ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 2, с. 111-123

ЯДРА

О СХОДИМОСТИ РАСЧЕТОВ В ОСЦИЛЛЯТОРНОМ БАЗИСЕ

Поступила в редакцию 10.06.2020 г.; после доработки 30.07.2020 г.; принята к публикации 30.07.2020 г.

Проведено исследование сходимости расчетов в осцилляторном базисе посредством локализации

полюсов S-матрицы для связанных состояний в подходах HORSE и SS-HORSE. Изучена схо-

димость как в случае резкого обрезания матрицы потенциала в осцилляторном пространстве, так

и при использовании сглаживания матричных элементов потенциала. На этой основе предложен

новый метод экстраполяции на случай бесконечно больших модельных пространств, позволяющий

на основе вариационных расчетов предсказывать энергии связи и асимптотические нормировочные

коэффициенты связанных состояний с высокой степенью точности и оценивать погрешности этих

предсказаний.

DOI: 10.31857/S0044002721020148

1. ВВЕДЕНИЕ

известный как формализм HORSE [28]. Метод

SS-HORSE [29, 30] является обобщением ва-

Точность теоретических предсказаний в подхо-

риационных расчетов в осцилляторном базисе

дах ab initio современной теории атомного яд-

и, в частности, NCSM на случай непрерывного

ра ограничена мощностью современных суперком-

спектра и позволяет рассчитывать сдвиги фаз

пьютеров. Например, в модели оболочек без инерт-

рассеяния, значения амплитуды и S-матрицы

ного кора (No-Core Shell Model, NCSM) [1, 2]

рассеяния нейтральных [31] и заряженных [32]

точность предсказаний напрямую связана с чис-

частиц, а также характеристики рассеяния в случае

лом учитываемых квантов возбуждения в ядерной

демократического многочастичного рассеяния [33,

системе N_max и числом частиц в ядре A, так как

34]. Расчет характеристик рассеяния проводится

размерность базиса NCSM растет экспоненциаль-

с помощью простых формул при энергиях, совпа-

но с N_max и A. Исследование сходимости расчетов

дающих с собственными значениями E_λ конечной

в подходах ab initio чрезвычайно важно, а разви-

матрицы гамильтониана, построенной в осцил-

тие методов экстраполяции результатов в б ´ольшие

ляторном базисе. Варьируя размеры модельного

модельные пространства является актуальной за-

пространства и величину осцилляторного кван-

дачей.

та ℏΩ, можно получить значения характеристик

В настоящее время разработаны различные ме-

рассеяния в некотором интервале энергий. Затем,

тоды экстраполяции [3-21], в которых зависимости

на основе параметризации сдвигов фаз, можно

получаемых в оболочечных расчетах энергий и дру-

рассчитать характеристики рассеяния в широком

гих характеристик связанных состояний от N_max и

интервале энергий. Эффективность метода была

величины осцилляторного кванта ℏΩ используются

продемонстрирована нами в задачах резонанс-

для предсказания значений, соответствующих бес-

ного и нерезонансного рассеяния нуклонов на

конечному базису.

изотопах гелия⁴He [29, 35-37] и⁶He [37-39], а

также в предсказании возможности существования

Недавно нами был предложен метод Single-

резонансного состояния тетранейтрона [33, 34].

State Harmonic-Oscillator Representation of Scatte-

Все перечисленные исследования проводились на

ring Equations (SS-HORSE), в основе которого

основе расчетов ab initio в NCSM с нуклон-

лежит J-матричный формализм теории рассе-

нуклонными взаимодействиями JISP16

[40] и

яния в осцилляторном базисе

[22-28], также

Daejeon16 [41].

¹⁾НИИ ядерной физики им. Д.В. Скобельцына Московско-

Параметризация фаз рассеяния — это один

го государственного университета им. М.В. Ломоносова,

из ключевых моментов метода SS-HORSE. Мы

Москва, Россия.

исследовали разные варианты параметризации

²⁾Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск,

(см. [29-33]), которые по сути являются экви-

Россия.

валентными, но имеют свои преимущества при

³⁾Department of Physics and Astronomy, Iowa State

University, Iowa, USA.

решении конкретных задач. Параметризация, ос-

^*E-mail: mazur@khb.ru

нованная на аналитических свойствах S-матрицы,

111

112

ШИРОКОВ и др.

в силу своей наглядности оказалась удобной при

где V₀ = -22.0 МэВ, радиус R_ws = 3.08 фм, диф-

исследовании рассеяния нейтральных частиц и

фузность a = 0.53 фм. В системе имеется свя-

резонансного состояния тетранейтрона. Кроме

занное состояние, энергия которого, рассчитан-

того, на основе SS-HORSE с этой параметри-

ная непосредственным интегрированием уравнения

зацией мы предложили новый способ экстрапо-

Шредингера, Eexactb = -7.010906 МэВ, а АНК в

ляции результатов для связанных состояний на

этом состоянии Aexactl = 2.89414 фм-1/2. Число

случай бесконечного базиса [21]. Новый метод

значащих цифр в приведенных значениях соответ-

позволяет определить не только положение полюса

ствует точности расчетов. В качестве модельной

S-матрицы на мнимой полуоси комплексных

задачи мы будем исследовать сходимость вари-

значений импульсов (т.е. энергию связанного

ационных расчетов в осцилляторном базисе для

состояния), но и ее вычет в полюсе, связанный с

этого состояния и точность методов HORSE и

асимптотическим нормировочным коэффициентом

SS-HORSE при получении указанных значений

(АНК).

энергии состояния E_b и АНК A_l.

Цель настоящей работы заключается в даль-

нейшем развитии метода экстраполяции [21]. Мы

предлагаем новый вариант экстраполяции резуль-

2.2. Методы HORSE и SS-HORSE

татов вариационных расчетов на бесконечно боль-

шое модельное пространство. В отличие от мето-

Остановимся кратко на формулах методов

да [21], в котором экстраполяция проводилась на

HORSE и SS-HORSE, необходимых для анализа

основе большого числа результатов, полученных

результатов. Детальное изложение этих методов

в разных модельных пространствах и с различ-

можно найти в статьях [27, 28] и [29, 35] соответ-

ными значениями осцилляторного параметра ℏΩ,

ственно.

в новой версии экстраполяция производится на

основе небольшого числа результатов, полученных

В методе HORSE радиальная волновая функ-

в одном модельном пространстве с различными

ция разлагается в ряд по бесконечному набору

значениями ℏΩ. Данный подход позволяет пред-

базисных осцилляторных функций φ_nl(r),

сказывать как энергии связанных состояний, так

φ_nl(r) =

(2)

и асимптотические нормировочные коэффициен-

√

ты — важные наблюдаемые в ядерных системах.

2n!

