ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 3, с. 219-234

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

TOTEM: О ПАРАМЕТРЕ ρ ПРИ 13 ТэВ

Поступила в редакцию 20.07.2020 г.; после доработки 20.07.2020 г.; принята к публикации 20.07.2020 г.

В работе предпринятанализ результатов по упругомурассеяниюпротонов, полученных коллаборацией

TOTEM при энергии Большого адронного коллайдера 13 ТэВ. Показано, что статистическая

значимость этих результатов в ряде отношений проблематична. На конкретных примерах продемон-

стрирована модельная зависимость извлекаемого из экспериментальных данных параметра ρ.

DOI: 10.31857/S0044002721020070

ВВЕДЕНИЕ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ

ДАННЫЕ

В работе [1] были представлены эксперимен-

При знакомстве с экспериментальными данны-

тальные данные группы TOTEM по дифференци-

ми по дифференциальным сечениям pp-рассеяния

альным dσ/dt (s, t) и полным σ_tot(s) сечениям, а

dσ/dt при 13 ТэВ, полученными коллаборацией

также ρ-параметра ρ (s) = Re T (s, 0) /Im T (s, 0) в

TOTEM (экспериментальные данные приведены в

pp-рассеянии при максимальной энергии на LHC

табл. 3 в работе [1]) сразу же обращает на себя

√s = 13 TэВ. На основании этих данных получено,

внимание тот факт, что во многих случаях систе-

согласно [1], рекордно точное (не хуже 10%) значе-

матические ошибки в определении величины dσ/dt

ние ρ-параметра.

на порядок и более превышают статистические

ошибки. Особенно ярко этот факт проявляется при

При этом неожиданно малое (по сравнению с

малых значениях |t|, что продемонстрировано на

предсказаниями большинства моделей) значение

рис. 1.

самого параметра (ρ = 0.1 и даже менее) истолко-

Примерно половина экспериментальных дан-

вано — на основе сравнения с одной из моделей —

ных указана с источниками возникновения ошибок,

как открытие “максимального оддерона” в виде

но в остальных данных есть только статистические

“3-глюонного связанного состояния” или как за-

и систематические ошибки в целом. Поэтому по-

медления роста полных сечений в области энергий

строить корреляционную матрицу между результа-

LHC. Результаты [1], адресующие к важнейшим

тами измерений невозможно. Не остается ничего

концептуальным проблемам теории сильных взаи-

другого, как полагать полную ошибку измерений_√

модействий при высоких энергиях, вызвали, есте-

равной stat² + syst².

ственно, значительный интерес и ряд дискуссий,

сопровождающиеся уже несколькими десятками

Коллаборацией TOTEM получены значения

публикаций.

величины dσ/dt вплоть до очень малых

|t|

(-t ≥ 0.000879 ГэВ²), что позволяет провести

В этой связи мы полагаем, что тщательный

оценку значения параметра ρ(s) = Re T (s, t =

критический анализ полученных в [1] результатов и

= 0)/Im T (s, t = 0), фитируя экспериментальные

сделанных на их основе физических выводов, пред-

данные только при очень малых значениях пере-

принятый в предлагаемой работе, вполне уместен

данного импульса.

и как минимум небесполезен, в особенности на-

Для проведения дальнейших количественных

кануне предстоящих измерений при энергии LHC

оценок необходимо уточнить, что понимается под

14 ТэВ.

малыми значениями переданного импульса

|t|.

Конкретно, были использованы все эксперимен-

¹⁾НИЦ

“Курчатовский институт” — ИФВЭ, группа

КОМПАС, Протвино, Россия.

тальные значения при |t| ≤ |t₀| с отбрасыванием

^*E-mail: ezhela@ihep.ru

всех экспериментальных значений с |t| > |t₀|. По

219

220

ЕЖЕЛА и др.

(dσ/dt)_pp, мбн/ГэВ²

900

800

Полные (слева) и только статистические (справа) ошибки для малых |t|

700

s = 13 ТэВ

600

500

400

0.005

0.010

0.015

0.020

|t₀|, ГэВ²

Рис. 1. Соотношение систематических и статистических ошибок величины dσ/dt в эксперименте TOTEM при малых

передачах импульса (двойной логарифмический масштаб).

