ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 4, с. 298-307
ЯДРА
ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ ИРАСТ-ПОЛОСЫ В156Dy
© 2021 г. А. Д. Ефимов1),2)*, И. Н. Изосимов3)**
Поступила в редакцию 11.12.2020 г.; после доработки 29.12.2020 г.; принята к публикации 29.12.2020 г.
На основе расширенной микроскопической версии МВБ1 получено описание свойств состояний
ираст-полосы в156Dy до спина 18+. Ряд состояний этой полосы, 6+, 8+ и 10+, заселяется из 8+ (2.788
МэВ) возбуждения, в свою очередь заселяемого в результате β+/ЕС-распада изомерного состояния
9+ в156Ho.
DOI: 10.31857/S0044002721040115
1. ВВЕДЕНИЕ
Один из первых способов бозонного представ-
ления парных фермионных операторов для опи-
При β-распаде изменение спина ядра, напри-
сания коллективных состояний был предложен в
мер, для переходов типа Гамова-Теллера, неболь-
работе Беляева и Зелевинского [1]. Наиболее обос-
шое и составляет ΔI = 0, ±1. Поэтому при соот-
нованным такое представление было получено в
ветствующем распаде высокоспиновых изомеров, в
работах [2-4], где предполагалась замкнутость ал-
отличие от β-распада состояний с небольшим спи-
гебры фононных операторов квадрупольного типа
ном, происходит заселение уровней вблизи ираст-
и их коммутаторов в числе, равном 35, а именно
полосы.
D+μ, Dμ, [Dμ1,D+μ2]. Это привело к ограничению
Хотя для возбуждения состояний с высокими
максимального числа D-фононов — Ω.
спинами ядерные реакции гораздо эффективнее, но
Под коллективным нижайшим квадрупольным
при β-распаде высокоспиновых изомеров фоновые
условия гораздо привлекательнее, что позволяет
D-фононом понимается когерентная сумма двух-
детальнее исследовать структуру уровней вбли-
квазичастичных состояний, имеющая тот же вид,
зи ираст-полосы. Полученные экспериментальные
как в Квазичастичном Методе Случайной Фазы
данные позволяют усовершенствовать теоретиче-
(КМСФ):
ские подходы к описанию свойств атомных ядер.
∑
1
D+μ =
√
[ψ12a+1a+2 +
(1)
В данной работе рассматриваются состояния
21,2;τ=n,p
ираст-полосы в156Dy. Три состояния из нее, 6+,
8+ и 10+, заселяются из относительно высоколе-
+ ϕ12a2a1](j1j2m1m2|2μ)τ,
жащего 8+ (2.788 МэВ) состояния, в свою очередь
где a+(a) — операторы рождения (уничтожения)
заселяемого в результате β+/ЕС-распада изомер-
квазичастиц; 1, 2 обозначают номера одноквази-
ного состояния 9+ в156Ho.
частичных состояний в сферическом базисе; со-
В работе на основе расширенной микроскопи-
стояния1, 2 — сопряженные по времени к 1, 2.
ческой версии модели взаимодействующих бозонов
Амплитуды ψ12, ϕ12 или z(0) = ψ + ϕ, z(1) = ψ - ϕ
анализируются свойства состояний ираст-полосы
не зависят от магнитных квантовых чисел и нор-∑
в156Dy до спина 18+. При этом бозонные пара-
мированы стандартным образом,
(ψ212 -
1,2;τ=n,p
метры рассчитываются с использованием среднего
∑
-ϕ212) =
(z(0)12z(1)12)τ = 1.
поля в сферическом базисе, а эффективные меж-
1,2;τ
нуклонные силы в факторизованном виде.
Замкнутость реализуется через SU(6)-алгебру,
а отображение фононных операторов на идеаль-
1)Государственный университет морского и речного флота
ные квадрупольные d-бозоны осуществляется та-
имени адмирала С.О. Макарова, Санкт-Петербург, Рос-
сия.
ким образом, что их операторы образуют ту же
2)ФТИ им. А.Ф. Иоффе, Санкт-Петербург, Россия.
замкнутую алгебру. Это приводит к отображению и
3)Объединенный институт ядерных исследований, Дубна,
правилу соответствия
Россия.
1
*E-mail: efimov98@mail.ru
D+μ -→
√
d+μs;
(2)
**E-mail: izosimov@jinr.ru
Ω
298
ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ ИРАСТ-ПОЛОСЫ
299
1
функции бозонного гамильтониана была разрабо-
| 〉 -→
√ (s+)Ω| );
|I〉 -→ |I),
Ω!
тана процедура, позволяющая производить расче-
ты в базисе, включающем до 36 квадрупольных бо-
где | 〉 — вакуум фононов, |I〉 — фононное состо-
зонов [10]. В условиях многофононности были по-
яние со спином I, | ) — вакуум бозонов, |I ) —
лучены нелинейные уравнения как для фононных,
бозонное коллективное состояние со спином I. При
так и u-, v-амплитуд. При решении задачи сверхте-
этом основное состояние |0) не является вакуумом
кучести матричные элементы от соответствующих
бозонов, т.е. |0) = | ) и аналогично |0〉 = | 〉.
сил по собственным волновым функциям средне-
Гамильтониан МВБ1 относительно энергии ва-
го поля были приняты постоянными. При этом
куума d-бозонов в нормальном порядке по опера-
была учтена блокировка одночастичных состояний
торам имеет вид
квазичастицами, формирующими многофононные
состояния, а также учтено влияние квадрупольного
HIBM = εd nd + k1(d+ · d+ss + H.c.) +
(3)
(
)
взаимодействия на сверхтекучесть. Был рассмот-
+k2
(d+d+)(2) · ds + H.c.
+
рен большой набор различных каналов взаимо-
действий в расширенном фононном пространстве
∑
1
сначала через неявный учет большого числа BJ -
+
CL(d+d+)(L) · (dd)(L).
