ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 2, с. 130-137

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

CP-НАРУШЕНИЕ В ОСЦИЛЛЯЦИЯХ ТРЕХ ПОКОЛЕНИЙ НЕЙТРИНО:

СЛУЧАЙ ВЫРОЖДЕННЫХ МАСС

НИЦ “Курчатовский институт” — ИТЭФ, Москва, Россия

Поступила в редакцию 26.06.2020 г.; после доработки 15.08.2020 г.; принята к публикации 15.08.2020 г.

CP-симметрия нарушается в осцилляциях нейтрино в вакууме при наличии трех поколений. В этом

случае в PMNS-матрице смешивания присутствует неустранимая комплексная фаза. При вырожде-

нии каких-либо двух масс нейтрино CP-нарушение исчезает. В данной работе продемонстрированы

разные механизмы восстановления CP-симметрии в случае вырождения двух массовых состояний

нейтрино.

DOI: 10.31857/S0044002721020094

1. ВВЕДЕНИЕ

а, следовательно, восстановление CP-симметрии.

Этот механизм в литературе не описывается. Для

Необходимым условием СР-нарушения в слу-

целей настоящей статьи подробный вывод ампли-

чае осцилляций нейтрино является наличие фазы

туды и вероятности осцилляций нейтрино в случае

в матрице смешивания, которая не может быть

трех поколений внесен в Приложение А.

устранена поворотами полей лептонов в лагранжи-

ане Стандартной модели. Только при наличии трех

поколений нейтрино соответствующая фаза оста-

ется в PMNS-матрице. Однако при вырождении

2. ОСЦИЛЛЯЦИИ НЕЙТРИНО

каких-либо двух состояний CP-симметрия восста-

навливается. Это следует из выражения для леп-

В СЛУЧАЕ ТРЕХ ПОКОЛЕНИЙ

тонного аналога детерминанта Ярлског, пропор-

ционального разности масс нейтрино. Чаще всего

Наличие осцилляций является следствием не

в литературе недостаточно подробно рассматри-

нулевых масс нейтрино. Считая, что в начальном

вается или вовсе не затрагивается вопрос о том,

состоянии имеется нейтрино с импульсом p, и

каким образом исчезает нарушение CP-симметрии

рассматривая случай трех поколений ν_e, ν_μ, ν_τ ,

в случае вырождения. Данная работа призвана по-

получим вероятность осцилляций нейтрино на рас-

мочь разобраться в этом вопросе людям, которые

занимаются осцилляциями нейтрино, и потому но-

стоянии L от источника. Флейворные состояния

сит методический характер. В статье рассмотрены

не имеют определенной массы и представляют

два различных объяснения восстановления CP-

собой суперпозицию массовых состояний ν₁, ν₂,

симметрии. Первое демонстрирует явную возмож-

ν₃. Смешивание нейтрино описывается трехмерной

ность устранения CP-нарушающей фазы в матрице

унитарной матрицей U_PMNS:

смешивания. Такая возможность в литературе по

⎛

⎞

⎛

⎞⎛

⎞

осцилляциям нейтрино освещается. Второй меха-

ν_e

Ue1 Ue2 Ue3

ν₁

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

низм, принципиально отличающийся от первого,

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

(1)

опирается на тот факт, что амплитуда осцилляций

μ1

Uμ2 Uμ3

⎝^ν

⎠

⎝^U

⎠⎝ν

⎠

зависит не только от CP-неинвариантной фазы,

ν_τ

Uτ1 Uτ2 Uτ3

ν₃

но и от CP-инвариантной. Чтобы CP-симметрия

нарушалась, необходимо наличие разных как CP-

сохраняющих, так и CP-нарушающих фаз в ампли-

Параметризацию этой матрицы можно прове-

туде осцилляций. Поэтому даже при сохранении

CP-неинвариантных фаз в амплитуде равенство

сти аналогично случаю CKM-матрицы [1], введя

CP-инвариантных фаз влечет за собой равенство

три угла смешивания θ₁₂, θ₂₃, θ₁₃ и фазу δ, не

вероятностей прямого и CP-обратного процессов,

устранимую преобразованиями полей заряженных

лептонов и нейтрино. Тогда матрица U_PMNS будет

^*E-mail: karkaryan@bk.ru

явно иметь вид:

130

CP-НАРУШЕНИЕ В ОСЦИЛЛЯЦИЯХ

131

⎛

⎞

c₁₃c₁₂

s₁₂c₁₃

s₁₃e^-iδ

⎜

⎟

⎜

⎟

U_PMNS =

⎜

s₁₂c₂₃ - c₁₂s₁₃s₂₃e^iδ c₁₂c₂₃ - s₁₂s₁₃s₂₃e^iδ s₂₃c₁₃

⎟,

(2)

⎝^-

⎠

s₁₂s₂₃ - c₁₂c₂₃s₁₃e^iδ

-c₁₂s₂₃ - s₁₂c₂₃s₁₃e^iδ c₂₃c₁₃

где c₁₂ ≡ cos θ₁₂, s₁₂ ≡ sin θ₁₂ и т.д., δ — дираков-

Выражение не обращается в общем случае

ская CP-нарушающая фаза.

