ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 3, с. 250-261

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСЦИЛЛЯЦИЙ АКТИВНЫХ НЕЙТРИНО

И ДВОЙНОГО БЕТА-РАСПАДА С УЧЕТОМ ВКЛАДОВ

СТЕРИЛЬНЫХ НЕЙТРИНО

Поступила в редакцию 02.07.2020 г.; после доработки 02.07.2020 г.; принята к публикации 16.07.2020 г.

Произведены оценки вкладов легких стерильных нейтрино в характеристики осцилляций активных

нейтрино и двойного бета-распада в рамках феноменологической модели с тремя активными и тремя

стерильными нейтрино в предположении майорановской природы нейтрино. Получены вероятности

сохранения и появления активных нейтрино с учетом вкладов стерильных нейтрино для объяснения

всех известных аномалий нейтринных данных на малых расстояниях при одних и тех же пробных

модельных параметрах. Представлены модифицированные графические зависимости для вероятности

сохранения электронных нейтрино/антинейтрино и появления электронных нейтрино/антинейтрино

в пучках мюонных нейтрино/антинейтрино как функции расстояния и других модельных параметров

при различных энергиях нейтрино, а также как функции отношения расстояния к энергии нейтрино.

Найдено существенное отличие между вероятностными кривыми рассматриваемой нейтринной модели

и простыми синусоидальными кривыми нейтринной модели с одним стерильным нейтрино. Получены

оценки эффективных масс электронного нейтрино для бета-распада и безнейтринного двойного бета-

распада с учетом вкладов стерильных нейтрино. Кроме того, вычислены характеристики двухнейтрин-

ного двойного бета-распада селена-82. Эти результаты могут быть использованы для интерпретации

и предсказания данных наземных экспериментов по поиску стерильных нейтрино и безнейтринного

двойного бета-распада.

DOI: 10.31857/S0044002721020100

1. ВВЕДЕНИЕ

разность квадратов нейтринных масс, порядка еди-

ницы). Для LSND-аномалии [1, 2] наблюдается

превышение электронных антинейтрино в пучках

В настоящее время имеются указания на анома-

мюонных антинейтрино по сравнению с ожидае-

лии нейтринных потоков для некоторых процессов,

которые не могут быть объяснены с использова-

мым согласно МСМ значением. Похожие резуль-

нием осцилляционных параметров только для трех

таты наблюдались в экспериментах MiniBooNE

активных нейтрино в рамках модифицированной

для электронных нейтрино и антинейтрино [3, 4].

Стандартной модели (МСМ). МСМ (или νСМ) —

Дефицит реакторных электронных антинейтрино

это Стандартная модель (СМ) с тремя массив-

на малых расстояниях называется РА, тогда как

ными активными нейтрино, заменяющая СМ с

дефицит электронных нейтрино от радиоактивного

безмассовыми нейтрино. Эти аномалии включают

источника, замеченный при калибровке детекто-

LSND- (или ускорительную) аномалию (УА) [1-

ров в экспериментах SAGE и GALLEX, обычно

4], реакторную аномалию (РА) или реакторную ан-

называют ГА. Другими словами, данные по SBL-

тинейтринную аномалию (РАА) [5-9] и галлиевую

аномалиям относятся как к необъяснимому по-

(калибровочную) аномалию (ГА) [10-12]. Эти три

явлению электронных нейтрино или антинейтрино

в пучках мюонных нейтрино или антинейтрино,

типа аномалий проявляют себя на малых (SBL)

соответственно, и к исчезновению электронных

расстояниях (более точно на расстояниях L, та-

нейтрино или антинейтрино на малых расстояниях.

ких что численное значение параметра Δm²L/E,

SBL-аномалии можно объяснить существовани-

где E — энергия нейтрино и Δm² — характерная

ем одного или двух стерильных нейтрино (SN),

которые непосредственно не взаимодействуют с

¹⁾Национальный исследовательский центр “Курчатовский

калибровочными бозонами СМ. Характерная шка-

институт”, Москва, Россия.

^*E-mail: Khruschov_VV@nrcki.ru

ла масс этих легких SN составляет 1 эВ. Сей-

^**E-mail: Fomichev_SV@nrcki.ru

час производятся интенсивные поиски легких SN

^***E-mail: Semenov_SV@nrcki.ru

(эВ-стерильных нейтрино). Ожидается, что в бли-

250

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСЦИЛЛЯЦИЙ АКТИВНЫХ НЕЙТРИНО

251

жайшие несколько лет можно будет подтвердить

через углы смешивания θ_ij и дираковскую CP-

или опровергнуть их существование (см., напри-

фазу, а именно, фазу δ ≡ δ_CP , связанную с CP-

мер, [13-17]).

нарушением в лептонном секторе для дираков-

Введение SN выходит за рамки МСМ, поэтому

ских или майорановских нейтрино, тогда как P =

был предложен ряд феноменологических моделей

= diag{1, e^iα, e^iβ }, где α ≡ α_CP и β ≡ β_CP — это

для предсказания эффектов, связанных с ними

фазы, связанные с CP-нарушением только для

(см., например, [13, 18-24]). Модели с допол-

майорановских нейтрино. В осцилляционных экс-

нительными SN обычно обозначаются как (3 +

периментах невозможно измерить α_CP и β_CP . Од-

+ N)-модели, или, более детально, как (k + 3 +

нако в осцилляционных экспериментах было обна-

n + m)-модели, где k —число новых нейтрино с

ружено нарушение законов сохранения лептонных

массами меньшими масс активных нейтрино, n и

чисел L_e, L_μ и L_τ .

m — это числа новых нейтрино с массами выше и

значительно выше, соответственно, масс активных

При помощи анализа экспериментальных дан-

нейтрино [13, 20, 21, 25-29].

ных высокой точности были найдены значения уг-

Сейчас неизвестно, является ли нейтрино ди-

лов смешивания и разностей квадратов масс Δm²²¹

раковским или майорановским фермионным ти-

и |Δm²³¹| (где Δm2ij = m2i - m2j) [30, 34]. CP-фазы

пом частицы. Тип нейтрино (или природа) не мо-

α_CP и β_CP в настоящее время неизвестны, неизве-

жет быть открыт в нейтринных осцилляционных

стен также порядок (иерархия) нейтринного мас-

экспериментах [30]. Практически единственным

сового спектра, а именно: нормальный (NO) или

процессом, в котором можно это сделать, явля-

обратный (IO). Хотя значение δ_CP также не опре-

ется безнейтринный двойной бета-распад (0ν2β-

делено экспериментально, в ряде работ была про-

распад) [31]. Изучение двойного бета-распада, как

изведена ее оценка (см., например, [18, 34, 35]). Для

с помощью теоретических исследований, так и пу-

NO-случая массового спектра активных нейтрино

тем создания новых установок большого масштаба,

(ANs) эта оценка приводит к sin δ_CP < 0 и δ_CP ≈

сейчас быстро развивается. Открытие этого ред-

≈ -π/2. Если принять во внимание ограничения на

кого процесса подтвердит майорановскую природу

нейтрино и в этом случае сделает возможным уточ-

сумму масс нейтрино из космологических наблю-

нить нейтринную массовую матрицу и параметры

дений [36] и результаты T2K-эксперимента [37], то-

смешивания.