2
фононов с J ≤ 6+. Это позволило реализовать пе-
L=0,2,4
ренормировку бозонного гамильтониана. Расшире-
H.c. означает эрмитово сопряжение, точка между
ние базиса возбуждений за счет явного учета фоно-
операторами соответствует скалярному произведе-
нов со спинами Jπ ≥ 8+ приводит к возможности
нию, величины εd, k1, k2, CL являются параметра-
корректного описания состояний с более высокими
ми гамильтониана МВБ1. В работах Кишимото и
спинами, нежели это удается при использовании
Тамуры [5-8] были сформулированы необходимые
стандартного варианта МВБ1, а также объясняет
требования к микроскопической теории, позволя-
эффект пересечения полос.
ющей рассчитывать эти параметры. Это отображе-
Ядро156Dy можно отнести к деформированно-
ние фононов на бозоны и учет связи коллективных
му уже в силу того, что отношение E4+ /E2+ =
и неколлективных мод возбуждений.
= 2.93 оказывается близким к ротационному пре-
При использовании КМСФ соответствующий
делу, равному 3.33.
квазичастичный гамильтониан определяется как
Аналогично, как и для широкого набора ядер
hRPA =Ĥ11 +Ĥ22 +Ĥ40+04, где индексы обозна-
от сферических до деформированных, для ядер
чают число операторов рождения и уничтожения
в этой области имеются изменения в структуре
квазичастиц. Эти члены квазичастичного гамиль-
состояний, которые можно назвать пересечением
тониана вместе сĤ31+13 используются также при
полос. При относительно небольших спинах, обыч-
расчете бозонных параметров. Все параметры бо-
но до Iπ ≤ 10+ или реже до Iπ ≤ 12+ состояния
зонных операторов, включающие операторы элек-
в четно-четных ядрах могут быть интерпретиро-
трических квадрупольных переходов, вычисляются
ваны как квадрупольные коллективные возбуж-
на основе процедуры Марумори [9] через равенство
дения, связанные сильными E2-переходами, для
соответствующих матричных элементов (МЭ) в
которых величины B(E2; I → I - 2) в сотни раз
фермионном и бозонном пространствах.
превышают одночастичную оценку. При этом и при
Фононные амплитуды определяются из мини-
б ольших спинах ираст-полоса продолжается, но
мизации полной энергии, которая зависит, поми-
соответствующие состояния оказываются уже по-
мо прочего, от среднего значения бозонного га-
строенными на высокоспиновых двухквазичастич-
мильтониана по бозонным функциям. При этом
ных возбуждениях. При этом даже при тех спи-
уже основное состояние содержит как некоторое
нах, где происходит это пересечение, вероятности
число квазичастиц, что характерно для КМСФ,
квадрупольных переходов остаются весьма значи-
так и некоторое число фононов, что не характерно
тельными, не менее половины от значений, кото-
для обычного приближения КМСФ. Это позволяет
рые соответствуют соседним переходам и вблизи
сформулировать задачу о согласовании фононных
от значения B(E2; 2+ → 0+). Это свидетельствует
амплитуд, параметров бозонного гамильтониана и
как минимум о весьма эффективном смешивании
состава бозонных функций. Само согласование
коллективных состояний с двухквазичастичным,
оказалось возможным при выполнении ряда до-
обладающим большим спином.
полнительных условий, что привело к существен-
ному расширению состава фононных амплитуд по
2. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ВЕРСИЯ МВБ1
парам квазичастиц из вневалентных оболочек и,
2.1. Дополнительные условия
соответственно, к существенному увеличению раз-
мера бозонного пространства. Поэтому для реше-
Амплитуды фононных операторов (1) (ψ, ϕ)
ния задачи на собственные значения и собственные
и боголюбовские параметры (u, v) находятся на
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№4
2021
300
ЕФИМОВ, ИЗОСИМОВ
основе вариационного принципа из условия мини-
|ψc(nd)|2
мума энергетического функционала
0.20
Htot = Evac.q.p. + E(B)0 + (I|HIBM|I),
(4)
〉 = 7.816
0+, 〈nd
включающего энергию вакуума квазичастиц
0.15
Evac.q.p., энергию фононного вакуума (E(B)0) и сред-
8+, 〈nd〉 = 8.998
него значения HIBM, вычисленного с бозонными
волновыми функциями (6), которые в свою очередь
0.10
зависят от (ψ, ϕ) и (u, v) через параметры εd,
k1, k2, CL гамильтониана МВБ1 (3). Средние от
отдельных членов гамильтониана по бозонным
0.05
функциям обозначаются как
∑
nd(I) = (I|
d+μdμ|I);
(5)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 22 24
μ
nd
1
P1(I) =
√
(I|(d+ · d+ss + s+s+d · d)|I),
2
Ω(Ω - 1)
Рис. 1. Вклад в волновые функции 0+ и 8+ коллек-
тивных состояний в приближении МВБ1 компонент с
1
различными значениями nd.
〈CL(I)〉 = (I|
(d+d+)(L) · (dd)(L)|I).
2
Минимизация функционала (4) по искомым ам-
14. Это коррелирует с тем, что средние значения
плитудам осуществляется при выполнении ряда
nd для этих состояний равны 7.816 и 8.998, т.е.
дополнительных условий. Это условия нормировок
отличаются немногим более, чем на 1 единицу, в
D-фононов и амплитуд бозонных волновых функ-
то время как в вибрационном случае это отличие
ций |I). Бозонные волновые функции представимы
равно 4 единицам.
в виде
∑
В работе используется квазичастичное пред-
|I) =
αd(nd,...,I) ×
(6)
ставление, поэтому контроль за правильным чис-
nd,...
лом частиц реализуется через их средние значения
1
с помощью химических потенциалов λτ, так что со-
∑
×
√
(s+)Ω-nd |nd, ..., I),
ответствующий член Лагранжаτ λτ Nˆτ учитыва-
(Ω - nd)!