в нуль, что свидетельствует о нарушении СP-

Выражение для осцилляций нейтрино с флейво-

симметрии в осцилляциях трех поколений нейтри-

ром α, энергией E на расстоянии L от источника в

но. Уже из (5) видно, что необходимым условием

случае трех поколений имеет вид:

нарушения является наличие комплексных элемен-

∑

тов в матрице смешивания, а это при выбранной

Pνα→ν_β = δαβ - 2 Re{Uαk

βk

U^∗αjU_βj} ×

(3)

нами параметризации (2) означает наличие одной

k>j

дираковской фазы. Для того чтобы увидеть, при

(

)

каких условиях CP-симметрия восстанавливается,

Δm²

1 - cos

выпишем явный вид выражения (5) для осцилляций

ν_e в ν_μ:

∑

Δm2kj

(6)

ΔPνe→νμ =

-2

Im{U_αkU^∗βkU^∗αj U_βj} sin

(

Δm²³¹

k>j

= 4c₁₂c²

c₂₃s₁₃s₂₃s₁₂ sin

L-

∑

Δm2kj

)

=δ_αβ -4

Re{U_αkU^∗βkU^∗αj U_βj } sin²

L-

Δm²²¹

Δm²

− sin

L - sin

L sin δ.

k>j

∑

Δm2kj

Расчет величины (6) приведен в Приложении Б.

-2

Im{U_αkU^∗βkU^∗αjU_βj } sin

k>j

Из этой формулы явно видно, что ΔP = 0 и

CP-нарушение исчезает при следующих условиях:

где U_αj — элемент матрицы смешивания, Δm2kj ≡

1) равенстве нулю дираковской фазы; 2) равенстве

≡ m2k - m2j. Вывод этой формулы приведен в При-

нулю синуса или косинуса одного из углов сме-

шивания; 3) равенстве любых двух масс нейтрино.

ложении А.

Экспериментально известно [2], что углы смеши-

При CP-преобразовании процесс ν_α → ν_β пе-

вания не равны нулю и π/2 и разности квадратов

реходит в процесс ν_α → ν_β. О CP-нарушении будет

масс тоже не равны нулю, хотя и очень малы.

свидетельствовать отличие от нуля разности ΔP =

Поэтому второй пункт реализуется только тогда,

= Pνα→ν_β - Pνα→νβ. Расчет величины Pνα→νβ ^ана-

когда мы имеем всего два поколения нейтрино. В

логичен расчету Pνα→ν_β с той разницей, что для ан-

этом случае выполняется и условие первого пункта,

тичастиц используются комплексно-сопряженные

так как при отсутствии третьего поколения CP-

элементы матрицы смешивания. Поэтому для ан-

нарушающая фаза в PMNS-матрице также отсут-

тинейтрино имеем:

ствует. Наиболее интересен третий пункт, потому

∑

что он приводит к нетривиальным следствиям при

U^∗αjU_βj} ×

(4)

Pνα→ν_β = δαβ - 4 Re{Uαk

βk

учете всех трех поколений: восстановлению CP-

k>j

симметрии в осцилляциях. Ниже будут рассмотре-

Δm²

∑

ны два объяснения этого явления.

× sin²

L+2

Im{U_αkU^∗βkU^∗αj U_βj} ×

k>j

3. ОСЦИЛЛЯЦИИ В СЛУЧАЕ

Δm2kj

× sin

ВЫРОЖДЕНИЯ ДВУХ МАССОВЫХ

СОСТОЯНИЙ

Таким образом, искомая ΔP :

Для того, чтобы имело место CP-нарушение,

∑

Δm²

необходимо, чтобы амплитуда изучаемого процесса

ΔP = 4

Im{U^∗αkU_βkU_αkU^∗βj } sin

(5)

имела как минимум два слагаемых с разными CP-

k>j

инвариантными и CP-неинвариантными фазами.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

132

КАРКАРЬЯН

⎛

⎞

В данном разделе будет показано, как восста-

cos θ₁₂

eiδ12 sin θ₁₂

⎜

⎟

навливается CP-симметрия при равенстве масс

⎜

⎟

двух состояний нейтрино: в разд. 3.1 из PMNS-

W₁₂ =

⎜

e-iδ12 sin θ₁₂

cos θ₁₂

0⎟

⎝-

⎠

матрицы будет исключена CP-нарушающая дира-

ковская фаза; в разд. 3.2 СP-нарушающая фаза

будет сохранена, но нарушение исчезнет из-за ра-

Порядок перемножения матриц W_ij в (8) может

венства CP-инвариантных фаз.

быть выбран произвольным образом. Более об-

щий случай разложения унитарной матрицы U_PMNS

3.1. Устранение CP-нарушающей фазы

по матрицам W_ij, содержащим три фазы, будет

в матрице смешивания

рассмотрен в Приложении. Сейчас примем для

Матрица смешивания представляет собой уни-

определенности, что вырождены состояния |ν₁〉 и

тарную матрицу с 2n² вещественными параметра-

|ν₂〉. Так как нам известно, что физическая фаза

ми, из которых 2n² - n - 2n(n - 1)/2 = n² пара-

всего одна, то перераспределим фазы так, чтобы

метров независимы. Любая унитарная матрица мо-

осталась лишь одна дираковская фаза внутри про-

жет быть параметризована углами и фазами. Число

изведения матриц, а остальные пять фаз содер-

независимых углов в таком случае совпадает с чис-

жались в матрицах слева и справа, которые тогда

лом независимых углов в ортогональной матрице

легко будут устранены поворотами полей лептонов.