гда NO-случай спектра масс нейтрино становится

В настоящее время самым редким процес-

предпочтительным. Таким образом, при выполне-

сом, обнаруженным экспериментально, является

нии дальнейших численных расчетов будем ограни-

процесс двухнейтринного двойного бета-распада

чиваться NO-случаем и условием δ_CP = -π/2.

(2ν2β-распад) с периодом полураспада T1/2 ∼

Основная цель настоящей работы состоит в

∼ 10¹⁹-10²⁴ лет

[32]. Изучение

2ν2β-распада

рассмотрении эффектов эВ-стерильных нейтрино

позволит получить информацию о ядерной струк-

в осцилляционных свойствах активных нейтрино

туре процесса, которая очень существенна для

и характеристиках безнейтринного двойного бета-

развития и проверки ядерных моделей, применя-

распада в рамках (0 + 3 + 3 + 0)-модели нейтри-

емых при теоретическом изучении безнейтринных

но, которую будем обозначать как (3 + 3)-модель,

переходов. В то же время двухнейтринный канал

предполагая, что нейтрино являются майоранов-

является неустранимым фоном для 0ν2β-распада,

скими частицами. В разд. 2 кратко представлена

следовательно, расчеты соответствующих диф-

ференциальных интенсивностей необходимы для

(3 + 3)-модель с тремя ANs и тремя SNs для

определения чувствительности экспериментов по

оценки эффектов SNs в 0ν2β-распаде и в осцил-

определению границ эффективной майорановской

ляционных характеристиках ANs на малых рассто-

массы нейтрино m_ββ. Кроме того, необходимо

яниях. Положения этой модели были изложены в

недавней работе [38].

также принять во внимание ограничение на эф-

фективную массу нейтрино m_β, которая может

Однако, в отличие от варианта масс стерильных

быть измерена в эксперименте KATRIN [33] по

нейтрино, детально рассмотренного в работе [38],

β-распаду трития.

где масса только одного стерильного нейтрино m₄

Смешивание состояний нейтрино [25] описы-

порядка 1 эВ, тогда как другие две массы, m₅ и

вается с помощью матрицы Понтекорво-Маки-

m₆, существенно тяжелее ((3 + 1 + 2)-модель), в

Накагава-Сакаты U_PMNS ≡ U ≡ V × P , при этом

настоящей работе, поскольку мы рассматриваем

ψ^La = U_aiψ^Li, где ψ^La,i — это левые киральные поля

майорановские нейтрино, необходимо учитывать

с ароматом “a” или массой “m_i”, a = {e, μ, τ} и

имеющиеся ограничения на эффективную массу

i = {1,2,3}. Для трех активных нейтрино матрица

нейтрино [39] и углы смешивания, приемлемые

V выражается в стандартной параметризации [30]

для описания SBL-аномалий. Следовательно, в

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

252

ХРУЩЕВ и др.

настоящей работе рассматривается альтернатив-

произвольные унитарные 3 × 3-матрицы, причем

ный случай, когда массы всех трех SNs выбира-

c = -b × a. Матрица U_mix при этих условиях

ются вблизи 1 эВ (случай легких SNs или (3 +

унитарна. Будем использовать следующие матрицы

+ 3)-модель). Это приводит к качественному от-

a и b, которые были предложены в работе [18]:

личию по отношению к результатам, полученным

⎛

⎞

в работе [38]. В разд. 3 представлены результаты

cos η₂

sin η₂

⎜

⎟

детальных вычислений осцилляционных характе-

⎜

⎟

⎜

sin η2 cos η2

⎟,

(2)

ристик ANs на малых расстояниях с учетом эф-

⎝-

⎠

фектов легких SNs. Расчеты выполнены при вы-

e-iκ2

бранных пробных значениях модельных парамет-

⎛

⎞

ров, используя полученные ранее результаты [18,

cos η₁

sin η₁

21]. Мы надеемся, что результаты этих расчетов

⎜

⎟

⎜

⎟

будут полезны для объяснения экспериментальных

b=-⎜

⎟

sin η1 cos η1

⎝-

⎠

данных по нейтринным SBL-аномалиям.

e-iκ1

В разд. 4 получены оценки эффективных ней-

тринных масс для бета-распада и безнейтрин-

Значения углов смешивания ANs θ_ij для матрицы

ного двойного бета-распада с учетом вкладов

SNs, с использованием значений параметров (3 +

U_PMNS берем из условий sin² θ₁₂ ≈ 0.297, sin² θ₂₃ ≈

+ 3)-модели. В разд.

обращается внимание

≈ 0.425 и sin² θ₁₃ ≈ 0.0215 [30]. Для дополнитель-

на основные полученные результаты. В Прило-

ных параметров смешивания SNs используем сле-

жении А представлено вычисление амплитуды

дующие предложенные ранее пробные значения:

2ν2β-распада для 82Se на основе High-States

κ₁ = κ₂ = -π/2 и η₁ = 5^◦, тогда как соответству-

Dominance (HSD) и Single-State Dominance

ющие значения для η₂ и ϵ < 0.03 будут конкретизи-

рованы в следующем разделе.

(SSD) механизмов.

Массы нейтрино задаются набором значений

{m} = {m_i, m_i′ } в единицах эВ: m₁ ≈ 0.0016, m₂ ≈

2. НЕКОТОРЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

≈ 0.0088, m₃ ≈ 0.0497 [18, 24]. В работе [38] ис-

(3 + 3)-МОДЕЛИ ДЛЯ АКТИВНЫХ

пользовалось значение m₄ ≈ 1 эВ и значения m₅

И СТЕРИЛЬНЫХ НЕЙТРИНО

и m₆ порядка нескольких кэВ. Такие значения

приводят к быстроосциллирующим кривым для

Ниже используется (3 + 3)-модель для нахож-

вероятностей сохранения и появления электрон-

дения эффектов SNs. Эта модель была детализи-

рована в работе [38] и включает три ANs ν_a (a =

ных нейтрино/антинейтрино, которые приходится

усреднять, чтобы произвести сравнение с экспери-

= e, μ, τ) и три новых нейтрино: стерильное ней-

ментальными данными. Заметим, что такая ситуа-

трино ν_s, скрытое нейтрино ν_h и темное нейтрино

ν_d. В модели используется 6 × 6-матрица смеши-

ция сохраняется до значений масс m₅ и m₆ порядка

вания U_mix. Для компактности формул вводятся

10 эВ. При значениях m₅ и m₆, заметно меньших

10 эВ, кривые становятся плавно осциллирующи-

символы h_s и h_i′ для обозначения дополнитель-

ных левых флэйворных и массовых полей соот-

ми. В настоящей работе используются значения

ветственно. Причем s обозначает набор индексов,

m₄ = 1.05 эВ, m₅ = 0.63 эВ и m₆ = 0.27 эВ. Они

которые различают поля ν_s, ν_h и ν_d среди h_s, тогда

согласуются с допустимой областью масс, най-

денной путем рассмотрения данных, относящих-

как i^′ обозначает набор индексов 4, 5 и 6. Тогда

матрица U_mix, которая осуществляет связь между

ся к SBL-аномалиям [40]. Однако значения m₅

и m₆ значительно меньше аналогичных значений,

флэйворными и массовыми нейтринными полями,

представляется в виде

используемых в работе [38]. Это связано с тем,

⎛

⎞

⎛

⎞

что ниже будет рассматриваться случай майора-

новских нейтрино, для которых возможен 0ν2β-

ν_a

ν_i

⎝

⎠=Umix ⎝

⎠_≡

(1)

распад, т.е. учитываются имеющиеся ограничения

h_s

h_i′

на возможные значения эффективной майоранов-

⎛

⎞⎛

⎞

ской массы нейтрино m_ββ вместе с приемлемыми

√

κU

1-κ²a

ν_i

значениями углов θ_μe и θ_ee, взятыми из глобальной

≡^⎝

⎠⎝

⎠_.