Мы предлагаем также способ оценки погрешности

= (-1)ⁿ

⁽r)l+1 ×

метода.

r₀Γ(n + l/2 + 3/2) r₀

(

)

Мы начинаем с того, что на примере простой

r²

⁽r²

модельной задачи анализируем некоторые общие

× exp

Ll+1/2

2r²⁰

r²

свойства сходимости вариационных расчетов в ос-

цилляторном базисе и расчетов положений по-

Здесь n = 0, 1, 2, . . . — главное квантовое число

люсов S-матрицы для связанных состояний как

√

осцилляторной функции, r₀ =

ℏ/μΩ — осцилля-

в методе HORSE, так и в методе SS-HORSE.

В частности, исследуется влияние “мягкого” об-

торный радиус, Ln+1/2(x) — присоединенный по-

резания матрицы потенциала в пространстве ос-

лином Лагерра. В результате исходное уравнение

цилляторных функций [42] на сходимость методов

Шредингера преобразуется в бесконечную систему

HORSE и SS-HORSE. Затем на этой основе мы

линейных уравнений.

формулируем предлагаемый метод экстраполяции

результатов для энергии связанного состояния и

Бесконечное базисное пространство разбивает-

АНК.

ся на два подпространства: конечное внутреннее,

n ≤ N, и бесконечное внешнее, n > N. Во внеш-

ней области n > N, отвечающей свободному дви-

2. ПОЛЮСЫ S-МАТРИЦЫ

жению частицы, гамильтониан представлен трех-

ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ

диагональной симметричной бесконечной матри-

В МЕТОДАХ HORSE И SS-HORSE

цей оператора кинетической энергии с ненулевыми

матричными элементами

2.1. Параметры модельной задачи

(

)

ℏΩ

Рассмотрим задачу движения нейтральной ча-

H_nn = T_nn =

2n + l +

(3)

стицы с массой μc² = 751.14 МэВ в поле по-

тенциала Вудса-Саксона в парциальной волне с

Hn,n-1 = Hn-1,n = Tn,n-1 =

орбитальным моментом l = 0:

√

(

)

V₀

ℏΩ

n n+l+

V (r) =

(1)

1 + exp[(r - R_ws)/a]

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

О СХОДИМОСТИ РАСЧЕТОВ

113

Во внутренней области взаимодействие учитывает-

Формула (5) справедлива и для комплексных

ся полностью, т.е. гамильтониан внутренней обла-

значений аргументов. Из теории рассеяния [43]

сти H^N представлен конечной матрицей с элемен-

известно, что полюсы S-матрицы ассоциируются с

тами

ложными, виртуальными, резонансными и интере-

сующими нас связанными состояниями. Положе-

H^Nnm = T_nm + V^Nnm, n,m = 0,1,2,... ,N.

(4)

ние полюса S-матрицы на комплексной плоскости

Таким образом, с формальной точки зрения суть

импульсов в HORSE можно найти, решая транс-

метода HORSE заключается в аппроксимации ис-

цендентное уравнение [27]

ходного локального потенциала V (r) нелокальным

C(+)N,l(k) - G_NN TNN+1C(+)N+1,l(k) = 0.

(9)

потенциалом V^N , представленным матрицей раз-

мера (N + 1) × (N + 1) в пространстве осцилля-

По известному вычету S-матрицы C_l в полюсе для

торных функций. Матричные элементы V^Nnm по-

связанных состояний можно рассчитать асимпто-

тенциала V^N совпадают с матричными элемента-

тический нормировочный коэффициент A_l [43]:

ми V_nm потенциала V (r) для n, m = 0, 1, 2, . . . , N,

C_l = (-1)l+1i|A_l|².

(10)

т.е. потенциал V^N получается обрезанием беско-

нечной матрицы потенциала V (r) в осцилляторном

Потенциал V^N соответствует резкому обреза-

базисе до матрицы конечного размера.

нию матрицы потенциала в осцилляторном про-

Задача с подобным нелокальным потенциалом

странстве при n = N, что приводит к нерегулярно-

имеет точное решение. Энергии и волновые функ-

му (осциллирующему) поведению фазы рассеяния,

ции связанных состояний, а также функции со-

заметному в расчетах с малым значением N, и

стояний непрерывного спектра и характеристики

постепенно исчезающему по мере роста N. Как

рассеяния в HORSE рассчитываются по форму-

известно, сходимость фаз рассеяния в расчетах

лам, в которые входят результаты диагонализа-

HORSE можно ускорить, если воспользовать-

ции конечной матрицы гамильтониана (4), а так-

ся процедурой мягкого обрезания, предложенной

же регулярное SN+1,l(k) и нерегулярное CN+1,l(k)

в [42]. В этом случае вместо потенциала V^N ис-

осцилляторные решения, отвечающие свободному

пользуется потенциа

V^N с матричными элемента-

движению частицы с энергией E = ℏ²k²/(2μ), ана-

ми

литический вид которых известен [28]. Например,

V^Nnm = σ^NnV^Nnmσ^Nm,

(11)

формула для расчета S-матрицы в HORSE имеет

вид

где

(-)

C_N

(k) - G_NN TNN+1C(-)N+1,l(k)

1 - exp{-[α(n - N - 1)/(N + 1)]²}

σ^Nn =

(12)

S_l(k) =

(5)

1 - exp{-α²}

C(+)N,l(k) - G_NN TNN+1C(+)N+1,l(k)

и α —параметр сглаживания. Ниже для расчетов

где

выбрано значение α = 5.

C(±)N+1,l(k) = CN+1,l(k) ± iSN+1,l(k).

(6)

Отметим, что влияние мягкого обрезания мат-

рицы потенциальной энергии (11), (12) на энергии

Информация о взаимодействии содержится в мат-

связанных состояний до сих пор не изучалось. Это

рице G с элементами

исследование мы проводим в настоящей работе.

∑

〈nl|λ〉〈λ|n^′l〉

В соответствии с формулой (5), для расчета S-

G_nn′ = -

(7)

матрицы необходимо иметь полную информацию

E_λ - E

λ=0

о результатах диагонализации матрицы гамильто-

ниана. Это делает невозможным непосредствен-

где E_λ — собственные значения и 〈nl|λ〉 — соб-

ное применение HORSE для анализа результатов,

ственные функции обрезанного при n = N гамиль-

тониана:

полученных в NCSM в больших модельных про-

странствах. Но если энергия совпадает с собствен-

∑

ным значением E = E_λ, формула (5) существенно

(H^Nnn′ - δ_nn′ E_λ)〈λ|n^′l〉 = 0,

(8)

упрощается:

n^′=0

n = 0,1,...,N.

C(-)N+1,l(k_λ)

S_l(k_λ) =

(13)

Дополнительными внутренними параметрами

C(+)N+1,l(k_λ)

метода HORSE являются граница обрезания N

Здесь импульс k_λ соответствует собственной энер-

и величина осцилляторного кванта ℏΩ. Поэтому

необходимо исследовать сходимость результатов

гии E_λ для состояний рассеяния: E_λ = ℏ²k2λ/(2μ).