из группы O(n), т.е. n² - n - n(n - 1)/2 = n(n -

Для этого сделаем тождественное преобразование:

- 1)/2. Тогда число фаз равно n² - n(n - 1)/2 =

U = D(ω₁ - φ₁,ω₂ - φ₂,ω₃ - φ₃) ×

(10)

= n(n + 1)/2. Однако в слабом заряженном токе,

× {D(φ₁, φ₂, φ₃)W₂₃(θ₂₃, δ₂₃)D^†(φ₁, φ₂, φ₃) ×

входящем в лагранжиан Стандартной модели, до-

множением на ненаблюдаемые фазы полей левых

× D(φ₁,φ₂,φ₃)W₁₃(θ₁₃,δ₁₃)D^†(φ₁,φ₂,φ₃) ×

заряженных лептонов и нейтрино мы можем убрать

из этой матрицы еще 2n - 1 фазу. Тогда физических

× D(φ₁,φ₂,φ₃)W₁₂(θ₁₂,δ₁₂)D^†(φ₁,φ₂,φ₃)} ×

фаз остается n(n + 1)/2 - (2n - 1) = (n - 2)(n -

× D(φ₁,φ₂,φ₃) = D(ω₁ - φ₁,ω₂ - φ₂,ω₃ - φ₃) ×

- 1)/2. Отсюда явно видно, что CP-нарушающая

× {W₂₃(θ₂₃, δ₂₃ + φ₁ - φ₂) ×

фаза появляется, когда поколений минимум три.

Будем считать, что n = 3. Тогда PMNS-матрица

× W₁₃(θ₁₃,δ₁₃ + φ₁ - φ₃) ×

в стандартной параметризации факторизуется сле-

× W₁₂(θ₁₂,δ₁₂ + φ₂ - φ₃)}D(φ₁,φ₂,φ₃),

дующим образом:

где мы использовали, например, для W₁₂:

U_PMNS = R₂₃Ψ^†R₁₃ΨR₁₂,

(7)

D(φ₁, φ₂, φ₃)W₁₂(θ₁₂, δ₁₂)D^†(φ₁, φ₂, φ₃) =

(11)

где R₁₂, R₁₃, R₂₃ — вещественные матрицы пово-

= D(φ₁,φ₂,φ₃)Φ(δ₁₂)R(θ₁₂)Φ(-δ₁₂) ×

рота в плоскости 1-2 на угол θ₁₂, в плоскости 1-3

на угол θ₁₃, в плоскости 2-3 на угол θ₂₃ соответ-

× D(-φ₁,-φ₂,-φ₃) = D(δ₁₂ + φ₁,φ₂,φ₃) ×

ственно, а Ψ = diag(1, 1, e^iδ ). В этом выражении

× R(θ₁₂)D^†(φ₁ + δ₁₂,φ₂,φ₃) =

уже устранены нефизические фазы соответствую-

= W₁₂(θ₁₂,δ₁₂ + φ₁ - φ₂).

щими поворотами полей лептонов. Но для даль-

нейших рассуждений нам понадобится другая фак-

Теперь в матрице U присутствует девять фаз:

торизация. Рассмотрим произвольную унитарную

ω₁ - φ₁, ω₂ - φ₂, ω₃ - φ₃, δ₁₂ + φ₁ - φ₂, δ₁₃ + φ₁ -

3 × 3-матрицу. Следуя [3], ее можно представить в

- φ₃, δ₂₃ + φ₂ - φ₃, φ₁, φ₂, φ₃. Всего, как было по-

виде

казано в начале данного раздела, независимых фаз

U = D(ω₁,ω₂,ω₃)W₂₃(θ₂₃,δ₂₃) ×

(8)

у унитарной 3 × 3-матрицы шесть, тогда оставшие-

ся три — произвольные. Очевидно, что это введен-

× W₁₃(θ₁₃,δ₁₃)W₁₂(θ₁₂,δ₁₂),

ные в (10) φ₁, φ₂, φ₃. Выберем эти фазы следующим

где D(ω₁, ω₂, ω₃) = diag(eiω1 , eiω2 , eiω3 ), W_ij(θ_ij ,

образом:

δ_ij) = Φ(δ_ij)R(θ_ij)Φ^†(δ_ij), R(θ_ij) — матрица пово-

φ₂ = δ₂₃ + φ₁, φ₃ = δ₁₃ + φ₁.

(12)

рота на угол θ_ij в i-j-плоскости. Например, для

Тогда матрицы W₂₃, W₁₃ станут просто матри-

i = 1, j = 2:

цами поворотов R₂₃, R₁₃, а матрица W₁₂ сохранит

Φ(δ₁₂) = diag(eiδ12 , 1, 1),

(9)

