ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 4, с. 290-297

ЯДРА

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РАЗНЫХ СПОСОБОВ УЧЕТА

КУЛОНОВСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ

АСИМПТОТИЧЕСКИХ НОРМИРОВОЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

В РАМКАХ ТОЧНО РЕШАЕМОЙ МОДЕЛИ

Поступила в редакцию 25.12.2020 г.; после доработки 25.12.2020 г.; принята к публикации 25.12.2020 г.

Показано, что уравнение Шредингера для суммы потенциала прямоугольной ямы и кулоновского

потенциала однородно заряженного шара допускает аналитическое решение при произвольных

значениях орбитального углового момента. Найден явный вид этого решения. С использованием

полученного решения исследовано влияние кулоновского взаимодействия как для точечного, так

и для распределенного заряда ядра на значения асимптотических нормировочных коэффициентов

для различных ядерных систем. Показано, что учет неточечности распределения заряда ядра мало

влияет на рассчитываемые значения асимптотических нормировочных коэффициентов при условии,

что энергия связи системы считается фиксированной.

DOI: 10.31857/S0044002721040097

1. ВВЕДЕНИЕ

для точечных зарядов имеет вид V = Z₁Z₂e²/r для

всех значений r. Здесь Z_ie — заряд частицы i, r —

Асимптотические нормировочные коэффициен-

расстояние между центрами масс сталкивающихся

ты (АНК) определяют асимптотику ядерных вол-

частиц. Однако при анализе данных по сечениям

новых функций в бинарных каналах при рассто-

ядерных реакций в рамках метода искаженных

яниях между фрагментами, превышающих радиус

волн зачастую учитывается неточечность распре-

ядерного взаимодействия. В терминах АНК па-

деления электрического заряда в ядре; при этом

раметризуются сечения периферических ядерных

в качестве кулоновского взаимодействия, как пра-

процессов, таких как реакции с заряженными ча-

вило, берется потенциал равномерно заряженного

стицами при низких энергиях, когда из-за куло-

шара. Поскольку метод искаженных волн часто ис-

новского барьера реакция происходит на боль-

пользуется для получения информации об АНК [3],

ших расстояниях между фрагментами. Важнейшим

возникает вопрос о влиянии неточечности заряда

классом таких процессов являются астрофизиче-

ядра на значения АНК. Для краткости ниже мы

ские ядерные реакции, протекающие в ядрах звезд,

будем называть кулоновский потенциал для точеч-

включая Солнце. Важная роль АНК в ядерной

ного заряда и для равномерно заряженного шара

астрофизике была впервые отмечена в работах

точечным и неточечным кулоновским взаимодей-

[1, 2], в которых было показано, что АНК опреде-

ствием соответственно.

ляют общую нормировку сечений периферических

В работах [5-7], наряду с нахождением значе-

реакций радиационного захвата (см. также работы

ний АНК из данных по фазовым анализам, про-

[3, 4]).

водилось исследование качественных кулоновских

эффектов в низкоэнергетическом упругом рассея-

При извлечении значений АНК из данных по

нии. При этом в качестве ядерного взаимодействия

фазовым сдвигам упругого рассеяния оказывается

выбирался потенциал прямоугольной ямы, кото-

очень важным учет эффектов кулоновского вза-

рый, в отличие от других видов потенциала, поз-

имодействия между сталкивающимися частицами

воляет, в суперпозиции с точечным кулоновским

при энергиях вблизи нуля (см., например, [5, 6]).

взаимодействием, получить аналитическое реше-

Эти эффекты связаны с дальнодействующим ха-

ние уравнения Шредингера для произвольных зна-

рактером кулоновского взаимодействия, которое

чений орбитального углового момента l. В данной

работе показано, что аналитическое решение урав-

¹⁾Институт ядерной физики имени Д. В. Скобельцына Мос-

ковского государственного университета имени М. В. Ло-

нения Шредингера при произвольных значениях

моносова, Москва, Россия.