при увеличении N и вариации ℏΩ.

Формула (13) выражает суть метода SS-HORSE:

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

114

ШИРОКОВ и др.

в этом методе для расчета S-матрицы используется

Здесь C_l имеет смысл вычета S-матрицы в ее

только одно собственное значение E_λ из всего

полюсе при импульсе k = iκextb, посредством B

спектра собственных значений.

учтены вклады других полюсов. Используя боль-

В случае связанных состояний k_λ = iκ_λ, E_λ =

шие наборы импульсов iκ(N,j)λ и соответствую-

= -(ℏ²κ2λ/(2μ) < 0. Тогда формула (13) принимает

вид

щих значений S-матрицы S_l(iκ(N,j)λ), рассчитан-

(-)

ные в нескольких модельных пространствах, в ра-

C_N

(iκ_λ)

+1,l

боте [21] определялись коэффициенты параметри-

S_l(iκ_λ) =

(14)

C(+)N+1,l(iκ_λ)

зации S-матрицы C_l, κextb и B.

и является основной в методе экстраполяции,

В настоящей работе мы исследуем другой спо-

предложенном в работе [21].

соб экстраполяции, основанный на результатах

расчетов с использованием одного и того же мо-

Значения E_λ и κ_λ зависят от параметров ос-

цилляторного базиса ℏΩ и N. Варьируя эти па-

дельного пространства. В этом случае N фиксиро-

раметры, мы можем по формуле (14) рассчитать

вано, а параметры C_l, κextb и B для ℏΩ(j) определя-

набор значений S-матрицы S_l(iκ(N,j)λ) в некотором

ются в соответствии с формулой (15) по импульсам

(N,j)

κ_λ

и значениям S-матрицы S_l(iκ(N,j)λ), рассчи-

интервале энергий. Здесь через κ(N,j)λ обозначен

набор импульсов κ_λ, соответствующих собствен-

танным только в трех соседних точках ℏΩ(j-1),

ным энергиям E(N,j)λ, рассчитанным в модельных

ℏΩ(j) и ℏΩ(j+1) в одном и том же модельном про-

пространствах N с различными значениями пара-

странстве N. Забегая вперед отметим, что увели-

метра ℏΩ(j) (в каждом модельном пространстве N

чение шага равномерной сетки значений ℏΩ(j) c

мы проводили расчеты на равномерной сетке зна-

1 до 3 МэВ не оказывает существенного влияния

чений ℏΩ(j) с шагом 1 МэВ в интервале от 1

на конечные результаты. Этот подход обеспечивает

до 50 МэВ). Однако не все полученные значения

точность предсказания значений энергии и АНК,

сравнимую с методом, представленным в рабо-

S_l(iκ(N,j)λ) можно использовать в дальнейшем для

те [21].

анализа. Как и в методе HORSE, необходимо

следить за сходимостью, которая в методе SS-

Второй вариант параметризации, который мы

HORSE определяется из следующих соображе-

используем, следует из свойств симметрии S-

ний. S-матрица как аналитическая функция явля-

матрицы:

ется гладкой функцией энергии (за исключением

разрывов в ее полюсах). Будем считать, что схо-

κextb + κ

S_l(iκ) = (-1)^leRκ

(16)

димость в модельном пространстве N достигнута

κextb - κ

в некотором диапазоне ℏΩ, если соответствующие

значения S_l(iκ(N,j)λ) ложатся на единую гладкую

Здесь, как и в выражении (15), iκextb — импульс,

кривую, соответствующую поведению точной S-

при котором S-матрица имеет полюс, соответству-

ющий интересующему нас связанному состоянию,

матрицы. Отклонения S_l(iκ(N,j)λ) от этой гладкой

а вклад удаленных полюсов в этом случае учиты-

кривой позволяют оценить точность предсказа-

вается экспонентой eRκ. Значения параметров R и

ний метода SS-HORSE. Выбор области значений

κ^ext в точке ℏΩ(j) мы определяем по результатам

параметров ℏΩ(j) и N, обеспечивающих приме-

нимость метода SS-HORSE, т.е. отбор значений

расчетов в двух соседних точках ℏΩ(j) и ℏΩ(j+1) в

одном и том же модельном пространстве N.

S_l(iκ(N,j)λ), обеспечивающих сходимость, детально

обсуждается в работах [21, 29, 30, 35].

Энергию Eextb = -(ℏκextb)²/(2μ), отвечающую

положению полюса S-матрицы при импульсе k =

2.3. Параметризация S-матрицы

= iκextb, можно рассматривать как экстраполя-

цию полученных в модельном пространстве N

Следующим важным шагом в SS-HORSE яв-

результатов на случай бесконечного модельного

ляется параметризация S-матрицы по отобранным

пространства. Значение АНК Aextl получается с

значениям S_l(iκ(N,j)λ).

помощью формулы (10) из вычета в полюсе S-

Поведение S-матрицы вблизи полюса можно

матрицы, величина которого определяется подго-

параметризовать выражением:

ночным параметром C_l при использовании пара-

C_l

метризации (15) или подгоночными параметрами R

S_l(iκ) =

+ B.

(15)

iκ - iκextb

и κ^ext при использовании параметризации (16).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

О СХОДИМОСТИ РАСЧЕТОВ

115

E₀, МэВ

-6.90

N = 3

N = 4

N = 5

N = 6

N = 8

N = 10

-6.95

-7.00

"Ω, МэВ

Рис. 1. Собственные энергии E0(ℏΩ) гамильтонианов для двух вариантов обрезания матрицы потенциала в разных

модельных пространствах N. Кривые со светлыми символами соответствуют расчетам с потенциалом V^N (резкое

обрезание матрицы потенциала), с темными — с потенциалом

V^N (мягкое обрезание). Горизонтальная линия — точное

значение Eexactb.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

потенциала в расчетах во всех модельных про-

странствах. Однако результаты в этой области

3.1. Собственные энергии, полюсы S-матрицы

значений ℏΩ не имеют значения для дальнейшего

и асимптотические нормировочные коэффициенты

анализа в SS-HORSE.

в HORSE

Результаты расчетов в HORSE энергий свя-

Собственные энергии нижайшего состояния

занных состояний E_b(ℏΩ), соответствующих полю-

E₀(ℏΩ) гамильтонианов с потенциалами V^N (рез-

сам S-матрицы (решения уравнения (9)), демон-

стрируются на рис. 2.

кое обрезание матрицы потенциала)

V^N (мягкое

обрезание), рассчитанные в HORSE в разных мо-

Диапазон значений ℏΩ, за пределами которого

дельных пространствах N, представлены на рис. 1.

метод HORSE не может привести к достоверным

результатам, определяется из простых соображе-

В вариационных расчетах в качестве предска-

зания энергии связанного состояния в каждом

ний [21].