выбранному таким образом набору эксперимен-

кулоновской составляющей (с учетом формфакто-

тальных данных была осуществлена подгонка с

ра²⁾ протона F² (t)) и двух дополнительных членов

использованием модели для амплитуды сильно-

L±1 (s,t) и L±2 (s,t), полученных³⁾ в [2]:

го взаимодействия, приведенной в [1] (“модель

TOTEM”), и последовательным мониторингом

8παsF² (t)

зависимости от величины |t₀|.

T±N+C (s,t) = T^±N (s,t) ±

(1)

В следующем разделе приведены получающиеся

± L±1 (s,t) ∓ L±2 (s,t).

при этом значения ρ-параметра.

Два последних слагаемых отражают кулон-

ядерную интерференцию на уровне амплитуды и

ПОЛНАЯ АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ

выражаются формулами:

В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

В общем виде дифференциальное сечение вы-

L±1 (s,t) =

(2)

ражается через амплитуду рассеяния T±N+C (s, t),

∫

iα

[

(

)]_∗

зависящую от энергии в СЦМ

√s и переданного

=±

T^±N (s,t) - T^±N

s,t^′

I(t, t^′)dt^′,

импульса t:

-∞



dσ_±

^T±N+C (s, t)2

(s,t) =

(

16πs

s - 4m2p

L±2 (s,t) = ∓iαT^∓N (s,t) ×

(3)

Здесь знак “+” относится к pp-рассеянию, а знак

∫

⁽t^′) d

(

)

“-” соответствует pp-рассеянию. Индекс “N +

× ln

F²

t^′

dt^′,

+ C” означает учет ядерной (Nuclear) и кулонов-

t dt^′

−∞

ской (Coulomb) составляющих в амплитуде рас-

сеяния. g = (ℏc)² = 0.389379 [ГэВ² мбн] — пере-

где

счетный множитель в системе c = 1 (амплитуда

²⁾Формфактор протона мы использовали в дипольном виде

полагается безразмерной).

(

)-2

F (t) =

1 - t/Λ²

, где Λ² = 0.71 ГэВ².

Амплитуда рассеяния выражается через сум-

³⁾Здесь во всех формулах знаки либо верхние, либо нижние

му ядерной амплитуды рассеяния T^±N (s, t), чисто

одновременно.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

TOTEM: О ПАРАМЕТРЕ ρ ПРИ 13 ТэВ

221

(√-t+√-t′)²∫

(

)

F² (x) dx

t,t^′

√

(4)

√(√

√

)

)₂

′

-t +

-t^′

² - x x - (√-t - √-t

(√-t-√-t′)² x

Соотношениями (1)-(4) определяются все фор-

“МОДЕЛЬ TOTEM”

мулы для фита экспериментальных данных.

И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ

ДАННЫЕ ПРИ МАЛЫХ t

Отметим, что приведенные соотношения имеют

общий характер и не предполагают каких-либо

При малых значениях передач по-прежнему

модельных выражений для амплитуды T^±N (s, t),

справедлива формула (1) с тем уточнением, что

которую — уже в ходе обработки данных — можно

выражение для ядерной амплитуды при |t| → 0

выбирать различными способами.

допускает существенное упрощение, и мы приняли

выражение для T_N

(s, t) ≡ T_N (s, t) в виде⁵⁾, ко-

Полное сечение σ_± (s) и величина ρ_± (s, t) =

(

)

торым пользовалась коллаборация TOTEM (“мо-

= arctg

arg T^±N (s, t)

выражаются через амплиту-

дель ТОТЕМ”) для обработки экспериментальных

ду рассеяния стандартным образом:

данных при малых |t|, а именно:

√

gIm [T_N

(s, 0)]

⁽ dσ⁾

σ_± (s) =

√

(

)^;

T_N (s,t) = 4√π

√

(5)

s - 4m2p

1+ρ²

dtt=0

[

]

Re [T_N

(s,0)]

b₁ |t| + b₂t² + b₃ |t|³

ρ_± (s,t) =

× exp

Im [T^±N (s,0)]

)

⁽ dσ

Необходимо указать, что в выражении (1), как

где параметры ρ,

, b₁, b₂, b₃ определяются

dtt=0

показано в работе [3], слагаемое L±2 (s, t) является

из фита экспериментальных данных⁶⁾.