единственную фазу δ₁₂ + δ₂₃ - δ₁₃. Осталась еще

⎛

⎞

одна неопределенная фаза φ₁. Положим ее равной

cos θ₁₂

sin θ₁₂

⎜

⎟

нулю. Тогда с учетом (12) D(ω₁ - φ₁, ω₂ - φ₂, ω₃ -

⎜

⎟

R(θ₁₂) =

- φ₃) = D(ω₁,ω₂ - δ₂₃,ω₃ - δ₁₃), D(φ₁,φ₂,φ₃) =

⎜

sin θ12 cos θ12

0⎟

⎝^-

⎠

= D(1,δ₂₃,δ₁₃). Теперь становится ясным, что вве-

дение трех произвольных фаз в (10) приводит лишь

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

CP-НАРУШЕНИЕ В ОСЦИЛЛЯЦИЯХ

133

к перепараметризации матрицы U посредством

3.2. CP-инвариантные и неинвариантные фазы

факторизации пяти из шести фаз в отдельные

в амплитуде

матрицы D(φ). Осталось лишь вспомнить, что

Предположим, что мы не совершили унитарный

физическая фаза только одна, а оставшиеся уби-

поворот, тем самым сохранив дираковскую фазу в

раются поворотами полей заряженных лептонов и

матрице смешивания. Покажем, почему тем не ме-

нейтрино, поэтому, произведя такой поворот, мы

нее CP-нарушение исчезает. Рассмотрим процесс

устраняем фазовые матрицы D(φ). Окончательно

осцилляций электронного нейтрино c определен-

имеем для U в слабом заряженном токе:

ным импульсом p в мюонное на расстоянии L от

U≡U_PMNS =

(13)

источника и вычислим явно амплитуду осцилляций:

= R₂₃(θ₂₃)R₁₃(θ₁₃)W₁₂(θ₁₂,δ_CP ),

|ν_e(L, t)〉 = e-iE1t+ip1LUe1|ν₁〉 +

(16)

где мы отождествили оставшуюся фазу в W₁₂ с CP-

+ e-iE2t+ip2LUe2|ν₂〉 + e-iE3t+ip3LUe3|ν₃〉,

нарушающей дираковской фазой. Как уже отмеча-

лось, порядок произведения матриц W_ij произво-

|ν_μ〉 = Uμ1|ν₁〉 + Uμ1|ν₂〉 + Uμ3|ν₃〉.

(17)

лен, а потому любая из матриц W₂₃, W₁₃ в конечном

итоге может остаться справа в выражении (13) на

(18)

месте матрицы W₁₂, в зависимости от того, какой

Aνe→νμ = 〈νμ|νe(L,t)〉 =

порядок мы выберем в выражении (8). Поэтому

= e^ipL(e-iE1tU†μ1Ue1 + e-iE2tU†μ2Ue2 +

приведенные выше рассуждения обобщаются на

m²¹

случай вырождения любых других двух состояний.

+ e-iE3tU†μ3Ue3) ≈ e^ipL(e-i(p+

)LU†μ1Ue1 +

Так как массы состояний |ν₁〉 и |ν₂〉 равны, то

m²²

m²³

появляется дополнительная симметрия, а имен-

+e-i(p+

)LU†μ2Ue2 + e-i(p+

)LU†μ3Ue3) ≈

но симметрия унитарных преобразований U(2) в

m²¹

ν₁-ν₂-пространстве. Совершим такое преобразо-

≈e^-i

^LU†μ1Ue1 + e^-i

^LU†μ2Ue2 +

вание |ν_k〉 → V₁₂|ν_k〉, где V₁₂ — унитарная матрица,

имеющая следующий вид:

m²³

+e^-i

^LU†μ3Ue3,

⎛

⎞

v11 v12

⎜

⎟

где мы использовали тот факт, что нейтрино уль-

⎜

⎟

V₁₂ =

⎜

⎟

(14)

трарелятивистское, т.е. E ≈ |p| и t ≈ L.

v₂₂

⎝v

⎠

Как уже говорилось выше, когда речь идет

о CP-нарушении, то всегда должны быть ин-

вариантные и неинвариантные по отношению к

Такая матрица имеет три фазы и один угол.

СР-преобразованию фазы. В выражении для

Теперь в слабом заряженном токе достаточно

амплитуды осцилляций (18) фазы в экспонентах

заменить U = R₂₃(θ₂₃)R₁₃(θ₁₃)W₁₂(θ₁₂, δ_CP ) →

при элементах матрицы смешивания являются

→ R₂₃(θ₂₃)R₁₃(θ₁₃)W₁₂(θ₁₂,δ_CP)V₁₂. Унитарная

CP-инвариантными, а фазы в самих элемен-

матрица W₁₂(θ₁₂, δ_CP ) имеет вид:

тах — CP-неинвариантными. Поэтому при CP-

преобразовании в амплитуде произойдет только

W₁₂(θ₁₂,δ_CP ) =

(15)

⎛

⎞

замена вида U^†μiU_ei → U^†eiU_μi. Воспользуемся

cos θ₁₂

eiδCP sin θ₁₂

унитарностью PMNS-матрицы:

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

e-iδCP sinθ₁₂

cos θ₁₂

0⎟

U†μ1Ue1 + U†μ2Ue2 + U†μ3Ue3 = 0.