модельном пространстве выбирается E₀(ℏΩ₀) —

Во-первых, очевидно, что область простран-

минимум зависимости E₀ от ℏΩ. Как видно на

ства, которую покрывает используемый в диаго-

рис. 1, по мере роста размеров модельного про-

нализации гамильтониана осцилляторный базис в

странства E₀(ℏΩ₀) все более точно воспроизво-

координатном представлении, должна быть больше

радиуса действия исходного локального потенци-

дит точное значение энергии состояния Eexactb, а

ала V (r) — в противном случае будет невозможно

область значений ℏΩ, в которой кривая E₀(ℏΩ)

учесть все свойства потенциала в методе HORSE.

близка к Eexactb, становится все более широкой. В

Максимальную пространственную область покры-

области ℏΩ > ℏΩ₀ различие между результатами

вает последняя функция этого базиса φ_Nl(r), рас-

расчетов с двумя вариантами потенциала с ростом

стояние до классической точки поворота кото-

N постепенно нивелируется, и начиная с N =

√

= 8 эти результаты уже неразличимы в выбранном

рой r^clN = 2r₀

N + l/2 + 3/4; при r > r^clN все ба-

масштабе рисунка. Слева от минимума E₀(ℏΩ) в

зисные функции быстро затухают. Следователь-

точке ℏΩ = ℏΩ₀ наблюдаются заметные различия

но, по крайней мере классическая точка поворота

результатов, полученных с разными вариантами

функции φ_nl(r) с максимальным значением n = N

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

116

ШИРОКОВ и др.

E_b, МэВ

N = 3

-6.90

N = 4

N = 5

N = 6

N = 8

N = 10

-6.95

-7.00

-7.05

"Ω, МэВ

Рис. 2. Энергии связанных состояний E_b(ℏΩ) (полюсы S-матрицы), полученные методом HORSE для двух вариантов

обрезания матрицы потенциала. Обозначения как на рис. 1. Заштрихованная область шириной 70 кэВ соответствует

полупроцентному отклонению от точного значения Eexactb ± 0.005Eexactb.

должна находиться за пределами радиуса потен-

величина ℏΩ_min уменьшается. Однако, как видно

циала (R_ws + a). Это требование дает следующую

из рис. 2, при ℏΩ ≈ ℏΩmin модуль производной

оценку для верхней границы значений ℏΩ_max [21]:

|dE_b/d(ℏΩ)| принимает очень большие значения,

и кривые E_b(ℏΩ) резко уходят вверх с умень-

ℏ

ℏΩ ≤ ℏΩ_max =

(4N + 2l + 3).

(17)

шением ℏΩ, что, очевидно, свидетельствует об

μ(R_ws + a)²

отсутствии сходимости подхода при малых ℏΩ.

В нашей модельной задаче даже в минимальном

Нижнюю границу сходимости метода HORSE

рассмотренном базисе (N = 3) ℏΩ_max ∼ 60 МэВ. С

разумно выбрать таким образом, чтобы отсечь

ростом N верхняя граница ℏΩ_max увеличивается.

область резкого роста E_b(ℏΩ). На основе опыта

Во-вторых, как известно, функция связанного

численных расчетов в дальнейшем в качестве

состояния затухает за пределами области действия

нижней границы сходимости по ℏΩ мы используем

потенциала. Описание подобной функции в виде

значения от 4 до 8 МэВ в зависимости от N.

разложения в ряд невозможно, если отсутствует

В расчетах положения полюса S-матрицы в

хотя бы одна базисная функция, обращающаяся

HORSE с потенциалом V^N относительные от-

в нуль на границе или внутри этой области. Для

клонения энергии связанного состояния от точно-

фиксированного значения N из всех возможных

вариантов ближе всего к началу координат распо-

го значения δ(E_b) = (E_b - Eexactb)/Eexactb в модель-

ложен первый корень последней базисной функ-

ном пространстве N = 4 не превышают полови-

ции φ_Nl(r). Таким образом, необходимо потре-

ну процента в интервале значений ℏΩ Δ(ℏΩ) =

бовать, чтобы первый корень базисной функции

= [5, 34] МэВ за исключением небольшого интер-

φ_Nl(r) находился внутри области действия потен-

вала значений ℏΩ в районе ℏΩ = 15 МэВ, где

циала. В результате можно получить оценку ниж-

δ(E_b) немного больше, чем полпроцента; в слу-

ней границы интервала значений ℏΩ_min [21]:

чае N = 5 полпроцентная точность предсказаний

E_b наблюдается в интервале Δ(ℏΩ) = [4,39] МэВ.

(4N + 2l + 3)ℏ

ℏΩ ≥ ℏΩ_min =

(18)

Начиная с N = 8 точность предсказаний в интер-

μ(2N + l)²(R_ws + a)²

вале Δ(ℏΩ) = [3, 50] МэВ заметно лучше половины

Для модельного пространства N = 3 значение

процента. Отметим, что результаты, полученные

ℏΩ_min составляет около

МэВ, с ростом N в модельном пространстве N = 3, фактически не

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

О СХОДИМОСТИ РАСЧЕТОВ

117

, фм^-1/2

3.2

3.0

2.8

N = 3

N = 4

N = 5

N = 6

N = 8

2.6

N = 10

"Ω, МэВ

Рис. 3. Асимптотические нормировочные коэффициенты A_l(ℏΩ), полученные методом HORSE для двух вариантов

обрезания матрицы потенциала. Обозначения как на рис. 1. Горизонтальная линия соответствует точному значению АНК

Aexactl, заштрихованная область — двухпроцентному отклонению от точного значения Aexactl ± 0.02Aexactl.

демонстрируют сходимости, т.е. хотя бы намека на

3.2. Полюсы S-матрицы и АНК в SS-HORSE

плато в зависимости E_b(ℏΩ).

Рассмотрим результаты экстраполяции энер-

Мягкое обрезание потенциала существенно

гий Eextb и АНК Aextl в методе SS-HORSE на ос-

улучшает сходимость HORSE и позволяет по-

нове расчетов в разных модельных пространствах.

лучить хорошие предсказания в более широких

Как и в HORSE, для метода SS-HORSE оста-

интервалах значений ℏΩ даже в небольших мо-

ются справедливыми условия (17) и (18). Отметим,

дельных пространствах. В модельных простран-

что при рассмотрении резонансных состояний в

ствах N ≥ 5 точность предсказаний много лучше

SS-HORSE для нижней границы ℏΩ_min сходи-

половины процента, начиная примерно с ℏΩ ≈

мости метода получено более жесткое условие,

≈ 7 МэВ.

