ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 2, с. 180-184

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ФОРМФАКТОРЫ f₁(1285)-МЕЗОНА

Поступила в редакцию 22.04.2020 г.; после доработки 22.04.2020 г.; принята к публикации 22.04.2020 г.

Рассмотрены параметризации электромагнитных формфакторов f₁(1285)-мезона. С использованием

этих параметризаций получены теоретические предсказания для полного сечения прямого рождения

f₁(1285)-мезона в e⁺e^--аннигиляции, σ(e⁺e^- → f₁(1285)).

DOI: 10.31857/S0044002721010165

1. ВВЕДЕНИЕ

на рис. 1. Амплитуда перехода f₁(1285) → γ^∗γ^∗

параметризуется двумя безразмерными формфак-

Идея исследования рождения C-четных адрон-

(

)

(

)

торами F₁

q²¹,q²²

иF₂

q²¹,q²²

ных резонансов на e⁺e^--коллайдерах была вы-

двинута еще в 1960-х гг. [1]. С тех пор бы-

M(f₁(1285) → γ^∗γ^∗) =

(2)

ло проведено несколько экспериментов по поиску

{

(

)

прямого рождения C-четных резонансов в e⁺e^--

iϵ_μνρσ F₁

q²¹,q²²

qμ1e∗ν1qρ2e∗σ2e^τ (q₁ - q₂)_τ +

m²

столкновениях, e⁺e^- → R. Были установлены экс-

[

]

(

)

периментальные ограничения на электронные ши-

+F₂

q²¹,q²²

qμ1e∗ν1eρ qσ2e∗λ2q2λ - e∗σ2q2

рины некоторых C-четных мезонов [2-4]:

[

]}

(

)

(

)

η^′(958) → e⁺e^-

< 0.002 эВ (90% C.L.),

(1)

+F₂

q²²,q²¹

qμ2e∗ν2eρ qσ1e∗λ1q1λ - e∗σ1q2

(

)

f₂(1270) → e⁺e^-

< 0.11 эВ (90% C.L.),

(

)

(

)

(

)

Явный вид формфакторов F₁

q²¹,q²²

и F₂

q²¹,q²

a₂(1320) → e⁺e^-

< 0.56 эВ (90% C.L.).

неизвестен, поэтому нужно найти их феномено-

логическую параметризацию. Экспериментальные

Малость этих ширин объясняется, в частности,

данные [6] показывают, что один из основных рас-

тем, что C-четные мезоны распадаются на e⁺e^--

падов f₁(1285)-мезона, f₁(1285) → 4π, происхо-

пару через два виртуальных фотона, поэтому ши-

дит главным образом через промежуточное ρρ-

рины содержат малый множитель α⁴, где α ≈

состояние. Таким образом, для нахождения па-

≈ 1/137 — постоянная тонкой структуры.

раметризации действуем в духе модели векторной

В настоящее время в ИЯФ СО РАН про-

доминантности и предполагаем, что главный вклад

ходит эксперимент по поиску прямого рождения

в амплитуду M(f₁(1285) → e⁺e^-) дает промежу-

1++ мезона f₁(1285) в e⁺e^--аннигиляции, e⁺e^- →

точное состояние, когда оба виртуальных фотона

→ f₁(1285) [5]. Поэтому возникла необходимость

взаимодействуют с f₁(1285)-мезоном посредством

получить теоретические предсказания для шири-

промежуточных ρ⁰-мезонов.

ны распада Γ(f₁(1285) → e⁺e^-) и, соответствен-

но, сечения прямого рождения f₁(1285)-мезона в

Ограничения на параметры модели можно по-

e⁺e^--столкновениях, σ(e⁺e^- → f₁(1285)).