ется при переходе от частиц к квазичастицам. Еще
где |nd, ..., I) есть нормированные функции квад-
одно условие, отражающее специфику МВБ1, со-
рупольных бозонов, соответствующие неприводи-
стоит в фиксации Ω, максимального числа бозонов,
мому представлению группы SU(5) с рядом кван-
которое используется при построении |I). Условие
товых чисел: число квадрупольных бозонов (nd),
неизменности Ω при вычислении фононных ам-
бозонное сениорити и число его троек, связанных
плитуд (ψ, ϕ) для каждого коллективного состоя-
в нулевой угловой момент. В этом случае условие
ния приводит к уменьшению числа квазичастиц на
нормировки имеет вид
уровнях валентной оболочки. Это важно, так как
∑
максимальное число квазичастиц на каждом одно-
(I|I) =
α2d(nd,...,I) = 1.
(7)
частичном уровне не может превышать значения
nd,...
ji + 1/2 в сферическом базисе в соответствии с
Амплитуды αd зависят от параметров бозонного
принципом Паули. При этом по мере роста спина
гамильтониана и определяются в результате диа-
состояния и, соответственно, роста nd увеличива-
гонализации. В простейшем случае, т.е. в базисе
ется число квазичастиц на каждом одночастичном
уровне. Выполнение этого условия осуществляется
представления группы SU(5), единственные значе-
именно в среднем, так как число квазичастиц счи-
ния амплитуд с αd = 1 для состояний ираст-полосы
тается по тем компонентам, которые формируют
с I = 0+, 2+, 4+, 6+, ... будут соответствовать
структуру D-фонона, и соответствует их среднему
конфигурациям с nd = 0, 1, 2, 3,
По мере роста
числу nd(I) и P1(I).
квадрупольной коллективности в состояниях появ-
ляются компоненты и с другими значениями nd. В
Если в результате расчета это условие не вы-
рассматриваемом ядре вклад в волновые функции
полняется, то необходимо осуществить уменьше-
от компонент с различными значениями nd для спи-
ние корреляций в основном состоянии. При этом
нов 0+ и 8+ представлен на рис. 1. Видно, что для
фононные амплитуды ψ и ϕ распределяются по
обоих этих состояний компоненты распределяются
большему числу одночастичных уровней, увеличи-
примерно в одной области от nd = 4 до 13 или
вая этим роль вневалентных оболочек.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№4
2021
ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ ИРАСТ-ПОЛОСЫ
301
(
)(0)
Как уже говорилось, наличие бозонных средних
√
2
k1
Ω(Ω - 1)
=
в минимизируемом функционале (4) позволяет по-
ставить задачу о согласовании трех видов ампли-
√
1
2∑
туд, z(η), u(v), {αd}. Как оказалось, достичь этого
=
〈 |[[hRPA, D+μ ], D+¯μ ]| 〉;
согласования возможно только при дополнитель-
5
ℵ0
μ
ной модификации стандартного варианта КМСФ,
(
√
)(0)
1
а именно, за счет достижения малости амплитуд
k2
Ω-1
=
√
×
ϕ, определяющих корреляции. Выполнение этого
2ℵ2
∑
условия при фиксированных значениях силовых
×
〈 |[[[DM , H20+02
V31+13],D+m1],D+m2]| 〉 ×
констант осуществляется введением в минимизи-
m1,m2
руемый функционал слагаемого, регулирующего
величину суммы квадратов ϕ
× (22m1m2|2M);
(
)
)(∑
∑
5
1
1
Φϕ = 2χ nd(I) +
ϕ212τ +
=
(8)
C(0)L
=
×
2
2
ℵL
τ 12
m1,m2,m3,m4
(
)
)(∑
1
5
× 〈 |[Dm2,[Dm1,[[hRPA,D+m3],D+m4]]]| 〉 ×
=
χ nd(I) +
(z(1)212 + z(0)2
)τ
,
12
2
2
τ 12
× (22m1m2|LM)(22m3m4|LM),
множитель (nd + 5/2) введен для удобства.
ℵL — нормировка двухфононного состояния. Вы-
Таким образом, структура D-фонона опре-
ражения для ε(0)d, k(0)1 через амплитуды D-фононов
деляется с использованием довольно сложного
функционала, включающего средние от бозонных
приведены в [11], для C(0)L в [12]. Соответствующие
операторов. Если в рамках стандартного КМСФ
расчеты дают значения C(0)L, которые оказыва-
решается уравнение HD+ = ωD+ или 〈DHD+〉 -
ются нефизически большими. Это значит, что с
- ω〈DD+〉 → min, то множитель Лагранжа ω,
учетом только D-фононов энергии двухфононно-
определяемый как ω2, является положительной
го триплета существенно превышают удвоенную
величиной и трактуется в качестве однобозонной
однофононную энергию, что является результатом
энергии. В используемом модифицированном ва-
действия сил притяжения между квазичастицами,
рианте параметр ω не имеет уже такого смысла,
формирующими разные фононы и не зависит от
а однобозонная энергия, определяемая в качестве
степени коллективности D-фонона вплоть до того,
однобозонной энергии εd (см. ниже), может быть
является ли ядро сферическим или деформирован-
отрицательной.
ным. Компенсировать этот эффект позволяет учет
Таким образом, важной особенностью модифи-
связи между (D2)(L)-состояниями с теми, кото-
кации КМСФ является возможность регулирова-
рые содержат BJ -моды, определяемые по аналогии
ния корреляций. В частности и в простейшем про-
с (2).
явлении это приводит при определении структуры
D-фононов к замене двухквазичастичных энергий
на энергии с постоянным положительным сдви-
2.2. Перенормировка параметров
гом на величину χ, ei + ej → ei + ej + χ. Поэтому
амплитуды D-фононов от валентных компонент
Для учета связи коллективного, состоящего
падают, а от вневалентных растут.