√

обработки экспериментальных данных по SBL-

1 - κ²bU

κc

h_i′

аномалиям [15, 16, 40], а также ограничения на

эффективную массу нейтрино m_β в β-распаде [33].

Здесь κ = 1 - ϵ, где ϵ — малая величина, U ≡

≡ U_PMNS, где U_PMNS — хорошо известная унитар-

Амплитуды вероятности для описания осцилля-

ная

3 × 3-матрица

смешивания

ANs

ций нейтринных флэйворов находятся путем ре-

(U_PMNSU^+PMNS = I). Кроме того, a и b — это

шения известных уравнений для распространения

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСЦИЛЛЯЦИЙ АКТИВНЫХ НЕЙТРИНО

253

нейтрино (см., например, [18, 41]). C помощью этих

и антинейтрино. Отметим, что статус РА с уче-

уравнений были получены аналитические выраже-

том недавно обнаруженного избытка числа анти-

ния для вероятностей переходов между нейтринны-

нейтрино по сравнению с модельными расчетами

ми флэйворами в пучках нейтрино/антинейтрино с

в области 5 МэВ и подтверждения возможного

энергией E в вакууме как функции расстояния L от

существования легкого SN с массой около 1 эВ

обсуждается, например, в работах [45-47].

источника [29]. Есл

U ≡ Umix — обобщенная 6 ×

× 6-матрица смешивания в форме уравнения (1),

На рис. 1 показаны вероятности появления

и используя обозначения Δ_ki ≡ Δm2ikL/(4E), то

ν_e (а) и

ν_e (б) в пучках ν_μ и ν_μ соответственно

можно вычислить вероятности переходов от ν_α к

как функция отношения расстояния от источника

ν_α′ или от ν_α к ν_α′ по формуле

к энергии нейтрино при значении константы ϵ =

P (ν_α(ν_α) → ν_α′ (ν_α′ )) =

(3)

= 0.015 и параметре η₂ = π/3 и для рассматрива-

∑

емого в настоящей статье спектра масс нейтрино.

=δ_α′α - 4 Re

U_α′

U^∗αi

U_αk)sin² Δ_ki ±

U^∗α′

В этом случае вклад стерильных нейтрино имеет

i>k

характер плавных колебаний. Кроме того, напри-

∑

мер, уже со значения ϵ = 0.005 относительные

±2

U_α′

U^∗αi

U^∗α′

U_αk)sin 2Δ_ki,

выходы ν_e и ν_e возрастают примерно на два

i>k

порядка (до ∼10-4) по сравнению с их значениями

где верхний знак (+) соответствует нейтринным

для ϵ = 0 (∼10-6). Сравнение с экспериментом

переходам ν_α → ν_α′ , а нижний знак (-) — ан-

осуществляется с помощью простой

(3 + 1)-

тинейтринным переходам ν_α → ν_α′ . Заметим, что

модели по формуле P₃₊₁(ν_μ → ν_e) = P₃₊₁(ν_μ →

флэйворные индексы α и α^′ (также как и индексы

→ ν_e) = sin²(2θ_μe)sin²(1.27Δm²⁴¹L/E), где L —

суммирования по массовым состояниям i и k)

это расстояние до детектора в метрах, E — энергия

применяются к ANs и SNs.

— разность между квад-

нейтрино в МэВ и Δm²⁴¹

ратами масс нейтрино в эВ².

3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ

ОСЦИЛЛЯЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

На рис. 2 аналогичные результаты приведены

АКТИВНЫХ НЕЙТРИНО С УЧЕТОМ

для P (ν_e → ν_e) ≡ P (ν_e → ν_e) для тех же зна-

ИХ СМЕШИВАНИЯ С эВ-СТЕРИЛЬНЫМИ

чений параметров модели. Новая существенная

НЕЙТРИНО

особенность нашей модельной кривой (сплошная

В этом разделе проводится сравнение между

линия) состоит в сильном отличии от синусо-

вероятностями выживания и появления нейтри-

идально изменяющейся кривой, которую мож-

но/антинейтрино, рассчитанными в рамках (3 +

но получить только по стандартной формуле в

+ 3)-модели, и аналогичными величинами, рас-

рамках (3 + 1)-модели для вероятности P (ν_e →

считанными в рамках (3 + 1)-модели на основе

→ ν_e), т.е. по формуле P₃₊₁(ν_e → ν_e) = 1 -

имеющихся в настоящее время данных для SBL-

- sin²(2θ_ee) sin²(1.27Δm²⁴¹L/E). Кроме того, пе-

аномалий [15, 16, 40] (см. рис. 1, 2 и 3). Прежде

риоды изменения для модельных кривых, пред-

всего, это относится к данным об исчезновении

ставленных на рис. 1 и 2, различны, несмотря на

мюонных нейтрино и антинейтрино и появлении

один и тот же спектр масс нейтрино. Таким обра-

электронных нейтрино и антинейтрино в процес-

зом, можно говорить об изменяемом эффективном

сах ν_μ → ν_e и ν_μ → ν_e. Типичное отношение рас-

значении массы SN в разных процессах. Этот факт

стояния, пройденного нейтрино до обнаружения,

может пролить свет на возможное препятствие в

к энергии нейтрино составляет либо несколько

определении точного значения массы SN.

метров на МэВ, либо 1 м на несколько МэВ.

Что касается возможного описания галлиевой

Попытки одновременного описания всех данных в

аномалии в рамках (3 + 3)-модели, то вероятность

этих процессах приводят к трудностям. В частно-

выживания для ν_e как функция расстояния L от ис-

сти, проблемы, связанные с различными значени-

ями превышения выхода ν_e и ν_e в эксперименте

точника нейтрино для различных значений энергии

MiniBooNE, могут быть частично устранены при

нейтрино E показана на рис. 3 для тех же пара-

условии CP-нарушения [42-44].

метров ϵ = 0.015 и η₂ = π/3 матрицы смешивания и

Реакторную и галлиевую аномалии можно опи-

для тех же значений масс, которые использовались

сать в рамках рассматриваемой модели путем вы-

на рис. 1 и 2. На каждой панели рис. 3 выби-

бора соответствующего значения параметра ϵ (см.

рается то значение энергии нейтрино E, которое

уравнение (1)). Для этого достаточно выбрать зна-

приобретается электронным нейтрино в процессе с

чение, соответствующее экспериментальным дан-

участием искусственных источников, содержащих

ным, для параметра κ = 1 - ϵ, что, естествен-

изотопы⁵¹Cr,³⁷Ar и⁶⁵Zn соответственно. Вклады

но, приводит к дефициту электронных нейтрино

SN имеют характер плавных осцилляций. Более

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

254

ХРУЩЕВ и др.