чем неравенство (18): производная dE₀/d(ℏΩ) для

Асимптотические нормировочные коэффициен-

каждого заданного значения N должна принимать

ты более чувствительны к способу обрезания по-

положительные значения [29] (в нашей задаче этой

тенциала. В расчетах HORSE с потенциало

V^N

границе соответствует ℏΩ_min ≈ 11 МэВ для потен-

(мягкое обрезание матрицы) сходимость суще-

циала V^N и ≈12 МэВ для потенциал

V^N). Это

ственно более быстрая, чем в расчетах с потен-

условие вытекает из роста сдвига фаз в резонанс-

циалом V^N (см. рис. 3). Кроме того, в расчетах с

ной области, т.e. производная dδ_l/dE > 0. В случае

потенциалом V^N отличие АНК от точного значения

связанных состояний требование dE₀/d(ℏΩ) > 0

даже в модельном пространстве N = 10 составляет

не является обоснованным, однако фактически

примерно два процента, тогда как в расчетах

V^N

оказывается, что нижняя граница области сходи-

мости подхода приблизительно согласуется с оцен-

относительное двухпроцентное отличие от Aexactl

даже в случае существенно меньшего модельного

кой на основе критерия dE₀/d(ℏΩ) > 0.

пространства N = 5 наблюдается только на гра-

Сравнение результатов, полученных в HORSE

ницах интервала Δ(ℏΩ) = [21, 50] МэВ, а внутри

и SS-HORSE в модельных пространствах N =

этого интервала точность существенно выше.

= 4-7, представлено на рис. 4 и 5. На левых

панелях рисунков демонстрируются расчеты с по-

Отметим, что по сравнению с энергией для АНК

область сходимости метода HORSE смещена в

тенциалом V^N , на правых —

V^N. Левая граница

сторону б ´ольших значений ℏΩ.

по оси абсцисс ℏΩ = 9 МэВ на рисунках примерно

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

118

ШИРОКОВ и др.

E₀, E^ext, МэВ

-6.90

N = 4

E₀

N = 4

-6.95

E^a

E^b

-7.00

-6.90

N = 5

-6.95

-7.00

-6.90

N = 6

-6.95

-7.00

-6.90

N = 7

-6.95

-7.00

"Ω, МэВ

Рис. 4. Результаты экстраполяции энергий E^ext на основе расчетов с потенциалами V^N (слева) и

V^N (справа) в мо-

дельных пространствах N = 4, 5, 6, 7. Косые крестики — собственные энергии E0 матрицы обрезанного гамильтониана,

квадраты — экстраполяция SS-HORSE, вариант a, кружки — вариант b (см. текст). Штриховые кривые — результаты

расчета энергии связанного состояния E_b в HORSE, горизонтальные прямые — точное значение Eexactb, заштрихованная

область шириной 28 кэВ соответствует отклонению от точного значения Eexactb на 0.2%.

соответствует началу области сходимости, правая

в поведении кривых экстраполяции в расчетах E

граница ℏΩ = 50 МэВ — меньше верхней границы

с шагом 1 МэВ и в расчетах c шагом 3 МэВ

применимости HORSE ℏΩ_max ∼ 60 МэВ для мо-

существенно меньше, чем различие в поведении

дельного пространства N = 3.

кривых E^a и E^b на рис. 4. Аналогичная картина

На рис. 4 представлены собственные энергии E₀

наблюдается и для экстраполяции методом SS-

матрицы гамильтониана, полюсы S-матрицы E_b,

HORSE АНК A_l, представленной на рис. 4.

рассчитанные в HORSE, а также два варианта (a

Результаты экстраполяции E^ext и Aextl являют-

и b) результатов экстраполяции SS-HORSE для

ся функциями ℏΩ, которые заметно изменяются

энергий E^ext. Энергии E^a соответствуют расчетам

при увеличении модельного пространства. В це-

с параметризацией (15) по трем последовательным

лом, оба метода — экстраполяции SS-HORSE и

значениям ℏΩ с шагом 1 МэВ; энергии E^b — рас-

HORSE — имеют одинаковые особенности. Так,

четам с параметризацией (16) по двум последова-

во всех вариантах расчетов в методе SS-HORSE

тельным значениям ℏΩ с шагом 1 МэВ. Результаты

при увеличении модельного пространства наблю-

экстраполяции двух вариантов параметризации S-

дается сходимость результатов и расширение об-

матрицы E^a и E^b, как видно на рис. 4, близки.

ласти сходимости. Но следует отметить важную

Различие между ними уменьшается по мере роста

особенность: в случае потенциала V^N (без сглажи-

N. С ростом N уменьшается также различие ре-

вания) экстраполяции SS-HORSE сходятся быст-

зультатов HORSE и экстраполяций SS-HORSE.

рее, чем расчеты HORSE, а со сглаживанием —

Отметим, что величина шага по ℏΩ в парамет-

наоборот, расчеты HORSE сходятся быстрее, чем

ризации (15) не играет заметной роли: различие экстраполяции SS-HORSE. С точки зрения раз-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

О СХОДИМОСТИ РАСЧЕТОВ

119

ext

−1/2

, _l

, фм

3.2

N = 4

3.0

2.8

2.6

3.2

N = 5

3.0

2.8

2.6

3.2

N = 6

3.0

2.8

2.6

3.2

N = 7

3.0

2.8

2.6

"Ω, МэВ

Рис. 5. Экстраполированные методом SS-HORSE АНК Aextl на основе расчетов в модельных пространствах N = 4,

5, 6, 7 с потенциалами V^N (слева) и

V^N (справа). Обозначения как на рис. 4. Заштрихованная область соответствует

отклонению от точного значения Aexactl на 2%.

меров области сходимости, экстраполяции SS-

В модельном пространстве N = 6 аналогич-

HORSE в расчетах с потенциалом V^N также вы-

ные интервалы Δ(ℏΩ) расширяются: для E^a он

глядят предпочтительнее по сравнению с расчета-

составляет Δ(ℏΩ) = [10, 47] МэВ, а для E^b —

ми с потенциало

V^N .

Δ(ℏΩ) = [10, 40] МэВ; для АНК эти интервалы

Так, например, сходимость энергий связанных

равны Δ(ℏΩ) = [20, 45] МэВ для A^al и Δ(ℏΩ) =

состояний E^ext и AHK Aextl, экстраполированных

= [17, 36] МэВ для A^bl. Далее, в модельном

на основе расчетов с потенциалом V^N , наблюда-

пространстве N = 7 энергия E^a не выходит за

пределы выделенной области во всем диапазоне

ется, начиная с N = 5. При этом значения E^a,

отличающиеся от точного не более, чем на 0.2%,

представленных значений ℏΩ, интервал Δ(ℏΩ)

лежат в интервале Δ(ℏΩ) = [10, 40] МэВ. Соответ-

для E^b несколько уже: Δ(ℏΩ) = [10, 47] МэВ; для

ствующий интервал для A^al, в пределах которого

АНК соответствующие интервалы равны Δ(ℏΩ) =

отклонения АНК от точного значения не превыша-

= [19, 48] МэВ (Aal ) и Δ(ℏΩ) = [16, 38] МэВ (A^bl).