(19)

⎝^-

⎠

Предположим, что вырождены состояния |ν₁〉 и

|ν₂〉, т.е. m₁ = m₂. Тогда из (18) и (19):

Подобрав матрицу V₁₂ так, чтобы V₁₂ =

= W†12(θ₁₂,δ_CP), мы устраняем дираковскую фазу,

m²¹

m²³

^L -e^-i

^L)U†μ1Ue1 +

(20)

оставляя матрицу U_PMNS полностью веществен-

Aνe→νμ = (e^-i

ной. Тогда (5) обращается в нуль, следовательно,

m²²

m²³

+ (e^-i

^L -e^-i

^L)U†μ2Ue2 =

CP-нарушение отсутствует. Вспомнив, что CP-

(

нарушающая фаза появляется вследствие невоз-

Δm²

m²¹ + m²³

можности устранить все шесть фаз поворотами

= 2sin

L sin

L+

полей заряженных лептонов и нейтрино, заключа-

)

ем, что дополнительная U(2)-симметрия добавляет

m²¹ + m²³

+ icos

L U†μ1Ue1 +

одну недостающую фазу для сокращения с δ_CP

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

134

КАРКАРЬЯН

(

Δm²³²

m²³ + m²²

вырожденными массовыми состояниями. Первый

+ 2sin

L sin

L+

метод позволяет устранить CP-нарушающую фа-

)

зу в амплитуде осцилляций с помощью U(2)-

m²³ + m²²

+ icos

L U†μ2Ue2 =

преобразования в пространстве вырожденных со-

стояний. Во втором методе вырождение массовых

Δm²³¹

состояний позволяет факторизовать амплитуду,

L-^π

= 2U†μ1Ue1e-i(m

⁾ sin

L+

выделив CP-инвариантный и CP-неинвариантный

множитель, что приводит к равенству квадратов

Δm²³²

+ 2U†μ2Ue2e-i(m

L-^π

⁾ sin

модулей амплитуд прямого и CP-преобразованного

процесса, т.е. вероятностей этих процессов.

В выражении для амплитуды (20) остались два

Так как нам известно [2], что Δm²¹² = (7.5 ±

слагаемых с разными CP-неинвариантными, но

± 0.2) × 10-5 эВ², Δm²²³ ≈ Δm²¹³ = (2.5 ± 0.2) ×

одинаковыми CP-инвариантными фазами. С уче-

× 10-3 эВ², то приближение равенства масс двух

том (19) вероятность осциллляций равна:

состояний нейтрино вполне оправдано. Из

(6)

(21)

Pνe→νμ = |Aνe→νμ|² =

следует ΔP ∼|Δm12|2E L, а потому эффект СР-

Δm²³²

нарушения мал на расстояниях L ≲Δm

= 4|Uμ3|²|Ue3|² sin²

Стоит отметить, что CP-нарушение является

При CP-преобразовании амплитуда (20) перей-

необходимым условием для генерации барионной

дет в

асимметрии Вселенной. Эффект СР-нарушения

m23+m²²

в кварковом секторе определяется аналогичным

L-^π

⁾ ×

(22)

Aνe→νμ = 2e-i(

случаю в нейтринном секторе выражением [4]:

Δm²³²

(

)

d_CP = sin θ₁₂ sinθ₂₃ sin θ₁₃ sin δ_CP (m2t - m2c)(m2t

× sin

Uμ1U†e1 + Uμ2U†e2

- m2u)(m2c - m2u)(m2b - m2s)(m2b - m2d)(m2s - m2d),

где вырождение двух кварков верхнего типа и/или

где одинаковая СP-сохраняющая фаза выне-

двух кварков нижнего типа приводит к восста-

сена как общий множитель. Значит, Pνe→νμ =

новлению CP-симметрии. Однако в отличие от

= |Aνe→νμ |² = Pνe→νμ , т.е. СР-симметрия восста-

эффекта CP-нарушения в нейтринных осцилля-

новилась несмотря на то, что CP-нарушающая

циях, эффект в кварковом случае очень мал и

фаза присутствует и разная для обоих слагаемых

потому не подходит для объяснения наблюдаемой

в амплитудах (20), (22). Интересно отметить, что

ассиметрии [5]: действительно, для температуры

формула (21) абсолютно аналогична выражению

электрослабого фазового перехода T порядка

для вероятности осцилляций в случае двух по-

нескольких сотен ГэВ получим: d_CP /T¹² ≃ 10-20.

колений нейтрино. Вырождение поколений |ν₁〉 и

При выводе выражений для амплитуды и ве-

|ν₂〉 явно здесь отражено, так как замена Δm²³² →

роятности осцилляций мы считали, что нейтрино

→ Δm²³¹ не меняет вероятность осцилляций, а

ультрарелятивистские и имеют определенный им-

множитель |Uμ3|²|Ue3|² относится только к поко-

пульс (см. Приложение А). В общем случае при

лению |ν₃〉. Таким образом, с точки зрения осцил-

рассмотрении осцилляций нейтрино в вакууме сле-

ляций имеются два состояния — невырожденное

дует работать с моделью волнового пакета. В этом

|ν′2〉 = |ν₃〉 и двукратно вырожденное по массе

случае импульс нейтрино является распределен-

|ν′1〉, принимающее значения |ν₁〉, |ν₂〉. А как уже

ным около некоторого среднего значения с опреде-

ленной дисперсией. Вероятность осцилляций тогда

отмечалось, CP-нарушение присутствует только

при наличии минимум трех различных поколений,

принимает более сложный вид, как в формулах

поэтому в данном случае оно отсутствует. При

(10)-(11) в работе [6]. Существенно то, что каждое

равенстве масс любой иной пары нейтрино про-

слагаемое в выражении для вероятности состоит

цедура совершенно аналогична: в случае m₂ = m₃

из CP-неинвариантного множителя в виде про-

изведения элементов матрицы смешивания и CP-

из соотношения (19) выразим элемент U†μ3Ue3, а в

инвариантного множителя, зависящего только от

случае m₁ = m₃ — выразим Uμ1 Ue1.