излишним. Однако поскольку группой TOTEM по-

прежнему используется выражение, содержащее

В работе [1] представлены экспериментальные

этот (ошибочный) член, мы приводим варианты

данные dσ/dt, в том числе и для малых значений

подгонки как с одним слагаемым L±1 (s, t), так

переданного импульса (вплоть до |t| < 10-3 ГэВ²).

и с добавлением L±2 (s,t). Последнее необходимо

На этой основе определяются параметры, такие

для того, чтобы проследить источник численно-

как ρ, при фитировании экспериментальных дан-

го значения для ρ, получаемый в [1]. Интересно,

ных при как можно меньших значениях |t|.

что если вообще не учитывать интерференцию на

Фактически экспериментальные данные TOTEM

уровне амплитуды (что формально, конечно, невер-

представлены в двух вариантах (табл. 3 в работе

но), то результат подгонки — во всяком случае для

TOTEM [1]):

тех “ядерных” амплитуд, которые использованы

в дальнейшем — близок к “варианту 1” (только

L±1 (s,t)). В частности, это говорит о том, что с

1. Дифференциальные сечения с систематиче-

“ядерной” амплитудой по “модели ТОТЕМА” (см.

ской и экспериментальной ошибкой (5 и 6

след. раздел) интерференционный член численно

колонки в табл. 3 в [1]). При этом видно,

невелик в области малых передач и при

√s =

что систематические ошибки в большинстве

= 13 ТэВ, что, несомненно, влияет на численную

случаев значительно превышают статисти-

оценку параметра ρ. Подробней об этом в следу-

ческие ошибки — иногда более чем на поря-

ющем разделе⁴⁾.

док.

⁴⁾В общем случае для фитирования экспериментальных

⁵⁾Далее знак “±” мы опускаем в силу того, что далее идет

данных по полному набору экспериментальных значений t

обсуждение только pp-столкновений (при 13 ТэВ), т.е.

(|t| ∈ [=0.00088 -=5] ГэВ²) мы используем проверенную

берем в выражении (1) только верхние знаки.

модель, описанную в [4-7].

⁶⁾Далее везде b1 ≡ b.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

222

ЕЖЕЛА и др.

(dσ/dt)_pp, мбн/ГэВ²

900

800

s_pp = 13 [ТэВ] и |t| < 0.01 (только статистические ошибки),

ρ = 0.1275; b = 20.18; (dσ/dt)t = 0 = 641.96; с членами L₁ и L₂

700

ρ = 0.1175; b = 20.05; (dσ/dt)t = 0 = 641.96; только с членом L₁

ρ = 0.1079; b = 20.05; (dσ/dt)t = 0 = 643.31; без членов L₁ и L₂

600

500

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

|t₀|, ГэВ²

Рис. 2.

√s = 13 ТэВ, |t| < 0.01 ГэВ². Экспериментальные данные dσ/dt в pp-рассеянии (табл. 3 экспериментальных

данных в [1]) и значения параметров для трех вариантов фита. Все кривые графически неразличимы. На графике

приведены только статистические ошибки (систематические— смотри рис. 1).

2. Дифференциальные сечения с весовым на-

ОЦЕНКА КУЛОНОВСКОГО ВКЛАДА

бором источников ошибок этих значений (7-

ПРИ МАЛЫХ t В “МОДЕЛИ TOTEM”

11 колонки в табл. 3 в [1]). В этом случае то-

Начнем с исследования той роли, которую игра-

же нетрудно заметить, что весовые коэффи-

ют члены L₁ (s, t) и L₂ (s, t) в выражении⁷⁾ (1) для

циенты в первой колонке резко превосходят

полной амплитуды при малых t.

коэффициенты в остальных колонках.

Как уже указывалось выше, при этом будут

опущены все данные при |t| выше некоторого зна-

чения t₀, а оставшиеся экспериментальные точ-

В силу описанных свойств экспериментальных

ки фитируются со стороны малых значений |t|

данных мы проанализировали экспериментальные

при различных значениях t₀. Вопрос об ошибках

данные в следующих четырех вариантах:

параметров фита пока оставлен до специального

рассмотрения. Подгонка проводилась в следующих

трех вариантах для полной амплитуды:

1. dσ/dt с а) систематической и б) совместно со

случайной и систематической эксперимен-

8πgαsF² (t)

1. TN+C (s, t)

= T_N (s,t)

тальными ошибками,

+L1 (s,t). В соответствии с отмеченным

2. dσ/dt с весовым набором источников оши-

выше именно в таком виде необходимо брать

полную амплитуду рассеяния, где L₁ (s, t)

бок: a) c учетом нормализации (7-11 ко-

учитывает кулон-ядерную интерференцию в

лонки) и б) без учета нормализации (8-11

низшем порядке по α.