только из D-фононов, и неколлективного, содер-
Параметры, определяющие бозонные операто-
жащего дополнительно один из возможных BJ -
фононов, пространств рассматривается расширен-
ры вычисляются на основе процедуры Марумо-
ная волновая функция
ри [9] через равенство МЭ от фермионных операто-
∑
ров OF по фононным функциям и от бозонных OB
Ψ(I) = |ψc(I)〉 +
αi1,c1|(B+i1ψc1)(I)〉,
(10)
по бозонным волновым функциям
i1,c1
〈I′|OF |I〉 = (I′|OB|I),
где |ψc〉 есть волновая функция, содержащая су-
что позволяет найти параметры от каждого чле-
перпозицию только D-фононов.
на любого оператора в отдельности как для бо-
Энергии нижайших состояний ираст-полос с
зонного гамильтониана, так и для оператора E2-
переходов. Параметры бозонного гамильтониана с
Iπ ≤ 6+ оказываются существенно ниже энергий
учетом только D-фононов, т.е. вне связи коллек-
BJ-мод, которые как минимум больше удвоенной
тивных и неколлективных мод возбуждений, что
парной щели. Такая выделенность состояний по
энергии двух пространств позволяет рассматри-
соответствует индексу(0), определяются как:
вать их связь неявным образом через перенорми-
ε(0)d = 〈|[Dμ,[hRPA,D+μ]]|〉;
(9)
ровку бозонных параметров εd, k1, CL, k2 (9), что
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№4
2021
302
ЕФИМОВ, ИЗОСИМОВ
сделано в [13-15] с помощью теории возмущений
полос в четных изотопах Се [11] было отмечено, что
в варианте Бриллюэна-Вигнера (БВ). Для этого в
это ослабление может иметь тенденцию к усилению
волновой функции (10) среди конфигураций |ψc(I)〉
по мере роста спина в полосе, что соответствует
уменьшению ς.
учитываются состояния (D+)n| 〉 с n = 0, 1, 2, а
также набор конфигураций, дополнительно имею-
Для определения зависимости ς от характери-
щий один из B+J-фононов положительной четности
стик коллективного состояния, ς(I), сделано пред-
с мультипольностью Jπ от 0+ до 6+.
положение, что это ослабление связано с разли-
Все полученные с учетом этой связи бозонные
чием в структуре D-фононных амплитуд в зависи-
параметры оказываются зависящими от спина и
мости от того, имеется ли в компоненте волновой
энергии рассматриваемого состояния. Расчеты по-
функции B-фонон, т.е., что при наличии B-фонона
казали, что главный вклад при этом вносят фо-
происходит дополнительная блокировка одноча-
стичных уровней и структура D-фонона несколь-
ноны с моментом 2+, причем среди этих фононов
нет нижайшего. Следующей по важности являет-
ко меняется. Отличие связано как с фононными
амплитудами, так и параметрами сверхтекучести.
ся совокупность фононов с моментами 4+ и 6+.
Пусть
Перенормировка бозонных параметров, особенно
εd и CL, оказывается существенной. Из-за того,
ξ = 〈D(при наличии B)|D+〉,
(12)
что это эффективно происходит за счет учета связи
коллективных состояний (в терминах только D-
тогда можно предположить, что ς = ξnd(I). Так как
фононов) с большим набором BJ -фононов, то в
число квазичастиц определяется как nd(I), так и
результирующих волновых функциях коллективная
P1, была принята следующая параметризация:
компонента остается определяющей. Для одно D-
фононного состояния компонента неколлективных
ς =ξnd+P1+β(〈C4(I)〉-〈C4(0)〉).
(13)
состояний ∼9%, для двухфононных состояний по-
Член с β в этом выражении может быть удобен, так
следовательно (D+D+)(0) эта компонента ∼25%,
как в деформированных ядрах зависимость nd(I)
для (D+D+)(L=2,4) ∼15%.
является достаточно плавной, а значения 〈C4(I)〉,
При описанном подходе каждый из параметров
наоборот, для любых характеристик спектров от
зависит от энергии возбуждения или конкретного
вибрационных до ротационных быстро растут с
коллективного состояния. Однако при этом од-
увеличением спина в полосе. Учет 〈C4(I)〉 в (13)
новременно меняется и энергия квазичастично-
может отражать заметное различие нормировок
фононного вакуума. Все вместе это позволило
коллективных состояний в бозонном и фонон-
так переопределить значения параметров бозонно-
ном представлениях. Для156Dy было принято ξ =
го гамильтониана, чтобы уже при фиксированной
= 0.9757, β = 0. С учетом бозонных средних, кото-
энергии бозонного вакуума параметры гамильто-
рые были получены на основе параметров, данных
ниана изменялись уже не слишком существенно.
на рис. 2, параметр ς2 для спинов от I = 0+ до
Тем не менее это изменение имеется, и полного
соответствия с тем, что описывается при традици-
I = 16+ приведен на рис. 3.
онном использовании МВБ1 нет, а представлен-
Решение вариационной задачи решается ите-
ные теоретические энергии возбуждений соответ-
рационным способом с учетом дополнительных
ствуют именно изменяемым параметрам гамильто-
условий и учетом перенормировки параметров. Это
ниана для каждого состояния. Соответствующая
приводит к самосогласованным значениям энергий
процедура применялась во всей серии работ, ис-
коллективных состояний, приведенным на рис. 4
пользующей описанный микроскопический вари-
и отмеченным как coll. На следующем этапе рас-
ант МВБ1 [11].
сматривается связь коллективных состояний с вы-
сокоспиновыми фононами с J ≥ 8+, а также про-
2.3. Ослабление связи коллективных
цессы, приводящие к МЭ 〈DDD|H|B+J〉. Это вли-
и неколлективных состояний
яет не только на высокоспиновые состояния, но и
Ослабление взаимодействия конфигураций,
на коллективные состояния, начиная с основного.