ют 2%, составляет Δ(ℏΩ) = [25, 38] МэВ (на рис. 4,

В расчетах с потенциало

V^N (мягкое обреза-

5 области (1 ± 0.002)Eexactb и (1 ± 0.02)Aexactl выде-

лены штриховкой). Область перекрытия этих двух

ние матрицы потенциала) сходимость E^ext и Aextl в

целом такая же. Но интервалы Δ(ℏΩ), в которых

интервалов достаточно высока. Для энергий E^b

верхняя граница интервала Δ(ℏΩ) при аналогич-

отклонение E^ext от точного не превышает 0.2%,

ных критериях уменьшается до 34 МэВ, а интервал

являются более узкими в небольших модельных

для A^bl не только уменьшается, но и несколько

пространствах. Так, в пространстве N = 5 этот ин-

тервал для экстраполяции E^a составляет Δ(ℏΩ) =

сдвигается в область меньших ℏΩ и составляет

Δ(ℏΩ) = [21, 32] МэВ.

= [10, 31] МэВ. Соответствующий интервал для E^b

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

120

ШИРОКОВ и др.

E^a, МэВ

-7.005

-7.010

N = 5

N = 6

-7.015

N = 7

"Ω, МэВ

Рис. 6. Энергии E^a, полученные методом экстраполяции SS-HORSE с потенциалом V^N . Заштрихованная область,

ограниченная сплошными линиями, соответствует области сходимости D(ℏΩ) (по горизонтали) и соответствующему

разбросу энергий E^a в модельном пространстве N = 7; область, ограниченная штриховыми линиями — аналогичным

величинам в модельном пространстве N = 6 (см. текст). Жирная горизонтальная линия показывает точное значение

энергии.

меньше: Δ(ℏΩ) = [10, 27] МэВ. Результаты экс-

Результаты экстраполяции в каждом модельном

траполяции A^al в модельном пространстве N = 5

пространстве зависят от ℏΩ. Для оценки значения

находятся в области двухпроцентного отклонения

энергииEext, полученной в результате экстраполя-

от точного значения только в интервале Δ(ℏΩ) =

ции, и соответствующей погрешности в модельном

= [28, 33] МэВ. Аналогичный интервал в случае

пространстве N, мы предлагаем следующую схему.

экстраполяции A^bl в этом же модельном простран-

Будем исходить из разброса значений E^ext(ℏΩ) в

стве Δ(ℏΩ) = [21, 27] МэВ. Перекрытие интер-

такой области значений D(ℏΩ), в которой для дан-

валов, в которых одновременно с рассмотренной

ного модельного пространства наблюдается сходи-

точностью воспроизводятся и энергии, и АНК,

мость. Эту область мы предлагаем устанавливать,

заметно меньше по сравнению с аналогичными

опираясь на сравнительно малые значения произ-

интервалами в расчетах с потенциалом V^N .

водной dE^ext(ℏΩ)/d(ℏΩ) и на точки пересечения

Подчеркнем, что сходимость SS-HORSE с по-

кривых E^ext(ℏΩ), полученных в модельных про-

тенциалом V^N более быстрая по сравнению с

странствах N и N - 1. Определившись с областью

HORSE. Это следует, в частности, из того, что

сходимости D(ℏΩ), мы принимаем полусумму мак-

энергии E^ext воспроизводят точные значения Eexactb

симального и минимального в этой области значе-

в каждом модельном пространстве с заданной точ-

ний энергии за оценку предсказания для энергии

ностью в более широких интервалах Δ(ℏΩ). Ана-

E^ext в данном модельном пространстве N, а их

логичная ситуация наблюдается и для АНК.

полуразность — за погрешность ΔE^ext.

В расчетах с потенциалом

V^N сходимость в

В качестве примера рассмотрим результаты

HORSE, наоборот, более быстрая по сравнению с

экстраполяции энергии E^a в модельном про-

экстраполяциями SS-HORSE.

странстве N = 6 с потенциалом V^N . В этом

В модельных пространствах большей размер-

случае мы предлагаем выбрать область сходимости

ности в рассмотренном диапазоне значений ℏΩ

D(ℏΩ) = [12, 39] МэВ, так как в этой области

указанные выше отличия нивелируются, расчеты с

сравнительно небольшие значения производной,

потенциалами V^N

V^N приводят к практически

а обе точки пересечения с кривой в модельном

одинаковым результатам.

пространстве N = 5 попадают в нее. Соответ-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

О СХОДИМОСТИ РАСЧЕТОВ

121

Таблица 1. Экстраполированные энергии

E^a,

E^b и АНК

A^al,

A^bl, полученные на основе вариационных расчетов

с потенциалами V^N и

V^N в разных модельных пространствах N (погрешности в последней значащей цифре

указаны в скобках; точные значения энергии нижайшего связанного состояния и АНК: Eexactb = -7.01091 МэВ,

Aexactl = 2.894 фм-1/2)

E^a, МэВ

E^b, МэВ

A^a, фм-1/2

A^b, фм-1/2

E^a, МэВ

E^b, МэВ

A^a, фм-1/2

A^b, фм-1/2

Потенциал V^N

Потенциал

V^N

-6.99(4)

-6.98(4)

2.7(4)

2.8(2)

-6.99(2)

2.6(2)

2.65(6)

-7.009(8)

-7.008(6)

2.8(1)

-7.00(2)

2.9(2)

2.8(2)

-7.010(2)

2.83(3)

2.81(7)

-7.008(7)

-7.009(5)

2.85(9)

2.82(8)

-7.010(2)

2.89(5)

2.86(6)

-7.010(1)

-7.0104(5)

2.86(3)

2.84(4)

-7.0109(5)

-7.0108(3)

2.86(4)

2.85(3)

-7.0107(2)

-7.0105(4)

2.89(2)

2.87(4)

-7.0109(2)

-7.0108(2)

2.885(4)

2.90(5)

-7.0108(1)

-7.0108(2)

2.889(9)

2.87(2)

-7.0109(1)

2.90(1)

2.88(2)

-7.01084(8)

-7.01081(7)

2.891(3)

2.88(1)

ствующие минимальное и максимальное значения

соответствующей волновой функции. Впервые для

E^a определяют границы разброса (см. рис. 6),

метода HORSE изучено влияние мягкого обре-

по которым находятся среднее значение

E^a и

зания матрицы потенциала в осцилляторном про-

погрешность ΔE^a.

странстве [42]. Показано, что в методе HORSE

мягкое обрезание матрицы потенциала существен-

В случае модельного пространства N = 7 гра-

но улучшает сходимость как расчетов энергии, так

ницы области сходимости D(ℏΩ) = [11, 40] МэВ

и расчетов АНК.