колонки).

8πgαsF² (t)

2. TN+C (s, t)

= T_N (s,t)

Однако прежде чем представить результаты

+L1 (s,t) - L2 (s,t). Здесь мы сознательно

этих четырех вариантов, необходимо предвари-

удерживаем излишний член L₂ (s, t) с тем,

тельно рассмотреть величины численных вкладов

кулоновских составляющих L₁ (s, t) и L₂ (s, t) в

⁷⁾Знаки берем только верхние, так как рассматриваются

основной формуле (1).

только pp-столкновения (при

√s = 13 ТэВ).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

TOTEM: О ПАРАМЕТРЕ ρ ПРИ 13 ТэВ

223

0.14

0.13

0.12

0.11

0.10

0.09

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

|t₀|, ГэВ2

113.0

112.5

112.0

111.5

111.0

110.5

110.0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

|t₀|, ГэВ2

650

645

640

635

630

625

620

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

|t₀|, ГэВ²

Рис. 3. Значения параметров фита в зависимости от отсечения всех точек t > t0 для трех вариантов фита (точки

сгруппированыдля каждого значения t0 и слегка разнесены, чтобы не налагаться друг на друга). Поведение для всех трех

вариантов одинаковое. Первый (правильный на наш взгляд вариант 1 (♠)) при добавлении слагаемого с L2 (вариант 2)

увеличивает свое значение (♣), а при отбрасывании и L1 и L2 переходит в вариант 3, который практически совпадает с

вариантом 1.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

224

ЕЖЕЛА и др.

0.16

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.005

0.010

0.015

0.020

|t₀|, ГэВ²

0.20

0.15

0.10

0.05

0.005

0.010

0.015

0.020

|t₀|, ГэВ²

Рис. 4. a — Значения ρ-параметра и его ошибки в зависимости от величины отсечения экспериментальных данных |t0|

с учетом только статистических ошибок. Зачеркнуты результаты, для которых χ²/NdF > 1. б — Значения ρ-параметра

и его ошибки в зависимости от величины отсечения экспериментальных данных |t0| с учетом полных ошибок. Однако во

всех этих результатах χ²/NdF ≪ 1, и к этим результатам надо относиться как к оценочным.

чтобы проследить его влияние на значение ρ,

трем вариантам (рис. 2). Параметры фитирования

полученное в [1].

близки между собой⁸⁾, а поведение кривых визу-

ально неразличимо для этих трех вариантов.

8πgαsF² (t)

3. TN+C (s, t) = T_N (s, t) +

Значения параметров ведут себя одинаково для

этих трех случаев (в зависимости от величины

обрезания t₀), и они представлены на рис. 3. Из

Этот (формально неполный) вариант исполь-

рисунка видно, что если от основного варианта 1

зован для оценки численной значимости члена

(на графиках он обозначен цифрой 1) перейти к

L₁ (s,t) в варианте 1.

В качестве примера приведем сначала графиче-

⁸⁾Однако их нельзя считать определенными, пока не будут

ский результат фитов, которые соответствуют этим

вычислены их ошибки — об этом ниже.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

TOTEM: О ПАРАМЕТРЕ ρ ПРИ 13 ТэВ

225

660

650

640

630

620

610

0.005

0.010

0.015

0.020

|, ГэВ²

|t₀

800

750

700

650

600

550

500

450

0.005

0.010

0.015

0.020

|t₀|, ГэВ2

Рис. 5. a — Значения параметра (dσ/dt)(t=0) и его ошибки в зависимости от величины отсечения экспериментальных

данных |t0| с учетом только статистических ошибок. Зачеркнуты результаты, для которых χ²/NdF > 1. б — Значения

(_dσ )

параметра

и его ошибки в зависимости от величины отсечения экспериментальных данных |t0| с учетом полных

dt t=0

ошибок. Однако во всех этих результатах χ²/NdF ≪ 1, и к этим результатам надо относиться как к оценочным.