P(ν_μ → ν_e)

1.5×10^-3

1.0×10^-3

0.5×10^-3

L/E, м/МэВ

P(ν_μ → ν_e)

1.5×10^-3

1.0×10^-3

0.5×10^-3

L/E, м/МэВ

Рис. 1. Вероятность появления νe (а) и νe (б) в зависимости от отношения расстояния L от источника к энергии

нейтрино E в пучках νμ и νμ соответственно. Для матрицы Umix ϵ = 0.015 и η2 = π/3. Разности квадратов масс Δm41 =

= 1.1 эВ² и Δm²⁵¹ = 0.4 эВ². Штриховые кривые с круговыми метками, которые одинаковы на обеих панелях и близко

аппроксимируют сплошные кривые, показывают значения вероятностей, рассчитанные в приближении двух нейтринных

состояний в (3 + 1)-модели для sin²(2θμe) = 0.0007 и Δm41 = 0.7 эВ².

P(ν_e → ν_e) ≡ P(ν_e → ν_e)

1.00

0.98

0.96

0.94

0.92

0.90

0.88

0.86

L/E, м/МэВ

Рис. 2. Вероятности выживания для νe (νe) в зависимости от отношения расстояния L от источника к энергии нейтрино

E в пучках νe (νe). Для матрицы Umix ϵ = 0.015 и η2 = π/3. Разности квадратов масс Δm41 = 1.1 эВ² и Δm51 =

= 0.4 эВ². Штриховая кривая с квадратными метками показывает значения вероятности, рассчитанные в приближении

двух нейтринных состояний в (3 + 1)-модели со значениями параметров sin²(2θee) = 0.0396 и Δm41 = 0.4 эВ², которые

были получены путем совместной обработки экспериментальных данных по РАА и ГА.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСЦИЛЛЯЦИЙ АКТИВНЫХ НЕЙТРИНО

255

1.00

0.98

0.96

0.94

0.92

0.90

0.88

⁵¹Cr

E_ν = 0.43 МэВ

⁵¹Cr

E_ν = 0.75 МэВ

0.86

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

1.00

0.98

0.96

0.94

0.92

0.90

0.88

E_ν = 0.81 МэВ

⁶⁵Zn

E_ν = 1.35 МэВ

0.86

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

L, м

Рис. 3. Вероятность выживания νe в зависимости от расстояния L от источника, в качестве которого выступают

ядра различных элементов с разными энергиями нейтрино, для случая матрицы смешивания Umix с ϵ = 0.015 и η2 =

= π/3. Разности квадратов масс Δm²⁴¹ = 1.1 эВ² и Δm²⁵¹ = 0.4 эВ². Штриховые кривые с квадратными метками

показывают значения вероятностей, рассчитанные в аппроксимации двух нейтринных состояний (3 + 1)-модели для

значений параметров sin²(2θee) = 0.0396 и Δm41 = 0.4

эВ², взятых из глобальной обработки экспериментальных

данных по ГА и РАА [15, 16, 40].

того, эти колебания совпадают по фазе с колеба-

значение не может быть обнаружено в проводимом

ниями, которые получены по стандартной формуле

эксперименте KATRIN, для которого достижимая

(3 + 1)-модели для вероятности P (ν_e → ν_e).

нижняя граница эффективной массы электронного

Полученные результаты являются характерны-

нейтрино оценивается в 0.2 эВ (при 90% CL) [48].

ми особенностями (3 + 3)-модели нейтрино с уче-

Более того, значение m_β составляет около 0.01 эВ

том SN, рассматриваемой в настоящей статье, и

при трех ANs и без учета SNs.

они могут быть использованы для интерпретации

как имеющихся, так и будущих экспериментальных

Чтобы рассчитать вероятность безнейтринного

данных по поиску SN.

двойного бета-распада за счет обмена легкими

массивными майорановскими нейтрино, необхо-

димо учесть их вклады с учетом майорановских

4. ВКЛАДЫ эВ-СТЕРИЛЬНЫХ НЕЙТРИНО

фаз [49]:

В ВЕРОЯТНОСТЬ БЕТА-РАСПАДА И

∑



БЕЗНЕЙТРИННОГО ДВОЙНОГО



m_ββ =



U2eim_i.

(5)

БЕТА-РАСПАДА

Если разрешение экспериментальной установки

Поскольку значения майорановских фаз до сих пор

не позволяет различить массы массивных нейтри-

не известны, мы оцениваем максимальное значение

но, участвующих в бета-распаде, то в этом случае

эффективной майорановской массы электронного

используется взвешенная масса электронного ней-

нейтрино, используя набор {m_i}, предложенный в

трино, которая называется эффективной массой

предыдущем разделе, вместе с теми же матрич-

нейтрино m_β [33]:

ными элементами U_ei, используемыми там. Тогда

∑

значение m_ββ равно 0.027 эВ. Это значение со-

m2β =

|U_ei|²m2i.

(4)

ставляет примерно половину наименьшего в на-

стоящее время верхнего предела на эффективную

В качестве {m_i} мы будем использовать набор

майорановскую массу электронного нейтрино, по-

масс, предложенный в предыдущем разделе, наря-

ду с используемыми там матричными элементами

лученную в эксперименте KamLAND-Zen с¹³⁶Xe

U_ei. Значение m_β, рассчитанное таким образом,

(0.061 эВ) [39]. Обратим внимание, что m_ββ равно

равно 0.131 эВ. Отметим, что на данный момент это

0.0026 эВ, когда учитывается только вклад ANs.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

256

ХРУЩЕВ и др.

Для периода полураспада относительно безней-

двойного бета-распада в рамках феноменологиче-

тринного распада формула имеет вид

ской (3 + 3)-модели нейтрино. Численно исследо-

ваны свойства этих характеристик при тестовых

m2e

T0ν1/2 =

(6)

значениях параметров модели. Все расчеты вы-

G0νg4A |M0νm_ββ|²

полнены для случая нормальной иерархии спек-

тра масс активных нейтрино с учетом возмож-

Здесь G0ν — фактор фазового пространства,

ного нарушения CP-инвариантности в лептонном

M0ν — ядерный матричный элемент, а m_e — масса

секторе и для значения -π/2 для дираковской

электрона.

CP-фазы в U_PMNS матрице. В разд. 3 графиче-

ские зависимости вероятностей появления и ис-

Сейчас идет интенсивный поиск 0ν2β-распада,

чезновения электронных нейтрино и антинейтри-

и в процессе реализации находятся планы для

но, относящиеся как к ускорительной, так и к

ряда крупномасштабных экспериментов, таких как

SuperNEMO, LEGEND, EXO, CUPID-0 и т. д.

реакторной/галлиевой аномалиям соответственно,

представлены как функции отношения расстояния

⁸²Se является одним из перспективных стабиль-

от источника нейтрино к энергии нейтрино. Зна-

ных изотопов для этих исследований, который ис-

чительная разница вероятностных кривых нашей

пользуется в проектах CUPID-0 и SuperNEMO.

(3 + 3)-модели нейтрино от простых синусоидаль-

Таким образом, представляет большой интерес

ных кривых (3 + 1)-модели нейтрино, что хорошо

расчет характеристик двойного бета-распада⁸²Se.