l удается получить и для комбинации потенциала

^*E-mail: blokh@srd.sinp.msu.ru

прямоугольной ямы и кулоновского потенциала

290

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РАЗНЫХ СПОСОБОВ

291

однородно заряженного шара. В рамках этой точно

0≤r<R_c,

решаемой задачи мы исследуем влияние кулонов-

ского взаимодействия на значения АНК как для

V (r) = -V₀ + α/r, R_c ≤ r < R,

(3)

точечного, так и для распределенного электриче-

ского заряда ядра. Отметим, что влияние точечного

V (r) = α/r, r ≥ R,

(4)

кулоновского взаимодействия на значения АНК

обсуждалось в рамках двухчастичной потенциаль-

где α = Z_bZ_ce². Мы рассматриваем связанное со-

ной модели с сепарабельным s-волновым взаимо-

стояние a частиц b и c с энергией E = -ε =

действием в работе [8] на примере ядер³H и³He.

= -κ²/2μ, κ — волновое число связанного состо-

Следует подчеркнуть, что при рассмотрении

яния, μ — приведенная масса b и c.

процессов при низких энергиях, которые нас инте-

При r ≤ R_c χ_l(r) = a₁ϕ₁(r); вид ϕ₁(r) обсуж-

ресуют, результаты не чувствительны к детальной

дается ниже в разд. 2.2. В области R_c ≤ r < R

структуре ядерного потенциала на расстояниях r ≪

χ_l(r) = a₂ϕ₂(r) + a₃ϕ₃(r), где ϕ₂(r) и ϕ₃(r) —

≪ 1/k, где k — относительный импульс взаимо-

регулярное и нерегулярное кулоновские реше-

действующих частиц [9]. Поэтому полученные в

ния, отвечающие энергии

E₌ V₀ - ε. Наконец,

данной работе выводы, особенно качественные, не

при r ≥ R χ_l(r) = a₄W-η,l+1/2(2κr), W_β,γ(z) —

должны зависеть от конкретной формы сильного

функция Уиттекера, η = αμ/κ — кулоновский

взаимодействия, будь то прямоугольная яма, по-

параметр. Асимптотика W-η,l+1/2(2κr) при r → ∞

тенциал Вудса-Саксона или что-нибудь другое.

имеет вид:

Статья организована следуюшим образом. В

разд. 2 излагается общий формализм задачи. Раз-

W-η,l+1/2(2κr)|_r→∞ = e-κr/(2κr)^η.

(5)

дел 3 посвящен применению этого формализма для

Константы a_i (i = 1-4) и энергия связи ε находят-

анализа влияния различных форм кулоновского

ся из условий сшивки (непрерывности) значений и

взаимодействия на значения АНК для конкретных

первых производных функции χ_l(r) в точках r = R_c

ядерных систем. Полученные результаты кратко

и r = R и условия нормировки

обсуждаются в разд. 4.

∞

∫

В статье используется система единиц, в кото-

рой ℏ = c =1.

χ2l(r)dr = 1.

(6)

2. ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ

Подчеркнем, что по определению константа a₄

совпадает с искомым АНК.

2.1. Вид взаимодействия и структура решения

уравнения Шредингера

В частном случае R_c = R вторая область вы-

рождается в точку, и сшивка проводится в одной

Мы исследуем АНК для разбиения связанного

точке r = R.

состояния ядра a на два фрагмента b и c (a →

→ b + c). Конкретно в качестве легкого фрагмента

c будут рассматриваться протон или α-частица.

2.2. Решения уравнения Шредингера

Кулоновское взаимодействие между b и c описыва-

для суперпозиции потенциалов прямоугольной

ется потенциалом равномерно заряженного шара

ямы и однородно заряженного шара

радиуса R_c, а также, для сравнения, точечным

кулоновским потенциалом, что формально отве-

ϕ₁(r) есть решение уравнения Шредингера с

чает R_c = 0. В качестве ядерного взаимодействия

потенциалом (2), которое может быть записано в

выбирается притягивающая прямоугольная яма с

виде

{ (

)

глубиной V₀ и радиусом R. Подбор параметров

d²ϕ1

3α

потенциала описан в разд. 3. В соответствии с вы-

2μ E + V₀ -

(7)

dr²

2R_c

водами работ [10, 11] будем, не нарушая общности,

}

считать, что R_c ≤ R.