варианту с членом L₂ (s, t) (вариант 2, на графиках

поправку (которую мы использовали c учетом ди-

он обозначен цифрой 2), то значения параметров

польного формфактора), т.е. вариант 3.

существенно увеличиваются. В варианте 3, т.е.

без использования слагаемых L₁ (s, t) и L₂ (s, t),

РЕЗУЛЬТАТЫ С УЧЕТОМ ТОЛЬКО

значения параметров практически возвращаются к

СТАТИСТИЧЕСКИХ И ПОЛНЫХ ОШИБОК

исходному варианту 1.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Этот результат существенно упрощает проце-

В силу большой величины систематических

дуру оценок ошибок в значениях параметров, так

ошибок для наборов экспериментальных данных

как позволяет проводить оценки в простейшем ва-

с малым числом точек (как видно из графика на

рианте амплитуды рассеяния, учитывающей только

рис. 1) величина χ²/NdF будет близка к нулю уже

чисто ядерную амплитуду и чисто кулоновскую

при трех параметрах фитирования (только с b₁),

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

226

ЕЖЕЛА и др.

0.005

0.010

0.015

0.020

|t₀|, ГэВ²

0.005

0.010

0.015

0.020

|t₀|, ГэВ²

Рис. 6. a — Значения параметра b и его ошибки в зависимости от величины отсечения экспериментальных данных |t0| с

учетом только статистических ошибок. Зачеркнуты результаты, для которых χ²/NdF > 1. б — Значения параметра b и

его ошибки в зависимости от величины отсечения экспериментальных данных |t0| с учетом полных ошибок. Однако во

всех этих результатах χ²/NdF ≪ 1, и к этим результатам надо относиться как к оценочным.

что сводит на нет результат фита. Кроме того,

никает вопрос: каким образом можно было по-

при уменьшении числа экспериментальных данных

лучить экспериментальное значение ρ-параметра

большее число параметров фита не позволяет

с точностью примерно 10%, как утверждается в

подойти к малым значениям t как можно ближе.

публикации [1]?

Три параметра b_i (см. формулу (5)) являются

Как уже отмечалось выше, нами были иссле-

избыточными, и более правильно использовать

дованы два варианта — только со статистическими

только один параметр b₁ (отметим, что в публика-

ошибками и с полными ошибками эксперименталь-

ции ТОТЕМ [1] такая минимизация параметров b_i

ных данных.

также применялась при учете только стати-

Поведение параметра ρ при уменьшении вели-

стических ошибок и для t₀ = 0.07 ГэВ²).

чины обрезания t₀ показано на рис. 4a, 4б. Из него

Таким образом, из всего вышесказанного воз-

видно, что приблизиться к нулевому значению |t| не

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

TOTEM: О ПАРАМЕТРЕ ρ ПРИ 13 ТэВ

227

114

113

112

111

110

109

0.005

0.010

0.015

0.020

|t₀|, ГэВ²

125

120

115

110

105

100

0.005

0.010

0.015

0.020

|t₀|, ГэВ²

Рис. 7. a — Значения величины σ_tot и ее ошибки в зависимости от величины отсечения экспериментальных данных |t0| с

учетом только статистических ошибок. Зачеркнуты результаты, для которых χ²/NdF > 1. б — Значения величины σ_tot

и ее ошибки в зависимости от величины отсечения экспериментальных данных |t0| с учетом полных ошибок. Однако во

всех этих результатах χ²/NdF ≪ 1, и к этим результатам надо относиться как к оценочным.

удается ближе, чем до |t| ≈ 0.004 ГэВ². В этом слу-

Их поведение представлено для справки на

чае действительно получается, что ρ ≈ 0.09. Однако

рис. 5, 6.

полная ошибка этой величины равна практически

Имея значения этих параметров, можно сделать

100%. Ошибка же O (10%) (как это видно из ре-

оценку величины σ_tot:

зультатов, приводимых в [1]: ρ = 0.09 ± 0.01 и ρ =

= 0.10 ± 0.01) не получается даже, если учитывать

√(dσ⁾

σ_tot ≡ σ = 4(ℏc)²

√π

только статистические ошибки: она никак не менее

dtt=0

20%.