видно на рис. 1, 2 и 3, есть один из основных

Именно для этого изотопа 2ν2β-распад впервые

результатов настоящей работы. Такое поведение

наблюдался в прямом эксперименте в 1987 г. В

вероятностей выживания и возникновения элек-

эксперименте NEMO-3, где 0.93 кг⁸²Se было

тронных нейтрино и антинейтрино может быть

использовано в качестве 2β-источника [50], были

причиной трудностей, связанных с достоверным

измерены полная и дифференциальная интенсив-

подтверждением нейтринных аномалий на малых

ности для двухнейтринного канала и была опре-

расстояниях. Кроме того, рассмотренная (3 + 3)-

делена нижняя граница для времени полураспада

модель нейтрино дает возможность описать дан-

безнейтринного перехода: T0ν1/2 > 2.5 × 10²³ лет. В

ные всех SBL-аномалий нейтрино с одинаковыми

модельными параметрами, то есть с одними и теми

установке CUPID-0, где фактически 5.53 кг⁸²Se

же параметрами смешивания и значениями масс,

участвуют при записи данных, был получен сле-

относящихся к эВ-стерильным нейтрино, что не

дующий результат [51-53]: T0ν1/2 > 2.4 × 10²⁴ лет.

может быть достигнуто в рамках простой (3 +

Расчет фазового коэффициента [54] и существу-

+ 1)-модели нейтрино. Таким образом, глобаль-

ющие модели ядерной структуры [55] приводят

ное самосогласованное описание данных для всех

к следующим выводам для⁸²Se: G0ν = 10.16 ×

SBL-аномалий на основе простой (3 + 1)-модели



_M0ν



_M0ν



× 10-15 лет-1,

= 2.64,

= 4.64.

нейтрино может оказаться невозможным.

min

max

Принимая во внимание приведенную выше оценку

Полученные результаты позволяют интерпрети-

ровать экспериментальные данные об осцилляци-

m_ββ, мы можем рассчитать значения T0ν1/2 для ста-

ях нейтрино и антинейтрино, которые допускают

бильного изотопа⁸²Se: {T0ν1/2}_min = 6.17 × 10²⁶ лет,

существование LNSD и MiniBooNE аномалий, а

{T0ν1/2}_max = 1.96 × 10²⁷ лет. Таким образом, необ-

также антинейтринной реакторной аномалии вме-

сте с галлиевой аномалией, как эффекты SNs.

ходимо значительно увеличить чувствительность

эксперимента по поиску безнейтринного двойно-

Наиболее многообещающим тестом для поиска

легких SNs является, как отмечалось выше, про-

го бета-распада⁸²Se. Новая крупномасштабная

верка существования галлиевой аномалии. В лю-

установка SuperNEMO [56], где планируется ис-

бом случае, экспериментальные данные по SBL-

пользовать до

100 кг 82Se, служит этой цели.

аномалиям должны обрабатываться отдельно для

Как отмечено выше, для оценки чувствительно-

каждой аномалии, а также отдельно для нейтрин-

сти планируемого эксперимента необходимо точ-

ных и антинейтринных данных для ускорительной

но определить энергетический спектр электронов,

аномалии.

возникающих в двухнейтринном канале, что будет

В разд. 4 получены оценки эффективных масс

сделано в Приложении А.

m_β и m_ββ электронного нейтрино с учетом вкладов

стерильных нейтрино, которые могут быть про-

верены в экспериментах по β-распаду и 0ν2β-

5. ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ

распаду, в частности, в экспериментах KATRIN,

В настоящей статье получены оценки вкладов

SuperNEMO и CUPID. Кроме того, анализ энер-

легких SNs как в осцилляции ANs на малых рас-

гетической структуры 2ν2β-распада⁸²Se, сделан-

стояниях, так и в характеристики безнейтринного

ный в Приложении А, приводит к выводу, что

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСЦИЛЛЯЦИЙ АКТИВНЫХ НЕЙТРИНО

257

dlnI/dε

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

ε, МэВ

Рис. 4. Распределение по энергии одного электрона в 2ν2β-распаде⁸²Se для механизмов HSD (штриховая кривая 1) и

SSD (сплошная кривая 2).

этот процесс можно рассматривать как виртуаль-

ядра [57, 58]. Для этого необходимо знать значения

ный двухступенчатый переход, который связыва-

модулей и фаз матричных элементов 〈0+f|

β^-||1+N 〉

ет начальное и конечное состояния через пер-

и 〈1+N |

β^-||0+i〉, гд

β^- = στ^-, которые содержатся

вое 1⁺-состояние промежуточного ядра (механизм

доминирования одного виртуального состояния —

в выражении для T2ν2β1/2:

SSD). Для⁸²Se это состояние есть возбужденное

[

(

)]-1

G4βg4A

1+1-состояние⁸²Br с E_x = 75 кэВ, поскольку кван-

T2ν2β

0+_i → 0+f

× (П.1)

товое число основного состояния брома-82 — это

1/2

32π⁷ ln 2

J^π = 5^-. В этой статье получены оценки периода

∫

полураспада для безнейтринных и двухнейтрин-

dε₁

dε₂

dω₁ ×

ных двойных бета-распадов⁸²Se соответственно

в разд. 4 и Приложении А. Измерение времени

полураспада T2ν2β1/2 позволяет рассчитать теоре-

× F(Z_f,ε₁)F(Z_f,ε₂)p₁ε₁p₂ε₂ω²¹ω²²A₀+.

тически значение ядерного матричного элемента

Выражение для A₀+ имеет вид

MF1 = 〈0+f|

β^-||1⁺¹〉, который еще не был определен



экспериментально из реакции перезарядки. В до-



∑



полнение вычисленное распределение по энергии

4A₀+



0+_f



β^-1+N

(П.2)



одного электрона даст возможность установить,

как это запланировано в проекте SuperNEMO,





²



какой механизм, SSD или HSD, является эффек-



× 1+N



β^-0+i (KN + LN)



тивным для канала с двумя нейтрино (см. рис. 4).



Это важно как для расчета неустранимого фона,



1∑



так и для оценки чувствительности эксперимента



0+_f



β^-1+N



по поиску безнейтринного двойного бета-распада



изотопа⁸²Se.



²





× 1



β^-0+i (KN - LN)



Приложение А

Здесь p₁, p₂ и ε₁, ε₂ соответственно есть импуль-

сы и энергии электронов, ω₁ и ω₂ = T + 2m_e -

АМПЛИТУДА ДВУХНЕЙТРИННОГО

- ε₁ - ε₂ - ω1 — энергии антинейтрино, T = E_i -

ДВОЙНОГО БЕТА-РАСПАДА СЕЛЕНА-82

- E_f - 2m_e = Q_ββ — полная кинетическая энер-

Проведем теоретические расчеты полной и

гия лептонов в конечном состоянии, а E_i(E_f ) —

дифференциальной интенсивностей 2ν2β-распада

масса родительского (дочернего) ядра. При этом

⁸²Se. Для расчета интенсивности двухнейтринных

F (Z_f , ε) является кулоновским фактором, учиты-

переходов необходимо провести суммирование по

вающим влияние электростатического поля ядра на

всем возможным 1⁺-состояниям промежуточного

испускаемые электроны, в то время как величины

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

258

ХРУЩЕВ и др.