μα

l(l + 1)

r² -

ϕ₁ = 0.

Задача нахождения АНК сводится к нахожде-

R3c

r²

нию координатной асимптотики решения радиаль-

По форме радиальной зависимости взаимодей-

ного уравнения Шредингера

[

]

ствия это уравнение сходно с уравнением для по-

d²χl

l(l + 1)

тенциала трехмерного гармонического осциллято-

+ 2μE - 2μV (r) -

χ_l = 0

(1)

ра, имеющим вид:

dr²

r²

[

]

для потенциала, имеющего вид:

d²χ_l

l(l + 1)

+ 2μE - μ²ω²r² -

χ₁ = 0.

(8)

dr²

r²

V (r) = -V₀ + α(3 - r²/R2c)/(2R_c),

(2)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

292

БЛОХИНЦЕВ, САВИН

Однако принципиальное различие между уравне-

потенциал однородно заряженного шара. Прово-

ниями (7) и (8) состоит в противоположных знаках

дятся также расчеты в пренебрежении кулонов-

слагаемых, пропорциональных r². Нам не удалось

ским взаимодействием. Рассматриваются системы

найти в литературе явный вид решения уравнения

как с малыми, так и с большими значениями энер-

(7). Можно, однако, поступить следующим обра-

гии связи ε и кулоновского параметра η. Посколь-

ку основной целью работы является исследование

зом. Решение (8), которое при r → 0 ведет себя как

качественных закономерностей, а не определение

rl+1, известно [12]:

значений АНК с высокой точностью, то для упро-

χ_l(r) =

(9)

щения расчетов значения радиусов заряженного

)

]

шара и прямоугольной ямы предполагаются совпа-

^[1⁽

=C₁₁F₁

-ν

,l+

; λr²

e-2 r²rl+1,

дающими: R_c = R.

Помимо определенного выше АНК, который

имеет размерность фм-1/2 и который мы будем

λ = μω, ν =

обозначать буквой C, в литературе, в первую оче-

редь, при микроскопических расчетах АНК ис-

где 1F1(a, b; z) — вырожденная гипергеометриче-

пользуется также безразмерный АН

C, связан-

ская функция. Уравнение (7) получается из (8)

√

формальной заменой:

ный с АНК C соотношением C =

C. Отметим

также, что при больших зарядах Z и/или малых

3α

E→E+V₀ -

(10)

значениях энергии связи ε и, соответственно, боль-

2R_c

ших значениях кулоновского параметра η значения

√

АНК C могут быть очень большими, что объяс-

ω² → -

ω→i

няется наличием барьерного кулоновского фактора

μR3c

μR_c R_c

Γ(l + 1 + η)/l!. В связи с этим в работе [13] для

Поэтому, ввиду аналитической зависимости реше-

удобства расчетов был введен перенормированный

ния (9) от своих параметров, примем, что решение

АНК C_r, не содержащий этого фактора: C_r =

уравнения (7) может быть получено из выражения

= l!/Γ(l + 1 + η)C. Использование C_r вместо C

(9) заменой

облегчает также сравнение значений АНК для зер-

√

(

)

кальных ядер [13]. Отметим, что величина C_r непо-

μR_c

3α

средственно связана с вычетом перенормирован-

ν → ν = -i

R_c E + V₀ -

(11)

2R_c

ной кулоновско-ядерной парциальной амплитуды

упругого рассеяния [14]. Для всех рассмотренных

^√μα 1

λ→λ=i

ниже систем нами были рассчитаны и представле-

R_c R_c

ны в виде таблиц значения АНК C

C, C_r, а также

√

Полученное таким образом решение ξ(r) регулярно

C_r = C_r/

2κ.

в нуле, но комплексно, а нам для связанного со-

Расчеты АНК проводились для пяти различных

стояния нужно действительное решение. Так как в

вариантов.