различающихся по признаку наличия или отсут-
Ниже дано краткое рассмотрение этих процессов.
ствия B-фононов, определяется соотношением
〈Dn′ B|H|D+n〉 → ς〈Dn′ B|H|D+n〉
(11)
2.4. Бозонное описание пересечения полос
с помощью параметра ς. Такое ослабление учиты-
валось во всех работах данной серии, связанной с
Перенормировка параметров МВБ1 осуществ-
микроскопическим расчетом параметров гамильто-
ляется за счет расширения волновой функции фо-
ниана МВБ1. При анализе механизма пересечения
нонных состояний в виде (10) за счет BJ -фононов
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№4
2021
ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ ИРАСТ-ПОЛОСЫ
303
1.7
ся в виде:
1.6
156Dy
Hb = Hb1 + Hb2;
(14)
1.5
∑
C4
Hb1 = H(0)IBM + ωib+ibi + V(1);
1.4
i
1.3
1.2
Hb2 = V(2) + V(3),
1.1
C0
где H(0)IBM (3) является гамильтонианом МВБ1 с
1.0
параметрами, определенными только через D-
0.9
C2
фононы, т.е. без учета неколлективных фононов,
0.8
ωi — энергии bi-бозонов. Бозонные члены взаимо-
εd
0.7
действия V(1,2,3) содержат члены, пропорциональ-
0.6
ные
0
2
4
6
8
10
12
14
16
I+
V (1) ∼ [s+d+d,s+s+d+dd,d+d+s,d+d+d] · bJ,
Рис. 2. Зависимость бозонных параметров от спинов
V (2) ∼ d+d+d+ss · bJ,
состояний ираст-полосы относительно их значений в
основном состоянии, которые для εd, k1, k2, C0, C2,
V (3) ∼ [d+s,d+d+ss,d+d] · b+J1bJ2
C4 соответственно равны -0.4579, -0.0698, 0.0380,
и соответственно эрмитово сопряженные слагае-
0.6140, 0.2704, 0.0681, полное число бозонов Ω = 24.
мые. Параметры этих взаимодействий определя-
Параметры k1 и k2 остаются практически неизменны-
ми для всех спинов.
ются МЭ в фермионном пространстве с помощью
процедуры Марумори, как это описано в [11, 13,
17].
с Jπ ≤ 6+. При больших спинах состояний ираст-
Взаимодействие V(1) и V(2) выражает связь
полос коллективные и неколлективные возбужде-
коллективных состояний с неколлективными. Опе-
ния могут оказаться энергетически близкими. По-
ратор V(3) определяет взаимодействие между со-
этому компоненты этих неколлективных мод необ-
стояниями, содержащими различные bJ -бозоны.
ходимо явно вводить в рассматриваемый базис,
а значения Jπ уже будут меняться до 10+. Ес-
2.5. Результаты расчетов
ли полагать, что компоненты двухквазичастичных
состояний с J = 12+ не столь существенны, то
Из анализа экспериментальных энергий состо-
следует рассматривать Jπ в интервале от 0+ до
яний ираст-полос можно заметить, что в состо-
яниях, построенных на высокоспиновых модах,
10+. Это приводит не только к дополнительному
сжатию спектра коллективных состояний, но и к
пересечению полос разной природы.
E - yrast, МэВ
6
Вводя bJ -бозоны, гамильтониан Hb принимает-
156Dy
5
coll.
th.
exp.
ζ2
4
0.510
156Dy
3
0.505
0.500
2
0.495
1
0.490
0.485
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0.480
I+
0.475
Рис. 4. Энергии состоянийираст-полос. Подписи “th.”
и “exp.” соответствуют теоретическим и эксперимен-
0.470
тальным [16] значениям (в масштабе рисунка они
0
2
4
6
8
10
12
14
16
I+
практически сливаются). Подпись “coll.” соответству-
ет расчетному значению, но без учета каналов взаимо-
Рис. 3. Значения ς2(I) с учетом бозонных средних.
действия V(2), V(3).
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№4
2021
304
ЕФИМОВ, ИЗОСИМОВ
B(E2; I → I - 2), e2b2
гивая bJ -бозоны, что приводит к бозонном
T (E2)-
th. 1
оператору:
2.4
th. 2
(
)(2)
2.2
156Dy
exp.
T (E2) = e∗
d+s + s+d + χE2d+d
+
(15)
2.0
(
)
1.8
+e∗
s+(d+d)(0)d + d+(d+d)(0)s
+
0
1.6
(
)
1.4
+e∗
3
(d+d+)(0)d+sss + s+s+s+d(dd)(0)
1.2
1.0
Первое слагаемое данного оператора является
0.8
обычным для МВБ1. Второе получило свое обос-
0.6
нование в [18] и связано с тем, что обрезающий
√
0.4
фактор
1 - nd/Ω, соответствующий s-бозону,
0.2
различается для операторов гамильтониана и опе-
ратора E2-переходов. Это учитывается введением
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
члена, пропорционального e∗0. Роль последнего
I
члена в операторе квадрупольных переходов для
Рис. 5. Теоретическиеи экспериментальные[16] значе-
исследуемых ранее ядер Te, Xe и Ba была несу-
ния вероятностей E2-переходов внутри ираст-полос.
щественна в силу как малости полученных оценок
Для второго варианта теоретический расчет соот-
для параметра e∗3, так и малости соответствующих
ветствует наличию усиливающего фактора оператора
бозонных матричных элементов. Для рассматрива-
между компонентами волновых функций, явно содер-
жащих неколлективные фононы, в 1.15 раза и учету
емого изотопа Dy в силу большей коллективности
многобозонного члена в операторе E2-перехода.