лучить из экспериментальных данных о распаде

2. РОЖДЕНИЕ f₁(1285)-МЕЗОНА В

e^-(p₁)

ПРОЦЕССЕ e⁺e^- → f₁(1285)

γ*(q₁)

Распад f₁(1285)-мезона на e⁺e^--пару происхо-

дит через два виртуальных фотона, как показано

f₁(P)

¹⁾Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН,

γ*(q₂)

Новосибирск, Россия.

e⁺(-p₂)

²⁾Новосибирский государственный университет, Новоси-

бирск, Россия.

Рис. 1. Диаграмма распада f1(1285) → e⁺e^-.

^*E-mail: a.s.rudenko@inp.nsk.su

180

ФОРМФАКТОРЫ f₁(1285)-МЕЗОНА

181

f₁(1285) → ρ⁰γ, амплитуда которого выглядит сле-

ρ⁰-мезона. Экспериментальное значение отноше-

дующим образом:

ния

(

)

ρ_LL

f₁(1285) → ρ⁰γ

(3)

= 3.9 ± 0.9 ± 1.0

(9)

{

ρ_TT

iϵ_μνρσ g₁p^μϵ^∗ν q^ρe^∗σ e^τ (p - q)_τ -

можно использовать для получения ограничений на

m²

константы g₁ и g₂.

}

В нашей модели

-m2ρg₂eμϵ∗ν qρe∗σ ,

(10)

где g₁ и g₂ — комплексные константы.

2ξ|g₂|²

В итоге мы записываем формфакторы F₁ и F₂ в

следующем виде:

(1 - ξ)²|g₁|² + ξ²|g₂|² + 2ξ(1 - ξ)|g₁||g₂| cos δ

(

)

F₁

q²¹,q²²

(4)

и из экспериментальных данных B(f₁(1285) →

(

)(

)

→ ρ⁰γ) = (5.5 ± 1.3)% и r = 3.9 ± 0.9 ± 1.0 можно

g₁g_ργ

m²

- im_ρΓ_ρ

q²² - q²

(

)(

найти абсолютную величину константы g₂:

q²¹ - m2ρ + im_ρΓ_ρ

q²² - m2ρ + im_ρΓ_ρ

α|g₂| = 1.49 ± 0.20.

(11)

(

)

F₂

q²¹,q²²

(5)

К сожалению, из экспериментальных данных о

(

)(

)

распаде f₁(1285) → ρ⁰γ невозможно получить точ-

g₂g_ργ

m²

- im_ρΓ_ρ

-m²

(

)(

ное значение |g₁|. Можно только выразить |g₁|

q²¹ - m2ρ + im_ρΓ_ρ

q²² - m2ρ + im_ρΓ_ρ

через cos δ. Таким образом, в нашей модели оста-

ется только один свободный параметр — фаза δ.

где m_ρ и Γ_ρ — масса и ширина ρ⁰-мезона, g_ργ —

Учитывая, что -1 ≤ cos δ ≤ 1, получаем

безразмерная константа перехода ρ0∗ → γ^∗,

(

)

0.16 ≲ α|g₁| ≲ 1.87.

(12)

ρ0∗ → γ^∗

(6)

(

)

Рассмотрим теперь распад f₁(1285) →

=g_ργ

q²g_μν - q_μq_ν

ϵ^μe^∗ν ⇒ g_ργ =

→ π⁺π^-π⁺π^-, основной вклад в который дает

√

промежуточное состояние с двумя виртуальными

3Γ (ρ⁰ → e⁺e^-)

≈ 0.06.

ρ⁰-мезонами. Детали вычислений приведены в

αm_ρ

работе [8]. Сравнение результатов этих вычислений

с экспериментальным значением B(f₁(1285) →

Обсудим теперь, какие ограничения на констан-

(

)

→π⁺π^-π⁺π^-) =

11.0+0.7-0.6

% показано на рис. 2.

ты g₁ и g₂ следуют из экспериментальных данных.