разностей квадратов масс нейтрино и величин, ха-

рактеризующих волновой пакет. Поэтому при CP-

преобразовании только CP-неинвариантные мно-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

жители заменятся на комплексно-сопряженные, и

В настоящей статье продемонстрированы ме-

для величины эффекта СP-нарушения мы полу-

ханизмы восстановления CP-симметрии в случае

чим выражение, аналогичное (5) и отличающееся

осцилляций трех поколений нейтрино с двумя

от него только CP-инвариантными множителями.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

CP-НАРУШЕНИЕ В ОСЦИЛЛЯЦИЯХ

135

∑

Поэтому рассуждения, изложенные в разд. 3, при-

= U_αke-iEkt+ipkx|ν_k〉, α = e,μ,τ.

менимы и в данном случае, следовательно, при вы-

рождении двух состояний нейтрино CP-симметрия

восстанавливается. Таким образом, рассмотрение

Так как мы считаем, что нейтрино имеет опре-

случая волнового пакета не вносит качественных

деленный импульс, то p_i = p для i = 1, 2, 3. Возмо-

изменений в вопрос о CP-нарушении в осцилля-

жен выбор и другого начального условия, а имен-

циях нейтрино, а только вносит дополнительные

но рождение нейтрино с определенной энергией

кинематические параметры волнового пакета в CP-

E. Однако в ультрарелятивистском пределе оба

инвариантную часть вероятности осцилляций.

варианта выбора приводят к одному и тому же

Наконец, остановимся на том, как влияет на

результату [7]. Получим амплитуду осцилляций:

восстановление CP -симметрии то, дираковская ли

Aνα→ν_β = 〈νβ|να(t,x)〉 =

(A.2)

масса у нейтрино или майорановская. В разд. 2

∑

мы сказали, что матрица смешивания U_PMNS имеет

= U_αkU^∗βke-iEkt+ipx.

единственную физическую CP -нарушающую фазу.

Это соответствует тому, что мы полагаем нейтрино

дираковским. Предположим теперь нейтрино май-

Тогда вероятность осцилляций равна:

орановским. Это означает, что частица совпадает

со своей античастицей, и тогда матрица смеши-

(A.3)

Pνα→ν_β = |Aνα→νβ|2 =

вания будет содержать две дополнительные к ди-

∑

раковской фазы. Допустим снова, что два каких-

= U_αkU^∗βkU^∗αjU_βje-i(Ek-Ej)^t.

либо состояния вырождены. Тогда метод устране-

k,j

ния CP -нарушения, изложенный в разд. 3.1, теряет

силу, так как с его помощью можно устранить толь-

Считая нейтрино ультрарелятивистским, т.е.

ко одну фазу в матрице смешивания майорановских

m ≪ p, получаем

нейтрино. Но сохранит свою силу рассуждение,

(E_k - E_j)t =

(A.4)

приведенное в разд. 3.2, так как оно опирается

(√

)

√

на равенство CP -инвариантных фаз в амплитуде

= p² +m2k - p² +m²

t≈

и, следовательно, не изменится при наличии до-

полнительных CP -неинвариантных фаз в матрице

(

))

( (

)

смешивания. Таким образом, и в случае майора-

m2k

m2j

≈ p

-p

новских нейтрино вырождение состояний ведет к

2p²

восстановлению CP -симметрии.

Δm2kj

Автор выражает благодарность своему научно-

t≈

му руководителю М.И. Высоцкому за постанов-

ку задачи и плодотворное обсуждение, а также

С.И. Годунову за обсуждение и критические за-

где Δm2kj ≡ m2k - m2j и использовано, что в ультра-

мечания в процессе работы над статьей. Данная

релятивистском случае E ≃ p, t ≃ L.

статья поддержана грантом РНФ № 19-12-00123.

Отделим явно постоянный член от осцилляци-

онного в выражении (А.3):

Приложение А

∑

U_αkU^∗βkU^∗αjU_βje-i(Ek-Ej)^t =

(A.5)

Вывод выражения для вероятности осцилляций

k,j

∑

нейтрино в случае трех поколений опирается на

|U_αk|²|U_βk|² +

работу [2]. Пусть в начальный момент времени

имеется нейтрино c флейвором α и импульсом p.

∑

Δm2kj

Распространение массового состояния нейтрино во

Re{U_αkU^∗βkU^∗αj U_βj e^-i

2E L},

времени и пространстве в рамках рассматриваемой

задачи можно описать плоской волной: |ν_k(t, x)〉 =_√

k>j

= e-iEkt+ipkx|ν_k〉, где k = 1,2,3, E_k = p2k + m2k.

