между чет-
Nucl. Phys. B 174, 345 (1980).
ными и нечетными значениями многочлена, связан-
11.
A. V. Kotikov and L. N. Lipatov, Nucl. Phys. B
ного с фактором ΦMV(m, l, ε) (7). Эти рекурсивные
582, 19 (2000);
661, 19 (2003);
769, 217 (2007);
соотношения приводят к возможности выразить
A. V. Kotikov, L. N. Lipatov, A. I. Onishchenko, and
все результаты для ΦMV(m, l, ε) в термина
ζ2s-1,
V. N. Velizhanin, Phys. Lett. B 595, 521 (2004);
выражения (16) и (17) для которых справедливы
L. Bianchi, V. Forini, and A. V. Kotikov, Phys. Lett.
для всех порядков теории возмущений.
B 725, 394 (2013).
LANDAU-KHALATNIKOV-FRADKIN TRANSFORMATION
AND EVEN ζ FUNCTIONS
A. V. Kotikov1) and S. Teber2)
1)Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics, Joint Institute for Nuclear Research,
141980 Dubna, Russia
2)Sorbonne Universit ´e, CNRS, Laboratoire de Physique Th ´eorique et Hautes Energies, LPTHE,
F-75005 Paris, France
We give the exact formula relating standard ζ functions and so-called
ζ functions in all orders of
perturbation theory. The formula is based on the Landau-Khalatnikov-Fradkin (LKF) transformation.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№1
2021