Наши теоретические предсказания совпадают со

Ширина распада f₁(1285) → ρ⁰γ зависит от отно-

средним экспериментальным значением 11.0% при

сительной фазы δ = φ₁ - φ₂ комплексных констант

g₁ и g₂:

одном из двух возможных значений фазы:

(

)

δ ≈ 0.67π либо δ ≈ 1.25π.

(13)

f₁(1285) → ρ⁰γ

(7)

[

В итоге мы получаем следующие результаты для

m_f(1 - ξ)3 (1 - ξ)2|g1|2 +

ширины распада f₁(1285) → e⁺e^-:

96π

]

Γ(f₁(1285) → e⁺e^-) ≈

(14)

+ ξ(1 + ξ)|g₂|² + 2ξ(1 - ξ)|g₁||g₂|cos δ ,

{

0.13 эВ при δ ≈ 0.67π,

где ξ = m2ρ/m2f ≈ 0.37. Помимо Γ(f₁(1285) → ρ⁰γ)

≈

0.14 эВ при δ ≈ 1.25π,

еще одно соотношение между |g₁|, |g₂| и δ можно

получить из данных эксперимента коллаборации

для

относительной

вероятности

распада

VES [7], в котором измерены угловые распределе-

f₁(1285) → e⁺e^-:

ния в распаде f₁(1285) → ρ⁰γ → π⁺π^-γ:

B(f₁(1285) → e⁺e^-) ≈

(15)



(

)

{

_M

f₁(1285) → ρ⁰γ → π⁺π^-γ

² ∝

(8)

5.5 × 10-9 при δ ≈ 0.67π,

≈

∝ ρLL cos2 θ + ρ_TT sin2 θ,

5.8 × 10-9 при δ ≈ 1.25π,

где ρ_LL и ρ_TT — элементы матрицы плотности, от-

и для полного сечения прямого рождения f₁(1285)-

вечающие продольно- и поперечно-поляризован-

мезона в e⁺e^--аннигиляции:

ным ρ⁰-мезонам, соответственно; θ — угол между

импульсами π⁺-мезона и фотона в системе покоя

σ(e⁺e^- → f₁(1285)) ≈

(16)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

182

РУДЕНКО

@(f₁(1285) → π⁺π^-π⁺π^-)

0.15

0.10

0.05

0.5

1.0

1.5

2.0

δ/π

Рис. 2. Относительная вероятность B(f1(1285) → π⁺π^-π⁺π^-) как функция фазы δ. Кривые: сплошная — относитель-

ная вероятность B(f1(1285) → π⁺π^-π⁺π^-), вычисленная для средних значений всех величин; штриховая и точечная —

отклонение 1σ. Горизонтальная полоса — экспериментальное значение.

{

49 пбн при δ ≈ 0.67π,

где Λ₀

— свободный параметр, экспериментальное

≈

значение которого было получено в результате фи-

52 пбн при δ ≈ 1.25π.

тирования: Λ₀ = 1.04 ± 0.06 ± 0.05 ГэВ. Рассмот-

ренная нами ранее модель предсказывает следую-

Соответствующие значения, полученные в экспе-

щий вид этого формфактора в приближении Γ_ρ ≪

рименте [5]:

(

)

≪m_ρ:

B(f₁(1285) → e⁺e^-) =

5.1+3.7-2.7

× 10-9,

(17)

(

)

F₀

Q²

(

)₂ .

(21)

1 + Q²/m2ρ

σ(e⁺e^- → f₁(1285)) = 45+33-24 пбн.

(18)

Коллаборацией L3 было проведено исследова-

ние такого формфактора и показано, что он не

3. РОЖДЕНИЕ f₁(1285)-МЕЗОНА В

согласуется с экспериментальными данными [9].

ПРОЦЕССЕ e⁺e^- → e⁺e^-f₁(1285)

Таким образом, для описания процесса e⁺e^- →

→ e⁺e^-f₁(1285) нужна другая параметризация

Коллаборация L3 исследовала зависимость

формфакторов f₁(1285)-мезона. Такая параметри-

сечения рождения f₁(1285)-мезона в столкновении

зация была впервые рассмотрена в работе [10].