(7) все коэффициенты действительны, то, если при

1. (Вариант 1). Значения параметров V₀ и R под-

Imr = 0 функция ξ(r) есть решение, то и ξ^∗(r) тоже

бирались так, чтобы при использовании точечного

есть решение и, следовательно, Reξ(r) и Imξ(r)

кулоновского потенциала вопроизвести экспери-

также являются решениями. Поэтому в качестве

ментальное значение энергии связи ε и известное

нужной нам функции ϕ₁(r) можно взять

из литературы значение АНК C для данного канала

a → b + c.

ϕ₁(r) =

(12)

2. (Вариант 2). При тех же значениях V₀ и R,

{

)

}

⁽1

что и в варианте 1, кулоновское взаимодействие

= Re₁F₁

(l +

- ν), l +

;λr²

e-2 r² rl+1

бралось в виде потенциала однородно заряженного

шара. Рассчитанное значение ε при этом, есте-

ственно, изменялось.

3. (Вариант 3). При том же значении R, что и в

3. РАСЧЕТЫ АНК ДЛЯ КОНКРЕТНЫХ

варианте 1, и использовании потенциала однородно

ЯДЕРНЫХ СИСТЕМ

заряженного шара значение V₀ подбиралось так,

В данном разделе в рамках изложенной выше

чтобы вопроизвести экспериментальное значение

схемы проводятся сравнительные расчеты АНК

ε. Цель такого действия — исключить влияние из-

для конкретных ядерных систем. Ядерное взаимо-

менения энергии связи на значения АНК.

действие описывается потенциалом прямоугольной

4. (Вариант 4). При тех же значениях V₀ и R, что

ямы. В качестве кулоновского взаимодействия ис-

и в варианте 1, кулоновское взаимодействие вы-

пользуется как потенциал точечного заряда, так и

ключалось. Рассчитанное значение ε изменялось.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РАЗНЫХ СПОСОБОВ

293

5. (Вариант 5). При том же значении R, что и

3.2. АНК для¹⁶O →¹²C + α

в варианте 1, и выключенном кулоновском взаи-

Для перехода¹⁶O →¹²C + α из основного со-

модействии значение V₀ подбиралось так, чтобы

стояния¹⁶O значение АНК в литературе отсут-

вопроизвести экспериментальное значение ε.

ствует. Поэтому в качестве исходного ядра мы

Во всех проведенных расчетах предполагалось,

рассмотрели два возбужденных состояния 16O:

что дочернее ядро b находится в основном состоя-

0+(6.049 МэВ) (l = 0) и 1^-(7.117 МэВ) (l = 1).

нии.

Экспериментальные значения энергии связи в ка-

3.1. АНК для¹⁷F →¹⁶O + p

нале¹²C + α для этих состояний равны 1.113 МэВ

и 0.045 МэВ соответственно.

Ядро¹⁷F имеет два связанных состояния: ос-

В случае возбужденного

0+-состояния для

новное состояние¹⁷F(5/2⁺; осн) (l = 2) и воз-

определения V₀ и R в рамках первого варианта

бужденное состояние¹⁷F^∗(1/2⁺; 0.495 МэВ) (l =

расчетов, помимо энергии связи ε = 1.113 МэВ,

= 0). Для основного состояния ε = 0.6005 МэВ. В

использовалось значение C = 1560 фм-1/2 [18].

качестве АНК C для этого состояния, используе-

Получено V₀ = 18.07 МэВ и R = 4.903 фм. При

мого в варианте 1 для подгонки значений V₀ и R,

этих значениях параметров, помимо рассмат-

было принято значение C = 1.042 фм-1/2, взятое

риваемого состояния, в системе имеется еще и

из работы [15]. Эти значения ε и C приводят к

более глубокое 0⁺-состояние, ассоциирующееся

значениям V₀ = 30.46 МэВ и R = 4.238 фм.

с основным состоянием ¹⁶O. Результаты расчетов

Результаты расчетов представлены в табл. 1.

представлены в табл. 4.