K_N и L_N содержат энергетические знаменатели

16π²ft_ECft_β-

второго порядка теории возмущений:

3 ln 2(λ_C /c)H(T, 0+f)

K_N =

+ (П.3а)

10logftEC+logft

β-

μ_N + (ε₁ + ω₁ - ε₂ - ω₂)/2

= 2.997 × 10¹⁴ лет ×

H(T, 0

)

μ_N - (ε₁ + ω₁ - ε₂ - ω₂)/2

где

∫

L_N =

+ (П.3б)

μ_N + (ε₁ + ω₂ - ε₂ - ω₁)/2

H(T, 0+f) =

dε₁ ×

(П.6)

μ_N - (ε₁ + ω₂ - ε₂ - ω₁)/2

∫

где μ_N = E_N - (E_i + E_f )/2 и E_N — энергия N-го

dε₂

dω₁F (Z_f , ε₁) ×

1+-состояния промежуточного ядра.

Расчет ядерных матричных элементов

× F(Z_f,ε₂)p₁ε₁p₂ε₂ω²¹ω²²(K² + KL + L²).

〈0+f|

β^-||1+N 〉 и 〈1+N |

β^-||0+i〉 представляет собой

Значение log ft_β- хорошо известно из бета-

очень сложную теоретическую проблему

[59].

распада 100Tc и равно 4.59, что соответствует

В то же время можно предположить, что для

некоторых изотопов основной вклад в суммы

MF1 = 0.546. Определение log ft_EC из эксперимен-

по N в выражении (П.2) есть вклад основного

тов по изучению электронного захвата в¹⁰⁰Tc —

состояния промежуточного ядра в случае, если это

сложная экспериментальная задача. В настоящее

состояние имеет квантовое число J^π = 1⁺. Этот

время наиболее точное значение log ft_EC для

механизм двухнейтринного двойного бета-распада

захвата электрона в¹⁰⁰Tc было получено в [63], а

отвечает гипотезе о доминировании основного со-

именно, log ft_EC = 4.29+0.08-0.07.

стояния промежуточного ядра (механизм SSD —

доминирование одного состояния [60, 61]). Такая

При расчете времени полураспада

2ν2β-

перехода часто предполагается, что кинетические

ситуация возникает для¹⁰⁰Mo, где 2ν2β-переход

энергии испускаемых лептонов примерно рав-

с хорошей точностью можно рассматривать как

ны [57, 58, 64]. Тогда K ≈ L ≈ 2/μ. Эта ситуация

двухступенчатый процесс, который связывает

эквивалентна доминированию в выражении для

начальное (¹⁰⁰Mo) и конечное (¹⁰⁰Ru) состояния

T2ν2β1/2 тех вкладов, которые связаны с промежу-

процесса через основное 1⁺-состояние промежу-

точными состояниями ядра с высокими энергиями

точного ядра¹⁰⁰Tc. Ядерные матричные элементы

возбуждения (механизм HSD — доминирование

MI1 = 〈1^+g.s|

β^-||0+i〉 и MF1 = 〈0+f|

β^-||1^+g.s〉 можно

высоковозбужденных состояний). Как было пока-

найти по значениям силы перехода ft для захвата

зано в [65], такой подход, когда зависимостью K

электрона или одиночного процесса бета-распада.

и L от энергий лептонов пренебрегают, приводит

Здесь ft — это произведение фазового фактора и

к переоценке теоретического значения T2ν2β1/2.

времени полураспада соответствующего одиночно-

го β-процесса. Так,

В случае

0+ → 0^+g.s перехода в 100Мо эффект

√

составляет около 25%. Учет зависимости K и L

MI1 =

MF1 =

(П.4)

от энергии лептонов на основе механизма SSD

g_A ft_EC

g_A ft_β-

позволяет получить дифференциальную интенсив-

ность по энергии одного электрона P (ε) = d ln I/dε

где g_A = 1.27561, D =2π3 ln2

= 6288.6

с, G_β =

G²m5e

для

2ν2β-распада изотопа 100Mo [66, 67], что

соответствует данным NEMO-3 [68].

= G_F cosθ_C, G_F = 1.166378 × 10-5 ГэВ-2 и

cos θ_C = 0.97425.

В случае двойного бета-распада ⁸²Se основное

Если гипотеза SSD справедлива при условии,

состояние промежуточного ядра⁸²Br_g.s(5^-) име-

что квантовое число основного состояния проме-

ет массу на 423 кэВ меньше массы исходного

жуточного ядра есть J^π = 1⁺, то в этом случае

ядра⁸²Se. Виртуальный гамов-теллеровский пе-

интенсивность двухнейтринного перехода опреде-

реход возможен через первое возбужденное 1⁺-

ляется только интенсивностями отдельных бета-

состояние ядра⁸²Br с E_x = 75 кэВ. Соответствен-

процессов, которые характеризуются факторами

ft_β- и ft_EC, и не зависит от G_β и g_A [62]:

но, M(⁸²Se) - M(⁸²Br^∗, 1⁺¹) = 348 кэВ, и есть при-

чина полагать, что механизм SSD будет реализо-

T(2ν)

(0⁺ → 0⁺) =

(П.5)

ван для 2ν2β-распада⁸²Se.

1/2

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСЦИЛЛЯЦИЙ АКТИВНЫХ НЕЙТРИНО

259

Возбужденное состояние брома-82 (⁸²Br^∗, 1⁺¹)

сравнить полученные теоретические распределе-

с E_x = 75 кэВ было найдено в эксперименте по

ния с результатами измерений, которые будут вы-

полнены в эксперименте SuperNEMO.

реакции перезарядки⁸²Se(³He, t)⁸²Br [69], и это

состояние характеризуется большой силой гамов-

теллеровского перехода B(GT) = 0.338. Следует

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

отметить, что вышележащие возбужденные 1⁺¹-

C. Athanassopoulos et al. (LSND Collab.), Phys.

состояния брома-82 с E_x < 2 МэВ соответствуют

Rev. Lett. 77, 3082 (1996).

на порядок меньшим силам перехода. Тогда, ос-

A. Aguilar et al. (LSND Collab.), Phys. Rev. D 64,

новываясь на гипотезе SSD, вклад 1⁺¹-состояния

112007 (2001).

A. A. Aguilar-Arevalo et al. (MiniBooNE Collab.),

промежуточного ядра⁸²Br в сумму по N в выра-

Phys. Rev. Lett. 110, 161801 (2013).

жении (П.2) должен быть единственно учтен. Аль-

A. A. Aguilar-Arevalo et al. (MiniBooNE Collab.),

тернативно, если переход происходит через много

Phys. Rev. Lett. 121, 221801 (2018).

высших промежуточных возбужденных состояний,

Th. A. Mueller, D. Lhuillier, M. Fallot, A. Letourneau,

то механизм доминирования высоковозбужденных

S. Cormon, M. Fechner, L. Giot, T. Lasserre,

состояний (HSD) отвечает за 2ν2β-переход в⁸²Se.

J. Martino, G. Mention, A. Porta, and F. Yermia, Phys.

Выбор модели является важным физическим во-

Rev. C 83, 054615 (2011).

G. Mention, M. Fechner, Th. Lasserre, Th.

просом, поскольку он влияет на дифференциаль-

A. Mueller, D. Lhuillier, M. Cribier, and

ные интенсивности в двухнейтринном канале, а

A. Letourneau, Phys. Rev. D 83, 073006 (2011).

следовательно, на оценки фона. В пользу SSD под-

P. Huber, Phys. Rev. C 84, 024617 (2011); Phys. Rev.

хода указывают результаты измерений распреде-

C 85, 029901 (Erratum) (2012).