Аналогичные утверждения справедливы и для

Поведение полного сечения и его ошибок в

⁽ dσ⁾

зависимости от величины обрезания t₀ приво-

остальных фитируемых параметров:

, b.

dtt=0

дит к следующим значениям полных сечений:

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

228

ЕЖЕЛА и др.

0.15

0.14

0.13

0.12

0.11

0.10

без нормировки

0.09

с нормировки

0.08

0.07

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

|t₀|, ГэВ²

115

без нормировки

114

с нормировки

113

112

111

110

109

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

|t₀|, ГэВ²

1.15

без нормировки

1.10

с нормировки

1.05

b t|+b

1.00

ρ+

dσ

T s,t)

πs

(s,0)e

+ρ

0.95

0.90

0.85

0.80

0.75

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

|t₀|, ГэВ2

Рис.

8. Результаты фитирования с TN =

с учетом трех параметров в экспоненте.

σ_tot =

110.0 ± 8.0 [мбн] (с учетом полных ошибок)

ПАРАМЕТРЫ ПРИ УЧЕТЕ КОРРЕЛЯЦИЙ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

и σ_tot

= 110.8 ± 1.0 [мбн] (только статистические

При фитировании с использованием источников

ошибок появляется возможность использовать все

ошибки) (рис. 7a, 7б).

пять параметров в формуле (5).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

TOTEM: О ПАРАМЕТРЕ ρ ПРИ 13 ТэВ

229

0.15

0.14

0.13

0.12

0.11

0.10

без нормировки

с нормировки

0.09

0.08

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

|t₀|, ГэВ²

115

без нормировки

114

с нормировки

113

112

111

110

109

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

|t₀|, ГэВ²

1.10

без нормировки

1.05

с нормировки

1.00

b1|t|+b

ρ+

dσ

T s,t)

πs

(s,0)e

0.95

+ρ

0.90

0.85

0.80

0.75

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

|t₀|, ГэВ2

Рис. 9. Результаты фитирования с учетом двух параметров в экспоненте.

На рис. 8-10

показаны результаты при фите

нормировки (за исключением первой колонки в

с одним, двумя и тремя параметрами в показате-

источнике ошибок). В этих двух случаях резуль-

ле экспоненты. Точками обозначены результаты с

таты уже не различаются так кардинально, как в

учетом всех источников ошибок, а крестиками —

предыдущем пункте, хотя доверять, конечно, нужно

со всеми источниками ошибок за исключением

результатам с учетом всех источников ошибок.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

230

ЕЖЕЛА и др.

0.14

без нормировки

0.13

с нормировки

0.12

0.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

|t₀|, ГэВ²

116

114

112

110

108

без нормировки

с нормировки

106

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

|t₀|, ГэВ²

2.5

без нормировки

с нормировки

2.0

|t |

ρ+

dσ

T s,t)

πs

(s,0)e

+ρ

1.5

1.0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

|t₀|, ГэВ2

Рис. 10. Результаты фитирования с учетом одного параметра в экспоненте.

Приведены также графики χ²/NdF для того,

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ ПО “МОДЕЛИ TOTEM”

чтобы понимать, какие результаты надо отбросить.

Хотя мы и приводим значения результатов фи-

тирования без учета нормировки, мы вовсе не счи-

Окончательные результаты описания с источни-

таем такой способ действий полностью коррект-

ками ошибок сведены в табл. 1, 2 (см. ниже).

ным — ибо, если есть источник ошибок, то его надо

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

TOTEM: О ПАРАМЕТРЕ ρ ПРИ 13 ТэВ

231

Таблица 1. Значения параметров со всеми источниками ошибок

dσ/dtt=0,

N_b

b₁, ГэВ-2

b₂, ГэВ-4

b₃, ГэВ-6

мбн/ГэВ²

NdF

0.123(10)

634.1 ± 20.1

-21.0(3)

0.99

100

-70.1

-81.4

t₀ = 0.015

100

37.7

σ_tot = 111.4 ± 1.8

100

0.117(15)

635.55 ± 20.24

-20.07 ± 1.73

-43.34 ± 82.08

0.98

100

-54.6

-84.0

75.7

t₀ = 0.015

100

18.2

-11.6

100

-98.4

σ_tot = 111.53 ± 1.78

100

0.104(22)

631.1 ± 21.0

-15.48 ± 5.91

-547.3 ± 627.9

18008.499 ± 22265.478

0.97

100

-17.200

-85.010

77.201

-70.874

t₀ = 0.015

100

-22.278

26.923

-28.635

100

-98.586

95.678

100

-99.150

σ_tot = 111.1 ± 1.9

100

учитывать (а для чего тогда экспериментаторы их

В заключение мы приведем параметры описания

приводят?).