последнее условие начинает нарушаться. Поэтому
расчеты вероятности квадрупольных переходов,
приведенные на рис. 5, осуществлялись в двух
энергии переходов имеют большие значения, неже-
вариантах. В первом, th.1, расчет произведен с
ли те, что построены на квазичастично-фононном
микроскопически рассчитанными значениями e∗ =
вакууме. Однако это различие тем меньше, чем
= 8.724e Фм2, χE2 = -0.539 и e∗0 = -0.0177e Фм2,
больше коллективность основной полосы. Поэто-
а e∗3 не рассматривался. Во втором варианте,
му для рассматриваемого ядра такое различие не
th.2, он был принят равным -0.017e Фм2, но
делается. Учет дополнительных членов взаимодей-
при этом параметр e∗ для переходов между ком-
ствия в V(1,2,3) расширенного гамильтониана (14)
понентами волновых функций, явно содержащих
приводит в результате к опусканию энергий со-
неколлективные фононы, увеличен в 1.15 раза.
стояний, отмеченных как coll. на рис. 4, к окон-
Второй вариант дает весьма хорошее описание
чательным значениям, отмеченным как th. на том
экспериментальных значений. При этом оба вари-
же рисунке, где сравниваются с эксперименталь-
анта воспроизводят наблюдаемый минимум B(E2)
ными значениями. Соответствие теоретических и
с 14+-состояния. Учет последнего слагаемого в
экспериментальных значений энергий состояний
операторе (15) приводит к уменьшению значений
настолько удовлетворительно, что на рис. 4 они
B(E2), что улучшает согласие с экспериментом.
практически не различаются. Наибольшее отличие
Однако следует иметь ввиду, что уменьшение
теоретических энергий от экспериментальных, не
частично-дырочного канала взаимодействия и
считая 18+-состояния, относится к 8+- и 14+-
одновременное увеличение частично-частичного
состояниям. Для первого состояния теоретическое
(квадрупольное спаривание) приводят к аналогич-
значение превышает экспериментальное на 27 кэВ,
ному эффекту.
для второго — меньше на 28 кэВ.
На рис. 6 приведен фононный состав волновых
Микроскопический способ расчета параметров
функций состояний ираст-полос. Уже основное
электрического квадрупольного оператора пред-
состояние примерно на 55% определяется только
ставлен в [18]. Соответствующая схема ориен-
тирована на переходы либо между коллективны-
D-конфигурациями. Это понятно уже из того, что,
как говорилось, перенормированные одно- и двух-
ми состояниями, либо между состояниями в рай-
фононные состояния определяются в основном D-
оне пересечения полос. Переход с неколлектив-
компонентами, вклад которых соответственно ра-
ных компонент, явно в (10) не рассматриваемых,
в коллективные учитывается при перенормировке
вен 91% и 85%, а число квадрупольных бозонов
эффективных зарядов [18]. Это позволяет рассмат-
в156Dy в основном состоянии равно 7.8. По мере
ривать МЭ только между коллективными компо-
роста спина вклад D-компонент падает, но еще
нентами, выраженными через d-бозоны, не затра-
при спине наблюдаемого состояния 12+ структура
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№4
2021
ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ ИРАСТ-ПОЛОСЫ
305
%
энергии возбуждения дочернего ядра, превыша-
100
ющей E > 2-3 МэВ. Нестатистические эффекты,
156Dy
связанные с наличием резонансов в Sβ(E) и
80
особенностями структуры ядра были выявлены при
описании β-запаздывающего деления ядер [19].
collective
Далее, методы расчета структуры Sβ(E), раз-
60
B(2+)
B(4+)
витые в [19], были применены для расчета как
B(6+)
особенностей β-распада, так и β-запаздывающих
40
B(8+)
процессов для широкого круга ядер [20-24]. Идея
B(10+)
о нестатистическом характере Sβ(E) оказалась
20
весьма важной и в настоящее время используется
в различных областях ядерной физики и ядерной
астрофизики [22-24].
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Интенсивность заселения уровня после β-
I+
распада I(E), период полураспада для β-процессов
Рис. 6. Фононный состав волновых функций ираст-
T1/2 и величины ft связаны с Sβ(E) следующим
полос. Под “collective” понимается вклад в функцию
образом [19-24]:
компонент, содержащих только D-фононный состав.
Под B(J) понимается вклад от всех компонент, содер-
dI(E)
= Sβ(E)T1/2f(Qβ - E),
(16)
жащих различные фононы с фиксированным моментом∑
dE
J, т.е.i1,c1 |αJ,i1,c1|2,где амплитудыα определяются
∫
в (10).
T-11/2 = Sβ(E)f(Qβ - E)dE,
(17)
∫
∑
остается достаточно сложной, в то время как 14+-
Sβ(E)dE = (ft)-1,
(18)
состояние исчерпывается в основном компонентой,
ΔE
ΔE
содержащей высокоспиновую двухквазичастичную
компоненту, что и приводит к теоретическому ми-
где Sβ(E) в МэВ-1 с-1 и ft в секундах. Значения
нимуму в значениях B(E2) для 14+-состояния,
ft не зависят от Qβ, а величины lgft используют
которое при этом остается существенным.
при построении систематик β-переходов.
Приведенные вероятности B(GT, E) для β-
переходов типа Гамова-Теллера (GT) определяют-
3. СОСТОЯНИЕ 8+(2.788 МэВ),
ся как [19, 22-25]:
ЗАСЕЛЯЕМОЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ
β+/ЕС-РАСПАДА ИЗОМЕРНОГО
B±(GT,E) =
(19)
СОСТОЯНИЯ В156Ho
eff2
∑
g
A
=
|〈If ||
t±(k)σ(k)||Ii〉|2/(2Ii + 1),
Вероятность β-перехода пропорциональна про-
4π
изведению двух сомножителей, первый из которых
g2V D
связан с лептонами и описывается с помощью
B±(GT,E) =
,
(20)
4π ft
функции Ферми f(Qβ - E), а второй сомножитель
связан с атомным ядром и описывается с помощью
где Ii и If — спины начального (материнское
силовой функции β-распада Sβ(E), где E — энер-
ядро) и конечного состояний (дочернее ядро);
гия уровня в дочернем ядре, заселяемом в резуль-
gA и gV — константы аксиально-векторного и
тате β-перехода, Qβ — полная энергия β-распада,
векторного компонент слабого взаимодействия;
определяемая как разность масс нейтральных ато-
D = (6144 ± 2) с; t±σ(k) —произведение изо-
мов материнского и дочернего ядер.