ления интенсивности по энергии одного электрона,

I. Alekseev, V. Belov, V. Brudanin, M. Danilov,

которые были проведены на установке NEMO-3

V. Egorov, D. Filosofov, M. Fomina, Z. Hons,

[50]. Также исследования, выполненные в экспери-

S. Kazartsev, A. Kobyakin, A. Kuznetsov,

менте CUPID-0, показывают, что SSD дает луч-

I. Machikhiliyan, D. Medvedev, V. Nesterov,

шее описание распределения по полной энергии

A. Olshevsky, N. Pogorelov, et al., Phys. Lett. B

электронов, чем HSD [53]. NEMO-3 и будущие

787, 56 (2018).

А. П. Серебров, В. Г. Ивочкин, Р. М. Самойлов,

детекторы SuperNEMO, состоящие из трекера и

А. К. Фомин, А. О. Полюшкин, В. Г. Зиновьев,

калориметра, имеют возможность восстановления

П. В. Неустроев, В. Л. Головцов, А. В. Черный,

полной топологии ββ-событий. Таким образом,

О. М. Жеребцов, М. Е. Чайковский, В. П. Марте-

точное статистическое исследование распределе-

мьянов, В. Г. Тарасенков, В. И. Алешин, А. Л. Пе-

ния по энергии одного электрона, чувствительное

телин, А. Л. Ижутов и др., Письма в ЖЭТФ 109,

к ядерному механизму, может быть использовано,

209 (2019)

[A. P. Serebrov et al., JETP Lett. 109,

чтобы различить два теоретических подхода [50].

213 (2019)].

10.

J. N. Abdurashitov et al. (SAGE Collab.), Phys. Rev.

Ядерный

матричный

элемент

MI1 =

C 80, 015807 (2009).

〈1⁺¹|

β^-||0+i〉 определяется из значения силы

11.

F. Kaether, W. Hampel, G. Heusser, J. Kiko, and

T. Kirsten, Phys. Lett. B 685, 47 (2010).

гамов-теллеровского перехода B(GT) = 0.338 [69]

12.

C. Giunti, M. Laveder, Y. F. Li, and H. W. Long, Phys.

согласно соотношению |M(GT)|2 = B(GT), что

Rev. D 88, 073008 (2013).

справедливо для 0⁺ → 0⁺ 2ν2β-перехода. Таким

13.

K. N. Abazajian, M. A. Acero, S. K. Agarwalla,

образом, MI1 = 0.581. Будет возможно определить

A. A. Aguilar-Arevalo, C. H. Albright, S. Antusch,

C. A. Arg ¨uelles, A. B. Balantekin, G. Barenboim,

значение матричного элемента MF1 = 〈0+f|

β^-||1⁺¹〉

V. Barger, P. Bernardini, F. Bezrukov, O. E. Bjaelde,

из исследования реакции перезарядки

⁸²Kr(d,

S. A. Bogacz, N. S. Bowden, A. Boyarsky, et al.,

arXiv: 1204.5379.

²He)⁸²Br, которое еще не завершено. Однако

14.

V. Barinov, B. Cleveland, V. Gavrin, D. Gorbunov, and

можно найти MF1 с помощью уравнений (П.1)

T. Ibragimova, Phys. Rev. D 97, 073001 (2018).

и (П.2) на основе значения T2ν2β1/2, полученного

15.

A. Diaz, C. A. Arg ¨uelles, G. H. Collin, J. M. Conrad,

and M. H. Shaevitz, arXiv: 1906.00045.

во время эксперимента NEMO-3. В случае SSD

16.

S. B ¨oser, C. Buck, C. Giunti, J. Lesgourgues,

механизма

2ν2β-распада

⁸²Se, T2ν2β1/2 = 9.39 ×

L. Ludhova, S. Mertens, A. Schukraft, and M. Wurm,

Prog. Part. Nucl. Phys. 111, 103736 (2020).

× 10¹⁹ лет [50]. Соответствующее значение MF1

17.

V. I. Lyashuk, JHEP 1906, 135 (2019).

составляет 0.23, с B(GT⁺) = 0.0529.

18.

В. В. Хрущев, С. В. Фомичев, О. А. Титов, ЯФ 79,

483 (2016)

[V. V. Khruschov, S. V. Fomichev, and

На рис. 4 представлены распределения по энер-

O. A. Titov, Phys. At. Nucl. 79, 708 (2016)].

гии одного электрона, соответствующие HSD и

19.

L. Canetti, M. Drewes, and M. Shaposhnikov, Phys.

SSD механизмам. Несомненно интересно будет

Rev. Lett. 110, 061801 (2013).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

260

ХРУЩЕВ и др.

20.

J. M. Conrad, C. M. Ignarra, G. Karagiorgi,

45.

M. Dentler,

A. Hern ´andez-Cabezudo, J. Kopp,

M. H. Shaevitz, and J. Spitz, Adv. High Energy Phys.

M. Maltoni, and T. Schwetz, JHEP 1711, 099 (2017).

2013, 163897 (2013).

46.

M. Danilov, J. Phys.: Conf. Ser. 1390, 012049 (2019).

21.

В. В. Хрущев, С. В. Фомичев, ЭЧАЯ 48, 962 (2017)

47.

S. Gariazzo, C. Giunti, M. Laveder, and Y. F. Li, Phys.

[V. V. Khruschov and S. V. Fomichev, Phys. Part.

Lett. B 782, 13 (2018).

Nucl. 48, 990 (2017)].

48.

M. Aker, K. Altenm ¨uller, M. Arenz, W.-J. Baek,

22.

В. В. Хрущев, А. В. Юдин, Д. К. Надёжин,

J. Barrett, A. Beglarian, J. Behrens, A. Berlev,

С. В. Фомичев, Письма в Астрон. журн.

41,

U. Besserer, K. Blaum, F. Block, S. Bobien,

286

(2015)

[V. V. Khruschov, A. V. Yudin,

B. Bornschein, L. Bornschein, H. Bouquet, T. Brunst,

D. K. Nadyozhin, and S. V. Fomichev, Astron.

et al., Eur. Phys. J. C 80, 264 (2020).

49.

M. Agostini et al. (GERDA Collab.), Science 365,

Lett. 41, 260 (2015)].

23.

M. L. Warren, G. J. Mathews, M. Meixner, J. Hidaka,

1445 (2019).

and T. Kajino, Int. J. Mod. Phys. A 31, 1650137

50.

R. Arnold, C. Augier, A. S. Barabash, A. Basharina-

(2016).

Freshville, S. Blondel, S. Blot, M. Bongrand,

24.

А. В. Юдин, Д. К. Надёжин, В. В. Хрущев,

D. Boursette, V. Brudanin, J. Busto, A. J. Caffrey,

С. В. Фомичев, Письма в Астрон. журн.

42,

S. Calvez, M. Cascella, C. Cerna, J. P. Cesar, et al.,

881

(2016)

[A. V. Yudin, D. K. Nadyozhin,

Eur. Phys. J. C 78, 821 (2018).

51.

O. Azzolini et al., Phys. Rev. Lett. 120, 232502

V. V. Khruschov, and S. V. Fomichev, Astron. Lett. 42,

800 (2016)].