Для возбужденного состояния¹⁷F^∗(0.495 МэВ)

Для 1^--состояния в качестве исходного зна-

ε = 0.1052 МэВ. В качестве АНК C для расчетов

чения бралось C = 2.10 × 10¹⁴ фм-1/2 [18]. Это

в варианте 1 возьмем C = 77.33 фм-1/2, что сов-

значение АНК вместе с ε = 0.045 МэВ приводит к

падает с одним из значений, полученных в [16] из

V₀ = 12.61 МэВ, R = 3.892 фм. Результаты расче-

анализа реакции¹⁶O(³He, d)¹⁷F в рамках метода

тов представлены в табл. 5.

искаженных волн. Этим значениям ε и C для вари-

анта 1 отвечают значения V₀ = 8.2691 МэВ и R =

3.3. АНК для¹⁶O →¹⁵N + p

= 4.984 фм. Результаты расчетов представлены в

табл. 2.

В рассмотренных выше примерах изучались

Заметим, что в рамках модели оболочек обсуж-

слабо связанные системы (ε ≤ 1.2 МэВ). Для срав-

нения проведем теперь аналогичное исследование

даемое возбужденное состояние¹⁷F может быть

записано как 2s1/2, т.е. в потенциале модели оболо-

для канала¹⁶O(осн) →¹⁵N + p с большой энерги-

ей связи (ε = 12.13 МэВ, l = 1). Для определения

чек имеется более низкое по энергии 1s-состояние.

параметров V₀ и R было использовано значение

В подобных случаях при описании реальных ядер-

ных состояний часто используются потенциалы с

АНК C = 13.86 фм-1/2 [19], что приводит к зна-

запрещенными состояниями. В работе [17] бы-

чениям V₀ = 33.47 МэВ, R = 4.119 фм. Рассчитан-

ло показано, что в рамках потенциальной модели

ные значения АНК приведены в табл. 6.

значения АНК, рассчитанные при фиксированной

энергии связи, могут заметно зависеть от числа

3.4. АНК для²⁰⁹Bi →²⁰⁸Pb + p

учитываемых запрещенных состояний. В этой свя-

В качестве последнего примера рассмот-

зи для исследования влияния запрещенных состо-

рим АНК для канала с большим значением Z:

яний на кулоновские эффекты при определении

²⁰⁹Bi(осн) →²⁰⁸Pb + p. Для этого процесса ε =

АНК нами были проведены расчеты, отличающи-

= 3.799 МэВ, l = 5, но значение АНК неизвестно.

еся от расчетов, представленных в табл. 2, тем, что

Поэтому действуем иначе, чем в предыдущих

при определении потенциальных параметров V₀ и R

случаях. А именно, выбираем в качестве R

в варианте 1 предполагалось, что в используемом

значение 7.418 фм, полученное по формуле R =

потенциале, помимо s-состояния с эксперимен-

тальной энергией связи, имеется еще одно ниже

= r₀A1/3 при r₀ = 1.25 фм. После этого значение

расположенное (запрещенное) s-состояние. Это

V₀ при данном значении R подгоняется по энергии

предположение приводит к подогнанным в вари-

связи, что приводит к V₀ = 51.29 МэВ. При этих

анте 1 значениям V₀ = 32.06 МэВ, R = 4.658 фм.

значениях V₀ и R рассчитанное значение АНК C

Этим значениям параметров отвечает энергия свя-

равно 0.1158 × 10⁸ фм-1/2. Разумеется, авторы не

зи запрещенного состояния 20.17 МэВ.

претендуют на хорошее совпадение этого значения

Результаты расчетов АНК для возбужденного

C с реальным АНК для рассматриваемого канала;

состояния¹⁷F при наличии запрещенного состоя-

оно используется лишь для качественной оценки

ния приведены в табл. 3. Из сравнения табл. 2 и 3

кулоновских эффектов.

видно, что их результаты качественно совпадают.