выбраны по точкам пересечения кривых E^a(ℏΩ) в

модельных пространствах N = 7 и N = 6: произ-

В рамках подхода SS-HORSE предложен но-

вый метод экстраполяции результатов вариацион-

водная dE^ext(ℏΩ)/d(ℏΩ) для N = 7 невелика в этой

области и начинает расти справа за ее границей,

ных расчетов в осцилляторном базисе, полученных

в ограниченном модельном пространстве с различ-

а на левой границе испытывает резкие изменения,

ными значениями осцилляторного параметра ℏΩ,

так что такое определение области сходимости

выглядит разумным.

на бесконечно большое модельное пространство.

Рассмотрены разные варианты параметризации S-

Аналогично мы оцениваем значение и погреш-

матрицы, показано, что для них результаты пред-

ность АНК.

сказаний в области сходимости метода практиче-

В табл. 1 приведены оценки экстраполирован-

ски одинаковы. Данный метод, как и предложенный

ных значений и соответствующих погрешностей

ранее нами в статье [21], позволяет не только пред-

энергий

E^a,

E^b и АНК

A^al,

A^bl, полученных в

сказывать энергии связанных состояний не хуже

различных модельных пространствах в расчетах

других методов экстраполяции, но и рассчитывать с

с потенциалами V^N и

V^N. Как видно, начиная

разумной точностью АНК — важные наблюдаемые

с N = 6 результаты для обоих вариантов по-

в ядерных системах.

тенциала совпадают в пределах погрешностей и

Для экстраполяций SS-HORSE изучено вли-

прекрасно воспроизводят точные значения Eexactb =

яние мягкого обрезания матрицы потенциала в

= -7.01091 МэВ, Aexactl = 2.894 фм-1/2.

осцилляторном пространстве [42]. Показано, что в

отличие от метода HORSE в случае экстраполяций

SS-HORSE мягкое обрезание матрицы потенци-

ала приводит к некоторому ухудшению сходимо-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

сти. В расчетах без использования мягкого обре-

На примере модельной задачи исследована схо-

зания матрицы потенциала метод экстраполяции

димость вариационных расчетов энергии нижай-

SS-HORSE демонстрирует более быструю сходи-

шего состояния. Изучены эффекты мягкого обре-

мость, чем HORSE. Так, экстраполяция результа-

зания матрицы потенциала [42].

тов, полученных в модельном пространстве N = 6,

В методе HORSE посредством численной ло-

дает предсказания для энергий E^a, отличающиеся

кализации полюса S-матрицы рассчитана энергия

от точного значения не более, чем на 0.2% в широ-

нижайшего связанного состояния и найден АНК

кой области значений ℏΩ: Δ(ℏΩ) = [10, 47] МэВ в

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

122

ШИРОКОВ и др.

расчетах с потенциалом V^N и в несколько меньшей

R. J. Furnstahl, G. Hagen, and T. Papenbrock, Phys.

области Δ(ℏΩ) = [10, 43] МэВ в расчетах с потен-

Rev. C 86, 031301(R) (2012).

S. N. More, A. Ekstr ¨om, R. J. Furnstahl, G. Hagen,

циало

V^N . Соответствующие области для АНК

and T. Papenbrock, Phys. Rev. C 87, 044326 (2013).

A^al с отклонениями не более 2% от точного значе-

M. K. G. Kruse, E. D. Jurgenson, P. Navr ´atil,

ния составляют Δ(ℏΩ) = [20, 45] МэВ (потенциал

B. R. Barrett, and W. E. Ormand, Phys. Rev. C 87,

V^N ) и Δ(ℏΩ) = [24,42] МэВ (потенциа

V^N ).

044301 (2013).

10.

R. J. Furnstahl, S. N. More, and T. Papenbrock, Phys.

Отметим, что относительная точность предска-

Rev. C 89, 044301 (2014).

заний для АНК ниже, чем для энергий как в рас-

11.

D. S ¨a ¨af and C. Forss ´en, Phys. Rev. C 89, 011303(R)

четах HORSE, так и в методе экстраполяций SS-

(2014).

HORSE. Кроме того, нижняя граница области схо-

12.

S. K ¨onig, S. K. Bogner, R. J. Furnstahl, S. N. More,

димости АНК в обоих подходах заметно сдвинута

and T. Papenbrock, Phys. Rev. C 90, 064007 (2014).

(примерно на 10 МэВ) вправо от нижней границы

13.

R. J. Furnstahl, G. Hagen, T. Papenbrock, and

области сходимости для энергий.

K. A. Wendt, J. Phys. G 42, 034032 (2015).

Предложена процедура оценки погрешности

14.

K. A. Wendt, C. Forss ´en, T. Papenbrock, and D. S ¨a ¨af,

Phys. Rev. C 91, 061301(R) (2015).

предсказаний энергий

E^ext и АНК

Aextl. Погреш-

15.

S. A. Coon and M. K. G. Kruse, Int. J. Mod. Phys. E

ности предсказаний для двух вариантов обреза-

25, 1641011 (2016).

ния потенциала в пространстве осцилляторных

16.

D. Odell, T. Papenbrock, and L. Platter, Phys. Rev. C

функций V^N

V^N в модельной задаче становятся

93, 044331 (2016).

одинаковыми начиная с N = 6. Погрешность пред-

17.

I. J. Shin, Y. Kim, P. Maris, J. P. Vary, C. Forss ´en,

сказания энергии, начиная с N = 6, не превышает

J. Rotureau, and N. Michel, J. Phys. G 44, 075103

нескольких кэВ (доли процента). Относительная

(2017).

погрешность предсказания АНК больше, но и она

18.

G. A. Negoita, G. R. Luecke, J. P. Vary, P. Maris,

не превышает процента. Отметим, что предсказан-

A. M. Shirokov, I. J. Shin, Y. Kim, E. G. Ng,

ные величины совпадают с точными результатами в

and C. Yang, in Proceedings of the Ninth

пределах погрешности.

International Conference on Computational

Logics, Algebras, Programming, Tools, and

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант

Benchmarking (COMPUTATION TOOLS 2018),

№ 20-02-00357) и Министерства науки и выс-

Feb. 18-22, 2018, Barcelona, Spain (IARIA, 2018),

шего образования Российской Федерации (проект

p. 20; arXiv: 1803.03215 [physics.comp-ph].

№ 0818-2020-0005) с использованием ресурсов

19.

G. A. Negoita, J. P. Vary, G. R. Luecke, P. Maris,

ЦКП “Центр данных ДВО РАН”.

A. M. Shirokov, I. J. Shin, Y. Kim, E. G. Ng, C. Yang,

M. Lockner, and G. M. Prabhu, Phys. Rev. C 99,

054308 (2019).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

20.

W. G. Jiang, G. Hagen, and T. Papenbrock, Phys. Rev.

1. B. R. Barrett, P. Navr ´atil, and J. P. Vary, Prog. Part.

C 100, 054326 (2019).

Nucl. Phys. 69, 131 (2013).

21.

А. М. Широков, В. А. Куликов, А. И. Мазур, ЯФ

2. J. P. Vary, R. Basili, W. Du, M. Lockner, P. Maris,

82, 339 (2019) [Phys. At. Nucl. 82, 385 (2019)].