(2018).

25.

С. М. Биленький, Б. М. Понтекорво, УФН 123, 181

52.

O. Azzolini et al., Phys. Rev. Lett. 123, 032501

(1977)

[S. M. Bilenky and B. M. Pontekorvo, Sov.

(2019).

53.

O. Azzolini et al., Phys. Rev. Lett. 123, 262501

Phys. Usp. 20, 776 (1977)].

26.

T. Schwetz, M. T ´ortola, and J. W. F. Valle, New

(2019).

J. Phys. 13, 063004 (2011).

54.

J. Kotila and F. Iachello, Phys. Rev. C 85, 034316

27.

J. Kopp, P. A. N. Machado, M. Maltoni, and

(2012).

T. Schwetz, JHEP 1305, 050 (2013).

55.

J. Barea, J. Kotila, and F. Iachello, Phys. Rev. C 91,

28.

S. Gariazzo, C. Giunti, M. Laveder, and Y. F. Li,

034304 (2015).

JHEP 1706, 135 (2017).

56.

R. Arnold et al., Eur. Phys. J. C 70, 927 (2010).

29.

S. M. Bilenky, Письма в ЭЧАЯ 12, 720 (2015)

57.

M. Doi, T. Kotani, and E. Takasugi, Prog. Theor.

[Phys. Part. Nucl. Lett. 12, 453 (2015)].

Phys. Suppl. 83, 1 (1985).

30.

M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev.

58.

J. Suhonen and O. Civitarese, Phys. Rep. 300, 123

D 98, 030001 (2018).

(1998).

31.

W. Rodejohann, Int. J. Mod. Phys. E 20, 1833 (2011).

59.

A. Faessler and F.

Šimkovic, J. Phys. G 24, 2139

32.

A. S. Barabash, AIP Conf. Proc. 2165, 020002

(1998).

(2019).

60.

J. Abad, A. Morales, R. N ´u ˜nez-Lagos, and

33.

M. Aker et al. (KATRIN Collab.), Phys. Rev. Lett.

A. F. Pacheco, J. Phys. Colloq. 45, C3-147 (1984).

123, 221802 (2019).

61.

O. Civitarese and J. Suhonen, Phys. Rev. C 58, 1535

34.

I. Esteban, M. C. Gonzalez-Garcia, M. Maltoni,

(1998).

I. Martinez-Soler, and T. Schwetz, JHEP 1701, 087

62.

S. V. Semenov, F.

Šimkovic, and P. Domin, Part. Nucl.

(2017).

Lett. 109, 26 (2001).

35.

S. T. Petcov, I. Girardi, and A. V. Titov, Int. J. Mod.

63.

S. K. L. Sjue, D. Melconian, A. Garc

ia, I. Ahmad,

Phys. A 30, 1530035 (2015).

36.

S. Wang, Y.-F. Wang, and D.-M. Xia, Chin. Phys. C

A. Algora, J.

Ayst ¨o, V.-V. Elomaa, T. Eronen,

42, 065103 (2018).

J. Hakala, S. Hoedl, A. Kankainen, T. Kessler,

37.

K. Abe et al. (The T2K Collab.), Phys. Rev. D 96,

I. D. Moore, F. Naab, H. Penttil ¨a, S. Rahaman, et al.,

092006 (2017); Phys. Rev. D 98, 019902 (Erratum)

Phys. Rev. C 78, 064317 (2008).

(2018).

64.

W. C. Haxton and G. J. Stephenson, Jr., Prog. Part.

38.

V. V. Khruschov and S. V. Fomichev, Int. J. Mod.

Nucl. Phys. 12, 409 (1984).

Phys. A 34, 1950175 (2019).

65.

S. V. Semenov, F.

Simkovic, V. V. Khruschev, and

39.

S. T. Petkov, arXiv: 1910.09331.

P. Domin, ЯФ 63, 1271 (2000) [Phys. At. Nucl. 63,

40.

M. Dentler,

A. Hern ´andez-Cabezudo, J. Kopp,

1196 (2000)].

P. Machado, M. Maltoni, I. Martinez-Soler, and

66.

F.Simkovic, P. Domin, and S. V. Semenov, J. Phys. G

T. Schwetz, JHEP 1808, 010 (2018).

27, 2233 (2001).

41.

M. Blennow and A. Yu. Smirnov, Adv. High Energy

67.

P. Domin, S. Kovalenko, F.

Šimkovic, and

Phys. 2013, 972485 (2013).

S. V. Semenov, Nucl. Phys. A 753, 337 (2005).

42.

M. Maltoni and T. Schwetz, Phys. Rev. D 76, 093005

68.

Yu. A. Shitov (on behalf of NEMO Collab.), ЯФ 69,

(2007).

2135 (2006) [Phys. At. Nucl. 69, 2090 (2006)].

43.

S. Palomares-Ruiz, S. Pascoli, and T. Schwetz,

69.

D. Frekers, M. Alanssari, T. Adachi, B. T. Cleveland,

JHEP 0509, 048 (2005).

M. Dozono, H. Ejiri, S. R. Elliott, H. Fujita, Y. Fujita,

44.

G. Karagiorgi, A. Aguilar-Arevalo, J. M. Conrad,

M. Fujiwara, K. Hatanaka, M. Holl, D. Ishikawa,

M. H. Shaevitz, K. Whisnant, M. Sorel, and

V. Barger, Phys. Rev. D 75, 013011 (2007); Phys.

H. Matsubara, H. Okamura, P. Puppe, et al., Phys.

Rev. D 80, 099902 (Erratum) (2009).

Rev. C 94, 014614 (2016).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСЦИЛЛЯЦИЙ АКТИВНЫХ НЕЙТРИНО

261

ACTIVE NEUTRINOS’ OSCILLATIONS AND DOUBLE-BETA-DECAY

CHARACTERISTICS WITH THE STERILE NEUTRINOS CONTRIBUTIONS

V. V. Khruschov¹⁾, S. V. Fomichev¹⁾, S. V. Semenov¹⁾

¹⁾National Research Center “Kurchatov Institute”, Moscow, Russia

Light sterile neutrinos’ contributions for both active neutrinos oscillations and double-beta-decay

characteristics are estimated in the framework of the phenomenological model with three active and three

sterile neutrinos assuming the Majorana nature of neutrino. Appearance and survival probabilities for active

neutrinos with contributions of sterile neutrinos are obtained for explanations of all known anomalies of

neutrino data at small distances at the same test values of the model parameters. Modified graphical

dependences are presented for both the survival probability of electron neutrinos/antineutrinos and the

probability of appearance of electron neutrinos/antineutrinos in muon neutrino/antineutrino beams as

functions of distance and other model parameters at different neutrino energies, and also as functions of the

ratio of the distance to the neutrino energy. A significant difference was found between the probability curves

of the considered neutrino model and the simple sinusoidal curves of the neutrino model with only one

sterile neutrino. Effective masses of electron neutrino for the beta decay and the neutrinoless double beta

decay are estimated with account of the sterile neutrinos’ contributions. Besides, the two-neutrino double-

beta-decay characteristics for selenium-82 are calculated. These findings can be used for interpretation

and prediction of results of ground-based experiments on search for the sterile neutrinos as well as the

neutrinoless double beta decay.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№3

2021