спинового и спинового операторов, образующих
До начала
1980-х гг. при описании Sβ(E)
оператор β-перехода; t — парциальный период β-
доминировала статистическая модель, которая
распада на уровень с энергией возбуждения E;
предполагала отсутствие резонансов в Sβ(E) в
〈If ||
∑t±(k)σ(k)||Ii〉 — приведенный матричный
области энергий возбуждения ядра, доступной
элемент для β-перехода типа Гамова-Теллера.
для β-распада (т.е. при E < Qβ), и в которой
Положения и интенсивности резонансов в Sβ(E)
Sβ(E) параметризовалась в виде Sβ(E) = Const
рассчитываются с помощью различных моделей
или Sβ(E) ∼ ρ(E), где ρ(E) — плотность уровней
ядра
[19,
22-24]. С макроскопической точки
в дочернем ядре. Предполагалось, что статисти-
зрения резонансы в Sβ(E) связаны с колебаниями
ческая модель должна адекватно описывать β-
спин-изоспиновой компоненты плотности без
распад в области средних и тяжелых ядер при
изменения формы атомного ядра [22, 26]. При
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№4
2021
306
ЕФИМОВ, ИЗОСИМОВ
9+
52.4 + x
котором нейтронная частица (νp)-протонная дыр-
156
67
Ho
89
I(%) lg ft
ка (πh) оказываются связанными в момент Iπ =
75
4.52
= 1+, т.е. [νp ⊗ πh)]1+. Полный спин уровня, на
Q(gs) = 5.05 МэВ
8+
2787.6
ε : 75%
который происходит β+/EC-переход типа Гамова-
Теллера, формируется из спина изомерной кон-
фигурации материнского ядра (Iπ = 9+) и спина
10+
1724.3
частично-дырочной пары [νp ⊗ πh)]1+ и может
8+
составлять Iπ = 8+, 9+, 10+. Экспериментально
1215.6
6+
наблюдался лишь EC-переход на уровень Iπ =
707.3
4+
= 8+ в 156Ho (рис. 7). Представляет интерес поиск
404
2+
соответствующих уровней (резонансов) с Iπ = 8+,
137.8
0+
0
156
9+, 10+ как при β+/EC-распаде, так и в ядерных
66
Dy
90
реакциях. Экспериментальная информация такого
рода позволит развивать теоретические подходы к
Рис. 7. Схема распада [16] изомера Iπ = 9+ яд-
описанию зарядово-обменных ядерных реакций и
ра156Ho. Вероятность EC-распада составляет 75%,
β-распада в атомных ядрах с участием высокоспи-
вероятность изомерного перехода IT = 25%. В це-
новых изомеров.
почке: высокоспиновый изомер → β+/ЕС-распад →
→ γ-распад → ираст-полоса, необходим всего один
По экспериментальным значениям интенсивно-
γ-переход для заселения соответствующих уровней
стей переходов с 8+q(2.788 МэВ) можно получить,
ираст-полосы.
что B(E2;8+q → 10+1)/B(E2;8+q → 6+1) = 8.9. При
теоретическом расчете каждая из величин данного
энергиях возбуждения атомного ядра E < Qβ
отношения — малая величина. В рамках исполь-
Sβ(E) определяет характер β-распада. В случае
зуемой теории, ориентированной на большие зна-
чения B(E2) за счет оператора (15), не рассмат-
E > Qβ Sβ(E) определяет сечение зарядово-
риваются E2-переходы за счет одноквазичастич-
обменных ядерных реакций.
ных переходов в неколлективных модах, напри-
Успешное применение методов спектроскопии
−→ (h9/2 × f7/2)(6+), кото-
полного поглощения [22, 23] позволило однознач-
рые хоть и малы, но могут внести необходимую
но экспериментально установить нестатистический
лепту, существенно влияющую на указанное отно-
резонансный характер структуры Sβ(E). Совре-
шение.
менные методы ядерной спектроскопии позволили
в деталях изучить тонкую структуру резонансов
Sβ(E) [24, 26] для ряда ядер.
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Схема распада [16] высокоспинового изомера
В рамках микроскопической версии МВБ1 с
Iπ = 9+ ядра156Ho приведена на рис. 7.
использованием элементарных мод и эффектив-
ного факторизованного взаимодействия на основе
Структура изомера Iπ = 9+ в ядре156Ho в на-
сферического одночастичного базиса были про-
стоящее время до конца не выяснена. Качествен-
анализированы свойства состояний ираст-полосы
но характер β+/EC-распада указанного изомера
в 156Dy. При этом был произведен учет связи
можно описать следующим образом. Из экспе-
состояний, содержащих большое число d- и bJ -
риментального значения lg ft = 4.52 и система-
бозонов положительной четности с Jπ = 0+ - 10+.