Результаты расчетов представлены в табл. 7.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

294

БЛОХИНЦЕВ, САВИН

Таблица 1. АНК для¹⁷F(осн) →¹⁶O + p

Вариант

V₀, МэВ

ε, МэВ

C, фм-1/2

C_r, фм-1/2

C_r

30.46

1.583

0.6005

1.042

1.8142

0.1596

0.2779

30.46

1.271

0.9310

1.0808

1.6860

0.2537

0.3958

30.07

1.583

0.6005

1.0337

1.7995

0.1583

0.2756

30.46

3.9351

0.9010

0.9803

0.9010

0.9803

25.76

0.6005

0.0955

0.1663

0.0955

0.1663

Таблица 2. АНК для¹⁷F^∗(0.495 МэВ) →

¹⁶O + p

Вариант

V₀, МэВ

ε, МэВ

C, фм-1/2

C_r, фм-1/2

C_r

8.2691

3.782

0.1052

77.33

208.08

4.452

11.980

8.2691

1.300

0.8898

6.23

9.82

5.337

8.420

7.1838

3.782

0.1052

73.41

197.55

4.227

11.373

8.2691

3.6052

2.92

3.2445

2.920

3.2445

2.8663

0.1052

0.4438

1.1943

0.4438

1.1943

Таблица 3. АНК для¹⁷F^∗(0.495 МэВ) →

¹⁶O + p при наличии запрещенного состояния

Вариант

V₀, МэВ

ε, МэВ

C, фм-1/2

C_r, фм-1/2

C_r

32.06

3.782

0.1052

77.33

208.08

4.452

11.980

32.06

0.7956

2.376

7.6700

9.466

8.245

10.177

28.62

3.782

0.1052

77.357

208.16

4.454

11.984

32.06

5.294

4.890

4.930

4.890

4.940

23.33

0.1052

0.4449

1.197

0.4449

1.197

Таблица 4. АНК для¹⁶O^∗(1.113 МэВ) →

¹²C + α

Вариант

V₀, МэВ

ε, МэВ

C, фм-1/2

C_r, фм-1/2

C_r

18.07

3.103

1.113

1560

1745

228

255

18.07

1.450

4.767

817

635

615

478

13.97

3.103

1.113

1472.17

1646

215.3

240.75

18.07

9.272

117.6

77.44

117.6

77.44

8.591

1.113

3.442

3.850

3.442

3.850

4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ

быть получено в аналитическом виде при произ-

И ВЫВОДЫ

вольных значениях орбитального углового момен-

В данной работе показано, что для комбинации

та l. Найден явный вид этого решения. В рамках

потенциала прямоугольной ямы и кулоновского

этой точно решаемой задачи мы исследовали на

потенциала однородно заряженного шара, который

примере конкретных ядер влияние кулоновского

часто используется в расчетах по методу искажен-

взаимодействия на значения АНК как для точеч-

ных волн, решение уравнения Шредингера может

ного, так и для распределенного электрического

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РАЗНЫХ СПОСОБОВ

295

Таблица 5. АНК для¹⁶O^∗(0.045 МэВ) →¹²C + α

Вариант

V₀, МэВ

ε, МэВ

C, фм-1/2

C_r, фм-1/2

C_r

12.61

15.43

0.045

2.10 × 10¹⁴

5.24 × 10¹⁴

2.973

7.415

12.61

3.359

0.950

639.2

743.7

15.31

17.81

11.54

15.43

0.045

1.95 × 10¹⁴

4.87 × 10¹⁴

2.763

6.892

12.61

6.261

14.28

10.37

14.28

10.37

4.652

0.045

0.1518

0.3788

0.1518

0.3788

Таблица 6. АНК для¹⁶O(осн) →¹⁵N + p

Вариант

V₀, МэВ

ε, МэВ

C, фм-1/2

C_r, фм-1/2

C_r

33.47

0.3076

12.13

13.86

11.39

11.83

9.721

33.47

0.2997

12.77

14.56

11.81

12.48

10.13

32.74

0.3076

12.13

13.58

11.16

11.58

9.522

33.47

15.71

11.21

8.635

11.21

8.635

29.38

12.13

7.408

6.089

7.408

6.089

Таблица 7. АНК для²⁰⁹Bi →²⁰⁸Pb + p

Вариант

V₀, МэВ

ε, МэВ

C, фм-1/2

C_r, фм-1/2

C_r

51.29

6.634

3.799

1.158 × 10⁷

1.253 × 10⁷

7.282

7.881

51.29

5.739

5.075

0.2804 × 10⁷

0.2823 × 10⁷

15.90

16.00

49.92

6.634

3.799

1.102 × 10⁷

1.192 × 10⁷

6.928

7.498

51.29

23.49

166.3

114.11