данных и таблицы их корреляций, которые вытека-

ют по “модели ТОТЕМ” (соотношение (5))⁹⁾.

Из приведенных таблиц значений параметров и

графиков этих параметров следует вывод о том, что

использование в показателе экспоненты (5) более

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ TOTEM [1]

одного слагаемого (b₁ |t| + b₂t² + b₃ |t|³) представ-

С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛИ ISR

ляется избыточным — вполне достаточно одного

слагаемого (b₁ |t| ≡ b |t|), чтобы получить то же

В работе [8] приведены классические резуль-

самое значение χ²/NdF. К тому же при их исполь-

таты анализа ρ-параметра и полного сечения σ_tot

зовании имеет место сильная корреляция между

на ускорителе ISR. Однако в этой работе для из-

ними.

влечения ρ-параметра была использована модель,

отличная от модели TOTEM для описания dσ/d |t|:

Наименьшее значение для ρ получается для

варианта с тремя параметрами в показателе экспо-

ненты: ρ = 0.104 ± 0.022. Однако мы полагаем, что

dσ/d |t|(±) =4πgα2G⁴ (|t|)

∓

в силу избыточного количества параметров b_i нет

|t|²

[

]

веских оснований для принятия такого результата.

σ_totα

ρ ± αφ(|t|)G2 (t)

e-b|t|/2

Таким образом, наше основное утверждение следу-

∓

|t|

ющее:

(

)

-b|t|

1+ρ²

σ^2tote

На основании результатов этой работы

надо сделать вывод о том, что наиболее кор-

16πg

ректный результат получается с использо-

знаки либо верхние (для pp), либо нижние (для

ванием всех источников ошибок и только с

pp). α — постоянная тонкой структуры, g = (ℏc)²

линейным членом (-b|t|) в показателе экспо-

ненты, а именно:

⁹⁾В таблицах корреляций числа округленные, и поэтому

ρ (13 ТэВ) = 0.123 ± 0.010

собственные значения не всегда будут положительными.

Точные значения положительно определенной матрицы

и σtot (13 ТэВ) = 111.4 ± 1.8 [мбн].

авторы готовы предоставить.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

232

ЕЖЕЛА и др.

Таблица 2. Значения параметров со всеми источниками ошибок за исключением нормировки

dσ/dtt=0,

N_b

b₁, ГэВ-2

b₂, ГэВ-4

b₃, ГэВ-6

мбн/ГэВ²

NdF

0.118(6)

646.37 ± 2.45

-20.9(3)

0.99

100

-84.02

-79.68

t₀ = 0.015

100

-91.67

σ_tot = 112.48 ± 0.21

100

0.1123(101)

642.68 ± 5.68

-19.79 ± 1.53

54.22 ± 75.43

0.99

100

93.2

-85.8

78.3

t₀ = 0.015

100

-95.8

90.3

100

-98.4

σ_tot = 112.16 ± 0.50

100

0.1017(158)

633.316 ± 12.055

-15.21 ± 5.48

-570.940 ± 597.075

18723.28 ± 21451.17

0.97

100

95.703

-89.038

82.416

-76.661

t₀ = 0.015

100

-97.454

93.103

-88.484

100

-98.714

95.993

100

-99.194

σ_tot = 111.335 ± 1.060

100

)

(

)

⁽ dσ

(в системе c = 1). Учет кулон-ядерной интерфе-

1+ρ²

e^-b|t|,

ренции сделан с помощью формулы Бете, причем

dtt=0

формфактор G (|t|) и “кулоновская фаза” φ (|t|)

имея три параметра, определяемые из фита экспе-

берутся в виде:

риментальных данных: (dσ/dt)t=0, ρ и b.