D. Oryspayev, S. Pal, S. Sarker, H. M. Aktulga,

22.

E. J. Heller and H. A. Yamani, Phys. Rev. A 9, 1201

E. Ng, M. Shao, and C. Yang, in Proceedings of

(1974).

the International Conference “Nuclear Theory in

23.

H. A. Yamani and L. J. Fishman, J. Math. Phys. 16,

the Supercomputing Era — 2016” (NTSE-2016),

410 (1975).

Khabarovsk, Russia, September 19-23, 2016, Ed.

24.

Г. Ф. Филиппов, И. П. Охрименко, ЯФ 32, 932

by A. M. Shirokov and A. I. Mazur (Pacific

(1980) [Sov. J. Nucl. Phys. 32, 480 (1980)].

National University, Khabarovsk, Russia,

2018),

25.

Г. Ф. Филиппов, ЯФ 33, 928 (1981) [Sov. J. Nucl.

p. 15; http://www.ntse-2016.khb.ru/Proc/Vary.pdf

Phys. 33, 488 (1981)].

3. H. Zhan, A. Nogga, B. R. Barrett, J. P. Vary, and

26.

Yu. F. Smirnov and Yu. I. Nechaev, Kinam 4, 445

P. Navr ´atil, Phys. Rev. C 69, 034302 (2004).

(1982); Ю. И. Нечаев, Ю. Ф. Смирнов, ЯФ 35, 1385

4. P. Maris, J. P. Vary, and A. M. Shirokov, Phys. Rev. C

(1982) [Sov. J. Nucl. Phys. 35, 808 (1982)].

79, 014308 (2009).

27.

С. А. Зайцев, Ю. Ф. Смирнов, А. М. Широков,

5. S. A. Coon, M. I. Avetian, M. K. G. Kruse,

ТМФ 117, 227 (1998) [Theor. Math. Phys. 117, 1291

U. van Kolck, P. Maris, and J. P. Vary, Phys. Rev. C

(1998)].

86, 054002 (2012).

28.

J. M. Bang, A. I. Mazur, A. M. Shirokov,

6. S. A. Coon, in Proceedings of the International

Yu. F. Smirnov, and S. A. Zaytsev, Ann. Phys.

Conference

“Nuclear

Theory

the

(N.Y.) 280, 299 (2000).

Supercomputing Era — 2012” (NTSE-2012),

29.

A. M. Shirokov, A. I. Mazur, I. A. Mazur, and

Khabarovsk, Russia, June 18-22, 2012, Ed. by

J. P. Vary, Phys. Rev. C 94, 064320 (2016).

A. M. Shirokov and A. I. Mazur (Pacific National

30.

I. A. Mazur, A. M. Shirokov, A. I. Mazur, and

University, Khabarovsk, Russia, 2013), p. 171.

J. P. Vary, Phys. Part. Nucl. 48, 84 (2017).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

О СХОДИМОСТИ РАСЧЕТОВ

123

31.

Л. Д. Блохинцев, А. И. Мазур, И. А. Мазур,

38. I. A. Mazur, A. M. Shirokov, I. J. Shin, A. I. Mazur,

Д. А. Савин, А. М. Широков, ЯФ 80, 102 (2017)

Y. Kim, P. Maris, and J. P. Vary, in Proceedings

[Phys. At. Nucl. 80, 226 (2017)].

of the International Conference

“Nuclear

32.

Л. Д. Блохинцев, А. И. Мазур, И. А. Мазур,

Theory in the Supercomputing Era — 2018”

Д. А. Савин, А. М. Широков, ЯФ 80, 619 (2017)

(NTSE-2018), Daejeon, South Korea, October

[Phys. At. Nucl. 80, 1093 (2017)].

29-November 2, 2018, Ed. by A. M. Shirokov

33.

A. M. Shirokov, G. Papadimitriou, A. I. Mazur,

and A. I. Mazur (Pacific National University,

I. A. Mazur, R. Roth, and J. P. Vary, Phys. Rev. Lett.

Khabarovsk, Russia, 2019), p. 310; http://www.ntse.

117, 182502 (2016).

khb.ru/files/uploads/2018/proceedings/MazurI.pdf

34.

A. M. Shirokov, Y. Kim, A. I. Mazur, I. A. Mazur,

39. I. A. Mazur, A. M. Shirokov, I. J. Shin, A. I. Mazur,

I. J. Shin, and J. P. Vary, AIP Conf. Proc. 2038,

Y. Kim, P. Maris, and J. P. Vary, arXiv: 2001.08898

020038 (2018).

[nucl-th] (2020).

35.

A. M. Shirokov, A. I. Mazur, I. A. Mazur,

E. A. Mazur, I. J. Shin, Y. Kim, L. D. Blokhintsev,

40. A. M. Shirokov, J. P. Vary, A. I. Mazur, and

and J. P. Vary, Phys. Rev. C 98, 044624 (2018).

T. A. Weber, Phys. Lett. B 644, 33 (2007).

36.

А. И. Мазур, А. М. Широков, И. А. Мазур,

41. A. M. Shirokov, I. J. Shin, Y. Kim, M. Sosonkina,

Л. Д. Блохинцев, Ю. Ким, И. Дж. Шин, Дж. П. Вэ-

P. Maris, and J. P. Vary, Phys. Lett. B 761, 87 (2016).

ри, ЯФ 82, 449 (2019)

[Phys. At. Nucl. 82, 537

42. J. R ´evai, M. Sotona, and J.

Zofka, J. Phys. G 11, 745

(2019)].

(1985).

37.

И. А. Мазур, А. М. Широков, А. И. Мазур,

43. А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, Рас-

И. Дж. Шин, Ю. Ким, П. Марис, Дж. П. Вэри,

сеяние, реакции и распады в нерелятивистской

ЭЧАЯ 50, 602 (2019)

[Phys. Part. Nucl. 50, 537

(2019)].

квантовой механике (Наука, Москва, 1971).

ON THE CONVERGENCE OF OSCILLATOR BASIS CALCULATIONS

A. M. Shirokov1),2),3), A. I. Mazur²⁾, V. A. Kulikov^1),2)

¹⁾Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Russia

²⁾Pacific National University, Khabarovsk, Russia

³⁾Department of Physics and Astronomy, Iowa State University, USA

We examine the convergence of bound state calculations within the method of the oscillator basis

expansions by means of location of S-matrix poles utilizing the HORSE and SS-HORSE approaches. The

convergence is studied in the case of a sharp truncation of the potential matrix in the oscillator space as well

as in the case of smoothing of potential matrix elements. A new method of extrapolation of the variational

calculation results to the case of infinite-dimensional basis space is proposed. The method makes it possible

to predict binding energies and asymptotic normalization coefficients with a high accuracy and estimate

uncertainties of these predictions.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021