166.3

114.1

29.86

3.799

0.2537

0.2746

0.2537

0.2746

заряда ядра. Были рассмотрены системы с раз-

С АНК ситуация более сложная. Их значения

личными значениями энергии связи, кулоновского

в значительной мере определяются асимптотикой

параметра и орбитального углового момента.

радиальной волновой функции, которая в соответ-

ствии с (5) имеет вид

В дальнейшем мы будем отмечать величину,

отвечающую i-му варианту расчета, индексом i.

χ_l(r)|_r→∞ = Ce-κr/(2κr)^η.

(13)

Анализ результатов расчетов начнем с энер-

В отсутствие кулоновского взаимодействия (η =

гий связи. Из данных, приведенных в таблицах,

= 0) с увеличением энергии связи и, следовательно,

следует, что для всех рассмотренных примеров в

величины κ скорость убывания асимптотики (13) с

случае, когда энергия связи не фиксируется, име-

ростом r увеличивается, что в силу сохранения об-

ем ε₁ < ε₂ < ε₄ (и, соответственно, η₁ > η₂ > η₄).

щей нормировки волновой функции должно, вооб-

Этот результат тривиален, так как учет отталкива-

ще говоря, приводить к увеличению АНК C. Этот

тельного кулоновского взаимодействия эффектив-

вывод заведомо справедлив в часто использумом

но ослабляет притягивающий ядерный потенциал,

приближении эффективного радиуса, для которого

а переход от точечного к распределенному заря-

√

ду при сохранении полного заряда эквивалентен

C =

2κ/(1 - κr_e), где r_e — эффективный ради-

ослаблению кулоновского взаимодействия, так как

ус (см., например, [20]). АНК C растет с ростом

кулоновский потенциал внутри заряженного шара

κ также и для системы, описываемой известным

слабей потенциала точечного заряда.

потенциалом Хюльтена, для которого уравнение

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

296

БЛОХИНЦЕВ, САВИН

Шредингера допускает аналитическое решение при

Авторы благодарны С.Ю. Игашову, О.А. Руб-

l = 0 [21].

цовой и В.А. Ходыреву за полезные обсуждения.

При включении кулоновского взаимодействия

Работа поддержана Российским фондом фунда-

зависимость АНК от энергии связи усложняет-

ментальных исследований, грант 19-02-00014.

ся, так как при изменении ε множители e-κr и

(2κr)^-η в правой части (13) могут меняться в про-

тивоположных направлениях. Так, например, для

суммы потенциала нулевого радиуса и точечного

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

кулоновского потенциала, пользуясь формулами

А. М. Мухамеджанов, Н. К. Тимофеюк, ЯФ 51, 679

работы [8], можно получить явное аналитическое

(1990).

√

выражение для АНК C в виде C =

C(η), где

H. M. Xu, C. A. Gagliardi, R. E. Tribble, et al., Phys.

C(η) — быстро растущая функция параметра η,

Rev. Lett. 73, 2027 (1994).

C(0) = 1. При фиксированных значениях зарядов

A. M. Mukhamedzhanov and R. E. Tribble, Phys. Rev.

C 59, 3418 (1999).

и масс с ростом ε величины η и

C(η) уменьша-

A. M. Mukhamedzhanov, C. A. Gagliardi, and

ются, однако АНК C может увеличиться за счет

√

R. E. Tribble, Phys. Rev. C 63, 024612 (2001).

множителя

2κ. В рассмотренных нами приме-

L. D. Blokhintsev, A. S. Kadyrov, A. M. Mukha-

рах подобная ситуация наблюдается для систем с

medzhanov, and D. A. Savin, Phys. Rev. C 97, 024602

малыми значениями η, представленными в табл. 1

(2018).