(

)-2

|t|

⁽ 0.08⁾

G(|t|) =

φ(|t|) = ln

- γ,

На рис. 11 показаны результаты обработки экс-

Λ²

|t|

периментальных данных по процедуре, которую мы

использовали в “модели TOTEM”. Видно, что зна-

где Λ² = 0.71 ГэВ², а γ= 0.5772157 — постоянная

чение χ²/NdF устойчиво находится в небольшой

Эйлера.

окрестности единицы (и остается меньше этого

Параметрами для фитирования эксперимен-

значения) вплоть до отсечения экспериментальных

тальных данных dσ/d |t| являются величины σ_tot,

точек, у которых t > t₀ = 0.012 ГэВ². На основе

ρ и b.

этого мы делаем вывод о значениях параметров:

Мы применили эту модель к эксперименталь-

ρ = 0.0958 ± 0.0113

ным данным TOTEM при 13 TэВ, несколько мо-

дифицировав ее математическую форму и исполь-

и σ_tot = 110.3 ± 1.9 [мбн];

зуя выражение для σ_tot, используемое в “модели

(dσ/dt)t=0 = 632.6 ± 20.9 [мбн/ГэВ²];

TOTEM”:

√

b = 20.89 ± 0.47 [ГэВ-2].

σ_tot =

16πg (dσ/dt)t=0.

Эти результаты очень близки к значениям, заяв-

Формула для фитирования экспериментальных

ленным коллаборацией TOTEM [1].

данных dσ/d |t| принимает вид

Отметим, что мы проверили и ряд эксперимен-

тальных данных, полученных на энергиях ISR и при

dσ/d |t|(±) =4πgα2G⁴ (|t|)

∓

более низких энергиях — на экспериментальных

|t|²

√

[

]

данных серпуховского ускорителя У-70 [9]. Ре-

-b|t|/2

16πg(dσ/dt)t=0α

ρ ± αφ(|t|)G²(t)

зультаты получаются очень близкими к авторским

∓

|t|

значениям этих работ.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

234

ЕЖЕЛА и др.

В принципе, можно иметь две (и более) раз-

2. R. Cahn, Z. Phys. C 15, 253 (1982); V. Kundr ´at and

личные модели “ядерной” амплитуды T_N (s, t), при-

M. V. Lokaj´ı ˇcek, Z. Phys. C 63, 619 (1994).

водящие к сравнимому качеству описания дан-

3. V. A. Petrov, Eur. Phys. J. C 78, 221 (2018); Eur. Phys.

ных. В простых терминах это подобно тому, что,

J. C 78, 414 (Erratum) (2018).

зная лишь модуль комплексного числа, невозмож-

но указать на значение его аргумента.

4. R. F. Avila, P. Gauron, and B. Nicolescu, Eur. Phys. J.

Поэтому представляется, что заключения о точ-

C 49, 581 (2007).

ном и объективном (модельно независимом) зна-

5. E. Martynov, Phys. Rev. D 76, 074030 (2007).

чении параметра ρ и, как следствие, о далеко

идущих концептуальных физических следствиях на

6. E. Martynov and B. Nicolescu, Eur. Phys. J. C 56, 57

базе имеющегося экспериментального материала

(2008).

являются недостаточно обоснованными.

7. V. I. Belousov, V. V. Ezhela, and N. P. Tkachenko,

Preprint 2018-19, IHEP (Protvino, 2018).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

8. N. Amos et al., Nucl. Phys. B 262, 689 (1985).

1. G. Antchev et al. (TOTEM Collab), Eur. Phys. J. C

9. G. G. Beznogikh et al., Nucl. Phys. B 54, 78 (1973).

79, 785 (2019).

TOTEM: ON PARAMETER ρ AT 13 TeV

V. V. Ezhela¹⁾, V. A. Petrov¹⁾, N. P. Tkachenko¹⁾

¹⁾NRC “Kurchatov Institute” — IHEP, Group COMPAS, Protvino, Russia

An analysis of the results on proton-proton elastic scattering obtained by the TOTEM collaboration at the

energy of the Large Hadron Collider of 13 TeV is undertaken. It is shown that the statistical significance of

these results in a number of respects is problematic. Specific examples demonstrate the model dependence

on the parameter ρ extracted from experimental data.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021