реального и виртуального фотонов, σ(γγ^∗ →

В новой модели формфакторы для амплитуды

→ f₁(1285)), от виртуальности второго фотона

перехода f₁(1285) → γ^∗γ^∗ равны:

Q² = -q²² > 0 [9]. Сечение соответствующего про-

цесса равно:

(

)

g₁m3f(q²² - q²¹)

F₁

q²¹,q²²

(22)

σ(γγ^∗ → f₁(1285)) =

(19)

q(q²¹ - μ2ρ)(q²² - μ2ρ)

(

)

48πΓγγ Γ_f

(

)

g₂m5f

(

)₂

F₂

q²¹,q²²

m²

q(q²¹ - μ2ρ)(q²² - μ2ρ)

s-m2f

+m2fΓ2f

(

)

где g₁ и g₂ — константы, μ2ρ = m2ρ - im_ρΓ_ρ. Вели-

Q²

(

)

F₀

Q²

чина q в знаменателях выглядит следующим обра-

m2f

2m²

зом:

√

(

)

Здесь F₀

Q²

— эффективный формфактор,

ν² - q²¹q²²,

(23)

m_f

(

)

F₀

Q²

(

)₄ ,

(20)

(

)

где ν = q₁q₂ =

m2f - q²¹ - q²²

1 + Q²/Λ²⁰

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

ФОРМФАКТОРЫ f₁(1285)-МЕЗОНА

183

F₀(Q²), F_0th(Q²)

где φ — относительная фаза констант g₁ и g₂,

1.0

g₁/g₂ = |g₁/g₂|e^iφ, a = m_ρ/m_f ≈ 0.6,



0.8

⁽

1 - a²)Fργ1(m2ρ,0) + a²Fργ2(m2ρ,0)



ργ



aF₂

(m2ρ, 0)



0.6

(29)

= 0.51 ± 0.18.

0.4

Сечение σ(γγ^∗ → f₁(1285)) содержит формфактор

0.2

(

)

F₀

Q²

, который в новой модели равен:

(

)

2 + x|1 - (1 + x)g₁/g₂|²

0.5

1.0

1.5

2.0

F^th0

Q²

(30)

(2 + x)(1 + x)²(1 + x/a²)²

Q²/mf

Q²

где x =

(

)

m2f

Рис. 3. Сравнение функций F0

Q²

(сплошная кри-

(

)

(

)

(

)

(

)

вая), F^th0

Q²

при φ = π (штриховая) и F^th0

Q²

при

Сравнение функций F₀

Q²

и F^th0

Q²

показано

φ = 0 (точечная). При всех остальных значениях фазы

(

)

на рис. 3.

φ график функции F^th0

Q²

лежит в области между

штриховой и точечной кривыми.

Наши теоретические предсказания в новой мо-

дели для сечения процесса e⁺e^- → f₁(1285):

и в системе покоя f₁(1285)-мезона равна абсолют-

σ(e⁺e^- → f₁(1285)) ≈

(31)

ному значению импульса фотонов, q = |q₁| = |q₂|.

{

Формфакторы для амплитуды перехода

(6 ± 2) пбн при φ = 0,

≈

f₁(1285) → ρ0∗ρ0∗:

(31 ± 16) пбн при φ = π.

(

)

(

)

g₁m3f

q²

-q²

Из сравнения этого результата с эксперименталь-

Fρρ1

q²¹,q²²

(24)

ным значением (18), а также из рис. 3 видно, что

φ≈π.