где мы воспользовались (А.4), а в первом сла-

Зная матрицу смешивания (1), мы можем написать

гаемом для k = j имеем e-i(Ek -Ej )^t = 1. В си-_∑

лу унитарности PMNS-матрицы_k U_αkU^∗βk =

уравнение для эволюции флейворного состояния¹⁾:

∑

= jUαj^Uβj=δαβ^{,получаем}

|ν_α(t, x)〉 =

U_αk|ν_k(t,x)〉 =

(A.1)

)

(∑

δ_αβ · δ_αβ =

U_αkU^∗

βk

(A.6)

В работе суммирование записывается явно.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

136

КАРКАРЬЯН

⎛

⎞

∑

× s₁₂c₁₃(-s₁₂c₂₃ - c₁₂s₂₃s₁₃e^iδ)c₁₂c₁₃ =

×^⎝ U^∗

U_βj⎠ = U_αkU^∗βkU^∗αjU_βj =

αj

= (-c₁₂c²²³s₁₂ - c²¹²c₂₃s₂₃s₁₃e^iδ +

k,j

∑

+s²¹²c₂₃s₂₃s₁₃e^-iδ + s₁₂c₁₂s²²³s²¹³) =

= U_αkU^∗αjU^∗βkU_βj +

U_αkU^∗βkU^∗αjU_βj =

= c₁₂c²¹³s₁₂(c₂₃s₂₃s₁₃(s²¹²e^-iδ - c²¹²e^iδ) +

k=j

k =j

∑

+ s₁₂c₁₂((s₂₃s₁₃)² - c²²³)) =⇒

|U_αk|²|U_βk|² +

U_αkU^∗βkU^∗αjU_βj +

=⇒ Im{U∗μ2Ue2Uμ1U∗e1} =

k>j

∑

= -c²¹³c₁₂c₂₃s₁₃s₁₂s₂₃ sin δ;

+ U_αjU^∗βjU^∗αkU_βk =

|U_αk|²|U_βk|² +

k>j

∑

Δm²³¹ : U∗μ3Ue3Uμ1U∗e1 =

(Б.3)

+ U_αkU^∗βkU^∗αjU_βj + (U_αkU^∗βkU^∗αjU_βj)^∗ =

= s₂₃c₁₃s₁₃e^-iδ(-s₁₂c₂₃ - c₁₂s₂₃s₁₃e^iδ)c₁₂c₁₃ =

k>j

∑

= c²¹³c₁₂s₂₃s₁₃(-s₁₂c₂₃e^-iδ - c₁₂s₂₃s₁₃) =⇒

|U_αk|²|U_βk|² + 2

Re{U_αkU^∗βkU^∗αj U_βj} =

k>j

=⇒ Im{U∗μ3Ue3Uμ1U∗e1} = c²¹³c₁₂c₂₃s₁₃s₁₂s₂₃ sin δ;

=δ_αβ.

Δm²³² : U∗μ3Ue3Uμ2U∗e2

(Б.4)

Раскладывая экспоненту в (A.5) на действи-

тельную и мнимую части, окончательно имеем:

= s₂₃c₁₃s₁₃e^-iδ(c₁₂c₂₃ - s₁₂s₂₃s₁₃e^iδ)s₁₂c₁₃ =

∑

U^∗αjU_βj} ×

= s₂₃c²¹³s₁₃s₁₂(c₁₂c₂₃e^-iδ - s₁₂s₂₃s₁₃) =⇒

Pνα→ν_β = δαβ - 2 Re{Uαk

βk

k>j

=⇒ Im{U∗μ3Ue3Uμ2U∗e2} =

(A.7)

(

)

= -c²¹³c₁₂c₂₃s₁₃s₁₂s₂₃ sin δ.

Δm²

1 - cos

Окончательно имеем для перехода ν_e в ν_μ:

(

Δm²³¹

∑

Δm2kj

ΔPνe→νμ = 4c12c13c23s13s23s12 sin

L-

-2

Im{U_αkU^∗βkU^∗αj U_βj} sin

k>j

(Б.5)

)

∑

Δm2kj

Δm²²¹

Δm²

=δ_αβ -4

Re{U_αkU^∗βkU^∗αj U_βj } sin²

L-

- sin

L - sin

L sin δ.

k>j

∑

Δm2kj

-2

Im{U_αkU^∗βkU^∗αjU_βj } sin

Приложение В

k>j

Покажем, что произвольная унитарная 3 × 3-

Приложение Б

матрица смешивания может быть сделана веще-

ственной при вырождении двух массовых состоя-

Получим явный вид выражения (5) для осцил-

ний нейтрино. Для этого рассмотрим ее разложение

ляций ν_e → ν_μ:

на матрицы W_ij : U = W₁₂W₂₃W₁₃. Порядок произ-

ведения, как и в разд. 3.1, можно выбирать про-

Δm²²¹

ΔPνe→νμ = 4Im{

μ2

Ue2Uμ1U∗e1}sin

L+

извольно. Матрицы W_ij можно параметризовать

одним вещественным углом и тремя комплексными

(Б.1)

фазами. Возьмем для примера W₁₂(θ₁₂, φ₁, ψ, δ):

Δm²³¹

⎛

⎞

+ 4Im{U∗μ3Ue3Uμ1U∗e1} sin

L+

e^iψ cos θ₁₂

e^iδ sinθ₁₂

⎜

⎟

Δm²³²

⎜

⎟

W₁₂ = eiφ1/²

⎜

⎟

+ 4Im{U∗μ3Ue3Uμ2U∗e2} sin

-e^-iδ sin θ₁₂ e^-iψ cos θ₁₂

⎝

⎠

Δm2kj

Выпишем элементы при каждом sin

(В.1)

Δm²²¹ : U∗μ2Ue2Uμ1U∗e1 =

(Б.2)