и 6, для которых переход от точечного заряда к

L. D. Blokhintsev, A. S. Kadyrov, A. M. Mukha-

распределенному слегка увеличивает C: C₂ > C₁.

medzhanov, and D. A. Savin, Phys. Rev. C 98, 064610

Для всех остальных случаев C₂ < C₁, причем для

(2018).

слабосвязанных систем с большим значением η C₁

и C₂ могут различаться на порядок (см. табл. 2 и

L. D. Blokhintsev, A. S. Kadyrov, A. M. Mukha-

3) или даже на много порядков (табл. 5). Для этих

medzhanov, and D. A. Savin, Phys. Rev. C 95, 044618

(2017).

систем имеет место даже более общее соотноше-

ние C₁ > C₂ > C₄ > C₅ и аналогичное соотноше-

D. R. Lehman, L. C. Maximon, and J. L. Friar, Phys.

ние дл

C (см. табл. 2-4, 5, 7). Отметим, что для

Rev. C 37, 336 (1988).

систем, отвечающих табл. 1 и 6, даже полное вы-

G. P. Lepage, nucl-th/9706029v1 (1997).

ключение кулоновского взаимодействия (вариант

10.

J. T. Huang, C. A. Bertulani, and V. Guimar ˜aes, At.

4) не очень существенно изменяет C, что связано с

Data Nucl. Data Tables 96, 824 (2010).

частичной взаимной компенсацией эффектов, обу-

11.

C. Rolfs, Nucl. Phys. A 217, 29 (1973).

словленных уменьшением η и увеличением ε. При

12.

З. Флюгге, Задачи по квантовой механике

этом безразмерный АН

C, отличающийся от C

√

(Мир, Москва, 1974), т. 1.

на множитель

2κ, меняется заметней. Из табл. 1

13.

A. M. Mukhamedzhanov, Phys. Rev. C 86, 044615

и 6 также видно, что указанная компенсация не

(2012).

имеет место, если при выключении кулоновского

14.

J. Hamilton, I. verb ¨o, and B. Tromborg, Nucl. Phys.

взаимодействия сохранить энергию связи путем

B 60, 443 (1973).

изменения ядерного потенциала (вариант 5).

15.

L. D. Blokhintsev, R. Yarmukhamedov, S. V. Artemov,

Самым интересным и не очевидным заранее

et al., Uzbek J. Phys. 12, 217 (2010).

результатом является тот факт, что для варианта 3

16.

C. A. Gagliardi, R. E. Tribble, A. Azhari, et al., Phys.

даже в случае системы с максимальным значением

Rev. C 59, 1149 (1999).

η (табл. 5) значение C₃ отличается от C₁ всего на

17.

Л. Д. Блохинцев, Д. А. Савин, ЯФ 81, 8 (2018)

7%; для других систем это отличие не превышает

[Phys. At. Nucl. 81, 168 (2018)].

5%. Отметим, что такие же относительные разли-

18.

M. L. Avila, G. V. Rogachev, E. Koshchiy, et al., Phys.

чия между вариантами 3 и 1 имеют место и для

Rev. Lett. 114, 071101 (2015).

всех других рассмотренных типов АНК

C,C_r

C_r.

19.

A. M. Mukhamedzhanov, P. B ´em, V. Burjan, et al.,

Отсюда следует важный вывод, что учет неточеч-

Phys. Rev. C 78, 015804 (2008).

ности распределения заряда ядра мало влияет на

20.

L. Blokhintsev, Yu. Orlov, and D. Savin, Analytic

рассчитываемые значения АНК при условии, что

and Diagram Method in Nuclear Reaction Theory

энергия связи считается фиксированной.

(Nova Science Publishers, Inc. New York, 2017).

Подчеркнем, что использование перенормиро-

21.

Л. Д. Блохинцев, В. О. Еременко, Ю. В. Орлов,

ванных АНК C_r и

C_r является оправданным в

Д. А. Савин, Изв. РАН. Сер. физ. 76, 1025 (2012)

случае больших значений η (см. табл. 5 и 7).

[Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 76, 909 (2012)].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021