(

)

g₂m5f

Fρρ2

q²¹,q²²

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

где g₁ = (ef_ρ)²g₁ и g₂ = (ef_ρ)²g₂. Здесь ef_ρ — кон-

станта перехода ρ⁰-мезона в фотон:

Рассмотрена параметризация электромагнит-

√

ных формфакторов f₁(1285)-мезона, которая хо-

3Γ_ρ→eem3ρ

ef_ρ =

(25)

рошо согласуется с экспериментальными данны-

4πα

ми о распаде f₁(1285) → π⁺π^-π⁺π^- и о процес-

Формфакторы для амплитуды перехода

се прямого рождения f₁(1285)-мезона в e⁺e^--

f₁(1285) → ρ0∗γ^∗:

столкновениях, e⁺e^- → f₁(1285). С использова-

нием этой параметризации получены теоретические

(

)

(ef_ρ)g₁m3f (q²² - q²¹

)

предсказания для электронной ширины распада

Fργ1

q²¹,q²²

(26)

q(q²² - μ2ρ)

f₁(1285)-мезона и, соответственно, полного сече-

ния прямого рождения f₁(1285)-мезона в e⁺e^--

(

)

(ef_ρ)g₂m5f

Fργ2

q²¹,q²²

аннигиляции, σ(e⁺e^- → f₁(1285)) ≈ 50 пбн. Это

q(q²² - μ2ρ)

значение хорошо согласуется с недавно получен-

ным экспериментальным результатом, σ(e⁺e^- →

Из экспериментальных данных о ширине распа-

→ f₁(1285)) = 45+33-24 пбн [5]. Однако, посколь-

да f₁(1285) → ρ⁰γ и данных коллаборации VES о

ку обсуждаемая параметризация недостаточно хо-

распаде f₁(1285) → ρ⁰γ → π⁺π^-γ [7] можно найти

рошо согласуется с экспериментальными данны-

|g₂| = (2.9 ± 0.4) × 10-4,

(27)

ми о процессе e⁺e^- → e⁺e^-f₁(1285), рассмотрена



√

другая параметризация формфакторов f₁(1285)-

g1

cos φ +

b/a² - sin² φ



мезона, которая находится в согласии с этими

(28)

⁼

^g₂

1-a²

экспериментальными данными.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021

184

РУДЕНКО

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

6. WA102 Collab. (D. Barberis et al.), Phys. Lett. B

471, 440 (2000) [hep-ex/9912005].

1. G. Altarelli, S. De Gennaro, E. Celeghini, G. Longhi,

and R. Gatto, Nuovo Cimento A 47, 113 (1967).

7. VES Collab. (D. V. Amelin et al.), Z. Phys. C 66, 71

2. M. N. Achasov et al. (SND Collab.), Phys. Rev. D 91,

(1995).

092010 (2015) [arXiv: 1504.01245].

8. A. S. Rudenko, Phys. Rev. D 96, 076004 (2017)

3. R. R. Akhmetshin et al. (CMD-3 Collab.), Phys.

[arXiv: 1707.00545].

Lett. B 740, 273 (2015) [arXiv: 1409.1664].

9. L3 Collab. (P. Achard et al.), Phys. Lett. B 526, 269

4. M. N. Achasov et al. (SND Collab.), Phys. Lett. B

(2002) [hep-ex/0110073].

492, 8 (2000) [hep-ex/0009048].

5. M. N. Achasov et al. (SND Collab.), Phys. Lett. B

10. A. I. Milstein and A. S. Rudenko, Phys. Lett. B 800,

800, 135074 (2020) [arXiv: 1906.03838].

135117 (2020) [arXiv: 1909.07938].

FORM FACTORS OF f₁(1285) MESON

A. S. Rudenko1),2)

¹⁾Budker Institute of Nuclear Physics of Siberian Branch Russian

Academy of Sciences, Novosibirsk, Russia

²⁾Novosibirsk State University, Novosibirsk, Russia

Parameterizations of the electromagnetic form factors of f₁(1285)-meson are considered. Using these

parameterizations theoretical predictions for the total cross section of the direct f₁(1285)-meson

production in e⁺e^--annihilation, σ(e⁺e^- → f₁(1285)), are obtained.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№2

2021