Обозначив ψ = ψ₁ + δ₁, δ = ψ₁ - δ₁, запишем

= (c₁₂c₂₃ - s₁₂s₂₃s₁₃e^-iδ) ×

матрицу W₁₂(θ₁₂, φ₁, ψ, δ) = W₁₂(θ₁₂, φ₁, ψ₁, δ₁)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

CP-НАРУШЕНИЕ В ОСЦИЛЛЯЦИЯХ

137

следующим образом:

Положим ψ₂ = δ₁ = δ₂ = 0 и обозначим Δ₁ =

⎛

⎞

= ψ₃ + δ₃, Δ₂ = ψ₃ - δ₃. Тогда для матрицы U бу-

eiψ1

дем иметь:

⎟

⎛

⎞

W₁₂ = eiφ1/² ⎝0e-iψ1

0⎠×

(В.2)

e^iψ

⎟

U = ei(φ1/2+φ2/2) ⎝0e-iψ1

0⎠ R12 × (В.4)

⎛

⎞⎛

⎞

cos θ₁₂

sin θ₁₂

eiδ1

⎜

⎟⎜

⎟

⎛

⎞

⎝- sin θ₁₂ cos θ₁₂ 0⎠⎝0

e-iδ1

0⎠.

eiΔ1 cos θ₁₃

eiΔ2 sinθ₁₃

⎟

×R₂₃

eiφ3/² ⎝

⎠=

Таким образом, мы отделили две фазовые мат-

−e-iΔ2 s⎛ θ13 0 e-iΔ1⎞osθ13

рицы и одну матрицу поворота вокруг третьей оси.

eiψ1

Аналогично проводится параметризация матриц

⎟

=ei(φ1/2+φ2/²⁾⎝

e-iψ1

0⎠×

W₂₃(θ₂₃,φ₂,ψ₂,δ₂), W₁₃(θ₁₃,φ₃,ψ₃,δ₃). Как уже

отмечалось, унитарная матрица 3 × 3 имеет шесть

независимых фаз и три независимых угла. В на-

× R₁₂R₂₃W₁₃(θ₁₃,φ₃,Δ₁,Δ₂).

шем разложении матрицы U присутствуют девять

фаз и три угла. Отсюда заключаем, что три фазы

Предположим, что m₁ = m₃, т.е. вырождены

являются произвольными. Подставим (В.2) в ис-

состояния |ν₁〉 и |ν₃〉. Тогда, как и в разд. 3.1, появ-

ходное разложение матрицы U, обозначив матрицы

ляется U(2)-симметрия. Совершим такой поворот

поворота на углы θ₁₂, θ₂₃, θ₁₃ как R₁₂, R₂₃, R₁₃

соответственно:

полей нейтрино матрицей V₁₃, чтобы V†13 = W₁₃. С

⎛

⎞

учетом поворотов полей заряженных лептонов, ко-

eiψ1

торые устранят оставшиеся слева фазы в матрице

⎜

⎟

⎜

⎟

U, окончательно будем иметь: U = R₁₂R₂₃. Таким

U =ei(φ1/2+φ2/2+φ3/²⁾

⎜

⎟

× (В.3)

e-iψ1

⎝⁰

⎠

образом, матрица смешивания стала веществен-

ной, и CP-нарушения нет. Очевидно, что данное

⎛

⎞⎛

⎞

рассуждение справедливо при вырождении любых

двух состояний нейтрино.

eiδ1

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

×R₁₂

⎜

e-iδ1

0⎟⎜

eiψ2

⎟

⎝⁰

⎠⎝0

⎠

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

e-iψ2

1. M. Kobayashi and T. Maskawa, Prog. Theor. Exp.

⎛

⎞⎛

⎞

Phys. 49, 652 (1973).

2. M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev.

eiψ3

⎜

⎟⎜

⎟

D 98, 030001 (2018) and 2019 update.

⎜

⎟⎜

⎟

3. Carlo Giunti and Chung W. Kim, Fundamentals

×R₂₃

⎜

eiδ2

⎟⎜

⎟

⎝⁰

⎠⎝0

⎠

of Neutrino Physics and Astrophysics (Oxford

e-iδ2

0 e-iψ3

University Press, 2007).

4. C. Jarlskog, Phys. Rev. Lett. 55, 1039 (1985).

⎛

⎞

5. В. А. Рубаков, М. Е. Шапошников, УФН 166, 493

eiδ3

[Phys. Usp. 39, 461 (1996)].

⎜

⎟

⎜

⎟

6. C. Giunti and C. W. Kim, Phys. Rev. D 58, 017301

×R₁₃

⎜

⎟

(1998).

⎝⁰

⎠

7. S. De Leo, G. Ducati, and P. Rotelli, Mod. Phys. Lett.

0 e-iδ3

A 15, 2057 (2000).

CP-VIOLATION IN OSCILLATIONS OF THREE NEUTRINO

GENERATIONS: THE CASE OF DEGENERATE MASSES

E. K. Karkaryan

NRC “Kurchatov Institute” - ITEP, Moscow, Russia

CP-symmetry is broken in neutrino oscillations in vacuum in the presence of three generations. In the

case PMNS-matrix has inherent complex phase. With degeneracy of any two neutrino masses CP -

violation vanishes. The mechanism of CP -symmetry recovery in case of two mass states degeneracy is

demonstrated.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021