тики величин lg ft [16, 27] следует, что наблю-
Это позволило описать механизм пересечения по-
даемый β+/EC-распад изомера обусловлен пе-
лос. При этом, как показал расчет, согласующийся
реходом типа Гамова-Теллера. Используя схему
с экспериментом, пересечение полос произошло
одночастичных уровней из [27] (в представлен-
при спине 14+-состояния ираст-полосы. Этому со-
ных расчетах для Dy энергии одноквазичастичных
ответствует как теоретический, так и эксперимен-
для протонных состояний d5/2, g7/2, h11/2, s1/2,
тальный слабо выраженный минимум в значениях
d3/2 оказались соответственно равными 1.0, 1.75,
B(E2) вдоль ираст-полосы для перехода 14+1 →
0.72, 2.36, 2.22; для нейтронных состояний f7/2,
→ 12+1 . Исследуемое ядро уникально тем, что на
h11/2 равны 1.69, 1.65 МэВ), можно предположить,
три состояния ираст-полосы наблюдаются пере-
что данный переход Гамова-Теллера обусловлен
ходы с состояния 8+(2.788 МэВ), заселяемого в
превращением протона с уровня 1h11/2 в нейтрон
результате β+/ЕС-распада изомерного состояния
на уровне 1h9/2, т.е. спин-флип переходом, при
9+ ядра156Ho.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№4
2021
ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ ИРАСТ-ПОЛОСЫ
307
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
16.
National Nuclear Data Center, Brookhaven National
1.
S. Beliaev and V. G. Zelevinsky, Nucl. Phys. 39, 582
(1962); Izv. AN SSSR. Ser. Fiz. 28, 127 (1964).
17.
А. Д. Ефимов, В. М. Михайлов, Изв. РАН. Сер.
2.
D. Janssen, R. V. Jolos, and F. Donau, Nucl. Phys. A
физ. 83, 1244 (2019) [A. D. Efimov and V. M.
224, 93 (1974).
Mikhajlov, Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 83, 1136
3.
Р. В. Джолос, Ф. Дэнау, Д. Янсен, ТМФ 20, 112
(2019)].
(1974) [R. V. Jolos, F. Donau, and D. Janssen, Theor.
18.
А. Д. Ефимов, В. М. Михайлов, Изв. РАН. Сер.
Math. Phys. 20, 704 (1974)].
физ. 77,
948
(2013)
[A. D. Efimov and V. M.
4.
Р. В. Джолос, Ф. Дэнау, Д. Янсен, ТМФ 23, 374
Mikhajlov, Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 77,
862
(1975) [R. V. Jolos, F. Donau, and D. Janssen, Theor.
(2013)].
Math. Phys. 23, 580 (1975)].
19.
I. N. Izosimov and Yu. V. Naumov, Bull. Acad. Sci.
5.
T. Kishimoto and T. Tamura, Nucl. Phys. A 163, 100
USSR, Phys. Ser. 42, 25 (1978).
(1971); 192, 246 (1972); 270, 317 (1976).
6.
T. Tamura, K. Weeks, and T. Kishimoto, Phys. Rev. C
322539669
20, 307 (1979); Nucl. Phys. A 347, 359 (1980).
7.
K. J. Weeks and T. Tamura, Phys. Rev. C
22, 888,
20.
H. V. Klapdor, C. O. Wene, I. N. Isosimow, and
1323 (1980).
Yu. W. Naumow, Phys. Lett. B 78, 20 (1978).
8.
K. J. Weeks, T. Tamura, T. Udagawa, and
21.
H. V. Klapdor, C. O. Wene, I. N. Isosimov, and
F. J. W. Hahne, Phys. Rev. C 24, 703 (1981).
Yu. W. Naumow, Z. Phys. A 292, 249 (1979).
9.
T. Marumori, K. Takada, and F. Sakata, Prog. Theor.
22.
Yu. V. Naumov, A. A. Bykov, and I. N. Izosimov,
Phys. Suppl. 71, 1 (1981).
Phys. Part. Nucl. 14, 175 (1983).
10.
А. Д. Ефимов, В. М. Михайлов, Изв. РАН. Сер.
физ. 73,
808
(2009)
[A. D. Efimov and V. M.
233832321
Mikhajlov, Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 73,
760
23.
I. N. Izosimov, Phys. Part. Nucl. 30, 131 (1999).
(2009)].
11.
А. Д. Ефимов, ЯФ 83, 380 (2020) [A. D. Efimov,
Phys. At. Nucl. 83, 651 (2020)].
24.
I. N. Izosimov, V. G. Kalinnikov, and A. A. Sol-
12.
A. D. Efimov and V. M. Mikhajlov, EPJ Web Conf. 38,
nyshkin, Phys. Part. Nucl. 42, 963 (2011).
17005 (2012).
13.
А. Д. Ефимов, В. М. Михайлов, Изв. РАН. Сер.
25.
A. Bohr and B. Mottelson, Nuclear Structure
физ. 82, 1395 (2018) [A. D. Efimov and V. M.
(Benjamin, New York, 1969), Vol. 1.
Mikhajlov, Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 82, 1266
26.
I. N. Izosimov, A. A. Solnyshkin, J. H. Khushvaktov,
(2018)].
and Yu. A. Vaganov, Phys. Part. Nucl. Lett. 15, 298
14.
А. Д. Ефимов, В. М. Михайлов, Изв. РАН. Сер.
(2018).
физ. 80,
986
(2016)
[A. D. Efimov and V. M.
Mikhajlov, Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 80,
898
(2016)].
27.
V. G. Soloviev, Theory of Atomic Nuclei: Quasi-
15.
A. D. Efimov and V. M. Mikhajlov, EPJ Web Conf.
particles and Phonons (Institute of Physics, Bristol
107, 03013 (2016).
and Philadelphia, 1992).
DESCRIPTION OF THE STATES OF THE YRAST-BAND IN156Dy
A. D. Efimov1),2), I. N. Izosimov3)
1)Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping, St. Petersburg, Russia
2)Ioffe Physical-Technical Institute, Russian Academy of Sciences, St. Petersburg, Russia
3)Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Russia
Based on an extended microscopic version of the IBM, a description of the properties of the states of the
yrast-band in156Dy up to spin 18+ is obtained. The series of states of this band, 6+, 8+, and 10+ are
populated from 8+ (2.788 MeV) excitation by-turn populated as a result of β+/EC-decay from the isomeric
state 9+ to156Ho.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№4
2021
